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常系数微分方程解的形式

采用经典法求解：

全解=齐次解+特解

齐次解：特征方程——特征根——齐次解形式∑=n

k t k k

e A 1

α；

由初始条件确定系数k A ，注意重根的处理。

特解：微分方程右端函数——含待定系数的特解函数式——代入原方程，确定系数。

1）几种典型激励函数对应的特解

2）不同特征根对应的齐次解

线性微分方程组

第五章线性微分方程组 [教学目标] 1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，掌握一阶齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构， 2. 理解n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系。 3. 掌握非齐次线性微分方程组的常数变易法， 4. 理解常系数齐线性微分方程组基解矩阵的概念，掌握求基解矩阵的方法。 5. 掌握常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [教学中难点]求解常系数非齐次线性微分方程组 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时 [教学内容] n 阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的关系，一阶线性微分方程组解的存在唯一性定理；齐（非齐）线性微分方程组解的性质与结构，求解非齐次线性微分方程组的常数变易法；常系数齐线性微分方程组的基解矩阵及求基解矩阵的方法；求常系数线性微分方程组的Laplce 变换法。 [考核目标] 1.线性微分方程组解的性质与结构。 2.能够求解常系数线性微分方程组。 §5.1 存在唯一性定理 5.1.1记号和定义考察形如 1 11112211221122222 1122()()()()()()()()()()()()n n n n n n n nn n n x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t x a t x a t x a t x f t '=++++??'=++++?? ??'=++++? （5.1）的一阶线性微分方程组，其中已知函数()(,1,2,,)ij a t i j n = 和()(1,2,,)i f t i n = 在区间a t b ≤≤上上是连续的。方程组（5.1）关于12,,,n x x x 及1 2,,,n x x x ''' 是线性的. 引进下面的记号： 1112121 22 212()() ()()() ()()()() ()n n n n nn a t a t a t a t a t a t A t a t a t a t ??????=?? ? ? ?? （5.2）这里()A t 是n n ?矩阵，它的元素是2 n 个函数()(,1,2,,)ij a t i j n = . 12()()()()n f t f t f t f t ??????=?????? 12n x x x x ??????=?????? 1 2n x x x x '????'??'=???? '?? （5.3）

初中数学十大思想方法-待定系数法

初中数学思想方法——待定系数法在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x2-3=（1-A）·x2＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知b2 a3 =，求 a b a b - + 的值”，解答此题，只需设定 b2 =k a3 =，则a=3k b=2k ，，代入a b a b - + 即可求解。这里的k就是消除的待定参数。应用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式；（2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）；（3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。一.待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的问题中，根据右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答案。典型例题：例：（2011云南玉溪3分）若2x6x k ++是完全平方式，则k=【】

变系数线性常微分方程的求解

变系数线性常微分方程的求解张慧敏，数学计算机科学学院摘要：众所周知，所有的常系数一阶、二阶微分方程都是可解的，而变系数二阶线性微分方程却很难解，至今还没有一个普遍方法。幂级数解法是一个非常有效的方法，本文重点讨论二阶变系数线性常微分方程的解法，从幂级数解法、降阶法、特殊函数法等方面探究了二阶微分方程的解法，简单的介绍了几种高阶微分方程的解法，并讨论了悬链线方程等历史名题。关键词：变系数线性常微分方程；特殊函数；悬链线方程；幂级数解法 Solving linear ordinary differential equations with variable coefficients Huimin Zhang , School of Mathematics and Computer Science Abstract：As we know, all of ordinary differential equations of first, second order differential equations with constant coefficients are solvable. However, the linear differential equations of second order with variable coefficients are very difficult to solve. So far there is not a universal method. The method of power-series solution is a very efficient method. This article focuses on solving linear ordinary differential equations of second order with variable coefficients, and exploring the solution of in terms of power-series solution, the method of reducing orders, the method of special functions. Also, this paper applies the above methods to solve several linear differential equations of higher order and especially discusses the famous catenary equation. Key words：Linear ordinary differential equations with variable coefficients; Special Functions; catenary equation; Power Series Solution.

