数学建模基础概率统计部分1数理统计的基本知识

数学建模基础概率统计部分1数理统计的基本知识

注：建模的基础知识主要包括：数值分析（插值、差分等）、微分方程、优化规划、概率统计分析等几大部分，建模就是各种方法的综合应用。

一、统计量

1.描述集中趋势的统计量：

在描述统计资料的方法中，对集中趋势的测量方法是比较重要的方法。有很多时候数据都是杂乱无章的，但是其中却有着一种必然的因素，就是事物的本质特征，而这种本质特征，可以通过变量的集中趋势来体现。集中趋势代表了现象的一般水平和发展状态，能够说明现象的变动趋势。

（1）算数平均值：∑==n

i i X n X 1

1

分组数据：11

n

n

i

i i i i i n X X f X n ====∑∑（加权平均）

对于组距式的分组数，可以利用组中值来计算平均值，虽然这样是一个近似的值，但是作为集中趋势的反应也是可以的：

1n

i

i i n X X n

='≈∑

i X '为第i 组的组中值（区间的中中心值） 如:

假定某公司考虑是否增开班车避免员工不必要的时间浪费，随机调查了10名员工上班时间所用的时间，如表所示，试对公司整体上班时间情况进行简单分析。

分析：数据并未分组，所以利用∑==i i X n X 1

计算平均值，可以看出整体上班时

间的集中趋势，

34min X =，但是这一结果对于10个人来说并不太理想，因为期中9人的上班

时间都在这一水平之下，原因是第10个人的上班时间比较长；所以再用平均值分析，要将这个数据剔除掉，之后在计算可得24min X =，显然这一就比较合理了，而且时间并不是太长，所以公司可以不用增开班车，以节约成本。 （2）众数：指全部数据中出现次数最多的数值； 众数的作用:

众数在某些场合具有不可替代的作用，比如：在集贸市场了解某种商品的交易价格时，由于无法收集到有关销售量或者销售额的数据，最简单的方法就是了解市场上出现次数最多的交易价格，以此作为平均价格。

众数还有一个作用是，区别总体。当数据出现两个众数时，它提醒我们是否数据是来自两个不同的总体。比如：两个生产灯泡的厂家将一批产品混在一起，如果灯泡寿命差距较大，进行抽样检测时，会发现有两个众数。

求众数一般需要将数据进行分组，统计数据的频数，即可以得到众数，对于组距式的数据表，可以用内插法近似计算：

1

012

M L d ?=+

??+?，

众数组为出现次数最多的区间，其中L 为众数组下限，d 为组距，1?为众数组与前一组的次数之差，2?为众数组与后一组的次数之差。 有时为了简便，也可以利用组中值来代替众数。

MATLAB 求众数方法：

function y=Num_max(p); p=p(:); k=unique(p); B=hist(p,k) ;y=k(B==max(B)); p=p(:)将输入数据写成列向量； unique(p)排序并去掉重复数据；

B=hist(p,k)做直方图，返回值为数据p 的频数向量；

（3）中位数：将数据由小到大排序后位于中间位置的那个数值.

当n 为奇数时12

e n M X +=；当n 为偶数时，1

22

2

n n

e X X M ++=

；

（对于组距式数据表，可以利用公式计算中位数，参考《应用统计》朱洪文） 中位数的作用：中位数不受个别极端值的影响，表现出稳定的特性，在数据分布有较大偏斜时，能够保持对数据一般水平的代表性。比如以下为五个人一周看电视时间的统计表：

算数平均值为12.2h ，利用均值来描述显然不合理，而用中位数具有较好的代表性。

还比如：要确定一个班级的平均身高，如果不具备测量条件，只需将全部学生按身高排队，处于中间位置的那个同学的身高作为衡量班级身高的集中趋势。 MATLAB 中位数函数：median(x) 2.描述离散程度的统计量

（1）极差（全距）：样本中最大值与最小值之差 max min R X X =-

（2）方差：2

2

1

1()1n i

i s X X n ==--∑ 分组数据方差的计算：2

22111k i i i s n x nx n =??≈- ?-??

∑ 标准差：21/21

1[()]1n

i i s X X n ==--∑ Matlab 方差函数：var(x) （3）离散系数： 总体的离散系数：

σμ； 样本的离散系数：S X

比较均值不同的两组数据相对离散程度是，使用离散系数比标准差更精确，更能说明问题；

比如：甲、乙两工人，甲平均每小时生产40个零件，零件标准差为5；乙为80个，标准差为6。

分析： 甲：

50.12540σμ== 乙：60.07580

σμ== 注：离散系数没有单位，所以可以利用离散系数比较不同类事物的离散程度，比如：比较人的身高和体重的离散程度。

3. 偏度：∑=-=n

i i X X s

g 1

3

3

1)(1

峰度：∑=-=n

i i

X X

s g 1

442

)(1

偏度反映分布的对称性，10g >称为右偏态，此时数据位于均值右边的比位于左边的多；10g <称为左偏态，情况相反；1g 接近0则可认为分布是对称的.

峰度是分布形状的另一种度量，正态分布的峰度为3，若2g 比3大很多，表示分布有沉重的尾巴，说明样本中含有较多远离均值的数据，因而峰度可用作衡量偏离正态分布的尺度之一.

Matlab 命令： 偏度：skewness(x) 峰度：kurtosis(x) 二、几个在统计中常用的概率分布 1、正态分布

密度函数：22

()2()x f x x μσ--=-∞<<+∞

分布函数：22

()2()()t x x F x f t dt dt μσ--∞

==?

?

注:x=-6:0.01:6; y=normpdf(x); z=normpdf(x,0,2);plot(x,y,x,z,'o')

标准正态分布：

μ＝0, 2σ=1的正态分布(0,1)N 称为标准正态分布.服从标准正态分布的R.V.称为标准正态变量.标准正态变量的密度称为标准正态密度.标准正态密度记作

)(x ?. 2、2χ分布

若随机变量X 1，X 2，… X n 相互独立，都服从标准正态分布(0,1)N ，则随机变量

2χ=22212n X X X +++L 服从自由度为n 的2χ分布，记为22()n χχ: 2χ的均值为n ，方差为2n. 3、t 分布

若X :(0,1)N ，Y :2χ(n)，且相互独立，则随机变量 n

Y X T =

，服从自由

度为n 的t 分布，记为T :t （n ）. t 分布t （20）的密度函数曲线和(0,1)N 的

曲线形状相似.理论上n ∞→时，t （n ）→(0,1)N 4、F 分布12(,)F n n

若X :2χ（n 1），Y :2χ（n 2），且相互独立，则随机变量 2

1n Y n

X

F =

服从自由度为（n 1，n 2）的F 分布，记作F :12(,)F n n 由F 分布的定义可以得到F 分布的一个重要性质：

注: 1. 若F :

12(,)F n n ，则

),(~1

12n n F F

2. ),(1),(1m n F n m F αα=

-. 三 、判断总体分布的简单方法

有时为了能够方便的推断总体的概率分布，可以采用频率直方图，而后可以应用其他方法加以确定。 方法如下：

1、整理资料： 把样本值x 1，x 2，…，x n 进行分组，先将它们依大小次序排列，得

***12n x x x ≤≤≤L .在包含],[*

*1

n x x 的区间[a ，b]内插入一些等分点：'''

12,n a x x x b <<<<

有样本观测值i x （i=1，2，…，n-1）落入其中.

