高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限：

A (2，1,-6)，

B (0，2，0)，

C (-3，0,5)，

D (1，-1，-7).

解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。

2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则

(1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3).

(3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3).

同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3).

3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即

(-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2.

解之得z =11，故所求的点为M (0，0，

149

). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2

12

14M M =，2

2

13236,6M M M M ==

所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程.

解：所求平面方程为1y x z

++=。

6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为

Ay +Bz =0.

又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为

Ax +Cz +D =0.

又点M 1和M 2都在平面上，于是

0A D C D +=??

+=?

可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0.

显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？

解：表示以点（1，-2，0

9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2.

解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

1. 下列各函数表达式:

(1) 已知f (x ,y )=x 2+y 2,

求(f x y -； (2)

已知22(,f x y x y -=+求f (x ,y ).

解：（1

）2222(()f x y x y x xy y -=-+=-+ （2

）2

222(()2f x y x y x y -=+=-+

所以22(,)2f x y x y =-

2. 求下列函数的定义域，并指出其在平面直角坐标系中的图形： (1) 221sin 1

z x y =+-；

(2) z

(3) (,))f x y x y -；

(4) 22(,)f x y =

解：（1）由2210x y +-≠可得221x y +≠

故所求定义域为D ={(x ,y )| 221x y +≠}表示xOy 平面上不包含圆周的区域。 （2）由

2210

10x y ?-≥?-≥?

可得11

11x y y -≤≤??≥≤-?

或

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1111x y y -≤≤≥≤-且或}，表示两条带形闭域。 （3）由

10

0x x y -≥??->?

可得

1

x y x ≥??

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 1x y x ≥<且}，表示xOy 平面上直线y=x 以下且横坐

标1x ≥的部分。 （4）由

222

131

0x y x y ?-≤--≤?-≥?

可得

222

24

x y y x ?≤+≤?≤?

故所求的定义域为D ={(x ,y )| 22224x y y x ≤+≤≤且}。 3. 说明下列极限不存在：

(1) 00

lim x y x y

x y

→→-+；

(2) 362

00

lim x y x y

x y →→+.

解：（1）当点P (x ,y )沿直线y =kx 趋于点(0,0)时，有

(,)(0,0)0 (1)1

lim lim (1)1x y x y kx

x y k x k x y k x k →→=---==+++。

显然，此时的极限值随k 的变化而变化。 因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。 （2）当点P (x ,y )沿曲线3y kx =趋于点(0,0)时，有

3

36

62262(,)(0,0)0 lim lim (1)1x y x y kx

x y kx k x y k x k →→===+++。 显然，此时的极限值随k 的变化而变化。 因此，函数f (x ,y )在(0,0)处的极限不存在。

4. 计算下列极限：

(1) 01

lim x x y e y

x y →→++； (2)(,)(0,3)sin()lim x y x y x

→;

(3) 33(,)(0,0)sin()lim x y x y x y

→++；

(4)

(,)(0, 0)

lim

x y →.

解：（1）因初等函数(,)x e y

f x y x y

+=+在(0,1)处连续，故有

001

1

lim 2x x y e y e →→++==

（2）

(,)(0,3)(,)(0,3)sin()sin()

lim

lim 3x y x y xy xy y x xy →→==

（3）33332

233(,)(0,0)(,)(0,0)sin()sin()lim lim ()0x y x y x y x y x xy y x y x y

→→++=-+=++ （4

）(,)(0, 0)

(,)(,)1lim

lim lim x y x y x y →→→===。 5. 究下列函数的连续性：

(1) 22

,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y x y f x y x y ?-≠?

+=??=?

(2) 22

22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x y x y f x y x y x y ?-≠?

=+??=?

解：(1)22

(,)(0,0)(,)(0,0)

lim

lim ()0(0,0)x y x y x y x y f x y →→-=-==+ 所以f(x,y)在(0,0)处连续.

(2) 22222

222222(,)(0,0)0 1lim lim 1x y x y kx

x y x kx k x y x k x k →→=---==+++ 该极限随着k 的取值不同而不同，因而f(x,y)在(0,0)处不连续.

6. 下列函数在何处间断？ (1) 221z x y =-；

(2) z =解：(1)z 在{(x ,y )| x y =}处间断. (2)z 在{(x ,y )| 2

2

1x y +≥}处间断.

习题7-3

1. 求下列函数偏导数：

(1) z =x 3

+3xy +y 3

； (2) 2

sin y z x

=;

(3) ln(3)z x y =-； (4) ln (00,1)y z x x y x y x =+>>≠，

(5) z y

u x =； (6) 22cos()z u x y e -=-+ 解：(1) 2233,33.z z x y x y x y ??=+=+??

(2) 2

22sin 1,cos 2.y z

z y y x

??=-= (3) 13,.33z z x x y y x y

??-==?-?-

(4) 1111,ln .y y y y z z yx yx x x x xy x y y --??=+=+=+??

(5)

12,ln ().z z

y y u z u z x x x x y y y -??==-?? 1ln ()z

y u x x z y

?=? (6)

22sin()2,z u

x y e x x

-?=--+? 2222sin()(2)2sin().z z z x y e y y x y e y --?=--+-=-+?

22sin()()z z u

x y e e z

--?=--+-?

22sin()z z e x y e --=-+

2. 求下列函数在指定点处的偏导数： (1) f (x ,y )=x 2－xy +y 2，求f x (1,2)，f y (1,2);

(2) 22

(,)arctan x y f x y x y

+=-;求(1,0)x f

(3) 2

2arctan((,)sin(1)x f x y x e =-; 求(1,2)x f ；

(4) (,,)ln()f x y z x yz =-, 求(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)x y z f f f . 解：(1) (,)2,(,)2.x y f x y x y f x y x y =-=-+ (1,2)220,(1,2)14 3.x y f f ∴=-==-+= (2) 2

1(,0)arctan ,(,0)1x f x x f x x ==

+故 因此11(1,0).112

x f =

=+

(3) 222arctan(1

(,2)ln(4)sin(1)x f x x x e =++-

因此

222arctan(22arctan(12(,2)cos(1)224

sin(1)x x x x f x x x e

x x e =+-++-

所以arctan(11(1,2)25

x f e =+.

(4) 1(,,),(,,),(,,).x y z y

z f x y z f x y z f x y z --===

故11(2,0,1),(2,0,1),(2,0,1)0.

2x y z f f f ==-=

3．设r ，证明： (1) 2

2

2

1

r r r x y z ?????????++= ? ?

??????????; (2) 222222

2r r r r x y z

???++=???; (3)

2222222(ln )(ln )(ln )1

r r r x y z r

?

??++=???. 证明：r x ??=,x r

=

利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：r y ??,y

r =r z ??.z r

=

(1)

()

()

2

2

2

2222221x y z r r r

r x

y z r r ++?????++=== ??????