第 10 讲待定系数法(高中版)

第 10 讲待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1．；2．；3．。难点：1．；2．； 3．；。其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。

1功效系数法

功效系数法功效系数是指各项评价指标的实际值与该指标允许变动范围的相对位置。功效系数法是在进行综合统计评价时，先运用功效系数对各指标进行无量纲同度量转换，然后再采用算术平均数或几何平均法，对各项功效系数求总功效系数，作为对总体的综合评价值，并进行比较判定。其评价分析的步骤是： (1)确定反映总体特征的各项评价指标：()n i x i ,,2,1 =。 (2)确定各项评价指标的允许范围，即满意值h i x 和不允许值s i x 。满意值是指在目前条件下能够达到的最优值；不允许值是该指标不应该出现的最低值。允许变动范围的参照系就是满意值与不允许值之差。 (3)计算各项评价指标的功效系数i f 对指标进行无量纲化处理。其计算公式如下： s i h i s i i i x x x x f --= (4)由于各个地区各种元素的含量之间没有相对的权重的不同，无需计算权重。 (5)最后计算评价总体的总功效系数F 。应用算术平均法计算。然后根据F 值的大小排列其顺序或优劣。 n f F n i i ∑== 1 运用功效系数法进行综合分析评价并排序，计算各个地区的各个元素的指标及数据见附件1，2，3 具体计算和评价过程如下： (1) 依据附件3中，背景值的平均值和范围确定各元素指标的满意值和不允许值As (μg/g)的最优值是3.6，不允许值为1.8；Cd （ng/g ）的最优值是130，不允许值为70；Cr(μg/g)的最优值是31，不允许值为9；Cu(μg/g)的最优值是13.2，不允许值是6.0；Hg （ng/g ）最优值是35，不允许值为19；Ni(μg/g)最优值是12.3，不允许值为4.7；Pb(μg/g)最优值是31，不允许值是19；Zn(μg/g)最优值是69，不允许值为41。

变系数_非线性微分方程的求解

变系数/非线性微分方程的求解：Example1: van der Pol equation Rewrite the van der Pol equation (second-order) The resulting system of first-order ODEs is 见：vdp_solve.m及vdp.mdl vdp_solve.m vdp.mdl

Example2: 2 with x(0) = 4 x (0)=0 5(5)5sin()5 +-+= x t x t x 见：exam2_solve.m及exam2.mdl exam2_solve.m exam2.mdl

Example3: ODEs 函数实现及封装说明[以一阶微分方程为例] 510 w i t h (0)4 dx x x dt +==- 引言：一步Euler 法求解[相当于Taylor 展开略去高阶项]： 11()k k k k k k k k k k k x x x Ax bu t x x t x x t Ax bu ++-==+??=+??=+??+ 补充说明1：对于任意方程/方程组可化为如下一阶形式[方程组]： x Ax Bu =+ 或者(,)(,)M t x x f t x = 补充说明2：ODEs 的解法不同之处在于 1、时间步长的选取（及导数的求解？）：有无误差控制变步长； 2、积分方法：选用哪几个时间状态信息。见：my_ode_rough.m[直接求解] / test_my_ode.m[按Matlab/ODEs 方式封装] my_ode_rough.m

