离散数学题库及答案1
离散数学题库及答案1
（数理逻辑部分）
一、选择
1、下列哪些公式为永真蕴含式？( )
(1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P
答：（1），（4）
2、下列公式中哪些是永真式？( )
(1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q)
答：（2），（3），（4）
3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( )
(1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q
(4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P
答：（2），（3），（4），（5），（6）
4、公式?x((A(x)→B(y ，x))∧ ?z C(y ，z))→D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z
5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。
(3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。
(5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！
答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是
（4） 是，T （5） 不是 （6） 不是
6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。
答：所有人都不是大学生，有些人不会死
7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。
(1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校
(3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校
答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →?
8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。
(1) ?x?y(x+y=0) (2) ?y?x(x+y=0)
答：（1）对任一整数x存在整数 y满足x+y=0（2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值：
(1) ?x?y (xy=y) ( ) (2) ?x?y(x+y=y) ( )
(3) ?x?y(x+y=x) ( ) (4) ?x?y(y=2x) ( )
答：（1） F （2） F （3）F （4）T
10、设谓词P(x)：x是奇数，Q(x)：x是偶数，谓词公式?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( )
(1) 自然数(2) 实数 (3) 复数(4) (1)--(3)均成立
答：（1）
11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。
答：2不是偶数且-3不是负数。
12、永真式的否定是（）
(1) 永真式(2) 永假式(3) 可满足式(4) (1)--(3)均有可能
答：（2）
13、公式(?P∧Q)∨(?P∧?Q)化简为（），公式 Q→(P∨(P∧Q))可化简为（）。答：?P ，Q→P
14、谓词公式?x(P(x)∨?yR(y))→Q(x)中量词?x的辖域是（）。
答：P(x)∨?yR(y)
15、令R(x):x是实数，Q(x):x是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。
答：??x(R(x)→Q(x))
二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：
1、(P→Q)∧R
解：(P→Q)∧R?(?P∨Q )∧R
?(?P∧R)∨(Q∧R) （析取范式）
?(?P∧(Q∨?Q)∧R)∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((P→Q)∧R)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)
∨(P∧Q∧?R)∨( P∧?Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）(P→Q)∧R?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)（主合取范式）
2、(P∧R)∨(Q∧R)∨?P
解： (P∧R)∨(Q∧R)∨?P（析取范式）
?(P∧(Q∨?Q)∧R)∨((P∨?P)∧Q∧R)∨(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨( ?P∧Q∧R)∨( ?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧?R) ∨
(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R) (主析取范式)
?（(P∧R)∨(Q∧R)∨?P）
?(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R）（原公式否定的主析取范式）
(P∧R)∨(Q∧R)∨?P ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)（主合取范式）
3、(?P→Q)∧(R∨P)
解：(?P→Q)∧(R∨P)
?(P∨Q)∧(R∨P)（合取范式）
?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨(Q∧?Q))∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
?((?P→Q)∧(R∨P))
?(P∨?Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(?P∨?Q∨?R)（原公式否定的主合取范式）
(?P→Q)∧(R∨P)
?(?P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
（主析取范式）
4、Q→(P∨?R)
解：Q→(P∨?R)
??Q∨P∨?R（主合取范式）
?（Q→(P∨?R)）
?(?P∨?Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(P∨?Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R）（原公式否定的主合取范式）
Q→(P∨?R)
?(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R）（主析取范式）
5、P→(P∧(Q→P))
解：P→(P∧(Q→P))
??P∨(P∧(?Q∨P))
??P∨P
? T (主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
6、?(P→Q)∨(R∧P)
解：?(P→Q)∨(R∧P)??(?P∨Q)∨(R∧P)
?(P∧?Q)∨(R∧P)（析取范式）
?(P∧?Q∧(R∨?R))∨(P∧(?Q∨Q)∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?(?(P→Q)∨(R∧P))?(P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)
∨ (?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)（原公式否定的主析取范式）?(P→Q)∨(R∧P)?(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)（主合取范式）
7、P∨(P→Q)
解：P∨(P→Q)?P∨(?P∨Q)?(P∨?P)∨Q
?T(主合取范式)
?(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
8、(R→Q)∧P
解：(R→Q)∧P?(?R∨Q )∧P
?(?R∧P)∨(Q∧P) （析取范式）
?(?R∧(Q∨?Q)∧P)∨((?R∨R)∧Q∧P)
?(?R∧Q∧P)∨(?R∧?Q∧P)∨(?R∧Q∧P)∨(R∧Q∧P)
?(P∧Q∧?R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)（主析取范式）
?((R→Q)∧P)?(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R）∨(P∧?Q∧R) ∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)（原公式否定的主析取范式）
(R→Q)∧P?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)
∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
9、P→Q
解：P→Q??P∨Q（主合取范式）
?(?P∧(Q∨?Q))∨((?P∨P)∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(?P∧Q)∨(P∧Q)
?(?P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧Q)（主析取范式）
10、P∨?Q
解： P∨?Q （主合取范式）
?(P∧(?Q∨Q))∨((?P∨P)∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)∨(P∧?Q）
?(P∧?Q)∨(P∧Q)∨(?P∧?Q)（主析取范式）
11、P∧Q
解：P∧Q（主析取范式）?(P∨(Q∧?Q))∧((P∧?P)∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)
?(P∨?Q)∧(P∨Q)∧(?P∨Q)（主合取范式）
12、（P∨R）→Q
解：（P∨R）→Q
??(P∨R)∨Q
?(?P∧?R)∨Q
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧((?P∧P)∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)（主合取范式）
?（P∨R）→Q
?(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨
?Q∨?R) （原公式否定的主析取范式）
（P∨R）→Q
?(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R)
∨(?P∧Q∧R)（主析取范式）
13、（P→Q）→R
解：（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∧?Q∧(R?
