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高考数学一轮复习第七章不等式7-2二元一次不等式组与简单的线性规划问题学案理

【2019最新】精选高考数学一轮复习第七章不等式7-2二元一次不等式

组与简单的线性规划问题学案理

考纲展示? 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组．

2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组．3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决．

考点1 二元一次不等式(组)表示平面区域

二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，在平面直角坐标系中，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0表示直线Ax

＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)________边界直线，把边界直线画成虚线；不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)________边界直线，

把边界直线画成实线．(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相

同，也就是位于同一半平面的点，如果其坐标满足Ax＋By＋C＞0，则位于另一个半

平面内的点，其坐标满足________．(3)可在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧任取一点，一般取特殊点(x0，y0)，从Ax0

＋By0＋C的________就可以判断Ax＋By＋C>0(或Ax＋By＋C<0)所表示的区域．(4)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平

面区域的________．答案：(1)不包括包括(2)Ax＋By＋C＜0 (3)符号(4)公共部分

(1)[教材习题改编]不等式组表示的平面区域是( )

A B

C D

答案：C

(2)[教材习题改编]已知x，y满足则z＝－3x＋y的最小值为________．

答案：0

不等式表示平面区域的易错点：方程Ax ＋By ＋C ＝0中Ax ＋By ＋C 的符号与不等

式表示的平面区域的关系．

(1)不等式2x －y －3＞0表示的平面区域是________．答案：直线2x －y －3＝0的右下方(不包括边界)

解析：将原点(0,0)代入2x －y －3，得2×0－0－3＝－3＜0，所以不等式2x －

y －3＞0表示直线2x －y －3＝0的右下方(不包括边界)，如图所示． (2)不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域是________．答案：直线x －2y ＋1＝0与x ＋y －3＝0之间的上、下两部分(包括边界)

解析：原不等式等价于

x －2y ＋1≥0，

x ＋y －3≤0或?

x －2y ＋1≤0，

x ＋y －3≥0.

在平面直角坐标系中作出不等式组和所表示的平面区域．

故不等式(x －2y ＋1)(x ＋y －3)≤0表示的平面区域如图中的阴影部分所示． [典题1] (1)[2017·山东青岛月考]若实数x ，y 满足不等式组则该约束条件所

围成的平面区域的面积是( )

A ．3 B. C ．2

D ．2

[答案] C

[解析]

因为直线x －y ＝－1与x ＋y ＝1互相垂直，所以如图所示的可行域为直角三角

形，

易得A(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，

故|AB|＝，|AC|＝2，其面积为×|AB|×|AC|＝2. (2)若不等式组表示的平面区域

为三角形，且其面积等于，则m 的值为( )

A ．－3

B ．1 C.

D ．3

[答案] B

[解析] 如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m ＜2，则m ＞－

由解得?

x ＝1－m ，

y ＝1＋m ，

即A(1－m,1＋m)．

由解得?????

x ＝23－43

m ，y ＝23＋2

3m ，

即B ，

所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC

＝(2＋2m)(1＋m)－(2＋2m)·(1＋m)

＝(1＋m)2＝，

解得m ＝－3(舍去)或m ＝1.故选B.

[点石成金] 确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法

(1)“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代入不等式(组)．若满足不等式(组)，则不等式(组)表示的平面区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；

否则就对应与特殊点异侧的平面区域．

(2)当不等式中带等号时，边界应画成实线；不带等号时，边界应画成虚线，特

殊点常取原点．

考点2 求目标函数的最值

(1)[教材习题改编]已知变量x ，y 满足约束条件则z ＝3x ＋y 的最大值为

________．答案：11

解析：由约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，

解方程组得即A(3,2)．

当直线y ＝－3x ＋z 经过点(3,2)时，z 取得最大值，即zmax ＝3×3＋2＝11. (2)[教材习题改编]投资生产A 产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米；投资生产B 产品时，每生产100吨需要资金300万元，需场地100平方米．现某单位可使用资金1 400万元，场地900平方米，则上述要求可用不等式组

表示为________．(用x ，y 分别表示生产A ，B 产品的吨数)

答案：????? 2x ＋3y≤1 400，

2x ＋y≤900，

x≥0，

y≥0

解析：生产A 产品x 吨，生产B 产品y 吨，

则有?????

2x ＋3y≤1 400，2x ＋y≤900，x≥0，

y≥0.

[考情聚焦] 线性规划问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自

然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致．

主要有以下几个命题角度：

角度一

转化为截距(形如z ＝ax ＋by)

[典题2] [2017·山东荣成六中高三月考]若变量x ，y 满足条件则z ＝x ＋y 的

最大值是( )

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0

[答案] A

[解析] 可行域为一个三角形ABC 及其内部，其中A(1,0)，B(3,0)，C(－1,1)，

所以直线z ＝x ＋y 过点B 时取最大值3，故选A.

角度二

转化为距离[形如z ＝(x －a)2＋(y －b)2或z ＝|Ax ＋By ＋c|]

[典题3] [2017·河南开封模拟]设变量x ，y 满足约束条件则目标函数z ＝x2＋

y2的取值范围为( )

A ．[2,8]

B ．[4,13]

C ．[2,13]

D.????

