析函数图像恒过定点
析函数图像恒过定点
在中考或竞赛试题中，时有求解（或证明）某函数图像恒过定点的问题。这类问题看似无处着手，难以解决，而实际上只要掌握了方法，解答起来并不困难。下面介绍两种求解此类问题的方法，供大家参考。
题：（2001年北京市西城区中考题）无论m 为任何实数，二次函数y x m x m =+-+22()的图像总过的点是（ ）
A. （1，3）
B. （1，0）
C. （－1，3）
D. （－1，0）
一、特殊值法
依据：二次函数y x m x m =+-+22()的图像随着m 的取值不同，它的位置也随之变化，可见这是一个抛物线群。如果这个抛物线群恒过某定点，则该抛物线群中的某两条特殊的抛物线也必过这一定点。
解：任意给m 赋予两个特殊值，不妨设m=0和m=2。
则函数解析式变为：
y x x y x =+=+2222，。
联立方程组y x x y x =+=+?????2222
， 解得x y ==???
13 把x y y x m x m ===+-+1322，代入()中，无论m 为何值，等式总成立。 所以，抛物线群y x m x m =+-+22()中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。 故应选A 。
二、变换主元法
依据：一元一次方程ax b =的解有三种情形：
（1）当a ≠0时，方程有惟一解：x b a
=； （2）当a=b=0时，方程的解为全体实数；
（3）当a=0，b ≠0时，方程无解。
这里所求定点坐标与m 的值无关，相当于关于m 的一元一次方程am=b （a 、b 为含x 、y 的代数式）中，a=b=0时的情形。
解：将其二次函数整理变形为：
()x m x x y -=+-122
① 令x x x y x y -=+-=???==???
1020132，解得 所以，无论m 为何值时，（1，3）恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。 故应选A 。
最新最新中考二次函数动点问题(含答案)
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
幂函数经典例题
例1、下列结论中，正确的是( ) A．幂函数的图象都通过点(0,0)，(1,1) B．幂函数的图象可以出现在第四象限 C．当幂指数α取1,3，1 2 时，幂函数y＝xα是增函数 D．当幂指数α＝－1时，幂函数y＝xα在定义域上是减函数 解析当幂指数α＝－1时，幂函数y＝x－1的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，且y＝xα (α∈R)，y>0，所以幂函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当α＝－1时，y＝x－1在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但它在定义域上不是减函数． 答案C 例2、已知幂函数f(x)＝(t3－t＋1)x 1 5 (7＋3t－2t2) (t∈Z)是偶函数且在(0，＋ ∞)上为增函数，求实数t的值． 分析关于幂函数y＝xα(α∈R，α≠0)的奇偶性问题，设p q (|p|、|q|互 质)，当q为偶数时，p必为奇数，y＝x p q 是非奇非偶函数；当q是奇数时，y＝ x p q 的奇偶性与p的值相对应． 解∵f(x)是幂函数，∴t3－t＋1＝1， ∴t＝－1,1或0. 当t＝0时，f(x)＝x 7 5 是奇函数； 当t＝－1时，f(x)＝x 2 5 是偶函数； 当t＝1时，f(x)＝x 8 5 是偶函数，且 2 5 和 8 5 都大于0，在(0，＋∞)上为增函数．
故t ＝1且f (x )＝x 85或t ＝－1且f (x )＝x 2 5 . 点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 t ∈Z 给予足够的重视． 例3、如图是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则( ) A ．-1
函数图像恒过定点问题
函数恒过定点问题 1.方程“0X=0”的理解：若方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0 2.若方程mx=n有无数个解，则m=_____,n=_____ 方法：解决函数恒过定点问题，最常用的方法是将函数看成方程，则这个方程有无穷个解。方程的解有无穷多个，则方程的系数均为0，利用这一方法的思路是将原方程整理为以参数为主元的方程，然后利用系数为零求得。 一、直线过定点问题 由“y-yˊ=k（x-xˊ）”求定点把含有参数的直线方程改写成“y-yˊ=k（x-xˊ）的形式，这样就证明了它所表示的所有直线必过定点（xˊ，yˊ） 例1：已知（k+1）x-（k-1）y-2k=0为直线l的方程，求证不论k取任何实数值时，直线l必过定点，并求出这个定点的坐标 例2：若实数满足2a-3b=1，求证：直线ax＋by=5必过定点 练习题 1．直线l：kx﹣y+2k+1=0必过定点________ 2．直线y=mx+2m+14过定点________ 3．直线kx+3y+k﹣9=0过定点________ 4．设a+b=3，则直线ax+by=1恒过定点________ 5．当a+b+c=0时，直线ax+by+c=0必过定点________ 6．直线（m﹣1）x+y+2m+1=0过定点________ 7．直线（2a﹣1）x+2ay+3=0恒过的定点是________ 8．对于任意实数m．n，直线（m+n）x+12my﹣2n=0恒过定点的坐标是________ 9．若p，q满足条件3p﹣2q=1，直线px+3y+q=0必过定点________ 10．直线（m﹣1）x+（2m+3）y﹣（m﹣2）=0恒过定点________
