牛顿拉夫逊法潮流计算
摘要
本文，首先简单介绍了基于在MALAB中行潮流计算的原理、意义，然后用具体的实例，简单介绍了如何利用MALAB去进行电力系统中的潮流计算。
众所周知，电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。
此外，在进行电力系统静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果作为其计算的基础；一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配合；潮流计算往往成为上述计算程序的一个重要组成部分。以上这些，主要是在系统规划设计及运行方式安排中的应用，属于离线计算范畴。
牛顿－拉夫逊法在电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。本文介绍了电力系统潮流计算机辅助分析的基本知识及潮流计算牛顿－拉夫逊法，最后介绍了利用MTALAB程序运行的结果。
关键词：电力系统潮流计算，牛顿－拉夫逊法，MATLAB
ABSTRACT
This article first introduces the flow calculation based on the principle of MALAB Bank of China, meaning, and then use specific examples, a brief introduction, how to use MALAB to the flow calculation in power systems.
As we all know, is the study of power flow calculation of power system steady-state operation of a calculation, which according to the given operating conditions and system wiring the entire power system to determine the operational status of each part: the bus voltage flowing through the components power, system power loss and so on. In power system planning power system design and operation mode of the current study, are required to quantitatively calculated using the trend analysis and comparison of the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy.
In addition, during the power system static and transient stability calculation, the results of calculation to take advantage of the trend as its basis of calculation; number of fault analysis and optimization also requires a corresponding flow calculation for cooperation; power flow calculation program often become the an important part. These, mainly in the way of system design and operation arrangements in the application areas are off-line calculation.
Newton - Raphson power flow calculation in power system is one commonly used method, it is good convergence of the iteration number of small, introduce the trend of computer-aided power system analysis of the basic knowledge and power flow Newton - Raphson method, introduced by the last matlab run results.
Keywords：power system flow calculation, Newton – Raphson method, matlab
目录
1 绪论 (1)
1.1 课题背景 (1)
1.2 电力系统潮流计算的意义 (2)
1.3 电力系统潮流计算的发展 (2)
1.4 潮流计算的发展趋势 (4)
2 潮流计算的数学模型 (5)
2.1 电力线路的数学模型及其应用 (5)
2.2 等值双绕组变压器模型及其应用 (6)
2.3 电力网络的数学模型 (8)
2.4 节点导纳矩阵 (9)
2.4.1 节点导纳矩阵的形成 (9)
2.4.2 节点导纳矩阵的修改 (10)
2.5 潮流计算节点的类型 (11)
2.6 节点功率方程 (12)
2
·
7 潮流计算的约束条件 (13)
3 牛顿－拉夫逊法潮流计算基本原理 (14)
3.1 牛顿-拉夫逊法的基本原理 (14)
3.2 牛顿-拉夫逊法潮流计算的修正方程 (17)
3.3 潮流计算的基本特点 (20)
3.4 节点功率方程 (21)
4牛顿－拉夫逊法分解潮流程序 (22)
4
·
1 牛顿－拉夫逊法分解潮流程序原理总框图 (22)
4.2 形成节点导纳矩阵程序框图及代码 (23)
4.2
。
1 形成节点导纳矩阵程序框图 (23)
4.2.2 形成节点导纳矩阵的程序代码 (24)
4
·
3 雅克比矩阵求取的程序框图及代码 (25)
4·3
·
1 形成节点导纳矩阵程序框图 (25)
4·3
·
2 形成雅克比矩阵程序的代码 (25)
4
·
4 求取Df、De的程序框图及代码 (28)
4·4
·
1 求取Df、De的程序框图 (28)
4·4
·
2 求取Df、De的程序代码 (28)
5 实例与分析 (29)
5.1 一个6节点算例 (29)
5
·
2 根据算例输入相应节点的线路参数 (31)
5.3 算例运行 (33)
5.3.1 原始数据的输入 (33)
5.3.2 原始数据输入程序段 (34)
5.3.3 导纳矩阵的形成 (35)
5.3.4 导纳矩阵Y为 (36)
5.3.5 雅克比矩阵J（k=0） (36)
5.3.6 算例运行结果输出程序段 (36)
5.3.7 算例运行结果输出 (38)
5.4 潮流计算GUI界面 (40)
全文总结 (45)
参考文献 (46)
致谢 (47)
附录A 潮流计算程序 (48)
附录B“清除数据”按钮回调函数 (57)
附录C“关闭”按钮回调函数 (58)
1 绪论
1.1 课题背景
潮流计算是研究电力系统的一种最基本和最重要的计算，最初，电力系统潮流计算是通过人工手算的，后来为了适应电力系统日益发展的需要，采用了交流计算台。随着电子数字计算机的出现，1956年Ward等人编制了实际可行的计算机潮流计算程序。这样，就为日趋复杂的大规模电力系统提供了极其有利的计算手段。经过几十年的时间，电力系统潮流计算已经发展的十分成熟。潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，是根据给定的运行的条件及系统接线情况确定整个电力系统各个部分运行的状态，如各母线的电压、各元件中流过的电流、系统的功率损耗等等。电力系统潮流计算是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。在电力系统规划设计和现有电力系统运行的方式研究中，都需要利用电力系统潮流计算来定量的比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。
电力系统潮流计算分为离线计算和在线计算，离线计算主要用于系统规划设计、安排系统的运行方式，在线计算则用于运算中系统的实时监测和实施控制。两种计算的原理在本质上是相同的。
实际电力系统的潮流技术主要采用牛顿－拉夫逊法。牛顿－拉夫逊法早在50年代末就已应用于求解电力系统潮流问题，但作为一种适用的、有竞争力的电力系统潮流计算方法，则是在应用了稀疏矩阵技巧和高斯消元法求修正方程式以后。牛顿－拉夫逊法是求解非线性代数方程有效的迭代计算，本设计就是采用牛顿－拉夫逊法计算电力系统潮流的。
1.2 电力系统潮流计算的意义
(1)在电网规划阶段，通过潮流计算，合理规划电源容量及接入点，合理规划网架，选择无功补偿方案，满足规划水平的大、小方式下潮流交换控制、调峰、调相、调压的要求。
(2)在编制年运行方式时，在预计负荷增长及新设备投运基础上，选择典型方式进行潮流计算，发现电网中薄弱环节，供调度员日常调度控制参考，并对规划、基建部门提出改进网架结构,加快基建进度的建议。
(3)正常检修及特殊运行方式下的潮流计算，用于日运行方式的编制，指导发电厂开机方式，有功、无功调整方案及负荷调整方案，满足线路、变压器热稳定要求及电压质量要求。