一阶线性微分方程组

第4章一阶线性微分方程组一内容提要 1．基本概念一阶微分方程组：形如 ??? ????? ???===) ,,,,( ),,,,(),,,,(2121222111 n n n n n y y y x f dx dy y y y x f dx dy y y y x f dx dy ΛΛΛΛΛ （3.1）的方程组，（其中n y y y ,,,21Λ是关于x 的未知函数）叫做一阶微分方程组。若存在一组函数)(,),(),(21x y x y x y n Λ使得在[a,b]上有恒等式 ),,2,1))((,),(),(,() (21n i x y x y x y x f dx x dy n i i ΛΛ==成立，则 )(,),(),(21x y x y x y n Λ称为一阶微分方程组(3.1)的一个解含有n 任意常数n C C C ,,,21Λ的解 ?????? ?===) ,,,,( ),,,,(),,,,(21321222111n n n n C C C x y C C C x y C C C x y ΛΛΛΛΛ??? 称为(3.1)通解。如果通解满方程组 ???????=Φ=Φ=Φ0 ),,,,,,,,( 0),,,,,,,,(0),,,,,,,,(21212121221211n n n n n n n C C C y y y x C C C y y y x C C C y y y x ΛΛΛΛΛΛΛΛ 则称这个方程组为（3.1）的通积分。满足初始条件,)(,,)(,)(0020021001n n y x y y x y y x y ===Λ的解，叫做初值问题的解。

(整理)常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义

利用系数法归纳(自写)

利用系数法一直是一个难以理解的点，现归纳如下： a.此法基础思路是先算出总负荷的平均值，再考虑到设备台数和平均利用率的数值，来修正总负荷的平均值，来得到总负荷的最大值。 b.上述所谓的负荷的平均值，指的是负荷(有功功率)在时间上的平均；考虑到配电中一般为中小导体，且中小导体达到热稳定的时间大概为30min，因此该平均应定义为 30min；即负荷平均值指的是时间-负荷曲线中某段30min内的平均负荷。所谓的负荷最大值，指在时间-负荷曲线中，30min内，最高的一段的平均值。导体和配电电器的选择要根据长时（即达到热稳定的时间）发热条件来选，必然需要知道某段时间内负荷的最大平均值。 c.算总负荷平均值的方法与需要系数法类似：将不同工作性质的负载分组，分别求其设备负荷，乘以查得的利用系数Kl（可理解为利用率），再求和即得。与需要系数法不同之处在于，虽然利用系数和需要系数成正相关，但前者要小很多（原因可能是前者为较长时间内统计，不明）。注意，查得的系数都是经验或统计值，因此得到的平均负载也是统计值。 d.下面是将平均负荷修正为最大负荷（乘以一个合适的，大于1的系数）：当设备台数越少，最大负荷超过平均负荷越多，这是因为平均负荷作为一个统计值的特点；设备总体的利用系数越高，最大负荷越接近平均负荷，这是因为高利用率系统的利用系数高，即被利用几率高，而此点已在计算平均负荷时纳入考虑，不应再作过多修正。这就是最大系数Km与有效（又称换算）台数Nyx和平均利用系数Klp负相关的原因。在需要系数法中，由于需要系数较大，求得的总负荷也较大，是只考虑了每个设备（组）运行的简单相加，因此对它的修正不是放大，反而是乘以小于1的同时系数来修正总负荷。 e.有效台数Nyx和平均利用系数Klp的计算法就不再叙述，容易理解。只是前者的意义在于去掉那些单个负荷小而数量多的设备，否则会影响Km的估值；且常常计算较繁。 f.总的来说利用系数法就是一个基于统计的方法。它有统计学的特点，相应步骤也由此体现。

二阶变系数线性微分方程的一些解法

y 122dx u d ＋（2dx dy 1＋p(x)y 1）dx du ＋(21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1)u ＝0 (9.3) 这是一个关于u 的二阶线性齐次方程，各项系数是x 的已知函数，因为y 1是(9.1)的解，所以其中 21 2dx y d ＋p(x) dx dy 1＋q(x)y 1≡0 故(9.3)式化为 y 122dx u d ＋(2dx dy 1＋p(x)y 1) dx du ＝0 再作变量替换，令dx dy ＝z 得 y 1dx dz ＋(2dx dy 1 ＋p(x)y 1)z ＝0 分离变量 z 1 dz ＝－[1y 2＋p(x)］dx 两边积分，得其通解 z ＝21 2y C e －∫p(x)dx 其中C 2为任意常数积分得u ＝C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ＋C 1代回原变量得(9.1) 的通解 y ＝y 1［C １＋C 2∫21 y 1e －∫p(x)dx dx ］

