(完整版)函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究
题1：
求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．
归纳：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；
第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：
（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（）
A. （1，3）
B. （1，0）
C. （－1，3）
D. （－1，0）
巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）
2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）
①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2．
A．1个B．2个C．3个D．4个
3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ．
4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ．
5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ．
6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ．
8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
9.（南京2011年24题7分）已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）．
⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
10．已知二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰
好在直线y=x+1
2
（1﹣m）上（其中m、n为正数）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．
函数图像过定点的研究
题1：
求证拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．
审题视角有些函数的图象具有过定点的性质，这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的，例如，直线y＝kx＋b(k≠0)，当b确定时，无论k取不等于0的任何值，它总过定点(0，b)；物线线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当c确定时，无论a、b取何值，它总过定点(o，c)．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母k的项组合于一组，赋值为零，可以求的自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标．
解：整理抛物线的解析式，得
y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1
＝3x2－2x－1－kx2＋kx＋2k
＝3x2－2x－1－k(x2 －x－2)(k≠3)，
上式中令x2－x－2＝0，得x
1＝－1，x
2
＝2.
将它们分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，
解得y
1＝4，y
2
＝7，
把点(－1，4)、(2，7)分别代入y＝3x2－2x－1－k(x2－x－2)，
无论k取何值，等式总成立，
即点(－1，4)、(2，7)总在抛物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)上，
即拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)．
归纳：
第一步：对含有变系数的项集中；
第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式；
第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)；
第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)；
第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．
题2：（2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数
的图像总过的点是（）
A. （1，3）
B. （1，0）
C. （－1，3）
D. （－1，0）
解法一、特殊值法
依据：二次函数的图像随着m的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。
解：任意给m赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。
则函数解析式变为：
。
联立方程组解得
把中，无论m为何值，等式总成立。
所以，抛物线群中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。
故应选A。
解法二、变换主元法
依据：一元一次方程的解有三种情形：
（1）当a≠0时，方程有惟一解：；
（2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；
（3）当a=0，b≠0时，方程无解。
这里所求定点坐标与m的值无关，相当于关于m的一元一次方程am=b（a、b为含x、y 的代数式）中，a=b=0时的情形。
解：将其二次函数整理变形为：
①
令
所以，无论m为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。
故应选A。
巩固练习：
1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0）
2．对于关于x 的二次函数y=ax 2﹣（2a ﹣1）x ﹣1（a≠0），下列说法正确的有（ ） ①无论a 取何值，此二次函数图象与x 轴必有两个交点； ②无论a 取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；
③当a ＞0时，函数在x ＜1时，y 随x 的增大而减小； ④当a ＜0时，函数图象截x 轴所得的线段长度必大于2．
A ． 1个
B ． 2个
C ． 3个
D ． 4个
3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx 2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标： _________ ．
4．某数学小组研究二次函救y=mx 2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标： _________ ．
5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x 2+bx+c 满足b ﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是 _________ ．
6．无论m 为何实数，二次函数y=x 2﹣（2﹣m ）x+m 的图象总是过定点 _________ ．
