(完整版)初高中函数知识点总结大全
初高中函数知识点总结大全
正比例函数
形如y=kx （k为常数，k≠0）形式，y是x的正比例函数。
1.定义域:R(实数集)
2.值域:R(实数集)
3.奇偶性:奇函数
4.单调性:
当k>0时，图像位于第一、三象限，y随x的增大而增大(单调递增);当k<0时，图像位于第二、四象限，y随x的增大而减小(单调递减)。
一次函数
一、定义与定义式：
自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b则此时称y是x的一次函数。
特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常数，k≠0）
一次函数与正比例函数的识别
方法：若y=kx+b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数，特别的，当b=0时，一次函数就成为y=kx(k是常数，k≠0)，这时，y叫做x的正比例函数，当k=0时，一次函数就成为若
y=b，这时，y叫做常函数。
☆A与B成正比例 A=kB(k≠0)
二、一次函数的性质：
1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k，即：y=kx+b （k为任意不为零的实数b取任何实数）
2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。
三、一次函数的图像及性质：
1．作法与图形：通过如下3个步骤
（1）列表；
（2）描点；
（3）连线，可以做出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x 轴和y轴的交点）
2．性质：
（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像总是过原点。
3．k，b与函数图像所在象限：
当k＞0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大；
当k＜0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。
当b＞0时，直线必通过一、二象限；
当b=0时，直线通过原点
当b＜0时，直线必通过三、四象限。
特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。
这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当k＜0时，直线只通过二、四象限。
四、确定一次函数的表达式：
已知点A（x1，y1）；B（x2，y2），请确定过点A、B的一次函数的表达式。
（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为y=kx+b。
（2）因为在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b ……①和y2=kx2+b ……②（3）解这个二元一次方程，得到k，b的值。
（4）最后得到一次函数的表达式。
五、一次函数在生活中的应用：
1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。
2.当水池抽水速度f一定，水池中水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。
六、常用公式：
1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)
2.求与x轴平行线段的中点：|x1-x2|/2
3.求与y轴平行线段的中点：|y1-y2|/2
4.关于点的距离的问题
方法：点到x轴的距离用纵坐标的绝对值表示，点到y轴的距离用横坐标的绝对值表示；
任意两点
(,),(,)
A x y
B x y；
A A
B B
若AB ∥x 轴，则(,0),(,0)A B A x B x 的距离为A B x x -；
若AB ∥y 轴，则(0,),(0,)A B A y B y 的距离为A B y y -；
点
(,)A A A x y
点的坐标
方法： x 轴上的点纵坐标为0，y 轴上的点横坐标为0；
若两个点关于x 轴对称，则他们的横坐标相同，纵坐标互为相反数；
若两个点关于y 轴对称，则它们的纵坐标相同，横坐标互为相反数；
若两个点关于原点对称，则它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数；
☆一次函数y=kx+b （k ≠0）中k 、b 的意义：
k(称为斜率)表示直线y=kx+b （k ≠0） 的倾斜程度；
b （称为截距）表示直线y=kx+b （k ≠0）与y 轴交点的 ，也表示直线在y 轴上的 。
☆同一平面内，不重合的两直线 y=k 1x+b 1（k 1≠0）与 y=k 2x+b 2（k 2≠0）的位置关系：
当 时，两直线平行。当 时，两直线垂直。
当 时，两直线相交。当 时，两直线交于y 轴上同一点。 ☆特殊直线方程：
X 轴 : 直线 Y 轴 : 直线
与X轴平行的直线与Y轴平行的直线
一、三象限角平分线二、四象限角平分线
待定系数法求解析式
方法：依据两个独立的条件确定k,b的值，即可求解出一次函数y=kx+b（k≠0）的解析式。
☆已知是直线或一次函数可以设y=kx+b（k≠0）；
☆若点在直线上，则可以将点的坐标代入解析式构建方程。
平移
方法：直线y=kx+b与y轴交点为（0，b），直线平移则直线上的点（0，b）也会同样的平移，平移不改变斜率k，则将平移后的点代入解析式求出b即可。
直线y=kx+b向左平移2向上平移3 <=> y=k(x+2)+b+3;（“左加右减，上加下减”）。
交点问题及直线围成的面积问题
方法：
两直线交点坐标必满足两直线解析式，求交点就是联立两直线解析式求方程组的解；
复杂图形“外补内割”即：往外补成规则图形，或分割成规则图形（三角形）；
往往选择坐标轴上的线段作为底，底所对的顶点的坐标确定高；
二次函数
I.定义与定义表达式
一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：
y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下, |a|还可以决定开口大小, |a|越大，则抛物线的开口越小。）则称y为x的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
II.二次函数的三种表达式
一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）
顶点式：y=a(x-h) 2+k [抛物线的顶点P（h，k）]
交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A（x?，0）和B （x?，0）的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系: h=-b/2a k=(4ac-b2)/4a x?,x?=(-b±√b2-4ac)/2a
III.二次函数的图像
在平面直角坐标系中做出二次函数y=x2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
IV.抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )
当-b/2a=0时，P在y轴上；当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。
