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第五讲 指数运算与指数函数
时间: 年 月 日 刘满江老师 学生签名:
一、 兴趣导入
二、 学前测试
1. 已知0a >,函数2()f x ax bx c =++,若0x 满足关于x 的方程20ax b +=,则下列选项的命题中为
假命题的是
(A )0,()()x R f x f x ?∈≤ (B )0,()()x R f x f x ?∈≥ (C ) 0,()()x R f x f x ?∈≤ (D )0,()()x R f x f x ?∈≥ 解析:选C.函数()f x 的最小值是0()()2b
f f x a
-
= 等价于0,()()x R f x f x ?∈≥,所以命题C 错误.
2. 如图,一个正五角星薄片(其对称轴与水面垂直)匀速地升出水面,记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()()()
00S t S =,则导函数()'
y S t =的图像大致为
【答案】A
【解析】本题考查函数图像、导数图、导数的实际意义等知识,重点考查的是对数学的探究能力和应用能力。最初零时刻和最后终点时刻没有变化,导数取零,排除C ;总面积一直保持增加,没有负的改变量,排除B ;考察A 、D 的差异在于两肩位置的改变是否平滑,考虑到导数的意义,判断此时面积改变为突变,
2
产生中断,选择A 。
三、 方法培养
1.根式的概念
结论:当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,???<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2.分数指数幂
)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n
m )1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3.有理指数幂的运算性质 (1)r
a ·s r s
a a
+=),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>;
(3)()r
r
s
ab a a =),0,0(Q r b a ∈>>. 指数函数的概念
一般地,函数)1a ,0a (a y x
≠>=且叫做指数函数,其中x 是自
变量,函数的定义域为R .
注意:○
1 指数函数的定义是一个形式定义 ○
2 注意指数函数的底数的取值范围,底数为什么不能是负数、零和1.
(三)指数函数的图象和性质
注意内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 指数函数的图象如右图: 4.指数函数的性质
图象特征
函数性质
1a > 1a 0<< 1a > 1a 0<<
向x 、y 轴正负方向无限延伸 函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称 非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方 函数的值域为R +
函数图象都过定点(0,1)
1a 0=
自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右看, 图象逐渐下降 增函数
减函数
在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象限内的图象纵坐标都小于1
1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1
1a ,0x x <<
1a ,0x x ><
图象上升趋势是越来越陡
图象上升趋势是越来越缓
函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快;
函数值开始减小极快,到了某一值后减小速度较慢;
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利用函数的单调性,结合图象还可以看出:
(1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [; (2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈; (3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且,总有a )1(f =; (4)当1a >时,若21x x <,则)x (f )x (f 21<;
[例1] 化简1111132168421212121212-----???
???????+++++ ???????????????????,结果是( )
A 、1
1
321122--?
?- ?
??
B 、1
1
3212--??- ???
C 、13212--
D 、1321122-??- ???
2、44
366399a a ???? ? ?????
等于( )
A 、16
a
B 、8
a
C 、4
a
D 、2
a
变式练习11.若32x +9=10?3x ,那么x 2
+1的值为( D ) A . 1 B . 2 C . 5 D . 1或 5
解:令3x
=t ,(t >0),
原方程转化为:t 2
﹣10t+9=0,
所以t=1或t=9,即3x
=1或3x =9
所以x=0或x=2,所以x 2
+1=1或5 故选D
2.若关于x 的方程=3﹣2a 有解,则a 的范围是( A ) A . ≤a <
B .
a ≥
C .
<a <
D .
a >
解:∵1﹣≤1,函数y=2x
在R 上是增函数,∴0<
≤21
=2,
故 0<3﹣2a ≤2,解得 ≤a <, 故选A .
〖例2〗已知,0a b ab >≠,下列不等式(1)2
2
a b >;(2)22a
b
>;(3)b
a 11<;(4)11
3
3a b >;
4
(5)1133a b
????
< ? ?????