7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x ＞0时，函数值y 随自变量x 的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式： _________ ．
8.证明无论m 为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出 该定点坐标
9. 已知函数y =mx 2－6x ＋1（m 是常数）．
⑴求证：不论m 为何值，该函数的图象都经过y 轴上的一个定点；
⑵若该函数的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．
解：⑴当x =0时，1y =．
所以不论m 为何值，函数2
61y mx x =-+的图象经过y 轴上的一个定点（0，1）．
⑵①当0m =时，函数61y x =-+的图象与x 轴只有一个交点；
②当0m ≠时，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则方程2610mx x -+=有两个相等的实数根，所以2
(6)40m --=，9m =．
综上，若函数261y mx x =-+的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为0或9．11．已知二次函数的
10.顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，n﹣m），其顶点恰好在直线y=x+（1
﹣m）上（其中m、n为正数）．
（1）求证：此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）在x轴上是否存在这样的定点：不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过此定点？若存在，求出所有这样的点；若不存在，请说明理由．
分析：
（1）把二次函数顶点坐标代入代入y=x+（1﹣m）得﹣+（1﹣m）=﹣，整理后利用因式分解得到（m﹣n）（m+1）=0，则m=n或m=﹣1（舍去），于是二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴
的交点为（0，0），由m为正数可判断二次函数的顶点在第四象限，而抛物线过原点，所以抛物线开口向上，由此得到此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）由（1）得到抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），利用对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0）
（1）证明：把（﹣，﹣）代入y=x+（1﹣m）得﹣+（1﹣m）=﹣，
整理得m2﹣mn+m﹣n=0，
∵（m﹣n）（m+1）=0，
∴m=n或m=﹣1（舍去），
∴二次函数的顶点坐标为（﹣，﹣），与y轴的交点为（0，0），
∵m为正数，
∴二次函数的顶点在第四象限，
而抛物线过原点，
∴抛物线开口向上，
∴此二次函数的图象与x轴有2个交点；
（2）解：存在．
∵抛物线的对称轴为直线x=﹣，抛物线与x轴的一个交点坐标为（0，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），
即不论m、n如何变化，二次函数的图象总通过点（﹣1，0）和（0，0）．
反思：本题考查了抛物线与x轴的交点：求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标；二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系，△=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
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(完整版)函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究 题1： 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标． 归纳： 第一步：对含有变系数的项集中； 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： （2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（） A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0）
巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． A．1个B．2个C．3个D．4个 3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
一次函数的与几何图形综合的题目(含答案)
一次函数与几何图形综合专题讲座 思想方法小结 ： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用． 知识规律小结 ： （1）常数k ，b 对直线y =kx +b (k ≠0）位置的影响． ①当b ＞0时，直线与y 轴的正半轴相交； 当b =0时，直线经过原点； 当b ﹤0时，直线与y 轴的负半轴相交． ②当k ，b 异号时，即－k b ＞0时，直线与x 轴正半轴相交； 当b =0时，即－ k b =0时，直线经过原点； 当k ，b 同号时，即－k b ﹤0时，直线与x 轴负半轴相交． ③当k ＞O ，b ＞O 时，图象经过第一、二、三象限； 当k ＞0，b =0时，图象经过第一、三象限； 当b ＞O ，b ＜O 时，图象经过第一、三、四象限； 当k ﹤O ，b ＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k ﹤O ，b =0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y =kx +b （k ≠0）与直线y =kx (k ≠0)的位置关系． 直线y =kx +b (k ≠0)平行于直线y =kx (k ≠0) 当b ＞0时，把直线y =kx 向上平移b 个单位，可得直线y =kx +b ； 当b ﹤O 时，把直线y =kx 向下平移|b |个单位，可得直线y =kx +b ． （3）直线b 1=k 1x +b 1与直线y 2=k 2x +b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 12 1b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2） ； ③???≠=21 21,b b k k ?y 1与y 2平行； ④?? ?==2 121, b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y =－2x +2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC =OB (1) 求AC (2) 在OA 的延长线上任取一点P ,作PQ ⊥BP ,交直线AC 于Q ,试探究BP 与PQ 的数量关系， 并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作PM ⊥AC 于M ,BP 交AC 于N ,下面两个结论：①(MQ +AC )/PM x y
动点问题与函数图象
动点问题与函数图象 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直 线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑，①当直线 l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A． A. … B.
