高考数学基础知识总结：13 极 限

高中数学第十三章-极 限

考试内容：

教学归纳法．数学归纳法应用．

数列的极限．

函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．

考试要求：

（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

（2）了解数列极限和函数极限的概念．

（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．

（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质．

§13. 极 限 知识要点

1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立.

⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果

①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立；

②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立.

那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立.

2. ⑴数列极限的表示方法：

①a a n n =∞

→lim ②当∞→n 时，a a n →.

⑵几个常用极限：

①C C n =∞

→lim （C 为常数） ②),(01

lim 是常数k N k n k n ∈=∞→

③对于任意实常数，

当1||πa 时，0lim =∞

→n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞

→∞→不存在

当1φa 时，n n a ∞

→lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：

如果b b a a b n n n ==∞

→∞→lim ,lim ，那么 ①b a b a n n n ±=±∞

→)(lim ②b a b a n n n ?=?∞

→)(lim ③)0(lim ≠=∞→b b

a b a n n n 特别地，如果C 是常数，那么

Ca a C a C n n n n n =?=?∞

→∞→∞→lim lim )(lim . ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当1πq 时，无穷等比数列的各项和为)1(11πq q

a S -=. （化循环小数为分数方法同上式）

注：并不是每一个无穷数列都有极限.

3. 函数极限；

⑴当自变量x 无限趋近于常数0x （但不等于0x ）时，如果函数)(x f 无限趋进于一个常数a ，就是说当x 趋近于0x 时，函数)(x f 的极限为a .记作a x f x x =→)(lim 0或当0x x →时，a x f →)(. 注：当0x x →时，)(x f 是否存在极限与)(x f 在0x 处是否定义无关，因为0x x →并不要求0x x =.（当然，)(x f 在0x 是否有定义也与)(x f 在0x 处是否存在极限无关.?函数)(x f 在0x 有定义是)(lim 0

x f x x →存在的既不充分又不必要条件.） 如???+--=1

111)(πφx x x x x P 在1=x 处无定义，但)(lim 1x P x →存在，因为在1=x 处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则：

如果b x g a x f x x x x ==→→)(lim ,)(lim 0

0，那么 ①b a x g x f x x ±=±→))()((lim 0

②b a x g x f x x ?=?→))()((lim 0

③)0()()(lim 0≠=→b b

a x g x f x x 特别地，如果C 是常数，那么

)(lim ))((lim 0

0x f C x f C x x x x →→=?. n x x n x x x f x f )](lim [)]([lim 0

0→→=（+∈N n ） 注：①各个函数的极限都应存在.

②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况. ⑶几个常用极限： ①01lim =∞→x

n ②0lim =+∞→x x a （0＜a ＜1）；0lim =-∞→x x a （a ＞1） ③1sin lim 0=→x x x 1sin lim 0=?→x

x x ④e x

x x =+∞→)11(lim ，e x x x =+→10)1(lim （71828183.2=e ） 4. 函数的连续性：

⑴如果函数f （x ），g （x ）在某一点0x x =连续，那么函数)0)(()

()(),()(),()(≠?±x g x g x f x g x f x g x f 在点0x x =处都连续.

⑵函数f （x ）在点0x x =处连续必须满足三个条件：

①函数f （x ）在点0x x =处有定义；②)(lim 0x f x x →存在；③函数f （x ）在点0x x =处的极限值等于该点的函数值，即)()(lim 00

x f x f x x =→. ⑶函数f （x ）在点0x x =处不连续（间断）的判定：

如果函数f （x ）在点0x x =处有下列三种情况之一时，则称0x 为函数f （x ）的不连续点. ①f （x ）在点0x x =处没有定义，即)(0x f 不存在；②)(lim 0x f x x →不存在；③)(lim 0x f x x →存在，但)()(lim 00

x f x f x x ≠→. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理：

⑴零点定理：设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且0)()(πb f a f ?.那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf . ⑵介值定理：设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）.

⑶夹逼定理：设当δππ||00x x -时，有)(x g ≤)(x f ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 00，则必有.)(lim 0

A x f x x =→ 注：||0x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零.（ξ为最小整数）

6. 几个常用极限： ①1,0lim πq q n n =+∞

→ ②)0(0!

lim φa n a n

n =+∞→ ③k a a n n k

n ,1(0lim φ=+∞→为常数） ④0ln lim

=+∞→n n n ⑤k n n k n ,0(0)(ln lim

φεε=+∞→为常数）