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高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用

集合的含义与表示

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1、通过实例了解集合的含义，并掌握集合中元素的三个特性。

2、掌握元素与集合的关系，并能用符号“∈”或“?”来表示。

3、掌握列举法和描述法，会选择不同的方法来表示集合，记住常用数集的符号。

一、集合与元素的概念：

一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合，简称集。集合中每一个对

象称为该集合的元素。如所有的三角形可以组成集合，每个三角形都是这个集合的元素；所有的直角三角形也可以组成集合，每个直角三角形都是集合的元素；由1，2，3，4组成的集合｛1，2，3，4｝。1，2，3，4就是这个集合的元素。类似“与2非常接近的全体实数”，“高个子”这样模糊的说法就不能确定集合。

特别提醒：1、集合是一个“整体”。一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象。2、集合具有两个方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的元素就必须符合条件。3、集合通常用大写的字母表示，如A B C 、、、

……；元素通常用小写的字母表示，如a b c d 、、、……。二、集合中元素的特性：

1、确定性：设A 是一个给定的集合，x 是某一具体的对象，则x 或者是A 的元素，或者不是A 的元素，二者必居其一，不能模棱两可．

2、互异性：对于一个给定的集合，它的任意两个元素是不能相同的。集合中相同的元

素只能算是一个。如方程0122

=+-x x 有两个重根121==x x ，其解集只能记为{}1，而不能

记为{}1,1。

3、无序性：集合中的元素是不分顺序的．如{},a b 和{},b a 表示同一个集合．特别提醒：集合和点的坐标是不同的概念，在平面直角坐标系中，点（l ，0）和点（0，l ）表示不同的两个点，而集合｛1，0｝和｛0，1｝表示同一个集合。

三、元素与集合的关系：

一般地，如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a A ∈；如果a 不是集合的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?。

特别提醒：1、“属于”号∈与“不属于”号?，使用时不可反过来写，“A －6”与“

A 8”的写法是错误的；2、根据集合中元素的确定性，a A ∈或a A ?，这两种情况必有一种成立；3、集合和元素是两个不同的概念，它们之间是个体与整体的关系，并且这种关系是相对的。如：集合{}1A =相对于集合{}{}{}{}1,2,3

B =

而言，A 是B 的一个元素；元

素与集合之间不存在大小与相等的关系，如2与{}3，只能是{}23?，不能写成{}23≠。4、符号∈和?是表示元素和集合之间关系的，不能用来表示集合之间的关系，如：{}1∈{}1,2的写法是错误的，而{}{}{}{}

11,2∈的写法是正确的。

四、集合的分类：

按照集合中元素的个数是有限还是无限，集合可分为：有限集和无限集。（1）有限集：含有有限个元素的集合；（2）无限集：含有无限个元素的集合

（3）空集：特别地，不含任何元素的集合叫做空集，记作?．空集是个特殊的集合，

空集归入

有限集。如：}01|{2

=+∈x R x 。

按照集合中元素的形式，性质及属性，集合可分为：（1）单元素集：只含一个元素的集合；如{}0，{}?。（2）数集：有一些数字组成的集合；

（3）点集：由符合某一条件的点(),x y ，组成的集合；(){},21x y y x =+

（4）解集：由方程或方程组，不等式或不等式组的解组成的解的集合，简称解集。如：

方程220x x --=的解集是：{}1,2-。

五、常用数集的关系及记法

()0()R ?? ???????

?????????????

????

?*正整数自然数整数有理数集实数集负整数分数:指有限小数和无限循环小数. 无理数:指无限不循环小数.

N N (Z)(Q) 六：集合的表示方法

（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1} 特别提醒：1、元素间用分隔号“，”；2、元素不重复；3、不考虑元素顺序；4、适用于表示元素较少的集合；对于含有较多元素的集合，如果构成该集合的元素有明显规律，可用列举法，但必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号。如：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}；所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}

（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括

号内表示集合的方法。①格式：(){}

x A P x ∈；②含义：它表示集合由具有性质()P x 的所有元素构成的。其中x 为该集合中元素的代表形式，它表明了该集合中的元素是“谁”，是“什么样”；I 表明了x 的范围；()P x 为该集合中元素所具有的特征。如：不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x 。

特别提醒：1、写清楚该集合中元素的代号；2、说明该集合中元素的特征；3、不能出现未被说明的字母；4、多层描述时，应当准确使用“或”、“且”、“非”；5、所有描述的内容都要写在大括号内；6、用于描述的语言要力求简明、确切。7、错误表示法： {实数集}或 {全体实数}；正确的表示方法为：{}R =实数

（3）韦恩图法：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法。如：集合{}1234，，，可用韦恩图表示为：

类型一对集合概念的理解

例1：判断下列各组对象能否组成一个集合： (1)9以内的正偶数； (2)篮球打得好的人；

(3)2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员； (4)高一(1)班所有高个子同学．

练习1：有下列4组对象：(1)某校2015级新生；(2)小于0的自然数；(3)所有数学难题；(4)接近1的数．其中能构成集合的是________．

练习2：(2014～2015学年度四川德阳五中高一上学期月考)下列各组对象中，不能组成集合的是( )

A ．所有的正数

B ．所有的老人

C ．不等于零的数

D ．我国古代四大发明

类型二集合中元素的特性

例2：集合A 是含有两个不同实数a －3,2a －1的集合，求实数a 的取值范围．

练习1：能够组成集合的是（）

A ．与2非常接近的全体实数；

B ．很著名的科学家的全体；

C ．某教室内的全体桌子；

D ．与无理数π相差很小的数

练习2：若一个集合中的三个元素a ，b ，c 是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．等腰三角形 C ．钝角三角形 D ．直角三角形

类型三元素与集合的关系

例3：已知集合A 由a ＋2，(a ＋1)2，a 2

＋3a ＋3三个元素构成，且1∈A ，求实数a 的值．

练习1：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)已知集合A ＝{x |ax 2

－3x ＋2＝0，

a ∈R }，若A 中只有一个元素，则a 的值是( )

A ．0

B ．98

C ．0或9

D ．－98

练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)已知集合A ＝{x |x (x －2)＝0}，那么( )

A ．0∈A

B ．2?A

C ．－2∈A

D ．0?A

类型四：集合的表示方法例4：用列举法表示下列集合

（1）{}

2A x Z x =∈≤；（2）(){},4,,M x y x y x N y N **=

+=∈∈

练习1：(2014～2015学年度上海复旦大学附属中学高一上学期期中测试)用列举法表示集合A ＝??????

????a ???

65－a ∈N *，a ∈Z ＝__________.

练习2：用列举法表示下列集合

方程220x -=的所有实数根组成的集合为：__________________

1.下列说法：

①地球周围的行星能确定一个集合；

②实数中不是有理数的所有数能确定一个集合； ③我们班视力较差的同学能确定一个集合．其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1

C ．2

D ．3

2. 集合A ＝{y |y ＝x 2＋1}，集合B ＝{(x ，y )|y ＝x 2

＋1}，(A 、B 中x ∈R ，y ∈R )．关于元素与集合关系的判断都正确的是( )

A ．2∈A ，且2∈

B B ．(1,2)∈A ，且(1,2)∈B

C ．2∈A ，且(3,10)∈B

D ．(3,10)∈A ，且2∈B

3. 集合{y |y ＝x ，－1≤x ≤1，x ∈Z }用列举法表示是( )

A ．{－1,0,1}

B ．{0,1}

C ．{－1,0}

D ．{－1,1}

4. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为。 5．用另一种方法表示下列集合：（1）11325,,,,32537??????