(2) 2

2222223

r x r x r r r x x r x r r r ?--

?-?===? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：22

2222

2323

,r y r r r z y r z r -??-==??

222

222222233322.r x y r r r r r x y z r r

--???∴++===???

(3) 222222

2(ln )1ln ln(),2r x x

r x y z x x y z r

?=++==?++ 22

22244

2(ln )2r r x r r r x x x r r ?-?-?==

? 利用函数关于自变量的对称性，可推断得到：

222222

2424(ln )2(ln )2,.r r y r r z y r z r ?-?-==?? 222222222242(ln )(ln )(ln )32()1

r r r r x y z x y z r r

???-++∴++==???.

4. 求下列函数的二阶偏导数22z x ??,22z y ??,2

z y x

???： (1) 322433z x x y x y x y =+--+； (2) ln()z x x y =+. 解：(1) 2

22

212631,246.z z x xy y x y x x

??=+--=+??

222361,6.z z

x xy x y y

??=-+=-?? (2) 2222

211

ln(),.()()x y x x y z z x y x x x y x y x x y x y +-+??=++=+=?++?++ 222

,.()z x z x y x y y x y ??==-?+?+ 5. 某水泥厂生产A ,B 两种标号的水泥，其日产量分别记作x ,y (单位：吨)，总成本(单位：

元)为

C (x ,y )=20+30x 2+10xy +20y 2,

求当x =4,y =3时，两种标号水泥的边际成本，并解释其经济含义. 解：(,)6010,(,)1040,x y C x y x y C x y x y =+=+

(4,3)270,(,)160.x y C C x y ∴==

经济含义:当A ,B 两种标号的水泥日产量分别4吨和3吨时，如果B 水泥产量不变，而A 水泥的产量每增加1吨，成本将增加270元；如果A 水泥产量不变，而B 水泥的产量每增加1吨，成本将增加160元。

6. 设某商品需求量Q 与价格为p 和收入y 的关系为

Q =400－2p +0.03y .

求当p =25,y =5000时，需求Q 对价格p 和收入y 的偏弹性，并解释其经济含义. 解：

(,)2,(,)0.03,p y Q p y Q p y =-=

(25,5000)2,(25,5000)0.03.p y Q Q =-=

经济含义: 价格为25和收入为5000时，如果价格不变，而收入增加1个单位，商品的需求量将增加0.03；如果收入不变，而价格增加1个单位，商品的需求量将减少2.

习题7-4

1. 求下列函数的全微分：

(1) z =4xy 3+5x 2y 6；

(2) z =

(3) u =ln(x －yz )； (4) sin

2

yz y

u x e =++ 解：(1) 36225410,1230,z z y xy xy x y x y ??=+=+??

所以 3323 z 2(2)d 6(2)d .d y xy x xy xy y =++5+5

(2)

z z

x y ??==?? 所以

z .d x y =

(3) 1,,,y

u u z u -??-?===

所以 1 u d d .y z d x y dz x yz x yz x yz

--=++---

(4) 11,cos ,,22yz yz y

u u u ze ye x y z

???==+=???

所以 1

u d (cos )d .22yz yz y d x ze y ye dz =+++ 2. 计算函数z =x y

在点(3，1)处的全微分. 解：1,ln ,y y z z yx x x x y

-??==??

所以 1

z d ln d .y y d yx x x x y -=+ (3,1) d 3ln3d .dz x y =+

3. 求函数z =xy 在点(2，3)处，关于Δx =0.1，Δy =0.2的全增量与全微分.

解：,,z z y x x y

??==??所以(2,3)(2,3)3,2,z z x y ??==?? (2,3)(2,3)

0.30.40.7z z

z x y x y ???≈

?+?=+=?? (2,3) 3d 2d .dz x y =+

4. 计算 (1.04)

2.02的近似值.

设函数f (x ,y )=x y .x =1,y =2,Δx =0.04,Δy =0.02.

f (1,3)=13=1,f x (x ,y )=yx y -1,f y (x ,y )=x y ln x ,

f x (1,2)=2,f y (1,2)=0.

由二元函数全微分近似计算公式(7-18)，得

(1.05)

3.02≈1+2×0.04+0×0.02=1.08.

5. 设有一个无盖圆柱形玻璃容器，容器的内高为20 cm ，内半径为4 cm ，容器的壁与底的厚度均为0.1 cm ，求容器外壳体积的近似值.

解：解 设圆柱的直径和高分别用x ，y 表示，则其体积为

221(,)()24

x V f x y πy πx y ===.

于是，将所需的混凝土量看作当x +Δx =8+2×0.1，y +Δy =20+0.1与x =8，y =20时的两个圆柱体的体积之差ΔV (不考虑底部的混凝土)，因此可用近似计算公式

ΔV ≈d V =f x (x ,y )Δx +f y (x ,y )Δy .

又211(,),(,)24

x y f x y πx y f x y πx ==，代入x =8，y =20，Δx =0.2，

Δy =0.1，得到

211

d 8200.280.117.655.264.24V V πππ?≈=???+??=≈(m 3).

因此，大约需要55.264m 3

的混凝土.

习题7-5

1. 求下列函数的全导数：

(1) 设z =e 3u +2v ，而u =t 2,v =cos t ,求导数d d z t

；

(2) 设z =arctan(u －v ),而u =3x ,v =4x 3,求导数d d z x

;

(3) 设z =xy +sin t ,而x =e t ,y =cos t ,求导数d .d z t

解： (1) d d d d dz z u z v

dt u t v t

??=?+???

3232322(sin )u v u v e t e t ++=?+?- 2

2

32cos 32cos 62sin t t t t te te ++=-

(2)

d d d d dz z u z v dx u x v x

??=?+??? 2

2

113121()1()x u v u v -=?+?+-+- 32

3(14).1(34)x x x =?-+- (3) d d d d y

dz z x z z dt x t y t t

???=?+?+???

(s i n )c o

s t

y e x t t =?+?-+ c o s s i n c o s t t t

e e t t =?-+ 2. 求下列函数的偏导数(其中

f 具有一阶连续偏导数)： (1) 设z =u 2v －uv 2，而u =x sin y ,v =x cos y ，求z x ??和z y

??；

(2) 设z =(3x 2+y 2)4x +2y ，求z x ??和z y

??；

(3) 设u =f (x ,y ,z )=e x +2y +3z ,z =x 2cos y ，求u x ??和u y

??；

(4) 设w =f (x ，x 2y ，xy 2z )，求w x ??,w y ??,w z

??.

解：(1)22(2)sin (2)cos z z u z v uv v y u uv y x u x v x

?????=?+?=-+-?????

