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高数第十一章习题

第十一章第一节曲线积分习题一、填空题:

1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________；

2、

ds =_______________；

3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；

4、

ds y x f ),(=?'+'β

φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要求α

________β.

5、计算下列求弧长的曲线积分:

1、

?+L

y x ds e 2

2,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；

2、?Γ

yzds x

,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；

3、?+L ds y x )(2

,其中Ｌ为曲线?

??-=+=)cos (sin )

sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ；

4、计算?L

ds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(2

22222>-=+a y x a y x .

三、设螺旋形弹簧一圈的方程为

t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求:

1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ；

2、它的重心 . 答案一、1、?L

ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<.

二、1、2)4

2(-+

a e

；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a .

三、)43(3

22222k a k a a I z ππ++=；222

2436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 2

2222243)

2(3k a k a k z πππ++=

第二节对坐标的曲线积分习题

一、填空题:

1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关；

2、设0),(),(≠+?dy y x Q dx y x P L

,则 =++??-L

L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+?dy y x Q dx y x P L

),(),(?'+'β

φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应

于L 的____点；

4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、?

xydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；

2、?+--+L

x dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周2

22a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、?Γ

+-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)；

4、

?++ABCDA

y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 .

三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、

沿抛物线2

y =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x

222

=+从点(0,0)到点(1,1).

答案

一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ?Γ

++ds R Q P )cos cos cos (γβα?Γ

++=.

二、1、;2

3a π

2、π2-；

3、

； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.

四、1、

dy y x Q dx y x P ),(),(?

+=L ds y x Q y x P 2)

,(),(； 2、?+L dy y x Q dx y x P ),(),(?++=L ds x

y x xQ y x P 241),(2),(；

3、

?+L

dy y x Q dx y x P ),(),(?-+-=L

ds y x Q x y x P x x )],()1(),(2[2.

第三节格林公式习题

一、填空题:

1、设闭区域Ｄ由分段光滑的曲线Ｌ围成,函数

)

,(),,(y x Q y x P 及在Ｄ上具有一阶连续偏导数,则有

????-??D

dxdy y

x Q )(

________________； 2、设Ｄ为平面上的一个单连通域,函数),(),,(y x Q y x P 在Ｄ内有一阶连续偏导数,则?+L

Qdy Pdx 在Ｄ内与路径无关的充要条件是

_______________在Ｄ内处处成立；

3、设Ｄ为由分段光滑的曲线Ｌ所围成的闭区域,其面积为5,又),

(y x P 及),(y x Q 在Ｄ上有一阶连续偏导数,且

1=??x

,1-=??y P ,则

=+?L

Qdy Pdx ___.

4、计算?++-L

dy y

x dx x xy )()2(2

2其中Ｌ是由抛物线2x y =和x y =2所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的

正确性 . 5、

曲线积分,求星形线t a y t a x

33sin ,cos ==所围成的图形的面积 .

四、证明曲线积分

-+-)

4,3()

2,1(2232)36()6(dy xy y x dx y xy 在整个xoy 面内与路径无关,并计算积分值 .

五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 1、

+--L

dy y x dx y x )sin ()(22其中Ｌ是在圆周2

2x x y -=上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；

2、求曲线积分

--+=AMB

y x dx y x I 221)()(和

--+=ANB

y x dx y x I 222)()(的差.其中

AMB 是过原点和

)1,1(A ,)6,2(B 且其对称轴垂直于ｘ轴的抛物线上的弧段, ＡＭＢ是连接Ａ，Ｂ的线段 .

六、计算?+-L y x ydx

xdy 2

2,其中Ｌ为不经过原点的光滑闭曲线 .(取逆时针方向)

七、验证y x x dx xy y x 23228()83(+++dy ye y

)12+在整个xoy 平面内是某一函数),(y x u 的全微分,并求这样一个),(y x u . 八、试确定λ,使得dy r y

x dx r y x λλ22-是某个函数),(y x u 的全微分,其中2

2y x r +=,并求),(y x u .