2，13 [答案] C

[解析] 作出可行域，如图中阴影部分所示，

将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方，

从而可得zmin ＝|OA|2＝2＝2，

zmax ＝|OB|2＝32＋22＝13. 故z 的取值范围为[2,13]．

角度三

转化为斜率?

???

??形如z ＝ay ＋b

cx ＋d

[典题4] [2015·新课标全国卷Ⅰ]若x ，y 满足约束条件则的最大值为

________． [答案] 3

[解析]

画出可行域如图中阴影部分所示，

∵表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，

∴点(x，y)在点A处时最大．

由得∴ A(1,3)．

∴的最大值为3.

角度四

线性规划中的参数问题[典题5] (1)[2015·山东卷]已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为

4，则a＝( )

B．2

A．3

D．－3

C．－2

[答案] B

[解析] 画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，

若z＝ax＋y的最大值为4，则最优解为x＝1，y＝1或x＝2，y＝0，经检验知，

x＝2，y＝0符合题意，∴2a＋0＝4，此时a＝2，故选B.

(2)已知x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a

＝( )

B．2或1

A.或－1

D．2或－1

C．2或1

[答案] D

[解析] 由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，

可知A(0,2)，B(2,0)，C(－2，－2)，

则zA＝2，zB＝－2a，zC＝2a－2，

要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，

只要zA＝zB>zC或zA＝zC>zB或zB＝zC>zA，

解得a＝－1或a＝2.

[点石成金] 1.求目标函数最值的三个步骤(1)作图——画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系

中过原点的那一条直线l.

(2)平移——将l平行移动，以确定最优解的对应点的位置．

(3)求值——解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目标函数，即可求出最

值．

2．常见的三类目标函数

(1)截距型：形如z＝ax＋by.

求这类目标函数的最值常将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－x＋，通

过求直线的截距的最值间接求出z的最值．

(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.

(3)斜率型：形如z＝.

[提醒] 注意转化的等价性及几何意义．

考点3 线性规划的实际应用

[典题6] [2016·新课标全国卷Ⅰ]某高科技企业生产产品A和产品B需要

甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之

和的最大值为________元．

[答案] 216 000 [解析] 由题意，设产品A生产x件，产品B生产y件，利润z＝2 100x＋900y，线性约束条件为作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，又由x∈N，y∈N，可知取得最大值时的最优解为(60,100)，所以zmax＝2 100×60

＋900×100＝216 000(元)．

[点石成金] 1.解线性规划应用题的三个步骤(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划

问题．

(2)求解——解这个纯数学的线性规划问题．

(3)作答——将数学问题的答案还原为实际问题的答案．

2．求解线性规划应用题的三个注意点

(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号．

(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意

分析x，y是否是整数、是否是非负数等．

(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式.

某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客

量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为( )

B．36 000元

A．31 200元

D．38 400元

C．36 800元

答案：C

解析：设租用A型车x辆，B型车y辆，

目标函数为z＝1 600x＋2 400y，则约束条件为

?????

36x ＋60y≥900，y －x≤7，y ＋x≤21，x ，y∈N，

作出可行域，如图中阴影部分所示，

可知目标函数过点(5,12)时，有最小值zmin ＝36 800(元).

[方法技巧] 1.解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关系，最好列成表格，然后用字母表示变量，列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划

问题．

2．点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax ＋By ＋C ＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0；位于直线Ax ＋By ＋C ＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1

＋C)(Ax2＋By2＋C)>0.

[易错防范] 1.在画平面区域时，要注意实虚线．

2．在通过求直线的截距的最值间接求出z 的最值时，要注意：当b>0时，截距取最大值时，z 也取最大值，截距取最小值时，z 也取最小值；当b<0时，截距取最

大值时，z 取最小值，截距取最小值时，z 取最大值．

真题演练集训

1．[2016·山东卷]若变量x ，y 满足则x2＋y2的最大值是( )

A ．4

B ．9

C ．10

D ．12

答案：C

解析：作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，

设P(x ，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|OP|2.显然，当点P 与点A

重合时，x2＋y2取得最大值，

由???

x ＋y ＝2，2x －3y ＝9，

解得故A(3，－1)．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.故选C.

2．[2016·北京卷]若x ，y 满足则2x ＋y 的最大值为( ) A ．0 B ．3 C ．4

D ．5

答案：C

解析：不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，

由解得故当目标函数z ＝2x ＋y 经过点A(1,2)时，z 取得最大值，zmax ＝2×1＋

2＝4.故选C.

3．[2015·陕西卷]某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可

获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )

A.12万元 C ．17万元

D ．18万元

答案：D

解析：

设每天生产甲、乙产品分别为x 吨、y 吨，每天所获利润为z 万元，则有

????

3x ＋2y≤12，x ＋2y≤8，x≥0，y≥0，

目标函数为z ＝3x ＋4y ，作出可行域如图中阴影部分所示，由图形

可知，当直线z ＝3x ＋4y 经过点A(2,3)时，z 取最大值，最大值为3×2＋4×3＝18(万

元)．

4．[2014·新课标全国卷Ⅰ]不等式组的解集记为D ，有下面四个命题：

p1：?(x ，y)∈D，x ＋2y≥－2； p2：?(x ，y)∈D，x ＋2y≥2； p3：?(x ，y)∈D，x ＋2y≤3； p4：?(x ，y)∈D，x ＋2y≤－1.