动点问题的函数图象选择方法
动点问题的函数图象选择方法 近几年中考试题中对动点问题的函数图象考察地很频繁，一般都作为选择题最后一道呈现。解答此类题目的一般过程为：读懂题意，牢牢抓住横轴和纵轴所表示的意义，在模拟运动过程中找到分界点，确定不同时间段并分析题意建立相对应函数模型，列出对应函数关系式，由函数关系式选择图象。但在实际的做题过程中，由于是选择题，我们可以选择不同的方法快速，准确地选出答案。 一．列函数关系式法 例1.（2014年河南第8.题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1cm ，BC=2cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线 AC CB BA 运动，最终回到A 点。设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是 （ ） 解析：由P 点运动过程AC CB BA 知，分为三个阶段，第一阶段AC 段， y=x(0≤x ≤1),第二阶段CB 段，y=2(1)1x -+(1≤x ≤3),这是一个在定义域内的增函数，但不 是一次函数。第三阶段BA 段，y=5+3-x(3≤x ≤5+3),所以本题选A 。 定评：分析不同阶段的运动过程，利用学习过的知识，建立函数模型，列出函数关系式，由关系式找出对应阶段的图象。这种方法要求高，没有较强的分析能力和数学素养关系式列不出来，当然这种方法耗时较多。 二．分析淘汰法 例2. （2014年兰州第15题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ） 解析：由l 运动 的过程，分为两个阶段，第一阶段从O 到BD,的过程中，X 轴，Y 轴方向上都在增加，而要表示面积这两个方向上都能用上，所以这必然为开口向上增大的二次函数模式，选择增长的曲线段。第二阶段从BD 到C 的过程，面积在DC,BC 两条边上增大，而此时面积的表示与这两边没有直接的联系，但可以断定是一个增长的二次函数模式，所以本题选D. 点评：分析运动过程，大体与学习过的正比列函数，一次函数，反比例函数，二次函数A ． B ． C ． D ．
指数函数、对数函数、幂函数练习题大全
一、选择题（每小题4分，共计40分） 1．下列各式中成立的一项是 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ． 33 39= C ．4 343 3 )(y x y x +=+ D ．31243)3(-=- 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 9- B ．a - C ．a 6 D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确．．． 的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)]([+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{><
(完整版)函数图像过定点问题
函数图像过定点的研究 题1： 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标． 归纳： 第一步：对含有变系数的项集中； 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数和常数的因式与一个只含x和常数的因式之积的形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量x的方程(这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程，得到x的值x0(定点的横坐标)，将它代入原函数式(也可以是其变式)，即得到一个y 的值y0(定点的纵坐标)，于是，函数图象一定过定点(x0，y0)； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： （2001年北京市西城区中考题）无论m为任何实数，二次函数的图像总过的点是（） A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0）
巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． A．1个B．2个C．3个D．4个 3.（2012?鼓楼区一模）某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________ ． 5．（2009?宜宾县一模）二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________ ． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点_________ ．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________ ． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标
动点问题与函数图象
动点问题与函数图象 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直 线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑，①当直线 l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A． A. … B.
