2012年高考数学复习“应试笔记”
2011年高考数学复习“应试笔记”
2011年高考数学解题·高分策略
——难点突破与培优提高
2010-8-19
第I 卷 160分部分
一、填空题
答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石!
A 、1～4题，基础送分题，做到不失一题！
解题常用经典再现
A1.集合性质与运算 1、性质：
①任何一个集合是它本身的子集，记为A A ?； ②空集是任何集合的子集，记为A ?φ；
③空集是任何非空集合的真子集； 如果B A ?，同时A B ?，那么A = B ．
如果C A C B B A ???，那么，．
【注意】：
①Z = {整数}（√） Z ={全体整数} （×）
②已知集合S 中A 的补集是一个有限集，则集合A 也是有限集．（×） ③ 空集的补集是全集．
④若集合A =集合B ，则C B A = ?， C A B = ? C S （C A B ）= D （ 注 ：C A B = ?）．
2、若Ａ={123,,n a a a a }，则Ａ的子集有2n 个，真子集有21n -个，非空真子集有22n -个.
3、A B C A B A C A B C A B A C == （）（）（）,（）（）（）；
A B C A B C A B C A B C ??=??= （）（）,（）（） 4、 De Morgan 公式:()U
U U C
A B C A C B
= ；()U
U U C
A B C A C B
= .
【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具.
在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 A2.命题的否定与否命题
*1.命题p q ?的否定与它的否命题的区别：
命题p q ?的否定是p q ??,否命题是p q ???.
命题“p 或q ”的否定是“p ?且q ?”,“p 且q ”的否定是“p ?或q ?”. *2.常考模式：
全称命题p ：,()x M p x ?∈；全称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?.
特称命题p ：,()x M p x ?∈；特称命题p 的否定?p ：,()x M p x ?∈?.
A3.复数运算
*1.运算律：?m n m n z z z +?=； ?()m n mn z z =； ?1212()(,)m m m z z z z m n N ?=∈.
【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2.模的性质：
?1212||||||z z z z =； ?112
2||||||
z z z z =； ?n
n
z
z =.
*3.重要结论：
?2222121212||||2||||()z z z z z z -++=+； ?2
2
12z z z
z ?==； ?()2
12i i ±=±； ?
11i i i
-=-+，
11i i i
+=-；
?i 性质：T=4；1 , ,1,4342414=-=-==+++n n n n i i i i i i . 【拓展】：()()3
2
11101ωωωωω=?-++=?=
或1i 2
2
ω
=-
±
.
A4.幂函数的的性质及图像变化规律： (1)所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图像都过点
(1,1)；
(2)0a >时，幂函数的图像通过原点，并且在区间[0,)+∞上是增函数．特别地，当1a >时，幂函数的图像下凸；当01a <<时，幂函数的图像上凸； (3)0a <时，幂函数的图像在区间(0,)+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图像在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于+∞时，图像在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴．
【说明】：对于幂函数我们只要求掌握111,2,3,,23
a =的这5类，它们的图像都经过一个定
点(0,0)和(0,1)，并且1-=x 时图像都经过(1,1)，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了.
A5.统计
1.抽样方法：
(1)简单随机抽样(抽签法、随机样数表法)常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取.
(2)分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显差异.共同点：每个
个体被抽到的概率都相等（
n N
）.
2.总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率.
总体估计掌握：一“表”(频率分布表)；两“图”(频率分布直方图和茎叶图). ?频率分布直方图
用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小.
①频率=
样本容量
频数.
②小长方形面积=组距×组距
频率=频率.
③所有小长方形面积的和=各组频率和=1.
【提醒】：直方图的纵轴(小矩形的高)一般是频率除以组距的商(而不是频率)，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. ?茎叶图
当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 3.用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；
样本平均数： 121
11()n
n i
i x x x x x
n
n
==
+++=
∑
1x
4.用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差(方差大波动差). (1)一组数据123,,,,n x x x x ?
①样本方差
2
222
121[()()()]
n S
x x x x x x n
=
-+-+???+-2
221
1
1
1
11
()()(
)n
n
n
i
i
i
i i i x x x x n
n
n
====
-=
-∑∑∑ ；
②样本标准差
σ==
(2)两组数据123,,,,n x x x x ?与123,,,,n y y y y ?,其中i y ax b =+,1,2,3,,i n =?.则
y ax b =+,它们的方差为2
2
2
y x S a S =,标准差为||y
x a σ
σ=
③若12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则12,,,n ax b ax b ax b +++ 的平均
数为a x b +，方差为22a s .
样本数据做如此变换：'i i x ax b =+，则'
x a x b =+，222()S a S '=.
B 、(5～9，中档题，易丢分，防漏/多解)
B1.线性规划
1、二元一次不等式表示的平面区域：
（1）当0A >时，若0A x B y C ++>表示直线l 的右边，若0
A x
B y
C ++<则表示直线l 的左边.
（2）当0
B >
时，若0A x B y C ++>表示直线l 的上方，若
A x
B y
C ++<则表示
直线l 的下方.
2、设曲线111222:()()0C A x B y C A x B y C ++++=（12120A A B B ≠），则
111222()()0A x B y C A x B y C ++++>或0<所表示的平面区域：
两直线1110A x B y C ++=和2220A x B y C ++=所成的对顶角区域（上下或
左右两部分）.
3、点000(,)P x y 与曲线(),f x y 的位置关系：
若曲线(,)f x y 为封闭曲线（圆、椭圆、曲线||||x a y b m +++=等），则
00()
,0f x y >，称点在曲线外部；
若(,)f x y 为开放曲线（抛物线、双曲线等），则00(),0f x y >，称点亦在曲线
“外部”.
4、已知直线:0l Ax By C ++=，目标函数z A x B y =+.
①当0B >时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越大；直线l 向下平移，则z 的
值越来越小；
②当0B <时，将直线l 向上平移，则z 的值越来越小；直线l 向下平移，则z 的
值越来越大；
5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：
（1）z ax by =+，若0b >，直线在y 轴上的截距越大，z 越大，若0
b
<，直线在
y 轴上的截距越大，z 越小. （2）
y m x n
--表示过两点()(),,,x y n m 的直线的斜率，特别
y x
表示过原点和(),n m 的
直线的斜率.
（3）()()2
2
t x m y n =-+-表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方
程的覆盖问题.
（4）
y
=
(),x y 到点()0,0的距离.
（5）(cos ,sin )F θθ； （
6）d =
；
（7）22a ab b ±+；
【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y 2=1上的点)sin ,(cos θθ及余弦定理进行转化达到解题目的。
B 2.三角变换：
三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换．
三角恒等变形是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础．
三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决．
三角变换是指角(“配”与“凑”)、函数名(切割化弦)、次数(降与升) 、系数(常值“1”) 和 运算结构(和与积)的变换，其核心是“角的变换”.
角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换.
变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角，平方消元等.
具体地：
（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变
形技巧，如下：
2=
+ααα，22
αα=?；
22
αβ
αβ++=?
，
(
)(
)2
2
2
αββααβ+=-
-
-；
()()2
2
2
2
=+-=-+=
=
+-+-+
-
ααββαββαβ
αββα
βα
； 22[()]2[()]()()()()=+-=-+=++-=+--ααββαββαβαββαβα；
2()+=++αβαβα
，2()-=-+αβαβα；
154530,754530?=?-??=?+?；
()4
2
4π
πααπ
+=
-
-
等.
（2）“降幂”与“升幂”（次的变化）
利用二倍角公式2
2
2
2
cos 2cos sin 2cos 12sin 1=-=-=-ααααα和二倍角
公式的等价变形2cos 2sin 12=-αα，2
sin 2cos 12
=+αα，可以进行“升”与“降”的
变换，即“二次”与“一次”的互化. （3）切割化弦（名的变化）
利用同角三角函数的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以
便于解题.经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”.
（4）常值变换
常值12
.此外，对常值 “1”可作如下代换：
2
2
2
2
1sin cos sec tan tan cot 2sin 30tan sin cos 042
x x x x x x ππ=+=-=?=?====
等.