2、求出各组的频数和频率：统计出样本观测值在每个区间],('1'+i i x x 中出现的次数i n ，它就是这区间或这组的频数.计算频率n

n f i

i =

. 3、频率直方图：在直角坐标系的横轴上，标出'''12,,,n x x x L 各点，分别以]

,('1'+i i x x

为底边，作高为

'i

i

f x ?的矩形，'''1,1,2,,1i i i x x x i n +?=-=-L ,即得频率直方图. 注：matlab 命令 [N,X]=hist(data,k)

此命令将区间[min(data),max(data)]分为k 个小区间（缺省为10），返回数组data 落在每一个小区间的频数N 和每一个小区间组中值X . 四、数据预处理的常用方法 1、离群数据处理

在整理工程或试验数据时，往往会遇到这种情况，在一组数据里，发现有一个或几个过大或过小的数据，这时不要根据主观的判断随意加以取舍。对数据随意取舍会使试验的准确性受到影响（夸大或损失），甚至可能导致由数据得到的结论与工程或生产实际相距悬殊。

一组数据里少数与其他数据相差较大（即过大或过小）的数据成为离群数据。对于怀疑为异常数据，最好能分析出试验原因或工程技术方面的原因，然后决定取舍。假如离群数据为某种原因所致，如由于操作失误、误读或试验分析中样品被沾污或突然出现的干扰使试验条件瞬间巨变所引起，则有充分理由予以舍弃。当原因不明时，找不出原因，就不应随意舍弃。

这时就要用统计学的离群数据检验的方法来决定取舍。检验离群数据的方法有几种，下面介绍效果较好的格拉布斯（Grubbs ）检验法。

假设被测定值X 服从正态分布，即2(,)X N μσ:，设X 的一个随机子样容量为n ，即12,,,n x x x L ，

把实测样本大小排序(1),(2),,()X X X n L ，如果认为最大或最小数据为可疑数据，则检验方法如下：

（1）选定显著性水平α（一般选取0.05）。

α值表明：按格拉布斯方法判断为异常数据，而实际上并不是异常数据，即犯错误的概率。这种错误时统计方法所不可避免的。 （2）计算统计量T 值：

设(1)x 是可疑的，则统计量

(1)

x x s - 设()x n 是可疑的，则统计量()

x x n s -

（3）查表找出相应于n 及α的(,)T n α值。

（4）若(,)T T n α≥，则以怀疑的数据是异常值，应予舍去。

注：这样判定，犯错误的概率为α。如果(,)T T n α<，则不应舍去。必须说明的

是，α不应过小，因为α值小固然将不是异常数据错判为异常数据的概率减小了，但是相反，又意味着“将实为异常数据判断为不是异常数据”的错误的概率增大了。

例题：设有下列10个数据：73.5 69.5 69.0 69.5 67.0 67.0 63.5 69.5 70.0 70.5，分析异常数据。（0.05α=） 解：chengxu1tichu 2、标准化、正规化

由于所研究的各个变量的量纲往往不一致，即使统一了量纲有时原始数据的大小也有悬殊，为了避免有些特征变量受到压抑，在使用前可首先对原始数据进行预处理。通常是对变量施行必要的变换，使其所有变量尺度均匀化。 这里介绍两种常用方法： （1）标准化

设有n 个样品，m 个特征变量，设第i 个样品，第j 个变量的观测值为

(1,,;1,,)ij x i n j m ==L L 。由此可构造成一个n m ?阶矩阵为

11

121212221

2()m m ij n m

n n nm x x x x x x X x x x x ??? ? ?

== ? ???

L L L L L

将每个变量ij x 进行标准化，如下：

ij j

ij

j

x x x s -'=，其中11n j ij i x x n ==∑，1/2

21()j ij j S x x n ??

=-????

∑

标准化后的变量平均值为0，标准离差为1. （2）正规化

对每个变量施行以下变化，称为正规化。

(min)(max)(min)

ij j ij

j j x x x x x -'=-(1,,;1,,)i n j m ==L L

其中(max)j x 和(min)j x 分别是第j 个变量的最大和最小值。显然，01ij

x '≤≤。 五、参数估计

无论总体X 的分布函数12(;,,,)k F x θθθL 的类型已知或未知，我们总是需要去估计某些未知参数或数字特征，这就是参数估计问题.即参数估计就是从样本

（X 1，X 2，…，X n ）出发，构造一些统计量(?i θX 1，X 2，…，X n ）（i=1，2，…，k ）去估计总体X 中的某些参数（或数字特征）i θ（i=1，

2，…，k ）.这样的统计量称为估计量.

1. 点估计：构造（X 1，X 2，…，X n ）的函数(?i

θX 1，X 2，…，X n ） 作为参数i θ的点估计量，称统计量i θ?为总体X 参数i θ的点估计量. 2. 区间估计：构造两个函数(1i θ X 1，X 2，…，X n ）和(2i θ X 1，X 2，…， X n ）做成区间，把这（21,i i θθ）作为参数i θ的区间估计. 点估计的求法 (一）矩估计法

假设总体分布中共含有k 个参数，它们往往是一些原点矩或一些原点矩的函数，例如，数学期望是一阶原点矩，方差是二阶原点矩与一阶原点矩平方之差等.因此，要想估计总体的某些参数i θ（i=1，2，…k ），由于k 个参数一定可以表为不超过k 阶原点矩的函数，很自然就会想到用样本的r 阶原点矩去估计总体相应的r 阶原点矩，用样本的一些原点矩的函数去估计总体的相应的一些原点矩的函数，再将k 个参数反解出来，从而求出各个参数的估计值.这就是矩估计法，它是最简单的一种参数估计法. (二）极大似然估计法

极大似然法的想法是: 若抽样的结果得到样本观测值x 1,x 2,…,x n , 则我们应当这样选取参数i θ的值,使这组样本观测值出现的可能性最大.即构造似然函数

：

1211221122(,,,)(,,,)()()()k n n n n L P X x X x X x P X x P X x P X x θθθ========L L L

1121111(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)n

k k n k i k i p x p x p x p x θθθθθθθθ===∏L L L L L

使1(,,)k L θθL 达到最大，从而得到参数i θ的估计值i θ?.此估计值叫极大似然估计值.函数1(,,)k L θθL 称为似然函数.