九、设在半平面ｘ＞０内有力)(3j y i x r

k F +-=构成力场,其中ｋ为常数, 2

2y x r +=.证明在此力场中场力所作的功与所取的

路径无关 . 答案

一、1、

?+L

dyQ Pdx ； 2、

x Q y p ??=??；3、10.三、30

1.四、2

83a π.五、236.六、1、2sin 4167+-； 2、-2.七、1、当Ｌ所包围的区域Ｄ不包含原点时,0；2、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点, 且Ｌ仅绕原点一圈时,π2；3、当Ｌ所包围的区域Ｄ包含原点, 且Ｌ绕原点ｎ圈时,πn 2.

)(124),(223y y e ye y x y x y x u -++=.八、y

y x u =-=),(,1λ.

第四节对面积的曲面积分习题一、填空题:

1、已知曲面∑的面积为ａ, 则??∑

ds 10_______；

2、

??∑

ds z y x f ),,(=??yz

D z y z y x f ),),,((________dydz ；

3、设∑为球面2222

a z y x

=++在xoy 平面的上方部分,则=++??∑

ds z y x )(222____________；

4、

=??∑

zds 3_____,其中∑为抛物面)(222

y x

z +-=在xoy 面上方的部分；

5、

=+??∑ds y x

)(22

______,其中∑为锥面2

2y x z +=及平面ｚ＝１所围成的区域的整个边界曲面.

二、计算下列对面积的曲面积分: 1、

∑

+--ds z x x xy )22(2

,其中∑为平面622=++z y x 在第一卦限中的部分； 2、

??∑

++ds zx yz xy )(,其中∑为锥面2

2y x z +=被柱面ax y x

222

=+所截得的有限部分 .

三、求抛物面壳)10)((2122

≤≤+=

z y x z

的质量,此壳的面密度的大小为z =ρ. 四、求抛物面壳)10()(2

2≤≤+=z y x z 的质量，此壳的面密度的大小为.z =ρ

答案

一、1、a 10； 2、

2)()(

x y x ??+??+； 3、4

2a π； 4、

π10

111

； 5、

π2

1+.二、1、4

27-

； 2、

421564

a .三、6

π.

四、

)136(15

2+π

. 第五节对坐标的曲面积分一、填空题: 1、

????+

∑∑+dzdx z y x Q dzdx z y x Q ),,(),,(=_______________________.

2、第二类曲面积分

dxdy R Qdzdx Pdydz ??∑

++化成第一类曲面积分是__________，其中γβα,,为有向曲面∑上点),,(z y x 处

的___________的方向角 .

二、计算下列对坐标的曲面积分: 1、

∑

++ydzdx xdydz zdxdy ,其中∑是柱面122=+y x 被平面ｚ＝０及ｚ＝３所截得的在第一卦限内的部分的前侧； 2、

??∑

++yzdzdx xydydz xzdxdy ,其中∑是平面1,0,0,0=++===z y x z y x 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧；

3、

dxdy y

x e z ??

∑

,其中∑为锥面2

2y x z +=和ｚ＝１，ｚ＝２所围立体整个表面的外侧 .

三、把对坐标的曲面积分

??∑

+dzdx z y x Q dydz z y x P ),,(),,(dxdy z y x R ),,(+化成对面积的曲面积分,其中∑是平面

63223=++z y x 在第一卦限的部分的上侧 .

答案一、1、0；2、

??∑

++dS R Q P )cos cos cos (γβα,法向量. 二、1、π23； 2、8

；3、2

2e π. 三、

dS R Q P )5

325253(??++. 第六节高斯公式习题

一、利用高斯公式计算曲面积分: 1、dxdy z dzdx y dydz x 3

33++??

∑

,其中∑为球面2222a z y x =++外侧； 2、

??∑

++zdxdy ydzdx xdydz ,其中∑是界于ｚ＝０和ｚ＝３之间的圆柱体922

≤+y x

的整个表面的外侧；

3、

??∑

xzdydz ,∑是上半球面2

22y x R z --=

的上侧 .

二、证明:由封闭曲面所包围的体积为??∑

++=

ds z y x V )cos cos cos (31

γβα,式中γβαcos ,cos ,cos 是曲面的外法线的方

向余弦 .

三、求向量

k xz j y x i z x A 22)2(-+-=,穿过曲面∑:为立方体a y a x ≤≤≤≤0,0,a z ≤≤0的全表面,流向外侧的通量 .

四、求向量场k xz j xy e A xy )cos()cos(2

++=的散度 .