（5）引入辅助角 一般的，
sin cos )sin()a
b
a b +=
+
=+ααααα?，期中
cos sin tan b
a ===???.
特别的，sin cos )4
A A A +=+π
;
sin 2sin()3
x x x +
=+
π
，
cos 2sin()6
x x x +=+
π
等.
（6）特殊结构的构造
构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简. 举例：22sin 20cos 50sin 20cos 50A =?+?+??，
2
2
cos 20sin 50cos 20sin 50B =?+?+??
可以通过12sin 70,sin 702
A B A B +=+?-=-
-?两式和，作进一步化简.
（7）整体代换
举例：sin cos x x m +=2
2sin cos 1x x m ?=-
s i n ()m +=αβ，sin()n -=αβ，可求出sin cos ,cos sin αβαβ整体值，作为代换之用.
B 3.三角形中的三角变换
三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点． (1)角的变换
因为在ABC ?中，A B C π++=（三内角和定理），所以
任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：①三内角都是锐角；②三内角的余弦值为正值；
③任两角和都是钝角；④任意两边的平方和大于第三边的平方.
即，sin sin()A B C =+；cos cos()A B C =-+；tan tan()A B C =-+．
2
2
sin
cos
A B C +=；2
2
cos
sin
A B C +=；2
2
tan
cot
A B C +=.
(2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理．
面积公式：11sin 22
a S sh a
b C r p =
=
=?=
.
其中r 为三角形内切圆半径，p 为周长之半．
(3)对任意ABC ?，tan
tan
tan
tan
tan
tan
12
22222
A B
B
C
C
A
++=；
在非直角ABC ?中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=． (4)在ABC ?中，熟记并会证明：
*1.,,A B C ∠∠∠成等差数列的充分必要条件是60B ∠=?．
*2.ABC ?是正三角形的充分必要条件是,,A B C ∠∠∠成等差数列且,,,a b c 成等比
数列．
*3.三边,,a b c 成等差数列
?2b a c =+?2sin sin sin A B C =+?1tan
tan
223
A C =；3
≤
B π
.
*4.三边,,,a b c 成等比数列?2b ac =?2sin sin sin A B C =,3
≤B π
.
(5)锐角ABC ?中,2
A B π+>
?sin cos ,sin cos ,sin cos A B B C C A >>> ，
2
2
2
a b c
+>；
sin sin sin cos cos cos A B C A B C
++>++；
tan tan tan cot cot cot A B C A B C ++>++. 【思考】：钝角ABC ?中的类比结论
(6)
两内
角与其正弦值
：在
ABC
?中，
s i n a b A B A B >
?
>?>?c o s 2B A >，…
(7)若π
=++C
B A ，则2
2
2
2cos 2cos 2cos x y z yz A xz B xy C ++++≥.
(8)A B >?a b >?sin sin A B >?cos 2cos 2B A >.
B 4.三角恒等与不等式 组一
33
sin 33sin 4sin ,cos 34cos 3cos αααααα=-=- ()()2
2
22
sin sin sin sin cos cos αβαβαβ
β
α-=+-=-
3
2
3tan tan tan 3tan tan(
)tan(
)13tan 3
3
θθπ
π
θθθθθ
-=
=-+-
组二
tan tan tan tan tan tan tan()1tan tan tan tan tan tan αβγαβγαβγαββγγα
++-++=
---
tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=
sin sin sin 4cos cos cos 2
2
2A B C A B C ++=
cos cos cos 14sin
sin
sin
2
2
2
A B C A B C ++=+
2
2
2
sin sin sin 22cos cos cos A B C A B C ++=+
……
组三 常见三角不等式
(1)若(0,)2
x π
∈，则sin tan x x x <<；
(2) 若(0,
)2
x π
∈，则1sin cos x x <+≤
(3) |sin ||cos |1x x +≥；
(4)
x
x x f sin )(=
在),0(π上是减函数；
B5.概率的计算公式： ?古典概型：()A P A =
包含的基本事件的个数
基本事件的总数
；
①等可能事件的概率计算公式：()()()
m card A p A n
card I ==；
②互斥事件的概率计算公式：P (A +B )＝P (A )+P (B )；
③对立事件的概率计算公式是：P (A )=1－P (A )； ④独立事件同时发生的概率计算公式是：P (A ?B )＝P (A )?P (B )； ⑤独立事件重复试验的概率计算公式是：
()(1)
k
k
n k
n n P k C P P -=-(是二项展开式[(1－P )+P ]n 的第(k +1)项).
?几何概型：若记事件A={任取一个样本点，它落在区域g
?Ω
}，则A 的概率定义为
()g A P A Ω=
=
的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）
的测度
试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）
注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步)转化思想处
理：把所求的事件转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识)；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n 次实验中恰有k 次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件.
【说明】：条件概率：称)
()
()|(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率。
注意：①0(|)1P B A ≤≤；②P(B ∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)。
B6. 排列、组合
（1）解决有限制条件的(有序排列，无序组合)问题方法是：
①直接法：位置分析法元素分析法
用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）
用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）
??
??
??? ②间接法：即排除不符合要求的情形
③一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有：
①特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。 ②间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）)。 ③相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。
④不相邻(相间)问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。
⑤多排问题单排法。 ⑥多元问题分类法。 ⑦有序问题组合法。 ⑧选取问题先选后排法。 ⑨至多至少问题间接法。
⑩相同元素分组可采用隔板法。
?涂色问题先分步考虑至某一步时再分类.
（3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n 组问题别忘除以!n .
B7.最值定理
①,0,x y x y >+≥由()xy P =定值，则当x y =时和x y +
有最小值；
②,0,x y x y >+≥由()x y S +=定值，则当x y =是积xy 有最大值
2
14
s .
【推广】：已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(2
2
+-=+.
（1）若积xy 是定值，则当||y x -最大时，||y x +最大；当||y x -最小时，||y x +最小.
（2）若和||y x +是定值，则当||y x -最大时，||xy 最小；当||y x -最小时，||xy 最大.
③已知,,,R a x b y +
∈，若1ax by +=
，则有：
2
1111()(
)by ax ax by a b a b x y
x
y
x
y
+=++
=++
+
++=+≥
④,,,R a x b y +
∈，若
1a b x
y
+
=则有：(
)2
(
)ay bx x y x y a b x
y
+=++=++=
B8.求函数值域的常用方法： ①配方法：转化为二次函数问题，利用二次函数的特征来求解；
【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系.
②逆求法：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围，型如,(,)ax b y
x m n cx d
+=∈+的函数值域；
④换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；
⑤三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；
⑥
不等式法：利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如)0(>+
=k x
k x y ，解析式是积时要求和为定值，不过有时
须要用到拆项、添项和两边平方等技巧； ⑦单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解； ⑧数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；
⑨分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域．
⑩判别式法：对于形如2
1112222
a x
b x
c y a x b x c ++=
++（1a ,2a 不同时为0）的函数常采用此法．
【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：
1.2
b y k x
=+型，可直接用不等式性质；
2.2
bx
y x m x n
=++型，先化简，再用均值不等式； 3.2
2
x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；
4.2x m x n y mx n
''
++=
+型，可用判别式法或均值不等式法；
?导数法：一般适用于高次多项式函数求值域.
……
B9.函数值域的题型
(一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段.
常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号
函数.
(二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域.
解题步骤：(1)换元变形；
(2)求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3)画图像，定区间，截段。
(三) 分式函数求值域 ：四种题型
(1)cx d
y ax b
+=+ (0)a ≠ ：则c y a ≠且y R ∈.
(2)(2)cx d y x ax b
+=
≥+：利用反表示法求值域。先反表示，再利用x 的范围解不等式
求y 的范围. (3)2
2
23261
x x y x x +-=--：
(21)(2)21
()(21)(31)312
x x x y x x x x -+
+=
=≠-++ ，则1y 13y ≠≠且且y R ∈.
