2018分类第4讲 二次根式

2018年中考辅导序列之-------------------第4讲 二次根式

知识点1 二次根式有意义的条件

1．若二次根式a －2有意义，则a 的取值范围是a ≥2．

知识点2 最简二次根式与同类二次根式

2．下列根式中是最简二次根式的是(B )

A .23

B . 3

C .9

D .12

3．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是(B ) A .18 B .13 C .24 D .0.3

知识点3 二次根式的性质

4．化简：(1)22＝2；(2)（－23）2＝23； (3)(3)2＝3；(4)(－ 6.5)2＝6.5．

知识点4 二次根式的运算

5．计算： (1)18－8；

解：原式＝32－22＝ 2.

(2)27×

83÷12； 解：原式＝27×83

×2＝144＝12. (3)(3－7)(3＋7)＋2(2－2)．

解：原式＝9－7＋22－2＝2 2.

重难点1二次根式有意义的条件

(2017·日照)式子

a＋1

a－2

有意义，则实数a的取值范围是(C)

A．a≥－1 B．a≠2 C．a≥－1且a≠2 D．a>2 【变式训练1】(2017·衡阳)要使x－1有意义，则x的取值范围是(B)

A．x<1 B．x≥1 C．x≤－1 D．x<－1

【变式训练2】(2017·呼和浩特)使式子

1

1－2x

有意义的x的取值范围为x＜

1

2．

方法指导对于二次根式，被开方数必须大于等于零；若是由分式、根式组成的复合代数式，则需同时满足被开方数大于等于零和分母不等于零这两个条件．

易错提示忽略分母不能为零．

重难点2二次根式的运算

(2017·呼和浩特)计算：|2－5|－2×(1

8－

10

2)＋

3

2.

【思路点拨】先把各二次根式化成最简二次根式，然后根据运算顺序进行计算．

【自主解答】原式＝5－2－1

2＋5＋

3

2

＝25－1.

【变式训练3】(2017·黄冈)计算27－6－1

3的结果是3－6．

【变式训练4】(2017·青岛)计算：(24＋1

6)×6＝13．

易错提示二次根式的运算结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，若运算结果不是最简二次根式，则必须化为最简二次根式．

1．(2017·益阳)下列各式化简后的结果为32的是(C)

A. 6

B.12

C.18

D.36

2．(2016·桂林)计算35－25的结果是(A)

A. 5 B．2 5 C．3 5 D．6

3．(2017·十堰)下列运算正确的是(C)

A.2＋3＝ 5 B．22×32＝6 2

C.8÷2＝2 D．32－2＝3

4．(2017·连云港)关于8的叙述正确的是(D)

A．在数轴上不存在表示8的点B.8＝2＋ 6

C.8＝±2 2 D．与8最接近的整数是3

5．(2017·济宁)若2x －1＋1－2x ＋1在实数范围内有意义，则x 满足的条件是(C )

A ．x ≥12

B ．x ≤12

C ．x ＝12

D ．x ≠12

6．(2017·滨州)下列计算：(1)(2)2＝2；(2)（－2）2＝2；(3)(－23)2＝12；(4)(2＋3)(2－3)＝－1，其中结果正确的个数为(D )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

7．计算：

(1)(2017·衡阳)8－2

(2)(2017·南京)12＋8×6

(3)(2017·天津)(4＋7)(4－7)＝9；

(4)(2016·青岛)

32－82

＝2． 8．计算：

(1)1212－(313＋2)； 解：原式＝3－(3＋2) ＝3－3－ 2 ＝－ 2.

(2)48÷3－12×12＋24. 解：原式＝16－6＋24 ＝4－6＋2 6

＝4＋ 6.

9．(2016·自贡)若a －1＋b 2－4b ＋4＝0，则ab 的值等于(D )

A ．－2

B ．0

C ．1

D ．2

10．(2017·枣庄)实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋（a －b ）2的结果是(A )

A ．－2a ＋b

B ．2a －b

C ．－b

D ．b

11．(人教八下教材P 16“阅读与思考”变式题)(2017·泸州)已知三角形的三边长分别为a ，b ，c ，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦(Heron ，约公元50年)给出求其面积的海伦公式S ＝

p （p －a ）（p －b ）（p －c ），其中p ＝a ＋b ＋c 2

；我国南宋时期数学家秦九韶(约1202～1261)曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式S ＝12

a 2

b 2－（a 2＋b 2－

c 22）2，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则其面积是(B ) A .3158 B .3154 C .3152 D .152