222222(sin 2cos )sin (sin sin 2)cos x y x y y x y x y y =-+-

22(2)cos (2)sin z z u z v

uv v x y u uv x y y u y v y

?????=?+?=---????? 22

2222(s i n 2c o s )c o s (s i n s i n 2)s i n

x y x

y x y x y x y x y =-+- (2) 令223,42,v u x y v x y z u =+=+=则. 16ln 4v v z z u z v vu x u u -?????=?+?=?+? ()

()

421

422222226343ln(3)x y x y

x x y x y x y +-+=++++

12ln 2v v z z u z v vu y u u x u y v y -?????=?+?=?+?????? ()

()

421

422222222323ln(3)x y x y

y x y x y x y +-+=++++

(3)

21232w

f f xy f y z ?=+?+? 2232w f x f xyz y ?=?+??

2

3w f x y ?=? 3. 应用全微分形式的不变性，求函数arctan 1x y

z x y

+=-的全微分. 解：令,1,arctan

u u x y v xy z =+=-=则 2

22111(arctan )1()1()

u u

dz d du dv u u v v v v v

==-++ 而,du dx dy dv ydx xdy =+=--

故2

()()11[]111x y ydx xdy dz dx dy xy xy x y +--=+---+??

+ ???

22

.11dy dx x y =

+++ 4. 已知sin xy －2z +e z =0,求z x ??和z y ??..

解：两同时对x 求偏导，可得

cos 20.z z z

y xy e x x

??-+=??

故cos .2z

y xy

z e ?=- 两边同时对y 求偏导，可得

cos 20.z z z

x xy e y y ??-+=??

故cos .2z

x xy

z y e ?=?- 5. 若f 的导数存在，验证下列各式：

(1) 设u =yf (x 2－y 2)，则2u u y x y x u x y

??+=??；

(2) 设()y

z x y x f x =+，则z z x y z x y x y

??+=+??.

证：(1) 22'()2u yf x y x ?=-?,22222()2'().u f x y y f x y y

?=---?

所以232222222'()2[()2'()]u u y xy y f x y x xy f x y y f x y xu x y

??+=-?+---=??.

(2) 21()'()()

y y z y f xf x x x x ?=++?-?,1'().y z x xf y

x x ?=+? 所以11[()'()()]['()]y y y

z z x y x y f f y x xf z xy x y x x x x x ??+=++?-++=+??.

6. 求下列函数的二阶偏导数(其中f 具有二阶连续偏导数)：

(1) arctan 1x y

z x y +=-；

(2) z =y ln x ；

(3) z =f (xy ,x 2－y 2). 解：(1)由第3题可知

22

1,.11dy z z

x y x y ??==??++ 故222222222222,,0(1)(1)y z x z z z

x y y x

x x y y -?-???=

===?????+?+. (2) ln ln 11ln ,ln .x x z z y y xy x x y

-??==?? 故2ln 2ln 22211ln ln x x z y y y y x x x ?=-?, 2ln 22ln (ln 1),x z

x x y y

-?=-? 22ln 1ln 1ln 1111

ln ln (1ln ln )x x x z z y x y y y x y ---??==+??=+. (3) 122,z

f y f x x ?=+?122.z f x f y y

?=-?

故2111222(2)2z y f y f x f x ?=++?22212211122222(2)442.x f y f x y f xyf x f f ++=+++ 22211122212211122222(2)22(2)442.z

x f x f y f y f x f y x f xyf y f f y

?=----=-+-? 22221111221221111222(2)2(2)(22)4.z z

f y f x yf x f x yf f xyf x y f xyf x y y x

??==+-+-=++--???? 7. 求由下列方程所确定的隐函数z =f (x ,y )的偏导数,z z x y

????：

(1) x 2+y 2+z 2－4z =0；

(2) z 3－3xyz =1.

解：(1)两边同时对x 求偏导得2240,z z x z x x ??+-=??故2.42z x x z

?=?-

两边同时对y 求偏导得2240,z z y z y y ??+-=??故2.42y

z y z

?=?-

(2) 两边同时对x 求偏导得233()0,z z z y z x x

??-+=??故2

3.33yz z

x z y ?=?- 两边同时对y 求偏导得故23.33z xz y z x ?=?-

习题7-6

1. 求下列函数的极值：

(1) f (x ,y )=x 2+y 3－6xy +18x －39y +16； (2) f (x ,y )=3xy －x 3－y 3+1.

解：(1) 先解方程组2

(,)26180

(,)36390x y f x y x y f x y y x =-+=???=--=?? 得驻点为(-6,1),(6,5).

()()2,,6,,y,xx xy yy f f x y f x y ==-=6

在点(-6，1)处，Δ=AC -B 2=2×6-36<0,所以f (-6，1)不是极值； 在点(6，5)处，Δ= AC -B 2=2×30-36>0，又A >0，所以函数在(6，5)处有极小值f (6，5)=-90.

(2) 先解方程组2

2

(,)330

(,)330x y

f x y y x f x y x y ?=-=??=-=?? 得驻点为(0,0),(1,1).

()()6,,3,,y,xx xy yy f x f x y f x y =-==-6

在点(0，0)处，Δ=AC -B 2=-9<0,所以f (0，0)不是极值；

在点(1，1)处，Δ=AC -B 2=27>0,又A <0，所以函数在(1，1)处有极大值f (1，1)=2.

2. 求函数f (x ,y )=x 2－2xy +2y 在矩形区域D ={(x ,y )|0≤x ≤3,0≤y ≤2}上的最大值和最小值.

解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组 (,)220

(,)220 x y

f x y x y f x y x =-=???

=-+=?? 得唯一驻点(1,1),且f (1,1)=1.

(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.

在边界x =0,02y ≤≤上, f (x ,y )=2y ，因此最大值为f (0,2)=4，最小值为f (0,0)=0； 在边界x =3,02y ≤≤上, f (x ,y )= -4y +9，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (3,2)=1； 在边界y =0,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2，因此最大值为f (3,0)=9，最小值为f (0,0)=0；

在边界y =2,03x ≤≤上, f (x ,y )= x 2－4x +4，因此最大值为f (3,2)=1，最小值为f (2,2)=0； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (3,0)=9为最大值，f (0,0)=0为最小值. 3. 求函数f (x ,y )=3x 2+3y 2－x 3在区域D :x 2+y 2≤16上的最小值. 解：(1)先求函数在D 内的驻点，解方程组 2(,)6630(,)60 x y f x y x y x f x y y ?=+-=?

?

==??

得驻点(0,0), (2,0)，且f (0,0)=0， f (2,0)=4.

(2) 再求f (x ,y )在D 的边界上的最值.

在边界x 2+y 2=16上，f (x ,y )=48－x 3, 因此最大值为f (0,4)=48，最小值为f (4,0)=-16； (3) 比较上述得到的函数值，从而得到f (0,4)=48为最大值，f (4,0)=-16为最小值. 4. 求下列函数的条件极值： (1) z =xy ，x +y =1；

(2) u =x －2y +2z ， x 2+y 2+z 2=1.

解：(1) 作拉格朗日函数L (x ,y ,λ)=xy +λ(x +y －1).写出方程组

0010x y L y L x L x y λλλ=+=??