= 。（2）{}3绝对值不大于的整数= 。

6. 集合{}

,5x x x x x Z =<∈且可用列举法表示为。 7. 满足不等式11219x <+<的合数组成的集合为。

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基础巩固

1. 若集合A 含有两个元素0,1，则( )

A ．1?A

B ．0∈A

C ．0?A

D ．2∈A

2. 已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )

A ．3

B ．6

C ．8

D ．10

3. 已知集合A 含有三个元素1,0，x ，若x 2

∈A ，则实数x ＝________.

4. 集合????

14，25，12，47，58可用特征性质描述法表示为__________．

5.（2015上海模拟）设a ，b ∈R ，集合{1，a+b ，a}={0，

，b}，则b-a=（）

A ．1

B ．-1

C ．2

D ．-2 能力提升

6. 已知集合A 中含有三个元素m －1,3m ，m 2－1，若－1∈A ，求实数m 的值．

7. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________．

8. 若集合A ＝{x ∈Z |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x 2＋2 000，x ∈A }，则用列举法表示集合B ＝____________.

9. 用描述法表示图中阴影部分(不含边界)的点构成的集合；

10. 已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋1＝0，a ∈R }，若A 中元素最多只有一个，求a 的取值范围．

集合的关系与运算

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4、掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。

5、了解空集的含义与性质。

课程顾问签字：教学主管签字：

6、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

7、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

一、子集：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合B 。

记作:A B B A ??或，读作：A 包含于B 或B 包含A 。特别提醒：1、“A 是B 的子集”的含义是：集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，即由x A ∈，能推出x B ∈。如：{}{}1,11,0,1,2-?-；{}{}?深圳人中国人。2、当“A 不是B 的子集”时，我们记作：“()

A B B A ??//或”，读作：“A 不包含于B ，（或B 不包含A ）”。如：{}{}1,2,31,3,4,5?/。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A ，它的任何一个元素都属于集合A 本身，记作A A ?。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有A ??。5、在子集的定义中，不能理解为子集A 是集合B 中部分元素组成的集合。因为若A =?，则A 中不含有任何元素；若A =B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集。

二、集合相等：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．

一个元素都是集合A 的元素，我们就说集合A 等于集合B ，记作A =B 。特别提醒：集合相等的定义实际上给出了我们判断或证明两个集合相等的办法，即欲证

A B =，只需证A B ?与B A ?都成立即可。

三、真子集：

对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：

A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A

特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A ，B ，C ，如果A B ，B

C ，那么A C 。3、两个集合

A 、

B 之间的关系：A B A B B A A B A B A B A B A B ?=????????

≠??????

?????

/?≠

≠且四、并集：

1、并集的概念：

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。记作：A B ，读作：A 并B 。

符号语言表达式为：A B {}

x x A x B =∈∈，或。

韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相

排斥的。“x A x B ∈∈，或”这一条件包含下列三种情况：x A x B ∈?，但；x B x A ∈?，但；x A x B ∈∈，且。

（2）对于A B {}x x A x B =∈∈，或，不能认为是由A 的所有元素和B 的所有元素组成的集合，因为A 与B 可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。

2、并集的性质：（1）,A B A A B B ??；（2）A A A =；（3）A A ?=；（4）A B B A =。

3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：

（1）若A B ，则A B B =，如图①；

（2）若B A ，则A B A =，如图②； ① ② ③

（3）若A B =，则A B A =（A B B =），如图③；

（4）若A 与B 相交，则A B =图④中的阴影部分；

（5）若A 与B 相离，则A B =图⑤中的阴影部分。

④ ⑤

五、交集：

1、交集的概念：

一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的交集。记作：A B ；读作：A 交B 。

符号语言表达式为：A B {}

x x A x B =∈∈，且韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）：如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

特别提醒：对于A B {}

x x A x B =∈∈，且，是指A B 中的任一元素都是A 与B 的公共元素，同时这些公共元素都属于A B 。还有并不是任何两个集合总有公共元素，当集合A 与集合B 没有公共元素时，不能说A 与B 没有交集，而是A B =?。

2、交集的运算性质：

（1）,A B A A B B ??；（2）A A A =；（3）A ?=?；（4）A B B A =。

3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：

（1）若A B ，则A B A =，如图①；（2）若B A ，则A B B =，

如图②； ① ② ③

（3）若A B =，则A B A =（A B B =），如图③；（4）若A 与B 相交，则A B =图④中的阴影部分；

（5）若A 与B 相离，则A B =?，如图⑤。

④ ⑤

六：全集与补集： 1、全集的概念：

如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一

个全集，全集通常用U 表示。

2、补集的概念：

一般地，设U 是一个集合，A 是U 的一个子集（即A U ?），由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集（或余集）。

记作：?U A ；读作：A 在U 中的补集；

符号语言表达式为：?U A {}

,x x U x A =∈?且；韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）：

类型一子集、真子集的概念

例1：已知集合M 满足{1,2}?

M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M .

解析：由条件知，集合M 中一定有元素

1,2，可能含有3,4,5中的部分数．故满足条件的集合M 可以是：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}

答案：{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5} 练习1：写出满足{3,4}P ?{0,1,2,3,4}的所有集合P .

答案：{0,3,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{0,1,3,4}，{0,2,3,4}，{1,2,3,4}，{0,1,2,3,4}．练习2： (2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是( )

A ．?＝0

B ．?＝{0}

C ．?∈{0}

D ．??{0}

答案：D

类型二集合相等关系的应用

例2：已知集合{x 2

，x ＋y,0}＝{x ，y x

，1}，求x 2 015

＋y

2 015

的值为________．

解析：由题意知，0∈{x ，y x

，1}，又∵x ≠0，∴y ＝0.

∴集合{x 2

，x ＋y,0}＝{x 2

，x,0}．

又1∈{x 2

，x,0}，且x ≠1，∴x 2

＝1，∴x ＝－1. 故x

2 015

＋y

2 015

＝(－1)

2 015

＋0

2 015

＝－1.

答案：-1

练习1：已知集合A ＝{2，a ，b }，集合B ＝{2a,2，b 2

}，若A ＝B ，求a 、b 的值．

答案：?

a ＝0

b ＝1或?????

a ＝1

4b ＝1

练习2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上。 ① {

}

(){}

2,,21,P x x n n Z Q x x n n Z ==∈==-∈； ② {}{}21,,21,P x x n n N

Q x x n n N *

*==-∈==+∈

③ {

}

()2

110,,2n

P x x x Q x x n Z ??+-??=-===∈??????

答案：①③

类型三由集合关系求参数取值范围

例3：已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1

解析：(1)当B ＝?时，m ＋1≤2m －1.

解得m ≥2，这时B ?A ．

(2)当B ≠?时，由B ?A 得????

－3≤2m －1m ＋1≤4

2m －1

解得－1≤m <2. 综上得m ≥－1.

答案：m ≥－1.

练习1：若{x |2x －a ＝0}{x |－1

练习2：(2014～2015学年河南洛阳市高一上学期期中测试)设集合A ＝{x |x 2

＋4x ＝0}，

B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ?A ，求实数a 的取值范围．

答案：a ≤－1或a ＝1.

类型四交集的概念

例4：设集合A ＝{x|x ＋2＝0}，集合B ＝{x|x2－4＝0}，则A ∩B ＝( )

A ．{－2}

B ．{2}

C ．{－2,2}

D ．?