(4)求2
211
x y x x -=
++的值域，当x R ∈时，用判别式法求值域。
2
211
x y x x -=
++?2
(2)10yx y x y +-++=，2
(2)4(1)0y y y ?=--+≥?值域.
(四) 不可变形的杂函数求值域： 利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段.
判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解.
(五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域.
(六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围.
B10.应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：
?凑系数（乘、除变量系数）.例1.当 04x <<时，求函的数(82)y x x =-最大值.
?凑项（加、减常数项）：例2.已知54
x <
，求函数1()4245
f x x x =-+
-的最大值.
?调整分子：例3.求函数2
710
()(1)1
x x f x x x ++=
≠-+的值域；
?变用公式：基本不等
式
2
a b +≥
有几个常用变形：
22
2
a b ab +≥,
2
()2
a b ab +≥
2
a b +≥
，
2
2
2
(
)2
2
a b a b ++≥.前两个变形很直接，后两个变形则
不易想到，应重视；例4.
求函数15)2
2
y x =<<
的最大值；
?连用公式：例5.已知0a b >>，求216()
y a b a b =+-的最小值；
?对数变换：例6.已知1,12
x y >
>，且xy e =，求ln (2)
y
t x =的最大值；
?三角变换：例7.已知2
0y x
π
<<
≤，且tan 3tan x y =，求t x y =-的最大值；
?常数代换（逆用条件）：例8.已知0,0a b >>，且21a b +=，求11t a b
=+的最小
值.
B11.“单调性”补了“基本不等式”的漏洞：
?平方和为定值
若22x y a +=（a 为定值，0a ≠
），可设o s ,s i n ,x y αα=
=
，其中
02απ<≤.
①(,))4
f x y x y π
ααα=+=+=+
在15
[0,
],[,2)4
4
πππ上是
增函数，在1
5[,
]44
ππ上是减函数； ②1(,)sin 22
g x y xy a α==
在1357
[0,
],[,
],[,2)4
4
4
4
πππππ上是增函数，在
135
7
[,],[,]444
4
ππππ上是减函数；
③11(,)x y m x y x
y
xy
+=
+
=
=
令sin cos )4
t π
ααα=+=+
，
其中[1)(1,1)t ∈-- .由2
12sin cos t αα=+，得2
2sin cos 1t αα=-，从
而2
(,)1
)
m x y t t
=
=
-
在[1)(1,1)-- 上是减函数.
?和为定值
若x y b +=（b 为定值，0b ≠），则.y b x =-
①2
(,)g x y xy x bx ==-+在(,]2b -∞上是增函数，在[,)2
b
+∞上是减函数；
②2
11(,)x y b m x y x
y
xy
x bx
+=
+
=
=
-+.当0b >时，在(,0),(0,]2
b
-∞上是减函数，在
[,),(,)2
b b b +∞上是增函数；当0b <时，在(,),(,]2
b
b b -∞上是减函数，在[,0),(0,)2
b
+∞上
是增函数.
③2222(,)22n x y x y x bx b =+=++在(,]2
b -∞上是减函数，在[,)2
b
+∞上是增函数；
?积为定值
若xy c =（c 为定值，0c ≠），则.c y x =
①(,)c f x y x y x x
=+=+
.当0c >时，
在[,0),]上是减函数，
在
(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是增函数；
②111(,)()x y c m x y x x
y
xy
c
x
+=
+
=
=
+
.当0c >
时，在[0),(0,上是减函数，
在(,)-∞+∞上是增函数；当0c <时，在(,0),(0,)-∞+∞上是减函数； ③22
2
2
2
2
(,)()2c c n x y x y x x c x
x
=+=+
=+
-
在(,-∞上是减函数，
在
(,0,)
+∞上是增函数. ?倒数和为定值
若112x y d +=（d 为定值，111
,,x d y ），则.c y x =成等差数列且均不为零，可设
公差为z ，其中1z d
≠±，则
1111,
,z z x
d
y
d
=
-=
+得,.11d d x y dz
dz
=
=
-+.
①2
2
2()1d f x x y d z
=+=
-.当0d >时，在11(,),(,0]d d
-∞--上是减函数，在
11[0,
),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时，在11(,),(,0]d d
-∞上是增函数，在
11[0,),(,)d d
--
+∞上减函数；
②22
2
(,).1d
g x y xy d z
==
-.当0d >时，在11(,),(,0]d d
-∞-
-
上是减函数，在
11[0,
),(,)d d
+∞上是增函数；当0d <时，在11
(,),(,0]d
d
-∞上是减函数，在
11[0,),(,)d d
--
+∞上是增函数；
③222
2
2
2
2
2
2(1)(,).(1)
d d z n x y x y d z +=+=
-.令22
1t d z =+，其中1t ≥且2t ≠，从而
2
2
222(,)4(2)
4
d t d n x y t t t
=
=
-+
-在[1,2)上是增函数，在(2,)+∞上是减函数.
B 12.理解几组概念 *1. 广义判别式
设()f x 是关于实数x 的一个解析式， ,,c a b 都是与x 有关或无关的实数且0a ≠，则
2
40b ac ?=-≥是方程[]2
()()0a f x bf x c ++=有实根的必要条件，称“?”为广义判别
式.
*2. 解决数学问题的两类方法：
一是从具体条件入手,运用有关性质,数据,进行计算推导,从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构,找出某些本质属性,进行恰当的核算,从而使问题容易解决,这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数
设有两个独立的变量x 与y 在其给定的变域中D 中，任取一组数值时，第三个变量
Z 就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，
那末变量Z 称为变量x 与y 的二元函数.记作：(,)Z f x y =. 其中x 与y 称为自变量，函数Z 也叫做因变量，自变量x 与y 的变域D 称为函数的定义域.
把自变量x 、y 及因变量Z 当作空间点的直角坐标，先在xoy 平面内作出函数(,)Z f x y =的定义域D
；再过D 域中得任一点(,)M x y 作垂直于xoy 平面的有向线段
M P ，使其值为与(,)x y 对应的函数值Z ；
当M 点在D 中变动时，对应的P 点的轨迹就是函数(,)Z f x y =的几何图形.它通常是一张曲面，其定义域D 就是此曲面在xoy 平面上的投影.
*4. 格点
在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）.在数论中，有所谓格点估计问题.在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形.特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点
我们通常把间断点分成两类：如果0x 是函数()f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把0x 称为函数()f x 的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点
连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点.
如果()y f x =在区间(,)a b 内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定()y f x =的拐点.
(1)求()f x ''；
(2)令()0f x ''=，解出此方程在区间(,)a b 内实根； (3)对于(2)中解出的每一个实根0x ，检查
()f x ''在0
x 左、右两侧邻近的符号，
若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点. *7.驻点
曲线()f x 在它的极值点0x 处的切线都平行于x 轴，即0()0f x =.这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点(又称稳定点、临界点)；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性
定义在
D
上的函数()f x ，如果满足：对任意2,x x D ∈1的都有
2
2
1()
[()()]2
2x x f f x f x ++11≥，则称是()f x 上的凸函数.定义在D 上的函数如果满足：对任意的2,x x D ∈1都有
2
21()[()()]2
2
x x f f x f x ++11≤
，则称()f x D
是上的凹函数.
【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（上面不等式中的等号成立）. 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的.连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点.
B13. 了解几个定理
*1. 拉格朗日中值定理:
如果函数()y f x =在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，那末在(,)a b 内至少有一点c ，使()()()()f b f a b a f c '-=-成立.这个定理的特殊情形，即：()()f b f a =的情形.描述如下：
若()x ?在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()()a b ??=，那么在(,)a b 内至少有一点c ，使()0c ?'=成立.