第三章一阶线性微分方程组第四讲常系数线性微分方程组的解法(1)

第四讲常系数线性微分方程组的解法（4课时）一、目的与要求: 理解常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念, 掌握常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 二、重点：常系数线性微分方程组的基本解组的求法. 三、难点：常系数线性微分方程组的特征方程式, 特征根, 特征向量的概念. 四、教学方法：讲练结合法、启发式与提问式相结合教学法. 五、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合. 六、教学过程： 1 新课引入由定理3.6我们已知道，求线性齐次方程组(3.8)的通解问题，归结到求其基本解组. 但是对于一般的方程组(3.8)，如何求出基本解组，至今尚无一般方法. 然而对于常系数线性齐次方程组 dY AY dx = (3.20) 其中A 是n n ?实常数矩阵，借助于线性代数中的约当(Jordan)标准型理论或矩阵指数，可以使这一问题得到彻底解决. 本节将介绍前一种方法，因为它比较直观. 由线性代数知识可知，对于任一n n ?矩阵A ，恒存在非奇异的n n ?矩阵T ，使矩阵 1T AT -成为约当标准型. 为此，对方程组(3.20)引入非奇异线性变换 Y TZ = (3.21) 其中()(,1,2,,),ij T t i j n == det 0T ≠,将方程组(3.20)化为 1dZ T ATZ dx -= (3.22) 我们知道，约当标准型1 T AT -的形式与矩阵A 的特征方程 11121212221 2 det()0n n n n nn a a a a a a A E a a a λ λλλ ---= =-

的根的情况有关. 上述方程也称为常系数齐次方程组(3.20)的特征方程式.它的根称为矩阵 A 的特征根. 下面分两种情况讨论. (一) 矩阵A 的特征根均是单根的情形. 设特征根为12,,,,n λλλ 这时 12 1 00 n T AT λλλ-????? ?=?????? 方程组(3.20)变为 11122 200n n n dz dx z dz z dx z dz dx λλλ?????????????? ????????= ???????????????? ?????? (3.23) 易见方程组(3.23)有n 个解 1110(),00x Z x e λ????????=???????? 220010(),,()0001n x x n Z x e Z x e λλ???????????? ????==???????????????? 把这n 个解代回变换(3.21)之中，便得到方程组(3.20)的n 个解 12()i i i i x x i i ni t t Y x e e T t λλ?? ????==?????? (1,2,,)i n =

需要系数法介绍

需要系数法介绍需要系数是一个至关重要的数据，直接影响到负荷的计算结果，关系到变压器容量的选择，特别对于一些大面积的住宅小区，需要系数的选择不同，变压器容量可能相差一个等级，甚至更大。而需要系数的确定又是极为繁琐、经验的事，虽然在现行的各种设计手册上都有数据可查，但表述比较笼统、模糊，有一些不尽合理的地方。如有的手册规定50户~100户，需要系数取0.4~0.5，100户以上取0.4以下，先假定每户安装容量为6KW，95户取需要系数0.43，100户时取为0.4，则95户的Pjs=95*6*0.43= 245.1KW，而100户的Pjs=100*6*0.4=240KW，这很明显不合理。模拟公式的推导模拟公式的推导基于以下三条规律： ①户数(N)较少时，需要系数(K)为1； ②需要系数(K)随户数(N)增大而减小，即KN≤KN-1 （KN是N所对应K值），且减少速率先急后缓； ③每户安装功率相同时，小户数的计算功率恒小于大户数的，即（N-1）*KN-1*P< N*KN*P。基于以上三条规律：可以假定N ≤6时，K0=1，其后，每增加3户，K值做一次调整，调整后的K 值等于调整前的K值乘以调整系数。下面介绍怎样确定调整系数。假设N为3的倍数且N≥9，因KN>KN-1*[(N-1)/N]，故KN-2>KN-3*[(N-3)/(N-2)]，根据前面假定可知：KN-2=KN-1=KN，所以KN>KN-3*[(N-3)/(N-2)]，因(N-1)/N