第4讲-二次根式中的配方思想

板块一 二次根式与配方思想 【例1】 已知实数x ，y ，z 满足211 4412034x y y z z z -++++-+=，求2()y z x +?的值. 【巩固】 已知实数a ，b ，c 满足21 22102a b b c c c -+++-+=，求()a b c + 【例2】 已知正数a 和b ，有下列命题： ⑴若2a b +=，则1ab ≤； ⑵若3a b +=，则3 2ab ≤； ⑶若6a b +=，则3ab ≤. 根据以上三个命题所提供的规律，猜想若9a b +=，则ab ≤ . a b n +=，则ab ≤ ，并式证明上式成立. 【巩固】 已知非零实数a 、b 满足等式542 b a a b ab b a ++=+，求32b a b a ++的值. 【例3】 若正数m ，n 满足42443m mn m n n +--+=，求28 22002m n m n +-++ 第4讲:二次根式中的配方思想 例题精讲

【巩固】 计算()x y +÷. 【补充】已知正数a ，b ，且满足1=，求证：221a b += 【例4】 1()2 x y z =++，求x 、y 、z 的值． 【巩固】 设32 a b c +++=，求代数式222a b c ++的值． 【巩固】 如果实数a b c ，，满足2a b =2104ab +=的值. 【巩固】 设,,a b c 是实数，若14a b c ++=，则2bc =________. 【例5】 11a a b ab +-+ 板块二：多重二次根式 双重二次根式： 多重二次根式：二次根式的被开方数（式）中含有多于一个二次根式的式子叫多重二次根式．双（多）重二 次根式的解法：平方法、配方法、构造法、待定系数法． 【例6】

二次根式的运算法则(讲义)

二次根式的运算法则（讲义） ? 课前预习 1. 已知a ，b 均为非负数，请根据幂的运算法则与算术平方根的定义，解决下 列问题： （1）①根据算术平方根的定义可知，ab 的算术平方根是____． ②2 =22? =_________ 是_________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． （2）类似（1 0b =≠）： ①根据算术平方根的定义可知，a b 的算术平方根是_______． ②2 ? =________ _________的算术平方根． 对比①②的结果，你能得到的结论是___________________． ? 知识点睛 1. ________________________________叫做二次根式，它具有 _________________________，即_______________________． 2. 最简二次根式（①②同时具备）： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 3. 二次根式的乘除法则： ①_________________________________________________； ②_________________________________________________． 4. 同类二次根式：_____________________________________． 5. 二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． ? 精讲精练

湘教版2020八年级数学上册第五章二次根式自主学习基础过关测试卷(附答案详解)

湘教版2020八年级数学上册第五章二次根式自主学习基础过关测试卷（附答案详解） 1．下列运算正确的是（ ） A ．?233-=±3 B ．27=3 C ．?9=?3 D ．?32=9 2．下列二次根式计算正确的是（ ） A ．－＝1 B ．＋＝ C ．×＝ D ．÷＝ 3．函数12y x = --x 的取值范围是( ) A ．21x ≥- B ．12x ≤- C ．12x ≥ D ．12x ≤ 4．若38877665 a =----，则a 的取值范围为( ). A ．0a ≥ B ．01a << C ．12a << D ．2a > 5．已知：m 2+1，n 2﹣1223m n mn ++＝（ ） A ．±3 B ．﹣3 C ．3 D 56423-为（ ） A ．43 B ．23 C 31 D ．1 7．下列运算正确的是（ ） 1223=332=(53)(523)252319-+=-?=，④105)522-1（=； A ．①② B ．②③ C ．①④ D ．③④ 88n n 的最小值是（ ） A ．0 B ．2 C ．3 D ．4 92x -x 满足条件（ ） A ．x ＞2. B ．x ≥2 C ．x ＜2 D ．x ≤2. 10．2是同类二次根式的是（ ） A 12 B 0.5 C 20 D 4x 11331123a x 、33x a 、33a x 34a x 3ax

次根式的是___________. 12π=_____________ 13．（）（3）＝_____． 14． ＝_____． 15．＝_____． 16在实数范围内有意义，则x 的取值范围是_________________. 17______ ． 18在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______. 19．已知22x y+xy 的值为_____. 20．已知1y 3==___________ 21．计算 （1） （2）2 22)1x - 23．计算：(24．计算: （12 ； （2）? ?÷ 25．先化简，再求值：211211x x x x ??÷-= ?-+?? ，其中 26．把下列根式化成最简二次根式： （1； （2