=+=??=+-=? 得到11(,)22P ,因此，z =xy 在11(,)22P 处取得最大值14

.

(2) 作拉格朗日函数L (x ,y ,z ,λ)= x －2y +2z +λ(x 2+y 2+z 2－1).写出方程组

222120220

22010x y z L x L y L z L x y z λλλλ=+=??

=-+=??

=+=?

?=++=?－ 得到1122(,,)333P -,1122

(-,,-)333

P . 因此，u =x －2y +2z 在1122

(-,,-)333

P 处取得最小值-3. 5. 要用铁板做成一个体积为8m 3的有盖长方体水箱，如何设计才能使用料最省？ 解 设长方体的三棱长分别为x ，y ，z ，则问题就是在约束条件

xyz =8

下求函数S =2(xy +yz +xz )的最大值. 构成辅助函数

F (x ，y ，z )= 2(xy +yz +xz )+λ(xyz －8)，

解方程组

(,,)220,(,,)220,

(,,)220,8x y z

F x y z y z yz F x y z x z xz F x y z x y xy xyz λλλ=++=??

=++=??

=++=??=?

得2x y z ===,这是唯一可能的极值点.

因为由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.即：体积为8m 3的有盖长方体水箱中,以棱长为2的正方体的表面积为最小，最小表面积24.S =

6. 某工厂生产甲、乙两种产品的日产量分别为x 件和y 件，总成本函数为

C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元),

要求每天生产这两种产品的总量为42件，问甲、乙两种产品的日产量为多少时，成本最低？

解：问题是在约束条件x +y =42(x >0，y >0)下，函数

C (x ,y )=1000+8x 2－xy +12y 2(元)

的条件极值问题.令

(,,)L x y λ221000812(42)x xy y x y λ=++++-－

由160,240,42x y L x y L x y x y λλ=-+==-++=+=得x =25,y =17.

根据问题本身的意义及驻点的唯一性知，当投入两种产品的产量分别为25件和17件时，可使成本最低.

7. 某公司通过电视和报纸两种媒体做广告，已知销售收入R (单位:万元)与电视广告费x (单位:万元)和报纸广告费y (单位:万元)之间的关系为

R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2，

(1) 若广告费用不设限，求最佳广告策略.

(2) 若广告费用总预算是2万元，分别用求条件极值和无条件极值的方法求最佳广告策

略.

解：(1)R 14840,328200.x y y x R x y =--==--=令得唯一驻点(1.5,1).由此可知，当电视广告费为1.5万元，报纸广告费为1万元时，广告策略最佳。 (2) 问题是在约束条件x +y =2(x >0，y >0)下，函数

R (x ,y )=15+14x +32y －8xy －2x 2－10y 2

的条件极值问题.令

(,,)L x y λ221514328210(2)x y xy x y x y λ=++++-－－－ 由14840,832200,2x y L y x L x y x y λλ=--+==-+-+=+=

解得x =0.75,y=1.25. 由此可知，当电视广告费为0.75万元，报纸广告费为1.25万元

时，广告策略最佳。

由x +y =2，可得y =2-x ,代入R 得

R (x ,y )=-4 x 2+6x +39

令0,0.75x R x ==得.因此y=1.25.

复习题7 （A ）

1.

设1)z f =，且已知y =1时，z =x 则()f x =3(1)1x +-

,1z x -. 解：由y =1时，z =x

，得1)= 1.f x -

3331=t.(1),()(1) 1.()(1)1x t f t t f x x =+=+-=+-得因此即

，1z x =-. 2. 设3

22,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x x y f x y x y x y ?≠?

=+??=?

，则(0,0)x f = 1 , (0,0)y f = 0 .

解：00(0,0)(0,0)(0,0)lim

lim 1,x x x f x f x

f x

x ?→?→+?-?===??

00(0,0)(0,0)0(0,0)lim lim 0.x x x f y f f y y ?→?→+?-===?? 3. 设arctan

x y

z x y

+=-,,则d z = . 解：令,,arctan u

u x y v x y z v

=+=-=则

2

22111(arctan )1()1()

u u

dz d du dv u u v v v v v

==-++ 而,du dx dy dv dx dy =+=-

故2

()()11[]11x y dx dy dz dx dy x y x y x y xy +-=+---+??

+ ?-??

22

.xdy ydx

x y -=

+

4. 设()()y x u yf xg x y =+,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2

22

u u x y x y x ??+=??? . 解：21'()()'(),y y u x x yf g xg x x y y y x ???=-++ ???? 22

24322111''()'()'()'()''(),y y y y u x x x y f y f g g x g x x y y y y y x x x y ???=++++ ???? 2222322322''()'()'()''()'(),y y y y u x x x x x x f f g g g x x y y y x

x x y y y ???=----- ???? 所以222u u x y x y x

??+=???0.

5. 若函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处的偏导数存在，则在该点处函数(,)z f x y = ( D )

A 有极限

B 连续

C 可微

D 以上三项都不成立

解：因为偏导数存在，不能推出极限存在，所以ABC 三项不一定正确. 6. 偏导数f x (x 0,y 0)，f y (x 0,y 0)存在是函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)连续的( D ) A 充分条件 B 必要条件

C 充要条件

D 即非充分也非必要条件 解：同5.

7. 设函数f (x ,y )=1－x 2+y 2

,则下列结论正确的是( D )

A 点(0,0)是f (x ,y )的极小值点

B 点(0,0)是f (x ,y )的极大值点

C 点(0,0)不是f (x ,y )的驻点

D f (0,0)不是f (x ,y )的极值 8. 求下列极限：

(1) 22(,)(0,0)1lim ()sin x y x y x y →+； (2)

(,)(0, 0)

lim

x y →.

解：(1) 因为22(,)(0,0)

1lim ()0x y x y xy →+=，而sin

有界.所以22(,)(0,0)1

lim ()sin 0.x y x y xy

→+=

(2)

(,)(0, 0)

(,)(,)lim

lim lim

x y x y x y →→→== =0

9. 设u =e 3x －

y ，而x 2+y =t 2,x －y =t +2,求0

d d t u t =.

解：由x 2+y =t 2,x －y =t +2,可得 22,1,dy dy dx dx x t +=-=所以 2122,2121

dy dx t t x dt x dt x +-==++. 因此，3321223x y x y dy du du dx du t t x e e

--+-=+=-. 令0,2,41, 1.t x y x y ==-=-==-得或

故2

40d 5.d 33

t u e e t -==或 10. 设z =f (x ,y )由方程xy +yz +xz =1所确定,求22

2,,.z z z x x y

x ???????

解：两边同时对x 求偏导，得

0,,y z z z z z x z y y z x x x x x y y x y

+????++++==-=-

???+?+因此由对称性可得.