∨Q)∧R)
∨R))∨((P?
∨P)∧(Q?
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧R) ∨(?P∧?Q∧R)
?(P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R)∨(P∧Q∧R)∨(?P∧Q∧R)
∨(?P∧?Q∧R)(主析取范式）
（P→Q）→R
??(?P∨Q)∨R
?(P∧?Q)∨R(析取范式)
?(P∨R)∧(?Q∨R)(合取范式)
?(P∨(Q∧?Q)∨R)∧((P∧?P)∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
?(P∨Q∨R)∧(P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式)
14、(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
解：(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨(Q∧R))∧(P∨(?Q∧?R))
?(?P∨Q)∧(?P∨R)∧(P∨?Q)∧(P∨?R)（合取范式）
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)∧(P∨?Q∨(R∧?R)) ∧(P∨(Q∧?Q)∨?R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
∧(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R) ?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨R) ∧(P∨Q∨?R)∧(P∨?Q∨?R)(主合取范式)
?(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(?P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨R)(原公式否定的主合取范式)
(P→(Q∧R))∧(?P→(?Q∧?R))
?(P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)(主析取范式)
15、P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
解：P∨(?P→(Q∨(?Q→R)))
? P∨(P∨(Q∨(Q∨R)))
? P∨Q∨R(主合取范式)
?(P∨Q∨R)
?(P∨?Q∨R)∧(P∨?Q∨?R)∧(P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)
∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨?Q∨?R)
(原公式否定的主合取范式)
(P∨Q∨R)
?(?P∧Q∧?R)∨(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(P∧?Q∧?R) ∨(P∧?Q∧R)∨(P∧Q∧?R)∨(P∧Q∧R)(主析取范式)
16、(P→Q)∧(P→R)
解、(P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R) (合取范式)
?(?P∨Q∨(R∧?R)∧(?P∨(?Q∧Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)∧(?P∨Q∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨?Q∨R)(主合取范式) (P→Q)∧(P→R)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
??P∨(Q∧R)(合取范式)
?(?P∧(Q∨?Q)∧(R∨?R))∨((?P∨P)∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q?R) ∨(?P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)
?(?P∧Q∧R)∨(?P∧?Q∧R)∨(?P∧Q∧?R)∨(?P∧?Q?R)∨(P∧Q∧R) (主析取范式)
三、证明：
1、P→Q，?Q∨R，?R，?S∨P=>?S
证明：
(1) ?R 前提
(2) ?Q∨R 前提
(3)?Q （1），（2）
(4) P→Q 前提
(5)?P （3），（4）
(6)?S∨P 前提
(7) ?S （5），（6）
2、A→(B→C)，C→(?D∨E)，?F→(D∧?E),A=>B→F
证明：
(1) A 前提
(2) A→(B→C) 前提
(3) B→C （1），（2）
(4) B 附加前提
(5) C （3），（4）
(6) C→(?D∨E) 前提
(7)?D∨E （5），（6）
(8)?F→(D∧?E) 前提
(9) F （7），（8）
(10) B→F CP
3、P∨Q， P→R, Q→S => R∨S
证明：
(1) ?R 附加前提
(2) P→R 前提
(3) ?P （1），（2）
(4) P∨Q 前提
(5) Q （3），（4）
(6) Q→S 前提
(7) S （5），（6）
(8) R∨S CP，（1），（8）
4、(P→Q)∧(R→S)，(Q→W)∧(S→X)，?(W∧X)，P→R => ?P 证明：
（1） P 假设前提
（2） P→R 前提
（3） R （1），（2）
（4） (P→Q)∧(R→S) 前提
（5） P→Q （4）
（6） R→S （5）
（7） Q （1），（5）
（8） S （3），（6）
（9） (Q→W)∧(S→X) 前提
（10） Q→W （9）
（11） S→X （10）
（12） W （7），（10）
（13） X （8），（11）
（14） W∧X （12），（13）
（15）?(W∧X) 前提
（16）?(W∧X)∧(W∧X) （14），（15）
5、(U∨V)→(M∧N), U∨P, P→(Q∨S)，?Q∧?S =>M
证明：
(1) ?Q∧?S 附加前提
（2）P→(Q∨S) 前提