解析：∵A ＝{x|x ＋2＝0}＝{－2}，B ＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，∴A ∩B ＝{－2}．答案：A

练习1：(2015·广东理)若集合M ＝{x|(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x|(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝( )

A ．{1,4}

B ．{－1，－4}

C ．{0}

D ．? 答案：D

练习2：(2015·广东文)若集合M ＝{－1,1}，N ＝{－2,1,0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1,1} 答案： C

类型五并集的概念

例5：集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

解析： ∵A ＝{0,2，a }，B ＝{1，a 2

}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，

∴?????

a 2

＝16a ＝4

①或???

a 2

＝4a ＝16

②，

由①得a ＝4，②无解．综上，得a ＝4.

答案：D

练习1：(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)若集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{1,2,4}，则A ∪B ＝( )

A ．{0,1,2,3,4}

B ．{1,2,3,4}

C ．{1,2}

D ．{0} 答案：A

练习2：(2014～2015学年度广东珠海斗门一中高一上学期期中测试)已知集合M ＝{－1,1,2}，N ＝{1,4}，则M ∪N ＝( )

A ．{1}

B ．{1,4}

C ．{－1,1,2,4}

D ．?

答案： C

类型六补集的运算例6：设全集U ＝{2,3，a2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，?UA ＝{5}，则a 的值为__________．

解析：因为?U A ＝{5}，且A ∪?U A ＝{2，|2a －1|,5}＝U ＝{2,3，a 2

＋2a －3}，

∴?????

a 2

＋2a －3＝5 ①|2a －1|＝3 ②

，

解①得a ＝2或a ＝－4；解②得a ＝2或a ＝－1. 所以a 的值为2.

答案： 2

练习1：(2014～2015学年度山西朔州一中高一上学期期中测试)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ＝{2,4,6}，B ＝{1,3,5,7}，则A ∩(?UB)等于( )

A ．{2,4,6}

B ．{1,3,5}

C ．{2,4,5}

D ．{2,5} 答案：A

练习2：(2014·湖北文，1)已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A ＝{1,3,5,6}，则 ?

UA ＝( )

A ．{1,3,5,6}

B ．{2,3,7}

C ．{2,4,7}

D ．{2,5,7} 答案： C

类型七应用Venn 图进行集合间的交、并、补运算

例7：全集U ＝{不大于15的正奇数}，M ∩N ＝{5,15}，?U(M ∪N)＝{3,13}，(?UM)∩N ＝{9,11}，求M.

解析：

答案： {1,5，7，15}

练习1：已知M 、N 为集合I 的非空真子集，且M 、N 不相等，若N ∩(?IM)＝?，则M ∪N

＝( )

A ．M

B ．N

C ．I

D ．? 答案：A

练习2：(2015·湖南文，11)已知集合U ＝{1,2,3,4}，A ＝{1,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∪

(?UB)＝

________.

答案： {1,2,3}

1. (2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中，只有一个子集的集合是( )

A ．{x |x ＋3＝3}

B ．{(x ，y )|y 2＝－x 2

，x 、y ∈R} C ．{x |x 2

≤0} D ．{x |x 2

－x ＋1＝0}

答案：D

2. 已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A?B，则a＝()

A．1 B．0

C．－2 D．－3

答案： C

3.(2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()

A．{0}B．{0,1}

C．{0,2} D．{0,1,2}

答案：C

4. (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()

A．4B．3

C．2D．1

答案：C

5．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)如果U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,5}，那么(?U M)∩N＝()

A．?B．{1,3}

C．{1} D．{5}

答案：D

_______________________________________________________________________________ __

基础巩固

1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是()

A．16B．8

C．7D．4

答案：C

2. 满足{a，b}?A{a，b，c，d}的集合A有________个()

A．1 B．2

C．3 D．4

答案：C

3. (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知P＝{x|－1

A．{x|－2

C．{x|1

答案：D

4. (2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)设全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x|－2≤x≤3}B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤2}D．{x|－1≤x≤2}

答案：B

5. (2015·安徽文)设全集U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,2}，B＝{2,3,4}，则A∩(?U B)＝()

A．{1,2,5,6} B．{1}

C．{2} D．{1,2,3,4}

答案：B

6.(2014·江西文)设全集为R，集合A＝{x|x2－9<0}，B＝{x|－1

A．(－3,0) B．(－3，－1)

C．(－3，－1] D．(－3,3)

答案：C

能力提升

7.若集合A＝{1,3，x}，B＝{x2,1}，且B?A，则实数x的值是________．

答案：0或±3

8.已知集合M含有三个元素1,2，x2，则x的值为______________．

答案：x≠±1，且x≠±2

9.已知集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}．

(1)若B?A，求实数m的取值范围；

(2)若x∈N，求集合A的子集的个数．

答案：（1）m<－2或0≤m≤5

2. （2）2

7＝128.

10. (2014～2015学年度湖北重点中学高一上学期期中测试)已知全集U＝R，集合A＝{x|

－2≤x ≤5}，B ＝{x |1≤x ≤6}，求(?U A )∩(?U B )．

答案：{x |x <－2或x >6}．

集合的关系与运算

__________________________________________________________________________________

8、掌握两个集合之间的包含关系和相等关系，能识别给定集合的子集。 9、了解空集的含义与性质。 10、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。 11、理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集。

一、子集：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 包含于集合B ，或集合B 包含集合B 。

A B B A ??//或”

，读作：“A 不包含于B ，（或B 不包

课程顾问签字：教学主管签字：

含A ）”。如：{}{}1,2,31,3,4,5?/。3、任何集合都是它本身的子集。即对于任何一集合A ，它的任何一个元素都属于集合A 本身，记作A A ?。4、我们规定：空集是任何集合的子集，即对于任一集合A ，有A ??。5、在子集的定义中，不能理解为子集A 是集合B 中部分元素组成的集合。因为若A =?，则A 中不含有任何元素；若A =B ，则A 中含有B 中的所有元素，但此时都说集合A 是集合B 的子集。

二、集合相等：

一般地，对于两个集合A 与B ，如果集合A 的任何．．一个元素都是集合B 的元素，同时集合B 的任何．．

A B =，只需证A B ?与B A ?都成立即可。

三、真子集：

对于两个集合A 与B ，如果B A ?，并且B A ≠，我们就说集合A 是集合B 的真子集，记作：A B 或B A, 读作A 真包含于B 或B 真包含A

特别提醒：1、空集是任何非空集合的真子集。2、对集合A ，B

，C ，

如果

B ，B

C ，那么A C 。3、两个集合

A 、

B 之间的关系：A B A B B A A B A B A B A B A B ?=????????

≠??????

?????

