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Sylow子群的极大子群s_置换嵌入的有限群_李长稳

幂子群与循环群的充要条件

幂子群与循环群的充要条件摘要：在群的理论研究中，通过对群的幂子群与循环群的研究，来探讨群的性质是群论研究中的一条很重要的途径。本文在前人研究的基础上，通过对幂子群和循环群的充要条件进一步研究，有利于对基础数学的更深的认识。关键词：幂子群循环群充要条件代数学是数学的一个古老分支，有着悠久的历史。数是大家研究数学的最基本的对象，数的最基本的运算是加、减、乘、除。但是，数不是我们研究数学的唯一对象，而且我们所遇到的许多运算也不全是数的普通加、减、乘、除。例如，向量、多项式、函数、矩阵和线性变换等等，它们虽然都不是数，但却也可以类似于数那样来进行运算。特别是，尽管这些研究对象千差万别，各有自己的特性，但从运算的角度看却有着很多共同的性质。它的结论与方法在数学、物理、化学、正交试验设计和编码等理论中都有重要应用。一、幂子群与循环群概述（一）幂子群设G为群，H是它的一个子群，若存在正整数n使得 H=，则称H为G的一个幂子群，记为H=Gn。设G为群，如果对任意g∈G，都有g0∈G使得g0=g0P，那么显然有G

的幂子群Gp满足Gp=G。由于群间的同构关系具有反身性、对称性、和传递性，凡无限循环群均彼此同构，凡有限同阶循环群都彼此同构。而不同阶的群，由于不能建立双射，当然不能同构。因此，我们可以说，在同构意义下，循环群只有两种，即整数加群Z和n次单位根群Un。 1.当Hl，H2，H3，H4都是正规子群时，则G中的所有子群都是正规子群，因此G是Dedekind群，故G是幂零的； 2.显然G中不可能只有一个子群不是正规子群。下面我们讨论G中只有两个子群不是正规子群，设Hl，H2不是正规子群，H3，H4是正规子群，则显然有Hl与H2是共轭的。若NG（Hl）=Hl，则有|G：Hl|=2，那么由定理知HlG矛盾，因此只能有HlG（Hl）G，同理H2NG（H2）G，由此G中所有的子群都是次正规子群，由定理知G是幂零的。（二）循环群设M是群G的任意一个非空子集，G中包含M的子群是存在的。当然，G中可能还有别的子群也包含M。现在用〈M〉表示G中包含M的一切子群的交，则〈M〉仍是G 中包含M的一个子群，而且G中任意一个子群只要包含M，就必包含〈M〉。所以〈M〉是群G中包含M的最小子群。一个群（G，?）称为循环群，假如存在一个元素a∈G，使G={an|n∈Z元素a称为这个循环群的生成元，记为G=。根据元素的阶的性质，可知循环群共有两种类型：

近世代数

第一章：基本概念重点：一一映射、代数运算、代数系统、同态、同构、分类。第二章：群重点：群的各种等价定义、变换群及其基本定理、置换群、子群。难点：置换群、变换群、陪集。第三章：正规子群和群的同态与同构重点：正规子群、商群、同态基本定理难点：同态基本定理、同构定理、自同构群。第四章：环与域重点：环、域、理想难点：环的同态、同构，极大理想、商域。第五章：唯一分解整环重点：唯一分解，主理想环，多项式和多项式的根。难点：唯一分解环，主理想环、欧氏环。近世代数练习题（A）一、填空题（每题3分，共30分）： 1、设是集合到的满射，则 . 2、设群中元素的阶为，如果，那么与存在整除关系为 . 3、写出三次对称群的子群的一切左陪集，， . 4、设是一个阶交换群，是的一个（）阶元，则商群的阶等于 . 5、设=是循环群，则与整数加群同构的充要条件是 . 6、若环的元素(对加法)有最大阶, 则称为环的 . 7、若环满足左消去律，那么必定 (有或没有)左零因子. 8、若是一个有单位元的交换环，是的一个理想，那么是一个域当且仅当是环

的 . 9、若域，则称是一个素域. 10、设是域的一个扩域,. 如果存在上非零多项式使, 则称为上的一个 . 二、选择题（每题4分，共20分）： 1、指出下列哪些运算是代数运算（）. A.在整数集上， B.在有理数集上， C.在正实数集上， D.在集合上， 2、设是一个群同态映射(不一定是满射)，那么下列错误的命题是（）. A.的单位元的象是的单位元 B.的元素的逆元的象是的象的逆元 C.的子群的象是的子群 D.的正规子群的象是的正规子群 3、下列正确的命题是（）. A主理想整环必是欧氏环 B. 欧氏环一定是唯一分解整环 C.唯一分解整环必是主理想整环 D.唯一分解整环必是欧氏环 4、若是域的有限扩域，是的有限扩域，那么（） A. B. C. D. 5、下列不是循环环的单位（可逆元）的是（）. A. B.5 C. 7 D. 2