恒大于(N-3)/(N-2)，故不妨令KN=KN-3*[(N-1)/N]，即调整系数等于(N-1)/N。举例说明当N=7、8、9时，K1=K0*(9-1)/9=8/9，当N=10、11、12时，K2=K1*(12-1)/12=(8/9)*(11/12)…… 需要系数法需要系数是用电设备实际所需要的功率与额定负载时所需的功率的比值，用公式表示为 Kc=Psb/Psn 式中：Psb——用电设备实际所需功率。 Psn——用电设备额定功率。需要系数的大小要综合考虑用电设备的负荷状态、工作制(连续、短时、重复短时工作)和该类设备的同时工作几率等方面的因素。一般是根据实经验统计后取平均值。电气设计的负荷计算方法及其应用范围电气负荷计算方法有：需要系数法，利用系数法，二项式系数法，单位面积功率计算法，单位产品功率计算法等。 (1)、需要系数法：用设备功率乘以需要系数和同时系数，直接求出计算负荷； (2)、利用系数法：采用利用系数求出最大负荷班的平均负荷，再考虑设备台娄和功率差异的影响，乘以与有效台数有关的最大系数求得计算负荷；

常系数线性微分方程的解法

常系数线性微分方程的解法摘要：本文主要介绍了常系数线性微分方程的解法.着重讨论利用代数运算和微分运算来求常系数齐次线性微分方程和非齐次线性微分方程的通解. 关键词：复值函数与复值解；欧拉方程；比较系数法；拉普拉斯变换法 The Solution of Linear Differential Equation with Constant Coefficients Abstract ：The solutions of linear differential equation with constant coefficients are introduced in this article. And using the algebraic operation and differential operation to solv the general solution of homogeneous linear differential equation and nonhomogeneous linear differential equation are discussed emphatically. Key Words ：complex flnction and complex answer; euler equation;the method of coefficients comparison; the method of laplace transformation. 前言为了让我们更多的认识和计算常系数线性微分方程，本文通过对复值函数和复值解以及常系数线性微分方程和欧拉函数的简单介绍，进而简单讨论了常系数线性微分方程的解法,以此来帮助我们解决常系数线性微分方程的解. 1. 预备知识 1.1复值函数与复值解如果对于区间a t b ≤≤中的每一个实数t ,有复数()()()z t t i t ?ψ=+与它对应,其中 ()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数,i =是虚数单位,我们就说在区间 a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?,()t ψ当t 趋于0t 时有极限,我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限,并且定义 lim ()lim ()lim ()t t t t t t z t t t ?ψ→→→=+. 如果0 0lim ()()t t z t z t →=,我们就称()z t 在0t 连续.显然,()z t 在0t 连续相当于()t ?,()t ψ在0 t 连续.当()z t 在区间a t b ≤≤上每点都连续时,就称()z t 在区间a t b ≤≤上连续.如果极