五、设),,(,),,(z y x v z y x u 是两个定义在闭区域Ω上的具有二阶连续偏导数的函数,n

n u ????,

依次表示),,(,),,(z y x v z y x u 沿∑的外法线方向的方向导数。证明: ds n u

v n v u dxdydz u v v u )()(??-??=?-??????Ω∑

，其中∑是空间闭区域Ω的整个边界曲面.

(注 2

2222z y x ??+??+??=

?,称为拉普拉斯算子)

答案

一、1、5512a π；2、π81； 3、44

R π.三、)62(23

a a -.四、)sin(2)sin(2xz xz xy x ye A div xy --=

第七节斯托克斯公式习题

一、计算

?Γ

+-dz yz xzdy ydx 23,其中Γ是圆周2,22

2==+z z y x 若从ｚ轴正向看去,这圆周是逆时针方向 .

二、计算?Γ

++dz x dy z dx y 222,其中Γ是球面2222a z y x =++和园柱面ax y x =+2

2的交线)0,0(≥>z a ,从ｘ轴正向看

去,曲线为逆时针方向 .

三、求向量场j y x z i y z A

)cos ()sin (--+=的旋度 .

四、利用斯托克斯公式把曲面积分??∑

?ds rot 化成曲线积分,并计算积分值,其中Ａ,∑及ｎ分别如下:xz xy y ++=2

,∑

为上半个球面2

21y x z --=的上侧,ｎ是∑的单位法向量.

五、求向量场xy yz x z x 233)()(-++-=沿闭曲线Γ为圆周0,222=+-=z y x z

(从ｚ轴正向看Γ

依逆时针方向)

的环流量 . 六、设),,(z y x u u =具有二阶连续偏导数,求)(gradu rot .

答案

一、π20-.二、3

a π

-.三、j i A rot

+=四、0.五、π12六、0

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学：第11章无穷级数自测题答案

《高等数学》单元自测题答案第十一章无穷级数一．选择题： 1.B ； 2. D ； 3.A ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7. C ； 8.C . 二．填空题： 1. () ∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2 k . 三．判断题： 1. 解因为02121lim ≠=+∞ →n n n ，故级数发散. 2. 解因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n 发散，故原级数发散. 3. 解设n n n n u )13( +=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解因为()∑∞=-+1 212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n 收敛. 四．判断题： 1. 解 ()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=?+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛. 2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1 212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，故绝对值级数∑∞=-+-121 1 )1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1 )1(11,01lim 222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

专升本高等数学测试及答案(第二章)

高等数学测试（第二章）一．选择题（每小题２分，共20分） 1 ．设函数0()10 2 x f x x ≠=??=?? 在0x =处（） A ．不连续B ．连续但不可导C ．可导D ．可微 2．设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（）A ．1 B ．2 e C ．2e D ．e 3．设函数()f x 在点x a =处可导，则0()()lim x f a x f a x x →+--等于（） A ．0 B ．()f a ' C ．2()f a ' D ．(2)f a ' 4．设x x x f += ??? ??11，x x g ln )(=，则[()]f g x '= （） A ． 2) 1(1x + B ．2)1(1x +- C ．1x x + D ．22 )1(x x +- 5．设函数 )(x f 在),(+∞-∞内可导，则下列结论中正确的是（） A ．若)(x f 为周期函数，则)(x f '也是周期函数 B ．若)(x f 为单调增加函数，则)(x f '也是单调增加函数 C ．若)(x f 为偶函数，则)(x f '也是偶函数 D ．若 )(x f 为奇函数，则)(x f '也是奇函数 6．设)(x f 可导，则下列不成立的是（） A ．)0()0()(lim 0 f x f x f x '=-→ B ．)()()2(lim 0 a f h a f h a f h '=-+→ C ．)()()(lim 0 000 x f x x x f x f x '=??--→? D ．)(2)()(lim 0000 x f x x x f x x f x '=??--?+→?