群论-群论基础

物理学中的群论 ——群论基础主讲翦知渐

群论教材教材与参考书教材：自编参考书群论及其在固体物理中的应用参考书：群论及其在固体物理中的应用（徐婉棠）物理学中的群论（马中骐）物理学中的群论基础（约什）

群论-群论基础第章群论基础第一章群的基本概念和基本性质 §1.1 集合与运算 §1.2群的定义和基本性质 §1.3 子群及其陪集 13 §1.4 群的共轭元素类 §1.5 正规子群和商群 §1.6 直积和半直积 16 §1.7 对称群 §1.8 置换群

§1.1集合与运算抽象代数的基本概念 1集合抽象代数研究的对象什么都不是，所以什么都是集合的直乘： C=A×B，表示“C的元素是由A和B两个集合的元素构成的 C A表示“ 一对有序元”，也称为A和B的直乘，用符号表示即： , a2,…, a i,…}，B={b1, b2,…, b j,…}，则集合设A={a A}B b b}则集合 1 C=A×B={(a i,b j)| a i∈A, b j∈B}是A与B的直乘。

定义设是两个集合若有种规则使得2映射定义：设A 与B 是两个集合，若有一种规则f ，使得A 的每一个元素在B 上都有唯一的元素与之对应，这种对应规则f 的一个映射记为就称为A 到B 的个映射，记为f ：A → B f ：x → y = f ( x ) , 或写为f y f (),式中y 称为x 在B 上的象，而x 称为y 在A 上的原象。对应规则函数对应规则：函数

满射单射一一映射逆映射：f -1 恒等映射：e 变换恒等映射：体系A 的一个自身映射f 称为A 的一个变换，若 f 是一一映射则称为对称变换一一变换有性质：射，则称为对称变换。变换有性质： f f -1= f -1f = e

2018年黑龙江大学064近世代数和泛函分析复试考研大纲硕士研究生入学考试复试大纲

黑龙江大学硕士研究生入学考试大纲考试科目名称：近世代数和泛函分析考试科目代码：[064] 一、考试要求 1．要求考生全面系统地掌握本学科专业基础知识和专业业务综合知识，并且能运用所学的基本理论和方法，说明和解决实践中的相关问题。 2．考试为笔试、闭卷形式。重点考察学生对基本概念、基本公式、基本方法的掌握和应用能力。二、考试内容第一部分近世代数第1章、基本概念 ●知识点：集合, 映射, 代数运算, 结合律, 交换律, 分配律，一一映射, 同态, 同构、自同构, 等价关系与集合的分类。第2章、群论 ●知识点：群的定义, 单位元、逆元、消去律, 有限群的另一定义, 群的同态(构), 循环群, 变换群, 置换群, 子群, 子群的陪集, 不变子群、商群. 第3章、环与域 ●知识点：加群、环的定义, 交换律、单位元、零因子、整环, 除环、域, 无零因子环的特征，子环、环的同态, 多项式环, 理想, 剩余类环、同态与理想, 最大理想, 商域. 第4章、整环里的因子分解 ●知识点：素元、唯一分解，唯一分解环，理想环，欧氏环，多项式环的因子分解，因子分解与多项式的根。第二部分泛函分析第1章、距离空间 ●知识点：距离空间、点集与映射的基本概念及性质，赋范空间的完备性，经典Banach 空间，稠密集，疏朗集，第二纲集，压缩映射原理及其应用。第2章、赋范空间上的有界线性算子 ●知识点：线性算子的有界性、连续性；算子范数的定义，算子或泛函范数的计算；共鸣定理，Hahn-Banach定理，开映射，逆算子，闭图象定理及其应用；共轭空间的表示。第3章、Hilbert空间 ●知识点：内积空间及其应用；投影定理及其应用。三、试卷结构 1．考试时间：180分钟 1

近世代数学习系列二群(续)