/?≠

≠且四、并集：

1、并集的概念：

一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素所组成的集合，叫做A 与B 的并集。记作：A B ，读作：A 并B 。

符号语言表达式为：A B {}

x x A x B =∈∈，或。

韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2,3,5,6,10｝。特别提醒：（1）定义中“或”字的意义：用“或”字连接的并列成份之间不一定是互相排斥的。“x A x B ∈∈，或”这一条件包含下列三种情况：x A x B ∈?，但；

x B x A ∈?，但；x A x B ∈∈，且。（2）对于A B {}x x A x B =∈∈，或，不能认为

是由A 的所有元素和B 的所有元素组成的集合，因为A 与B 可能有公共元素，所以上述看法，从集合元素的互异性看是错误的。

2、并集的性质：

（1）,A B A A B B ??；

（2）A A A =；（3）A A ?=；（4）A B B A =。

3、讨论两集合在各种关系下的并集情况：

（1）若A B ，则A B B =，如图①；

（2）若B A ，则A B A =，如图②； ① ② ③ （3）若A B =，则A B A =（A B B =），如图③；

（4）若A 与B 相交，则A B =图④中的阴影部分；

（5）若A 与B 相离，则A B =图⑤中的阴影部分。

④ ⑤

五、交集：

1、交集的概念：

一般地，由所有属于A 且属于B 的元素所组成的集合,叫做A 与B 的交集。记作：A B ；读作：A 交B 。

符号语言表达式为：A B {}

x x A x B =∈∈，且韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）：如：｛1,2,3,6｝｛1,2,5,10｝=｛1,2｝．

特别提醒：对于A B {}

2、交集的运算性质：

（1）,A B A A B B ??；（2）A A A =；（3）A ?=?；（4）A B B A =。

3、讨论两集合在各种关系下的交集情况：

（1）若A B ，则A B A =，如图①；（2）若B A ，则A B B =，

如图②； ① ② ③

（3）若A B =，则A B A =（A B B =），如图③；（4）若A 与B 相交，则A B =图④中的阴影部分；

（5）若A 与B 相离，则A B =?，如图⑤。

④ ⑤

六：全集与补集： 1、全集的概念：

如果一个给定的集合含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用U 表示。

2、补集的概念：

一般地，设U 是一个集合，A 是U 的一个子集（即A U ?），由U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集（或余集）。

记作：?U A ；读作：A 在U 中的补集；

符号语言表达式为：?U A {}

,x x U x A =∈?且；韦恩（Venn ）图表示，如右图（阴影部分）：

类型一子集、真子集的概念

例1：已知集合M 满足{1,2}?M {1,2,3,4,5}，求所有满足条件的集合M .

练习1：写出满足{3,4}P ?{0,1,2,3,4}的所有集合P .

练习2： (2014～2015学年度重庆一中高一上学期期中测试)以下表示正确的是( )

A ．?＝0

B ．?＝{0}

C ．?∈{0}

D ．??{0}

类型二集合相等关系的应用

例2：已知集合{x 2

，x ＋y,0}＝{x ，y x

，1}，求x

2 015

＋y

2 015

的值为________．

练习1：已知集合A ＝{2，a ，b }，集合B ＝{2a,2，b 2

}，若A ＝B ，求a 、b 的值．

练习2：将下列两集合相等的组的序号填在横线上。 ④ {}

(){}

2,,21,P x x n n Z Q x x n n Z ==∈==-∈； ⑤ {}{}21,,21,P x x n n N

Q x x n n N *

*==-∈==+∈

⑥ {

}

()2

110,,2n

P x x x Q x x n Z ??+-??=-===∈??????

类型三由集合关系求参数取值范围

例3：已知集合A ＝{x |－3≤x ≤4}，B ＝{x |2m －1

练习1：若{x |2x －a ＝0}{x |－1

练习2：(2014～2015学年河南洛阳市高一上学期期中测试)设集合A ＝{x |x 2

＋4x ＝0}，

B ＝{x ∈R|x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ?A ，求实数a 的取值范围．

类型四交集的概念

例4：设集合A ＝{x|x ＋2＝0}，集合B ＝{x|x2－4＝0}，则A ∩B ＝( )

A ．{－2}

B ．{2}

C ．{－2,2}

D ．?

练习1：(2015·广东理)若集合M ＝{x|(x ＋4)(x ＋1)＝0}，N ＝{x|(x －4)(x －1)＝0}，则M ∩N ＝( )

A ．{1,4}

B ．{－1，－4}

C ．{0}

D ．?

练习2：(2015·广东文)若集合M ＝{－1,1}，N ＝{－2,1,0}，则M ∩N ＝( ) A ．{0，－1} B ．{0} C ．{1} D ．{－1,1}

类型五并集的概念

例5：集合A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a2}，若A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，则a 的值为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4

练习1：(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)若集合A ＝{0,1,2,3}，集合B ＝{1,2,4}，则A ∪B ＝( )

A ．{0,1,2,3,4}

B ．{1,2,3,4}

C ．{1,2}

D ．{0}

练习2：(2014～2015学年度广东珠海斗门一中高一上学期期中测试)已知集合M＝{－1,1,2}，N＝{1,4}，则M∪N＝( )

A．{1} B．{1,4} C．{－1,1,2,4} D．?

类型六补集的运算

例6：设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，?UA＝{5}，则a的值为__________．

练习1：(2014～2015学年度山西朔州一中高一上学期期中测试)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,6}，B＝{1,3,5,7}，则A∩(?UB)等于( ) A．{2,4,6} B．{1,3,5} C．{2,4,5} D．{2,5}

练习2：(2014·湖北文，1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，集合A＝{1,3,5,6}，则?UA＝( )

A．{1,3,5,6} B．{2,3,7} C．{2,4,7} D．{2,5,7}

类型七应用Venn图进行集合间的交、并、补运算

例7：全集U＝{不大于15的正奇数}，M∩N＝{5,15}，?U(M∪N)＝{3,13}，(?UM)∩N ＝{9,11}，求M.

练习1：已知M、N为集合I的非空真子集，且M、N不相等，若N∩(?IM)＝?，则M∪N ＝( )

A．M B．N C．I D．?

练习2：(2015·湖南文，11)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(?UB)＝

________.

1.(2014～2015学年度江西临川一中高一上学期期中测试)下列集合中，只有一个子集的集合是( )

A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y2＝－x2，x、y∈R}

C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0}

2. 已知集合A＝{0,1}，B＝{－1,0，a＋3}，且A?B，则a＝()

A．1 B．0

C．－2 D．－3

3.(2014～2015学年度北京市丰台二中高一上学期期中测试)已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝()

A．{0}B．{0,1}

C．{0,2} D．{0,1,2}

4. (2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)满足条件M∪{1}＝{1,2,3}的集合M的个数是()

A．4B．3

C．2D．1

5．(2014～2015学年度宁夏银川一中高一上学期期中测试)如果U＝{1,2,3,4,5}，M＝{1,2,3}，N＝{2,3,5}，那么(?U M)∩N＝()

A．?B．{1,3}

C．{1} D．{5}

_______________________________________________________________________________ __

基础巩固

1.集合A＝{x|0≤x<3且x∈N}的真子集个数是()

A．16B．8

C．7D．4

2. 满足{a，b}?A{a，b，c，d}的集合A有________个()

A．1 B．2

C．3 D．4

3. (2014～2015学年度广东肇庆市高一上学期期中测试)已知P＝{x|－1

A．{x|－2

C．{x|1

4. (2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)设全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|－1≤x≤3}，则图中阴影部分表示的集合为( )

A．{x|－2≤x≤3}B．{x|－1≤x≤2}

C．{x|0≤x≤2}D．{x|－1≤x≤2}

5. (2015·安徽文)设全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则A ∩(?U B )＝( ) A ．{1,2,5,6} B ．{1} C ．{2}

D ．{1,2,3,4}

6. (2014·江西文)设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1

A ．(－3,0)

B ．(－3，－1)

C ．(－3，－1]

D ．(－3,3)

能力提升

7. 若集合A ＝{1,3，x }，B ＝{x 2,1}，且B ?A ，则实数x 的值是________． 8. 已知集合M 含有三个元素1,2，x 2，则x 的值为______________． 9. 已知集合A ＝{x |－1≤x ≤6}，B ＝{x |m －1≤x ≤2m ＋1}． (1)若B ?A ，求实数m 的取值范围； (2)若x ∈N ，求集合A 的子集的个数．