其中的真命题是( )

A ．p2，p3

B ．p1，p4

C ．p1，p2

D ．p1，p3

答案：C

解析：作出不等式组表示的可行域，如图中阴影部分所示．

由得交点A(2，－1)．目标函数的斜率k ＝－>－1，

观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最

小值0.结合题意知p1，p2正确．

5．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若x ，y 满足约束条件则z ＝x ＋y 的最大值为

________．答案：3

解析：约束条件对应的平面区域是以点，(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，

当目标函数y ＝－x ＋z 经过点时，z 取得最大值.

课外拓展阅读

非线性目标函数最值的求解

类型1 斜率型非线性规划问题的最值(值域)

目标函数形式一般为z＝(ac≠0)，求解步骤为(1)需先弄清其几何意义，z＝·表示的是可行域内的点(x，y)与点所连直线的斜

率的倍．

(2)数形结合，确定定点，观察可行域的范围．

(3)确定可行域内的点(x，y)，看(x，y)取何值时，斜率最大(注意若可行域不含

边界点，有可能取不到最大值)；(x，y)取何值时，斜率最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形或四边形的边界交点处取得最值．[典例1] 已知变量x，y满足约束条件则f(x，y)＝的取值范围是________．

[思路分析]

[解析]

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，

f(x，y)＝x＋2y

2x＋y

＝.

令＝k，则g(k)＝＝2－.

而k＝表示可行域内的点P(x，y)与坐标原点O的连线的斜率，观察图形可知，

kOA≤k≤kOB，

而kOA＝＝，kOB＝＝3，

所以≤k≤3，

即≤f(x，y)≤.

[答案] ????

57，75 类型2 距离型非线性规划问题的最值(值域)

1．目标函数形式为z ＝(x －a)2＋(y －b)2时，求解步骤为： (1)其表示的是可行域内的点(x ，y)与点(a ，b)之间的距离的平方．

(2)数形结合，确定定点(a ，b)，观察可行域的范围．

(3)确定可行域内的点(x ，y)，看(x ，y)取何值时，距离最大(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最大值)；(x ，y)取何值时，距离最小(注意若可行域不含边界点，有可能取不到最小值)；通常在三角形、四边形的边界交点处或定点(a ，b)到可

行域边界直线的垂足处取得．

2．目标函数形如z ＝|Ax ＋By ＋C|时，一般步骤为：

(1)将z ＝|Ax ＋By ＋C|＝·，问题转化为求可行域内的点(x ，y)到直线Ax ＋By ＋

C ＝0的距离的倍的最值．

(2)确定可行域，通过数形结合的方法求出所求的最值．

[典例2] 设x ，y 满足约束条件则z ＝(x ＋1)2＋y2的最大值为( )

A ．80

B ．4

5 C ．25

D.17

[思路分析]

作出可行域

→→数形结合，求得z 的最大值

[解析] 作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

(x ＋1)2＋y2可看作点(x ，y)到点P(－1,0)的距离的平方，由图可知，可行域内

的点A 到点P(－1,0)的距离最大．解方程组得点A 的坐标为(3,8)，

代入z ＝(x ＋1)2＋y2，得zmax ＝(3＋1)2＋82＝80.

[答案] A

[典例3]实数x，y满足不等式组则z＝|x＋2y－4|的最大值为________．

[思路分析] [解析] 解法一：作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．

z＝|x＋2y－4|＝·，即其几何意义为阴影区域内的点到直线x＋2y－4＝0的距离的倍．

由得点B的坐标为(7,9)，

显然点B到直线x＋2y－4＝0的距离最大，

此时zmax＝21.

解法二：由图可知，阴影区域内的点都在直线x＋2y－4＝0的上方，显然此时有

x＋2y－4>0，于是目标函数等价于z＝x＋2y－4，即转化为简单的线性规划问题，显

然当直线经过点B时，目标函数取得最大值，zmax＝21.

[答案] 21

技巧点拨

解决这类问题时，需充分把握好目标函数的几何意义，在几何意义的基础上加以

处理．

二元二次方程组-解法-例题

二元二次方程的解法二次方程组的基本思想和方法方程组的基本思想是“转化”，这种转化包含“消元”和“降次”将二元转化为一元是消元，将二次转化为一次是降次，这是转化的基本方法。因法和技巧是解二元二次方程组的关键。型是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组；“二·二”型是由两个二元二次方程组成的方程组。程组的解法元法（即代入法）二·一”型方程组的一般方法，具体步骤是：次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；元二次方程，求得一个未知数的值；的这个未知数的值代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；如果代入二元二次方程求另一个未知数，就会出现“增解”的问题；个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解。与系数的关系二元二次方程组中形如的方程组，可以根据一元二次方程根与系数的关系，把x、y看做一根，解这个方程，求得的z1和z2的值，就是x、y的值。当x1=z1时，y1=z2；当x2=z2时，y2=z1，所以原方程组的解是两组“对称解”。注意二·一”型方程组的一种特殊方法，它适用于解“和积形式”的方程组。比较常用的解法。除此之外，还有加减消元法、分解降次法、换元法等，解题时要注意分析方程的结构特征，灵活选用恰当的方法。解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组。（2）要防止漏解和增解的错误。