22222

()()()22.()()()

y z z x y y z x y y z x y y z z x x x y x y x y +?-+--+-+++??=-=-=?+++ 2

222

(1)()()(1)()2.()()()z x z x y y z x y y z y x y z z

x y x y x y x y ?+++-+-+--?+?=-=-=??+++ 11. 设f (u ,v )具有二阶连续偏导数,且满足22221f f

u v

??+=??，又221(,)[,()]2g x y f x y x y =-,

试证

22222

2g g

x y x y

??+=+??. 证：221,(),(,)(,).2

u xy v x y g x y f u v ==-=设则则

,g f f f f u v y x x u x v x u v ???????=+=+???????,g f f f f u v x y y u y v y u v

???????=+=-??????? 222222222222,g f f

f f f f u v

y x y x x x v v x u v u v

?????????=++=++????????? 2222222222

22,g f f

f f f f u v x y x y y y v v y u v

u v

?????????=--=+-????????? 所以222222g g

x y x y

??+=+??.

12. 求函数f (x ,y )=x 2(2+y 2)+y ln y 的极值.

解：先解方程组2

2

(,)2(2)0

(,)2ln 10x y f x y x y f x y x y y ?=+=??=++=?? 得驻点为(0,1).

()()221

2(2),,4,,2,xx xy yy f y f x y xy f x y x y

=+==+

在点(0，1)处,Δ=AC -B 2=6×1-0>0,又A >0,所以函数在(0，1)处有极小值f (0，1)=0.

（B ）

1. 设z =e －

x +f (x －2y )，且已知y =0时，z =x 2,则z x

?=? .

解：令2220(),(2),x x x y y f x x e z e x y e -==-=+--得因此，

所以22(2).x x y z

e x y e x

-?=+--?

2. 设f (x ,y ,z )=e x yz 2，其中z =z (x ,y )是由x +y +z +xyz =0确定的隐函数，则(0,1,1)x f -= .

解：01()0.z z

x y z xyz y z x x x

??+++=+++=??由可得

故1.1yz

z x xy

+?=-?+ 221(,,)(2)(2)1x x x x x yz z

f x y z y e z e z y e z e z x xy

+?=+?=-?+

因此(0,1,1)1x f -=.

3.

设z =,则z z x y x y ??+=?? .

解：z

z x y ??==??，

所以11

2.2z z x y x y ??+=??

4. 设1()()z f x y yg x y x =++,,其中f ,g 具有二阶连续偏导数,则2

z x y

?=?? .

解：21()'()'(),y

z f xy f xy yg x y x

?=-+++

2'11

()'()''()'()''()y z f xy f xy f xy x g x y yg x y ?=-++++++ ''()

'()''(y f x y g x y y g x y =++++. 5.

函数(,)f x y =(0,0)处的偏导数存在的情况是( C ).

A

f x (0,0)，f y (0,0)都存在 B f x (0,0)存在，f y (0,0)不存在

C f x (0,0)不存在，f y (0,0)存在 D

f x (0,0)，f y (0,0)都不存在

解：000(0,0)(0,0)1(0,0)lim

lim lim ,x x x x f x f e f x x

?→?→?→+?--==??=

000(0,0)(0,0)1

(0,0)lim lim lim .y x x x f y f f y y

?→?→?→+?--==??=

6. 设f (x ,y ),g (x ,y )均为可微函数，且g y (x ,y )≠0，已知(x 0,y 0)是f (x ,y )在约束条件g (x ,y )=0下的一个极值点，下列结论正确的是( D )

A 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)=0

B 若f x (x 0,y 0)=0,则f y (x 0,y 0)≠0

C 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)=0

D 若f x (x 0,y 0)≠0,则f y (x 0,y 0)≠0

解：作拉格朗日函数(,,)(,)(,)L x y f x y g x y λλ=+，则有 0000(,,)(,)(,)0x x x L x y f x y g x y λλ=+=， 0000(,,)(,)(,)0y y y L x y f x y g x y λλ=+=.

由于g y (x ,y )≠0，所以当f x (x 0,y 0)≠0，0,λ≠因此00(,)0y g x y λ≠，从而f y (x 0,y 0)≠0. 7. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且z =z (x ,y )是由x e x －y e y =z e z 所确定的隐函数，求d u .

解：由x e x －y e y =z e z 可得.,y y

x x x x z z z z z z

e ye z z z e xe z e xe e ze x x x y e ze e ze --???+?+=+==????++故同理. 因此x y z du

f dx f dy f dz =++

()y y x x

x y z z z z z

e ye e xe

f dx f dy f dx dy e ze e ze ++=++-++

()()y y x x x z y z z z z z

e ye e xe

f f dx f f dy e ze e ze ++=++-++.

8. 设函数u =f (x ,y ,z )有连续偏导数，且y =y (x ),z =z (x )分别由下列两式确定：

0sin 2,d x z

x y x t e x y e t t

--==?，

求d d u x

. 解：由2,()()0,.xy xy

xy

xy

dy dy dy e y y y

e xy e y x y x dx dx dx x

x e x --=+-+===--可得因此， 由0sin()()sin d ,(1)1sin()

x x z x x

x z e x z t dz dz e t e t x z dx dx x z ---==-=---?可得，因此. 故()d [1]d sin()

x x y z x y z dy y e x z u dz f f f f f f x dx dx x x z -=++=-+--. 9. 设z =z (x ,y )由方程x 2+y 2－z =g (x +y +z )所确定，其中g 具有二阶连续偏导数且g ′≠－1. (1) 求d z ;

(2) 1(,)()z z u x y x y x y

??=--??,求.u x ??

解：(1)()22x y z g x y z +=++由－,两边分别同时对x 、y 求偏导得

()()2'(1),2'(1).z z z z x g x y z y g x y z x x y y

????-

=+++-=+++???? 因此()()()

()2'2',.'1'1x g x y z y g x y z z z x y g x y z g x y z -++-++??=

=??++++++ ()()()

()2'2'.'1'1

x g x y z y g x y z dz dx dy g x y z g x y z -++-++=

+++++++

(2) ()()22112

(,)()'1'1

x y z z u x y x y x y x y g x y z g x y z -??=

-==-??-++++++, ()()2

2

2'2''()[1]2''()(1)'1.['()1]['()1]x g x y z z g x y z g x y z g x y z u x x g x y z g x y z -++?-+++-++++++??==?++++++ 10. 求函数u =x 2+y 2+z 2在约束条件z =x 2+y 2和x +y +z =4下的最大值和最小值.

解：由2222,44x y x y z x y x y +++=+=--z=可得.因此，问题转化为求 22

2

4(4)4

u x y x y x y x y

=--+--+=--在约束条件

下的极值问题. 令222(,,)4(4)(4)L x y x y x y x y x y λλ=--+--++-++, (,,)12(4)20x L x y x y x λλλ=----++=，

(,,)12(4)20y L x y x y y λλλ=----++=. 2240,x y x y +-++=

解得: 2,21, 1.x y x y =-=-==或因此, .z=8或z=2

又(2,2,8)72,(1,1,2) 6.f f --== 所以最大值为72，最小值为6.

