2012年全国高考1卷理科数学试题及答案

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学 第I 卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =，{(,)|,,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈，则B 中所含元素的个数为 （A ） 3 （B ） 6 （C ） 8 （D ） 10

（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组有1

名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有

（A ） 12种 （B ） 10种 （C ） 9种 （D ）8种 （3）下面是关于复数2

1z i

=

-+的四个命题 1p ：||2z = 2p : 22z i = 3p :z 的共轭复数为1i + 4p ：z 的虚部为1-

其中真命题为

(A ) 2p , 3p （B ） 1p , 2p （C ） 2p ，4p （D ） 3p , 4p

（4）设12,F F 是椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点，P 为

直线32

a x =

上的一点，21F PF ?是底角为30

的等腰三角形，则 E 的离心率为

(A) 12 (B) 23 (C) 34 (D) 45

（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=

(A) 7 (B) 5 (C) 5- (D) 7- （6）如果执行右边的程序图，输入正整数(2)N N ≥

和实数

12,,...,N a a a 输入,A B ,则 (A)A B +为12,,...,N a a a 的和 （B ）

2

A B

+为12,,...,N a a a 的算式平均数

（C ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最大的数和最小的数

（D ）A 和B 分别是12,,...,N a a a 中最小的数和最大的数

（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某

几何体的三视图，则此几何体的体积为

（A ）6 (B)9 （C ）12 （D ）18

（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线216y x =的准线交于,A B 两点，

||AB =C 的 实轴长为

（A （B ）（C ）4 （D ）8

（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x π

ω=+

在,2ππ??

???

单调递减，则ω的取值范围 (A) 15[,]24 (B) 13[,]24 (C) 1

(0,]2

(D)(0,2]

（10）已知函数1

()ln(1)f x x x

=

+-，则()y f x =的图像大致为

（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为O

的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为

(A)

6 (B)6 (C)3 (D)2

（12）设点P 在曲线12

x

y e =

上，点Q 在曲线ln(2)y x =上，则||PQ 的最小值为

(A)1ln 2-ln 2)- (C)1ln 2+ln 2)+

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22题~第24题为选考题，考试依据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）已知向量,a b 夹角为45

°，且||1,|2|a a b =-=

b = ____________.

（14）设,x y 满足约束条件1,3,0,0,

x y x y x y -≥-??+≤?

?≥??≥?则2z x y =-的取值范围为__________.

（15）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件

正常工作，则部件正常工作。设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布

2

(1000,50)N ，且各个元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的

概率为

_________________.

(16)数列{}n a 满足1(1)21n n n a a n ++-=-，则{}n a 的前60项和为________.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

已知,,a b c 分别为ABC ?的三个内角,,A B C

的对边，cos sin 0a C C b c --=. （Ⅰ）求A ；

（Ⅱ）若2a =，ABC ?

,b c .

（18）（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理.

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：枝，

n N ∈）的函数解析式;

（Ⅱ）花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.

（ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列、数学期望及方差；

（ⅱ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由.

（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，11

2

AC BC AA ==，D 是棱1AA 的中点，1DC BD ⊥。 （1） 证明：1DC BC ⊥；

（2） 求二面角11A BD C -- 的大小.

（20）（本小题满分

12分）

设抛物线2

2(0)C x py p =>：的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于,B D 两点.

（1） 若90BFD ∠=

，ABD ?的面积为p 的值及圆F 的方程；

（2） 若,,A B F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 之有一个公共点，求坐标原点到

,m n 距离的比值.

（21）（本小题满分12分） 已知函数()f x 满足1

2

1()(1)(0)2

x f x f e

f x x -='-+

. （1） 求()f x 的解析式及单调区间； （2） 若2

1()2

f x x ax b ≥

++，求(1)a b +的最大值.

请考生在第22、23、24题中任选一道作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时请写清题号。 （22）（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲 如图，,D E 分别为ABC ?边,AB AC 的中点，直线DE 交ABC ?的外接圆于,F G 两点，若//CF AB ，证明： （Ⅰ）CD BC =；

G

F

E

D

C

B A

B 1

C 1

A 1

D

C A

B

（Ⅱ）BCD GBD ??∽

（23）（本小题满分10分）选修4—4；坐标系与参数方程 已知曲线1C 的参数方程式2cos 3sin x y ?

?=??

=?

（?为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立

坐标系，曲线2C 的极坐标方程式2ρ=.正方形ABCD 的顶点都在2C 上，且,,,A B C D 依逆时针次序排列，点Ａ的极坐标为2,

2π??

??

?

. （Ⅰ）求点,,,A B C D 的直角坐标；

（Ⅱ）设P 为1C 上任意一点，求2

2

2

2

||||||||PA PB PC PD +++的取值范围.

（24）（本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲 已知函数()|||2|f x x a x =++-

（Ⅰ）当3a =-时，求不等式()3f x ≥的解集； （2）若()|4|f x x ≤-的解集包含[1,2]求a 的取值范围.