功效系数法基本知识

功效系数法功效系数法是指根据多目标规划的原理，把所要评价的各项指标分别对照各自的标准，并根据各项指标的权数，通过功效函数转化为可以度量的评价分数，再对各项指标的单项评价分数进行加总，求得综合评价分数，是一种常见的定量评价方法。功效系数法进行企业绩效评价计分有以下优越性： ①功效系数法建立在多目标规划原理的基础上，能够根据评价对象的复杂性，从不同侧面对评价对象进行计算评分，正好满足了企业绩效评价体系多指标综合评价企业绩效的要求。②功效系数法为减少单一标准评价而造成的评价结果偏差，设置了在相同条件下评价某指标所参照的评价指标范围，并根据指标实际值在标准范围内所处位置计算评价得分，这不但与企业绩效评价多档次评价标准相适应，而且能够满足在目前我国企业各项指标值相差较大情况下，减少误差，客观反映企业绩效状况，准确、公正评价企业绩效的目的。③用功效函数模型既可以进行手工计分，也可以利用计算机处理，有利于评价体系的推广应用。基于以上优势，企业绩效评价选择了功效系数法作为评价定量指标的基本计分方法。具体步骤是: 首先，收集被评价企业各项绩效评价指标实际值。其次，根据评价目的确定各项评价指标的标准值。在对不同企业间绩效进行横向比较时，各项评价指标的标准值可以采用全国或地区同行业该项指标的平均值;在对同一企业不同时期绩效进行纵向比较时，各项评价指标的标准值可以采用企业某一固定期该项指标的实际值。再次，计算各项指标的评价分数: 某指标评价分数=60+该指标功效系数X40。不同性质的评价指标，其功效系数的计算公式有所不同。评价指标按其性质不同，分为正指标、逆指标和适度指标。正指标是指数值越大，企业绩效越好的指标，包括产品销售率、市场占

功效系数法

功效系数法在企业绩效评价中的运用功效系数法是一种常见的定量评价方法。它的运作具有综合性、多档次性和方便性的很多功能，与其他绩效评价量化方法相比，具有很大的优越性。 1 企业绩效评价量化方法概述企业绩效评价(也称资本金绩效评价)是指运用数理统计和运筹学原理，采用特定的指标体系，对照统一的标准，遵循一定的程序，通过定量定性分析，对企业经营期间的经营效益和经营者业绩做出客观、公正和准确的综合评判。企业为了加强资本所有权控制和公司内部控制，进而提出了企业绩效评价制度。在企业绩效评价体系中，存在着很多的评价方法，这里笔者只介绍定量的评价方法。 1.1 企业绩效评价的量化方法目前，存在的定量分析方法也很多，以下简单介绍3种： 1.1.1 主成分分析法。主成分分析法是由霍特林于1933年首先提出的。主成分分析是利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。为了全面、系统地评价企业业绩，我们可能会选取众多指标，这些指标在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因此所得到的统计数据反映的信息在一定程度上存在重叠。但是在众多的影响因素中，必然存在着起支配作用的共同因素。根据这一点，通过对原始变量相关矩阵内部结构关系的研究找出影响评价客体的几个综合指标，使综合指标为原来变量的线性组合，这几个综合指标就成为了主成分。主成分分析法通过指标的选取、样本的收集、指标标准化处理、相关矩阵系数的计算来确定特征值和贡献率，最后求得评价客体的综合得分和排名。主成分分析法使得我们在研究业绩评价问题时容易抓住主要矛盾。 1.1.2 因子分析法。因子分析法起源于20世纪初皮尔森和斯皮尔曼等人关于智力测验的统计分析。因子分析的基本思想是根据相关性大小把变量分组，使同组内的变量之间相关性较高，不同组的变量相关性较低。每组变量代表一个基本结构，这个基本结构称为公共因子。对于所研究的问题，可试图用最少个数的不可测得所谓公共因子的线性函数与特殊因子之和来描述原来观测的每一分量。因子分析法通过指标选取、因子分析过程可以对评价客体的经济效益状况进行综合评价，计算出综合得分和名次。通过因子分析法可以知道影响事物变化的主要因素在哪里，而且可以了解到该企业在行业中的地位及薄弱环节，为企业决策提供重要依据。 1.1.3 功效系数法。功效系数法是指根据多目标规划的原理，把所要评价的各项指标分别对照各自的标准，并根据各项指标的权数，通过功效函数转化为可以度量的评价分数，再对各项指标的单项评价分数进行加总，求得综合评价分数。功效系数法是一种常见的定量评价方法。 1.2 企业绩效评价定量方法比较 1.2.1 主成分分析法可以计算出各项指标的相关系数，了解各项指标其中的相关程度，使得我们在研究业绩评价问题时容易抓住主要矛盾。但是这种方法计算复杂，工作量大。