*2. 零点定理：
设函数）（x f 在闭区间],[b a 上连续，且()()0f a f b ?＜．那么在开区间),(b a 内至少有函数)(x f 的一个零点，即至少有一点ξ（a ＜ξ＜b ）使0)(=ξf ．
*3. 介值定理：
设函数)(x f 在闭区间],[b a 上连续，且在这区间的端点取不同函数值，B b f A a f ==)(,)(，那么对于B A ,之间任意的一个数C ，在开区间),(b a 内至少有一点ξ，使得C f =)(ξ（a ＜ξ＜b ）．
*4. 夹逼定理：
设当00||x x δ-＜＜时，有()g x ≤()f x ≤)(x h ，且A x h x g x x x x ==→→)(lim )(lim 0
，则必
有.)(lim 0
A x f x x =→
【注】：0||x x -：表示以0x 为的极限，则||0x x -就无限趋近于零．（ξ为最小整数）
C 、10～12，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力
C1.线段的定比分点公式
设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点，λ是实数，且12P P PP λ=
（或
2λ
1
P 1
121
211x x x y y y λλ
λλ+?=??+?+?=?+?
?121O P O P O P λλ+=+ ?12
(1)OP t OP t OP =+- （11t λ=+） 推广
1：当1=λ时，得线段21P P 的中点公式：121222
y y y x x x +?
=???
+?=??
推广2λ
=则λ
λ++=
1PB PA PM
（λ对应终点向量）．
三角形重心坐标公式：△ABC 的顶点()()()332211,,,,,y x C y x B y x A ，重心坐标()y x G ,：
O
B
A
P
12312333x x x x y y y y ++?=???
++?=??
注意：在△ABC 中，若0为重心，则0=++OC OB OA ，这是充要条件．
【公式理解】：
*1.λ是关键(1λ≠-)
(内分) λ>0 (外分) λ<0 (λ<-1) (外分) λ<0 (-1<λ<0) 若P 与P 1重合，λ=0 P 与P 2重合，λ不存在 P 离P 2 P 1无穷远，λ=1- *2.中点公式是定比分点公式1λ=的特例；
*3.始点终点很重要，如若P 分21P P 的定比λ=2
1，则P 分12P P 的定比λ=2；
*4.12,,,x x x λ知三求一；
*5.利用λ有界性可求一些分式函数取值范围；
*6.OP ＝12OA OB λλ+
则121λλ+=是三点、、P A B 共线的充要条件.
C 2. 抽象函数
抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题.
求解抽象函数问题的常用方法是： (1)借助模型函数探究抽象函数：
①正比例函数型：()f x cx =?()()(),(1)f x y f x f y f c ±=±=.
②指数函数型：()x
f x a =?()()()
()()(),(1,)0f x f x y f y f x y f x f y f a -=
+==≠.
③对数函数型：
()log a f x x =?()()(),()()(),()1(0,1)x
f f x f y y f xy f x f y f a a a =-=+=>≠.
④幂函数型：()f x x α
=?()()(),(1)f xy f x f y f α'==,()(
)()
x f x f y
f y =
.
⑤三角函数型：
()cos f x x =,()sin g x x =,()()()()()f x y f x f y g x g y -=+,0
sin (0)1,lim
1x x f x
→==.
()f x tanx
=,
()()()1()()
f x f y f x y f x f y ++=
-.
（2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究： （3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x
=-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。
C 3.函数图像的对称性
(1)一个函数图像自身的对称性
性质1：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有的图像关
于直线2
a b x
+=对称.
?1P P 2P 1P 2P P ?2P 1P P ?
【注】：()()(0)f a mx f b mx m +=-≠亦然.
【特例】，当a b =时，()()()f a x f a x f x +=-?的图像关于直线x a =对称. 【注】：()(2)f x f a x =-亦然.
性质2：对于函数()y f x =，若存在常数,,a b 使得函数定义域内的任意x ，都有
()()f a x f b x +=-()f x ?的图像关于点(
,0)2
a b +对称.
【特例】：当a b =时，()()()f a x f a x f x +=--?的图像关于点(,0)a 对称. 【注】：()(2)f x f a x =--亦然.
事实上，上述结论是广义奇(偶)函数的性质.
性质3：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有
()()f a mx f b mx +=-(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于直线2
a b x +=
对
称.(这实际上是偶函数的一般情形)广义偶函数.
性质4：设函数()y f x =，如果对于定义域内任意的x ，都有
()()f a mx f b mx +=--(,,,0)a b m R m ∈≠且，则()y f x =的图像关于点(
2
a b +,0)对
称.(实际上是奇函数的一般情形)广义奇函数.
f x 如果把两个“f ”放在“=”的两边，则“f ”前的正负号也相异.因为对称性关乎翻转.
(2)两个函数图像之间的对称性
1.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0y =对称.
2.函数()y f x =与()y f x =-的图像关于直线0x =对称.
3.函数()y f x =与()y f x =--的图像关于原点(0,0)对称.
4.函数()y f x =与它的反函数1
()y f x -=的图像关于直线y x
=对称.
5.函数()y f a mx =+与()y f b mx =-的图像,,,0a b m R m ∈
≠()关于直线2b a x m
-=
对称.
特别地，函数()y f a x =+与()y f b x =-的图像关于直线2
b a x
-=
对称.
C4.几个函数方程的周期(约定0a ≠)
(1)若()()f x f x a =+，或
()()
2
2
a
f x f x a +
=-
，则()f x 的周期T
a
=；
(2)若()()0f x f x a ++=，或1()
()1()
f x f x a f x -+=
+，或()
()22f f
a a x x =-+
-
，或
()
()f
x a f
x a +=-，
或()
()
1
f x a f
x +=±
(()0)f x ≠，或()()
()f a x f a x f
x +=-??
?
为偶函数
，或()
()
()f a x f
a x f
x +=--??
?
为奇函数
，
或()()
()f a x f a x f x +=-???为偶函数
，
或[]1(),(()0,1)
2f x a f x +
+∈，则
()
f x 的周期
2T a
=；
(3)若
1()1(()0)
()
f x f x f x a =-
≠+，则()f x 的周期3T
a
=；
(4)若()()
()f a
x f a x f
x +=--??
?
为偶函数
，或()()
()f a
x f
a x f
x +=-??
?
为奇函数
，或()()f x a f
x a +=--，或
1()()1()
f x f x a f x -+=-+，或1()()1()
f x f x a f x ++=
-，或
121212()()
()1()()
f x f x f x x f x f x ++=
-?且
1212()1(()()1,0||2)f a f x f x x x a =?≠<-<，则()
f x 的周期4T
a
=；
(5)若()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ?+++++++()()(2)(3)(4)f x f x a f x a f x a f x a ????=++++，
则()f x 的周期5T a =；
(6)若()()()f x a f x f x a +=-+，则()f x 的周期6T a =.
【说明】函数()y f x =满足对定义域内任一实数x （其中a 为常数）,都有等式成立.上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.
C5.对称性与周期性的关系 定理1：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于直线x
a =和x
b =()a b ≠对称，则()f x 是
周期函数，且2a b -是它的一个周期.
推论1：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-及()()f b x f b x +=-()a b ≠，则()f x 是
以2a b -为周期的周期函数.
定理2：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点(,0)a 和直线x
b =()a b ≠对称，则()
f x 是周期函数，且4a b -是它的一个周期.
推论2：若函数()f x 满足()()f a x f a x +=--及()()f b x f b x +=--()a b ≠，则
()
f x 是以4a b -为周期的周期函数.
定理3：若定义在R 上的函数()f x 的图像关于点0(,)a y 和0(,)b y ()a b ≠对称，则()
f x 是周期函数，且2a b -是它的一个周期.
推论3：若函数()f x 满足0()()2f a x f a x y -++=及
0()()2f b x f b x y -++=()a b ≠，则()f x 是以2a b -为周期的周期函数.
C6.
C7.函数周期性、对称性与奇偶性的关系
1、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以
2T a =为周期的周期函数，且是偶函数.
2、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于直线x a =和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以
4T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
3、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和直线2x a =对称,即对于任意的实数x ,函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=+，则函数()f x 是以
4T a =为周期的周期函数，且是偶函数.