（3）?P （1），（2）
（4） U∨P 前提
（5） U （3），（4）
（6） U∨V （5）
（7）(U∨V)→(M∧N) 前提
（8） M∧N (6),(7)
（9） M （8）6、?B∨D，(E→?F)→?D，?E=>?B
证明：
(1) B 附加前提
(2) ?B∨D 前提
(3) D （1），（2）
(4) (E→?F)→?D 前提
(5) ?(E→?F) （3），（4）
(6) E∧?F （5）
(7) E （6）
(8) ?E 前提
(9) E∧?E （7），（8）7、P→(Q→R)，R→(Q→S) => P→(Q→S)
证明：
（1） P 附加前提
（2） Q 附加前提
（3） P→(Q→R) 前提
（4） Q→R （1），（3）
（5） R （2），（4）
（6） R→(Q→S) 前提
（7） Q→S （5），（6）
（8） S （2），（7）
（9） Q→S CP，（2），（8）
（10） P→(Q→S) CP，（1），（9）8、P→?Q，?P→R，R→?S =>S→?Q
证明：
（1） S 附加前提
（2） R→?S 前提
（3）?R （1），（2）
（4）?P→R 前提
（5） P （3），（4）
（6） P→?Q 前提
（7）?Q (5），（6）
（8） S→?Q CP，（1），（7）9、P→(Q→R) => (P→Q)→(P→R)
证明：
(1) P→Q 附加前提
(2) P 附加前提
(3) Q (1),(2)
(4) P→(Q→R) 前提
(5) Q→R (2),(4)
(6) R (3),(5)
(7) P→R CP,(2),(6)
(8) (P→Q) →(P→R) CP,(1),(7)
10、P→(?Q→?R)，Q→?P,S→R,P =>?S 证明：
（1） P 前提
（2） P→(?Q→?R) 前提
（3）?Q→?R (1)，(2)
（4） Q→?P 前提
（5）?Q (1)，(4)
（6）?R (3),(5)
（7） S→R 前提
（8）?S (6)，(7) 11、A，A→B， A→C， B→(D→?C) => ?D 证明：
（1） A 前提
（2） A→B 前提
（3） B (1)，(2)
（4） A→C 前提
（5） C (1)，(4)
（6） B→(D→?C) 前提
（7） D→?C (3)，(6)
（8）?D (5)，(7)
12、A→(C∨B)，B→?A，D→?C => A→?D 证明：
（1） A 附加前提
(2) A→(C∨B) 前提
(3) C∨B （1），（2）
(4) B→?A 前提
(5)?B （1），（4）
(6) C （3），（5）
(7) D→?C 前提
(8)?D （6），（7）
(9) A→?D CP，（1），（8）13、(P→Q)∧(R→Q) ?（P∨R）→Q
证明、
(P→Q)∧(R→Q)
?(?P∨Q)∧(?R∨Q)
?(?P∧?R)∨Q
??（P∨R）∨Q
?(P∨R)→Q
14、P→(Q→P)??P→(P→?Q)
证明、
P→(Q→P)
??P∨(?Q∨P)
??(?P)∨(?P∨?Q)
??P→(P→?Q)
15、（P→Q）∧（P→R），?(Q∧R)，S∨P?S
证明、
(1) （P→Q）∧（P→R）前提
（2） P→ (Q∧R) (1)
（3）?(Q∧R) 前提
（4）?P （2），(3)
(5) S∨P 前提
(6) S (4),(5)
16、P→?Q，Q∨?R，R∧?S??P
证明、
(1) P 附加前提
（2） P→?Q 前提
（3）?Q （1），（2）
（4） Q∨?R 前提
(5) ?R （3），（4）
(6 ) R∧?S 前提
（7） R （6）
（8） R∧?R （5），（7）
17、用真值表法证明Ｐ?Ｑ? (Ｐ→Ｑ)∧(Ｑ→Ｐ)
证明、
列出两个公式的真值表：
P Q P?Q （P→Q）∧（Q→P）
F F F T T F T T T T F F F F T T
由定义可知，这两个公式是等价的。
18、P→Q?P→(P∧Q)
证明、
设P→(P∧Q)为F，则P为T，P∧Q为F。所以P为T，Q为F ，从而P→Q也为F。所以P→Q?P→(P∧Q)。
19、用先求主范式的方法证明(P→Q)∧(P→R) ? (P→（Q∧R）
证明、
先求出左右两个公式的主合取范式
(P→Q)∧(P→R) ?(?P∨Q)∧(?P∨R)
?(?P∨Q∨(R∧?R)))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
? (?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
(P→（Q∧R）) ?(?P∨（Q∧R）)
?(?P∨Q)∧(?P∨R)
?(?P∨Q∨(R∧?R))∧(?P∨(Q∧?Q)∨R)
?(?P∨Q∨R)∧(?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
? (?P∨Q∨?R)∧(?P∨Q∨R)∧(?P∨?Q∨R)
它们有一样的主合取范式，所以它们等价。
20、(P→Q)∧?(Q∨R) ??P
证明、
设(P→Q)∧?(Q∨R)为T，则P→Q和?(Q∨R)都为T。即P→Q和?Q∧?R都为T。故P→Q，?Q和?R)都为T，即P→Q为T，Q和R都为F。从而P也为F，即?P为T。从而(P→Q)∧?(Q∨R) ??P
21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效? 前提: (1) 若A队得第一，则B队或C队获亚军;
(2)若C队获亚军，则A队不能获冠军;
(3)若D队获亚军，则B队不能获亚军;
(4) A 队获第一;
结论: (5) D队不是亚军。
证明、
设A：A队得第一;B: B队获亚军;C: C队获亚军;D: D队获亚军;则前提符号化为A→（B∨C），C→?A，D→?B，A；结论符号化为?D。
本题即证明 A→（B∨C），C→?A，D→?B，A??D。
（1） A 前提
（2） A→（B∨C）前提
（3） B∨C （1），（2）
（4） C→?A 前提
（5）?C （1），（4）
（6） B （3），（5）
（7） D→?B 前提
（8）?D （6），（7）
22、用推理规则证明P→Q, ?(Q∨R),P∧R不能同时为真。
证明、
(1) P∧R 前提
(2) P (1)
(3) P→Q 前提
(4) Q (2),(3)
(5) ?(Q∨R) 前提
∧R (5)
(6) ?Q?