高数第9章答案

高等数学（化地生类专业）（下册）姜作廉主编《习题解答》习题9

1,{6,6,3},6(2)6(1)3(2)0,2280.3(2,3,n AB x y z x y z π==---++-=-+-=v v u u u v 指出下列平面与坐标系的位置关系，并作图：（1）x-2y+1=0;(2)3z+2=0;(3)x+2y+3z=1;(4)2y+z=0. 2已知A(2,-1,2)和B(8,-7,5),求一平面通过A 且垂直于线段AB. 解：设所求平面的法向量为n 由点法式方程，有：故平面方程为：求过点0),(2,3,4),(0,6,0)0,230 230,,,.46460 Ax By Cz D A B D D D D A B c D A B C B D --+++=++=?? --++==-=-=-? ?+=? ≠的平面方程。解：设所求平面方程为将已知三点带入，解得：显然，由题意D 0,故所求方程为：3x+2y+6z-12=0 4求过点(-1,-1,2)且在三个坐标轴上有相同截距的平面方程。解：设平面在三个坐标轴上的截距为t ，则平面方程由截距式1,,0,3 y z t t D x ++=?≠≠=可得：x 将点（1,-1,2）代入，1-1+2=t t=2.t 故平面方程：x+y+z-2=0.5(1)通过x 轴和M(2,-1,1) 解：设所求过x 轴平面方程为By+Cz+D=0,将M 代入：-B+C+D=0,又D=0,故B=C(0),平面方程y+z=0(2)平行于yOz 平面且经过点（3,0,5） D 解：设平面为Ax+D=0,将点代入：3A+D=0,A=-显然 3 故平面方程(0) ,202. 6(1,2,1),(3,2,1)31,,3121 133,3,.32121 3D B C y A B y x y z A B A C A C A C A C ? =-≠???? ???=?=--++=?+-=??=-=-? ?-++=??(3)通过(1,2,-1)和(-5,2,7)且平行于x 轴。解：设平面方程为By+Cz+D=0, 2B-C+D=0故平面方程：2B+7C+D=0平面过在轴的截距为解：设平面方程将代入解得：故平面方程为21,230333 x y z x y z -+-=-++=：即：

高数第十一章习题

第十一章第一节曲线积分习题一、填空题: 1、已知曲线形构件Ｌ的线密度为),(y x ρ,则Ｌ的质量Ｍ=_______________； 2、 ?L ds =_______________； 3、对________的曲线积分与曲线的方向无关； 4、 ? L ds y x f ),(=?'+'β α φ?φ?dt t t t t f )()()](),([22中要求α ________β. 5、计算下列求弧长的曲线积分: 1、 ?+L y x ds e 2 2,其中Ｌ为圆周222a y x =+,直线ｙ＝ｘ及ｘ轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界； 2、?Γ yzds x 2 ,其中Ｌ为折线ＡＢＣＤ,这里Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)； 3、?+L ds y x )(2 2 ,其中Ｌ为曲线? ??-=+=)cos (sin ) sin (cos t t t a y t t t a x π20≤≤t ； 4、计算?L ds y ,其中Ｌ为双纽线 )0()()(2 22222>-=+a y x a y x . 三、设螺旋形弹簧一圈的方程为 t a x cos =,t a y sin =,kt z =,其中π20≤≤t ,它的线密度222),,(z y x z y x ++=ρ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量Z I ； 2、它的重心 . 答案一、1、?L ds y x ),(ρ； 2、L 的弧长； 3、弧长； 4、<. 二、1、2)4 2(-+ a e a π ；2、9；3、)21(2232ππ+a ； 4、)22(22-a . 三、)43(3 22 22222k a k a a I z ππ++=；222 2436k a ak x π+=； 2222436k a ak y ππ+-=； 2 2222243) 2(3k a k a k z πππ++= . 第二节对坐标的曲线积分习题一、填空题: 1、对______________的曲线积分与曲线的方向有关； 2、设0),(),(≠+?dy y x Q dx y x P L ,则 =++??-L L dy y x Q dx y x P dy y x Q dx y x P ),(),(),(),(____________； 3、在公式=+?dy y x Q dx y x P L ),(),(?'+'β α φφ??φ?dt t t t Q t t t P )}()](),([)()](),([{中,下限a 对应于L 的____点,上限β对应于L 的____点； 4、两类曲线积分的联系是______________________________________________________. 二、计算下列对坐标的曲线积分: 1、? L xydx ,其中L 为圆周)0()(222>=+-a a y a x 及X 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； 2、?+--+L y x dy y x dx y x 22)()(,其中L 为圆周2 22a y x =+(按逆时针方向饶行)； 3、?Γ +-ydz dy dx ,其中为有向闭折线ABCD ,这里的C B A ,,依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)； 4、 ?++ABCDA y x dy dx ,其中ABCDA 是以)0,1(A ，)1,0(B ,)0,1(-C ,)1,0(-D 为顶点的正方形正向边界线 . 三、设z 轴与重力的方向一致,求质量为m 的质点从位置),,(111z y x 沿直线移到),,(222z y x 时重力所作的功. 四、把对坐标的曲线积分?+L dy y x Q dx y x P ),(),(化成对弧长的积分, 其中L 为:1、在xoy 面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；2、沿抛物线2 x y =从点(0,0)到点(1,1)；3、沿上半圆周x y x 222 =+从点(0,0)到点(1,1). 答案一、1、坐标； 2、-1； 3、起,点； 4、 dz R Qdy Pdx ?Γ ++ds R Q P )cos cos cos (γβα?Γ ++=. 二、1、;2 3a π - 2、π2-； 3、 2 1 ； 4、0.三、{})(,,0,012z z mg W mg F -==.