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高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

第七章 多元函数的微分学

第七章多元函数的微分学 一、多元函数微分学网络图 二、内容与要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。 5.会求多元隐函数的偏导数。 6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件， 了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值， 会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 难点多元复合函数二阶偏导数的求法。用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。 三、概念、定理的理解与典型错误分析 1．求多元函数极限的方法 （1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则 注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式. （2）利用多元函数极限的四则运算。 （3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算. （4）对于证明或求时，感觉极限可能时零， 而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而 由夹逼定理知从而 2．判断多元函数极限不存在的方法 （1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意： 与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限， 我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。 例1 而知不存在. 例2 在原点的两个累次极限都不存在，但是 由于，因此. 由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在， 但二重极限存在，但我们有下面的结论。 定理7。1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。 （2）推论。若存在且不相等，则不存在。 3．求多元函数的偏导数

第十七章多元函数微分学习题课

第十七章 多元函数微分学习题课 一 疑难问题与注意事项 1.(,)z f x y =在),(000y x P 可微的等价定义： 1）0000(,)(,)()z f x x y y f x y A x B y o ρ?=+?+?-=?+?+，0 () lim 0o ρρρ →=； 2）00000 [(,)(,)] lim 0x y z f x y x f x y y ρρ →?-?+?=； 3）, y x y B x A z ?+?+?+?=?βα()() ()() ,0,0,0,0lim lim 0x y x y αβ??→??→= =． 2.求(,)f x y 在00(,)x y 处的偏导数方法小结： 答 1）利用定义求（主要适用于分段函数的分段点处的偏导数）： 0000000 (,)(,) (,)lim x x f x x y f x y f x y x ?→+?-=?， 0000000 (,)(,) (,)lim y y f x y y f x y f x y y ?→+?-=?. 2）转化为一元函数的导数： ()0 000,(,)x x x df x y f x y dx ==，() 000,(,)y y y df x y f x y dy == . 例如，2(,)(f x y x y =+-(1,1)x f . 解 () ()211 ,1(1,1)2x x x d x df x f dx dx ==== =. 3）先求偏导函数，在代值，即 ()0 00(,)(,),x x x y f x y f x y =，0 00(,) (,)(,)y y x y f x y f x y =. 3.求(,)z f x y =（初等函数不含分段点）的偏导函数方法小结： 答 1）求 z x ??，把y 当常数，对x 求导，求z y ??，把x 当常数，对y 求导. 2）运用轮换性，若在(,)z f x y =中，把x 换成y ， y 换成x ，(,)z f x y =不变，则称(,)z f x y =关于x 和y 具有轮换性.若已经求出 z x ??，只要在z x ??把x 换成y ， y 换成x ，

高等数学公式大全及常见函数图像

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高等数学公 式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

多元函数微分学知识点梳理

第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理

高等数学常用公式大全

高数常用公式 平方立方： 22222222 332233223223332233222(1)()()(2)2()(3)2()(4)()()(5)()()(6)33()(7)33()(8)222(a b a b a b a ab b a b a ab b a b a b a b a ab b a b a b a ab b a a b ab b a b a a b ab b a b a b c ab bc ca -=+-++=+-+=-+=+-+-=-+++++=+-+-=-+++++= 21221)(9)()(),(2) n n n n n n a b c a b a b a a b ab b n ----++-=-++++≥ 三角函数公式大全 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1 -cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1 cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π -a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A - cos( 2A )=2cos 1A + tan( 2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan( 2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a -

高等数学习题详解-第7章 多元函数微分学

1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或卦限： A (2，1,-6)， B (0，2，0)， C (-3，0,5)， D (1，-1，-7). 解：A 在V 卦限，B 在y 轴上，C 在xOz 平面上，D 在VIII 卦限。 2. 已知点M (-1，2，3)，求点M 关于坐标原点、各坐标轴及各坐标面的对称点的坐标. 解：设所求对称点的坐标为(x ，y ，z )，则 (1) 由x -1=0，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于坐标原点的对称点的坐标为：(1，-2，-3). (2) 由x =-1，y +2=0，z +3=0，得到点M 关于x 轴的对称点的坐标为：(-1，-2，-3). 同理可得：点M 关于y 轴的对称点的坐标为：(1， 2，-3)；关于z 轴的对称点的坐标为：(1，-2，3). (3)由x =-1，y =2，z +3=0，得到点M 关于xOy 面的对称点的坐标为：(-1， 2，-3). 同理，M 关于yOz 面的对称点的坐标为：(1， 2，3)；M 关于zOx 面的对称点的坐标为：(-1，-2，3). 3. 在z 轴上求与两点A (-4，1，7)和B (3，5，-2)等距离的点. 解: 设所求的点为M (0，0，z )，依题意有|MA |2=|MB |2，即 (-4-0)2+(1-0)2+(7-z)2=(3-0)2+(5-0)2+(-2-z)2. 解之得z =11，故所求的点为M (0，0， 149 ). 4. 证明以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 解：由两点距离公式可得2 12 14M M =，2 2 13236,6M M M M == 所以以M 1(4,3,1)，M 2(7,1,2)，M 3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 5. 设平面在坐标轴上的截距分别为a =2,b =－3,c =5,求这个平面的方程. 解：所求平面方程为1y x z ++=。 6. 求通过x 轴和点(4,－3,－1)的平面方程. 解：因所求平面经过x 轴，故可设其方程为 Ay +Bz =0. 又点(4,－3,－1)在平面上，所以-3A -B =0.即B=-3 A 代入并化简可得 y -3z =0. 7. 求平行于y 轴且过M 1(1,0,0)，M 2(0,0,1)两点的平面方程. 解：因所求平面平行于y 轴，故可设其方程为 Ax +Cz +D =0. 又点M 1和M 2都在平面上，于是 0A D C D +=?? +=? 可得关系式：A =C =－D ,代入方程得：－Dx －Dz +D =0. 显然D ≠0,消去D 并整理可得所求的平面方程为x +z －1=0. 8. 方程x 2+y 2+z 2－2x +4y =0表示怎样的曲面？ 解：表示以点（1，-2，0 9. 指出下列方程在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么几何图形？ (1) x －2y =1； (2) x 2+y 2=1； (3) 2x 2+3y 2=1； (4) y =x 2. 解：(1)表示直线、平面。(2)表示圆、圆柱面。(3)表示椭圆、椭圆柱面。 (4)表示抛物线、抛物柱面。