(4)预想事故、设备退出运行对静态安全的影响分析及作出预想的运行方式调整方案。
总之在电力系统运行方式和规划方案的研究中，都需要进行潮流计算以比较运行方式或规划供电方案的可行性、可靠性和经济性。同时，为了实时监控电力系统的运行状态，也需要进行大量而快速的潮流计算。因此，潮流计算是电力系统中应用最广泛、最基本和最重要的一种电气运算。在系统规划设计和安排系统的运行方式时，采用离线潮流计算；在电力系统运行状态的实时监控中，则采用在线潮流计算。
1.3 电力系统潮流计算的发展
利用电子计算机进行潮流计算从20世纪50年代中期就已经开始。此后，潮流计算曾采用了各种不同的方法，这些方法的发展主要是围绕着对潮流计算的一些基本要求进行的。对潮流计算的要求可以归纳为下面几点：
（1）算法的可靠性或收敛性
（2）计算速度和内存占用量
（3）计算的方便性和灵活性
电力系统潮流计算属于稳态分析范畴，不涉及系统元件的动态特性和过渡过程。因此其数学模型不包含微分方程，是一组高阶非线性方程。非线性代数方程组的解法离不开迭代，因此，潮流计算方法首先要求它是能可靠的收敛，并给出正确答案。随着电力系统规模的不断扩大，潮流问题的方程式阶数越来越高，目前已达到几千阶甚至上万阶，对这样规模的方程式并不是采用任何数学方法都能保证给出正确答案的，这种情况促使电力系统的研究人员不断寻求新的更可靠的计算方法。
在用数字计算机求解电力系统潮流问题的开始阶段，人们普遍采用以节点导
纳矩阵为基础的高斯-赛德尔迭代法（以下简称导纳法）。这个方法的原理比较简单，要求的数字计算机的内存量也比较小，适应当时的电子数字计算机制作水平和电力系统理论水平，于是电力系统计算人员转向以阻抗矩阵为主的逐次代入法（简称阻抗法）。
20世纪60年代初，数字计算机已经发展到第二代，计算机的内存和计算速度发生了很大的飞跃，从而为阻抗法的采用创造了条件。阻抗矩阵是满矩阵，阻抗法要求计算机储存表征系统接线和参数的阻抗矩阵。这就需要较大的内存量，而且阻抗法每迭代一次都要求顺次取阻抗矩阵中的每一个元素进行计算，因此，每次迭代的计算量很大。
阻抗法改善了电力系统潮流计算问题的收敛性，解决了导纳法无法解决的一些系统的潮流计算，在当时获得了广泛的应用，曾为我国电力系统设计、运行和研究作出了很大的贡献。但是，阻抗法的主要缺点就是占用计算机的内存很大，每次迭代的计算量很大。当系统不断扩大时，这些缺点就更加突出。为了克服阻抗法在内存和速度方面的缺点，后来发展了以阻抗矩阵为基础的分块阻抗法。这个方法把一个大系统分割为几个小的地区系统，在计算机内只需存储各个地区系统的阻抗矩阵及它们之间的联络线的阻抗，这样不仅大幅度的节省了内存容量，同时也提高了节省速度。
克服阻抗法缺点的另一途径是采用牛顿-拉夫逊法（以下简称牛顿法）。牛顿法是数学中求解非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳矩阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数矩阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿潮流程序的计算效率。自从20世纪60年代中期采用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、计算速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍被广泛采用的方法。
在牛顿法的基础上，根据电力系统的特点，抓住主要矛盾，对纯数学的牛顿法进行了改造，得到了P-Q分解法。P-Q分解法在计算速度方面有显著的提高，迅速得到了推广。
牛顿法的特点是将非线性方程线性化。20世纪70年代后期，有人提出采用更精确的模型，即将泰勒级数的高阶项也包括进来，希望以此提高算法的性能，这便产生了保留非线性的潮流算法。另外，为了解决病态潮流计算，出现了将潮流计算表示为一个无约束非线性规划问题的模型，即非线性规划潮流算法。
近20多年来，潮流算法的研究仍然非常活跃，但是大多数研究都是围绕改进牛顿法和P-Q分解法进行的。此外，随着人工智能理论的发展，遗传算法、人工神经网络、模糊算法也逐渐被引入潮流计算。但是，到目前为止这些新的模型和算法还不能取代牛顿法和P-Q分解法的地位。由于电力系统规模的不断扩大，对
计算速度的要求不断提高，计算机的并行计算技术也将在潮流计算中得到广泛的应用，成为重要的研究领域。
1.4 潮流计算的发展趋势
通过几十年的发展，潮流算法日趋成熟。近几年，对潮流算法的研究仍然是如何改善传统的潮流算法，即高斯-塞德尔法、牛顿法和快速解耦法。牛顿法，由于其在求解非线性潮流方程时采用的是逐次线性化的方法，为了进一步提高算法的收敛性和计算速度，人们考虑采用将泰勒级数的高阶项或非线性项也考虑进来，于是产生了二阶潮流算法。后来又提出了根据直角坐标形式的潮流方程是一个二次代数方程的特点，提出了采用直角坐标的保留非线性快速潮流算法。
2 潮流计算的数学模型
2.1 电力线路的数学模型及其应用
在电力系统稳态分析中的电力线路数学模型就是以电阻、电抗、电纳、电导表示的它们的等值电路。
式（2.1）
式中ρ——为导线材料的电阻率（Ω?mm 2/km ）；
s ——为导线的额定截面积（mm 2）。
式（2.2）
式中r ——为导线计算半径（mm 或cm ）；
D m ——为几何均距（mm 或cm ），其单位应与r 的相同。
617.58
10lg m b D r
-=
? 式（2.3） 31210g
P g U
-?=? 式（2.4）
式中b 1——导线单位长度的电纳（S/km ）； g 1——导线单位长度的电导（S/km ）；
g P ?——三相线路泄漏和电晕损耗功率（kW/km ）； U ——线路线电压（kV ）。
按上式求得单位长度导线的电阻、电抗、电纳、电导后，就可作最原始的电力线路等值电路图，如图2-1所示。这是单相等值电路。之所以可用单相等值电路代表三相，一方面由于本文中讨论的是三相对称运行方式，另一方面也因设架空线路都已经整循环换位。
图2-1 中等线路等值模型
1r s
ρ
=
10.1445lg
0.0157m
D x r
=+
以单相等值电路代表三相虽已简化了不少计算，但由于电力线路的长度往往有数十乃至数百公里，如将每公里的电阻、电抗、电纳、电导都一一绘于图上，所得的等值电路仍十分复杂。何况，严格说来，电力线路的参数并不是均匀分布的，即使是极短的一段线段，都有相应大小的电阻、电抗、电纳、电导。换言之，即使是如此复杂的等值电路，也不能认为精确。但好在电力线路一般都不长，需分析的又往往只是它们的端点状况—两端电压、电流、功率，通常可不考虑线路的这种分布参数特性，只是在个别情况下才要用双曲函数研究具有均匀分布参数的线路。以下，先讨论一般线路的等值电路。
中等长度的线路通常指100km-300km 之间的架空线路，这种线路的导纳一般不能略去，常用的是∏型等值电路。 当线路长度为l (km)时：
1111,,R rl X x l G g l B b l ====
2.2 等值双绕组变压器模型及其应用
无论采用有名制或标幺制，凡涉及多电压级网络的计算都必须将网络中所有参数和变量归算至同一电压等级。这是因为以Γ型或T 型等值电路做变压器模型时，这些等值电路模型并不能体现变压器实际具有的电压变换功能。以下将介绍另一种可等值的体现变压器电压变换功能的模型，它也是运用计算机进行电力系统分析时采用的变压器模型，虽然运用这种模型时并不排斥手算。既然这种模型可体现电压变换，在多电压级网络计算中采用这种变压器模型后，就可不必进行参数和变量的归算，这正是这种变压器模型的主要特点之一。以下就介绍这种变压器模型。 如图2-2所示。
'
1Z '2Z T
Z 1
:k 1
2
2
11:k Ⅰ
Ⅱ
(a)
(b)
(c)
'1Z '
2
Z 1
?
U 2
?U
k
U /1?
T
Z
图2-2 等值双绕组变压器
首先，从一个未作电压级归算的简单网络入手。设图中变压器的导纳或励磁支路和线路的导纳支路都可略去；设变压器两侧线路的阻抗都未经归算，即分别为高、低电压侧Ⅰ、Ⅱ侧线路的实际阻抗，变压器本身的阻抗则归在低压侧；设变压器的变比k ，其值为高、低压绕组电压之比。
显然，在这些假设条件下，如在变压器阻抗Z T 的左侧串联以变比为K 的理想变压器如图(2-2c)所示，其效果就如同将变压器及其低压侧线路的阻抗都归算至高压侧，或将高压侧线路的阻抗归算至低压侧，从而实际上获得将所有参数和变量都归算在同一侧的等值网络，只要变压器的变比取的是实际变比，这一等值网络无疑是严格的。
由图(2-2c)可见流入理想变压器的功率为111S U I ?*
=
，流出理想变压器的功
率为*
2
12S U I k ?
=
，流入流出变压器的功率应该相等，可得：
*
*
1112U I U I k ?
= 式（2.5） 从而有：
*
*
12I I k =
式（2.6）
另外由图2-2c 可以直接得到：
221T U k U Z I ?
?
?
=+ 式（2.7）
联立解方程组：
式（2.8）
可得：
11
211T T T T
Z k Z k I U Z Z k -??--????=????
式（2.9）
即：
}
**
122
21T I I k
U k U Z I ??
?
==+
111210212
122112222012
1111T
T T T Y y y Z k Y y Z k Y y Z k Y y y Z ?
==
+??
?
=-=-??
?
?=-=-??
?=-=+??