(7) ?Q (6)
(8) ?Q∧Q (4),(7)
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离散数学试题（A卷答案） 一、（10分）求(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))的主析取范式 解：(P↓Q)→(P∧?(Q∨?R))??(?( P∨Q))∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q)∨(P∧?Q∧R)) ?(P∨Q∨P)∧(P∨Q∨?Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q)∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨(R∧?R))∧(P∨Q∨R) ?(P∨Q∨R)∧(P∨Q∨?R)∧(P∨Q∨R) ? M∧1M ? m∨3m∨4m∨5m∨6m∨7m 2 二、（10分）在某次研讨会的休息时间，3名与会者根据王教授的口音分别作出下述判断： 甲说：王教授不是苏州人，是上海人。 乙说：王教授不是上海人，是苏州人。 丙说：王教授既不是上海人，也不是杭州人。 王教授听后说：你们3人中有一个全说对了，有一人全说错了，还有一个人对错各一半。试判断王教授是哪里人？ 解设设P：王教授是苏州人；Q：王教授是上海人；R：王教授是杭州人。则根据题意应有： 甲：?P∧Q 乙：?Q∧P 丙：?Q∧?R 王教授只可能是其中一个城市的人或者3个城市都不是。所以，丙至少说对了一半。因此，可得甲或乙必有一人全错了。又因为，若甲全错了，则有?Q ∧P，因此，乙全对。同理，乙全错则甲全对。所以丙必是一对一错。故王教授的话符号化为：
((?P ∧Q )∧((Q ∧?R )∨(?Q ∧R )))∨((?Q ∧P )∧(?Q ∧R )) ?(?P ∧Q ∧Q ∧?R )∨(?P ∧Q ∧?Q ∧R )∨(?Q ∧P ∧?Q ∧R ) ?(?P ∧Q ∧?R )∨(P ∧?Q ∧R ) ??P ∧Q ∧?R ?T 因此，王教授是上海人。 三、（10分）证明tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 证明 设R 是非空集合A 上的二元关系，则由定理4.19知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的关系。 若'R 是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的任意关系，则由闭包的定义知r (R )?'R 。由定理4.15和由定理4.16得sr (R )?s ('R )＝'R ，进而有tsr (R )?t ('R )＝'R 。 综上可知，tsr (R )是包含R 的且具有自反性、对称性和传递性的最小关系。 四、（15分）集合A ＝{a ，b ，c ，d ，e }上的二元关系R 为R ＝{，，，，，，，，
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 (数理逻辑部分) 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(1),(4) 2、下列公式中哪些就是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答:(2),(3),(4) 3、设有下列公式,请问哪几个就是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答:(2),(3),(4),(5),(6) 4、公式?x((A(x)→B(y,x))∧ ?z C(y,z))→D(x)中,自由变元就是( ),约束变元就是( )。 答:x,y, x,z 5、判断下列语句就是不就是命题。若就是,给出命题的真值。( ) (1) 北京就是中华人民共与国的首都。 (2) 陕西师大就是一座工厂。 (3) 您喜欢唱歌不？ (4) 若7+8＞18,则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答:(1) 就是,T (2) 就是,F (3) 不就是 (4) 就是,T (5) 不就是 (6) 不就是 6、命题“存在一些人就是大学生”的否定就是( ),而命题“所有的人都就是要死的”的否定就是( )。 答:所有人都不就是大学生,有些人不会死 7、设P:我生病,Q:我去学校,则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时,我才不去学校 (2) 若我生病,则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时,我才不去学校(4) 若我不生病,则我一定去学校 答:(1) P Q →? (2) Q P ?→ (3) Q P ?? (4)Q P →? 8、设个体域为整数集,则下列公式的意义就是( )。 (1) ?x ?y(x+y=0) (2) ?y ?x(x+y=0) 答:(1)对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0(2)存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 就是正整数集合,确定下列命题的真值: (1) ?x ?y (xy=y) ( ) (2) ?x ?y(x+y=y) ( ) (3) ?x ?y(x+y=x) ( ) (4) ?x ?y(y=2x) ( ) 答:(1) F (2) F (3)F (4)T 10、设谓词P(x):x 就是奇数,Q(x):x 就是偶数,谓词公式 ?x(P(x)∨Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答:(1) 11、命题“2就是偶数或-3就是负数”的否定就是( )。 答:2不就是偶数且-3不就是负数。 12、永真式的否定就是( ) (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能