3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而 成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是 【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
指对幂函数经典练习题
高一数学期末复习幂函数、指数函数和对数函数 1、若函数x a a a y ?+-=)33(2是指数函数，则有 （ ） A 、21==a a 或 B 、1=a C 、2=a D 、10≠>a a 且 2、下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3x y -= B ．3-=x y C ．32x y = D ．13-=x y 3、1．指数式b c =a （b >0，b ≠1）所对应的对数式是 （ ） A ．log c a =b B ．log c b =a C ．log a b =c D ．log b a =c 4、若210,5100==b a ，则b a +2= （ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 5、若0≠xy ，那么等式y xy y x 2432-=成立的条件是 （ ） A 、0,0>>y x B 、0,0<>y x C 、0,0>
函数图象变换的四种方式
函数图象变换的四种方 式 集团文件版本号：（M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988）
函数图象变换的四种方式 一，平移变换。 （1）水平平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x+a)的图象，只要将f(x)的图象向左平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x-a)的图象，只要将f(x)的图象向右平移a个单位。 （简记：左加右减，这里的a>0。） （2）上下平移： 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)+a的图象，只要将f(x)的图象向上平移a个单位。 要由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(x)-a的图象，只要将f(x)的图象向下平移a个单位。 （简记：上加下减，这里的a>0） 二，对称变换。 （1）y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称。 所以由f(x)的图象得到f(-x)的图象，只需将f(x)的图象以y轴为对称轴左右翻折就可得到f(-x)的图象。(简记：左右翻折) （2）y=f(x)与y=-f(x)的图象关于 x轴对称。 所以由f(x)的图象得到-f(x)的图象，只需将f(x)的图象以x轴为对称轴上下翻折就可得到-f(x)的图象。(简记：上下翻折) （3）y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称。
所以由f(x)的图象得到-f-(x)的图象，只需将f(x)的图象以原点为对称中心旋转180度就可得到-f(-x)的图象。(简记：旋转180度) 三，翻折变换。 （1）如何由y=f(x)的图象得到y=f(|x|)的图象？ 先画出函数y=f(x) y轴右侧的图象，再作出关于y轴对称的图形 （简记：右不动，左对称） （2）如何由y=f(x)的图象得到y=|f(x)|的图象？ 先画出函数y=f(x)的图象，再将x轴下方的图象以x轴为对称轴翻折到x轴上方去。 （简记：上不动，下上翻） 四，伸缩变换。 (1)如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=af(x)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不改变，就可得到函数af(x)的图象。 （2）如何由函数y=f(x)的图象得到函数y=f(ax)的图象？（a>0） 可将函数f(x)的图象上每个点的横坐标变为原来的1/a倍，纵坐标不改变，就可得到函数f(ax)的图象。
抛物线中的定点定值问题
抛物线练习（定点） 求证：拋物线y＝(3－k)x2＋(k－2)x＋2k－1(k≠3)过定点，并求出定点的坐标．巩固练习： 1．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点（）A．（1，3）B．（1，0）C．（﹣1，3）D．（﹣1，0） 2．对于关于x的二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）x﹣1（a≠0），下列说法正确的有（）①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值，图象必过两定点，且两定点之间的距离为；③当a＞0时，函数在x＜1时，y随x的增大而减小；④当a＜0时，函数图象截x轴所得的线段长度必大于2． 23.某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+3（m≠0）的图象发现，随着m的变化，这个二次函数的图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点，请你写出这两个定点的坐标：_________． 4．某数学小组研究二次函救y=mx2﹣3mx+2（m≠0）的图象发现，随着m 的变化，这个二次函数图象的形状与位置均发生变化，但这个二次函数的图象总经过两个定点．请你写出这两个定点的坐标：_________． 5．二次函数y=x2+bx+c满足b﹣c=2，则这个函数的图象一定经过某一个定点，这个定点是_________． 6．无论m为何实数，二次函数y=x2﹣（2﹣m）x+m的图象总是过定点 _________．7．已知一个二次函数具有性质（1）图象不经过三、四象限；（2）点（2，1）在函数的图象上；（3）当x＞0时，函数值y随自变量x的增大而增大．试写出一个满足以上性质的二次函数解析式：_________． 8.证明无论m为何值，函数y=mx-（4m-3)图像过定点，求出该定点坐标 9.已知函数y=mx2－6x＋1（m是常数）． ⑴求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点； ⑵若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．