中恒成立的有( )
A 、1个
B 、2个
C 、3个
D 、4个
变式练习2
1.设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12
)-
1.5,则( )
A .y 3>y 1>y 2
B .y 2>y 1>y 3
C .y 1>y 2>y 3
D .y 1>y 3>y 2
解析:选D.y 1=40.9=21.8,y 2=80.48
=21.44,
y 3=(12
)-
1.5=21.5,
∵y =2x 在定义域内为增函数, 且1.8>1.5>1.44, ∴y 1>y 3>y 2.
2.若函数f (x )=????
?
a x ,x >1(4-a
2)x +2,x ≤1
是R 上的增函数,则实数a 的取值范围为( ) A .(1,+∞)
B .(1,8)
C .(4,8)
D .[4,8)
解析:选D.因为f (x )在R 上是增函数,故结合图象(图略)知?????
a >1
4-a 2
>0
4-a 2+2≤a
,解得4≤a <8.
3.函数y =(12
)1-
x 的单调增区间为( )
A .(-∞,+∞)
B .(0,+∞)
C .(1,+∞)
D .(0,1)
解析:选A.设t =1-x ,则y =????12t
,则函数t =1-x 的递减区间为(-∞,+∞),即为y =???
?121-x 的递增区间.
4.已知函数y =f (x )的定义域为(1,2),则函数y =f (2x )的定义域为________. 解析:由函数的定义,得1<2x <2?0<x <1.所以应填(0,1). 答案:(0,1) 〖例3〗已知函数2()f x x bx c =-+满足(1)(1)f x f x +=-,且(0)3f =,则()x f b 与()x f c 的大小关系是_____.
分析:先求b c ,的值再比较大小,要注意x
x
b c ,的取值是否在同一单调区间内. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x 的对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =.
∴函数()f x 在(]1-,
∞上递减,在[
)1+,∞上递增. 若0x ≥,则3
21x
x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥;
若0x <,则321x x
<<,∴(3)(2)x x
f f >.
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综上可得(3)(2)x
x
f f ≥,即()()x
x
f c f b ≥.
评注:①比较大小的常用方法有:作差法、作商法、利用函数的单调性或中间量等.②对于含有参数的大小比较问题,有时需要对参数进行讨论.
变式练习:
1已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x 的取值范围是___________.
分析:利用指数函数的单调性求解,注意底数的取值范围. 解:∵2
2
25(1)441a a a ++=++>≥,
∴函数2(25)x
y a a =++在()-+,
∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得14x >
.∴x 的取值范围是14??
+ ???
,
∞. 评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与1的大小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论.
〖例4〗求函数216x y -=-的定义域和值域.
解:由题意可得2
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0x --≥,即261x -≤,
∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x 的定义域是(]
2-,
∞. 令2
6
x t -=,则1y t =-,
又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2
061x -<≤,即01t <≤.
∴011t -<≤,即01y <≤.
∴函数的值域是[
)01,.
评注:利用指数函数的单调性求值域时,要注意定义域对它的影响.
变式练习:函数221(01)x x y a a a a =+->≠且在区间[11]
-,上有最大值14,则a 的值是_______. 分析:令x
t a =可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后t 的取值范围.
解:令x
t a =,则0t >,函数221x x y a a =+-可化为2(1)2y t =+-,其对称轴为1t =-.
∴当1a >时,∵[]
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x ∈-,, ∴
1x a a a ≤≤,即1
t a a
≤≤. ∴当t a =时,2
max (1)214y a =+-=. 解得3a =或5a =-(舍去);
当01a <<时,∵[]
11
x ∈-,,
6
∴1x a a a ≤≤
,即1a t a
≤≤, ∴ 1t a =时,2
max 11214y a ??
=+-= ???
,
解得13a =
或15a =-(舍去),∴a 的值是3或13
.
四、强化练习
1.下列命题中,真命题是
(A)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数()=()是偶函数 (B)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数()=()是奇函数 (C)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数()=()都是偶函数 (D)m R,f x x mx x R ?∈+∈2使函数()=()都是奇函数
【答案】A
【解析】本题主要考查奇偶数的基本概念,与存在量词、全称量词的含义,属于容易题。当m=0时,函数
f (x )=x 2
是偶函数,所以选A.