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数理逻辑部分 选择、填空及判断 ?下列语句不就是命题的( A )。 (A) 您打算考硕士研究生不？ (B) 太阳系以外的星球上有生物。 (C) 离散数学就是计算机系的一门必修课。 (D) 雪就是黑色的。 ?命题公式P→(P∨?P)的类型就是( A ) (A) 永真式(B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式(D) 析取范式 ?A就是重言式,那么A的否定式就是( A ) A、矛盾式 B、重言式 C、可满足式 D、不能确定 ?以下命题公式中,为永假式的就是( C ) A、p→(p∨q∨r) B、(p→┐p)→┐p C、┐(q→q)∧p D、┐(q∨┐p)→(p∧┐p) ?命题公式P→Q的成假赋值就是( D ) A、 00,11 B、 00,01,11 C、10,11 D、 10 ?谓词公式) x xP∧ ?中,变元x就是 ( B ) R , ( x ) (y A、自由变元 B、既就是自由变元也就是约束变元 C、约束变元 D、既不就是自由变元也不就是约束变元 ?命题公式P→(Q∨?Q)的类型就是( A )。 (A) 永真式 (B) 矛盾式 (C) 非永真式的可满足式 (D) 析取范式 ?设B不含变元x,) x x→ ?等值于( A ) A ) ( (B A、B (D、B x xA→ x ?) ( ( ?C、B x∧ A ?) (B、) ?) xA→ x ) ( A x (B x∨ ?下列语句中就是真命题的就是( D )。 A.您就是杰克不？ B.凡石头都可练成金。 C.如果2+2=4,那么雪就是黑的。 D.如果1+2=4,那么雪就是黑的。 ?从集合分类的角度瞧,命题公式可分为( B ) A、永真式、矛盾式 B、永真式、可满足式、矛盾式 C、可满足式、矛盾式 D、永真式、可满足式 ?命题公式﹁p∨﹁q等价于( D )。 A、﹁p∨q B、﹁(p∨q) C、﹁p∧q D、 p→﹁q ?一个公式在等价意义下,下面写法唯一的就是( D )。 (A) 范式 (B) 析取范式 (C) 合取范式 (D) 主析取范式 ?下列含有命题p,q,r的公式中,就是主析取范式的就是( D )。
离散数学试题与答案
试卷二试题与参考答案 一、填空 1、 P:您努力,Q:您失败。 2、 “除非您努力,否则您将失败”符号化为 ; “虽然您努力了,但还就是失败了”符号化为 。 2、论域D={1,2},指定谓词P P (1,1) P (1,2) P (2,1) P (2,2) T T F F 则公式x ??真值为 。 3设A={2,3,4,5,6}上的二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=,则 R= (列举法)。 R 的关系矩阵M R = 。 4、设A={1,2,3},则A 上既不就是对称的又不就是反对称的关系 R= ;A 上既就是对称的又就是反对称的关系R= 。 5、设代数系统
二、选择 1、在下述公式中就是重言式为( ) A.)()(Q P Q P ∨→∧; B.))()(()(P Q Q P Q P →∧→??; C.Q Q P ∧→?)(; D.)(Q P P ∨→。 2、命题公式 )()(P Q Q P ∨?→→? 中极小项的个数为( ),成真赋值的个数为 ( )。 A.0; B.1; C.2; D.3 。 3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ,则 S 2 有( )个元素。 A.3; B.6; C.7; D.8 。 4、设} 3 ,2 ,1 {=S ,定义S S ?上的等价关系 },,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+?>∈∈<><><<=则由 R 产 生的S S ?上一个划分共有( )个分块。 A.4; B.5; C.6; D.9 。 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ,S 上关系R 的关系图为 则R 具有( )性质。 A.自反性、对称性、传递性; B.反自反性、反对称性; C.反自反性、反对称性、传递性; D.自反性 。 6、设 ο,+ 为普通加法与乘法,则( )>+<ο,,S 就是域。 A.},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B.},,2|{Z b a n x x S ∈== C.},12|{Z n n x x S ∈+== D.}0|{≥∧∈=x Z x x S = N 。 7、下面偏序集( )能构成格。
《离散数学》题库及答案
《离散数学》题库与答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( A ) (1)?Q=>Q→P (2)?Q=>P→Q (3)P=>P→Q (4)?P∧(P∨Q)=>?P 答：在第三章里面有公式（1）是附加律，（4）可以由第二章的蕴含等值式求出（注意与吸收律区别） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P∧Q)→(Q→?R) (2)P→(Q→Q) (3)(P∧Q)→P (4)P→(P∨Q) 答：（2），（3），（4）可用蕴含等值式证明 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P∧Q (2) P∧Q=>P (3) P∧Q=>P∨Q (4)P∧(P→Q)=>Q (5) ?(P→Q)=>P (6) ?P∧(P∨Q)=>?P 答：（2）是第三章的化简律，（3）类似附加律，（4）是假言推理，（3），（5），（6）都可以用蕴含等值式来证明出是永真蕴含式 4、公式x((A(x)B(y，x))z C(y，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z（考察定义在公式x A和x A中，称x为指导变元，A为量词的辖域。在x A和x A的辖域中，x的所有出现都称为约束出现，即称x为约束变元，A中不是约束出现的其他变项则称为自由变元。于是A(x)、B(y，x)和z C(y，z)中y为自由变元，x和z为约束变元，在D(x)中x为自由变元） 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( )
(1)北京是中华人民共和国的首都。(2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？(4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！(6) 给我一杯水吧！ 答：（1）是，T （2）是，F （3）不是（4）是，T （5）不是（6）不是（命题必须满足是陈述句，不能是疑问句或者祈使句。） 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死（命题的否定就是把命题前提中的量词“换成存在，换成”，然后将命题的结论否定，“且变或或变且”） 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校(2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校答：（1）P ?（注意“只有……才……”和“除非……就……”两者都是一个 Q→ 形式的）（2）Q P→ ? P? ?（4）Q P? →（3）Q 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x存在整数y满足x+y=0 （2）存在整数y对任一整数x满足x+y=0 9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1）F (反证法：假若存在，则（x- 1）*y=0 对所有的x都成立，显然这个与前提条件相矛盾) （2）F （同理）（3）F （同理）（4）T（对任一整数x存在整数y满足条件y=2x 很明显是正确的）
离散数学试题及答案精选版