幂函数练习题及答案
幂函数练习题及答案 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内(每小题5分，共50分). 1.下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是??( ) A ．y x =43? B.y x =32 C ．y x =-2 ? D.y x =- 14 ２．函数2 -=x y 在区间]2,2 1 [ 上的最大值是???( ） Ａ. 4 1 ?Ｂ．1-?Ｃ．4 D.4- 3.下列所给出的函数中，是幂函数的是? ?( ） A.3 x y -=?Ｂ．3 -=x y ? C.3 2x y =?Ｄ．13 -=x y 4.函数3 4x y =的图象是? ( ） Ａ． B. Ｃ． D ． 5．下列命题中正确的是? ? ( ) Ａ.当0=α 时函数αx y =的图象是一条直线 B.幂函数的图象都经过(０，0)和(1，1）点 C.若幂函数αx y =是奇函数,则α x y =是定义域上的增函数 D.幂函数的图象不可能出现在第四象限 ６.函数3 x y =和3 1x y =图象满足 ? （ ) A.关于原点对称 Ｂ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 ? D.关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|,满足 ( ） A.是奇函数又是减函数 B.是偶函数又是增函数 C.是奇函数又是增函数 ?D ．是偶函数又是减函数 8．函数 2422-+=x x y 的单调递减区间是 ( ）
A ．]6,(--∞ ? B ．),6[+∞- C.]1,(--∞ ? D.),1[+∞- 9. 如图１—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ) Ａ．102431<<<<<αααα Ｂ．104321<<<<<αααα Ｃ.134210αααα<<<<< D ．142310αααα<<<<< １0． 对于幂函数5 4 )(x x f =,若210x x <<，则 )2( 21x x f +，2 ) ()(21x f x f +大小关系是( ) A.)2( 21x x f +>2)()(21x f x f + ?Ｂ. )2(21x x f +<2) ()(21x f x f + C ． )2( 21x x f +=2 ) ()(21x f x f + ? D. 无法确定 二、填空题：请把答案填在题中横线上(每小题6分,共2４分). １１．函数y x =- 3 2 的定义域是 . 12．的解析式是?? . 1３．9 42 --=a a x y 是偶函数，且在),0(+∞是减函数,则整数a 的值是 . 1４．幂函数),*,,,()1(互质n m N k n m x y m n k ∈=-图象在一、二象限，不过原点，则n m k ,,的奇偶性为 ． 三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤（共76分) . 1５．（1２分)比较下列各组中两个值大小 （１)06072088089611 611 53 53 ..(.)(.).与；（）与-- 1α 3α 4α 2α
函数图像过定点问题
函数图像过定点得研究 题1: 求证:拋物线y＝（3－k)x2+(k－2）x+2k－１（ｋ≠3）过定点,并求出定点得坐标。 归纳: 第一步:对含有变系数得项集中; 第二步：然后将这部分项分解因式，使其成为一个只含系数与常数得因式与一个只含x与常数得因式之积得形式； 第三步：令后一因式等于0，得到一个关于自变量ｘ得方程（这时系数如何变化，都“失效”了)； 第四步：解此方程,得到x得值x0(定点得横坐标），将它代入原函数式(也可以就是其变式)，即得到一个y 得值y0(定点得纵坐标）,于就是，函数图象一定过定点(x０，y0）； 第五步：反思回顾,查瞧关键点、易错点，完善解题步骤． 题2： (２001年北京市西城区中考题)无论m为任何实数，二次函数得图像总过得点就是( ） A、 (1，3) B、（1,０）Ｃ、(－1，３)?D、 (—1，0）
巩固练习: 1.无论m为何实数，二次函数y=x2﹣(2﹣m）x＋m得图象总就是过定点（） Ａ。?（1,３）?B．（１，0）?C. (﹣1，3） D. (﹣1，0） 2.对于关于ｘ得二次函数y=ax2﹣（2a﹣1）ｘ﹣１(a≠0),下列说法正确得有( ） ①无论a取何值，此二次函数图象与x轴必有两个交点；②无论a取何值,图象必过两定点,且两定点之间得距离为；③当a〉0时,函数在ｘ〈1时，ｙ随x得增大而减小；④当a〈0时，函数图象截x轴所得得线段长度必大于2. A. 1个B．2个C。３个D。４个 ３、（２01２?鼓楼区一模)某数学兴趣小组研究二次函数y=mｘ２﹣2mx+3(ｍ≠０）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数得图象形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点，请您写出这两个定点得坐标：＿__＿_＿＿＿＿。 4。某数学小组研究二次函救y=mx2﹣３mx+２(m≠0）得图象发现，随着m得变化，这个二次函数图象得形状与位置均发生变化，但这个二次函数得图象总经过两个定点。请您写出这两个定点得坐标：__＿_____＿. 5。（2009?宜宾县一模)二次函数ｙ=x2+bx+c满足b﹣c＝2，则这个函数得图象一定经过某一个定点,这个定点就是 _＿_______ . ６．无论ｍ为何实数，二次函数ｙ=ｘ2﹣(２﹣m）x+ｍ得图象总就是过定点＿_＿_＿___＿. ７．已知一个二次函数具有性质(１）图象不经过三、四象限；（２)点（2，1)在函数得图象上；（3)当x＞0时，函数值y随自变量x得增大而增大。试写出一个满足以上性质得二次函数解析式： _＿__＿＿___ 。 8、证明无论m为何值，函数y＝mx-（４m—３）图像过定点,求出该定点坐标