近世代数学习系列二群近世代数的主要研究对象是具有代数运算的集合，这样的集合称为代数系。群就是具有一个代数运算的代数系，群的理论是代数学中最古老最丰富的分支之一，是近世代数的基础.现在它已发展成为一门内容丰富、应用广泛的数学分支，在物理学、力学、化学、生物学、计算机科学等方面都有越来越广泛的应用。群是一个集合，在这集合上定义了一种二项演算，也就是说存在一个映射，给这集合的任意两个元的有序对，都对应了这集合的另一个元，作为这两个元关于这种演算的结果。这演算通常称为乘法，两个元a、b关于这乘法进行演算的结果，通常写为a?b或者就简略记为ab。乘法被要求满足下面三个条件： 1.结合律。a? ( b?c ) = ( a?b ) ?c 2.存在单位元e，对任意元a都有e?a = a?e = a 3.对任意元a，都存在a的逆元a-1，满足a?a-1 = a-1?a = e 如果这乘法还满足交换律a?b = b?a，则把这群称为加群或Abel群。这时更多地把演算写成加法。群的单位元有时写为 1，Abel群的时候则写为0。单位元是唯一的，这是因为如果d和e都是单位元，则根据定义我们有d = de = e。同样逆元也是唯一的，因为如果b和c都是a的逆元，则b = bac = c。显然 ( a-1 ) -1 = a。在一个集合A上定义一个满足上面三个条件的演算使其做成一个群，这有时被称为“给集合A加上了群的结构”。有一种结构就有保持这种结构的映射。从群G到群H的映射f被称为同态映射，如果f满足条件：对于G中任意两个元σ、τ，总有f ( στ ) = f ( σ ) f ( τ )。这也可以说成f是和两个群中的乘法演算相容的。容易看出同态映射一定把单位元映到单位元，逆元映到逆元。如果一个同态映射是全单射，那它一定是同构，也就是说其逆映射也一定是同态映射。

近世代数考试大纲

近世代数考试大纲教材：《近世代数基础》，张禾瑞编，人民教育出版社，1978年修订本总要求考生应理解《近世代数》中群，循环群，n阶对称群，变换群，陪集，不变子群的定义及其性质，了解环，域，理想，唯一分解环的定义，能够计算群的元素阶，环中可逆元，零因子，素元，掌握群，环同态和同构基本定理，掌握判别唯一分解环的方法。应注意各部分知识结构及知识间的内在联系，应有抽象思维、逻辑推理、准确运算等能力。内容一、基本概念（一）知识范围 1、基本概念（1）集合映射一一映射代数运算结合律交换律分配律（2）同态同构自同构（3）等价关系和分类（二）要求 1、理解集合，映射等概念 2、掌握代数运算与映射的关系 3、掌握同态映射，同构映射和自同构的概念，理解两个具有同构关系的集合之间的关系 4、理解关系和等价关系的概念，掌握等价关系和分类之间的转换定理二、群（一）知识范围 1、群的定义，单位元，逆元，消去律 2、群的同态，循环群，变换群，置换群` 3、子群，子群的陪集，不变子群，商群（二）要求 1、掌握群，有限群，无限群，群的阶和变换群的概念 2、理解群同态，同构的定义，掌握循环群的定义和由生成元决定循环群的性质与特点 3、理解置换与置换群的定义性质，有限群与置换群的同构关系 4、掌握陪集，不变子群的定义，了解子群与陪集之间的映射关系 5、理解商群的定义，掌握两个具有同态关系的群之间子群或不变子群的象的性质三、环与域（一）知识范围 1、加群，环的定义，交换律，单位元，零因子，整环，除环，域 2、无零因子环的特征，子环，环的同态，多项式环 3、理想，剩余类环，商域（二）要求 1、掌握加群的定义，熟悉环的定义，环中的计算规则 2、理解交换环，子环，子除环的定义 3、了解多项式环，理解理想子环的构成

循环群·变换群和置换群

（V ）循环群·变换群和置换群一、定义及例子 1、定义：设G 是群，若存在a ∈G 使得G 中任意元素均为a 的幂，即G=（a ）【=（a -1）】 2、例子：（1）Z =（1）（2）(Z 12，+)=（[1]）=([11]) 注：（[5]）=Z 12,([7]),([11])【小于12的素数都能生成Z 12】（3）n 次单位根群Un 【Unit 】 )(),(},1|{0ω=??∈==∈≠*C C x x x U N n n n n n i ππω22 sin cos += 二、生成元，循环群 1、循环群的元素 ???∞ =∈>===-)(},|{0)(},,...,,{)(1a o Z i a m a o a a e a G i m 2、生成元（1）1,)(±=?∞=r a a o r 是生成元（2）1),(,)(=?=n r a n a o r 是生成元 {} x i x e n r n r r n n ix sin cos Enler 1,1),(|)(n n )(#+=≤≤==）：欧拉公式（互素的。的数中与：小于欧拉数?? 如（Z 12，+）=（[1]）=（[5]）=([7])=([11]) 三、循环群的子群 1、循环群的子群是循环群 2、循环群子群的分类 } |1|){(G ),(,0)()2(} 0|){(G ),(,)()1(n r n r a a G n a o r a a G a o r r 且的所有子群为则设的所有子群为则设≤≤=>=≥=∞= 变换群和置换群