4、定义在R 上的函数()f x ,若同时关于点(,0)a 和点(2,0)a 对称,即对于任意的实数x ,
函数()f x 同时满足()()f a x f a x -=-+，(2)(2)f a x f a x -=-+，则函数()f x 是以
2T a =为周期的周期函数，且是奇函数.
5、若偶函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足
()()f a x f a x -=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
6、若偶函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足
()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. 7、若奇函数()f x 关于直线x a =对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足
()()f a x f a x -=+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数. 8、若奇函数()f x 关于点(,0)a 对称，即对于任意的实数x ,函数()f x 满足
()()f a x f a x -=-+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数.
【拓展】：
1、若函数()y f x a =+为偶函数，则函数)(x f y =的图像关于直线x a =对称.
2、若函数()y f x a =+为奇函数，则函数)(x f y =的图像关于点(,0)a 对称.
3、定义在R 上的函数()f x 满足()()f a x f a x -=+，且方程()0f x =恰有2n 个实根，则这2n 个实根的和为2na .
4、定义在R 上的函数)(x f y =满足()()(,,)f a x f b x c a b c ++-=为常数，则函数
)(x f y =的图像关于点(
,)22
a b c
+对称.
C8.关于奇偶性与单调性的关系.
① 如果奇函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间
(),0-∞上也是递增的;
② 如果偶函数)(x f y =在区间()0,+∞上是递增的,那么函数)(x f y =在区间
(),0-∞上是递减的;
【思考】：结论推导 C7.原函数与反函数
原函数()()y f x x A =∈，对应的反函数为1
()()y f x x B -=∈ (1) 原函数与反函数互为反函数，反函数的定义域和值域分别是原函数的值域和定义域. 【理解】：
①设()f x 的定义域为A ，值域为B ，那么，对应的反函数1
()y f x -=定义域为B ，值域为A .
②一般地，如果函数)(x f y =有反函数，且b a f =)(，那么a b f =-)(1．这就是说点（b a ,）在函数)(x f y =图像上，那么点（a b ,）在函数)(1x f y -=的图像上．
③()y f x =与1
()y f x -=互为反函数.即，函数()y f x =的反函数是1
()y f
x -=，函数
1
()y f
x -=的反函数是()y f x =.
②函数()y f x =的图像与其反函数1
()()x y f y ?-==的图像相同. (2)性质：
①原函数()y f x =的图像与其反函数1
()y f x -=的图像关于直线y x =对称. ②在定义域上,只有单调函数才有反函数，并且单调函数必有反函数.
【注意】：*1.对连续函数而言，只有单调函数才有反函数，单调函数必有反函数，但并非反函数存在时一定是单调的．且非连续的非单调函数也可能有反函数；
*2.周期函数不存在反函数，定义域为非单元素集的偶函数也不存在反函数； ③互为反函数的两个函数在各自的定义域具有相同的单调性；
设函数y = f （x ）定义域，值域分别为X 、Y ．如果y = f （x ）在X 上是增（减）函数，那么反函数)(1x f y -=在Y 上一定是增（减）函数，即互为反函数的两个函数增减性相同．
【注意】函数()y f x =的图像与其反函数1
()
y f x -=的图像的交点位置.
当它们是递增时，交点在直线y x =上；当它们递减时，交点可以不在直线y x =上，并且交点个数
不定.
④如果一个函数有反函数且为奇函数，那么它的反函数也为奇函数； ⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1[()]()f f x x x B -=∈，1[()]()f f x x x A -=∈； 【注意】：()()1
1
,f f
x f x --??≠
?
?()(){
}
1
1
f
g x f g x --≠
????????
，如
()()1
11f
x f x -+≠+的反函数；
⑥若函数)(b kx f y +=存在反函数，则其反函数为1
1[()]y f
x b k -=
-，并不是
1
()y f
kx b -=+，而函数1
()y f
kx b -=+是1[()]y f x b k
=
-的反函数；
C 9.几何体中数量运算导出结论
数量运算结论涉及到几何体的棱、侧面、对角面、截面等数量关系及几何性质. 1.在长方体(,,)a b c 中：
①体对角线长为2
2
2
c b a ++
，外接球直径2R =
②棱长总和为4()a b c ++；
③全(表)面积为2()ab bc ca ++，体积V abc =；
④体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=1，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=2.
⑤体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为,,,γβα则有
cos 2α+cos 2β+cos 2γ=2，sin 2α+sin 2β+sin 2γ=1.
2.在正三棱锥中：①侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)?顶点在底上射影为底面外心；②侧棱两两垂直(两对对棱垂直)?顶点在底上射影为底面垂心；③斜高长相等(侧面与底面所成角相等)且顶点在底上在底面内?顶点在底上射影为底面内心.
3.在正四面体中：设棱长为a ，则正四面体中的一些数量关系：
①全面积2
S =
；②体积3
12
V =
；③对棱间的距离2
d a =
；
④相邻面所成二面角1
3
arccos α=
；⑤外接球半径4
R a =
；⑥内切球半径12
r a =；
⑦正四面体内任一点到各面距离之和为定值3
h =.
4.在立方体中：
设正方体的棱长为a ，则
①体对角线长为a 3，②全面积为26a ，③体积3V a =，④内切球半径为1r ,外接球半径为2r ,与十二条棱均相切的球半径为3r ,则
12r a =
,22r =
,22r =,
且1231r r r =::【点拨】：立方体承载着诸多几何体的位置关系特征，只要作适当变形，如切割、组合、扭转等处理，便可产生新几何体.貌似新面孔，但其本原没变.所以，在求解三棱椎、三棱柱、球体等问题时，如果一般识图角度受阻，不妨尝试根据几何体的结构特征，构造相应的“正方体”，将问题化归到基本几何体中，会有意想不到的效果.
5.在球体中：
球是一种常见的简单几何体．球的位置由球心确定，球的大小仅取决于半径的大小．球包括球面及球面围成的空间区域内的所有的点．球面是到球心的距离等于定长(半径) 的点的集合．
球的截面是圆面，其中过球心的截面叫做大圆面．球面上两点间的距离，是过这两点的大圆在这两点间的劣弧长，计算球面距离的关键是“根据已知经纬度等条件，先寻求球面上两点间的弦长”，因为此弦长既是球面上两点间的弦长，又是大圆上两点间的弦长． 球心和截面圆的距离d 与球的半径R 及截面圆半径r
之间的关系是r =掌握球面上两点A 、B 间的距离求法：
?计算线段AB 的长；?计算球心角AO B ∠的弧度数；?用弧长公式计算劣弧AB 的长.
【注】：“经度是…小小半径所成角?，纬度是…大小半径的夹角?”.