10. (2014～2015学年度湖北重点中学高一上学期期中测试)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |1≤x ≤6}，求(?U A )∩(?U B )．

函数的相关概念与映射

__________________________________________________________________________________

课程顾问签字：教学主管签字：

高中数学讲义集合.参考教案.教师版

内容基本要求集合的含义会使用符号“∈”或“?”表示元素与集合之间的关系；集合的表示能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常用数集，方程或不等式的解集等集合间的基本关系理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，了解空集和全集的含义；理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与并集．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集集合的基本运算掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能使用维恩图表达集合之间的关系和运算．板块一：集合的概念（一）主要知识： 1．集合 ①定义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，每个对象叫做集合的元素。 ②表示列举法：将集合中的元素一一列举出来，用大括号括起来，如{a,b,c} 描述法：将集合中的元素的共同属性表示出来，形式为：P={x ∣P(x)}. 如：}1),({},1{},1{-=-=-=x y y x x y y x y x 图示法：用文氏图表示题中不同的集合。 ③分类：有限集、无限集、空集。 ④性质确定性：A a A a ?∈或必居其一，互异性：不写{1，1，2，3}而是{1，2，3}，集合中元素互不相同，无序性：{1，2，3}={3，2，1} 2．常用数集例题精讲高考要求集合

复数集C 实数集R 整数集Z 自然数集N 正整数集* N （或N +）有理数集Q 3．元素与集合的关系：A a A a ∈?或 4．集合与集合的关系： ①子集：若对任意A x ∈都有B x ∈[或对任意B x ?都有A x ?] 则A 是B 的子集。记作：A B B A ??或 C A C B B A ????, ②真子集：若B A ?，且存在A x B x ?∈00,但，则A 是B 的真子集。记作：A B[或“B A B A ≠?且”] A B ，B C A C ③B A A B B A =???且 ④空集：不含任何元素的集合，用φ表示对任何集合A 有A ?φ，若φ≠A 则φ A 注：}{}0{}{φ φφ≠≠≠a a 5．子集的个数若},,{21n a a a A Λ=，则A 的子集个数、真子集的个数、非空真子集的个数分别为2n 个，2n -1个和2n -2个。（二）主要方法： 1．解决集合问题，首先要弄清楚集合中的元素是什么； 2．弄清集合中元素的本质属性，能化简的要化简； 3．抓住集合中元素的3个性质，对互异性要注意检验； 4．正确进行“集合语言”和普通“数学语言”的相互转化．（三）例题分析：【例1】下列命题正确的有（） ⑴很小的实数可以构成集合； ⑵集合{}2|1y y x =-与集合(){} 2 ,|1xy y x =-是同一个集合； ⑶361 1,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； ⑷集合(){} ,|0,,x yx y x y ∈R ≤是指第二和第四象限内的点集． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个【解析】A ；⑴错的原因是元素不确定，⑵前者是数集，而后者是点集，种类不同， ⑶ 361 ,0.5242 =-=，有重复的元素，应该是3个元素，⑷本集合还包括坐标轴．【例2】直角坐标平面除去两点(1,1)A 、(2,2)B -可用集合表示为（）

高中数学教师培训心得体会-心得体会模板

高中数学教师培训心得体会数学是一们基础学科,也是是高考科目之一.高中数学知识的难度相对初中数学来说比较大,内容比较多,有一部分同学由于不适应这种变化,数学成绩总是不如人意,甚至影响到学习的积极性,产生厌学心理.出现这样的情况,下面是本人整理的关于高中数学教师培训心得体会，欢迎阅读! 高中数学教师培训心得体会一我很荣幸地参加了河北省20XX年中小学教师省级培训项目学习。培训的内容丰富多彩，培训的方式多种多样，既有专家的报告，又有特级教师的核心理念，还有视频观摩研讨。为期十天的培训，我感觉每天都是充实的，因为每天都要面对不同风格的讲师，每天都能听到不同类型的讲座，每天都能感受到思想火花的冲击。在培训中，我进一步认识了新课程的发展方向和目标，反思了自己以往在工作中的不足。作为一名中青年教师，我深知自己在教学上是幼稚而不成熟的，在教学过程中还存在太多的问题，但是，经过一段时间的学习，我相信我还是有收获的。一些对教育教学工作很有见解的专家以鲜活的案例和丰富的知识内涵，给了我具体的操作指导，使我的教育观念进一步得到了更新，真是受益匪浅。在千万教师中,能参加这样的培训，我想我是幸运的、是幸福的。现将学习培训情况总结于后，呈请上级领导审阅，不当之处恳请批评指正。一、学习收获：此次培训学习河北师范大学领导非常重视，从授课人员安排来看：安排的大学教师全是教授级别的老师，中学全是全省以及全国知名的特级和优秀教师。从授课时间任务来看：时间紧任务重，但是河北师范大学的领导、老师(特别是班主任闫老师和张老师)特别尽职，安排具体，服务到位，一些细节工作落实得好，如我们的住宿安排，组织班级学员的交流活动等，大家比较满意，评价很高，

高中数学新课标学习心得体会1

高中数学新课标学习心得体会高中数学课程是义务教育或普通高级中学的一门主要课程，它从国际意识、时代需求、国民素质、个性发展的高度出发，是对于数学与自然界、数学与人类社会的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题，分析问题、解决问题的能力，形成理性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用。高中数学课程力求将教育改革的基本理念与课程的框架设计、内容确定以及课程实施有机结合起来。一、课程的基本理念总体目标中提出的数学知识（包括数学事实、数学活动经验）本人认为可以简单的这样表述：数学知识是“数与形以及演绎”的知识。所谓数学事实指的是能运用数学及其方法去解决的现实世界的实际问题，数学活动经验则是通过数学活动逐步积累起来的。 1、基本的数学思想基本数学思想可以概括为三个方面：即“符号与变换的思想”、“集合与对应的思想”和“公理化与结构的思想”，这三者构成了数学思想的最高层次。 2、重视数学思维方法高中数学应注重提高学生的数学思维能力，着是数学教育的基本目标之一。数学思维的特性：概括性、问题性、相似性。数学思维的结构和形式：结构是一个多因素的动态关联系统，可分成四个方面：数学思维的内容（材料与结果）、基本形式、操作手段（即思维方法）以及个性品质（包括智力与非智力因互素的临控等）；其基本形式可分为逻辑思维、形象思维和直觉思维三种类型。 3、应用数学的意识这个提法是以前大纲所没有的，这几年颇为流行，未见专门的说明。结合当前课改的实际情况，可以理解为“理论联系实际”在数学教学中的实践，或者理解为新大纲理念的“在解决问题中学习”的深化。 4、注重信息技术与数学课程的整合高中数学课程应提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质。在保证笔算训练的全体细致，尽可能的使用科学型计算器、各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。二、课程设置 1、高中数学课程分为必修课程与选修课程两部分. 2、设置了数学探究、数学建模、数学文化内容 3、模块的逻辑顺序必修课程是选修课程的基础，学校应在保证必修课程，选修系列1、2开设的基础上，开设其他系列课程，以满足学生的基本选择需求，并积极开发、利用校外课程资源。教师也应根据自身条件制定个人发展计划。三、内容标准高中课程的内容是数学基础知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打好基础的同时，进一步强调了这些知识的发生、发展过程、和实际应