求极大似然估计值的问题，就是求似然函数1(,,)k L θθL 的最大值的问题，则

0=??i

L θ 1,2,,i k =L 即0=??i LnL

θ 1,2,,i k =L 区间估计的求法

设总体X 的分布中含有未知参数θ，若对于给定的概率α-1（10<<α），

存在两个统计量(?1θ X 1，X 2，…，X n ）和(?2θ X 1，X 2，…，X n ）,使得αθθθ-=<<1)??(2

1P ,则称随机区间()?,?21θθ为参数θ的置信水平为α-1的置信区间,1

?θ称为置信下限,2?θ称为置信上限. (一)数学期望的置信区间 1、已知DX ，求EX 的置信区间

设样本（X 1，X 2，…，X n ）来自正态母体X ，已知方差2σ=DX ，EX 在置信水平1-α下的置信区间为],[2

2

n

u

X n

u

X σ

σ

α

α

-

-

+-.

2． 未知方差DX ，求EX 的置信区间 EX 在置信水平1-α下的置信区间为],[2

2

n

s

t

X n

s

t X α

α

-

-

+-.

（二）方差的区间估计

DX 在置信水平1-α下的置信区间为])1(,)1([2

2

2

22

12α

α

χχ

s n s n ---

.

四、假设检验

对总体X 的分布律或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设. 1.参数检验：

如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验. 参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质

作出明确的判断. 2.非参数检验：

如果所检验的假设并非是对某个参数作出明确的判断，因而必须要求构造出的检验统计量的分布函数不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.

假设检验的一般步骤是：

1． 根据实际问题提出原假设H 0与备择假设H 1，即说明需要检验的假设的具体内容；

2． 选择适当的统计量，并在原假设H 0成立的条件下确定该统计量的分布； 3．按问题的具体要求，选取适当的显著性水平α，并根据统计量的分布查表，确定对应于α 的临界值.一般α取0.05,0.01或0.10 4．根据样本观测值计算统计量的观测值，并与临界值进行比较，从而在检验水平α条件下对 拒绝或接受原假设H 0作出判断. （一）参数检验

1、单个正态总体均值检验

设取出一容量为n 的样本，得到均值X 和标准差s ，现要对总体均值μ是否等于某给定值0μ进行检验.记00:μμ=H ； 01:μμ≠H

称H 0为原假设，H 1为备择假设，两者择其一：接受H 0；拒绝H 0，即接受H 1. (1）总体方差2σ已知

用u 检验，检验的拒绝域为}{2

1α

-

>=u

z W 即}{2

12

1α

α

-

-

>-<=u

z u

z W 或

(2)总体方差2σ未知

用样本方差2s 代替总体方差2σ，这种检验叫t 检验.

2、单个正态总体方差检验

设X 1，X 2，…，X n 是来自正态总体),(2σμN 的样本，欲检验假设：

2020:σσ=H 2021:σσ≠H （或 202σσ> 或 2

02σσ<）这叫2χ检验.

3、两个正态总体均值检验

1、21σ与2

2σ已知时

构造统计量 2

22

1

2

1

n n Y

X z σ

σ

+

-=

.

2、21σ与2

2σ未知但相等时

构造统计量2

121212

2

2211)

2()1()1(n n n n n n s n s n Y

X t +-+-+--=，

4、两个正态总体方差检验

设样本X 1，X 2，…，X n1与Y 1，Y 2，…，Y n2分别来自正态总体)

,(211σμN 与),(2

2

2σμN ，检验假设： 2

2210:σσ=H 22211:σσ≠H （或2221σσ>或2221σσ<）

当假设0H 为真时，选取统计量22

21s s F =

全国历自学考试概率论与数理统计(二)试题与答案

全国2011年4月自学考试概率论与数理统计（二） 课程代码：02197 选择题和填空题详解 试题来自百度文库 答案由王馨磊导师提供 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A , B , C , 为随机事件, 则事件“A , B , C 都不发生”可表示为（ A ） A ．C B A B ．C B A C ．C B A D ．C B A 2．设随机事件A 与B 相互独立, 且P (A )=5 1, P (B )=5 3, 则P (A ∪B )= ( B ) A ．253 B ．2517 C ．5 4 D ．2523 3．设随机变量X ~B (3, 0.4), 则P {X ≥1}= ( C ) A ．0.352 B ．0.432 C ．0.784 D ．0.936 解：P{X ≥1}=1- P{X=0}=1-(1-0.4)3=0.784,故选C. 4．已知随机变量X 的分布律为 , 则P {-2＜X ≤4}= ( C ) A ．0.2 B ．0.35 C ．0.55 D ．0.8 解：P {-2＜X ≤4}= P {X =-1}+ P {X =2}=0.2+0.35=0.55，故选C. 5．设随机变量X 的概率密度为4 )3(2 e 2 π21)(+-= x x f , 则E (X ), D (X )分别为 ( ) A ．2,3- B ．-3, 2 C ．2,3 D ．3, 2 与已知比较可知：E(X)=-3，D(X)=2，故选B. 6．设二维随机变量 (X , Y )的概率密度为? ??≤≤≤≤=,,0, 20,20,),(其他y x c y x f 则常数 c = ( A ) A ．4 1 B ．2 1 C ．2 D ．4 解：设D 为平面上的有界区域，其面积为S 且S>0，如果二维随机变量 （X ，Y ）的概率密度为 则称 （X ，Y ）服从区域D 上的均匀分布，