程组的解法中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二型方程组，所得的解都是原方程组的解。中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程的解。方程组最多有两个解，“二·二”型方程组最多有四个解，解方程组时，即不要漏解，也不要增解。析：例1．解方程组观察这个方程组，不难发现，此方程组除可用代入法解外，还可用根与系数的关系，通过构造一个以x, y为根的一元二次方程来求解。 1)得y=8-x..............(3) 把(3)代入(2)，整理得x2-8x+12=0. 解得x1=2, x2=6. (3)，得y1=6. 把x2=6代入(3)，得y2=2. 所以原方程组的解是。

二元一次方程组计算题50道(答案)

.. 中考真题 50 道中考真题之《二元一次方程组计算题》 -----专项练习50题（有答案） 1．（2012?德州）已知，则a+b 等于（） A. 3 B C. 2 D. 1 2．（2012菏泽）已知???==1 2 y x 是二元一次方程组81mx ny nx my +=??-=?的解，则n m -2的算术平方根为（） A ．±2 B ． 2 C ．2 D ． 4 3．（2012临沂）关于x 、y 的方程组3, x y m x my n -=?? +=?的解是1,1,x y =??=? 则m n -的值是（） A ．5 B ．3 C ．2 D ．1 4．（2012?杭州）已知关于x ，y 的方程组，其中﹣3≤a ≤1，给出下列结论： ①是方程组的解； ②当a=﹣2时，x ，y 的值互为相反数； ③当a=1时，方程组的解也是方程x+y=4﹣a 的解； ④若x ≤1，则1≤y ≤4．其中正确的是（） A ．①② B ．②③ C ．②③④ D ．①③④ 5. （2012广东湛江）请写出一个二元一次方程组，使它的解是． 6．（2012广东）若x ，y 为实数，且满足|x ﹣3|+ =0，则（）2012的值是 1 ．

7．（2012安顺）以方程组的解为坐标的点（x ，y ）在第象限． 8．(2012?连云港)方程组的解为． 9.（2012?广州）解方程组． 10．（2012广东）解方程组：． 11.（2012?黔东南州）解方程组． 12、（2012湖南常德）解方程组：???==+1-25y x y x 13. （2011湖南益阳，2，4分）二元一次方程21-=x y 有无数多个解，下列四组值中不是．．该方程的解的是 A ．0 12 x y =???=-?? B ．11x y =??=? C ．1 0x y =??=? D ．11x y =-??=-? 14. （2011四川凉山州，3，4分）下列方程组中是二元一次方程组的是（） A ．12xy x y =??+=? B ． 523 13x y y x -=???+=?? C ． 20 135x z x y +=?? ? -=?? D ．5723 z x y =???+=?? 15. （2011广东肇庆，4，3分）方程组?? ?=+=-4 22 y x y x 的解是 ① ②

(完整版)一元二次不等式的经典例题及详解

一元二次不等式专题练习例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ．例2 解下列分式不等式：（1） 2 2 123+-≤-x x （2） 1 2 731 422<+-+-x x x x 例3 解不等式242+<-x x 例4 解不等式 04125 622<-++-x x x x ．例5 解不等式x x x x x <-+-+2 2232 2．例6 设R m ∈，解关于x 的不等式03222<-+mx x m ．例7 解关于x 的不等式)0(122>->-a x a ax ．例8 解不等式331042<--x x ．例9 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．例10 已知不等式02 >++c bx ax 的解集是 {})0(><<αβαx x ．求不等式 02>++a bx cx 的解集．例11 若不等式 1 12 2+--<++-x x b x x x a x 的解为)1()31 (∞+-∞，，Y ，求a 、b 的值．例12不等式022<-+bx ax 的解集为{}21<<-x x ，求a 与b 的值．例13解关于x 的不等式01)1(2<++-x a ax ．例14 解不等式x x x ->--81032．

例1解：（1）原不等式可化为 0)3)(52(>-+x x x 把方程0)3)(52(=-+x x x 的三个根3 ,2 5 ,0321 =-==x x x 顺次标上数轴．然后从右上开始画线顺次经过三个根，其解集如下图的阴影部分． ∴原不等式解集为? ?????><<-3025x x x 或（2）原不等式等价于 ?? ?>-<-≠????>-+≠+?>-++2450)2)(4(0 50 )2()5)(4(32x x x x x x x x x 或 ∴原不等式解集为{} 2455>-<<--

如何解一元二次不等式

如何解一元二次不等式，例如：x?2+2x+3≥0. 请大家写出解题过程和思路解：对于高中“解一元二次不等式”这一块，通常有以下两种解决办法： ①运用“分类讨论”解题思想； ②运用“数形结合”解题思想。以下分别详细探讨。例1、解不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0。解法①：原不等式可化为： (x -- 4) (x + 2) ≥ 0。两部分的乘积大于等于零，等价于以下两个不等式组：（1）x -- 4 ≥ 0 或（2）x -- 4 ≤ 0 x + 2 ≥ 0 x + 2 ≤ 0 解不等式组(1)得：x ≥ 4（因为x ≥ 4 一定满足x ≥ -- 2，此为“同大取大”）解不等式组(2)得：x ≤ -- 2（因为x ≤ --2 一定满足x ≤ 4，此为“同小取小”） ∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。其解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。解法②：原不等式可化为： [ (x2 -- 2x + 1) -- 1 ] -- 8 ≥ 0。 ∴(x -- 1)2 ≥ 9 ∴x -- 1 ≥ 3 或x -- 1 ≤ -- 3 ∴x ≥ 4 或x ≤ -- 2。 ∴原不等式的解集为：( -- ∞，-- 2 ] ∪[ 4，+ ∞）。解法③：如果不等式的左边不便于因式分解、不便于配方，