人教版高数必修一第4讲：函数的表示方法

函数的表示方法 __________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________ 1、 能根据不同需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数； 2、 了解简单的分段函数，并能简单应用； 一、函数的常用表示方法简介： 1、解析法 如果函数()()y f x x A =∈中，()f x 是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表达函数的方法叫做解析法（公式法）。 例如，s =602t ，A =π2r ，2S rl π=,2)y x = ≥等等都是用解析式表示函数关系的。 特别提醒： 解析法的优点：（1）简明、全面地概括了变量间的关系；（2）可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值；（3）便于利用解析式研究函数的性质。中学阶段研究的函数主要是用解析法表示的函数。 解析法的缺点：（1）并不是所有的函数都能用解析法表示；（2）不能直观地观察到函数的变化规律。 2、列表法： 通过列出自变量与对应函数值的表格来表示函数关系的方法叫做列表法。 例如：初中学习过的平方表、平方根表、三角函数表。我们生活中也经常遇到列表法，如银行里的利息表，列车时刻表，公共汽车上的票价表等等都是用列表法来表示函数关系的. 特别提醒： 列表法的优点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值。这种表格常常应用到实际生产和生活中。 列表法的缺点：对于自变量的有些取值，从表格中得不到相应的函数值。 3、图象法： 用函数图象表示两个变量之间的函数关系的方法，叫做图像法。 例如：气象台应用自动记录器描绘温度随时间变化的曲线，工厂的生产图象，股市走向图等都是用图象法表示函数关系的。 特别提醒： 图像法的优点：能直观形象地表示出自变量的变化，相应的函数值变化的趋势，这样使得我们可以通过图象来研究函数的某些性质。 图像法的缺点：不能够精确地求出某一自变量的相应函数值。

第7章 多元函数微分学

§7.1 空间解析几何基本知识 教学内容提要 1. 空间直角坐标系； 2. 空间两点间的距离公式与两点连线的中点坐标公式； 3. 简单的曲面方程。 教学目的与要求 1. 了解空间直角坐标系和空间两点间的距离公式及两点连线的中点公式； 2. 了解常用二次曲面的方程及其图形。 教学重点与难点 常用二次曲面的方程及其图形的简单描绘. 教学时数 4 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．空间直角坐标系的建立 过空间定点0，作三条互相垂直的数轴，他们都以0为原点 且一般具有相同的长度单位。这三条轴分别称为x 轴，y 轴， z 轴，统称坐标轴。通常把x 轴和y 轴配置在水平面上，z 轴 z 在铅垂方向，他们的指向符合右手法则. 2、空间两点间的距离公式 空间任意两点),,(1111z y x M 和),,(2222z y x M 21221221221)()()(z z y y x x M M -+-+-= 特殊地，点),,(z y x M 与坐标原点)0,0,0(O 的距离为222z y x OM ++= 。 例1 在z 轴求与两点)7,1,4(-A 和)25,3(-B 等距离的点的坐标。 二、曲面及其方程的概念 1．曲面方程 在空间解析几何中，任何曲面都可以看作满足一定条件的点的几何轨迹 ，如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，不在曲面S 上的点的坐标都不满足该方程，则称此方程0),,(=z y x F 为曲面的方程，而曲面S 就叫做方程的图形。 例2 动点),,(z y x P 与两定点)1,3,2(),0,2,1(21-P P 的距离相等，求此动点P 的轨迹。 三、几种常见的曲面及其方程 1、平面的一般方程 任一平面都可以用三元一次方程来表示 .任一三元一次方程Ax +By +Cz +D =0的图形总是一个平面. 例3 求通过x 轴和点(4, -3, -1)的平面的方程. 解 平面通过x 轴, 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴, 即A =0; 另一方面表明 它必通过原点, 即D =0. 因此可设这平面的方程为

数学分析教案_(华东师大版)第十七章__多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的：1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及 偏导存在、偏导连续等之间的关系；2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2．全微分: 例1 考查函数在点处的可微性 . P107例1 二.偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17—1.

3.求偏导数: 例2 , 3 , 4 . P109—110例2 , 3 , 4 . 例5. 求偏导数. 例6. 求偏导数. 例7. 求偏导数, 并求. 例8. 求和. 解=, =. 例9 证明函数在点连续 , 并求和. 证 . 在点连续 . ,

不存在 . 三.可微条件: 1.必要条件: Th 1 设为函数定义域的内点.在点可微 , 和存在 , 且 . ( 证 ) 由于, 微分记为 . 定理1给出了计算可微函数全微分的方法. 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分. 例10考查函数 在原点的可微性 . [1]P110 例5 . 2.充分条件:

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在 , 且和在点处连续 . 则函数在点可微 . ( 证 ) P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 , 则函数在点可微 . 证 . 即在点可微 . 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件 . 例11 验证函数在点可微 , 但和在点处不连续 . (简证,留为作业) 证

高等数学函数基本公式

１. 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则

设)(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数)]([x f y ?=的导数为 dy dy du dx du dx = 或()()y f u x ?'''= ２. 双曲函数与反双曲函数的导数. 双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式： 三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则 从函数的微分表达式: d ()d y f x x '= 可以看出，要计算函数的微分，只要计算函数的导数，再乘以自变量的微分．因此，可得如下的微分公式和微分运算法则． 1． 基本初等函数的微分公式 由基本初等函数的导数公式，可以直接写出基本初等函数的微分公式．为了便于对照，列表于下：

大学高数常用公式大全

高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=，　，　，　 一些初等函数： 两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππx x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x x x x x x x ++=+-==+= -= ----1ln(:2 :2:22） 双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e x x x x x x

高等数学一常用公式表

常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系： （1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式： （1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式： （1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式： （1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +

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高等数学公式 导数公式： (tgx) sec 2 x (arcsin x) 1 1 x 2 ( ctgx) csc 2 x (arccos x) 1 (secx) secx tgx 1 x 2 (cscx) cscx ctgx (arctgx ) 1 ( a x ) a x ln a 1 x 2 (log a x) 1 (arcctgx ) 1 1 x 2 x ln a 基本积分表： tgxdx ln cosx C dx sec 2 xdx tgx C ctgxdx ln sin x C cos 2 x dx 2 secxdx ln secx tgx C sin 2 x csc xdx ctgx C cscxdx ln cscx ctgx C secx tgxdx secx C dx 1 x csc x ctgxdx cscx C a 2 x 2 a arctg a C a x dx a x C dx 1 x a ln a x 2 a 2 2a ln C x a shxdx chx C dx 1 a x a 2 x 2 2a ln C chxdx shx C a x dx x 2 arcsin x C dx ln( x x 2 a 2 ) C a 2 a x 2 a 2 2 2 n 1 I n sin n xdx cos n xdx I n 2 0 0 n x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln( x x 2 a 2 ) C 2 2 x 2 a 2 dx x x 2 a 2 a 2 ln x x 2 a 2 C 2 2 a 2 x 2 dx x a 2 x 2 a 2 arcsin x C 2 2 a 三角函数的有理式积分： sin x 2u ， cos x 1 u 2 ， u tg x ， dx 2du 1 u 2 1 u 2 2 1 u 2