【温馨提示】本题也可以利用奇偶函数的定义求解。 2.用
表示a ,b 两数中的最小值。若函数
的图像关于直线x=1
2
-
对称,则t 的值为
A .-2
B .2
C .-1
D .1
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五、训练辅导
〖例6〗.设函数2()1f x x =-,对任意2
,3x ??∈+∞????,2
4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ???
恒成立,则实数m 的取值范围是 . 【答案】D
【解析】本题主要考查函数恒成立问题的基本解法,属于难题。
依据题意得2
2222214(1)(1)14(1)x m x x m m
---≤--+-
在3[,)2
x ∈+∞上恒定成立,即2
2213241m m x x -≤--+在3[,)2
x ∈+∞上恒成立。 当32x =时函数2321y x x =--+取得最小值53-,所以221543
m m -≤-,即22
(31)(43)0m m +-≥,解
得32m ≤-
或3
2
m ≥ 【温馨提示】本题是较为典型的恒成立问题,解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解
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变式练习
1直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点,则a 的取值范围是
.
2
解方程2
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380x x +--=.
解:原方程可化为29(3)80390x x ?-?-=,令3(0)x
t t =>,上述方程可化为298090t t --=,解得9t =或
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t =-(舍去)
,∴39x
=,∴2x =,经检验原方程的解是2x =. 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.
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附件:堂堂清落地训练
(坚持堂堂清,学习很爽心)
1.设13<(13)b <(1
3)a <1,则( )
A .a a B .a a C .a b D .a b 2.若(12)2a +1<(12 )3- 2a ,则实数a 的取值范围是( ) A .(1,+∞) B .(1 2 ,+∞) C .(-∞,1) D .(-∞,1 2 ) 解析:选B.函数y =(1 2)x 在R 上为减函数, ∴2a +1>3-2a ,∴a >1 2 . 3.下列三个实数的大小关系正确的是( ) A .(12011)2<212011<1 B .(12011 )2 <1<212011 C .1<(12011)2<212011 D .1<21 2011<(12011 )2 解析:选B.∵12011<1,∴(12011)2 <1,21 2011>20=1. 4.设函数f (x )=a - |x |(a >0且a ≠1),f (2)=4,则( ) A .f (-1)>f (-2) B .f (1)>f (2) C .f (2)<f (-2) D .f (-3)>f (-2) 解析:选D.由f (2)=4得a - 2=4,又a >0,∴a =12 ,f (x )=2|x |,∴函数f (x )为偶函数,在(-∞,0)上单 调递减,在(0,+∞)上单调递增. 5.函数f (x )=1 2x +1 在(-∞,+∞)上( ) X k b 1 . c o m A .单调递减无最小值 B .单调递减有最小值 C .单调递增无最大值 D .单调递增有最大值 解析:选A.u =2x +1为R 上的增函数且u >0, ∴y =1 u 在(0,+∞)为减函数. 即f (x )=1 2x +1 在(-∞,+∞)上为减函数,无最小值. 6.若x <0且a x >b x >1,则下列不等式成立的是( ) A .0<b <a <1 B .0<a <b <1 C .1<b <a D .1<a <b 解析:选B.取x =-1,∴1a >1 b >1,∴0<a <b <1. 7.已知函数f (x )=a -1 2x +1 ,若f (x )为奇函数,则a =________. 解析:法一:∵f (x )的定义域为R ,且f (x )为奇函数, ∴f (0)=0,即a -1 20+1 =0. 10 ∴a =12 . 法二:∵f (x )为奇函数, ∴f (-x )=-f (x ),新 课 标 第 一 网 即a -12-x +1=12x +1 -a ,解得a =1 2. 答案:12 8.当x ∈[-1,1]时,f (x )=3x -2的值域为________. 解析:x ∈[-1,1],则13≤3x ≤3,即-5 3 ≤3x -2≤1. 答案:??? ?-5 3,1 9.若函数f (x )=e -(x - u )2的最大值为m ,且f (x )是偶函数,则m +u =________. 解析:∵f (-x )=f (x ), ∴e -(x +u )2=e -(x - u )2, ∴(x +u )2=(x -u )2, ∴u =0,∴f (x )=e -x 2. ∵x 2≥0,∴-x 2≤0,∴0<e -x 2≤1, ∴m =1,∴m +u =1+0=1. 