【补充】： 一、四面体．
1．对照平面几何中的三角形，我们不难得到立体几何中的四面体的类似性质：
①四面体的六条棱的垂直平分面交于一点，这一点叫做此四面体的外接球的球心；
arccos
C
B
2020高考数学核心考点解题方法与策略
免费下载站 2020-06-04原文 一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键。 二、解题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而表现在数学试卷上显得更为重要。一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答题卷上。多写不会扣分，写了就可能得分。 （1）直接法 直接法在选择题中的具体应用就是直接从题设条件出发，利用已知条件、相关概念、性质、公式、公理、定理、法则等基础知识，通过严谨推理、准确运算、合理验证，从而直接得出正确结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，从而确定正确的选择支．这类选择题往往是由计算题、应用题或证明题改编而来，其基本求解策略是由因导果，直接求解．
由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以常用到直接法进行求解.直接法是解决选择、填空题最基本的方法，适用范围广，只要运算正确必能得到正确答案，解题时要多角度思考问题，善于简化运算过程，快速准确得到结果. 直接法具体操作起来就是要熟悉试题所要考查的知识点，从而能快速找到相应的定理、性质、公式等进行求解，比如，数列试题，很明显能看到是等差数列还是等比数列或是两者的综合，如果是等差数列或等比数列，那就快速将等差数列或等比数列的定义（或）、性质（若，则或）、通项公式（或）、前n项和公式（等差数列、，等比数列）等搬出来看是否适用；如果不能直接看出，只能看出是数列试题，那就说明，需要对条件进行化简或转化了，也可快速进入状态. （2）排除法 排除法是一种间接解法，也就是我们常说的筛选法、代入验证法，其实质就是舍弃不符合题目要求的选项，找到符合题意的正确结论．也即通过观察、分析或推理运算各项提供的信息，对于错误的选项，逐一剔除，从而获得正确的结论．具体操作起来，我们可以灵活应用，合理选取相应选项进行快速排除，比如，可以把一些简单的数代入，符合条件的话就排除不含这个数的范围选项，不符合条件的话就排除含这个数的范围选项，即：如果有两个选项A（）、B（），你就可以选取1这个数看是否符合题意，如果1符合题意，你就排除B，如果1不符合题意，你就排除A，这样就能快速找到正确选项，当然，选取数据时要考虑选项的特征，而不能选取所有选项都含有或都不含有的数；也可以根据各个选项对熟悉的知识点进行论证再排除，比如，四个选项当中有四个知识点，你就可以把熟悉掌握的知识点进行论证，看是否符合题意即可快速而且正确找到选项，而不会因为某个知识点不会或模棱两可得到错误选项. 而历年高考的选择题都采用的是“四选一”型，即选择项中只有一个是正确的，所以排除法是快速解决部分高考选择试题从而节省时间的有效方法.那对于填空题呢，其实也是可以的，比如有些填空题如果你已经求出了结果，但并不确定这个结果中的某个端点值是否要取，你就可以代入验证进行排除.所以，我们要熟练掌握这种能帮助你快速找到正确结论的方法，从而提高解题效率，为后面的试题解答留有更充足的时间！ （3）特例法
2012年高考数学二轮精品复习资料 专题04 三角函数(教师版)
2012届高考数学二轮复习资料 专题四 三角函数（教师版） 【考纲解读】 1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切）的定义. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出 2 πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱导公 式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2 x+cos 2 x=1, sin tan cos x x x =. 3.能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(- 2π,2 π )内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义；能画出sin()y A x ω?=+的图象，了解 ,,A ω?对函数图象变化的影响. 5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系. 6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆). 【考点预测】 从近几年高考试题来看，对三角函数的考查：一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用，一般占两个小题；二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、 sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题 等. 预测明年，考查形式不变，选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主，解答题将会以向量为载体，考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合，以小型综合题形式出现. 【要点梳理】 1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质；和、差、倍角公式，正、余弦定理及其变形公式.
2019届高三数学第三次模拟考试题(四)理
1 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（四） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i 1i +等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ． π6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 3．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a = ，b =， π 6A =，则B =（ ） A ． π6 B ． π3 C ． π6或5π6 D ． π3或2π 3 4．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八 卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ） A ． 328 B ． 332 C ． 532 D ． 556 5．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ） A ．24 π + B ．12 π- C ．14π- D ．13 6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ） A ．12k ≤ B ．11k ≤ C ．10k ≤ D ．9k ≤ 7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ． C ．D ．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A B C ．13 D ． 3 10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单 价的910．若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2012年北京市高考数学理科试卷及答案解析
2012北京理科高考试卷及答案解析精校版 一、选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．已知集合A={x ∈R ｜3x+2>0﹜，B={x ∈ R ｜(x+1)(x-3)>0﹜则A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣1） B.｛21,3-- ｝ C. ﹙2 ,33 -﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组02 02x y ≤≤?? ≤≤? 表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A.4π B.22π- C.6 π D. 44π- 3.设,a b R ∈.“0a =”是‘复数a bi +是纯虚数”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∟ACB=90o，CD ⊥AB 于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E.则（ ） A. CE ·CB=AD ·DB B. CE ·CB=AD ·AB C. 2AD AB CD = D.2 CE EB CD = 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ） A.28+ B. 30+ C.56+ D.60+ 8.某棵果树前n 前的总产量S 与看，前m
A.5 B.7 C.9 D.11 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线21x t y t =+?? =--? (t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α=??=? (α为参数)的交点个数为 10.已知{}n a 等差数列n S 为其前n 项和，若11 2 a =，23S a =，则2a = ，n S = 11.在△ABC 中，若2a =，7b c +=，1 cos 4 B =-，则b = 12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60o.则OAF 的面积为 13.己知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点.则DE CB 的值为 14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若同时满足条件：①x R ?∈，有()0f x <或 ()0g x <；②(,4)x ?∈-∞-，使得()()0f x g x < 则m 的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -= 。（1）求f （x ）的定义域及最小正周期；（2） 求f （x ）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt △ABC 中，∟C=90°，BC=3，AC=6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∠BC ，DE=2，将△ADE 沿DE 折起到△A1DE 的位置，使A1C ⊥CD,如图2. （1）求证：A1C ⊥平面BCDE ； （2）若M 是A1D 的中点，求CM 与平面A1BE 所成角的大小； （3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A1DP 与平面A1BE 垂直？ 说明理由 17．（本小题共13分） 近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活 图2 图1 A C C B
2019年高考数学模拟试题含答案
F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?=
A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是
2020年高考数学应试技巧
2020年高考数学应试技巧 高考数学不仅是数学知识的较量，也是考生心理素质和考试技巧的比拼。下面是小编为大家整理的关于2020年高考数学应试技巧，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 想要在高考中取得好成绩，不仅取决于掌握扎实的数学基础知识、熟练的基本技能和出色的解题能力，还取决于考前的身体状况、心理状况和临场发挥。考前一个月精神要集中，心态要平和，要自信，学会自我暗示，用积极的态度做好应考准备。 这一段时间一定要做几份模拟试卷，但也不应把大量精力放在做模拟卷上，切忌由于对自己不放心，总想多做几套，打疲劳战肯定得不偿失。但每当做一份模拟试卷都应以高考的态度来对待，养成良好的考试习惯，做到以下几点： 1、通览全卷，迅速摸透“题情” 拿到试卷，先浏览一下，看看考卷一共几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。 2、明确答题目标、把握好答题顺序、控制好答题时间 (1)立足中下题目，力争高水平 平时做作业，都是按所有题目来完成的，但高考却不然，只有个别的同学能交满分卷，因为时间和个别题目的难度都不允许多数学生去做完、做对全部题目，所以在答卷中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，是试题的主要构成，是考生得分的主要来源。学生能拿下这些题目，实际上就是数学科打了个胜仗，有了胜利在握的心理，对攻克高档题会更放得开。 (2)从卷首开始依次做题 一般来说，全卷大致是先易后难的排列，所以，正确的做法是从卷首开始依次做题，先易后难，最后攻坚。一般卷末的题比较难，除了个别水平特别高的学生，都没有做好该题的把握。如果先做难题，很可能花了不少时间，也没有把这个题满意地做完。你这时的思绪多半已经被搅得很乱，又由于花了不少时间，别的题一点没有做，难免心里发慌，以慌乱之心做前面的题，效果也会大打折扣。但也不是坚决地“依次”做题，一份高考试卷，虽然大致是先易后难，但试卷前部特别是中间出现难题也是常见的，执着程度适当，才能绕过难题，先做好有保证的题，才能尽量多得分。
2012年北京市高考数学试卷(文科)答案与解析
2012年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）（2012?北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B= ）， } } 2．（5分）（2012?北京）在复平面内，复数对应的点的坐标为（） =，能求出在复平面内，复数对应的点的坐标．= =1+3i ∴在复平面内，复数对应的点的坐标为（ 3．（5分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）
B =4 4．（5分）（2012?北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）
5．（5分）（2012?北京）函数f（x）=的零点个数为（） （ 在定义域上为增函数， 在定义域上为增函数 ＞ 的零点个数为
，当且仅当 所以 ， ，∴ 7．（5分）（2012?北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（） 8+60+66+120+12 = ，
=10 =6 ． 8．（5分）（2012?北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）（2012?北京）直线y=x被圆x2+（y﹣2）2=4截得的弦长为．
的距离为 2 故答案为： 10．（5分）（2012?北京）已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1=，S2=a3，则a2= 1，S n=． = +=1 = 11．（5分）（2012?北京）在△ABC中，若a=3，b=，，则∠C的大小为． =，可求得∠ b=，
2012年湖北高考理科数学试题及答案word版
2012年湖北高考理科数学试题及答案 2012年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷） 数学（理工类） 本试卷共5页，共22题，其中第15、16题为选考题，满分150分。考试用时120分钟。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1. 方程2x+6x +13 =0的一个根是 A -3+2i B 3+2i C -2 + 3i D 2 + 3i 2 命题“?x0∈C R Q，30x∈Q ”的否定是 A ?x0?C R Q，30x∈Q B ?x0∈ C R Q ，30x?Q C ?x0?C R Q ，30x∈Q D ?x0∈C R Q ，30x?Q 3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示，则它与X轴所围图形的面积为 A.2 5 π B. 4 3 C. 3 2 D. 2 π 4.已知某几何体的三视图如图所示，则该集合体的体积为 A. 8 3 π B.3π C. 10 3 π D.6π
5.设a∈Z，且0≤a≤13，若512012+a能被13整除，则a= A.0 B.1 C.11 D.12 6.设a,b,c,x,y,z是正数，且a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40,ax+by+cz=20,则a b c x y z ++ = ++ A. 1 4 B. 1 3 C. 1 2 D, 3 4 7.定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f（a n）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”。现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下 函数：①f（x）=x2；②f（x）=2x；③；④f（x）=ln|x |。 则其中是“保等比数列函数”的f（x）的序号为 A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 8.如图，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆。在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是 A. B. C. D. 9.函数f（x）=xcosx2在区间[0,4]上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.7 10.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式 。人们还用过一些类似的近似公式。根据π=3.14159…..判断，下列近似公式中最精确的一个是 二、填空题：本大题共6小题，考试共需作答5小题，每小题5分，共25分。请将答案填在答题 ．． 卡对应题号 ．．．．．的位置上。答错位置，书写不清，模棱两可均不得分。 （一）必考题（11-14题） 11.设△ABC的内角A，B，C，所对的边分别是a，b，c。若（a+b-c）（a+b+c）=ab， 则角C=______________。 12.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果s=___________.