那就用一元二次方程的求根公式进行左边因式分解，如本题，用求根公式求得方程x2 -- 2x -- 8 = 0 的两根为x1 = 4，x2 = -- 2，则原不等式可化为：(x -- 4) (x + 2) ≥ 0。下同解法①。体会：以上三种解法，都是死板板地去解；至于“分类讨论”法，有时虽麻烦，但清晰明了。下面看“数形结合”法。解法④：在平面直角坐标系内，函数f(x) = x2 -- 2x -- 8 的图像开口向上、与x 轴的两交点分别为(-- 2，0) 和(4，0)，显然，当自变量的取值范围为x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，图像在x 轴的上方；当自变量的取值范围为-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方。 ∴当x ≥ 4 或x ≤ -- 2 时，x2 -- 2x -- 8 ≥ 0，即：不等式x2 -- 2x -- 8 ≥ 0的解为：x ≥ 4 或x ≤ -- 2。顺便说一下，当-- 2 ≤ x ≤ 4 时，图像在x 轴的下方，即：x2 -- 2x -- 8 ≤ 0，∴不等式x2 -- 2x -- 8 ≤ 0 的解为：-- 2 ≤ x ≤ 4 。其解集为：[ -- 2，4 ]。领悟：对于ax2 + bx + c ＞0 型的二次不等式，其解为“大于大根或小于小根”；对于ax2 + bx + c ＜0 型的二次不等式，其解为“大于小根且小于大根”。例2、解不等式x2 + 2x + 3 ＞0。在实数范围内左边无法进行因式分解。配方得：(x + 1)2 + 2 ＞0。无论x 取任何实数，(x + 1)2 + 2 均大于零。 ∴该不等式的解集为x ∈R。用“数形结合”考虑， ∵方程x2 + 2x + 3 = 0的根的判别式△＜0， ∴函数f(x) = x2 + 2x + 3 的图像与x 轴无交点且开口向上。即：无论自变量x取任意实数时，图像恒位于x 轴的上方。 ∴不等式x2 + 2x + 3 ＞0的解集为x ∈R。

初中不等式与不等式组超经典复习

第九章不等式与不等式组第一节、知识梳理一、学习目标 1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义. 2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式. 3.会用数轴表示出不等式的解集. 二、知识概要 1.不等式：一般地，用不等号“＞”、“＜”表示不等关系的式子叫做不等式. 2.不等式的解：一般地，在含有未知数的不等式中，能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解. 3.不等式的解集：一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称之为此不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式. 5.不等式的性质：性质一：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变. 性质二：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 性质三：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 6.三角形中任意两边之差小于第三边. 三、重点难点重点是不等式的基本性质及其应用，难点是不等式和不等式解集的理解. 四、知识链接本周知识由以前学过的比较大小拓展而来，又为解决实际问题提供了一个解题的工具，并为以后学的不等式组打下基础. 五、中考视点不等式也是经常考到的内容，经常出现在选择题、填空题中，以解不等式为主.有时在一些解答题中也要用到不等式，利用不等关系求范围等.

1. 常用的不等号有哪些？常用的不等号有五种，其读法和意义是：（1）“≠”读作“不等于”，它说明两个量是不相等的，但不能明确哪个大哪个小. （2）“＞”读作“大于”，表示其左边的量比右边的量大. （3）“＜”读作“小于”，表示其左边的量比右边的量小. （4）“≥”读作“大于或等于”，即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量. （5）“≤”读作“小于或等于”，即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量. 2. 如何恰当地列不等式表示不等关系？（1）找准题中不等关系的两个量，并用代数式表示. （2）正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过、非负数、至多、至少等的确切含义. （3）选用与题意符合的不等号将表示不等关系的两个量的代数式连接起来. 根据下列关系列不等式：a的2倍与b的的和不大于3.前者用代数式表示是2a+ b.“不大于”就是“小于或等于”. 列不等式为：2a+b≤3. 3. 用数轴表示不等式注意什么？用数轴表示不等式要注意两点：一是边界；二是方向.若边界点在范围内则用实心点表示，若边界点不在范围内，则用空心圆圈表示；方向是对于边界点而言，大于向右画，而小于则向左画. 在同一个数轴上表示下列两个不等式：x＞-3；x≤2.