离散数学试题及答案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3},B={1,2},则A-B＝____________________; (A)-(B)＝__________________________. 2.设有限集合A,|A|=n,则|(A×A)|=__________________________. 3.设集合A={a,b},B={1,2},则从A到B的所有映射是 _______________________________________,其中双射的是 __________________________. 4.已知命题公式G＝(PQ)∧R，则G的主析取范式是 _______________________________ __________________________________________________________. 6设A、B为两个集合,A={1,2,4},B={3,4},则从AB＝ _________________________;AB＝_________________________;A－B＝_____________________. 7.设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是 ______________________,________________________,__________________ _____________. 8.设命题公式G＝(P(QR))，则使公式G为真的解释有 __________________________， _____________________________,__________________________. 9.设集合A＝{1,2,3,4},A上的关系 R 1={(1,4),(2,3),(3,2)},R 2 ={(2,1),(3,2),(4,3)},则
离散数学期末试题及答案完整版
离散数学期末试题及答 案 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
326《离散数学》期末考试题(B ) 一、填空题(每小题3分，共15分) 1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )， )(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ). 2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数. 3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ?∧?∧→?中量词x ?的辖域为( ), 量词y ?的辖域为( ). 4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元. 5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=?||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个. 2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射. 3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧?)(； (5)q q p →→)(. 4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).
大学本科高等数学《离散数学》试题及答案
本科高等数学离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________，_____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学题库
常熟理工学院20 ～20 学年第学期 《离散数学》考试试卷（试卷库01卷） 试题总分： 100 分考试时限：120 分钟 题号一二三四五总分阅卷人得分 一、单项选择题（每题2分，共20分） 1.下列表达式正确的有( ) （A）（B）（C）（D） 2.设P：2×2=5，Q：雪是黑的，R：2×4=8，S：太阳从东方升起，下列( )命题的真值为 真。 （A）（B）（C）（D） 3.集合A={1,2,…,10}上的关系R={
1．n个命题变元组成的命题公式共有种不同的等价公式。 2．设〈L，≤〉为有界格，a为L中任意元素，如果存在元素b∈L,使，则称b是a 的补元。 3．设*，Δ是定义在集合A上的两个可交换二元运算，如果对于任意的x,y∈A,都有 ,则称运算*和运算Δ满足吸收律。 4．设T是一棵树，则T是一个连通且的图。 5．一个公式的等价式称作该公式的主合取范式是指它仅由组成。 6．量词否定等价式? ("x)P(x) ?，? ($x)P(x) ?。 7．二叉树有5个度为2的结点，则它的叶子结点数为。 8．设
离散数学期末试卷及答案
一．判断题（共10小题，每题1分，共10分） 在各题末尾的括号内画 表示正确，画 表示错误： 1．设p、q为任意命题公式，则(p∧q)∨p ? p ( ) 2．?x(F(y)→G(x)) ? F(y)→?xG(x)。( ) 3．初级回路一定是简单回路。( ) 4．自然映射是双射。( ) 5．对于给定的集合及其上的二元运算，可逆元素的逆元是唯一的。( ) 6．群的运算是可交换的。( ) 7．自然数集关于数的加法和乘法
列为。 19．n阶无向简单连通图G的生成树有条边。 20．7阶圈的点色数是。 三、运算题（共5小题，每小题8分，共40分） 21．求?xF(x)→?yG(x,y)的前束范式。 22．已知无向图G有11条边，2度和3度顶点各两个，其余为4度顶点，求G 的顶点数。 23．设A={a,b,c,d,e,f}，R=I A?{
中国石油大学大学《离散数学》期末复习题及答案
《离散数学》期末复习题 一、填空题（每空2分，共20分） 1、集合A上的偏序关系的三个性质是、 和。 2、一个集合的幂集是指。 3、集合A={b,c}，B={a,b,c,d,e}，则A?B= 。 4、集合A={1,2,3,4}，B={1,3,5,7,9}，则A?B= 。 5、若A是2元集合, 则2A有个元素。 6、集合A={1,2,3｝，A上的二元运算定义为：a* b = a和b两者的最大值，则 2*3= 。 7、设A={a, b,c,d }, 则∣A∣= 。 8、对实数的普通加法和乘法，是加法的幂等元， 是乘法的幂等元。 9、设a,b,c是阿贝尔群
19、代数系统是指由及其上的或 组成的系统。 20、设
离散数学试题及答案(1)