2012年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 （1）【解析】选D 5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个 （2）【解析】选A

甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种

（3）【解析】选C 22(1)

11(1)(1)

i z i i i i --=

==---+-+--

22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-

（4）【解析】选C

?21F PF 是底角为30 的等腰三角形2213

32()22

4

c PF F F a c c e a ?==-=?== （5）【解析】选D

472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-?==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-?=-=?+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=?=-=?+=-

（6）【解析】选C （7）【解析】选B

该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11

633932

V =????= （8）【解析】选C

设2

2

2

:(0)C x y a a -=>交x y 162

=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --

得：222(4)4224a a a =--=?=?= （9）【解析】选A

592()[,]4

4

4

x πππ

ωω=?+∈ 不合题意 排除()D

351()[,]4

4

4

x πππ

ωω=?+∈ 合题意 排除()()B C

另：()22π

ωππω-

≤?≤，3()[,][,]424422x ππππππ

ωωπω+∈++? 得：315

,2424224

πππππωπωω+≥+≤?≤≤

（10）【解析】选B

()ln(1)()1()010,()00()(0)0

x g x x x g x x

g x x g x x g x g '=+-?=-

+''?>?-<<?<= 得：0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D （11）【解析】选A

ABC ?

的外接圆的半径r =

O 到面ABC

的距离d == SC 为球O 的直径?点S 到面ABC

的距离为2d =

此棱锥的体积为11233ABC V S d ?=

?==

另：123ABC V S R ?<

?=

排除,,B C D （12）【解析】选A 函数12

x

y e =

与函数ln(2)y x =互为反函数，图象关于y x =对称 函数12x y e =上的点1(,)2x P x e 到直线y x =

的距离为d

设函数min min 11()()1()1ln 222x x g x e x g x e g x d '=

-?=-?=-?=

由图象关于y x =对称得：PQ

最小值为min 2ln 2)d =-

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）【解析】_____b =

222(2)1044cos 4510a a b b b b ?

?-=?+-=?=

(14) 【解析】2z x y =-的取值范围为 [3,3]-

约束条件对应四边形OABC 边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)O A B C

则2[3,3]z x y =-∈-

（15）【解析】使用寿命超过1000小时的概率为

8

三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2

(1000,50)N 得：三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为12

p =

超过1000小时时元件1或元件2正常工作的概率2

131(1)4

P p =--=

那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为213

8

p p p =?= （16）【解析】{}n a 的前60项和为 1830

可证明：14142434443424241616n n n n n n n n n n b a a a a a a a a b +++++---=+++=++++=+ 11234151514

1010151618302

b a a a a S ?=+++=?=?+

?= 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 （17）【解析】（1）由正弦定理得：

cos sin 0sin cos sin sin sin a C C b c A C A C B C --=?-=+

sin cos sin sin()sin 1cos 1sin(30)2

303060A C A C a C C

A A A A A ?

???

?+=++?-=?-=?-=?=

（2

）1

sin 42

S bc A bc =

=?= 2222cos 4a b c bc A b c =+-?+= 解得：2b c ==（l fx lby ）

18.【解析】（1）当16n ≥时，16(105)80y =?-= 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-

得：1080(15)

()80

(16)n n y n N n -≤?=∈?

≥?

（2）（i ）X 可取60，70，80

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======

222160.160.240.744DX =?+?+?= （ii ）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??=

76.476> 得：应购进17枝

（19）【解析】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠=

同理：1114590A DC CDC ??

∠=?∠= 得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥

取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD 1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合 且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =，则1C O =

111230C D C O C DO ?

==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

（20）【解析】（1）由对称性知：BFD ?是等腰直角?，斜边2BD p =

点A 到准线l 的距离d

1

22

ABD S BD d p ?=?

??=?= 圆F 的方程为22(1)8x y +-=

（2）由对称性设2000(,)(0)2x A x x p >，则(0,)2

p

F

点,A B 关于点F 对称得：22

2

20000(,)3222

x x p B x p p x p p p --?-=-?=

得：3,)2p A

，直线:02p m y x x =

+?=

22

22x x x py y y x p p p '=?=?==?=?

切点)6p

P

直线:06p n y x x p -

=?-= 坐标原点到,m n

3=。 （21）【解析】（1）12

11()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f = 12

11()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：2

1()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+

()10()x

g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增 ()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?< 得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+

且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞ （2）2

1()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥

++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增 x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

得：当ln(1)x a =+时，min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥ 2

2

(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++> 令2

2()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<

当x =max ()2

e F x =

当1,a b =

-=时，(1)a b +的最大值为

2

e 请考生在第22,23,24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分， 做答时请写清题号。

（22）【解析】（1）//CF AB ，//////DF BC CF BD AD CD BF ??=

//CF AB AF BC BC CD ?=?= （2）//BC GF BG FC BD ?==

//BC GF GDE BGD DBC BDC ?∠=∠=∠=∠?BCD GBD ??

（23）【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,

),(2,

),(2,),(2,)3

636

π

πππ

点,,,A B C D

的直角坐标为1,1)--

（2）设00(,)P x y ；则00

2cos ()3sin x y ?

??=??

=?为参数 2

2

2

2

224440t PA PB PC PD x y =+++=++ 2

5620sin [56,76]?=+∈（lfxlby ）

（24）【解析】（1）当3a =-时，()3323f x x x ≥?-+-≥

2323x x x ≤???-+-≥?或23323x x x <

x x x ≥?

??-+-≥?

1x ?≤或4x ≥

（2）原命题()4f x x ?≤-在[1,2]上恒成立

24x a x x ?++-≤-在[1,2]上恒成立

22x a x ?--≤≤-在[1,2]上恒成立

30a ?-≤≤