式（2.10）
2112y y =的成立体现了无源电路的互易特性，然后令1T T Z Y =，就可以作
导纳支路表示的变压器模型如图(2-2e)所示以及以阻抗支路表示的变压器模型如图(2-2f)所示。
其中，2
10(1)()T y k Z k =-，20(1)()T y k Z k =-。
以下利用图2-2说明各种不同情况下等值变压器模型的应用，即多电压级网络中变压器和线路参数的计算，以及相应的理想变压器变比的取值。
(1)有名值、线路参数都归算到低压侧。据以图2-2的情况，由图可见，此时线路阻抗分别为上图中'
'
12,Z Z ，变压器阻抗则由
22
222
%;1000100k k T T N N
P U U U R X S S ==； 相应的理想变压器变比则为12k U U =，这里所取得理想变压器的变比就
是变压器实际变比。
(2)有名值、线路参数都归算到高压侧。这种情况下的线路阻抗分别为
''2
111222;(
)N N
U Z Z Z Z U == 从而理想变压器变比为：
2112
N N U U k U U =
2.3 电力网络的数学模型
有名制：所有参数和变量都以有名单位，如Ω、S 、kV(V)、kA(A)、MV A(V A)等表示。
标幺制：所有参数和变量都以与他们同名基准值相对的标幺值表示，因此都没有单位。
对多电压级网络，变压器模型：采用等值变压器模型时，所有参数和变量可
不进行归算；采用有名制或标幺制取决于习惯。在我国，电力工程界使用标幺值已有多年；但在国外，有名制的使用也很普遍。至于变压器模型的使用范围，则泾渭分明。手算时，都是用Γ形或T 型等值电路模型；计算机计算时，都是用等值变压器或Π型等值电路模型。
此外，在制定电力网络等值电路模型时，有时还同时作某些简化，常见的有：①线路的电导通常都被略去；②变压器的电导有时以具有定值的有功功率损耗的形式出现在电路中；③100km 以下架空线路的电纳被略去；④100~300km 架空线路或变压器的电纳有时以具有定值的容性或感性无功功率损耗的形式出现在电路中。有时，整个元件，甚至部分系统都可能不包括在等值电路中。例如，将某些发电厂的高压母线看作为可维持给定电压、输出给定功率的等值电源时，这些发电厂内部的元件就不再包括在等值电路中。
2.4 节点导纳矩阵
在电路原理课程中，已导出了运用节点导纳矩阵的节点电压方程
B B B I Y U = 式（2.11）
上式中，B I 是节点注入电流的列向量，可理解为某个节点的电源电流与负荷电流之和，并规定电源流向网络的注入电流为正。因此，仅有负荷的负荷节点注入电流就具有负值。B U 是节点电压的列向量。因通常以大地作参考节点，网络中有接地支路时，节点电压通常就指该节点的对地电压；网络中没有接地支路时，各节点电压可指各该节点与某一个被选定参考节点之间的电压差。B Y 是一个节点导纳矩阵，它的阶数n 等于网络中除参考节点外的节点数。 它可展开为
111112131221222322313233333123n n n n n n nn n n I U Y Y Y Y I Y Y Y Y U Y Y Y Y I U Y Y Y Y I U ??????????
??????
???????
???????????
??=?????
?????
????????????????
??
式（2.12） 2.4.1 节点导纳矩阵的形成
根据定义直接求取节点导纳矩阵时，注意以下几点：
(1) 节点导纳矩阵是方阵，其阶数就等于网络中除去参考节点外的节点数。参考节点一般取大地，编号为零。
(2) 节点导纳矩阵是稀疏矩阵，其各行非零非对角元素就等于与该行相对应节点所连接的不接地支路数。
(3) 节点导纳矩阵的对角元素就等于该节点所连接导纳的总和。因此，与没有接地支路的节点对应的行或列中，对角元素为非对角元素之和的负值。 (4) 节点导纳矩阵的非对角元素等于连接节点i ，j 支路导纳的负值。因此，在一般情况下，节点导纳矩阵的对角元素往往大于非对角元素的负值。 (5) 节点导纳矩阵一般是对称矩阵，这是网络的互易特性所决定的。从而，一般只要求取这个矩阵的上三角或下三角部分。
(6) 网络中的变压器。
2.4.2 节点导纳矩阵的修改
(1) 从原有网络引出一支路，同时增加一节点。
设i 为原有网络中的节点，j 为新增加的节点，新增加支路导纳为ij y 。则因
新增一节点，节点导纳矩阵将增加一阶。
新增的对角元ij Y ，由于在节点j 上只有一个支路
ij y ，将为ij Y =ij y ；新增的
非对角元ii ji ij Y Y y ==-；原有矩阵中的对角元ii Y 将增加,ii ii ij y y y ??=。
(2) 在原有网络的节点i 、j 之间增加一支路。
这时由于仅增加支路不增加节点，节点导纳矩阵阶数不变，但与节点i 、j 有关的元素应作一下修改，其增量为:
,ii
ii ij ij ji ij y y y y y y ?=?=?=?=-
(3) 在原有网络的节点i ，j 之间切除一支路。
切除一导纳为ij y 的支路，相当于增加一导纳为ij y -的支路，从而与节点i 、
j 有关的元素应作如下修改：
,,ii ij jj ij ij ij ij Y y Y y Y Y y ?=-?=-?=?=
(4) 原有网络的节点i 、j 之间的导纳由ij y 改变为'
ij y 。
这种情况相当于切除一导纳为ij y 的支路，并增加一导纳为'ij y 的新支路。从
而与节点i 、j 有关的元素应作如下修改：
''
'
,,ii ij ij jj ij ij ij ij ij ij
Y y y Y y y Y Y y y ?=-?=-?=?=-
(5) 原有网络节点i 、j 之间变压器的变比由k *改变为'
k *。
这种情况相当于在i 、j 节点之间并联一个变比为k *-的变压器，再并联一个变比为'
k *的变压器，即相当于修改变压器。修改前，i 、j 节点之间的自导纳和互导纳为：
22(1)(1),,T T T T
ii T T jj T ij ij y k y k y y Y y y Y y Y y k k k k k k ********
--=
+==+==-=-
修改后，引用“理想变压器”的π型等值电路，变压器变比由k *改变为'
k *时，原网中与节点i 、j 有关的元素应作如下修改：
'22'1
1110,,i i j j
T i j
j i T
Y Y
y Y Y y k k k k ****?????=?=-?=?=
- ? ???
??
2.5 潮流计算节点的类型
用一般的电路理论求解网络方程，目的是给出电压源（或电流源）研究网络内的电流(或电压)分布，作为基础的方程式，一般用线性代数方程式表示。然而在电力系统中，给出发电机或负荷连接母线上电压或电流(都是向量)的情况是很少的，一般是给出发电机母线上发电机的有功功率P 和母线电压的幅值U ，给出负荷母线上负荷消耗的有功功率P 和无功功率Q 。主要目的是由这些已知量去求电力系统内的各种电气量。所以，根据电力系统中各节点性质的不同，很自然地把节点分成三类：
(1) PQ 节点
对这类节点，等值负荷功率Gi P 、Li Q 和等值电源功率Gi P 、Gi Q 是给定的，从而注入功率i P 、i Q 是给定的，待求的则是节点电压的大小i U 和相位角i δ。属于这一类节点的有按给定有功无功功率发电的发电厂母线和没有其他电源的变电所母线。
(2) PV 节点
对这类节点，等值负荷和等值电源的有功功率Li P 、Gi P 是给定的，从而注入有功功率i P 是给定的。等值负荷的无功功率Li Q 和节点电压的大小i U 也是给定的。待求的则是等值电源的无功功率Gi Q ，从而注入无功功率i Q 和节点电压的相位角i δ。有一定无功功率储备的发电厂和一定无功功率电源的变电所母线都可选作为PV 节点。
(3) 平衡节点
潮流计算时，一般只设一个平衡节点。对这节点，等值负荷功率是给定的，节点电压的大小S U 和相位角S δ也是给定的，如给定S U =1.0、S δ=0。待求的则是等值电源功率Gs P 、Gs Q ，从而注入功率s P 、s Q 。担负调整系统频率任务的发电厂母线往往被选作为平衡节点。例如，为提高计算的收敛性。可以选择出线数多或者靠近电网中心的发电厂母线作平衡节点。
进行计算时，平衡节点是不可少的；PQ 节点是大量的；PV 节点较少，甚至
可能没有。
2.6 节点功率方程
节点电压向量可以表示为极坐标的形式，也可以表示为直角坐标的形式，与此相对应，在潮流计算中节点功率方程也有两种形式。
节点功率可表示为：
n
i i i ij j
j i
P jQ V Y V *
*
∈+=∑ （i=1,2,…n ） 式（2.13） 如果上式中电压向量表示为极坐标的形式：i j i i V V e θ?
= 式
（2.14） 导纳矩阵中元素表示为：ij ij ij Y G jB =+ 式（2.15）
因此：i i P jQ +=i
j i V e
θ?
()j
j ij ij j j i
G jB V e
θ-∈-∑ （i=1,2,…n） 式（2.16）
又由cos sin j e
j θ
θθ=+ 式(2.17)
则可以得到：()(cos sin )i i i j ij ij ij ij j i
P jQ V V G jB j θθ∈+=-+∑ 式（2.18）
式中：ij i j θθθ=- 为两个节点电压的相位差。
将上式按实部和虚部展开，得到：
(cos sin )(sin cos )n
i i j ij ij ij ij j i n
i i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈?