离散数学试题及答案 一、填空题 1设集合A,B，其中A＝{1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B＝____________________; ρ(A) - ρ(B)＝__________________________ . 2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________. 3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________. 4. 已知命题公式G＝?(P→Q)∧R，则G的主析取范式是_______________________________ __________________________________________________________. 5.设G是完全二叉树，G有7个点，其中4个叶点，则G的总度数为__________，分枝点数为________________. 6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A?B＝_________________________; A?B ＝_________________________;A－B＝_____________________ . 7. 设R是集合A上的等价关系，则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________, _______________________________. 8. 设命题公式G＝?(P→(Q∧R))，则使公式G为真的解释有__________________________， _____________________________, __________________________. 9. 设集合A＝{1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则 R1?R2 = ________________________,R2?R1 =____________________________, R12 =________________________. 10. 设有限集A, B，|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A?B)| = _____________________________. 11设A,B,R是三个集合，其中R是实数集，A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , . 13.设集合A＝{2, 3, 4, 5, 6}，R是A上的整除，则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________. 14. 设一阶逻辑公式G = ?xP(x)→?xQ(x)，则G的前束范式是__________________________ _____. 15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加_________条边才能把G变成完全图。
离散数学试卷及答案
填空10% （每小题 2 分） 1、若P，Q，为二命题，P Q 真值为0 当且仅当。 2、命题“对于任意给定的正实数，都存在比它大的实数” 令F（x）：x 为实数，L（x, y） : x y 则命题的逻辑谓词公式为。 3、谓词合式公式xP（x） xQ（x）的前束范式为。 4、将量词辖域中出现的和指导变元交换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种方法称为 换名规则。 5、设x 是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A（x）关于y 是自由的，则被称为存 在量词消去规则，记为ES。 选择25% （每小题分） 1、下列语句是命题的有（）。 A、明年中秋节的晚上是晴天； C、xy 0 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 2、下列各命题中真值为真的命题有（）。 A、2+2=4当且仅当3是奇数； B、2+2=4当且仅当 3 不是奇数； C、2+2≠4 当且仅当3是奇数； D、2+2≠4当且仅当 3 不是奇数； 3、下列符号串是合式公式的有（） A、P Q ； B、P P Q； C、( P Q) (P Q)； D、(P Q) 。 4、下列等价式成立的有（ ）。 A、P QQ P ； B、P(P R) R； C、P (P Q) Q； D 、P (Q R) (P Q) R。 5、若A1,A2 A n和B为 wff ，且A1 A2 A n B 则 （ ）。 A、称A1 A2 A n 为 B 的前 件； B 、称 B 为A1,A2 A n 的有效结论
C 、 x(M (x) Mortal (x)) ； D 、 x(M(x) Mortal (x)) 8、公式 A x(P(x) Q(x))的解释 I 为：个体域 D={2} ，P(x) ：x>3, Q(x) ：x=4则 A 的 真 值为（ ） 。 A 、 1； B 、 0； C 、 可满足式； D 、无法判定。 9、 下列等价关系正确的是（ ）。 A 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； B 、 x(P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)； C 、 x(P(x) Q) xP(x) Q ； D 、 x(P(x) Q) xP(x) Q 。 10 、 下列推理步骤错在（ ）。 ① x(F(x) G(x)) P ② F(y) G(y) US ① ③ xF(x) P ④ F(y) ES ③ ⑤G(y) T ②④I ⑥ xG(x) EG ⑤ A 、②； B 、④； C 、⑤； D 、⑥ 逻辑判断 30% 1、 用等值演算法和真值表法判断公式 A ((P Q) (Q P)) (P Q) 的类型。 C 、当且仅当 A 1 A 2 A n D 、当且仅当 A 1 A 2 A n B F 。 6、 A ，B 为二合式公式，且 B ，则（ ）。 7、 A 、 A C 、 A B 为重言式； B 、 B ； E 、 A B 为重言式。 人总是要死的”谓词公式表示为（ ）。 论域为全总个体域） M （x ） ： x 是人； Mortal(x) x 是要死的。 A 、 M (x) Mortal (x) ； B M (x) Mortal (x)
山东大学离散数学题库及答案
《离散数学》题库答案 一、选择或填空 （数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？( ) (1)?Q=>Q →P (2)?Q=>P →Q (3)P=>P →Q (4)?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？( ) (1)(┐P ∧Q)→(Q →?R) (2)P →(Q →Q) (3)(P ∧Q)→P (4)P →(P ∨Q) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式?( ) (1)P=>P ∧Q (2) P ∧Q=>P (3) P ∧Q=>P ∨Q (4)P ∧(P →Q)=>Q (5) ?(P →Q)=>P (6) ?P ∧(P ∨Q)=>?P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式 x((A(x) B(y ，x)) z C(y ，z))D(x)中，自由变元是( )，约束变元是( )。 答：x,y, x,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。