第4讲 二次根式及其运算【2021中考数学一轮复习考点真题集训】答案版

第4讲二次根式及其运算一、选择题 1．(2020·杭州)2×3＝(B) A．5B．6C．23D．32 2．下列二次根式化简后，与2的被开方数相同的是(D) A．12B．3 2C． 2 3D．18 3．(2020·聊城)计算45÷33×3 5的结果正确的是(A) A．1 B．5 3C．5 D．9 4．(2019·河池)下列式子中，为最简二次根式的是(B) A．1 2B．2C．4D．12 5．(2020·临沂)设a＝7＋2.则(C) A．2＜a＜3 B．3＜a＜4 C．4＜a＜5 D．5＜a＜6 6．若m 与6是同类二次根式，则m的值可以是(B) A．12 B．24 C．36 D．48 7．(2020·南通)下列运算，结果正确的是(D) A．5－3＝2B．3＋2＝32 C．6÷2＝3 D．6×2＝23 8．(2020·黔东南州)实数210介于(C) A．4和5之间B．5和6之间 C．6和7之间D．7和8之间 9．若a，b为实数，且|a＋1|＋b－1＝0，则－(－ab)2019的值是(C) A．1 B．2019 C．－1 D．－2019 10．(2020·武威)若一个正方形的面积是12，则它的边长是(A) A．23B．3 C．32D．4 二、填空题 11．(2020·扬州)代数式x＋2 3在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是__x≥－ 2__．

12．(2020·遵义)计算：12 －3 的结果是__3 __． 13．(2020·常德)计算：92 －12 ＋8 ＝__32 __． 14．(2020·北京)写出一个比2 大且比15 小的整数__2(或3)__． 15．(2020·威海)计算3 －12 －(8 －1)0的结果是__－3 －1__. 16．(北师八上P51T14改编)满足－3

(完整word版)二次根式计算.doc

二次根式计算 1．已知 x=，y=，求值：2x2﹣3xy+2y2． 2．（2011?南漳县模拟）已知a﹦（+），b﹦（﹣），求a2﹣ab+b2的值． 3．已知x 2 1，y 2 1，试求x y 的值． y x 4．如图所示的Rt △ ABC中，∠ B=90°，点 P 从点 B 开始沿 BA边以 1 厘米 /? 秒的速度向点A 移动；同时，点 Q也从点 B 开始沿 BC边以 2 厘米 / 秒的速度向点 C 移动．问：几秒后△ PBQ的面积为 35 平方厘米？ PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）C Q A P B 5．（ 1）已知 x＝ 2－ 1，求 x2＋ 3x－ 1 的值； （ 2）已知a2 3， b 3 2 ，求 (a b)2 (a b)(2a b) 3a2值. 6．若 x，y 为实数，且 y＝＋＋．求－的值． 7．已知 a=2+ 3 ，b=2－ 3 ，试求a b 的值．b a 8．已知x 1 3 ，求代数式 ( x 1) 2 4( x 1) 4 的值．9．求值： （ 1）已知 a＝1 ， b＝ 1 ，求 b － b 的值．2 4 a b a b （ 2）已知 x＝ 1 2 5 的值． ，求 x － x＋ 5 2 10．如果，求( xy)z的值． 11．化简求值：1 bab ，其中 a 3,b 2 ．a 12．先化简再求值：

13． （ 1）解方程： 16（x+1） 2 － 1＝0 （ 2） - （x-3 ） 3=27 （ 3）先化简，再求值： ( x x 2 4 x 4 ) x ，其中 x 2 ． x 2 x 2 4 x 2 （ 4）实数 a 、 b 在数轴上的位置如图所示，请化简： aa 2 b 2 ． 14 ．计算：（ 1） （5 5- 1 ）+3 64 81 1 9 ( 1)2015 5 16 （ ）已知： 10 2 x y ，其中 x 是整数，且 0 ＜ y ＜ ，求 x y 的相反数． 2 1 15 ．已知 x= 5 1 ， y= 5 1 ，求下列代数式的值 2 2 （ 1） x 2y+xy 2 （ 2） x 2-xy+y 2 16 ．化简：（ 1） 2( 8 2) （ 2） 12 27 ( 3 1)0 3 17．（本题 10 分）根据题目条件 , 求代数式的值： （ 1）已知 1 1 5x xy 5y 的值． 3 ，求 xy y x y x （ 2）若 x ＝ 11 2 7 ， y ＝ 11 2 7 ，求代数式 x 2－ xy ＋y 2 的值． 18 ．（本小题 6 分） （ 1）计算： ( 3)2 16 ( 2) 2 （ 2）当ａ＜ 1 时，化简： a 2 4a 4 a 2 2a 19 ．（ 10 分）计算 （ 1） （5 分）计算 : 6 3 ( 1 ) 1 + 24 3 （ 2） （5 分）先化简，再求值： 2a 3b 7 5 ， b=－ 1 ( 5a 2 b 10ab 2 ) 2a 3b 2 ，其中 a= 2 2 20 ．化简计算：（本题满分题 6 分） 2