=+?
?
??
=-??∑∑
式（2.19） 这就是功率的极坐标方程式。
把上式中个节点的电压向量表示为直角坐标：
i i i
V e jf =+ 式（2.20）
cos i i i e V θ=，sin i i i f V θ= 式(2.21)
代入式：n
j
i i i
i
j i
P jQ V Y V
?
**∈+=∑
式(2.22)
即可得到：
i i i i i i i i i i P e a f b Q f a e b =+?
?=-?
（i=1,2,…n ） 式(2.23)
式中
()()ij
j
ij i i
j i
ij i
ij j i
j i
G e
B f a G
f B e b ∈∈-=-=∑∑
式(2.24)
这就是功率的直角坐标方程式。
2·7 潮流计算的约束条件
通过方程的求解所得到的计算结果代表了潮流方程在数学上的一组解答。但是，这组解答所反映的系统运行状态在工程上是否具有实际意义呢 ？这还要进行检验。因为电力系统运行时还必须满足一定技术上和经济上的要求。这些要求构成了潮流问题中某些变量的约束条件，常用约束条件有： （1）所有节点电压必需满足：
min max i i i V V V ≤≤(i=1,2,3…n)
从保证电能质量和供电安全的要求来看，电力系统的所有电气设备必需运行在额定电压附近，PV 节点的电压幅值必需按上述条件给定。因此，这一约束条件主要是对PV 节点而言。
（2）所有电源节点的有功功率和无功功率必需满足：
min max
min max i i i i i i P P P Q Q Q ≤≤≤≤
由于PQ 节点的有功功率和无功功率以及PV 节点的有功功率属于扰动变量不可控，对它们没有约束。对平衡节点的P 和Q 以及PV 节点的Q 应按上述条件进行检验。
（3）某些节点之间电压的相位差应满足：
max i j i j δδδδ-<-
为了保证系统运行的稳定性，要求某些输电线路两端的电压相位差不超过一定的数值。因此，潮流计算可以归结为求解一组非线性方程组，并使其解满足一定的约束条件，如不满足，则应修改某些变量的给定值，甚至修改系统运行方式，重新计算。
3 牛顿－拉夫逊法潮流计算基本原理
3.1 牛顿-拉夫逊法的基本原理
牛顿—拉夫逊迭代法是常用的解非线性方程组的方法，也是当前广泛采用的计算潮流的方法，其标准模式如下。
设有非线性方程组
()()()1121212212,,,,,,,,,n n n n n f x x x y f x x x y f x x x y ???=?
?
???=?
? ???????????=?
式（3.1）
其近似解为()()()
12,,,n
x x x ???。设近似解与精确解分别相差
12,,,n
x x x ??????，则如下的
关式应该成立：
()()()()()()()()
()()()()
000
111221000211222000
1122
,,,,,,,,,n n n n
n n n n f x x x x x x y f x x x x x x y f x x x x x x y ?+?+????+?=?
?+?+????+?=?? ???????
?+?+????+?=??
式（3.2）
上式中任何一式都可按泰勒级数展开，由此可得：
()()()
(
)()()()
(
)()()()
(
)
000111
11212112000
222212122120000
0121212000,,,,,,,,,n
n n n
n n n n n
n n
n n n f f f f x x x x x x y x x x f f f f x x x x x x y x x x f f f f x x x x x x y x x x ???????+?+?+???+?=??????
???????+?+?+???+?=?????? ??????
???????+?+?+???+?=????
??? 式
（3.3） 以第一式为例，
(0)(0)(0)(0)(0)(0)
11111221121212
(,,...,)(,,...,)n n n f f
f x x x x x x f x x x x x x x ??+?+?+?=+
?+??? 111
,...,y x x f n n
=+???φ，式子中：
011x f ??，021x f ??，…，0
1n x f ??分别表示以)
0()0(2)0(1,...,,n
x x x 带入这些偏导数表示式时的计算所得，1φ则是一包含1x ?，2x ?，…，n x ?的高次方
与1f 的高阶偏导数相乘的函数。如果)0(i x 与精确解相差不大，则i x ?的高次方可以略去，从而1φ也可以略去。
由此可得：
()()()
()()()()
()()()()
(
)
111
0001112120001000111
211112000
000111
111
212000,,,,,,,,,n n
n n n
n
f f f y f x x x x x x x y f x x x f f f x x x f f f y f x x x x x x ?????++???+??
??
-??????????
??
???-??????????=++???+??????? ??? ???
????????-???++???+???
??????
2n x x ???????
?? ?? ??? 式（3.4） 或简写为：
?=?f J x 式（3.5）
式中：J 称函数i f 的雅克比矩阵，?x 为由i x ?组成的列向量，?f 则称不平衡向量
的列向量。
将i x ?带入，可得J f 、?中的各个元素。然后运用任何一组解线性代数方程的方法，可求得)
0(i
x ?，从而球的经第一次迭代后i x 的新值)0()0()
1(i i i
x x x ?+=。再将求
得的)1(i x 代入，又可以求得J f 、?的新值，从而解得)
1(i x ?以及)1()1()
2(i i i x x x ?+=。如
此循环而已，最后可获得足够精确的解。
运用这种方法计算时，i x 的初值要选择比较接近他们的精确解，否则迭代过程可能不收敛。将这种情况简单说明如下。设函数的图像如图所示，运用这种方法解算y x f =)(时的修正方程式为
)()()(k k
k x dx df
x f y ?=
- 按着修正方程式迭代求解过程就如图3-1中由)0(x 求)1(x ，)2(x ……的过程。由图可见，如x 的初值)0(x 选择的接近其精确解，迭代过程将循序收敛；反之，将不收敛。正因为这样，某些运用牛顿拉夫逊计算潮流的程序中，第一、第二次迭代采用高斯赛德尔法，这是因为后者对i x 的初值的选择没有严格要求。
图3-1牛顿－拉夫逊发的收敛过程
与运用高斯赛德尔法时不同，运用牛顿法拉夫逊法时，可以直接用以求解功率方程。
1
j n ij
i
j i i j U Y
U P jQ =?
**
==+∑ 式（3.6）
而为此需将i i ij ij ij jf e U jB G Y +=+=?