( ) (1) 北京是中华人民共和国的首都。 (2) 陕西师大是一座工厂。 (3) 你喜欢唱歌吗？ (4) 若7+8＞18，则三角形有4条边。 (5) 前进！ (6) 给我一杯水吧！ 答：（1） 是，T （2） 是，F （3） 不是 （4） 是，T （5） 不是 （6） 不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是( )，而命题“所有的人都是要死的”的否定是( )。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P ：我生病，Q ：我去学校，则下列命题可符号化为( )。 (1) 只有在生病时，我才不去学校 (2) 若我生病，则我不去学校 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校(4) 若我不生病，则我一定去学校 答：（1） P Q →? （2） Q P ?→ （3） Q P ?? （4）Q P →? 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是( )。 (1) x y(x+y=0) (2) y x(x+y=0) 答：（1）对任一整数x 存在整数 y 满足x+y=0（2）存在整数y 对任一整数x 满足x+y=0 9、设全体域D 是正整数集合，确定下列命题的真值： (1) x y (xy=y) ( ) (2) x y(x+y=y) ( ) (3) x y(x+y=x) ( ) (4) x y(y=2x) ( ) 答：（1） F （2） F （3）F （4）T 10、设谓词P(x)：x 是奇数，Q(x)：x 是偶数，谓词公式 x(P(x)Q(x))在哪个个体域中为真?( ) (1) 自然数 (2) 实数 (3) 复数 (4) (1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（ ）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（ ） (1) 永真式 (2) 永假式 (3) 可满足式 (4) (1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(?P ∧Q)∨(?P ∧?Q)化简为（ ），公式 Q →(P ∨(P ∧Q))可化简为（ ）。 答：?P ，Q →P
离散数学章练习题及答案
离散数学练习题 第一章 一．填空 1.公式) ∨ ? ∧的成真赋值为 01；10 ? p∧ ( (q ) p q 2.设p, r为真命题，q, s 为假命题，则复合命题) ? ? →的真值为 0 p→ ( q (s ) r 3.公式) ∨ ? p∧ q ?与共同的成真赋值为 01；10 ? ∧ p ( ) ) (q q p ( 4.设A为任意的公式，B为重言式，则B A∨的类型为重言式 5．设p, q均为命题，在不能同时为真条件下，p与q的排斥也可以写成p与q的相容或。 二．将下列命题符合化 1. 7不是无理数是不对的。 解：) ? ?，其中p: 7是无理数；或p，其中p: 7是无理数。 (p 2.小刘既不怕吃苦，又很爱钻研。 解：其中 ?p: 小刘怕吃苦，q：小刘很爱钻研 p∧ ,q 3.只有不怕困难，才能战胜困难。 解：p →，其中p: 怕困难，q: 战胜困难 q? 或q →，其中p: 怕困难， q: 战胜困难 p? 4.只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 解：) → ?，其中p: 别人有困难，q:老王帮助别人，r: 困难解决了 p (q r→ 或：q ?) (，其中p:别人有困难，q: 老王帮助别人，r: 困难解决了r→ ∧ p 5.整数n是整数当且仅当n能被2整除。 解：q p?，其中p: 整数n是偶数，q: 整数n能被2整除 三、求复合命题的真值 P：2能整除5， q：旧金山是美国的首都， r：在中国一年分四季 1. )) p∧ → q ∨ r → ∧ ((q r ( ) ( ) p 2.r ?) → (( → (( ∨ ) ( )) p r p ∨ p q ? ∧ ? q∧ 解：p, q 为假命题，r为真命题 1.)) p∧ → q ∨的真值为0 r → ∧ ( ) ( ) ((q p r
离散数学试卷及答案(1)
一、填空 20% （每小题2分） 1．设 }7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E + 正偶数） 则 =?B A 。 2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分的集合表达式为 。 3．设P ，Q 的真值为0，R ，S 的真值为1，则 )()))(((S R P R Q P ?∨→?∧→∨?的真值= 。 4．公式P R S R P ?∨∧∨∧)()(的主合取范式为 。 5．若解释I 的论域D 仅包含一个元素，则 )()(x xP x xP ?→? 在I 下真值为 。 6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为 则 R 2 = 。 7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 的哈斯图为 则 R= 。
8．图的补图为 。 9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下： 那么代数系统的幺元是 ，有逆元的元素为 ，它们的逆元分别为 。 10．下图所示的偏序集中，是格的为 。 二、选择 20% （每小题 2分） 1、下列是真命题的有（ ） A ． }}{{}{a a ? ； B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ； C ． }},{{ΦΦ∈Φ； D ． }}{{}{Φ∈Φ。 2、下列集合中相等的有（ ） A ．{4，3}Φ?； B ．{Φ，3，4}； C ．{4，Φ，3，3}； D ． {3，4}。 3、设A={1，2，3}，则A 上的二元关系有（ ）个。
A．23 ；B．32 ；C．332?；D．223?。 4、设R，S是集合A上的关系，则下列说法正确的是（） R 是自反的； A．若R，S 是自反的，则S R 是反自反的； B．若R，S 是反自反的，则S R 是对称的； C．若R，S 是对称的，则S R 是传递的。 D．若R，S 是传递的，则S 5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下 t s p R= t s ∈ =则P（A）/ R=（） < > ∧ A ) (| || |} ( , {t , | s A．A ；B．P(A) ；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}} 6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“?”的哈斯图为（） 7、下列函数是双射的为（） A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N?N, f (n) =