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高中数学骨干教师培训总结

高中数学骨干教师培训总结高中数学骨干教师培训总结年6月24日7月4日，我有幸参加了广东省教育局厅主办，师范大学承办的高中数学骨干教师培训。来自全省各地市的高中数学骨干教师进行了为期10天的培训，主要采用专题报告、讲座等形式进行理论学习。让我们得以与众多教授、名师面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使我们受益匪浅。（一）一流专家讲座，提升思想理念我们这次培训班听了与二师的知名教授及部分学校的名校长、名师的讲座，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个线的中学教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎

实的掌握本学科的基础理论，基础知识以及相应的技能，并运用自如。熟悉本学科的学习方法和研究方法，同时还要具备一定的与本学科相关的知识。学员们在这次培训中发现自己专业知识还很欠缺。只有掌握全面的学科知识才能在教学过程中高屋建瓴的处理好教材，把握住教材的难点，才能有对教材内容深入浅出的讲解。从而保证教学流畅地进行，使学生既学到知识，又掌握学习方法和发展能力。（二）优秀学员论坛，提升学员理论水平在理论培训阶段，为了提升每位学员自身的理论水平，专家们都会预留一定的时间与学员们交流，学员们畅所欲言，许多提出的观点和问题，这些数学教学中的实际问题，引起全体学员的一致共鸣的同时，也得到专家们的重视，他们的回答也给了我们很好的启示，对于我们今后的教学有着积极的促进作用。（三）答疑解困，理论水平提高的源泉这次培训要求每个学员每天都要做笔记，在自己的博客上写反思，写心得体会，提出困惑。也为我们学习和交流提供了一平台。这次理论培训，就自身更新优化而言，使学员们树立了终身学习的思想。通过培训，感觉以前所学的知识太有限了，看问题的眼光也太肤浅了。教师只有树立"活到老，学到老"的终身教育思想，才能跟上时代前进和知识发展的步伐，才能胜任复杂而又富有创造性的教育工作。只有不断学习，不断充实自己的知识，

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第一章 §1.1 集合 1. 关于集合的元素的特征（1）确定性（组成元素不确定的如：我国的小河流）（2）互异性（3）无序性集合相等：构成两个集合的元素完全一样 (1)若集合A 中的元素与集合B 中的元素完全相同则称集合A 等于集合B,记作A=B. (2) B A A B B A =???, 例：已知A={1,1+d ，1+2d}，B={1，q ，q 2}，若A=B ，求的，d ，q 的值。解：d=－，q=－ 2. 元素与集合的关系；（1）如果a 是集合A 的元素，就说a 属于（belong to ）A ，记作a ∈A （2）如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于（not belong to ）A ，记作a ?A 子集与真子集：如果集合A 中的每一个元素都是集合B 中的元素，那么集合A 叫做集合B 的子集，记作B A ?或A B ?. 若集合P 中存在元素不是集合Q 的元素，那么P 不包含于Q ，或Q 不包含P.记作 Q P ? 若集合A 是集合B 的子集，且B 中至少有一个元素不属于A,那么集合A 叫做集合B 的真子集. B A ?或A B ?. 子集与真子集的性质：传递性：若B A ?，C B ?，则C A ? 空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集. 3. 常用数集及其记法非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N *或N +；整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R 4. 集合的表示方法（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。如：{1，2，3，4，5}，{x 2，3x+2，5y 3-x ，x 2+y 2}，…；（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{} 内。具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或

高中数学骨干教师培训总结

( 校园活动总结) 姓名：____________________ 单位：____________________ 日期：____________________ 编号：YB-BH-072309 高中数学骨干教师培训总结A summary of the training of high school mathematics backbone

高中数学骨干教师培训总结 XX年6月24日——7月4日，我有幸参加了广东省教育局厅主办，xx师范大学承办的高中数学骨干教师培训。来自全省各地市的高中数学骨干教师进行了为期10天的培训，主要采用专题报告、讲座等形式进行理论学习。让我们得以与众多教授、名师面对面地座谈、交流，倾听他们对数学教学的理解，感悟他们的教育教学思想方法。这次培训内容丰富，安排合理，使我们受益匪浅。（一）一流专家讲座，提升思想理念！我们这次培训班听了xx与二师的知名教授及部分学校的名校长、名师的讲座，从师德、当前教育教学改革动向、教科研、课堂教学专题、教材解读、现代教育技术应用等多方面进行，各位知名专家、学者、特级教师从自己切身的经验体会出发，畅谈了他们对师德以及教学等教育教学各个领域的独特见解。让我们更清晰地意识到作为一个线的中学教师该如何看待自己所处的位置，该如何去提升自己的专业水平。在知识方面，我们深感知识学问浩如烟海，也深深地体会到教学相长的深刻内涵。教师要有精深的学科专业知识，广博的科学文化知识，丰富的教育和心理科学知识。知识结构要合理，当今的自然科学，社会科学和人文科学互相渗透，相互融合，只懂自己专业的知识是远远不够的，这一点我们在学习中体会很深。精深的专业知识是教师担任教学工作的基础。这就要求教师要扎

高中教师培训总结

高中教师培训总结高中教师培训总结现将学习培训情况总结于后，呈请上级领导审阅，不当之处恳请批评指正。一、学习收获：此次培训学习广西师范大学领导非常重视，从授课人员安排来看：安排的大学教师全是教授级别的老师，中学全是全省以及全国知名的特级和优秀教师。从授课时间任务来看：时间紧任务重，但是广西师范大学的领导、老师特别尽职，安排具体，服务到位，一些细节工作落实得好，如我们的住宿安排，组织班级学员的交流活动等，大家比较满意，评价很高，数学学院范院长多次来教师看望关照我们，我们从心底非常感谢。此次培训课程设置合理，促进了教师素质的提高。此次培训以讲座和观摩教学，互动讨论相结合的方式进行，互为促进，相得益彰。首先是让我们进一步加深了对高中数学新课改的转变观念的重要性和紧迫性的认识，特别是人教数学教材主编章建跃教授《高中数学新课程理念及实验教材编写意图解读》和南宁二中徐华老师《数学课能走多远——高中数学有效教学的技能与艺术案例分析》及广西师范大学唐剑岚博士《高中数学有效教学的技能与艺术案例分析——课件设计与应用》三次讲座，让我受益匪浅。

其次，广西师范大学的教授们及邀请的大牌数学教育家的各个专题讲座让我们进一步理解了高中数学新课程改革的理念和要求，强调教师学习的重要性，分析了新课程背景下的高中数学课堂教学方式方法、讲解了数学教育心理学及其在高中数学教学中的应用，中学数学学生探究性思维培养方法对策，数学教学与多媒体技术等等。第三，增进学员之间的交流，加深了友谊与感情，特别是关于高中参与教育教学科研的体会的探讨，班主任管理中的感悟与体会的交流，促进了大家的进步与提高。二、学习体会通过近两周多的学习培训，感悟良多。首先是广西师范大学老师的敬业精神，令人敬佩，为我们上课的每一位老师都是精心准备，深入浅出，尽心尽职，特别是唐剑岚教授为了准备上课素材，开班后每天只睡过5个小时，体现了一种高尚的职业操守和精湛的业务水平，对促进教师专业发展起了极其重要的作用。其次，我们的教学观念有所改变，教学思想有所更新。 1、倡导探究学习，培养学生的探究能力和深入思考的能力。这是一个漫长而艰巨的工程，需要各方面共同的努力。首先需要我们大力转变观念，下大工夫改变长期以来习惯了的单纯接受学习的方式，大力开展探究学习，让学生在这样的学习中增强探究兴趣，养成探究意识和习惯。二是要了解