·任意一个置换可以写成若干个对换的乘积。 ·(ij)=(1i)(1j)(1i) ·任意一个置换可以写成若干个形如（1i ）的乘积（2≤i ≤n ）置换的性质 ) ()...()()...(6],...,,[)()(5/ */*)...)(...()...)( (4) ...()...(3))...((2) ...()...()...(12112121212121212111121211113221r r t i i t r r r r r r r r r r r r i i i i i i r r r r o r o i i i j j j j j j i i i i i i i i i r i i i o i i i i i i i i i i σσσσσσσσσσσ====???======----、附加：则不相连）且是循环置换的表示（互、前提：无交、、、、

伽罗瓦理论

伽罗瓦理论：人类至今无解的五次方程用汗水和生命浇灌出来的理论之花，困扰人类300多年的高阶谜团 1832年，自知必死的伽罗瓦奋笔疾书，写出了一篇几乎半个世纪都没人看懂、只有32页纸的论文，并时不时在一旁写下“我没有时间”，第二天他毅然决然参与决斗并身亡，一个瘦弱而极富激情的天才就这样走了，最后闪现出的是绝世才华，他的生命只有21岁！群论、数学质变的前夕为什么数学家对五次方程如此迷恋，因为在五次方程的求解过程中，数学家们第一次凿开了隐藏在冰山下的现代科学，将数学带入了精妙绝伦的现代群论。群论的出现，直接奠定了20世纪的物理基础，从此，统治人类近200年的牛顿机械宇宙观开始迈入随机和不确定性的量子世界和广袤无垠的时空相对论。一场空前伟大的科学革命如疾风骤雨般来临。在这次暴风雨的前夜，历史上最伟大的数学家们悉数登场，他们为五次方程的求解而苦苦思索。在五次方程获得求解之前，一元三、四次方程在数学大神塔尔塔利亚、卡尔达诺、费拉里的努力下，顺利得到了解决，然而到了五次方程，再传统地以根用系数的代数式求解却始终行不通。在各大高手尝试失败后，它很快成了数学家心中的顶尖难题，这是属于神的命题，与人类无关。在这条解方程的漫漫长路上，最先为五次方程求解提供了新思路的是上帝之子欧拉，他通过一个巧妙的变换把任何一个全系数的五次方程转化为具有“x+ax+b=0”的形式。出于对这一优美表达的倾心喜爱，欧拉自以为是地认为可以找出五次方程的通解表达式。与此同时，数学天才拉格朗日也在为寻找五次方程的解而废寝忘食。很快，他便欣喜地发现了一种特别的方法，若将四次方程降阶为三次方程，就能找到一种求解四次方程的简单方法。但遗憾的是，同样的变换却将五次方程升阶为六次方程。此后，五次方程的进展一度陷入迷局。当时五次方程的焦点主要集中在两大问题上，第一个问题是，对N次方程，至少都有一个解吗？第二个问题则更进

子群的陪集练习题及其解答

子群的陪集练习题及其解答 1. 假定a 和b 是一个群G 的两个元,并且ba ab =,又假定a 的阶是m ， b 的阶n 是并且1)(=mn .证明:ab 的阶是mn 证 e b a ab e b e a m n m n m n n m ==∴==)(, . 设.)(e ab r = 则1),(,)(=?===n m mr n e b b a ab m r m r m r m r 故.r n 1),(,)(=?==n m nr m e b a ab nr nr nr 故r m 又1),(=n m r mn ∴ 因此ab 的阶是mn . 2.假定~是一个群G 的元间的一个等价关系,并且对于G 的任意三个元',,x x a 来说,''~~x x ax ax ?证明与G 的单位元e 等价的元所作成的集合为H 证由于~是等价关系,故有'~e e 即H b a H e ∈∈,,.,则e b e a ~,~ 因而11~,~--bb be aa ae 由题设可得11~,~--b e a e 由对称律及推移律得11~--a b 再由题设得e ab ~1- 即 H ab ∈-1 这就证明了H 是G 的一个子群. 3.我们直接下右陪集Ha 的定义如下:Ha 刚好包含G 的可以写成 ha )(H h ∈ G 的每一个元属于而且只属于一个右陪集 . 证任取G a ∈则Ha ea a ∈= 这就是说,G 的每一个元的确属于一个右陪集若Hb x Ha x ∈∈,则.,21b h x a h x == 则b h a h 21=,因而a h h b b h h a 11 2211,--== a h hh h b b h hh ha 112211,--==? Ha Hb Hb Ha ???,故Ha=Hb 这就证明了,G 的每一个元只属于一个右陪集. 4.若我们把同构的群看成是一样的,一共只存在两个阶是4的群, 它们都是交换群.