答案:1 实用标准 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 1 2x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x ≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y=c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解选(c),在x轴上任取一点(x,0),则得b<a<1<d<c. 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 指数函数及其基本性质 指数函数的定义 一般地,函数()10≠>=a a a y x 且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是R . 问题:指数函数定义中,为什么规定“10≠>a a 且”如果不这样规定会出现什么情况? (1)若a<0会有什么问题?(如2 1 ,2= -=x a 则在实数范围内相应的函数值不存在) (2)若a=0会有什么问题?(对于0≤x ,x a 无意义) (3)若 a=1又会怎么样?(1x 无论x 取何值,它总是1,对它没有研究的必要.) 师:为了避免上述各种情况的发生,所以规定0>a 且 1≠a . 指数函数的图像及性质 函数值的分布情况如下: 指数函数平移问题(引导学生作图理解) 用计算机作出的图像,并在同一坐标系下作出下列函数的图象,并指出它们与指数函数y =x 2的图象的关系(作图略), ⑴y =1 2+x 与y =2 2+x . ⑵y =12 -x 与y =2 2 -x . f (x )的图象 向左平移a 个单位得到f (x +a )的图象; 向右平移a 个单位得到f (x -a )的图象; 向上平移a 个单位得到f (x )+a 的图象; 向下平移a 个单位得到f (x )-a 的图象. 指数函数·经典例题解析 (重在解题方法) 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 及时演练求下列函数的定义域与值域 (1)4 12-=x y ; (2)|| 2()3 x y =; (3)1241++=+x x y ; 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a <b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 及时演练 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 (1)r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>; (2)rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>; (3)s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>. 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地,函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数,其中x 是自变量,函数的定义域为R . 2.指数函数的图象和性质 1.在同一坐标系中画出下列函数的图象: (1)x )31(y = (2)x )2 1 (y = (3)x 2y = (4)x 3y = (5)x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1.设a 是实数, 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+,试证明:对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 证明:设1212,,x x R x x ∈<,则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++, 由于指数函数2x y =在R 上是增函数, 且12x x <, 所以1222x x < 即1 2220x x -<, 又由20x >, 得1 1 20x +>,2120x +>, ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <, 所以,对于任意,()a f x 在R 上为增函数. 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >, 求证:(1)函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数;(2)方程()0f x =没有负数根. 指数函数典型例题详细解析 指数函数·例题解析 第一课时 【例1】(基础题)求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---21 3321 x x 解 (1)定义域为{x|x ∈R 且x ≠2}.值域{y|y >0且y ≠1}. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥- 2},值域为{|y|y ≥0}. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<. 0y 3 1.指数函数Y=ax (a>0且a ≠1)的定义域是R ,值域是(0,+∞) 2. 求定义域的几个原则:①含根式(被开方数不为负)②含分式,分母不为0③形如a0,(a ≠ 0) 3. 求函数的值域:①利用函数Y=ax 单调性②函数的有界性(x2≥0;ax>0)③换元法.