高中数学必修一集合经典题型总结(高分必备)

慧诚教育2017年秋季高中数学讲义必修一第一章复习知识点一集合的概念 1．集合一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示． 2．元素构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示． 3．空集不含任何元素的集合叫做空集，记为?. 知识点二集合与元素的关系 1．属于如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A. 2．不属于如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A. 知识点三集合的特性及分类 1．集合元素的特性 ________、________、________. 2．集合的分类 (1)有限集：含有________元素的集合． (2)无限集：含有________元素的集合． 3．常用数集及符号表示名称非负整数集(自然数集)整数集实数集符号N N*或N＋Z Q R 知识点四集合的表示方法 1．列举法把集合的元素________________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．

2．描述法用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．知识点五集合与集合的关系 1．子集与真子集定义符号语言图形语言(Venn图) 子集如果集合A中的________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集 ________(或 ________) 真子集如果集合A?B，但存在元素 ________，且________，我们称集合A是集合B的真子集 ________(或 ________) 2.子集的性质 (1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________． (2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________． (3)如果A?B，B?C，则________． (4)如果A?B，B?C，则________． 3．集合相等定义符号语言图形图言(Venn图) 集合相等如果集合A是集合B的子集 (A?B)，且 ________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等 A＝B 4.集合相等的性质如果A?B，B?A，则A＝B；反之，________________________.

高中数学全套讲义选修1-1 导数概念中挡学生版

目录目录 (1) 考点一导数的概念 (2) 题型1 变化的快慢和变化率 (2) 题型2 导数的概念 (4) 考点二导数的几何意义 (4) 题型3 有关斜率的判断与计算 (4) 课后综合巩固练习 (5)

考点一导数的概念 1.平均变化率：已知函数()y f x =在点0x x =及其附近有定义，令0x x x ?=-，0000()()()()y y y f x f x f x x f x ?=-=-=+?-，则当0 x ?≠时，比值00()()f x x f x y x x +?-?= ??叫做函数()y f x =在0x 到0x x +?之间的平均变化率． 2.瞬时变化率：如果当x ?趋近于0时，平均变化率00()() f x x f x x +?-?趋近于一个常数l ，则数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．可用符号记为：当0x ?→时，00()() f x x f x l x +?-→?．还可以说：当0x ?→时，函数平均变化率的极限等于函数在0x 的瞬时变化率l ，记作：000()() lim x f x x f x l x ?→+?-=?． 3.导数：函数在0x 的瞬时变化率，通常就定义为()f x 在0x x =处的导数．并记作()0f x '0 |x x y ='可以写为：0000()() lim ()x f x x f x f x x ?→+?-'=?． 4.导函数：如果()f x 在开区间()a b ，内每一点x 导数都存在，则称()f x 在区间()a b ，可导，这样，对于开区间()a b ，内的每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '，于是在区间()a b ，内构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数，记为()f x '．导函数通常简称为导数，今后，如不特别指明求某一点的导数，求导数指的就是求导函数．题型1 变化的快慢和变化率 1．（2018春?菏泽期中）已知函数()y f x =，其导函数()y f x '=的图象如图，则对于函数 ()y f x =的描述正确的是( ) A ．在(,0)-∞上为减函数 B ．在0x =处取得最大值 C ．在(4,)+∞上为减函数 D ．在2x =处取得最小值 2．（2019春?韩城市期末）设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图象如图所示，则导函数()y f x ='的图象可能为( )

高一数学必修一讲义1.1集合

本讲主要学习集合含义与表示，集合基本关系，集合基本运算三个方面，集合表示法一般含有_______和_______两种，通过学习要了解这两种方法的区别与联系，在此之外还学习了集合间的包含关系与相等关系，以及集合间的并集、交集、补集的含义，通过本部分的学习，同学们要了解集合的含义，能用Venn图表示集合的关系及运算。一、重难点知识归纳 (一)元素与集合的含义元素: 研究的对象集合概念: 一些________组成的总体(简称集) 属于: 如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作________；如果a不是集合A中的元素，就说a_______集合A，记作________。 (二)列举法与描述法列举法: 把集合的元素一一列举出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法. 描述法: 用集合所含元素的_________表示集合的方法称为描述法. 在学习过程中，我们要学会如何选择表示法表示集合，列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法。一般情况下，对有限集，在元素不太多的情况下，宜采用_________，它具有直观明了的特点；对无限集，一般采用_________表示。 (三)子集、真子集、空集

子集: 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中的_______元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A 为集合B的________，记作________,读做“A包含于B”(或“__________”). 真子集: 如果集合，但存在元素，且，我们称集合A是集合B的_________，记作____________ 空集:_________的集合叫做空集，记作________，并规定：空集是任何集合的___________ Venn图: 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图. 学习这几个概念时，应注意一下几点： ①若集合A是集合B的真子集，那么集合A必是集合B的_________，反之则不一定。 ②若集合A与集合B中的元素是一样的，则集合A与集合B________。 ③元素与集合之间是__________关系，而集合与集合之间则是___________关系，如设A={a},B={a,b}，则有a____B，A_____B ④集合中元素的特征:_________；_________；_________ 5、如果集合A中有n个元素，则A的子集个数是__________，真子集个数是___________。 (四)并集、交集、补集

高三数学解三角形一对一讲义

XX教育，让每个孩子更优秀! XX教育学科教师辅导讲义组长签字：一、导入目录 1、必备基础知识 2、不同类型典型例题及应用 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~二、课前自主学习梳理中学阶段学习的三角形的相关知识和定理 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~三、知识梳理+经典例题知识点一：三角形中各元素间的关系 1、在直角△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。

（1）三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2。（勾股定理）（2）锐角之间的关系：A ＋B ＝90°；（3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA ＝cosB ＝c a ，cosA ＝sinB ＝c b ，tanA ＝b a 。 2、斜三角形中各元素间的关系：在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边。（1）三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π。（2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为外接圆半径）（3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2＝b2＋c2－2bccosA ； b2＝c2＋a2－2cacosB ； c2＝a2＋b2－2abcosC 知识点二：三角形的面积公式（1）?S ＝21aha ＝21bhb ＝21 chc （ha 、hb 、hc 分别表示a 、b 、c 上的高）；（2）?S ＝21absinC ＝21bcsinA ＝21 acsinB ；（3）三角形面积=abc/4R(其中R 是三角形外接圆半径） (4) S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =（1/4）√[(a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)] （其中（p=(a+b+c)/2））知识点三：解三角形由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）