八年级二次根式(教师讲义带答案)资料讲解

八年级二次根式(教师讲义带答案)

第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以 要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。

注：因为二次根式（）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是 0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术 平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则 a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过 来应用：若 ，则 ，如： ， . 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即 ；若a 是负数，则等于a 的相反数-a,即 ； 2、中的a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值， 一定有意义； 3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六： 与 的异同点 1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表 示一个实数a 的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a 可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 . 知识点七：二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 123123123(0000)n n n a a a a a a a a a a a a =????≥≥≥≥L L L L L L ，，，，

二次根式第一课时教学设计

第二章 实数 7．二次根式（第1课时） 一、学情分析 七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度． 二、教材分析 本节分为三个课时。第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力． 为此，确定本节课教学目标是： 1.认识二次根式和最简二次根式的概念. 2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式． 三、教学设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：明晰概念 问题1 ：5，11，2.7，121 49，))((b c b c -+（其中b=24,c=25），上述式子有什么共同特征？ 答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数。 介绍二次根式的概念。一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式。a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ． 问题2：二次根式怎样进行运算呢？ 答：这是我们本节课要解决的新问题． 意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础． 第二环节：探究性质

(完整版)二次根式计算专题训练.doc

二次根式计算专题训练 解答题（共 30 小题） 1．计算： （ 1）+；（2）（+）+（﹣）．2．计算： ﹣ 2| ﹣+（）﹣2 ．（2）﹣4 ﹣（﹣）． （ 1）（π﹣3.14） +| （ 3）（ x﹣ 3）（3﹣x）﹣（ x﹣ 2）2． 3．计算化简： （ 1） ++ （ 2）2﹣6 +3． 4．计算 （ 1）+﹣（2）÷×．

（ 1）×+3×2（2）2﹣6+3． 6．计算： （ 1）（）2﹣20+|﹣|（2）（﹣）× （ 3） 2﹣3+；（4）（7+4）（2﹣）2+（2+）（2﹣） 7．计算 （ 1）?（a≥0）（2）÷ （ 3）+﹣﹣（4）（3+）（﹣）

（ 1）+﹣（2）3+（﹣）+÷． 9．计算 （ 1）﹣4+÷（2）（1﹣）（1+）+（1+）2． 10．计算： （ 1）﹣4+（2）+2﹣（﹣） （ 3）（ 2 +）（2﹣）；（4）+﹣（﹣1）0． 11．计算： （ 1）（3+﹣4）÷（2）+9﹣2x2?．

① 4 +﹣+4；②（7+4）（7﹣4）﹣（3﹣1）2． 13．计算题 （ 1）××（2）﹣+2 （ 3）（﹣ 1﹣）（﹣+1）（4）÷（﹣） （ 5）÷﹣×+（6）． 14．已知： a=，b=，求a2+3ab+b2的值．

15．已知 x， y 都是有理数，并且满足，求的值．16．化简：﹣a． 17．计算： （ 1） 9 +5﹣3；（2）2；（ 3）（）2016（﹣）2015． 18．计算：． 19．已知 y=+﹣4，计算x﹣y2的值．

20．已知：a、b、c 是△ ABC的三，化．21．已知 1＜x＜ 5，化：| x 5| ． 22．察下列等式： ①==； ②==； ③== ?回答下列： （ 1）利用你察到的律，化： （ 2）算：+++?+． 23．察下面的形律： =，=，=，=，? 解答下面的： （ 1）若 n 正整数，你猜想=； （ 2）算： （++?+）×（）