3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而 成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是 【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
函数图象变换的四种方式 一，平移变换。 （1）水平平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 （简记：左加右减，这里的a>0。） （2）上下平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 （简记：上加下减，这里的a>0） 二，对称变换。 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。 （1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？ 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形 （简记：右不动，左对称） （2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？ 先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 （简记：上不动，下上翻） 四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。 （2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
抛物线中的定点定值问题
抛物线练习（定点） 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． 23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________． 5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标 9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）． ⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
一次函数与几何图形综合专题
一次函数与几何图形综合专题思想方法小结： （1）函数方法． 函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题． （2）数形结合法． 数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结： （1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响． ①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交； 当b=0时，直线经过原点； 当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交． b＞0时，直线与x轴正半轴相交； ②当k，b异号时，即- k b=0时，直线经过原点； 当b=0时，即- k b﹤0时，直线与x轴负半轴相交． 当k，b同号时，即- k ③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限； 当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限； 当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限； 当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限； 当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；
当b ＜O ，b ＜O 时，图象经过第二、三、四象限． （2）直线y=kx+b （k ≠0）与直线y=kx(k ≠0)的位置关系． 直线y=kx+b(k ≠0)平行于直线y=kx(k ≠0) 当b ＞0时，把直线y=kx 向上平移b 个单位，可得直线y=kx+b ； 当b ﹤O 时，把直线y=kx 向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b ． （3）直线b 1=k 1x+b 1与直线y 2=k 2x+b 2（k 1≠0 ，k 2≠0）的位置关系． ①k 1≠k 2?y 1与y 2相交； ②?? ?=≠2 121b b k k ?y 1与y 2相交于y 轴上同一点（0，b 1）或（0，b 2）； ③?? ?≠=2 121,b b k k ?y 1与y 2平行； ④???==2 121,b b k k ?y 1与y 2重合. 例题精讲： 1、直线y=-2x+2与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，C 在y 轴的负半轴上，且OC=OB (1) 求AC (2) 在 OA 的延长线上任取一点P,作PQ ⊥BP,交直线AC 于Q,试探究BP 与PQ 的数量关系，并证明你的结论。 (3) 在（2）的前提下，作 PM ⊥AC 于M,BP 交AC 于N,下面两个结论：① x
函数图像过定点问题
函数图像过定点得研究 题1: 求证:拋物线y＝（3－k)x2+(k－2）x+2k－１（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标。 归纳: 第一步:对含有变系数得项集中; 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量ｘ得方程（这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式)，即得到一个y 得值y0(定点得纵坐标）,于就是，函数图象一定过定点(x０，y0）； 第五步：反思回顾,查瞧关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： (２001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数，二次函数得图像总过得点就是( ） A、 (1，3) B、（1,０）Ｃ、(－1，３)?D、 (—1，0）
巩固练习: 1.无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）x＋m得图象总就是过定点（） Ａ。?（1,３）?B．（１，0）?C. (﹣1，3） D. (﹣1，0） 2.对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）ｘ﹣１(a≠0),下列说法正确得有( ） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为；③当a〉0时,函数在ｘ〈1时，ｙ随x得增大而减小；④当a〈0时，函数图象截x轴所得得线段长度必大于2. A. 1个B．2个C。３个D。４个 ３、（２01２?鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mｘ２﹣2mx+3(ｍ≠０）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：＿__＿_＿＿＿＿。 4。某数学小组研究二次函救y=mx2﹣３mx+２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。请您写出这两个定点得坐标：__＿_____＿. 5。（2009?宜宾县一模)二次函数ｙ=x2+bx+c满足b﹣c＝2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是 _＿_______ . ６．无论ｍ为何实数，二次函数ｙ=ｘ2﹣(２﹣m）x+ｍ得图象总就是过定点＿_＿_＿___＿. ７．已知一个二次函数具有性质(１）图象不经过三、四象限；（２)点（2，1)在函数得图象上；（3)当x＞0时，函数值y随自变量x得增大而增大。试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _＿__＿＿___ 。 8、证明无论m为何值，函数y＝mx-（４m—３）图像过定点,求出该定点坐标