高中数学培训心得体会

2010年高中新课程培训心得体会地调中学程浩宇我已经作为学校高三老师接手高三教学工作。由于今年是高中新课程高考第一年，所以有关新课程的高考理念可以说是一无所知，带着这么一份期待，自始至终我都很认真的学习新课程培训的内容。只有从这一次学习当中我才真正感受到了一些新课程的教学理念和新课程大纲下高考内容应该怎么样来考察知识点。新课程教学理念中，新课程标准是一条教学准绳。洛阳二中教师程文给我们分析了07~10年高考趋势与数学复习对策，首先给我们展示了对以前的高考的回顾，并提出了2011年高考的新特点。更是给我们在一线的高三老师提供了很多宝贵的复习策略。作为每年的数学评卷组长给我们分析了高考解题当中应该注意的问题，并提出了2011年高考数学命题的趋势更是分析的非常精辟。其中给我们提到的选考内容更是进一步明确了有关选考内容究竟该怎么样来选考，为今后的高考提供了一个方向标的作用。选考内容文理有异，第一次明确提出了文科是二选一，理科是三选二的选修内容进行考察。并对所有数学老师提出了要求：提高推理运算求解能力和数据处理能力。希望老师在教学过程中围绕着新课程标准，抓住主干，推陈出新，集中精力，突出重点，研究新理念，抓住新内容。提到新内容的教学，程文说了“新内容肯定考察，但是难度不会太大，并以近三年高考题对新内容的考察比例进行说明，新内容的考察分值和难度有一个逐年提升的迹象。最后程教师对高考题的探索性问题（压轴题）的提出了自己独到的看法。要求高三老师指导考生克服紧张的情绪，以平和的心态参加考试，并合理支配考试时间，以实事求是的科学态度解决试题。短短的几天紧张而又充实的新课程培训，让我结识了不少异地的有经验的数学老师，与他们相互学习和交流让我觉得自己学到了很多以前还做得不够的地方。新课程理念下的数学教学将由“关注学生学习结果”，转向“关注学生活动”，重塑知识的形成过程课程设计将由“给出知识”转向“引导活动”数学新教材倡导学生主动探索，自主学习，合作讨论，体现数学再发现的过程，数学教学不再是教师向学生传授知识的过程，而是鼓励学生“观察”“操作”“发现”，并通过合作交流，让学生发展自主学习的能力，个性品质的发展，从而激发学生的学习兴趣，提高学生学习数学的能力，那么新课程理念下要做好数学教育教学工作，我认为应该侧重以下几方面：一、学习兴趣的培养兴趣是最好的老师。浓厚的学习兴趣可以使人的大脑处于最活跃的状态，能够最佳地接受教学信息。浓厚的学习兴趣，能有效地诱发学习动机，促使学生自觉地集中注意力，全身心的投入学习活动中。在教学中可以通过介绍我国数学领域的卓越成绩，介绍数学在生活、生产和其他科学中的广泛应用，激发出学生学习数学的动机。通过设计情景，提出问题引导学生去探索，去发现，让学生从中体验成功的喜悦和快乐。运用适当的教学方法和手段引导他们的求知和好奇心，从而培养他们浓厚的学习兴趣。二、注重数学思想方法教学数学思想方法是数学思想和教学方法的总称。数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理论知识，是解决数学问题的根本策略。数学方法是解决数学问题的手段和工具，数学思想方法是数学的精髓，只有掌握了数学思想方法，才能真正掌握数学，因而数学思想方法也是学生必须具备的基本素质之一，现行的教材当中蕴涵了多种数学思想方法，在教学中应当挖掘由数学基础知识所反映出来的教学思想和方法，设计教学思想方法的目标，结合教学内容适时渗透，反复强化，及时总结，用数学思想方法武装学生，使学生真正成为数学的主人。三、思维能力的培养

2019学年人教版高中数学必修一精品讲义word文件

1．1集__合 1．1.1 集合的含义与表示第一课时集合的含义集合的概念 [提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工； (2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点； (3)不等式组? ???? x ＋1≥3， x 2≤9的整数解； (4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学．问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念定义表示元素一般地，我们把研究对象统称为元素通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集) 通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示

[化解疑难] 准确认识集合的含义 (1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的． (2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素. 元素的特性及集合相等 [提出问题] 问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3. 问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3. 问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等． [导入新知] 1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等． 2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性． [化解疑难] 对集合中元素特性的理解 (1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的． (2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素． (3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合. 元素与集合的关系及常用数集的记法[ 某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？提示：是这个集合的元素．

高一数学讲义完整版

高一数学复习讲义09年版函数部分(1) 重点：1把握函数基本知识（定义域、值域） x（a>0、<0) 主要是指数函数y=a x（a>0、<0),对数函数y=log a 2二次函数（重点）基本概念（思维方式）对称轴、开口方向、判别式考点1：单调函数的考查 2：函数的最值 3：函数恒成立问题一般函数恒成立问题(重点讲) 4：个数问题（结合函数图象） 3反函数（原函数与对应反函数的关系）特殊值的取舍 4单调函数的证明(注意一般解法）简易逻辑(较容易) 1. 2. 3. 4.

启示：对此部分重点把握第3题、第4题的解法（与集合的关系）问题1：恒成立问题解法及题型总结(必考) 一般有5类：1、一次函数型：形如：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a≠0),若y=f(x)在[m, n]内恒有f(x)>0(<0) 练习：对于满足0-4x+p-3恒成立的x的取值范围 2、二次函数型:若二次函数y=ax2+bx+c=0(a≠0)大于0恒成立,则有a>0Δ<0若是二次函数在指定区间上的恒成立问题,还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解练习：1设f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1, +∞)时,都有f(x)>a恒成立, a的取值范围 2关于x的方程9x+(4+a)3x+4=0恒有解,求a的范围。 3、变量分离型若在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个变量的范围为所求,且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边,则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解练习：若1-ax>1/(1+x),当对于x∈[0, 1]恒成立,求实数a的取值范围。 4利用图象练习：当x∈(1, 2)时,不等式(x-1)2

2020高一数学必修一：必修一总复习(1对1讲义)

必修一复习一、知识结构集合集合表示法集合的运算集合的关系列举法描述法图示法包含相等子集与真子集交集并集补集函数函数及其表示函数基本性质单调性与最值函数的概念函数的奇偶性函数的表示法映射映射的概念集合与函数概念基本初等函数(Ⅰ) 幂函数有理指数幂整数指数幂无理指数幂运算性质定义对数指数对数函数指数函数互为反函数图像与性质定义定义图像与性质函数的应用函数模型及其应用函数与方程对数函数指数函数几类不同增长的函数模型二分法函数的零点用已知函数模型解决问题建立实际问题的函数模型

二、考点解析考点一：集合的定义及其关系考点分析： 1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性; 2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；例1.定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为（） A ．0； B ．2； C ．3； D ．6 考点二、集合间的基本关系，（）经典考题：例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算考点分析 {}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y

高中数学一对一讲义——函数

高中数学函数知识点总结 8. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法则、值域）相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备) 9. 求函数的定义域有哪些常见类型？ ()() 例：函数的定义域是 y x x x = --432 lg ()()()（答：，，，）022334 函数定义域求法： ● 分式中的分母不为零； ● 偶次方根下的数（或式）大于或等于零； ● 指数式的底数大于零且不等于一； ● 对数式的底数大于零且不等于一，真数大于零。 ● 正切函数 x y tan = ?? ? ??∈+≠∈Z ππk k x R x ,2,且 ● 余切函数 x y cot = ()Z π∈≠∈k k x R x ,,且 ● 反三角函数的定义域函数y ＝arcsinx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是，函数y ＝arccosx 的定义域是 [－1, 1] ，值域是 [0, π] ，函数y ＝arctgx 的定义域是 R ，值域是.，函数y ＝arcctgx 的定义域是 R ，值域是 (0, π) . 当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时，先分别求出满足每一个条件的自变量的范围，再取他们的交集，就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域？ [] 如：函数的定义域是，，，则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0 义域是_____________。 [] （答：，）a a - 复合函数定义域的求法：已知)(x f y =的定义域为[]n m ,，求[])(x g f y =的定义域，可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围，即为 [])(x g f y =的定义域。例若函数 )(x f y =的定义域为?? ? ???2,21，则)(log 2x f 的定义域为。 11、函数值域的求法 1、直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例求函数y= x 1的值域

高中数学必修一全册讲义教师学生双用带答案一对一班课通用

高中数学讲义集合.参考教案.教师版

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