(完整版)循环群讲义

§7循环群本节将讨论一类结构简单又富有代表性的特殊群――循环群.(它是一类基本而又重要的群,数学的一些分支（数论、有限域论等）和它有密切的联系.)通过对循环群的学习,可初步了解抽象代数研究问题的基本方法和格式以及论文的写作方法.本节主要内容是循环群的三大问题:存在问题/数量问题/构造问题. 先看一个简单的例子：{} ΛΛ,10,10,10,1,10,10,10,32123---=G 对数的乘法作成群.特点是每个元都是固定元10的方幂. 一、循环群的概念 1.定义 G 称为循环群?群G 的每个元都是G 中某个固定元．．．a 的方幂???倍数－－针对加法乘方－－针对乘法. 记为)(a G =，a 称为G 的生成元. 即 G a G ?=)(是群，且???==∈?∈?)()(.,,加法乘法ka x a x st Z k G x k .（注意:k 与x 有关！）【一般情况下，如果没有特别声明运算是乘法或是加法，就默认是乘法形式.】 2.注意:(一般情况下)生成元不唯一.a 是生成元1-?a 是生成元.【理由：k k a a --=)(1】 3.范例【解决了循环群的存在问题.同时，将得到结论：循环群在同构意义下只有这两种！】 ①整数加群),(+Z ，)1()1(-==Z .【1±是∞阶.00)1(=?=±n n Θ】问题:还有其他生成元?(无)【设1),(1)(1)(±=?∈==∈?=k Z k n nk k k Z 】 *实际上可进一步证明：)()(a G a o =?∞=只有两个生成元1 ,-a a .【课外思考题】【设)(b G =，则有111,,)(-=?=?=?==∈∞=or s st a a b a a b Z t s a o st t s 】 ②模n 剩余类加群),(+n Z ，])1([=n Z . 问题:还有其他生成元?(有)【])1([])1([-=-=n Z n 】 *实际上可进一步证明：)()(a G n a o =?=的生成元为r a 当且仅当1),(=n r .【习题】【若1),(=n r ，则)()()()()()(1r u r v u r v n u r vn ur a a a e a a a a a vn ur =?====?=++. 反之，r a 是生成元，1),(1|)()()()(1=?-?=?=?===-n r rk n e a a a a a G n a o rk k r r .】 ◎设p 为素数，则p 阶循环群)(a G =有1-p 个生成元：12,,,-p a a a Λ. ◎设p 为素数，则模p 剩余类加群p Z 的所有非零元都是生成元. 二、循环群的种类 1.结构定理设循环群)(a G =同构于???=+∞=+n a o if Z a o if Z n )(),,()(),,(. 证明注意体会生成元a 的阶在证明过程中的用处! (1)设∞=)(a o 【作用：0=?=k e a k 】此时，令k a Z G k →→,:?，可证?是同构映射.(证略) 【?是映射：若h k a a =，则h k h k e a a o h k =?=-?=∞=-0)(，说明对应元唯一. 易证?是满射/单射. 再证?的同态性: )()()()()()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.】 (2)设n a o =)(【作用：k n e a k |?=】此时，令][,:k a Z G k n →→? ?是映射：若h k a a =，则][][|)(h k h k n e a n a o h k =?-?==-，说明对应元唯一. ?是单射：若][][h k =,则e e a a mn h k h k n m n a o m n h k ===?=-?-=-)()(|. ?是满射：][)(.,,][k a st G a Z k k k n =∈?∈?? 再证?的同态性: )()()()(][][)()(,,y x a a h k a xy a y a x G y x h k h k h k ???????+=+=+==?==?∈?+.