,代入
()()()1j n
i i ij ij j i i i j e jf G jB e jf P jQ ==+--=+∑ 式（3.7）
并将实数部分和虚数部分分列 ()()1
j n
i ij j ij j i ij j ij j i j e G e B f f G f B e P ==??-++=??∑ 式（3.8a ）
()()1
j n
i
ij
j
ij j i ij j ij j i j f G e
B f e G f B e Q ==??--+=??∑ 式
（3.8b ） 此外，由于系统中还有电压大小给定的PV 节点，还应补充一组方程式
222i i i e f U += 式（3.8c ）
i e 和i f 分别表示迭代过程中求得的节点电压实部与虚部，i P 为PQ 节点和PV
节点的注入有功功率，i Q 为PQ 节点的注入有功功率，i U 为PV 节点的电压大小。
对照式(3.8)、式(3.1)可见，式(3-8)的右端项i P 、i Q 、2
i U 分别是给定的注入功率和节点电压大小的平方值，他们就对应于式(3.1)右端项i y ；式(3.2)的左端函数分别是由迭代过程求得的节点电压确定的注入功率和节点电压大小的平方值，它就对应于式(3.1)中的左端函数),...,,(21n i x x x f ；于是，式(3.8)中的i e 和...i f 就对应
于式(3.1)中的n x x x (21)
、。至于修正方程式(3.4)中雅可比矩阵的各个元素，显然就是迭代过程中求得的注入功率各个节点电压大小的平方值相对应的...、
、i i f e 的f(x)
f(x(0))
x(1)
x(0)
x(2) x
x(0)
x(1) X
Y
牛顿拉夫逊法潮流计算
摘要 本文，首先简单介绍了基于在MALAB中行潮流计算的原理、意义，然后用具体的实例，简单介绍了如何利用MALAB去进行电力系统中的潮流计算。 众所周知，电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算，它根据给定的运行条件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态：各线的电压、各元件中流过的功率、系统的功率损耗等等。在电力系统规划的设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。 此外，在进行电力系统静态及暂态稳定计算时，要利用潮流计算的结果作为其计算的基础；一些故障分析以及优化计算也需要有相应的潮流计算作配合；潮流计算往往成为上述计算程序的一个重要组成部分。以上这些，主要是在系统规划设计及运行方式安排中的应用，属于离线计算范畴。 牛顿－拉夫逊法在电力系统潮流计算的常用算法之一，它收敛性好，迭代次数少。本文介绍了电力系统潮流计算机辅助分析的基本知识及潮流计算牛顿－拉夫逊法，最后介绍了利用MTALAB程序运行的结果。 关键词：电力系统潮流计算，牛顿－拉夫逊法，MATLAB
ABSTRACT This article first introduces the flow calculation based on the principle of MALAB Bank of China, meaning, and then use specific examples, a brief introduction, how to use MALAB to the flow calculation in power systems. As we all know, is the study of power flow calculation of power system steady-state operation of a calculation, which according to the given operating conditions and system wiring the entire power system to determine the operational status of each part: the bus voltage flowing through the components power, system power loss and so on. In power system planning power system design and operation mode of the current study, are required to quantitatively calculated using the trend analysis and comparison of the program or run mode power supply reasonable, reliability and economy. In addition, during the power system static and transient stability calculation, the results of calculation to take advantage of the trend as its basis of calculation; number of fault analysis and optimization also requires a corresponding flow calculation for cooperation; power flow calculation program often become the an important part. These, mainly in the way of system design and operation arrangements in the application areas are off-line calculation. Newton - Raphson power flow calculation in power system is one commonly used method, it is good convergence of the iteration number of small, introduce the trend of computer-aided power system analysis of the basic knowledge and power flow Newton - Raphson method, introduced by the last matlab run results. Keywords：power system flow calculation, Newton – Raphson method, matlab
基于极坐标的牛顿拉夫逊潮流计算
前言 电力系统潮流计算是研究电力系统稳态运行情况的一种计算,它根据给定的运行件及系统接线情况确定整个电力系统各部分的运行状态。在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中,都需要利用潮流计算来定量分析、比较供电方案或运行方式的合理性、可靠性和经济性。本次课程设计任务是闭式网络的潮流计算，用到的方法为牛顿拉夫逊极坐标法潮流计算。 牛顿法是数学中解决非线性方程式的典型方法，有较好的收敛性。解决电力系统潮流计算问题是以导纳距阵为基础的，因此，只要在迭代过程中尽可能保持方程式系数距阵的稀疏性，就可以大大提高牛顿法潮流程序的放率。自从20 世纪60 年代中期利用了最佳顺序消去法以后，牛顿法在收敛性、内存要求、速度方面都超过了阻抗法，成为直到目前仍在广泛采用的优秀方法。
目录 1任务书 (2) 2.模型简介及等值电路 (3) 3.设计原理 (4) 4.修正方程的建立 (7) 5.程序流程图及MATLAB程序编写 (9) 6.结果分析 (15) 7.设计总结 (25) 8.参考文献 (26)
《电力系统分析》 课程设计任务书 题目极坐标表示的牛顿拉夫逊法潮流计算程序设计学生姓名学号专业班级
设计内容与要求1. 设计要求 掌握MATLAB语言编程方法；理解和掌握运用计算机进行潮流计算的基本算法原理；针对某一具体电网，进行潮流计算程序设计。 其目的在于加深学生对电力系统稳态分析中课程中基本概念和计算方法的理解，培养学生运用所学知识分析和解决问题的能力。 2. 内容 1）学习并掌握MATLAB语言。 2）掌握变压器非标准变比概念及非标准变比变压器的等值电路。掌握节点导纳矩阵的概念及导纳矩阵的形成和修改方法。 3）掌握电力系统功率方程、变量和节点分类。 4）掌握利用极坐标表示的牛-拉法进行潮流计算的方法和步骤。 5）选择一个某一具体电网，编制程序流程框图。 6）利用MATLAB语言编写该模型的潮流计算程序，并上机调试程序，对计算结果进行分析。 7）整理课程设计论文。 起止时间2013 年7 月 4 日至2013 年7月10日指导教师签名年月日 系（教研室）主任签 名 年月日学生签名年月日 2 模型简介及等值电路 2.1课程设计模型：模型3
基于MATLAB牛顿拉夫逊法进行潮流计算
>> %本程序的功能是用牛顿拉夫逊法进行潮流计算n=input('请输入节点数:n='); nl=input('请输入支路数:nl='); isb=input('请输入平衡母线节点号:isb='); pr=input('请输入误差精度:pr='); B1=input('请输入由各支路参数形成的矩阵:B1='); B2=input('请输入各节点参数形成的矩阵:B2='); Y=zeros(n); e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n); O=zeros(1,n);S1=zeros(nl); for i=1:nl if B1(i,6)==0 p=B1(i,1);q=B1(i,2); else p=B1(i,2);q=B1(i,1); end Y(p,q)=Y(p,q)-1./(B1(i,3)*B1(i,5)); Y(q,p)=Y(p,q); Y(q,q)=Y(q,q)+1./(B1(i,3)*B1(i,5)^2)+B1(i,4)./2; Y(p,p)=Y(p,p)+1./B1(i,3)+B1(i,4)./2; end %求导纳矩阵 disp('导纳矩阵Y='); disp(Y); G=real(Y);B=imag(Y); for i=1:n e(i)=real(B2(i,3)); f(i)=imag(B2(i,3)); V(i)=B2(i,4); end for i=1:n S(i)=B2(i,1)-B2(i,2); B(i,i)=B(i,i)+B2(i,5); end P=real(S);Q=imag(S); ICT1=0;IT2=1;N0=2*n;N=N0+1;a=0; while IT2~=0 IT2=0;a=a+1; for i=1:n if i~=isb C(i)=0; D(i)=0; for j1=1:n C(i)= C(i)+G(i,j1)*e(j1)-B(i,j1)*f(j1); D(i)= D(i)+G(i,j1)*f(j1)+B(i,j1)*e(j1); end
牛顿迭代法