当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h 个单位得到，
当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．
当h>0,k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2 +k的图象；
当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；
因此，研究抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像，通过配方，将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图像提供了方便．
2．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，
[4ac-b2]/4a)．
3．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)，若a>0，当x ≤-b/2a时，y随x 的增大而减小；当x ≥-b/2a时，y随x的增大而增大．若a<0，
当x ≤-b/2a时，y随x的增大而增大；当x ≥-b/2a时，y随x 的增大而减小．
4．抛物线y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点：
(1)图像与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
(2)当△=b2-4ac>0，图像与x轴交于两点A(x?，0)和B(x?，0)，其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0
(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x?-x?|
当△=0．图像与x轴只有一个交点；
当△<0．图像与x轴没有交点．
当a>0时，图像落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；当a<0时，图像落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．5．抛物线y=ax2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x= -b/2a 时，y最小(大)值=(4ac-b2)/4a．
顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．
6．用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图像经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为一般形式：y=ax2+bx+c(a≠0)．
(2)当题给条件为已知图像的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h) 2+k(a≠0)．
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0)．
7．二次函数知识很容易与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．
重要知识:(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下。IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大。)
二次函数表达式的右边通常为二次。x是自变量，y是x的二次函数。一元二次方程求根公式
当b2-4ac>0 时
当b2-4ac=0时
x1=x2=-b/2a
y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
[抛物线的顶点P(h，k) ]:y=a(x-h)2+k(a,h,k为常数,a≠0)
[仅限于与x轴有交点A(x1,0) 和B(x2,0) 的抛物
线]:y=a(x-x1)(x-x2)(a,x1,x2为常数,a≠0)
3种形式的转化∶
①一般式和顶点式
对于二次函数y=ax2+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a,(4ac-b2)/4a)，即h=-b/2a=(x1+x2)/2
k=(4ac-b2)/4a
②一般式和交点式
x1,x2=[-b±√(b2-4ac)]/2a(即一元二次方程求根公式)
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b/2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。
特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点P，坐标为P ( -b/2a ，(4ac-b2)/4a )
当-b/2a=0，〔即b=0〕时，P在y轴上;当Δ= b2-4ac=0时，P在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时，抛物线开口向上;当a<0时，抛物线开口向下。
|a|越大，则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即a b>0)，对称轴在y轴左;
当a与b异号时(即a b<0)，对称轴在y轴右。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0，c)
6.抛物线与x轴交点个数
Δ= b2-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点。
Δ= b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。
Δ= b2-4ac<0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数(x= -b ±√b2-4ac /2a乘上虚数i，整个式子除以2a)
当a>0时，函数在x= -b/2a处取得最小值f(-b/2a)=〔4ac-b2〕/4a;在{x|x<-b/2a}上是减函数，在{x|x>-b/2a}上是增函数;抛物线的开口向上;函数的值域是{y|y≥4ac-b2/4a}相反不变
当b=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数，解析式变形为y=ax2+c(a≠0)
7.定义域:R
值域:(对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断)①[(4ac-b2)/4a，正无穷);②[k，正无穷)
8.奇偶性:非奇非偶(当且仅当b=0时，函数解析式为f(x)=ax2+c, 此时为偶函数)
周期性:无
解析式:
①y=ax2+bx+c[一般式]
⑴a≠0，a、b、c为常数。
⑵a>0，则抛物线开口朝上;a<0，则抛物线开口朝下;
⑶极值点:(-b/2a，(4ac-b2)/4a);
⑷Δ=b-4ac,
Δ>0，图象与x轴交于两点:([-b+√Δ]/2a，0)和([-b-√Δ]/2a，0); Δ=0，图象与x轴交于一点:(-b/2a，0);