2019-2020高考数学模拟试题含答案
2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）
2020高考数学应试策略
2020高考数学应试策略 高考数学应试策略 一、提前进入“角色” 高考前一个晚上睡足八个小时,早晨吃好清淡早餐,按清单带齐一切用具,提前半小时到达考区,一方面可以消除紧张、稳定情绪、从 容进场,另一方面也留有时间提前进入“角色”——让大脑开始简单 的数学活动,进入单一的数学情境。如: 1.清点一下用具是否带齐(笔、橡皮、作图工具、身分证、准考 证等,用具由省考试院统一发放)。 2.把一些基本数据、常用公式、重要定理在脑子里“过过电影”。 3.最后看一眼难记易忘的知识点。 4.互问互答一些不太复杂的问题。 二、精神要放松,情绪要自控 最易导致紧张、焦虑和恐惧心理的是入场后与答卷前的“临战”阶段,此时保持心态平衡的方法有三种: ①转移注意法:避开临考者的目光,把注意力转移到某一次你印象较深的数学模拟考试的评讲课上,或转移到对往日有趣、滑稽事情的 回忆中。 ②自我安慰法:如“我经过的考试多了,没什么了不起”,“考试,老师监督下的独立作业,无非是换一换环境”等。 ③抑制思维法:闭目而坐,气贯丹田,四肢放松,深呼吸,慢吐 气,(最好默念几遍:“阿弥陀佛或祖先保佑”呵呵,还真的管用)如此 进行到发卷时。 三、迅速摸透“题情”
刚拿到试卷,一般心情比较紧张,不忙匆匆作答,可先从头到尾、 正面反面通览全卷,尽量从卷面上获取最多的信息,为实施正确的解 题策略作全面调查,一般可在十分钟之内做完三件事: 1.顺利解答那些一眼看得出结论的简单选择或填空题(建议第一 题做两遍,直至答案一致为止,一旦解出,情绪立即会稳定)。 2.对不能立即作答的题目,可一面通览,一面粗略分为甲、已两类:甲类指题型比较熟悉、估计上手比较容易的题目,乙类是题型比较陌生、自我感觉比较困难的题目。 3.做到三个心中有数:对全卷一共有几道大小题有数,防止漏做题,对每道题各占几分心中有数,大致区分一下哪些属于代数题,哪些属 于三角题,哪些属于综合型的题。 通览全卷是克服“前面难题做不出,后面易题没时间做”的有效 措施,也从根本上防止了“漏做题”。 四、信心要充足,暗示靠自己 答卷中,见到简单题,要细心,不要忘乎所以,谨防“大意失荆州”。面对偏难的题,要耐心,不能急。考试全程都要确定“人家会的我也会,人家不会的我也会”的必胜信念,使自己始终处于最佳竞技状态。 五、三先三后 在通览全卷、并作了简单题的第一遍解答后,情绪基本趋于稳定,大脑趋于亢奋,此后七八十分钟内就是最佳状态的发挥或收获丰硕果 实的黄金季节了。实践证明,满分卷是极少数,绝大部分考生都只能 拿下部分题目或题目的部分得分。因此,实施“三先三后”及“分段 得分”的考试艺术是明智的。 1.先易后难。就是说,先做简单题,再做复杂题;先做甲类题,再做乙类题。当进行第二遍解答时(通览并顺手解答算第一遍),就无需拘 泥于从前到后的顺序,应根据自己的实际,跳过啃不动的题目,从易到难。
2012年北京高考数学真题及答案(文科)
绝密★使用完毕前 2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学（文）（北京卷） 本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 （1）已知集合{ A x =∈R|320} x+>，{ B x =∈R|(1)(3)0} x x +->，则A B= I （A）(,1) -∞-（B） 2 (1,) 3 --（C） 2 (,3) 3 -（D）(3,) +∞ （2）在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为 （A）(1,3)（B）(3,1)（C）(1,3) -（D）(3,1) - （3）设不等式组 2, 2 x y ? ? ? ≤≤ ≤≤ 表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐 标原点的距离大于2的概率是 （A）π 4 （B） π2 2 - （C） π 6 （D） 4π 4 - （4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为 （A）2 （B）4 （C）8 （D）16 数学（文）（北京卷）第 1 页（共10 页）
数学（文）（北京卷） 第 2 页（共 10 页） （5）函数()12 1()2 x f x x = -的零点个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （6）已知{}n a 为等比数列．下面结论中正确的是 （A ）13a a +≥22a （B ）2213a a +≥222a （C ）若13a a =，则12a a = （D ）若31a a >，则42a a > （7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的 表面积是 （A ）28+ （B ）30+（C ）56+（D ）60+ （8）某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系 如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为 （A ）5 （B ）7 （C ）9 （D ）11 正（主）视图 侧（左）视图 俯视图 4 2 3 4
彭春波：高考数学有哪些应试技巧
一、历年高考数学试卷的启发 1.试卷上有参考公式，80%是有用的，它为你的解题指引了方向； 2.解答题的各小问之间有一种阶梯关系，通常后面的问要使用前问的结论。如果前问是证明，即使不会证明结论，该结论在后问中也可以使用。当然，我们也要考虑结论的独立性； 3.注意题目中的小括号括起来的部分，那往往是解题的关键； 如果大家还有关于数学或者其他科目不明白的，没有学习方法，我整理了《高考九大科目答题技巧》视频，大家可以领一份看看，里面讲解的很详细。同学们放心领，不要钱的！当然，如果有什么学习上的困惑，可以和我说，希望能用过来人的经验，给大家一些建议！私信回复：“九大科”，即可领取。 二、答题策略选择 1.先易后难是所有科目应该遵循的原则，而数学卷上显得更为重要。 一般来说，选择题的后两题，填空题的后一题，解答题的后两题是难题。当然，对于不同的学生来说，有的简单题目也可能是自己的难题，所以题目的难易只能由自己确定。一般来说，小题思考1分钟还没有建立解答方案，则应采取“暂时性放弃”，把自己可做的题目做完再回头解答； 2.选择题有其独特的解答方法，首先重点把握选择支也是已知条件，利用选择支之间的关系可能使你的答案更准确。切记不要“小题大做”。 注意解答题按步骤给分，根据题目的已知条件与问题的联系写出可能用到的公式、方法、或是判断。虽然不能完全解答，但是也要把自己的想法与做法写到答卷上。多写不会扣分，但写了就可能得分。 三、答题思想方法 1.函数或方程或不等式的题目，先直接思考后建立三者的联系。首先考虑定义域，其次使用“三合一定理”。 2.如果在方程或是不等式中出现超越式，优先选择数形结合的思想方法； 例题：方程sinx=lgx的根的个数为：（） A1个B2个C3个D4个 3.面对含有参数的初等函数来说，在研究的时候应该抓住参数没有影响到的不变的性质。如所过的定点，二次函数的对称轴或是…… 4.选择与填中出现不等式的题目，优选特殊值法。 5.求参数的取值范围，应该建立关于参数的等式或是不等式，用函数的定义域或是值域或是解不等式完成，在对式子变形的过程中，优先选择分离参数的方法。 6.恒成立问题或是它的反面，可以转化为最值问题，注意二次函数的应用，灵活使用闭区间上的最值，分类讨论的思想，分类讨论应该不重复不遗漏。 7.圆锥曲线的题目优先选择它们的定义完成，直线与圆锥曲线相交问题，若与弦的中点有关，选择设而不求点差法，与弦的中点无关，选择韦达定理公式法；使用韦达定理必须先考虑是否为二次及根的判别式。 8.求曲线方程的题目，如果知道曲线的形状，则可选择待定系数法，如果不知道曲线的形状，则所用的步骤为建系、设点、列式、化简（注意去掉不符合条件的特殊点）。 9.求椭圆或是双曲线的离心率，建立关于a、b、c之间的关系等式即可；回忆椭圆离心率公式：回忆双曲线离心率公式；。 10.三角函数求周期、单调区间或是最值，优先考虑化为一次同角弦函数，然后使用辅助角公式解答；解三角形的题目，重视内角和定理的使用；与向量联系的题目，注意向量角的范围。 11.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法；注意归纳、猜想之后证明；猜
2012年高考数学理(北京卷)含答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试 数学(理)(北京卷) 本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分(选择题共40分) 选择题共8小题。每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( ) A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-?｝ C. ﹙﹣?，3﹚ D.（3，＋∝） 2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（） A. B. C. D. 3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（） A. 2 B .4 C.8 D. 16 5.如图. ∠ACB=90o。CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC 交于点E.则( ) A. CE·CB=AD·DB B. CE·CB=AD·AB C. AD·AB=CD 2 D.CE·EB=CD 2 6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 7.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（） A. 28+6