2015高考数学一轮题组训练：7-2一元二次不等式及其解法

第2讲一元二次不等式及其解法基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(?R P )∩Q ＝________. 解析依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(?R P )∩Q ＝(2,3]．答案 (2,3] 2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4. 答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞) 3．(2013·南通二模)已知f (x )＝????? x 2 ，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )2，因此x <0. 综上，f (x )

二元一次不等式(组)和平面区域讲课教案

§3.3.1二元一次不等式（组）与平面区域董燕【教学目标】 1．知识与技能：了解二元一次不等式（组）的相关概念，并能画出二元一次不等式（组）来表示的平面区域. 2．过程与方法：经历把实际问题抽象为数学问题的过程，体会集合、化归、数形结合的数学思想； 3．情态与价值：结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新。【教学重点】从实际问题中抽象出二元一次不等式（组），会画二元一次不等式（组）表示的平面区域。【教学难点】如何确定不等式0( Ax By C ++>或<0)表示0 Ax By C ++=的哪一侧区域. 【教学过程】一．创设情境，引出问题在现实生活中，许多问题都可以用数学知识来解决。数学里有相等的关系，也有各种不同的不等关系，这就需要用不同的数学模型来刻画和研究它们。前面我们学习了一元二次不等式及其解法，本节课我们将学习另一种新的不等关系，即二元一次不等式（组）及它的解集。（板书课题）现看一个实际例子：一家银行的信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔贷款资金至少可以带来30000元的效益，其中从企业贷款中获益12％，从个人贷款中获益10％，那么，信贷部应该如何分配资金？问题1：如果你是信贷部的主管，你该如何分配资金？教师引导,问题分解：1.题目中存在不等关系，该用什么模型刻画资金的分配问题？ 2.把题目中的不等关系表示出来，你打算从哪里入手？ 3.如何将文字语言转化为数学语言，列出不等式？把实际问题转化数学问题：设用于企业贷款的资金为x元，用于个人贷款的资金为y元。（把文字语言转化符号语言）（资金总数为25 000 000元）?25000000 x y +≤ （1）（预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30 000元以上）?(12%)x+(10%)y30000 ≥即12103000000 x y +≥ （2）（用于企业和个人贷款的资金数额都不能是负值）?0,0 x y ≥≥ （3）将（1）（2）（3）合在一起，得到分配资金应满足的条件： 25000000 12103000000 0,0 x y x y x y +≤ ? ? +≥ ? ?≥≥ ? 二．新课解读（一）.二元一次不等式和二元一次不等式组的定义: 问题2：你能试着给二元一次不等式和二元一次不等式组下定义吗？教师引导，类比于一元一次不等式（组）和二元一次不等式（组）的定义。（1）二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是1的不等式叫做二元一次不等式。（2）二元一次不等式组：有几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组。（二）.二元一次不等式和二元一次不等式组的解集: 1．二元一次不等式的解集是满足二元一次不等式的有序实数对（x，y）构成的集合。也就是直角坐标系内的点构成的集合。 2. 二元一次不等式组的解集：是每个二元一次不等式解集的交集。（三）二元一次不等式（组）解集的表示方法: 1.回忆：在数轴上一元一次不等式（组）的解集怎么表示呢？是数轴上的区间。 2.探究: 问题3：在直角坐标系内，二元一次不等式（组）的解集表示什么图形？教师引导：有序数对（x，y）可以看作平面直角坐标系内的点，而二元一次不等式的解集有点的坐标构成，这些点又构成什么图形呢？

3.3一元二次不等式(组)与简单线性规划问题

3． 3．1二元一次不等式（组）与平面区域．【教学目标】 1．了解二元一次不等式（组）这一数学模型产生的实际背景。 2．理解二元一次不等式的几何意义 3．会判定或正确画出给定的二元不一次等式（组）所表示的点集合【教学重难点】教学重点：1. 理解二元一次不等式（组）的几何意义； 2. 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法教学难点：1 把实际问题抽象化，用二元一次不等式（组）表示平面区域。 2 掌握不等式（组）确定平面区域的一般方法【教学过程】一、设置情境，引入新课一家银行信贷部计划年初投入25000000元用于企业和个人贷款，希望这笔资金至少可以带来30000元的收益，其中从企业贷款中获益12%，从个人贷款中获益10%，那么信贷部如何分配资金呢？问题1.那么信贷部如何分配资金呢？问题2.用什么不等式模型来刻画它们呢？二、合作探究，得出概念（1）设用于企业资金贷款的资金为x 元，用于个人贷款的资金y 元，由于资金总数为25000000元，得到 25000000≤+y x ① 由于预计企业贷款创收12%，个人贷款创收10%，共创收30000元以上，所以 ()()30000%10%12≥+y x 即30000001012≥+y x 。 ② 最后考虑到用于企业贷款和个人贷款的资金数额都不能是负值，于是0,0≥≥y x ③ 将①②③合在一起，得到分配资金应该满足的条件：???? ???≥≥≥+≤+0 0300000101225000000y x y x y x 二元一次不等式组：二元一次不等式（组）的解集的意义：（2）二元一次不等式（组）的几何意义研究：二元一次不等式6<-y x 表示的图形 ①边界的概念 ②二元一次不等式（组）的几何意义，画法要求 ③判定方法（1）特殊点法（2）公式法三、典型例题例题1画出不等式2x +y －6＜0表示的平面区域。解：先画直线2x +y －6＝0（画成虚线）。取原点（0，0），代入2x +y －6，∵2×0+0－6＝－6＜0，