动点问题的函数图像
动点问题的函数图像复习指要 【典例分析】 例1(2014?贵阳,第9题,3分)如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为 ) x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象就是( 考点: 动点问题的函数图象. 分析:根据截成的两个部分的体积之与等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式,再根据一次函数的图象解答. 解答:解:∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y, ∴x+y=10, ∴y=﹣x+10(0≤x≤10), 纵观各选项,只有A选项图象符合. 故选A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象,比较简单,理解分成两个部分的体积的与等于三棱柱的体积就是解题的关键. 例2 (2014年?河南省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s), ) 线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致就是(
A. B. C. D. 考点:动点问题的函数图象. 分析:这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分; ②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x的函数关系式,根据关系式选择图象; ③点P在边AB上时,利用线段间的与差关系求得y与x的函数关系式,由关系式选择图象. 解答:解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分.故C 错误; ②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得AP=,即y=, 则其函数图象就是y随x的增大而增大,且不就是线段.故B、D错误; ③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意. 故选:A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象.此题涉及到了函数y=的图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题. 例3(2014?广西桂林,第12题,3分)如图1,在等腰梯 形ABCD中,∠B=60°,PQ同时从B出发,以每秒 1单位长度分别沿BADC与BCD方向运动至相遇 时停止,设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平 房单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论 错误的就是( ) A.当t=4秒时,S=43 B.AD=4 C.当4≤t≤8时,S=23t D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积 考点:动点问题的函数图象. 分析:根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质,综合判断可得答案. 解答:解:由答图2所示,动点运动过程分为三个阶段: (1)OE段,函数图象为抛物线,运动图形如答图1﹣1所示. 此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动.
幂函数的典型例题.doc
经典例题透析 类型一、求函数解析式 例1.已知幕函数y = (nr-m-])x,,,2-2m~3,当xw(0, + 8)时为减函数，则幕函数y二___________________ . 解析：由于丁 =(加2—血—1)#宀2心为幕函数， 所以m2— \ = \,解得m = 2 ,或m = —\. 当ni = 2时，nr -2m-3 = -3 , y = x~3在(0, + 8)上为减函数； 当m = -l时，/7?2-2m-3 = 0, y = %° =1(x^0)在(0, + ?)上为常数函数，不合题意，舍去. 故所求幕函数为y = x-3. 总结升华：求慕函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白需函数的定义是关键. 类型二、比较幕函数值大小 例2.比较下列各组数的大小. 4 4 _ 3 _ 3 (1)3」4万与兀了；(2)(-近门与(-73)^. 4 4_4 解：⑴由于幕函数y = ?亍(x>0)单调递减且3」4 <龙，???3.14万 > 兀了. _3 (2)由于y =兀5这个幕函数是奇函数.???f (-x) =-f (x) —_ 3 _ 3 _ 3 _ 3 _ _因此，(一血门二一(血)V,(―巧)V =—(內)V ,而y = (x>0)单调递减，且血 3 3 3 3 3 3 ???(血戸 >"门即(一血门v( 总结升华. (1)各题中的两个数都是“同指数”的幕，因此可看作是同一个幕函数的两个不同的函数值，从而可根据幕函数的单调性做出判断. (2)题(2)中，我们是利用幕函数的奇偶性，先把底数化为正数的幕解决的问题.当然，若直接利用x<0 上幕函数的单调性解决问题也是可以的. 举一反三 【变式一】比较O.805, O.905, 0.9皿的大小. 思路点拨:先利用幕函数)=兀"的增减性比较0?8°5与0.9°"的大小，再根据幕函数的图象比较0.9°"与0.9七5的大小. 解：y = x Q-5^.(0, + oo)上单调递增，且0.8 v 0.9 , .?,0.805 <0.905. 作出函数y = X05与歹=兀七5在第一象限内的图彖， 易知0.严< 0.9心.