数学建模案例分析—主成分分析的应用--概率统计方法建模

§8 主成分分析的应用 主成分分析的基本思想是通过构造原变量的适当的线性组合，以产生一系列互不相关的新变量，从中选出少数几个新变量并使它们尽可能多地包含原变量的信息（降维），从而使得用这几个新变量替代原变量分析问题成为可能。即在尽可能少丢失信息的前提下从所研究的m 个变量中求出几个新变量，它们能综合原有变量的信息，相互之间又尽可能不含重复信息，用这几个新变量进行统计分析（例如回归分析、判别分析、聚类分析等等）仍能达到我们的目的。 设有n 个样品，m 个变量（指标）的数据矩阵 (1)1112 1(2)21222()12m m n m n n n nm x x x x x x x x X x x x x ??? ?? ? ? ? ?== ? ? ? ? ????? 寻找k 个新变量12,,,()k y y y k m ≤ ，使得 1、1122,(1,2,,)l l l lm m y a x a x a x l k =+++= 2、12,,k y y y 彼此不相关 这便是主成分分析。主成分的系数向量12(,,,)l l l lm a a a a = 的分量lj a 刻划出第j 个变量关于第l 个主成分的重要性。 可以证明，若12(,,,)T m x x x x = 为m 维随机向量，它的协方差矩阵V 的m 个特征值为 120m λλλ≥≥≥≥ ，相应的标准正交化的特征向量为12,,,m u u u ，则 12(,,,)T m x x x x = 的第i 主成分为(1,2,,)T i i y u x i m == 。 称1 / m i j j λλ =∑为主成分(1,2,,)T i i y u x i m == 的贡献率， 1 1 /k m j j j j λλ ==∑∑为主成分 12,,k y y y 的累计贡献率，它表达了前k 个主成分中包含原变量12,,,m x x x 的信息量大 小，通常取k 使累计贡献率在85%以上即可。当然这不是一个绝对不变的标准，可以根据实 际效果作取舍，例如当后面几个主成分的贡献率较接近时，只选取其中一个就不公平了，若都选入又达不到简化变量的目的，那时常常将它们一同割舍。 计算步骤如下： 1、由已知的原始数据矩阵n m X ?计算样本均值向量12?(,,,)T m x x x x μ== ； 其中1 1(1,2,,)n i ij j x x i m n ===∑

数学建模入门基本知识

数学建模知识 之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。 不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个 抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数 学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领 域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。 特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。

二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了 使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统 运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差 分析，数据稳定性分析。 例题：一个笼子里装有鸡和兔若干只，已知它们共有8个头和22只脚，问该笼子中有多 少只鸡和多少只兔？

第一章 概率统计基础知识(2)概率的古典定义与统计定义

二、概率的古典定义与统计定义 二、概率的古典定义与统计定义(p5-11) 确定一个事件的概率有几种方法，这里介绍其中两种最主要的方法，在历史上，这两种方法分别被称为概率的两种定义，即概率的古典定义及统计定义。 (一) 概率的古典定义 用概率的古典定义确定概率的方法的要点如下: （1）所涉及的随机现象只有有限个样本点，设共有n个样本点； （2）每个样本点出现的可能性相同(等可能性); 若事件含有k个样本点，则事件的概率为: (1.1-1) [例1.1-3] [例1.1-3]掷两颗骰子，其样本点可用数组（x , y）表示，其中，x与y分别表示第一与第二颗骰子出现的点数。这一随机现象的样本空间为: 它共含36个样本点，并且每个样本点出现的可能性都相同。参见教材6页图。这个图很多同学看不懂！其实就是x+y=?在坐标系反映出来的问题。 （二）排列与组合 （二）排列与组合 用古典方法求概率，经常需要用到排列与组合的公式。现简要介绍如下: 排列与组合是两类计数公式，它们的获得都基于如下两条计数原理。 （1）乘法原理: 如果做某件事需经k步才能完成，其中做第一步有m1种方法，做第二步m2种方法，做第k步有m k种方法，那么完成这件事共有m1×m2×…×m k种方法。 例如, 甲城到乙城有3条旅游线路，由乙城到丙城有2条旅游

线路，那么从甲城经乙城去丙城共有3×2=6 条旅游线路。 (2) 加法原理: 如果做某件事可由k类不同方法之一去完成，其中在第一类方法中又有m1种完成方法, 在第二类方法中又有m2种完成方法，在第k类方法中又有m k种完成方法, 那么完成这件事共有m1+m2+…+m k种方法。 例如，由甲城到乙城去旅游有三类交通工具: 汽车、火车和飞机，而汽车有5个班次，火车有3个班次，飞机有2个班次，那么从甲城到乙城共有5+3+2=10 个班次供旅游选择。 排列与组合 排列与组合的定义及其计算公式如下: ①排列:从n个不同元素中任取）个元素排成一列称为一个排列。按乘法原理，此种排列共有n×(n1) ×…×(n-r+1) 个，记为。若r=n, 称为全排列，全排列数共有n!个，记为，即:= n×(n-1) ×…×(n-r+1), = n! ②重复排列:从n个不同元素中每次取出一个作记录后放回，再取下一个，如此连续取r次所得的排列称为重复排列。按乘法原理，此种重复排列共有个。注意，这里的r允许大于n。 例如，从10个产品中每次取一个做检验，放回后再取下一个，如此连续抽取4次，所得重复排列数为。假如上述抽取不允许放回，则所得排列数为10×9×8×7=5040 。 ③组合: 从n个不同元素中任取x个元素并成一组 (不考虑他们之间的排列顺序)称为一个组合，此种组合数为： .特别的规定0!=1，因而。另外，在组合中，r个元素"一个接一个取出"与"同时取出"是等同的。例如，从10个产品中任取4个做检验，所有可能取法是从10个中任取4个的组合数，则不同取法的种数为： 这是因为取出的任意一组中的4个产品的全排列有4!=24 种。而这24种排列在组合中只算一种。所以。 注意:排列与组合都是计算"从n个不同元素中任取r个元素"的取法总数公式，他们的主要差别在于: 如果讲究取出元素间的次序，则用排列公式；如果不讲究取出元素间的次序，则用组合公式。至于是否讲究次序，应从具体问题背景加以辨别。 [例1.1-4] [例1.1-4] 一批产品共有个，其中不合格品有个，现从中随机取出n个，问：事

《概率论与数理统计》讲义#(精选.)