牛顿迭代法 李保洋 数学科学学院信息与计算科学学号：060424067 指导老师：苏孟龙 摘要：牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法，即牛顿迭代法.迭代法是一种不断用变量的旧值递推新值的过程.跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“牛顿迭代法”属于近似迭代法，本文主要讨论的是牛顿迭代法，方法本身的发现和演变和修正过程，避免二阶导数计算的Newton迭代法的一个改进，并与中国古代的算法，即盈不足术，与牛顿迭代算法的比较. 关键词：Newton迭代算法；近似求解；收敛阶；数值试验；中国古代数学； 九章算术；Duffing方程；非线性方程；收敛速度；渐进性 0 引言： 迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法或者称为一次解法，即一次性解决问题.迭代法又分为精确迭代和近似迭代.“二分法”和“牛顿迭代法”属于近似迭代法. 迭代算法是用计算机解决问题的一种基本方法.它利用计算机运算速度快、适合做重复性操作的特点，让计算机对一组指令（或一定步骤）进行重复执行，在每次执行这组指令（或这些步骤）时，都从变量的原值推出它的一个新值.具体使用迭代法求根时应注意以下两种可能发生的情况： (1)如果方程无解，算法求出的近似根序列就不会收敛，迭代过程会变成死循环，因此在使用迭代算法前应先考察方程是否有解，并在程序中对迭代的次数给予限制. (2)方程虽然有解，但迭代公式选择不当，或迭代的初始近似根选择不合理，也会导致迭代失败. 所以利用迭代算法解决问题，需要做好以下三个方面的工作： 1、确定迭代变量.在可以用迭代算法解决的问题中，至少存在一个直接或间接地不断由旧值递推出新值的变量，这个变量就是迭代变量. 2、建立迭代关系式.所谓迭代关系式，指如何从变量的前一个值推出其下一个值的公式(或关系).迭代关系式的建立是解决迭代问题的关键，通常可以使用递推或倒推的方法来完成. 3、对迭代过程进行控制，在什么时候结束迭代过程？这是编写迭代程序必须考虑的问题.不能让迭代过程无休止地重复执行下去.迭代过程的控制通常可分为两种情况：一种是所需的迭代次数是个确定的值，可以计算出来;另一种是所需的迭代次数无法确定.对于前一种情况，可以构建一个固定次数的循环来实现对迭代过程的控制;对于后一种情况，需要进一步分析出用来结束迭代过程的条件. 1牛顿迭代法：
电力系统课程设计-牛顿拉夫逊法潮流计算
课程设计说明书 题目电力系统分析系(部) 专业(班级) 学号 指导教师 起止日期
电力系统分析课程设计任务书系（部）：专业：指导教师：
目录 一、潮流计算基本原理 1.1潮流方程的基本模型 1.2潮流方程的讨论和节点类型的划分 1.3、潮流计算的意义 二、牛顿－拉夫逊法 2.1牛顿-拉夫逊法基本原理 2.2节点功率方程 2.3修正方程 2.4牛顿法潮流计算主要流程 三、收敛性分析 四、算例分析 总结 参考文献
电力系统分析潮流计算 一、潮流计算基本原理 1.1潮流方程的基本模型 电力系统是由发电机、变压器、输电线路及负荷等组成，其中发电机及负荷是非线性元件，但在进行潮流计算时，一般可以用接在相应节点上的一个电流注入量来代表。因此潮流计算所用的电力网络系由变压器、输电线路、电容器、电抗器等静止线性元件所构成，并用集中参数表示的串联或并联等值支路来模拟。结合电力系统的特点，对这样的线性网络进行分析，普通采用的是节点法，节点电压与节点电流之间的关系 V Y I = （1－1） 其展开式为 j n j ij i V Y I ∑==1 ),,3,2,1 (n i = （1－2） 在工程实际中，已经的节点注入量往往不是节点电流而是节点功率，为此必须应用联 系节点电流和节点功率的关系式 i i i i V jQ P I * -= ),,3,2,1(n i = （1－3） 将式（1－3）代入式（1－2）得到 j n j ij i i i V Y V jQ P ∑=* =-1 ),,3,2,1(n i = （1－4） 交流电力系统中的复数电压变量可以用两种极坐标来表示 i j i i e V V θ= （1－5） 或 i i i jf e V += （1－6） 而复数导纳为
牛顿法潮流计算综述
潮流例题：根据给定的参数或工程具体要求（如图），收集和查阅资料；学习相关软件（软件自选：本设计选择Matlab进行设计）。 2.在给定的电力网络上画出等值电路图。 3.运用计算机进行潮流计算。 4.编写设计说明书。 一、设计原理 1．牛顿-拉夫逊原理 牛顿迭代法是取x0 之后，在这个基础上，找到比x0 更接近的方程的跟，一步一步迭代，从而找到更接近方程根的近似跟。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程f(x) = 0 的单根附近具有平方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根。电力系统潮流计算，一般来说，各个母线所供负荷的功率是已知的，各个节点电压是未知的（平衡节点外）可以根据网络结构形成节点导纳矩阵，然后由节点导纳矩阵列写功率方程，由于功率方程里功率是已知的，电压的幅值和相角是未知的，这样潮流计算的问题就转化为求解非线性方程组的问题了。为了便于用迭代法解方程组，需要将上述功率方程改写成功率平衡方程，并对功率平衡方程求偏导，得出对应的雅可比矩阵，给未知节点赋电压初值，一般为额定电压，将初值带入功率平衡方程，得到功率不平衡量，这样由功率不平衡量、雅可比矩阵、节点电压不
平衡量（未知的）构成了误差方程，解误差方程，得到节点电压不平衡量，节点电压加上节点电压不平衡量构成新的节点电压初值，将新的初值带入原来的功率平衡方程，并重新形成雅可比矩阵，然后计算新的电压不平衡量，这样不断迭代，不断修正，一般迭代三到五次就能收敛。 牛顿—拉夫逊迭代法的一般步骤： （1）形成各节点导纳矩阵Y。 （2）设个节点电压的初始值U和相角初始值e 还有迭代次数初值为0。 （3）计算各个节点的功率不平衡量。 （4）根据收敛条件判断是否满足，若不满足则向下进行。 （5）计算雅可比矩阵中的各元素。 （6）修正方程式个节点电压 （7）利用新值自第（3）步开始进入下一次迭代，直至达到精度退出循环。 （8）计算平衡节点输出功率和各线路功率 2．网络节点的优化 １）静态地按最少出线支路数编号 这种方法由称为静态优化法。在编号以前。首先统计电力网络个节点的出线支路数，然后，按出线支路数有少到多的节点顺序编号。当由n 个节点的出线支路相同时，则可以按任意次序对这n 个节点进行编号。这种编号方法的根据是导纳矩阵中，出线支路数最少的节点所对应的行中非零元素也２）动态地按增加出线支路数最少编号在上述的方法中，各节点的出线支路数是按原始网络统计出来的，在编号过程中认为固定不变的，事实上，在节点消去过程中，每消去一个节点以后，与该节点相连的各节点的出线支路数将发生变化(增加，减少或保持不变)。因此，如果每消去一个节点后，立即修正尚未编号节点的出线支路数，然后选其中支路数最少的一个节点进行编号，就可以预期得到更好的效果，动态按最少出线支路数编号方法的特点就是按出线最少原则编号时考虑了消去过程中各节点出线支路数目的变动情况。 3．MATLAB编程应用 Matlab 是“Matrix Laboratory”的缩写，主要包括：一般数值分析，矩阵运算、数字信号处理、建模、系统控制、优化和图形显示等应用程序。由于使用Matlab 编程运算与人进行科学计算的思路和表达方式完全一致，所以不像学习高级语言那样难于掌握，而且编程效率和计算效率极高，还可在计算机上直接输出结果和精美的图形拷贝，所以它的确为一高效的科研助手。 二、设计内容 1.设计流程图
电力系统稳态分析牛顿拉夫逊法
0引言 潮流是配电网络分析的基础，用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划，同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容。潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员，从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点。随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素。及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布，从而为配电网的安全经济运行提供参考。从数学的角度来看，牛顿-拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用。随着现代计算机技术的发展，利用编程和相关软件，可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿-拉夫逊法的基本原理，利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。 1牛顿-拉夫逊法基本介绍 1.1潮流方程 对于N 个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为： =&& YV I （1-1） 式中，Y 为N*N 阶节点导纳矩阵；&V 为N*1维节点电压列向量；&I 为N*1维节点注入电流列向量。如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器，则Y 为对称矩阵。 电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系： ??=&&&EI S （1-2） 式中，&S 为节点的注入复功率，是N*1维列矢量；? &S 为&S 的共轭；
??i diag ??=???? &&E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。 由（1-1）和（1-2），可得： ??=&&&S EYV 上式就是潮流方程的复数形式，是N 维的非线性复数代数方程组。将其展开，有： ?i i i ij j j i P jQ V Y V ∈-=∑&& j=1,2，….，N （1-3） 式中，j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。 将节点电压用极坐标表示，即令i i i V V θ=∠&，代入式（1-3）中则有： ()i i i i ij ij j j j i P jQ V G jB V θθ∈-=∠-+∠∑ ()()cos sin i j ij ij ij ij j i V V G jB j θθ∈=+-∑ 故有： () ()cos sin sin cos i i j ij ij ij ij j i i i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈?=+?? =-?? ∑∑ i=1,2,…,N （1-4） 式（1-4）是用极坐标表示的潮流方程。 而节点功率误差： (cos sin )θθ∈?=-+∑SP i i i j ij ij ij ij j i P P V V G B (1-5) (cos sin )θθ∈?=--∑SP i i i j ij ij ij ij j i Q Q V V G B (1-6) 式中：SP i P ，SP i Q 为节点i 给定的有功功率及无功功率。 1.2牛顿-拉夫逊法基本原理 1.2.1牛拉法的一般描述 牛拉法是把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解过程，即非线性问题通过线性化逐步近似，这就是牛拉法的核心。下面以非线性方程式的求解过程来进行说明。 设电力网络的节点功率方程一般形式如下：