函数图象的三种变换
. 函数图象的三种变换 函数的图象变换是高考中的考查热点之一，常见变换有以下3种： 一、平移变换 2，在同一坐标系中画出：＝x设f(x)例1 (1)y＝f(x)，y＝f(x＋1)和y＝f(x－1)的图象，并观察三个函数图象的关系； (2)y＝f(x)，y＝f(x)＋1和y＝f(x)－1的图象，并观察三个函数图象的关系．解(1)如图 (2)如图
点评观察图象得：y＝f(x＋1)的图象可由y＝f(x)的图象向左平移1个单位长度得到；y＝f(x－1)的图象可由y＝f(x)的图象向右平移1个单位长度得到； y＝f(x)＋1的图象可由y＝f(x)的图象向上平移1个单位长度得到； y＝f(x)－1的图象可由y＝f(x)的图象向下平移1个单位长度得到． 小结：
二、对称变换的图象，并观察两个函数图)－xy＝f(x＋1，在同一坐标系中画出y＝f()和x例2设f(x)＝象的关系．1的图象如图所示．＝－x＋x与y＝f(－)＋y解画出＝f(x)＝x1 由图象可得函数y＝x＋1与y＝－x＋1的图象关于y轴对称． 点评函数y＝f(x)的图象与y＝f(－x)的图象关于y轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(x)的图象关于x轴对称； 函数y＝f(x)的图象与y＝－f(－x)的图象关于原点对称． 三、翻折变换 例3 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝|f(x)|的图象，并观察两个函数1 / 6
. 图象的关系． 解y＝f(x)的图象如图1所示，y＝|f(x)|的图象如图2所 示． 点评要得到y＝|f(x)|的图象，把y＝f(x)的图象中x轴下方图象翻折到x轴上方，其余部分不变．例4 设f(x)＝x＋1，在不同的坐标系中画出y＝f(x)和y＝f(|x|)的图象，并观察两个函数图象的关系． 解如下图所 示． 点评要得到y＝f(|x|)的图象，先把y＝f(x)图象在y轴左方的部分去掉，然后把y轴右边的对称图象补到左方即可． 小结： 保留x轴上方图象y?f(x)????????y＝|f(x)|. 将x轴下方图象翻折上去保留y轴右侧图象y?f(x)?????????y＝f(|x|). 并作其关于y轴对称的图象如图：
二次函数的最值问题与过定点类型问题
二次函数的最值与图像过定点问题 对于二次函数:y=-x 2+4x-1/2 (1)当x 取任意实数时,该函数有最 值,最 值是 (2)当-1≤x≤1时,该函数的最大值是 ;最小值是 (3)当3≤x≤4时,该函数的最大值是 ;最小值是 (4)当0≤x≤3时,该函数的最大值是 ;最小值是 求二次函数最值的一般方法： 1画出函数图像找对称轴； 2分清自变量范围找区间； 3数形结合找对应函数值 例1、对于二次函数y=-x 2+2bx-0.5 (1)若b<-1,当-1≤x≤1时,求该函数的最大或最小值(用含b 的式子表示)。 (2)若0﹤b ﹤1时,当-1≤x≤1,求该函数的最大或最小值。 1.如图,抛物线22y x x p =--与直线x y =交于点A(-1,m)、B(4,n),点M 是抛物线上的一 个动点,连接OM (1)求m,n,p 。 (2)当M 为抛物线的顶点时,求M 坐标和⊿OMB 的面积； (3)当点M 在直线AB 的下方抛物线上,M 运动到何处时,⊿AMB 的面积最大。 2.抛物线y=ax 2和直线y=kx+b(k 为正常数)交于点A 和点B,其中点A 的坐标是(-2,1),过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点E,点D 是抛物线上B,E 之间的一个动点,设其横坐标为t,经过点D 作两坐标轴的平行线分别交直线AB 于点C,M,设CD=r,MD=m. (1)根据题意可求出a= ,点E 的坐标是 ； (2)当点D 可与B,E 重合时,若k=0.5,求t 的取值范围,并确定t 为何值时,r 的值最大；(3)当点D 不与B,E 重合时,若点D 运动过程中可以得到r 的最大值,求k 的取值范围,并判断当r 为最大值时m 的值是否最大,说明理由(下图供分析参考用).