Δ<0，图象与x轴无交点;
②y=a(x-h)2+k[配方式]
此时，对应极值点为(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b2)/4a;
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax2+bx+c(a≠0)，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，
即ax2+bx+c=0(a≠0)
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
反比例函数
1. 定义：一般地，形如x k y =（k 为常数，o k ≠）的函数称为反比例函数。x k y =还可以写成kx y =1-
2. 反比例函数解析式的特征：
⑴等号左边是函数y ，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数k （也叫做比例系数k ），分母中含有自变量x ，且指数为1. ⑵比例系数0≠k
⑶自变量x 的取值为一切非零实数。
⑷函数y 的取值是一切非零实数。
3. 反比例函数的图像
⑴图像的画法：描点法
① 列表（应以O 为中心，沿O 的两边分别取三对或以上互为相反的数）
② 描点（有小到大的顺序）
③ 连线（从左到右光滑的曲线） ⑵反比例函数的图像是双曲线，x k y =（k 为常数，0≠k ）
中自变量0≠x ，函数值0≠y ，所以双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。
⑶反比例函数的图像是是轴对称图形（对称轴是x y =或x y -=）。 ⑷反比例函数x k y =（0≠k ）中比例系数k 的几何意义是：过双曲线x
k y = （0≠k ）上任意引x 轴y 轴的垂线，所得矩形面积为k 。
4．反比例函数性质如下表：
5. 反比例函数解析式的确定：利用待定系数法（只需一对对应值或图像上一个点的坐标即可求出k ）
6．“反比例关系”与“反比例函数”：成反比例的关系式不一定是反比例函数,但是反比例函数k y =中的两个变量必成反比例关系。
10. 反比例函数的应用
对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为．底．N 的对数，记作：N x a log =（a ——底数，N — 真数，N a log — 对
数式）
说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
○
2 x N N a a x =?=log ； ○
3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：
○
1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○
2 自然对数：以无理数Λ71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化
幂值 真数
＝ b 指数 对数
（二）对数的运算性质
如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○
1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○
2 =N
M a log M a log －N a log ； ○
3 n a M log n =M a log )(R n ∈． 注意：换底公式
a b b c c a log log log = （0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论
（1）b m n b a n a m log log =；（2）a
b b a log 1log =．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其
中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
○
2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 2、对数函数的性质：
对数函数的一般形式为 ，它实际上就是指数函数的反函数。因此指数函数里对于a 的规定，同样适用于对数函数。
右图给出对于不同大小a 所表示的函数图形：
可以看到对数函数的图形只不过的指数函数的图形的关于直线y=x 的对称图形，因为它们互为反函数。
（1）对数函数的定义域为大于0的实数集合。
（2）对数函数的值域为全部实数集合。
（3）函数总是通过（1，0）这点。
（4）a 大于1时，为单调递增函数，并且上凸；a 小于1大于0时，函数为单调递减函数，并且下凹。
（5）显然对数函数无界。 指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，??
?<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m
)1,,,0(11
*>∈>==-n N n m a a a a n m n m
n m
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）r a ·s r r a a += ),,0(R s r a ∈>；
（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；
（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，
其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．2、指数函数的图像和性质
注意：利用函数的单调性，结合图像还可以看出：
（1）在[a，b]上，)1
)x(f x≠
a
a(
a
=且值域是)]b(f),a(f[或)]a(f),b(f[；
>
（2）若0
x∈；
x≠，则1
)x(f≠；)x(f取遍所有正数当且仅当R
（3）对于指数函数)1
a
a(
)x(f x≠
a
=且，总有a
>
)1(f=；
指数函数的一般形式为，从上面我们对于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整个实数集合为定义域，则只有使得不同大小影响函数图形的情况。
可以看到：
（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。
（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。
（3）函数图形都是下凹的。
（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。
（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。
（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,永不相交。
（7）函数总是通过（0，1）这点。
（8）显然指数函数无界。
函数奇偶性
注图：（1）为奇函数（2）为偶函数
1．定义
一般地，对于函数f(x)
（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f(-x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。