湘教版八年级数学上册《第5章二次根式》单元试卷

第5章检测卷 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．使x－1有意义的x的取值范围是( ) A．x≠1 B．x≥1 C．x＞1 D．x≥0 2．下列二次根式中，不能与3合并的是( ) A. 3 B.12 C.18 D.27 3．下列二次根式中的最简二次根式是( ) A.30 B.12 C.8 D.1 2 4．已知m＝1＋2，n＝1－2，则代数式m－n的值为( ) A．－2 B．－2 2 C．2 2 D．2 5．下列等式中正确的有( ) ①（3－π）2＝π－3；② －4 －49 ＝ －4 －49 ＝ 2 7 ；③4 1 9 ＝2 1 3 ；④3＋3＝3 3. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．计算（2a－1）2＋（1－2a）2的结果是( ) A．0 B．4a－2 C．2－4a D．4a－2或2－4a 7．计算32×1 2 ＋2×5的结果估计在( ) A．6至7之间 B．7至8之间 C．8至9之间 D．9至10之间 8．已知x＋y＝3＋2，xy＝6，则x2＋y2的值为( ) A．5 B．3 C．2 D．1 9．设a＝3，b＝5，用含a，b的式子表示 1.35，则下列表示正确的是( ) A．0.3ab B．3ab C．0.1a2b D．0.1ab2 10．如果表示a，b两个实数的点在数轴上的位置如图所示，那么化简|a－b|＋（a＋b）2的结果为( ) A．－2b B．2b C．－2a D．2a 二、填空题(每小题3分，共24分) 11．计算：(1)(7)2＝________； (2)(7－5)(7＋5)＝________. 12．如果两个最简二次根式3a－1与2a＋3能合并，那么a＝______. 13．计算：11＋44－99＝_______.

第四讲 实数的运算

第四讲 实数的运算 一、【基础知识精讲】 1．实数和有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，而有理数的运算法则与运算律对实数仍然适用。但计算中出现的数或式往往要对它们进行化简，使得被开方数不含分母和开得尽的因数或因式。 2．实数的乘、除法：)0,0(≥≥= ? b a ab b a ； )0,0(>≥= b a b a b a 二、【例题精讲】 例1：计算： （1）233+ =______， （2）5253-=______， （3）312?=______， （4） 3 1=______， 例2：计算下列各题 （5）483122+ （6）25 5 20-+ ； （7）700287 1-+. （8）（5+6）（5－6） （9）2 )23(- （10）)52)(53(-+ (11) 2 2 24 145 - （12）(1－2+3)(1－2－3)

三、【同步练习】 ★A 组★ 1．计算下列各题 （1）18 （2）8 2 （3）.33 1 （4）80×5－50 ×2 （5）a 2×ab 6 （6） 12÷27×50 （7）12－2 1－2 3 1 （8） 24 6 12? （9）)32)(32(- + （10） 3 27 12+ (11) 2)23(- (12)（2－3）2002·（2+3）2003 2．计算下列各题 （1）8 121332+ -； （2）7 1700483122+-+；

（3）3 5225 5 20-+ -+ ； （4）2 )2332()56()56(-++ ?- ； 3．三角形的三边长分别为20cm 、40cm 、 45cm ，这个三角形的周长是 ___cm 。 4．使式子23+x 有意义的实数x 的取值范围是（ ） A 、x ≥0 B 、x ＞3 2- C 、x ≥2 3- D 、x ≥3 2- 5．下列二次根式中，与35-是同类二次根式的是（ ） A 、18 B 、3.0 C 、30 D 、300 6．下列运算正确的是（ ） A 、1712512 5 1252 2 2 2 =+=+=+； B 、1234949=-=- = -； C 、20)4()5(1625)16()25(=-?-=?-=-?-； D 、1535)3()5(2 2=?=-?-； 7．若15+=a ，15-=b ，求2 2ab b a +的值。 ★B 组★ 1．计算下列各题。 （1 （2）84? （3 （4）

数学：3.1 二次根式(第4课时)同步练习(苏科版九年级上)

南沙初中初三数学练习（4） 2008 班级 姓名 学号 得分 1．在二次根式a 5，a 8， 9 c ，22b a +，3a 中，最简二次根式共有（ ） （A ） 1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 2．计算()()1212-+，正确结果是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 3．下列各组二次根式中是同类二次根式的是 （ ） A ．2 112与 B ．2718与 C ．313与 D ．5445与 4．把a a 1-根号外的因式移到根号内得 （ ） A ．a B ．－a C ．－a - D ．a - 5．当0