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高数课后习题及答案第二章 2.3

2．2）1 ()3,0 x f x x ==；解： 11 lim 11 lim lim ()lim 3330 lim ()lim 333 x x x x x x x x x x f x f x - →--+ →++-∞ →→+∞ →→========+∞ 因为0 lim ()lim ()x x f x f x - + →→≠，所以3 lim ()x f x →-不存在。 3）2 11(),02x f x x - ?? == ? ?? ；解： 2 10000 11lim ()lim ()lim ()lim 22x x x x x f x f x f x -+- -∞ →→→→?? ??=====+∞ ? ??? ?? 所以3 lim ()x f x →-不存在。 4）3,3 9)(2 -=+-= x x x x f ；解：63 ) 3)(3(lim )(lim )(lim 3 3 3 -=+-+==+ + - -→-→-→x x x x f x f x x x 故极限6)(lim 3 -=-→x f x 2 2 2 2 2 5).lim ()224,lim ()3215, lim ()lim (),lim ()x x x x x f x f x f x f x f x -+-+→→→→→=?==?-=≠解：因为所以不存在。 ()0 6.lim ()lim 21,lim ()lim cos 12,lim ()lim (),lim ()x x x x x x x x f x f x x f x f x f x --++-+→→→→→→→===+=≠）解：因为所以不存在。 7）1()arctan ,0f x x x ==；

高数答案第11章

第十一章曲线积分与曲面积分 (09级下学期用) § 1 对弧长的曲线积分 1设 L 关于x 轴对称，1L 表示L 在x 轴上侧的部分，当()y x f ,关于y 是偶函数时， ()=? L ds y x f ,（ B ） ()?1 ,2L ds y x f C. ()?-1 ,2L ds y x f D.ABC 都不对 2、设L 是以点()()()()1,0,0,1,1,0,0,1--D C B A 为顶点的正方形边界, 则? +L y x ds =( C ) 2 4 D. 2 2 3、有物质沿曲线L ：()103 ,2 ,3 2 ≤≤= ==t t z t y t x 分布，其线密度为, 2y = μ，则它 =m ( A ) ?++1 4 2 1dt t t t B.?++1 4 2 2 1dt t t t C.? ++1 4 2 1dt t t D.? ++1 4 2 1dt t t t 4．求,?L xds 其中L 为由2 ,x y x y == 所围区域的整个边界解：,?L xds =() 2 2155 12 124111 1 + -= + + ? ? xdx dy y y 5．, ds y L ? 其中L 为双纽线) 0)(() (2 2 22 22 >-=+a y x a y x 解：原积分=()()2 22sin 4sin 4 42 2 2 '2 4 4 1 - ==+=? ? ? a d a d r r r ds y L χπ π θθθθ θ 6．? +L ds y x ,22 其中L 为()02 2>=+a ax y x 原积分2 2 2cos 2a adt t a ==?π 7．,2 ?L ds x 其中L 为球面2222a z y x =++与平面0=-y x 的交线解：将y x =代入方程2 2 2 2 a z y x =++得2 2 22a z x =+于是 L 的参数方程：t a z t a y t a x sin ,sin 2 ,cos 2 == = ，又adt ds =