高等数学基本公式

高等数学公式 导 数 求导数的方法： 1． 用导数定义求导 2． 用导数的基本公式和四则运算法求导 3． 用链式法则对复合函数求导 4． 用对数求导法对幂指函数等求导 5． 隐函数和参数方程求导法 函数和、差的求导法则：两个可导函数之和（差）的导数等于这两个函数的导数之和（差） 函数积的求导法则：两个可导函数乘积的导数等于第一因子的导数与第二因子的乘积，加上第一个因子与第二个因子的导数的乘积。 函数商的求导法则：两个可导函数之商的导数等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子的乘积，再除以分母的平方。 反函数的导数=直接函数的导数的倒数 隐函数？对数求导法？函数的单调性？ 导数基本公式（可导一定连续，连续不一定可导，不连续一定不可导）P 94 正切函数的导数公式：x x 2sec )(tan =' 正割函数的导数公式：x x 2csc )(cot -=' 余切函数的导数公式：x x x tan sec )(sec ?=' 余割函数的导数公式：x x x cot csc )(csc ?-=' 对数函数的导数公式：a x x a ln 1)(log = ' 〈a a a x x ln )(='〉 反正弦函数的导数公式：2 11)(arcsin x x -=' 反余弦函数的导数公式：2 11)(arccos x x -- =' 反正切函数的导数公式：2 11)(arctan x x += ' 反余切函数的导数公式：2 11)cot (x x arc +- ='

高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式： ) () () () 2() 1() (0 ) () () (! ) 1()1(! 2)1()(n k k n n n n n k k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--+ +''-+ '+== ---=-∑ 什么是一阶导数？什么是高阶导数？ 微 分 微分公式P115-P116（熟记） 中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。 时，柯西中值定理就是 当柯西中值定理： 拉格朗日中值定理：x x F f a F b F a f b f a b f a f b f =''=---'=-)(F ) ()() ()()()() )(()()(ξξξ

第七章多元函数微分高等数学

第七章 多元函数微分学 一、内容分析与教学建议 （一） 本章主要是把一元函数微分学中一些主要概念、理论和方法推广到多元函数，一方 面充实微分学，另一方面也给工程技术及自然科学提供一些处理问题的方法和工具。 在教学方法上，在一元函数微分学基础上，通过类比方法引入新的问题、概念、理论和方法，并注意比较它们的异同。 （二） 多元函数、极限、连续 先通过介绍平面点集的几个基础概念，引入二元函数由点函数再过渡到多元函数，并引入多元函数极限，讲清它的概念，并指出二元函数与一元函数极限点0P P →方式的异同，可补充一些简单例题给出二元函数求极限的一些常用方法，如换元化为一元函数两边夹准则，运用连续性等。在理解极限概念之基础上，不难得到求一个二元函数极限不存在之方法，最后可介绍累次极限与重极限之关系。 （三） 偏导数与全微分 1、可先介绍偏增量概念，类比一元函数，引入偏导数，通过例题说明，偏导与连续之关系，在偏导数的计算中，注意讲清分段函数分界点处的偏导数。 2、可由测量矩形相邻边长计算面积实例，类比一元函数的微分，引入全微分的定义，并指出用定义判断),(y x f z =可微，即求极限[ ]ρ y y x z x y x z z y x y x ?+?-?→?→?),(),(lim 0 是 否为0。 3、讲清教材中全微分存在的必要条件和充分条件，重点指出可微与偏导之关系，让学生理解关系式dy y z dx x z dz ??+??= 之意义，最后可通过列表给出多元函数连续、偏导存在、可微之相互关系。 （四） 复合函数求偏导 1、可先证明简单情形的全导数公式，画出函数关系图，通过关系图中“分线相加，连线相乘”法则推广至偏导数或全微分的各种情形),(v u f z =，)(x u ?=，)(x v ?=从中让学生理解口诀的含义。

多元函数微分学复习题及标准答案

多元函数微分学复习题及答案

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第八章 多元函数微分法及其应用 复习题及解答 一、选择题 1. 极限lim x y x y x y →→+00 242= （提示：令22 y k x =） （ B ） (A) 等于0 (B) 不存在 (C) 等于 12 (D) 存在且不等于0或1 2 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=? ????1100 ，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） (A) 不存在 (B) 等于1 (C) 等于0 (D) 等于2 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=??? ? ?22 2222000 ，则(,)f x y （ A ） （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx =， 2222 2 lim lim 0(0,0)1x x y kx kx f x k x k →→→===++ ，故在220x y +=，函数亦连续.所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续.） (A) 处处连续 (B) 处处有极限，但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连续 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件 (B)充分而非必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22 + (B) - +y x y 22 (C) y x y 22 + (D) -+x x y 22 6、设f x y y x (,)arcsin =，则f x '(,)21= （ A ） （A ）- 14 （B ）14 （C ）-12 （D ）1 2

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多元函数微分学复习题 及答案 标准化管理部编码-[99968T-6889628-J68568-1689N]

第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????110 00，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ， 2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22

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(完整word版)(整理)数学分析教案(华东师大版)第十七章多元函数微分学

第十七章多元函数微分学 教学目的： 1.理解多元函数微分学的概念，特别应掌握偏导数、全微分、连续及偏导存在、偏导连续等之间的关系； 2.掌握多元函数特别是二元函数可微性及其应用。 教学重点难点：本章的重点是全微分的概念、偏导数的计算以及应用；难点是复合函数偏导数的计算及二元函数的泰勒公式。 教学时数：18 学时 § 1 可微性 一．可微性与全微分： 1．可微性：由一元函数引入. 亦可写为, 时. 2 ．全微分: 例 1 考查函数在点处的可微性. P107 例 1 二. 偏导数: 1.偏导数的定义、记法: 2.偏导数的几何意义: P109 图案17 —1.

3.求偏导数: 例 2 , 3 , 4 . P109 —110 例 2 , 3 , 4 . 例 5 . 求偏导数. 例 6 . 求偏导数. 例7 . 求偏导数, 并求. 例8 . 求和. =. 例9 证明函数在点连续, 并求和. . 在点连续.

三. 可微条件 : 1. 必要条件 : Th 1 设 为函数 定义域的内点 . 在点 可微 和 存在 , 且 . （ 证 ） 由于 , 微分记为 定理 1 给出了计算可微函数全微分的方法 例 10 考查函数 2. 充分条件 : 不存在 两个偏导数存在是可微的必要条件 , 但不充分 . 在原点的可微性 [1]P110 例 5 .

Th 2 若函数的偏导数在的某邻域内存在, 且和在 点处连续. 则函数在点可微. （证） P111 Th 3 若在点处连续, 点存在 则函数在点可微. . 即在点可微. 要求至少有一个偏导数连续并不是可微的必要条件. 验证函数在点可微, 但和在点处不连续. （简证, 留为作业） 证