二次根式典型计算练习题

二次根式计算练习题 1. 2484554+-+ 2. 2332326-- 3. 214181 22 -+- 4. 3)154276485(÷+- 5.已知： 的值。求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 6. ))((36163--?-； 7. 63312??； 8. )(102132531- ??； 9. z y x 10010101??-．

10. 20245-； 11. 144 25081010??..； 12. 521312321 ?÷； 13. )(b a b b a 1223÷?． 14. 2712135272 2-； 15. b a c abc 4322-． 16. 已知：2420-= x ，求221x x +的值． 17. ()1()2 ()(() 30,0a b -≥≥ ())40,0a b f f

()5()6?÷ ? 18. 化简： ())10,0a b ≥≥ ()2 ()3a 20. 21.. ( 231 ?+ ? 22.(()2771+-- 23.((((2222 1111+-

24. 22 - 28. 已知： x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。

29. 已知：11a a +=+221 a a +的值。 30. 已知：,x y 为实数，且3y p ，化简： 3y -- 31. 已知11 039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。 32（1）－645×（－448）； （2）（－64）×（－81）；

八年级二次根式(教师讲义带答案)

第五章二次根式 【知识网络】 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意 义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （）

文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a 是正数还是负数，若是正数或0，则等于a 本身，即；若a 是负数，则等 于a 的相反数-a,即； 2、中的a 的取值围可以是任意实数，即不论a 取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a 的算术平方根的平方，而表示一个实数a 的平方的算术平方根； 在中，而中a 可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： 123123(0000)n n n a a a a a a a a a ?=????≥≥≥≥，，，， 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. 例如+进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算， 4 3 +=+=+ (2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如： 2 2 1+-= -=，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化

第七节 二次根式 第4课时 导学案

子洲三中 “双主”高效课堂 数学 导学案 2014-2015 学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日 年 级 科 目 课 题 主 备 人 备 课 方 式 负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 第七节 二次根式 第4课时 乔智 一、【学习目标】 1．理解分母有理化的概念。 2．掌握二次根式的混合运算顺序。 二、【学习过程】 （一）、学习准备 1、有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含________________，我们说这两个代数式互为有理化因式。 2、二次根式：形如)0(≥a a 的式子叫做________________，其中____________叫做被开方数。 3、二次根式的乘、除法则（1）);0,0(__________≥≥=b a ab （2） )0,0(__________>≥=b a b a 。 4、阅读教材：第七节《二次根式》（四） （二）、教材精读 5、分母有理化的概念 例1计算：（1） ；3 1 （2） 5 2 。 归纳：分母有理化：把 中的根号化去叫做分母有理化。 实践练习：把下面各式分母有理化：（1） ；3 3 （2） 5 22。 解：（1） )(() ______;3333==??=（） （） 6、分母有理化的依据 例2 将 3 51 -分母有理化。 解： ()()()() == ?-?= -)35(1351 归纳：分母有理化的依据是分式的基本性质。 实践练习：化简：（1）；2 2 2+ （2） 2 31 -。 7、有理化因式 例3化简（1） ；1 21 + （2） 3 2236 -。 归纳：常见的有理化因式有a 与________，b a +与____________，d c b a +与 ___________。 实践练习：计算（1）01)22()32(----； （2） 2 53 +。 （三）、教材拓展 8、例4计算（1） 1 32 121++-； （2） 0)13(81 21 -+-+。 归纳：分母有理化的方法：将分子和分母都乘分母的有理化因式，化去分母中的根号。

二次根式的运算(提高)知识讲解

二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.

二次根式的计算专题训练

二次根式的计算专题 训练

精心整理，用心做精品 2 2 )132(- 二次根式的计算专题训练 一、基本公式； )0,0(≥≥=?b a ab b a )0,0(>≥=b a b a b a )0()(2≥=a a a ?? ? ??<-=>==0,0,00,2 a a a a a a a ()a a =3 3 二、二次根式的化简 （1）=50 ，=32 ，8= ， （2） =21 ，72= ，=81 ，3 1 1= , 5.1= . （3） 3 1 = 。 三、二次根式的运算 1、二次根式的乘除 326? = , .________5 2 ________,8223_______,236==?=? = , = , 2、二次根式的加减 ._______5 1 52____,_348=- =+ 3、二次根式的乘方 四、二次根式的混合运算 1、计算 （1)25 5 20-+ (2))32)(31(-+ (3)1 )2 1(21850---? (4)221332+- 2、计算 （1） 1482 - （2）61 42 216432+- （3）2 1 63)1526(-?- （4） 1 212122 18-??? ??+-+-