《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固(基础)知识讲解

《不等式与一次不等式组》全章复习与巩固（基础）知识讲解【知识网络】【要点梳理】要点一、不等式 1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式. 要点诠释：（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. （2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如x a >，x a ≤等；另一种是用数轴表示，如下图所示：（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式． 2. 不等式的性质：不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)．不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)．要点二、一元一次不等式 1.定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式． 2.解法：解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定

边界点，二是定方向，三是定空实. 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；（2）设：设出适当的未知数；（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于” “至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；（4）列：根据题中的不等关系，列出不等式；（5）解：解出所列的不等式的解集；（6）答：检验是否符合题意，写出答案. 要点诠释：列一元一次不等式解应用题时，经常用到“合算”、“至少”、“不足”、“不超过”、“不大于”、“不小于”等表示不等关系的关键词语，弄清它们的含义是列不等式解决问题的关键. 要点三、一元一次不等式组关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组. 要点诠释：（1）不等式组的解集：不等式组中各个不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集. （2）解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组. （3）一元一次不等式组的解法：分别解出各不等式，把解集表示在数轴上，取所有解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集. （4）一元一次不等式组的应用：①根据题意构建不等式组，解这个不等式组；②由不等式组的解集及实际意义确定问题的答案．【典型例题】类型一、不等式 1.用适当的符号语言表达下列关系.。（1）a与5的和是正数. （2）b与-5的差不是正数. （3）x的2倍大于x. （4）2x与1的和小于零. （5）a的2倍与4的差不少于5. 【答案与解析】解：（1）a+5>0；（2）b-（-5）≤0；（3）2x>x；（4）2x+1<0；（5）2a-4≥5. 【总结升华】正确运用不等符号翻译表述一些数学描述是学好不等式的关键，要关注一些常见的描述语言，如此处：不是、不少于、不大于…… 2.用适当的符号填空：（1）如果a

2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1

2019-2020年高中数学一元二次不等式组解法教案新人教A版必修1 一、学习目标 1.掌握一元二次不等式的解法步骤，能熟练地求出一元二次不等式的解集。 2.掌握一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系。二、例题第一阶梯例1什么是一元二次不等式的一般式？【解】一元二次不等式的一般式是： ax2+bx+c(a＞0)或ax2+bx+c＜0(a＞0) 【评注】 1.一元二次不等式的一般式中，严格要求a＞0，这与一元二次方程、二次函数只要求a≠0不同。 2.任何一元二次不等式经过变形都可以化成两种“一般式”之一，当a1＜0时，将不等式乘－1就化成了“a＞0”。例2、一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的联系是什么？【点拨】用函数的观点来回答。【解】二次不等式、二次方程和二次函数的联系是：设二次函数y=ax2+bx+c (a≠0)的图象是抛物线L，则不等式ax2+bx+c＞0，ax2+bx+c＜0的解集分别是抛物线L在x轴上方，在x轴下方的点的横坐标x的集合；二次方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线L与x轴的公共点的

横坐标。【评注】二次不等式、二次方程和二次函数的联系，通常称为“三个二次问题”，我们要深刻理解、牢牢掌握，并灵活地应用它。它是函数与方程思想的应用范例。应用这“三个二次”的关系，不但能直接得到“二次不等式的解集表”，而且还能解决“二次问题”的难题。例3请你自己设计一张好用的“一元二次不等式的解集表”。【解】一元二次不等式的解集表：【评注】 1.不要死记书上的解集表，要抓住对应的二次方程的“根”来活记活用。 2.二次方程的解集求法属于“根序法”（数轴标根）。例4、写出一元二次不等式的解法步骤。【解】一元二次不等式的解法步骤是： 1.化为一般式ax2+bx+c＞0 (a＞0)或ax2+bx+c＜0 (a＞0)。这步可简记为“使a＞0”。 2.计算△=b2－4ac，判别与求根：解对应的二次方程ax2+bx+c=0，判别根的三种情况，△≥0时求出根。

二元一次不等式(组)与简单线性规划问题教案

3.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课标要求与教材分析： 1．课标要求： ①从实际情境中抽象出二元一次不等式组。 ②了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 ③从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．教材分析：本单元包含两节，3.3.1主要内容是用平面区域表示二元一次不等式组的解集，3.3.2主要内容是从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。其中 3.3.1是解决二元线性规划问题的基础，应作为本单元的重点要求所有学生掌握。学情分析：在初中，学生已学过一元一次不等式组的的解法，学生普遍具有利用不等式组解决问题的思想，能熟练解一元一次不等式组及有关应用问题，这用利于学生理解列二元一次不等式组解实际问题。也有利于学生理解二元一次不等式组解法。在必修2中，学生已学习了直线方程的有关知识，多数学生能画出二元一次方程表示的直线，这有利于学生学习用平面区域表示二元一次不等式的解集，也有利于学生理解线性规划问题中最优解的确定方法。教案目标： 1．.知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。 2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想，数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标：通过解决线性规划实际问题，使学生体会数学在解决工作生活问题时巨大作用，增强学生学习的主动性通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。 3.3.1二元一次不等式(组)与平面区域教案目标: 1．知识与技能目标：了解二元一次不等式（组）、二元一次不等式的解和解集的概念。了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。 2．过程与方法目标：经历把实际问题抽象为数学问题以及类比一元一次不等式得出二元一次不等式的过程，体会类比的思想、数学建模的思想。 3．情感态度与价值观目标：通过探索二元一次不等式解集的过程，培养学生的探索方法与精神。教案重点与难点: 重点：求二元一次不等式表示的平面区域。难点：理解二元一次不等式解集的几何表示。教案方法与手段:

不等式与不等式组复习教案

《第九章不等式与不等式组 (复习)》教学预案（李鹏飞甘肃省嘉峪关市实验中学 735100）课题第九章不等式与不等式组（复习）授课时间2016年5月31日（星期二）下午第一节（3:00——3:40）授课学校嘉峪关市第六中学授课地点实验楼录播教室4309室授课班级七年级（9）班教材版本人教版七年级下册授课类型讲授式课时安排 2课时第一课时 (40分钟)教学方法启发、类比、转化、发现教学用具多媒体课件、导学案1、2. 一、课标解读：（1）结合具体问题，了解不等式的意义，探索不等式的基本性质. （2）能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集. （3）能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题. 二、教学理念在教学的建构中，我将努力执行新课程理念，以教师为主导，以学生为主体，充分调动学生的积极性，发挥学生的创造性和主观能动性，让学生“自主、合作、探究、创新”地学习，我的课程将以“面向全体学生，培养学生数学素养”的宗旨实施，体现新的学生观和学习观. 教学过程中我将把课堂还给学生，深入的发掘教材，重新整合教材，创设教学情境,适时激疑,让学生想问、敢问、善问，激发学生的学习兴趣和求知欲望，变要我学为我要学；教师作为平等中的首席，形成师生、生生共同学习、共同探讨，共同帮助、共同发展的课堂氛围；通过有效地“教”与“学”，既增长学生的数学知识，又提高学生的数学素养. 我将结合学情，预设目标，并体现学生的差异性，期望更多的课堂生成，及时评价，引导学生的互评，更关注对学生的发展性评价，构建动态的课堂，师生、生生在合作中相互学习，引发智慧和思维的碰撞，在碰撞中实践，在实践中反思，在反思中达成，在达成中分享，在分享中成长，最终实现“有效、高效、魅力”的课堂. 三、教材分析本章位于人教版《数学》七年级下册P113——133，主要内容包括：不等式及其解集，

方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案

方程与不等式之二元二次方程组知识点总复习附答案一、选择题 1．解方程组： 222(1)20(2)x y x xy y -=??--=? 【答案】1212 14,12x x y y ==????=-=?? 【解析】【分析】先由②得x ＋y ＝0或x?2y ＝0，再把原方程组可变形为：20x y x y -=?? +=?或220 x y x y -=??-=?，然后解这两个方程组即可．【详解】 222(1)20 (2)x y x xy y -=??--=?，由②得：（x ＋y ）（x?2y ）＝0， x ＋y ＝0或x?2y ＝0，原方程组可变形为：20x y x y -=??+=?或220x y x y -=??-=? ，解得：1212 1412x x y y ==????=-=??，. 【点睛】此题考查了高次方程，关键是通过把原方程分解，由高次方程转化成两个二元一次方程，用到的知识点是消元法解方程组． 2．解方程组： ⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612 x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2 {1x y ==-；（2）3{45 x y z === 【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.

（1）2 {1x y ==- ； (2) 3{45 x y z === “点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题. 3．解方程组：2322441x y x xy y +=?-+=?? 【答案】2112115,175x x y y ?=?=????=??=?? 【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=?-+=?? ①② 由②得2 (2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④ 由①③、①④联立，得方程组： 2321x y x y +=?-=?? ，23 21x y x y +=?-=-?? 解方程组23 21x y x y +=?-=??得，{ 11x y == 解方程组2321x y x y +=?-=-??得，1575x y ?=????=?? ．所以原方程组的解为：11 11x y =?=??，221575x y ?=????=?? 点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解． 4．解方程组

不等式与不等式组复习教案

不等式与不等式组基本知识点：不等式和不等式组: 用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：21<-x ，3-4≠4-3，0>a ，02≥a 等都是不等式．用数轴表示不等式的解集：大于向右画，小于向左画，有等号(≥，≤)画实心点，无等号(>，<)画空心圈．不等式性质：1：不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 3：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．不等式的解集：不等式组在数轴上表示的解集解集口诀 x a x b >??>? x ＞a 大大（＞＞）取较大； x a x b ? 大（＞）小小（＜）大取中间； x a x b >??

方法三（两种方案比较）：⑴找出两种方案的，设未知数 ⑵分别列出两种方案的费用 ⑶分情况讨论（结合人数）不等式常见考点：1.解不等式（组），并推断出与题意相吻合的解 2.不等式中含有未知正负的系数时对解的讨论 3.逆向运算：由不等式的解反推未知系数的范围 4．实际问题与不等式组例题演练： 1.已知关于x 的不等式组?? ?>--≥-0125a x x 无解，则a 的取值范围是 . 2.求不等式36 1633->---x x 的非负整数解． 3.求不等式 6)125(53)34(2+<-x x 的所有负整数解． 4.若不等式组?? ?<-<-a x b b a x 536732的解集是225<