高等数学练习答案1-10

习题1-10 1. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数. 因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 2. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0. 若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 3. 设函数f (x )对于闭区间[a , b ]上的任意两点x 、y , 恒有|f (x )-f (y )|≤L |x -y |, 其中L 为正常数, 且f (a )?f (b )<0. 证明: 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 证明设x 0为(a , b )内任意一点. 因为 0||l i m |)()(|l i m 0000 0=-≤-≤→→x x L x f x f x x x x , 所以 0|)()(|lim 00 =-→x f x f x x , 即 )()(l i m 00 x f x f x x =→. 因此f (x )在(a , b )内连续. 同理可证f (x )在点a 处左连续, 在点b 处右连续, 所以f (x )在[a , b ]上连续. 因为f (x )在[a , b ]上连续, 且f (a )?f (b )<0, 由零点定理, 至少有一点ξ∈(a , b ), 使得f (ξ)=0. 4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a

高等数学第二章练习及答案

x) 1 3. 函数f (x) lnx 在x 1处的切线方程是 _______________________ 1 4. 设 f(—) x ,则 f (x) ___ ________ x 3 5. 函数 f (x) sin(cosx )，贝y f (x) ___________________ 6.设函数f(x) ln cosx ，则二阶导数f (x) 、选择题. 1.函数y A 、无定义不连续第二章 C 、可导 D 、连续但不可导 2.设函数f (X ) 2x 2 x , 1,x 0 ，则 f (x)在点x 0处 A 、没有极限 B 、有极限但不连续 C 、连续但不可导 D 、可导 3?设函数y f (x)可微, 则当 y dy 与x 相比，是 x 的等价无穷小 x 的同阶无穷小 C . x 的高阶无穷小 x 的低阶无穷小 4.函数 x 3的单调增区间是中B 、(严,T 3 3 3 C 、(于 5?函数f (x) 1 (e x e x )的极小值点是 ) ) ) ) (0,+ ) ) 不存在、填空题. 1. 已知(sin x) cosx , 利用导数定义求极限 2、如果f (x °) 4，则 lim f(x 0 3x) x 0 f (X o )

7. d(arctan2x) ,d In (sin 2x) 四、计算题. 六、应用题. 产品的市场需求量为 q 1000 10 p ( q 为需求量，p 为价格)?试求：(1 )成本函数，收入函数；(2)产量为多少吨时利润最大? 8.函数f(x) x 3 ax 2 3x 9，已知f (x)在x 3时取得极值，则 a = p 9 ?设需求量q 对价格p 的函数为q(p) 100e ? ，则需求弹性E p 三、判断题. 1. 若f(x)在点X o 处可导，则f (x)在点X o 处连续. 2. dy 是曲线y f (x)在点(x 0, f (怡))处的切线纵坐标对应于 x 的改变量. 3. 函数y f (x)在x 0点处可微的充要条件是函数在 X 。点可导. 4. 极值点一定是驻点. 5. 函数y x 在点x 0处连续且可导. 1.求函数 y arctan-. 1 x 2的导数. 2.求由方程x y e 2x e y 0所确定的隐函数 y f(x)的导数y . e 3.设 y x ，求 y . 4.求由方程y cos(x y)所确定的隐函数 y f (x)的二阶导数y . 五、求下列极限. (1) lim x x sin x x sin x (2) 4 c 2 lim X x 0 3x 2x si nx 4 ， (3) 01 x x 1 ln x (4) 1 lim( a' X 1)x (a 0), (5) (6) lim (x x 1 X \ X e)x . 1.求函数f (x) x 3 3x 2 9x 1的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点. 2.某厂生产一批产品, 其固定成本为2000元，每生产一吨产品的成本为 60元, 对这种