常系数线性微分方程的解的结构分析

常系数线性微分方程的解的结构分析【摘要】在参考和总结了许多场系数线性微分方程的解法的基础上，本文总结了一些常系数微分方程的解的解法，并针对一类常系数线性微分方程的已有结论给予证明，以解给予一些结论证明思路，以及一些实例，并向高阶推广。【关键词】常系数线性微分方程结构一阶常系数齐次线性微分方程 0=+ax dt dx ，（1.1）的求解上式可以改写为 adt x dx -= ，（1.2）于是变量x 和t 被分离，再将两边积分得 c at x +-=ln ，（1.3）这里的c 为常数。又由对数的定义，上式可以变为 at ce x -= ，（1.4）其中c= , 因为x=0也是方程的解，因此c 可以是任意常数。这里首先是将变量分离，然后再两边积分，从而求出方程的解。这便要方程式可以分离变量的，也就是变量分离方程。一阶常系数微分方程 )()(x Q y x P dx dy += ，（2.1）其中P （x ），Q(x)在考虑的区间上式连续函数，若Q （x ）=0 ,上式就变为 y x P dx dy )(= ，（2.2）上式为一阶齐次线性微分方程。还是变量分离方程我们可以参考上面变量分离方程的解法，先进行变量分离得到 dx x P y dy )(= ，（2.3）两边同时积分，得到 ? =dx x p ce y )( ，（2.4）这里c 是常数。若Q （x ）≠ 0 , 那么上式就变成了一阶非齐次线性微分方程。我们知道一阶齐次线性微分方程是一阶常微分方程的一种特殊情况，那么可以设想将一阶

齐次线性微分方程的解 ? =dx x p ce y )( ，（2.5）中的常数c 变易成为待定的函数c （x ）,令 ?=dx x p e x c y )()( ，（2.6）微分之，就可以得到 ?+?=dx x p dx x p e x P x c e dx x dc dx dy )()()()()( ，（2.7）以（2.7），（2.6）代入2.1，得到 )()()()()()()()()(x Q e x c x p e x P x c e dx x dc dx x p dx x p dx x p +?=?+?，（2.8）即 ?=-dx x p e x Q dx x dc )()() (，积分后得到 c （x ）=c dx e x Q dx x p +?? -)()( , (2.9) 这里c 是任意常数，将上式代入（2.6）得到方程（2.1）的通解 ))(()()(c dx e x Q e y dx x p dx x p +? ? =?- (2.91) 在上面的一阶线性微分方程中，是将一阶齐次线性微分方程中的通解中的常数c 变成c(x) ,常数变易法一阶非齐次线性微分方程的解, 感觉这个方法之所以用x 的未知函数u(x)替换任意常数C,是因为C 是任意的，C 与x 形成函数关系，要确定C,需要由初始条件确定，一个x,确定一个C,也就形成一对一或多对多的映射，也就是函数关系，而这里的C 是任意的，也就可以用一个未知的，也就是任意的函数u(x)来代替，进而求得非齐次线性微分方程的解。这种将常数变异为待定函数的方法，我们通常称为常数变易法。常数变易法实质也是一种变量变换的方法，通过变换（2.6可将方程（2.1）化为变量分离方程。二阶常系数线性微分方程（1）二阶常系数线性齐次方程 022=++qy dx dy p dx y d （3.1）其中p 、q 是常数，我们知道，要求方程（3.1)的通解，只要求出其任意两个线性无关的特解y 1,y ２就可以了，下面讨论这样两个特解的求法。我们先分析方程(3.1)可能具有什么形式的特解，从方程的形式上来看，它的特点是22dx y d ，