第一章 随机事件和概率 第一节 基本概念 1、排列组合初步 （1）排列组合公式 )! (! n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 )! (!! n m n m C n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 例1．1：方程 x x x C C C 765107 11=-的解是 A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1 例1．2：有5个队伍参加了甲A 联赛，两两之间进行循环赛两场，试问总共的场次是多少？ (2)加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n 某件事由两种方法来完成，第一种方法可由m 种方法完成，第二种方法可由n 种方法来完成，则这件事可由m+n 种方法来完成。 (3)乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m ×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由m 种方法完成，第二个步骤可由n 种方法来完成，则这件事可由m ×n 种方法来完成。 例1．3：从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会，要求与会成员中既有男同学又有女同学，有几种不同的选法？ 例1．4：6张同排连号的电影票，分给3名男生和3名女生，如欲男女相间而坐，则不同的分法数为多少？ 例1．5：用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里，每一区域涂上一种颜

色，且相邻区域的颜色必须不同，则共有不同的涂法 A．120种B．140种 C．160种D．180种 (4)一些常见排列 ①特殊排列 ②相邻 ③彼此隔开 ④顺序一定和不可分辨 例1．6：晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目，问：分别按以下要求各可排出几种不同的节目单？ ①3个舞蹈节目排在一起； ②3个舞蹈节目彼此隔开； ③3个舞蹈节目先后顺序一定。 例1．7：4幅大小不同的画，要求两幅最大的排在一起，问有多少种排法？ 例1．8：5辆车排成1排，1辆黄色，1辆蓝色，3辆红色，且3辆红车不可分辨，问有多少种排法？ ①重复排列和非重复排列（有序） 例1．9：5封不同的信，有6个信箱可供投递，共有多少种投信的方法？ ②对立事件 例1．10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有几种不同的坐法？ 例1．11：15人中取5人，有3个不能都取，有多少种取法？ 例1．12：有4对人，组成一个3人小组，不能从任意一对中取2个，问有多少种可能性？

数学建模--个人认识和心得体会

数学建模--个人认识和心得体会

数学建模的体会思考 经过这段时间的学习，了解了更多的关于这门学科的知识，可以说是见识了很多很多，作为一个数学系的学生，一直都有一个疑问，数学的应用在那里。对了，就在这里，在这里，我看到了很多，也学到了很多，关于各个学科，各个领域，都少不了数学，都是用建模的思想，来解决实际问题，很神奇。 数学建模给了我很多的感触：它所教给我们的不单是一些数学方面的知识，更多的其实是综合能力的培养、锻炼与提高。它培养了我们全面、多角度考虑问题的能力，使我们的逻辑推理能力和量化分析能力得到很好的锻炼和提高。它还让我了解了多种数学软件，以及运用数学软件对模型进行求解。 数学模型主要是将现实对象的信息加以翻译，归纳的产物。通过对数学模型的假设、求解、验证，得到数学上的解答，再经过翻译回到现实对象，给出分析、决策的结果。其实，数学建模对我们来说并不陌生，在我们的日常生活和工作中，经常会用到有关建模的概念。例如，我们平

时出远门，会考虑一下出行的路线，以达到既快速又经济的目的；一些厂长经理为了获得更大的利润，往往会策划出一个合理安排生产和销售的最优方案……这些问题和建模都有着很大的联系。而在学习数学建模训练以前，我们面对这些问题时，解决它的方法往往是一种习惯性的思维方式，只知道该这样做，却不很清楚为什么会这样做，现在，我们这种陈旧的思考方式己经在被数学建模训练中培养出的多角度、层次分明、从本质上区分问题的新颖多维的思考方式所替代。这种凝聚了许多优秀方法为一体的思考方式一旦被你把握，它就转化成了你自身的素质，不仅在你以后的学习工作中继续发挥作用，也为你的成长道路印下了闪亮的一页。 数学建模所要解决的问题决不是单一学科问题，它除了要求我们有扎实的数学知识外，还需要我们不停地去学习和查阅资料，除了我们要学习许多数学分支问题外，还要了解工厂生产、经济投资、保险事业等方面的知识，这些知识决不是任何专业中都能涉猎得到的。它能极大地拓宽和丰富我们的内涵，让我们感到了知识的重要性，也领悟到了“学习是不断发现真理的过程”

建立数学模型的方法步骤特点及分类

§16.3 建立数学模型的方法、步骤、特点及分类 [学习目标] 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可转移性、非预制性、条理 性、技艺性和局限性等特点；； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法．机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.§16.2节的示例都属于机理分析方法。测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数． 可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识．以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，从§16.2节的几个例子也可以看出这点．下面给出建模的—般步骤，如图16-5所示． 图16-5 建模步骤示意图 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之是做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份

数学建模案例分析消费分布规律的分类概率统计方法建模

§7 消费分布规律的分类 为研究辽宁、浙江、河南、甘肃、青海5省份在某年城镇居民生活消费的分布规律，需要用调查资料对这5个省分类.数据见下表： 其中，X 1：人均粮食支出； X 2：人均副食品支出； X 3：人均烟、酒、茶支出； X 4：人均其它副食品支出； X 5：人均衣着商品支出； X 6：人均日用品支出； X 7：人均燃料支出； X 8：人均非商品支出. 在科学研究、生产实践、社会生活中，经常会遇到分类的问题.例如，在考古学中，要将某些古生物化石进行科学的分类；在生物学中，要根据各生物体的综合特征进行分类；在经济学中，要考虑哪些经济指标反映的是同一种经济特征；在产品质量管理中，要根据各产品的某些重要指标而将其分为一等品，二等品等等. 这些问题可以用聚类分析方法来解决. 聚类分析的研究内容包括两个方面，一是对样品进行分类，称为Q 型聚类法，使用的统计量是样品间的距离；二是对变量进行分类，称为R 型聚类法，使用的统计量是变量间的相似系数. 设共有n 个样品，每个样品i x 有p 个变量，它们的观测值可以表示为 n i x x x x pi i i i ,,2,1),,,,(21 == 一、样品间的距离 下面介绍在聚类分析中常用的几种定义样品i x 与样品j x 间的距离. 1、 Minkowski 距离 m m p k kj ki j i x x x x d 11 ][),(∑=-= 2、绝对值距离 ∑=-=p k kj ki j i x x x x d 1),( 3、欧氏距离 21 21][),(∑=-=p k kj ki j i x x x x d 二、变量间的相似系数 相似系数越接近1，说明变量间的关联程度越好.常用的变量间的相似系数有 1、 夹角余弦

数学建模知识竞赛题库

数学建模知识竞赛题库 1.请问计算机中的二进制源于我国古代的哪部经典? D A.《墨经》 B.《诗经》 C.《周书》 D.《周易》 2.世界上面积最大的高原是？D A.青藏高原 B.帕米尔高原 C.黄土高原 D.巴西高原 3.我国海洋国土面积约有多少万平方公里? B A.200 B.300 C.280 D.340 4.世界上面值最高的邮票是匈牙利五百亿彭哥，它的图案是B A.猫 B.飞鸽 C.海鸥 D.鹰 5. 龙虾是我们的一种美食、你知道它体内的血是什么颜色的吗？B A.红色 B.蓝色 C.灰色 D.绿色 6.MATLAB使用三维向量[R G B]来表示一种颜色，则黑色为（D ） A. [1 0 1] B. [1 1 1] C. [0 0 1] D. [0 0 0] 7.秦始皇之后，有几个朝代对长城进行了修葺？ A A.7个 B.8个 C.9个 D.10个 8.中国历史上历时最长的朝代是？A A.周朝 B.汉朝 C.唐朝 D.宋朝 9我国第一个获得世界冠军的是谁？C A 吴传玉 B 郑凤荣 C 荣国团 D 陈镜开 10.我国最早在奥运会上获得金牌的是哪位运动员？B A.李宁 B.许海峰 C.高凤莲 D.吴佳怩