精心整理，用心做精品 3 3、计算 （1）241221 348+?-÷ （2） （3） ﹣22﹣ +|1﹣4 4 3 |+（） （4） 28)12013(21)21(02+------ 4、计算 （1） 12108249-+ （2） （3 ） ﹣| | （4）2012022(1)(3)8(2)π--+-?-- 5、计算 （1）12108249-+ （2）20 )5 335(?+ （3）8 1 4 64183 -+ （4） 2 2)77()77(--+ 6、计算 （1） 4 8 32 50-? （2） 6155 4 +- 32583-

第4讲 二次根式的除法(解析版)

2020-2021学年人教版八年级下册第16章《二次根式》同步练习 【第4讲：二次根式的除法】 一、选择题： 1．下列计算正确的是（ ） A = B =±3 C =3 D 4=【答案】C 【分析】 根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断． 【详解】 A ==2，故此选项错误； B =3，故此选项错误； C =3，正确； D 42 =?4=，故此选项错误； 故选：C ． 【点睛】 本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键． 2．把 ） A ．4b B C D ．【答案】D 【分析】 二次根式的性质以及除法法则计算． 【详解】

解： = = = 故选D． 【点睛】 本题考查了二次根式的性质以及除法，解题的关键是掌握运算法则． 3 ） A．x ≥ - 1B．x ≤ 3C．-1＜x ≤3D．-1 ≤ x ≤ 3【答案】C 【分析】 由二次根式的除法法则，结合二次根式有意义的条件可得答案． 【详解】 解：由题意得： 30 10 x x -≥ ? ? +> ? ① ② 由①得：3, x≤ 由②得：1 x>- ∴不等式组的解集是：13 x -<≤ 故选C． 【点睛】 本题考查的是二次根式的除法法则成立的条件即二次根式有意义的条件，掌握以上知识是解题的关键．4．下列各式化简正确的是（） A =B =C =D = 【答案】D

【分析】 =（0,a b ≥＞0）逐一进行化简即可． 【详解】 解：A == B == C 、原式＝22 33===23=不符合题意； D 、原式＝1122= ==12 故选：D ． 【点睛】 本题考查的是商的算术平方根的化简，掌握商的算术平方根的化简法则是解题的关键． 5（ ）（a ＞0，b ＞0） A ．10b a B ．10a b C ．2a D ．2a 2 【答案】C 【分析】 根据二次根式的除法法则计算可得． 【详解】 解：原式2a ====， 故选C ． 【点睛】 本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的除法运算法则． 6．现有一个体积为3的长方体纸盒，该纸盒的长为，宽为，则该纸盒的高为

二次根式的概念及运算

二次根式的概念及运算 二次根式 形如()0a a ≥的式子． 二次根式有意义 被开方数大于等于零（即若a 有意义，则0a ≥） 【例1】 1当x 取何值时，下列式子有意义？ ⑴2x - ⑵2x - ⑶2 x - ⑷213x x ++- ⑸1x - ⑹x 模块一 二次根式的概念 知识导航 知识互联网 夯实基础

2 若x ，y 为实数，且14411y x x =-+-+．求xy 的值． 3 设3 1221 x x y x -+-=+，求使y 有意义的x 的取值范围. ①0(0)a a ≥≥ ②2 ()(0)a a a =≥ ③（必考）2a a a a ?==?-?() ( )00a a <≥ 【例2】 化简下列各式 ⑴ ( ) 2 25 - ⑵ () 2 3a - 能力提升 夯实基础 知识导航 题型二 二次根式的性质

【例3】 ⑴已知数a b c 、、在数轴上的位置如图所示： 化简：() 2 2a a c c b b -++---的结果为________ ⑵已知01a <<，化简2 2 1144a a a a ??? ?-+++- ? ????? ⑶化简( ) 2 2 412912x x x -+- -得( ) A. 2 B.44x -- C.2- D.44x - ⑷若()2 2340a b c -+-+-=，则a b c -+= ． ⑸已知实数x 、y 满足480x y -+-=，则以x 、y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ． 16 D ． 以上答案均不对 ⑹若a 、b 为实数，且|1|20a ab -+-=， 求1111(1)(1)(2)(2)(2012)(2012)ab a b a b a b +++++++++的值. 乘法 与积的算术平方根可互相转化：(0,0)a b ab a b ?=≥≥ 除法 与商的算术平方根可互相转化： (0,0)a a a b b b =>≥ 最简二次根式 ①被开方数不含分母 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 知识导航 模块三 二次根式的运算 c a