c语言编写的牛顿拉夫逊法解潮流程序
c语言编写的牛顿拉夫逊法解潮流程序 闲来无事，最近把牛拉法用c语言重写一遍，和matlab相比，c语言编写潮流程序最大的难点在于矩阵求逆，我使用的求逆方法是初等行变换法，程序段如下： #include } //输出逆矩阵 for(i=0;i %本程序的功能是用牛顿——拉夫逊法进行潮流计算 % B1矩阵：1、支路首端号；2、末端号；3、支路阻抗；4、支路对地电纳 % 5、支路的变比；6、支路首端处于K侧为1，1侧为0 % B2矩阵：1、该节点发电机功率；2、该节点负荷功率；3、节点电压初始值% 4、PV节点电压V的给定值；5、节点所接的无功补偿设备的容量% 6、节点分类标号：1为平衡节点（应为1号节点）；2为PQ节点；% 3为PV节点； clear; n=10;%input('请输入节点数：n='); nl=10;%input('请输入支路数：nl='); isb=1;%input('请输入平衡母线节点号：isb='); pr=0.00001;%input('请输入误差精度：pr='); B1=[1 2 0.03512+0.08306i 0.13455i 1 0; 2 3 0.0068+0.18375i 0 1.02381 1; 1 4 0.05620+0.13289i 0.05382i 1 0; 4 5 0.00811+0.24549i 0 1.02381 1; 1 6 0.05620+0.13289i 0.05382i 1 0; 4 6 0.04215+0.09967i 0.04037i 1 0; 6 7 0.0068+0.18375i 0 1.02381 1; 6 8 0.02810+0.06645i 0.10764i 1 0; 8 10 0.00811+0.24549i 0 1 1; 8 9 0.03512+0.08306i 0.13455i 1 0] B2=[0 0 1.1 1.1 0 1; 0 0 1 0 0 2; 0 0.343+0.21256i 1 0 0 2; 0 0 1 0 0 2; 0 0.204+0.12638i 1 0 0 2; 0 0 1 0 0 2; 0 0.306+0.18962i 1 0 0 2; 0 0 1 0 0 2; 0.5 0 1.1 1.1 0 3; 0 0.343+0.21256i 1 0 0 2] ;%input('请输入各节点参数形成的矩阵：B2='); Y=zeros(n);e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n);sida=zeros(1,n);S1=zeros(nl); % % %--------------------------------------------------- for i=1:nl %支路数 if B1(i,6)==0 %左节点处于1侧 p=B1(i,1);q=B1(i,2); else %左节点处于K侧 p=B1(i,2);q=B1(i,1); end %该程序仅针对《电力系统分析下》何仰赞P61 的4节点算例。 %节点电压用直角坐标表示时的牛顿-拉夫逊法潮流计算（matlab程序，可能有小错误，仅供学习之用，如果想要通用的程序，可自己动手改或再到pudn、csdn等网站搜索更好的）%南昌大学电力061 李圣涛2009年5月编写，2012年5月上传 clc %清空command windows clear all %清空workspace %为了提高可移植性、可读性、通用性，设置以下变量 N=4; %独立节点数 NPQ=2; %PQ节点数 NPV=1; %PV节点数 K=0; %迭代次数 %请输入最大迭代次数Kmax。可从0开始，以观察第Kmax次迭代的结果 Kmax=input('\n\n 请输入最大迭代次数后回车(可从零开始) Kmax=\n'); small=10^(-5); %ε不能太小 %i为节点标号，其中1号……NPQ号为PQ节点，（NPQ+1） %号……（N-1）号为PV节点，N号节点为平衡节点 %节点导纳矩阵Y的实部 G=[1.042093 -0.588235 0 -0.453858; -0.588235 1.069005 0 -0.480769; 0 0 0 0 ; -0.453858 -0.480769 0 0.934627 ]; %节点导纳矩阵Y的虚部 B=[ -8.242876 2.352941 3.666667 1.891074 ; 2.352941 -4.727377 0 2.403846 ; 3.666667 0 -3.3333333 0 ; 1.891074 2.403846 0 -4.261590 ]; %Y矩阵 Y=complex(G,B); %给定PQ节点的Pnode、Qnode，PV节点的Pnode、Vnode。（Vnode为节点电压的幅值）Pnode=[ -0.3 -0.55 0.5 ];%PQ、PV节点的初值P Qnode=[ -0.18 -0.13 0 ];%PQ节点的初值Q Vnode=[ 0 0 1.10 ];%PV节点的初值V %迭代初值 1电力系统潮流计算 潮流计算是电力系统分析中的一种最基本的计算，它的任务是对给定的运行条件确定系统的运行状态，如母线上的电压(幅值及相角)、网络中的功率分布及功率损耗等。在电力系统规划设计和现有电力系统运行方式的研究中，都需要利用潮流计算来定量地分析比较供电方案或运行方式的合理性.可靠性和经济性。此外，电力系统潮流计算也是计算系统动态稳定和静态稳定的基础。 2节点导纳矩阵的形成 在图1（a ）的简单电力系统中，若略去变压器的励磁功率和线路电容，负荷用阻抗表示，便可以得到一个有5个节点（包括零电位点）和7条支路的等值网络，如图1（b ）所示。将接于节点1和4的电势源和阻抗的串联组合变换成等值的电流源和导纳的并联组合，变得到图1（c ）的等值网络，其中1101I y E =和 4404I y E =分别称为节点1和4的注入电流源。 (a) 2 4? ?4 y (c) 图1 电力系统及其网络 以零电位点作为计算节点电压的参考点，根据基尔霍夫定律，可以写出4个独立节点的电流平衡方程如下： 10112121 12212022323242423323434244234434044()()()()0()()0()()y U y U U I y U U y U y U U y U U y U U y U U y U U y U U y U I ?+-=? -++-+-=? ? -+-=? ?-+-+=? （2-1） 上述方程组经过整理可以写成 1111221211222233244322333344422433444400Y U Y U I Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U Y U I ? + =? +++=? ? ++=?? ++=? （2-2） 式中， 111012 Y y y =+； 2220232412 Y y y y y =+++；332334Y y y =+；44402434Y y y y =++； 122112Y Y y ==-； 233223 Y Y y ==-； 244224 Y Y y ==-； 344334 Y Y y ==-。 一般的，对于有n 个独立节点的网络，可以列写n 个节点方程 11112211211222221122n n n n n n nn n n Y U Y U Y U I Y U Y U Y U I Y U Y U Y U I ? +++=? +++=? ? ? ?++ +=? （2-3） 也可以用矩阵写成 1111121212222212n n n n nn n n U I Y Y Y Y Y Y U I Y Y Y U I ???? ???????? ??????=?????? ?????? ?????????? （2-4） 或缩写为 YU I = （2-5） 矩阵Y 称为节点导纳矩阵。它的对角线元素ii Y 称为节点i 的自导纳，其值等于接于节点i 的所有支路导纳之和。非对角线元素 ij Y 称为节点i 、j 间的互导纳， 它等于直接接于节点i 、j 间的支路导纳的负值。若节点i 、j 间不存在直接支路，则有 ij Y =。由此可知节点导纳矩阵是一个稀疏的对称矩阵。 0 引言 潮流是配电网络分析的基础，用于电网调度、运行分析、操作模拟和设计规划，同时也是电压优化和网络接线变化所要参考的内容。潮流计算通过数值仿真的方法把电力系统的详细运行情况呈现给工作人员，从而便于研究系统在给定条件下的稳态运行特点。随着市场经济的发展，经济利益是企业十分看重的，而线损却是现阶段阻碍企业提高效益的一大因素。及时、准确的潮流计算结果，可以给出配电网的潮流分布、理论线损及其在网络中的分布，从而为配电网的安全经济运行提供参考。从数学的角度来看，牛顿-拉夫逊法能有效进行非线性代数方程组的计算且具有二次收敛的特点，具有收敛快、精度高的特点，在输电网中得到广泛应用。随着现代计算机技术的发展，利用编程和相关软件，可以更好、更快地实现配电网功能，本文就是结合牛顿-拉夫逊法的基本原理，利用C++程序进行潮流计算，计算结果表明该方法具有良好的收敛性、可靠性及正确性。 1 牛顿-拉夫逊法基本介绍 1.1 潮流方程 对于N个节点的电力网络（地作为参考节点不包括在内），如果网络结构和元件参数已知，则网络方程可表示为： YV I = （1-1） 式中，Y为N*N阶节点导纳矩阵；V为N*1维节点电压列向量；I为N*1维节点注入电流列向量。如果不计网络元件的非线性，也不考虑移相变压器，则Y 为对称矩阵。 电力系统计算中，给定的运行变量是节点注入功率，而不是节点注入电流，这两者之间有如下关系： ? ?= EI S （1-2） 式中，S为节点的注入复功率，是N*1维列矢量；?S为S的共轭； ??i diag ??=???? E V 是由节点电压的共轭组成的N*N 阶对角线矩阵。 由（1-1）和（1-2），可得： ??=S EYV 上式就是潮流方程的复数形式，是N 维的非线性复数代数方程组。将其展开，有： ?i i i ij j j i P jQ V Y V ∈ -=∑ j=1,2，….，N （1-3） 式中， j i ∈表示所有和i 相连的节点j ，包括j i =。 将节点电压用极坐标表示，即令i i i V V θ=∠，代入式（1-3）中则有： ()i i i i ij ij j j j i P jQ V G jB V θθ∈-=∠-+∠∑ ()()cos sin i j ij ij ij ij j i V V G jB j θθ∈=+-∑ 故有： () ()cos sin sin cos i i j ij ij ij ij j i i i j ij ij ij ij j i P V V G B Q V V G B θθθθ∈∈?=+?? =-?? ∑∑ i=1,2,…,N （1-4） 式（1-4）是用极坐标表示的潮流方程。 