中考专题动点问题的函数图像
题型一 动点问题的函数图像 (10年3考) 【题型解读】近10年考查3次，考查类型及频次：①判断函数图象考查1次；②分析函数图象考查2次. 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O 的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x (k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
高三数学专题复习总结-(幂函数)经典
高三数学专题复习总结-(幂函数)经典 1 / 1 2 高三数学专题复习 （幂函数）经典 1．设? ????? --∈3,2,1,21,1,2α，则使幂函数a y x =为奇函数且在(0,)+∞上单调递增的a 值的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．设11,0,,1,2,32a ? ?∈-???? ，则使函数a y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．对于幂函数f(x)=45x ，若0＜x 1＜x 2，则12( )2x x f +，12()()2 f x f x +的大小关系是( ) A. 12( )2x x f +＞12()()2f x f x + B. 12()2x x f +＜12()()2 f x f x + C. 12()2x x f +=12()()2 f x f x + D. 无法确定 4．设函数y ＝x 3与21()2x y -=的图像的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( ) A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，4) 5．下列说法正确的是( ) A ．幂函数的图像恒过(0,0)点 B ．指数函数的图像恒过(1,0)点 C ．对数函数的图像恒在y 轴右侧 D ．幂函数的图像恒在x 轴上方 6．若0>>n m ，则下列结论正确的是（ ） A. 22m n < B. 22 m n < C. n m 22log log > D. 11m n > 7．若函数32)32()(-+=m x m x f 是幂函数，则m 的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2 8．幂函数y f x =()的图象经过点1 42 (,)，则(2)f （ ） A. 14 B. 12 - 9．幂函数35m y x -=，其中m N ∈，且在(0,)+∞上是减函数，又()()f x f x -=， 则m =（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10．已知幂函数()m f x x =的图象经过点（4，2），则(16)f =（ ）
函数图像的三种变换
函数图像的三种变换 函数在中学数学及大学数学中都是极其重要的内容，函数思想是解决函数问题的理论源泉; 函数的性质是解决函数问题的基础，而函数的图象则是函数性质的具体的直观的反应。在高中阶段函数图象的变化方式主要有以下三种： 一 、平移变换 函数图象的平移变换，表现在函数图象的形状不变，只是函数图象的相对位置在变化，其平移方式可分为以下两种： 1、 沿水平方向左右平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0)((>-=a a x f y ，由于两函数的对应法则相同，x a x 与-取值范围一样，函数的值域一样。以上三条决定了函数的形状相同，只是函数的图象在水平方向的相对位置不同，如何将函数)(x f y =的图象水平移动才能得到函数)0)((>-=a a x f y 的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)(a x f y -=上对应的点为),(11y a x +，因此若将)(x f y =沿水平方向向右平移a 个单位即可得到)0)((>-=a a x f y 的图象。同样，将)(x f y =沿水平方向向左平移a 个单位即可得到)0)((>+=a a x f y 的图象。 2、沿竖直方向上下平行移动 比如函数)(x f y =与函数)0()(>+=b b x f y ，由于函数)(x f y =函数)0)((>=-b x f b y 中函数y 与b y -的对应法则相同，定义域和值域一样，因此两函数形状相同，如何将函数)(x f y =的图象上下移动得到函数)(x f b y =-的图象呢？因为对于函数)(x f y =上的任意一点（11,y x ），在)0)((>=-b x f b y 上对应的点为),(11b y x +，因此若将)(x f y =沿竖直方向向上平移a 个单位即可得到)0)((>=-b x f b y 的图象。同样，将)(x f y =沿竖直方向向下平移a 个单位即可得到)0)((>=+b x f b y 的图象。 函数图象的平移变化可以概括地总结为： （1）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （2）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 （3）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>+=-b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向左平移a 个单位，然后再沿竖直方向向上平移b 个单位即可。 （4）函数)(x f y =的图象变为)0,0)((>>-=+b a a x f b y 且的图象，只要将)(x f y =的图象沿水平方向向右平移a 个单位，然后再沿竖直方向向下平移b 个单位即可。 函数图象的平移的实质是有变量本身变化情况所决定的。 3、例题讲解 例1. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ） A. 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 B. 向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 C. 向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 D. 向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 分析 把函数 x y 2=的图象向右平移3个单位，然后再向下平移1个单位，就得到函数123-=-x y 的图象。 故，本题选A 例2 把函数的图象向右平移1单位，再向下平移1个单位后，所得图象对应的函数解析式是（ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 分析 把已知函数图象向右平移1个单位， 即把其中自变量换成，得.