北师大版八年级上册一次函数之图像测试题(含答案与详细解析)
八上数学——一次函数综合提升测试题 一．填空题（共15小题） 1．（2011?呼和浩特）已知关于x的一次函数y=mx+n的图象如图所示，则可化简为__ __ ． 2．（2004?包头）已知一次函数y=ax+b（a≠Ｏ）的图象如图所示，则|a+b|﹣（a﹣b）= ___ ． 3．从﹣1，1，2三个数中任取一个，作为一次函数y=kx+3的k值，则所得一次函数中y随x的增大而增大的概 率是． 4．一次函数y=k（x﹣k）（k＞0）的图象不经过第象限． 5．已知一次函数y=kx+b，kb＜0，则这样的一次函数的图象必经过的公共象限有个，即第 象限． 6．若一次函数y=ax+1﹣a中，它的图象经过一、二、三象限，则|a﹣1|+= ． 7．已知一次函数y=（m﹣2）x+3﹣m的图象经过第一、二、四象限，化简+的结果是． 8．（2013?镇江）已知点P（a，b）在一次函数y=4x+3的图象上，则代数式4a﹣b﹣2的值等于. 9．在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，过点A（1，2）的直线y=kx+b与x轴交于点B，且S△AOB=4，则k 的值是． 10．如图，已知直线l：y=x，过点A（0，1）作y轴的垂线交直线l于点B，过点B作直线l的垂线交y轴于点 A1；过点A1作y轴的垂线交直线l于点B1，过点B1作直线l的垂线交y轴于点A2；…按此作法继续下去，则点A2 013的坐标为． 11．（2013?成都）已知点（3，5）在直线y=ax+b（a，b为常数，且a≠０）上，则的值为．12．（2004?郑州）点M（﹣2，k）在直线y=2x+1上，点M到x轴的距离d= ． 13．将直角坐标系中一次函数的图象与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标三角形．例如，图中的 一次函数图象与x、y轴分别交于点A、B，则△ABO为此一次函数的坐标三角形，一次函数的坐 标三角形的周长是 14．（2013?浦东新区模拟）已知点P在直线y=﹣2x﹣3上，且点P到x轴的距离是4，那么点P的坐标是 ． 15．（2013?齐齐哈尔）函数y=﹣（x﹣2）0中，自变量x的取值范围是_________ ． 二．解答题（共15小题） 16．（2012?花都区一模）直线l：y=mx+n（m、n是常数）的图象如图所示，化简： ． 17．若函数y=（a+3b）x+（2﹣a）是正比例函数且图象经过第二、四象限，试化简： ． 18．已知一次函数y=（k﹣2）x﹣3k 2 +12． （1）k为何值时，图象经过原点；（2）k为何值时，图象与直线y=﹣2x+9的交点在y轴上；（3）k为何值时，图象平行于y=﹣2x的图象；（4）k为何值时，y随x增大而减小． 19．如图，直线y=x+b（b＞0）与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，正比例函数y=kx（k＜0）的图象与直线AB交于点Q，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=10，BN=3， （1）求A、B两点的坐标；（用b表示）（2）图中有全等的三角形吗？若有，请找出并说明理由．（3）求MN的长． (第1题图) (第2题图) (第10题图) (第13题图)
动点问题的函数图像
动点问题的函数图像复习指要 【典例分析】 例1(2014?贵阳,第9题,3分)如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为 ) x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象就是( 考点: 动点问题的函数图象. 分析:根据截成的两个部分的体积之与等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式,再根据一次函数的图象解答. 解答:解:∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y, ∴x+y=10, ∴y=﹣x+10(0≤x≤10), 纵观各选项,只有A选项图象符合. 故选A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象,比较简单,理解分成两个部分的体积的与等于三棱柱的体积就是解题的关键. 例2 (2014年?河南省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s), ) 线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致就是(
A. B. C. D. 考点:动点问题的函数图象. 分析:这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分; ②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x的函数关系式,根据关系式选择图象; ③点P在边AB上时,利用线段间的与差关系求得y与x的函数关系式,由关系式选择图象. 解答:解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分.故C 错误; ②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得AP=,即y=, 则其函数图象就是y随x的增大而增大,且不就是线段.故B、D错误; ③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意. 故选:A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象.此题涉及到了函数y=的图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题. 例3(2014?广西桂林,第12题,3分)如图1,在等腰梯 形ABCD中,∠B=60°,PQ同时从B出发,以每秒 1单位长度分别沿BADC与BCD方向运动至相遇 时停止,设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平 房单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论 错误的就是( ) A.当t=4秒时,S=43 B.AD=4 C.当4≤t≤8时,S=23t D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积 考点:动点问题的函数图象. 分析:根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质,综合判断可得答案. 解答:解:由答图2所示,动点运动过程分为三个阶段: (1)OE段,函数图象为抛物线,运动图形如答图1﹣1所示. 此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动.