11.围棋共有多少个棋子？B A.360 B.361 C.362 D.365 12下列属于物理模型的是:A A水箱中的舰艇 B分子结构图 C火箭模型 D电路图 13名言：生命在于运动是谁说的？C A.车尔尼夫斯基 B.普希金 C.伏尔泰 D.契诃夫 14.饱食后不宜剧烈运动是因为B A.会得阑尾炎 B.有障消化 C.导致神经衰弱 D.呕吐 15、MATLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角16红军长征中，哪次战役最突出反应毛泽东的军事思想和指挥才?A A.四渡赤水B.抢渡大渡河C.飞夺泸定桥D.直罗镇战役 17色盲患者最普遍的不易分辨的颜色是什么？A A.红绿 B.蓝绿 C.红蓝 D.绿蓝 18下列哪种症状是没有理由遗传的？ A.精神分裂症 B.近视 C.糖尿病 D.口吃 19下面哪个变量是正无穷大变量？（A ）

数模电课程复习

第一部分《模拟电子技术基础》 参考书： [1]刘京南主编：电子电路基础。电子工业出版社，2003 [2]康华光主编：电子技术基础，模拟部分，第四版。高等教育出版社，1999 一、半导体器件概述 （1）PN结及二极管 主要内容：半导体及PN结、二极管的基本特性、二极管的电路模型及主要参数、特殊二极管 （2）半导体三极管 主要内容：三极管的基本工作原理、三极管的基本特性、三极管的电路模型及主要参数 （3）半导体场效应管 主要内容：结型场效应管、绝缘栅场效应管、场效应管的主要参数及电路模型 （4）集成运算放大器 主要内容：集成运放的基本特性、理想运放 二、基本放大电路 （1）放大电路的组成与技术指标 主要内容：放大电路的组成、放大电路的技术指标 （2）放大电路的稳定偏置 主要内容：温度对半导体器件的影响、分压式偏置电路、电流源偏置电路 （3）各种基本组态放大电路的分析与比较 主要内容：共基极放大电路、共集电极放大电路、场效应管的直流偏置电路、共源极放大电路、共漏极放大电路 三、组合放大电路 （1）一般组合放大电路 主要内容：组合放大电路的级间耦合、组合放大电路的增益、共源—-共射放大电路、共射—共基—共集放大电路 （2）差动放大电路 主要内容：基本差动放大电路、差动放大电路的传输特性（3）集成运放的典型电路 主要内容：偏置电路及输入级、中间级及输出级电路 （4）集成运放的参数及实际电路模型 主要内容：集成运放的主要参数、集成运放的实际电路模型、运放电路的调零

四、放大电路的频率响应 （1）放大电路频率响应的有关概念 主要内容：幅频响应、相频响应、波特图、上限频率、下限频率（2）单级放大电路频率响应的分析方法 主要内容：单管放大电路的高频响应、单管放大电路的低频响应（3）多级放大电路的频率响应 主要内容：多级放大电路的高频响应、多级放大电路的低频响应 五、反馈放大电路及其稳定性分析 （1）反馈的基本概念与分类 主要内容：反馈的基本概念、反馈的分类与判断、反馈放大电路的方框图表示及其一般表达式 （2）负反馈对放大器性能的改善 主要内容：提高放大倍数的稳定性、减少非线性失真、扩展通频带、对输入电阻和输出电阻的影响 （3）深度负反馈放大电路的分析计算 主要内容：深度负反馈的特点、深度负反馈放大电路的计算（4）负反馈放大电路的稳定性分析及频率补偿 主要内容：负反馈电路的稳定性分析、常用的频率补偿方法 六、波形产生与整形电路 （1）正弦波振荡电路的基本概念 主要内容：正弦波振荡器的振荡条件、正弦波振荡器的组成及分类（2）正弦波振荡电路 主要内容：RC文氏电桥振荡电路、LC三点式振荡电路、变压器反馈式振荡电路、石英晶体振荡电路 （3）非正弦振荡电路 主要内容：矩形波振荡电路、三角波振荡电路 七、信号运算和处理电路 （1）集成运放运算电路 主要内容：比例运算电路、加减运算电路、微分与积分电路、对数与反对数电路 （2）有源滤波器 主要内容：滤波器的基本概念、一阶有源滤波电路、二阶有源滤波电路、状态变量滤波器 （3）模拟乘法器 主要内容：对数式模拟乘法器、变跨导式模拟乘法器、模拟乘法器应用（4）锁相环电路 主要内容：锁相环的基本概念、锁相环的相位模型与系统分析、集成锁相环及其应用