如:y=4x+6×2x-8(1≤x≤2) 先换元,再利用二次函数图象与性质(注意新元的范围) 【例2】(基础题)指数函数y=a x,y=b x,y =c x,y=d x的图像如图2.6-2所示,则a、b、c、d、1之间的大小关系是 [ ] A.a<b<1<c<d B.a<b<1<d<c C.b<a<1<d<c D.c<d<1<a<b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】(基础题)比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 35894 5 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<< <.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. ---- 45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有 指数函数 1.指数函数の定义: 函数)1 (≠ > =a a a y x且叫做指数函数,其中x是自变量,函数定义域是R 2.指数函数の图象和性质: 在同一坐标系中分别作出函数y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 の图象. 我们观察y=x2,y= x ? ? ? ? ? 2 1 ,y=x 10,y= x ? ? ? ? ? 10 1 图象特征,就可以得到)1 (≠ > =a a a y x且の图象和性质。 a>1 0 ()x f c の大小关系是_____. 分析:先求b c ,の值再比较大小,要注意x x b c ,の取值是否在同一单调区间. 解:∵(1)(1)f x f x +=-, ∴函数()f x の对称轴是1x =. 故2b =,又(0)3f =,∴3c =. ∴函数()f x 在(]1-, ∞上递减,在[)1+,∞上递增. 若0x ≥,则321x x ≥≥,∴(3)(2)x x f f ≥; 若0x <,则321x x <<,∴(3)(2)x x f f >. 综上可得(3)(2)x x f f ≥,即()()x x f c f b ≥. 评注:①比较大小の常用方法有:作差法、作商法、利用函数の单调性或中间量等.②对于含有参数の大小比较问题,有时需要对参数进行讨论. 2.求解有关指数不等式 例2 已知2321(25)(25)x x a a a a -++>++,则x の取值围是___________. 分析:利用指数函数の单调性求解,注意底数の取值围. 解:∵2225(1)441a a a ++=++>≥, ∴函数2(25)x y a a =++在()-+,∞∞上是增函数, ∴31x x >-,解得1 4x >.∴x の取值围是14 ??+ ??? , ∞. 评注:利用指数函数の单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同の指数式,并判断底数与1の大小,对于含有参数の要注意对参数进行讨论. 3.求定义域及值域问题 例3 求函数y = 解:由题意可得2160x --≥,即261x -≤, ∴20x -≤,故2x ≤. ∴函数()f x の定义域是(]2-, ∞. 令26x t -=,则y =, 又∵2x ≤,∴20x -≤. ∴2061x -<≤,即01t <≤. ∴011t -<≤,即01y <≤. ∴函数の值域是[)01, . 指数函数·例题解析 【例1】求下列函数的定义域与值域: (1)y 3 (2)y (3)y 12x ===-+---213321x x 解 (1)定义域为x ∈R 且x ≠2.值域y >0且y ≠1. (2)由2x+2-1≥0,得定义域{x|x ≥-2},值域为y ≥0. (3)由3-3x-1≥0,得定义域是{x|x ≤2},∵0≤3-3x -1<3, ∴值域是≤<.0y 3 【例2】指数函数y =a x ,y =b x ,y =c x ,y =d x 的图像如图2.6-2所示,则a 、b 、c 、d 、1之间的大小关系是 [ ] A .a <b <1<c <d B .a <b <1<d <c C . b <a <1<d <c D .c <d <1<a < b 解 选(c),在x 轴上任取一点(x ,0),则得b <a <1<d <c . 【例3】比较大小: (1)2(2)0.6 、、、、的大小关系是:. 2481632 358945 12--() (3)4.54.1________3.73.6 解(1)y 221()x ∵,,,,,函数=,>,该函数在-∞,+∞上是增函数,又<<<<,∴<<<<.22224282162133825491 2 28416212313525838949 3859===== 解 (2)0.6110.6∵>,>, ∴>. --- -45 12 451 232 32 ()() 解 (3)借助数4.53.6打桥,利用指数函数的单调性,4.54.1>4.53.6,作函数y 1=4.5x ,y 2=3.7x 的图像如图2.6-3,取x =3.6,得4.53.6>3.73.6 ∴ 4.54.1>3.73.6. 说明 如何比较两个幂的大小:若不同底先化为同底的幂,再利用指数函数的单调性进行比较,如例2中的(1).若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时,有两个技巧,其一借助1作桥梁,如例2中的(2).其二构造一个新的幂作桥梁,这个新的幂具有与4.54.1同底与3.73.6同指数的特点,即为4.53.6(或3.74.1),如例2中的(3). 【例4】解 比较大小与>且≠,>. 当<<,∵>,>, a a a a a n n n n n n n n n n n n -+-+-=-111 1 111 1(a 0a 1n 1)0a 1n 10() ()指数函数典型例题详细解析汇报
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