湘教版2020八年级数学上册第五章二次根式自主学习培优测试卷A卷(附答案详解)

湘教版2020八年级数学上册第五章二次根式自主学习培优测试卷A 卷（附答案详解） 1．下列计算错误的是（ ） A ．(2)2--= B = C ．()22632m m ÷-=- D ．()325a a = 2．下列各式中，不是最简二次根式的是（ ） A B C D 3．下列各式计算正确的是（ ） A 9=- B C ． D =4．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A B C D 5．下列计算正确的是（ ） A 3= B ．2(13=- C = D ．2(10-= 6．下列计算正确的是( ) A ．3= B = C ．1= D 2= 7．化简 ） A ．3 B ．3- C ．9- D ．9 8．下列计算中，正确的是（ ） A ．33--= B ．()257a a = C ．220.20.20a b a b -= D 4=- 9合并的是（ ） A B C D 10x 的取值范围是（ ）

A ．x≥0 B ．x≤4 C ．x ＞4 D ．x≥4 11．在式子212 x x ++中自变量x 的取值范围是__________ 12．利用计算器求值时，依次按下 ，把显示结果输入下图的程序中， 则输出的结果为_____ 13832____________． 14()()(26446x x x x --=--成立的条件是_____________. 151 x -有意义，则x 的取值范围______________________． 16．比较大小：3-_____22-．（填入“＜”或“＞”） 17．已知 x 5- 1 ，则 x 2 + 2x - 7 ＝_____． 18．已知3，31，则代数式 y x x y +的值是__________________ ． 19．若a ≤1()21a -___. 20．计算下列各小题． （1122711863 （2）)(232233-+ 21．计算： （1）π﹣30.01）； （2523 （精确到0.01）． 22．先化简，再求值：（522a a -++a ﹣2）÷22 a a a -+，其中a 2+1． 23．计算（5分）1 012tan 6013(2015)2π-???-+-- ???

中考数学一轮复习《第4讲：二次根式》精练(含答案)

第4讲二次根式 A组基础题组 一、选择题 1.(肥城模拟)下列计 算:(1)(√2)2=2;(2)√(-2)2=2;(3)(-2√3)2=12;(4)(√2+√3)×(√2-√3)=-1.其中计算结果正确的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2.计算3√5-2√5的结果是( ) A.√5 B.2√5 C.3√5 D.6 3.下列计算正确的是( ) A.√2+√3=√ B.5√√2=3√3 C.2√3×3√3=6√3 D.√2÷√3=√6 3 4.下列等式一定成立的是( ) A.a2×a5=a10 B.√a+b=√a+√b C.(-a3)4=a12 D.2 有意义,则x的取值范围是( ) 5.要使式子√x-1 2 A.x>1 B.x>-1 C.x≥1 D.x≥-1 二、填空题 6.(2017河南)计算:23-√4= . 7.(2017德州)计算:√8-√2= . 8.化简:√3×(√√3)-√√6-3|= .

三、解答题 +√27)×√3. 9.计算:(√1 3 10.计算:(√3+√2-1)(√3-√2+1). B组提升题组 一、选择题 有意义,则实数x的取值范围是( ) 1.(2017潍坊)若代数式√x-2 √x-1 A.x≥1 B.x≥2 C.x>1 D.x>2 2.(2018淄博)与√37最接近的整数是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 二、解答题 3.(2017广东深圳)计算:|√2cos 45°+(-1)-2+8.

√18+(π+1)0-sin 45°+|√2-2|. 4.(2017新泰二模)计算:1 2 二次根式培优训练 一、选择题 1.下列各式:√15,√3a,2,2+b2,2+20,√-144中,二次根式的个数是( ) A.4 B.3 C.2 D.1 2.若√x-3在实数范围内有意义,则x的取值范围是( ) A.x>0 B.x>3 C.x≥3 D.x≤3 3.对任意实数a,下列等式一定成立的是( ) A.(√a)2=a B.√a2=-a