概率论与数理统计考研复习资料

概率论与数理统计复习 第一章 概率论的基本概念 一.基本概念 随机试验E:(1)可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果;(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现. 样本空间S: E 的所有可能结果组成的集合. 样本点(基本事件):E 的每个结果. 随机事件(事件):样本空间S 的子集. 必然事件(S):每次试验中一定发生的事件. 不可能事件(Φ):每次试验中一定不会发生的事件. 二. 事件间的关系和运算 1.A ?B(事件B 包含事件A )事件A 发生必然导致事件B 发生. 2.A ∪B(和事件)事件A 与B 至少有一个发生. 3. A ∩B=AB(积事件)事件A 与B 同时发生. 4. A -B(差事件)事件A 发生而B 不发生. 5. AB=Φ (A 与B 互不相容或互斥)事件A 与B 不能同时发生. 6. AB=Φ且A ∪B=S (A 与B 互为逆事件或对立事件)表示一次试验中A 与B 必有一个且仅有一个发生. B=A, A=B . 运算规则 交换律 结合律 分配律 德?摩根律 B A B A = B A B A = 三. 概率的定义与性质 1.定义 对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P(A),称为事件A 的概率. (1)非负性 P(A)≥0 ; (2)归一性或规范性 P(S)=1 ; (3)可列可加性 对于两两互不相容的事件A 1,A 2,…(A i A j =φ, i ≠j, i,j=1,2,…), P(A 1∪A 2∪…)=P( A 1)+P(A 2)+… 2.性质 (1) P(Φ) = 0 , 注意: A 为不可能事件 P(A)=0 . (2)有限可加性 对于n 个两两互不相容的事件A 1,A 2,…,A n , P(A 1∪A 2∪…∪A n )=P(A 1)+P(A 2)+…+P(A n ) (有限可加性与可列可加性合称加法定理) (3)若A ?B, 则P(A)≤P(B), P(B -A)=P(B)-P(A) . (4)对于任一事件A, P(A)≤1, P(A)=1-P(A) . (5)广义加法定理 对于任意二事件A,B ,P(A ∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) . 对于任意n 个事件A 1,A 2,…,A n ()()() () +∑ + ∑ - ∑=≤<<≤≤<≤=n k j i k j i n j i j i n i i n A A A P A A P A P A A A P 111 21 …+(-1)n-1P(A 1A 2…A n ) 四.等可能(古典)概型 1.定义 如果试验E 满足:(1)样本空间的元素只有有限个,即S={e 1,e 2,…,e n };(2)每一个基本事件的概率相等,即P(e 1)=P(e 2)=…= P(e n ).则称试验E 所对应的概率模型为等可能(古典)概型. 2.计算公式 P(A)=k / n 其中k 是A 中包含的基本事件数, n 是S 中包含的基本事件总数. 五.条件概率 1.定义 事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率P(B|A)=P(AB) / P(A) ( P(A)>0). 2.乘法定理 P(AB)=P(A) P (B|A) (P(A)>0); P(AB)=P(B) P (A|B) (P(B)>0). P(A 1A 2…A n )=P(A 1)P(A 2|A 1)P(A 3|A 1A 2)…P(A n |A 1A 2…A n-1) (n ≥2, P(A 1A 2…A n-1) > 0) 3. B 1,B 2,…,B n 是样本空间S 的一个划分(B i B j =φ,i ≠j,i,j=1,2,…,n, B 1∪B 2∪…∪B n =S) ,则 当P(B i )>0时,有全概率公式 P(A)= ()()i n i i B A P B P ∑=1

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表

《概率论与数理统计》基本名词中英文对照表英文中文 Probability theory 概率论 mathematical statistics 数理统计 deterministic phenomenon 确定性现象 random phenomenon 随机现象 sample space 样本空间 random occurrence 随机事件 fundamental event 基本事件 certain event 必然事件 impossible event 不可能事件 random test 随机试验 incompatible events 互不相容事件 frequency 频率 classical probabilistic model 古典概型 geometric probability 几何概率 conditional probability 条件概率 multiplication theorem 乘法定理 Bayes's formula 贝叶斯公式 Prior probability 先验概率 Posterior probability 后验概率 Independent events 相互独立事件 Bernoulli trials 贝努利试验 random variable 随机变量

probability distribution 概率分布 distribution function 分布函数 discrete random variable 离散随机变量distribution law 分布律hypergeometric distribution 超几何分布 random sampling model 随机抽样模型binomial distribution 二项分布 Poisson distribution 泊松分布 geometric distribution 几何分布 probability density 概率密度 continuous random variable 连续随机变量uniformly distribution 均匀分布exponential distribution 指数分布 numerical character 数字特征mathematical expectation 数学期望 variance 方差 moment 矩 central moment 中心矩 n-dimensional random variable n-维随机变量 two-dimensional random variable 二维离散随机变量joint probability distribution 联合概率分布 joint distribution law 联合分布律 joint distribution function 联合分布函数boundary distribution law 边缘分布律

数学建模入门基本知识

数学建模知识 ——之新手上路一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图像、框图等描述客观事物的特征及其在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤

1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解 可以采用解方程、画图形、证明定理、逻辑运算、数值运算等各种传统的和近代的数学方法，特别是计算机技术。一道实际问题的解决往往需要纷繁的计算，许多时候还得将系统运行情况用计算机模拟出来，因此编程和熟悉数学软件包能力便举足轻重。 5. 模型分析 对模型解答进行数学上的分析。“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，能否对模型结果作出细致精当的分析，决定了你的模型能否达到更高的档次。还要记住，不论那种情况都需进行误差分析，数据稳定性分析。

概率统计知识点全面总结

知识点总结：统计与概率 I 统计 1．三大抽样 (1)基本定义： ① 总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体． ② 个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体． ③ 样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本． ④ 样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量． (2)抽样方法： ①简单随机抽样：逐个不放回、等可能性、有限性。=======★适用于总体较少★ 抽签法：整体编号（ 1~N ）放入不透明的容器中搅拌均匀逐个抽取n 次，即可得样本容量为 n 的样本。 随机数表法：整体编号（等位数，如001、111不能是1、111） 从0~9中随机取一行一列然后初方向随机 （上、下、左、右）重复，超过范围则忽略不计直至取得以n 为样本容量的样本。 ②系统抽样：容量大．等距，等可能。=======★适用于总体多★ 用随机方法编号，若N 无法被整除，则剔除后再分组，n N k 。再用简单随机抽样法来抽取一个个体，设为l ，则编号为l ，k+l ，2k+l ……（n-1）k ，抽出容量为n 的样本。（每组编号相同）。 ③分层抽样：总体差异明显．按所占比例抽取．等可能．=======★适用于由差异明显的几部分构成的总体★ 总体有几个差异明显的部分构成，经总体分成几个部分，然后按照所占比例进行抽样．抽样比为：k ＝n N 3．总体分布的估计： (1)一表二图： ①频率分布表——数据详实 ②频率分布直方图——分布直观 ③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势 ★注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。 (2)茎叶图： ①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数．众位数等。 ②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

概率论与数理统计基本知识

概率论与数理统计基本知识点 一、概率的基本概念 1．概率的定义: 在事件上的一个集合函数P ，如果它满足如下三个条件： （1）非负性 A A P ?≥,0)( （2）正规性 1)(=ΩP （3）可列可加性 若事件,...,2,1,=n A n 两两互斥 则称P 为概率。 2．几何概型的定义: 若随机试验的样本空间对应一个度量有限的几何区域S ，每一基本事件与S 内的点一一对应，则任一随机事件A 对应S 中的某一子区域D 。（若事件A 的概率只与A 对应的区域D 的度量成正比，而与D 的形状及D 在S 中的位置无关。）==（每点等可能性）则称为几何概型。 的度量 对应区域的度量 对应区域S D )()()(Ω=Ω= A m A m A P 3．条件概率与乘法公式： 设A,B 是试验E 的两个随机事件，且0)(>B P ,则称) () ()|(B P AB P B A P = 为事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。（其中)(AB P 是AB 同时发生的概率） 乘法公式：)|()()|()()(B A P B P A B P A P AB P == 4．全概率公式与贝叶斯公式： （全概率公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则有∑== n i i i A B P A P B P 1 )|()()(。 （贝叶斯公式）定理：设n A A A ...,21是样本空间Ω的一个划分，n i A P i ,...,2,1,0)(=>，B 是任一事件，则∑== =?n k k k i i A B P A P A B P A P B A P n i 1 ) |()() |()()|(,,...,2,1。 5．事件的独立性： 两事件的独立性：（定义）设A 、B 是任意二事件，若P(AB)= P(A)P(B)，则称事件A 、B 是相互独立的。（直观解释）A 、B 为试验E 的二事件，若A 、 B 的发生互不影响。 二、随机变量和分布函数:

数学建模案例分析3 随机性人口模型--概率统计方法建模

§3 随机性人口模型 如果研究对象是一个自然村落或一个家族人口，数量不大，需作为离散变量看待时，就利用随机性人口模型来描述其变化过程。 记 ()t Z —时刻t 的人口数（只取整数值） ()()()n t Z p t p n ==—人口为n 的概率 模型假设 1、在[]t t t ?+, 出生一人的概率与t ? 成正比，记作t b n ?，出生二人及二人以上的概 率为()t o ?； 2、在[]t t t ?+, 死亡一人的概率与t ? 成正比，记作t d n ?，死亡二人及二人以上的概率为()t o ?； 3、出生与死亡是相互独立的随机事件； 4、进一步设n b 和n d 均为与n 成正比，记,,n d n b n n μλ==λ和μ分别是单位时间内 1=n 时一个人出生和死亡的概率。 模型建立 由假设3~1，可知()n t t Z =?+可分解为三个互不相容的事件之和：()1-=n t Z 且t ?内出生一人；()1+=n t Z 且t ? 内死亡一人；()n t Z =且t ?内无人出生或死亡。按全概率公式 ()()()()t d t b t p t d t p t b t p t t p n n n n n n n n ?-?-+?+?=?+++--1)(1111 即 ()() ()()())(1111t p d b t p d t p b t t p t t p n n n n n n n n n +-+=?-?+++-- 令0→?t ，得关于()t p n 的微分方程 ()()()()t p d b t p d t p b dt dp n n n n n n n n +-+=++--1111 又由假设4，方程为 ()()()()()()t np t p n t p n dt dp n n n n μλμλ+-++-=+-1111 （1） 若初始时刻)0(=t 人口为确定数量0n ，则()t p n 的初始条件为 ()? ? ?≠== 00 ,0,10n n n n p n （2）

数学建模基础教程

数学建模新手“必读教程” 第一部分基本知识： 一、数学模型的定义 现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同的角度可以有不同的定义。不过我们可以给出如下定义：“数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作的一个抽象的、简化的结构。”具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数学及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特征及其内在联系的数学结构表达式。一般来说数学建模过程可用如下框图来表明： 数学是在实际应用的需求中产生的，要解决实际问题就必需建立数学模型，从此意义上讲数学建模和数学一样有古老历史。例如，欧几里德几何就是一个古老的数学模型，牛顿万有引力定律也是数学建模的一个光辉典范。今天，数学以空前的广度和深度向其它科学技术领域渗透，过去很少应用数学的领域现在迅速走向定量化，数量化，需建立大量的数学模型。特别是新技术、新工艺蓬勃兴起，计算机的普及和广泛应用，数学在许多高新技术上起着十分关键的作用。因此数学建模被时代赋予更为重要的意义。 二、建立数学模型的方法和步骤 1. 模型准备 要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特征。 2. 模型假设 根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出假设，是建模至关重要的一步。如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法欠佳的行为，所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别主次，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。 3. 模型构成 根据所作的假设分析对象的因果关系，利用对象的内在规律和适当的数学工具，构造各个量间的等式关系或其它数学结构。这时，我们便会进入一个广阔的应用数学天地，这里在高数、概率老人的膝下，有许多可爱的孩子们，他们是图论、排队论、线性规划、对策论等许多许多，真是泱泱大国，别有洞天。不过我们应当牢记，建立数学模型是为了让更多的人明了并能加以应用，因此工具愈简单愈有价值。 4. 模型求解

学习数学建模的目标

学习数学建模的目标 1.能表述建立数学模型的方法、步骤； 2.能表述建立数学模型的逼真性、可行性、渐进性、强健性、可 转移性、非预制性、条理性、技艺性和局限性等特点； 3.能表述数学建模的分类； 4.会采用灵活的表述方法建立数学模型； 5.培养建模的想象力和洞察力。 一、建立数学模型的方法和步骤 —般说来建立数学模型的方法大体上可分为两大类、一类是机理分析方法，一类是测试分析方法。机理分析是根据对现实对象特性的认识、分析其因果关系，找出反映内部机理的规律,建立的模型常有明确的物理或现实意义.测试分折将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，可以测量系统的输人输出数据、并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个与数据拟合得最好的模型。这种方法称为系统辨识(System Identification)．将这两种方法结合起来也是常用的建模方法。即用机理分析建立模型的结构，用系统辨识确定模型的参数．可以看出，用上面的哪一类方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的决定的．如果掌握了机理方面的一定知识，模型也要求具有反映内部特性的物理意义。那么应该以机理分析方法为主．当然,若需要模型参数的具体数值，还可以用系统辨识或其他统

计方法得到．如果对象的内部机理基本上没掌握，模型也不用于分析内部特性,譬如仅用来做输出预报，则可以系统辩识方法为主．系统辨识是一门专门学科，需要一定的控制理论和随机过程方面的知识。以下所谓建模方法只指机理分析。 建模要经过哪些步骤并没有一定的模式，通常与实际问题的性质、建模的目的等有关，下面给出建模的—般步骤。 模型准备首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的搜集建模必需的各种信息如现象、数据等，尽量弄清对象的特征,由此初步确定用哪一类模型，总之做好建模的准备工作．情况明才能方法对，这一步一定不能忽视，碰到问题要虚心向从事实际工作的同志请教，尽量掌握第一手资料. 模型假设根据对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言做出假设，可以说是建模的关键一步．一般地说，一个实际问题不经过简化假设就很难翻译成数学问题，即使可能，也很难求解．不同的简化假设会得到不同的模型．假设作得不合理或过份简单，会导致模型失败或部分失败，于是应该修改和补充假设；假设作得过分详细，试图把复杂对象的各方面因素都考虑进去，可能使你很难甚至无法继续下一步的工作．通常，作假设的依据，一是出于对问题内在规律的认识，二是来自对数据或现象的分析，也可以是二者的综合．作假设时既要运用与问题相关的物理、化学、生物、经济等方面的知识，又要充分发挥想象力、洞察力和判断力，善于辨别问题的主次，果断地抓住主要因素，舍弃次要因素，尽量将问题线