传递系数与简布法比较

一、传递系数法二、简布法计算项目：复杂土层土坡稳定计算 20 ------------------------------------------------------------------------ [计算简图]

[控制参数]: 采用规范: 通用方法计算目标: 安全系数计算滑裂面形状: 折线形滑面不考虑地震 [坡面信息] 坡面线段数 3 坡面线号水平投影(m) 竖直投影(m) 超载数 1 20.550 21.740 0 2 12.170 4.540 0 3 17.240 0.730 0 [土层信息] 坡面节点数 4

编号 X(m) Y(m) 0 0.000 0.000 -1 20.550 21.740 -2 32.720 26.280 -3 49.960 27.010 附加节点数 6 编号 X(m) Y(m) 1 0.000 -0.750 2 0.000 -1.250 3 0.000 -7.750 4 64.000 -7.750 5 64.000 -1.250 6 64.000 -0.750 不同土性区域数 1 区号重度饱和重度粘聚力内摩擦角水下粘聚水下内摩十字板强度增十字板羲强度增长系全孔压节点编号 (kN/m3) (kN/m3) (kPa) (度) 力(kPa) 擦角(度) (kPa) 长系数下值(kPa) 数水下值系数 1 24.000 --- 25.000 19.000 --- --- --- --- --- --- --- ( 0,1,6,-3,-2,-1,) 不考虑水的作用 [计算条件] 稳定计算目标: 指定滑面的安全系数稳定分析方法: 简化Janbu法土条宽度(m): 1.000 非线性方程求解容许误差: 0.00001 方程求解允许的最大迭代次数: 50

常系数线性方程组基解矩阵的计算

常系数线性方程组基解矩阵的计算董治军（巢湖学院数学系，安徽巢湖238000）摘要：微分方程组在工程技术中的应用时非常广泛的，不少问题都归结于它的求解问题，基解矩阵的存在和具体寻求是不同的两回事，一般齐次线性微分方程组的基解矩阵是无法通过积分得到的，但当系数矩阵是常数矩阵时，可以通过方法求出基解矩阵，这时可利用矩阵指数exp A t，给出基解矩阵的一般形式，本文针对应用最广泛的常系数线性微分方程组，结合微分方程，线性代数等知识，讨论常系数齐次线性微分方程的基解矩阵的几个一般的计算方法. 关键词；常系数奇次线性微分方程组；基解矩阵；矩阵指数 Calculation of Basic solution Matrix of

Linear Homogeneous System with Constant Coefficients Zhijun Dong (Department of Mathematics, Chaohu College Anhui, Chaohu) Abstract: Differential equations application in engineering technology is very extensive, when many problems are attributable to its solving problem, base solution matrix existence and specific seek is different things, general homogeneous linear differential equations is not the base solution matrix by integral get, but when coefficient matrix is constant matrix, can pass out the base solution matrix method, then are available matrix exponential t, the general form base solution matrix, the paper discusses the most widely used differential equations with constant coefficients, combined with differential equations, linear algebra, discuss knowledge of homogeneous linear differential equation with constant coefficients of base solution matrix several general calculation method. Keyword: linear homogeneous system with constant coefficients; matrix of basic solutions; matrix exponent 引言: 线性微分方程组的求解历来是常微分方程的重点，根据线性微分方程组的解的结构理论，求解线性微分方程组的关键在于求出对应齐次线性微分方程组的基解矩阵，本文主要讨论齐次线性微分方程组 X ’＝AX ★ 的基解矩阵的计算问题，这里A 是n n ?常数矩阵. 一．矩阵指数exp A 的定义和性质： 1.矩阵范数的定义和性质定义：对于n n ?矩阵A ＝ij a ???? n ×n 和n 维向量X ＝()1,...,T n X X 定义A 的范数为A ＝,1 n ij i j a =∑ ，X =1 n i i x =∑ 设A ，B 是n ×n 矩阵，x ，y 是n 维向量，易得下面两个性质：