B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 8.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系 如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年 平均产量最高。m值为（） A.5 B.7 C.9 D.11 第二部分(非选择题共110分) 二.填空题共6小题。每小题5分。共30分. 9.直线(t为参数)与曲线(“为多α数)的交点个数为 10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则= 11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b= 12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A 在x轴上方。若直线l的倾斜角为60o.则△OAF的面积为 13.己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则.的值为 14.已知f(x)=m(x-2m)（x+m+3）,g(x)=-2，若同时满足条件： ①x∈R，f(x) ＜0或g(x) ＜0 ②x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) ＜0 则m的取值范围是 三、解答题公6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（本小题共13分） 已知函数。 求f（x）的定义域及最小正周期； 求f（x）的单调递增区间。 16. （本小题共14分） 如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥
2019年高考数学模拟试题(含答案)
2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他
十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥
2021年高考数学应试技巧及答题策略总结
高考数学应试技巧及答题策略总结 很多数学成绩不好或是基础差的同学都没有一个好的学习习惯。良好的学习习惯会让你的学习感到有序和轻松， 高考数学应试技巧及答题策略 1学好数学的几点建议 学数学没有捷径，只能踏踏实实做题，把每一种类型题都做会了，那么数学才有可能学好。在高中，没有必要去买数学辅导资料，只要把教材看透了，就能学好数学。课本怎么看?老师讲课之前看，看完例题做课后习题，把教材提前学会了。上课干什么?老师讲课还需认真听，然后再理解一遍，把定理、公式、定义等都背下来。当然，数学书不止看一遍，当做题不会时，还需要翻阅，当考试前也可以复习课本，平时还可以去看。 数学光看书还远远不够，做题才是根本。课后练习册、数学卷子每道题都要认真去做，遇到不会的题目想方设法去解，实在做不出来了划重点，等课上重点去听，课下自己再重新做一遍，隔几天再拿出来做一遍。 上数学课也是要做笔记的，做笔记能够让你复习时思路更清晰，看书时重点更明确，而且一些重要的东西书上往往没有，只有在笔记上才会有所体现，所以笔记要好好整理。但是，做笔记不能影响听课效果，如果跟不上可以课后借同学的抄。 2怎么才能学会数学这科
数学固然是比较难的，但只要有心就能学会数学。数学难度是逐渐递增的，课堂上讲的知识点比较浅，同学们做起来也比较容易，可是卷子上的题目就会难上很多，这时也不要急，因为它们都是由最基础的题目演变来的，所以只要会公式，再加以变形推导，就可能得出答案。 同学们要做的就是善于思考，学会举一反三，知道一个题目怎么做以后，尝试去做更多的题目，学数学慢慢由浅入深把它都学会。学数学要有征服感、有成就感，不要看到几道不会的题目就心灰意冷、就想要放弃，其实闯过去了就会豁然开朗。 3数学怎么考到130分 数学要想考到130左右，基础必须很牢，填空、选择题几乎不出现错误，最多也就是错1-2道，大题最后一两道允许不会，但是第一问也要会做，其他题目就不能再马虎了，否则130分就真的达不到了。 要想达到这种水平确实不容易，这类学生对数学一般都很喜欢，每天都在研究数学怎么做，所以不喜欢数学的人很难做到这一点。数学差，首先要培养数学学习兴趣。学数学就要先把最基本的知识学会的，保证基础题目不出错，简单题不丢分。 数学没有捷径，就是课前做好预习、做例题、做好相应课后习题，课上依然认真听讲，课后还要认真做数学作业。我自认为个人比较笨，所以用最笨的方法把数学学的最好。做题时不会也不要放弃，按照公式去尝试求解，会一步写一步，或许就有答案了。 4数学怎么才能学好
2012高考北京理科数学试题及答案(高清版)
2012年普通高等学校夏季招生全国统一考试 数学理工农医类(北京卷) 本试卷共150分．考试时长120分钟． 第一部分(选择题共40分) 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝() A．(－∞，－1) B．{－1， 2 3 -} C．( 2 3 -，3) D．(3，＋∞) 2．在复平面内，复数10i 3i+ 对应的点的坐标为() A．(1,3) B．(3,1) C．(－1,3) D．(3，－1) 3．设a，b∈R，“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的() A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为() A．2 B．4 C．8 D．16 5．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则() A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 6．从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为() A．24 B．18 C．12 D．6 7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()
A ．28+ B ．30+ C ．56+ D ．60+8．某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为( ) A ．5 B ．7 C ．9 D ．11 第二部分(非选择题 共110分) 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．直线2,1x t y t =+??=--?(t 为参数)与曲线3cos 3sin x y α α =??=?(α为参数)的交点个数为________． 10．已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若11 2 a =，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________． 11．在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，1 cos 4 B =- ，则b ＝________． 12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线 y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方．若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________． 13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ?的值为________， DE DC ?的最大值为________． 14．已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2．若同时满足条件： ①x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0． 则m 的取值范围是________． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．已知函数(sin cos )sin2()sin x x x f x x -= ． (1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递增区间． 16．如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2．
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