函数图象的三种变换
. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种： 一、平移变换 2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1 (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图 (2)如图
点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到． 小结：
二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称． 点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 三、翻折变换 例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6
. 图象的关系． 解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所 示． 点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解如下图所 示． 点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： 保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：
二次函数的最值问题与过定点类型问题
二次函数的最值与图像过定点问题 对于二次函数:y=-x 2+4x-1/2 (1)当x 取任意实数时,该函数有最 值,最 值是 (2)当-1≤x≤1时,该函数的最大值是 ;最小值是 (3)当3≤x≤4时,该函数的最大值是 ;最小值是 (4)当0≤x≤3时,该函数的最大值是 ;最小值是 求二次函数最值的一般方法： 1画出函数图像找对称轴； 2分清自变量范围找区间； 3数形结合找对应函数值 例1、对于二次函数y=-x 2+2bx-0.5 (1)若b<-1,当-1≤x≤1时,求该函数的最大或最小值(用含b 的式子表示)。 (2)若0﹤b ﹤1时,当-1≤x≤1,求该函数的最大或最小值。 1.如图,抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A(-1,m)、B(4,n),点M 是抛物线上的一 个动点,连接OM (1)求m,n,p 。 (2)当M 为抛物线的顶点时,求M 坐标和⊿OMB 的面积； (3)当点M 在直线AB 的下方抛物线上,M 运动到何处时,⊿AMB 的面积最大。 2.抛物线y=ax 2和直线y=kx+b(k 为正常数)交于点A 和点B,其中点A 的坐标是(-2,1),过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点E,点D 是抛物线上B,E 之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D 作两坐标轴的平行线分别交直线AB 于点C,M,设CD=r,MD=m. (1)根据题意可求出a= ,点E 的坐标是 ； (2)当点D 可与B,E 重合时,若k=0.5,求t 的取值范围,并确定t 为何值时,r 的值最大；(3)当点D 不与B,E 重合时,若点D 运动过程中可以得到r 的最大值,求k 的取值范围,并判断当r 为最大值时m 的值是否最大,说明理由(下图供分析参考用).
函数专题_一次函数的图像和性质
教学过程 一、课程导入 画出y=-x与y=-x+2的图象，找出它们的相同点和不同点 小结：直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。即k值相同时，直线一定平行。
二、 复习预习 ①如图（l ）所示，当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②如图（2）所示，当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③如图（3）所示，当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④如图（4）所示，当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． k ＞0时，y 的值随x 值的增大而增大；当k<0时， y 的值随x 值的增大而减小；一次函数y ＝kx ＋b 的图象为 一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置.
三、知识讲解 考点1 一次函数图象上点的坐标特征 1、 一次函数y ＝kx ＋b 的图象为一条直线，与坐标轴的交点分别为)0.(k b ，(0，b)．它的倾斜程度由k 决定，b 决定该直线与y 轴交点的位置． 2、 正比例函数图象上的点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上，一定满足函数的解析式．根据正比例函数的定义，知x y 是定值． 3、经过函数的某点一定在函数的图象上．在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式．
考点2 一次函数图像的平移 上加下减（b），左加右减（x） 直线y＝kx＋b可以看作由直线y＝kx平移___|b|__个单位而得到，当b＞0时，向___上__平移，当b＜0时，向___下__平移。即k值相同时，直线一定平行。
中考专题动点问题的函数图像
题型一 动点问题的函数图像 (10年3考) 【题型解读】近10年考查3次，考查类型及频次：①判断函数图象考查1次；②分析函数图象考查2次. 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O 的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x (k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
函数图像的三种变换
函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种： 一 、平移变换 函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为： （1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 （3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。 故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 分析 把已知函数图象向右平移1个单位， 即把其中自变量换成，得.