《高等数学教程》第十一章重积分习题参考答案

《高等数学教程》第十一章重积分习题参考答案习题11－1 1.(,)D Q x y d μσ=??. 3.(1)0; (2)0; (3)124I =I 4.(1)12I ≥I ; (2) 12I ≤I ; (3)12I ≥I ; (4) 12I ≤I . 5.(1)02≤I ≤; (2)20π≤I ≤; (3)28≤I ≤; (4)36100ππ≤I ≤. 习题11－2(A) 1. (1)4 0(,)x dx f x y dy ?? 或240 4 (,)y y dy f x y dx ??； (2)122 20 1 2 2 (,)(,)x x x x dx f x y dy dx f x y dy +????或2122 1 2 2 (,)(,)y y y y dy f x y dx dy f x y dx +????； (3)2 2 4 (,)x x f x y dy -?或240 2 (,)(,)dy f x y dx dy f x y dx +??. 2. (1)4 2 (,)x dx f x y dy ??; (2) 10 1(,)y dy f x y dx ?? ; (3)1 10 2(,)y dy f x y dx -?? ; (4) 1 (,)y e e dy f x y dx ? ?. 3. (1) 203; (2)32π-; (3)655; (4)64 15; (5)1e e -- 4. (1)92； (2)211 22e e -+. 5. 335. 6. (1)20 (cos ,sin )b a d f r r rdr π θθθ??； (2)2cos 20 2 (cos ,sin )d f r r rdr π θ πθθθ- -?? ; (3)1 (cos sin )20 (cos ,sin )d f r r rdr π θθθθθ-+?? ; (4)3sec tan cot 44 4 (cos ,sin )(cos ,sin )d f r r rdr d f r r rdr π πθθ θ πθθθθθθ+++?? ??

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高等数学习题及解答 (1)

普通班高数作业（上）第一章函数 1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（第二版P22:4；第三版P8:1）（注：“第二版P22:4”指第二版教材第22页的第4题）（2）)sin(arcsin x y =与x y =；（4）x y = 与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =；（8）)(x f y =与)(y f x =。 2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（第二版P22:5；第三版P8:2）（2）x x x y -+=2；（3）x y x -+=1ln arcsin 21；（7）x e y x ln 111 -+ =。 3、设?????<-≥-=0 ,10 ,1)(2 2x x x x x f ，求)()(x f x f -+。（第二版P23:10；第三版无） 4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（第二版P23:11；第三版P12:1）（2）24x x y -= ；（4）x x y -=。 5、讨论下列函数的奇偶性：（第二版P23:12；第三版P12:2）（2）x x x x f tan 1)(2+-=；（3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=；（7）? ??≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。 6、求下列函数的反函数及反函数的定义域：（第二版P23:16；第三版P14:1）（1）)0,(),21ln(-∞=-=f D x y ；（6）???≤<--≤<-=21,)2(210, 12)(2 x x x x x f 。 7、（1）已知421)1(x x x x f +=-，求)(x f ；（2）已知2 ln )1(222 -=-x x x f ，且x x f ln )]([=?求)(x ?。（第二版P23:19；第三版P16:3） 8、以下各对函数)(u f 与)(x g u =中，哪些可以复合构成复合函数)]([x g f ？哪些不可复合？为什么？（第二版P24:23；第三版P16:7）

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学第二章练习及答案

第二章一、选择题. 1. 函数1y x =+在0x =处（） A 、无定义 B 、不连续 C 、可导 D 、连续但不可导 2. 设函数221,0(), 0x x f x x x +

6. 设函数()ln cos f x x =，则二阶导数()f x ''=______________. 7. (arctan 2)d x =________，[]ln(sin 2)d x =__________. 8. 函数32()39f x x ax x =++-，已知()f x 在3x =-时取得极值，则a =______. 9．设需求量q 对价格p 的函数为2e 100)(p p q -=，则需求弹性E p =__________. 三、判断题. 1. 若()f x 在点0x 处可导，则()f x 在点0x 处连续. （） 2. dy 是曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线纵坐标对应于x ?的改变量. （） 3. 函数()y f x =在0x 点处可微的充要条件是函数在0x 点可导. （） 4. 极值点一定是驻点. （） 5. 函数y x =在点0x =处连续且可导. （）四、计算题. 1.求函数y =. 2. 求由方程0e e 2=+-+y x y x 所确定的隐函数()y f x =的导数y '. 3. 设e x y x =，求y '. 4. 求由方程cos()y x y =+所确定的隐函数()y f x =的二阶导数.y '' 五、求下列极限. （1）sin lim sin x x x x x →∞-+，（2）x x x x x x x --+-→4240sin 23lim ，（3）11lim 1ln x x x x →??- ?-? ?， (4）1lim(1)(0)x x a x a →∞->, （5）()10lim 1x x x →+, （6）1lim ()x x x x e →+∞+. 六、应用题. 1. 求函数32 ()391f x x x x =--+的单调性、极值与极值点、凹凸区间及拐点．

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