而节点功率误差： (cos sin )θθ∈?=-+∑SP i i i j ij ij ij ij j i P P V V G B (1-5) (cos sin )θθ∈?=--∑SP i i i j ij ij ij ij j i Q Q V V G B (1-6) 式中：SP i P ，SP i Q 为节点i 给定的有功功率及无功功率。 1.2 牛顿-拉夫逊法基本原理 1.2.1 牛拉法的一般描述 牛拉法是把非线性方程式的求解过程变成反复对相应的线性方程式的求解 2 模型简介及等值电路 2.1课程设计模型：模型3 电力网络接线如下图所示，各支路阻抗标幺值参数如下：Z12=0.02+j0.06，Z13=0.08+j0.24，Z23=0.06+j0.18，Z24=0.06+j0.12，Z25=0.04+j0.12，Z34=0.01+j0.03， Z45=0.08+j0.24，k=1.1。该系统中，节点1为平衡节点，保持 11.060 V j =+ &为定值；节点2、3、4都是PQ节点，节点5为PV节点，给定的注入功率分别为: 20.200.20 S j =+， 3-0.45-0.15 S j =， 40.400.05 S j =--， 50.500.00 S j =-+， 51.10 V= &。各节点电压（初值）标幺值参数如下： 节点 1 2 3 4 5 Ui（0）=ei（0） +jfi（0） 1.06+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.0+j0.0 1.1+j0.0 计算该系统的潮流分布。计算精度要求各节点电压修正量不大于10-5。 图2-1 2.2模型分析 节点类型介绍 按变量的不同，一般将节点分为三种类型。 1 PQ节点 这类节点的有功功率和无功功率是给定的，节点(,) Vδ是待求量。通常变电所都是这一类型节点。由于没有发电设备，故其发电功率为零。有些情况下，系统中某些发电厂输出的功率在一段时间内是固定时，该发电厂母线也作为PQ节点。因此，电力系统中绝大多数节点属于这一类型。 2 PV节点 这类节点有功功率P和电压幅值V是给定的，节点的无功功率Q和电压的相位δ是待求量。这类节点必须有足够的可调无功容量，用以维持给定的电压幅值，因此又称为电压控制节点。一般选择有一定无功储备的发电厂和具有可调无功电源设备的变电所作为PV节点。 3 平衡节点 在潮流分布算出以前，网络中的功率损耗是未知的，因此，网络中至少有一个节点 节点牛顿拉夫逊法法matlab程序 clear; clc; n=9;%节点数； nl=9;%支路数； isb=1;%平衡节点号； pr=0.00001;%误差精度； b1=[140.0576i01.051;450.017+0.092i0.158i10;560.039+0.17i 0.358i10;360.0586i01.051;670.0119+0.1008i0.209i10;78 0.0085+0.072i0.149i10;280.0625i01.051;890.032+0.161i 0.306i10;940.01+0.085i0.176i10]; %依次是支路首端；末端，支路阻抗；对地电纳；支 比；折算到哪一侧标志（高压侧为1；低压侧为0）；其为支路参数矩阵； %关于变比为1.05的问题：，=，=1.05，k*=1.05(以全网平均额定电压为基准电压），上述矩阵均是以标幺值给出的 b2=[001.051.0501;1.6301.051.0503;0.8501.051.0503;001 002;00.9+0.3i1002;001002;01+0.35i1002;001002;0 1.25+0.5i1002]; %节点参数矩阵；依次是节点的发电机功率给定值Ps，Qs （只有2和3节点的功率给定值不为0，分别为1.63+0.067i和0.85-0.109i）；负荷功率给定值；节点电压初值（除发电机节点为1.05外，其它均为1。即一般将PV节点和平衡节点初始电压设为1.05，其它节点初始电压设为1）；PV节点电压Vs给定值（标幺值，除去损耗之后为1，故给定值的标幺值为1.05）；节点无功补偿设备容量；节点分类标号（平衡1；PQ2；PV3）； Y=zeros(n);%求导纳阵； for i=1:nl if b1(i,6)==1 p=b1(i,1);q=b1(i,2); else p=b1(i,2);q=b1(i,1); end%为了保证p为低压侧节点，q为高压侧节点 Y(p,q)=Y(p,q)-1./(b1(i,3)*b1(i,5)); Y(q,p)=Y(p,q); Y(q,q)=Y(q,q)+1./(b1(i,3)*b1(i,5)^2)+b1(i,4)./2; Y(p,p)=Y(p,p)+1./b1(i,3)+b1(i,4)./2; end %disp('系统的导纳阵为：'); %disp(Y); %求解导纳矩阵； G=real(Y);B=imag(Y);%取导纳矩阵的实部和虚部； 牛顿拉夫逊潮流计算 [整理 版 ] float G[N][N],B[N][N]; // struct // 阻抗参数 int nl; // 左节点 int nr; // 右节点 牛顿拉夫逊潮流计算 // 整个程序为 : // 牛拉法解潮流程序 #include }ydata[n_br]={ {1,2,0,0.1880,- 0.6815,0.6040}, {1,3,0.1302,0.2479,0.0129,0.0129}, {1,4,0.1736,0.3306,0.0172,0.0172}, {3,4,0.2603,0.4959,0.0259,0.0259}, {2,2,0,0.05,0,0} }; float Z2; //ZA2=RA2+XA2 各串 联阻 抗值的平方 存储电压修正值 float mid1[N],mid2[N],dS[2*(N-1)]; //mid1 对角线元素的中间值 ,dS 存储 PQUi 勺不平衡量 float Jacob[2*(N-1)][2*(N-1)],inv_J[2*(N-1)][2*(N- 1)]; // 雅克比行列式 float dPQU=1.0; //PQU 不平衡量最大值 int kk=0; // 迭代次数 int i,j,k; float t; float R; // 串联电阻值 float X; // 串联电抗值 float Bl; // 左节点并联电导 float Br; // 右节点并联电纳 float e[N],f[N],dfe[2*(N-1)]; //e,f 存储电压的 x 轴分量和 y 轴分量 ,dfe 、mid2 存储计算雅克比行列式 基于MATLAB的直角坐标下牛顿-拉夫逊法潮流计算 摘要 潮流计算，指在给定电力系统网络拓扑、元件参数和发电、负荷参量条件下，计算有功功率、无功功率及电压在电力网中的分布。潮流计算是根据给定的电网结构、参数和发电机、负荷等元件的运行条件，确定电力系统各部分稳态运行状态参数的计算。通常给定的运行条件有系统中各电源和负荷点的功率、枢纽点电压、平衡点的电压和相位角。待求的运行状态参量包括电网各母线节点的电压幅值和相角，以及各支路的功率分布、网络的功率损耗等。它是基于配电网络特有的层次结构特性，论文提出了一种新颖的分层前推回代算法。该算法将网络支路按层次进行分类，并分层并行计算各层次的支路功率损耗和电压损耗，因而可大幅度提高配电网潮流的计算速度。论文在MATLAB环境下，利用其快速的复数矩阵运算功能，实现了文中所提的分层前推回代算法，并取得了非常明显的速度效益。另外，论文还讨论发现，当变压器支路阻抗过小时，利用Π型模型会产生数值巨大的对地导纳，由此会导致潮流不收敛。为此，论文根据理想变压器对功率和电压的变换原理，提出了一种有效的电压变换模型来处理变压器支路，从而改善了潮流算法的收敛特性。 关键词：电力系统；潮流分析；MATLAB Abstract Flow calculation is an important analysis function of power system and is the necessary facility of fault analysis, relay protection setting and security analysis. In addition, the traditional design method is a structured program design method based on functional decomposition, the entire software engineering as a combination of objects, as the domain of a particular issue, the composition of the object will remain basically unchanged Therefore, this decomposition method based on object design software structure relatively stable, easy to maintain and expand. . Combine the characteristics of power systems, software running on the use of MATLAB language WINDOWS OS graphical flow calculation software. The main features of the system are simple and intuitive graphical interface and stable operation. Calculated accurately Calculations, the algorithm has done a number of improvements to enhance the computing speed, the various types of effective package makes the procedure has good modularity maintainability and reusability. The MATLAB language is used to calculate flow distribution of power system in this paper. The typical examples explain that the method has the characteristics of simple programming high calculation efficiency and matching people habit the calculation result can satisfy the engineering calculation needs and at the same time verify the usefulness of the method. Key words: Electric power system; flow calculation; MATLAB牛顿——拉夫逊法进行潮流计算
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