工程结构拓扑优化的理论研究及应用_满宏亮.

提要

本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的

原理、方法以及各种拓扑优化算法。其次，着重研究了SIMP 材料插值方法，建立了基于SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密

度迭代格式进行了推导；并且利用MATLAB软件编程实现，有效地进行了平面结构的分析和拓扑优化设计。然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方法，并对其进行了比较。最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使用结构有限元分析软件Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。

关键词：有限元拓扑优化材料插值模型数值计算不稳定性优化

求解算法

Key words: FEA Topology optimization Material Interpolation

Model Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i-

目录

第一章绪论 (1)

1.1 前言 (1)

1.2 国内外拓扑优化研究概况 (3)

1.3 本文研究内容及意义 (9)

第二章现代结构拓扑优化理论 (11)

2.1 拓扑的概念 (11)

2.1.1 拓扑学的由来 (11)

2.1.2 拓扑学及拓扑性质 (13)

2.2 结构拓扑优化原理和方法 (16)

2.2.1 拓扑优化的基本原理 (17)

2.2.2 结构拓扑优化设计方法 (17)

2.2.3 拓扑优化设计方法比较 (21)

2.3 拓扑优化设计的优化算法概述 (22)

2.3.1 优化算法分类 (22)

2.3.2 拓扑优化常用算法 (24)

第三章连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 (27)

3.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述 (29)

3.2 数学模型的有限元离散 (34)

3.2.1 单元应变和应力.........................................34吉林大学硕士研究生学位论文-ii-

3.2.2 单元平衡方程 (35)

3.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 (38)

3.3 基于SIMP 理论的优化准则法 (39)

第四章结构拓扑优化程序实现 (45)

4.1 基于SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程 (45)

4.2 优化过程的MA TLAB 编程实现 (47)

4.3 计算实例 (48)

4.3.1 单一工况简支梁算例 (48)

4.3.2 单一工况悬臂梁算例 (49)

4.3.3 多工况简支梁算例 (50)

第五章连续体结构拓扑优化中数值不稳定问题的研究 (51)

5.1 多孔材料问题 (52)

5.2 棋盘格式问题 (52)

5.2.1 棋盘格现象 (52)

5.2.2 棋盘格式产生的原因 (53)

5.2.3 棋盘格解决方法 (53)

5.3 网格依赖性问题 (56)

5.3.1 网格依赖性现象 (56)

5.3.2 网格依赖性问题产生的原因 (57)

5.3.3 网格依赖性解决方法 (57)

5.4 局部极值问题 (59)

5.5 克服数值不稳定现象几种主要方法的比较.......................60目录

-iii-

第六章拓扑优化技术的应用 (61)

6.1 拓扑优化分析软件介绍 (61)

6.2 拓扑优化技术的应用举例 (65)

6.3 拓扑优化技术应用算例 (67)

6.3.1 算例一某型轿车车门内板的拓扑优化 (67)

6.3.2 算例二某型轿车控制臂的拓扑优化 (71)

第七章全文总结与展望 (75)

7.1 全文总结 (75)

7.2 研究展望 (76)

参考文献 (77)

摘要.......................................................... I Abstract........................................................ I

致谢.......................................................... I-1-

第一章绪论

1.1 前言

近年来，随着计算机技术和数值方法的快速发展，工程中许多大型复杂结

构问题都可以采用离散化的数值计算方法并借助计算机得到解决。有限元法已经成为结构分析的一个重要的数值计算方法，这一理论的基本思想诞生于20 世纪中叶，经过60多年的不断发展和完善，理论已经日趋完善，而且已经开发出一批通用和专用有限元分析软件。使用这些软件已经成功解决了航空航天、核工业、铁路运输业、石油化工、机械制造、能源、汽车、电子、土木工程、造船、生物医学、轻工、地矿、水利等大型科学和工程计算难题。有限元法已经为各领域中产品设计、科学研究做出了很大贡献，并且取得了巨大的经济和社会效益。

众所周知，机械结构和零部件的优化设计是为了设计出重量轻，刚强度好，

可靠性强的理想结构。集计算力学、数学规划、计算机科学以及其它工程学科于一体的结构优化设计是现代结构设计领域的重要研究方向。它为人们长期所追求最优的工程结构设计尤其是新型结构设计提供了先进的工具，成为近代设

计方法的重要内容之一。

结构设计一般分为：结构强度设计、结构刚度设计、结构稳定性设计、结

构可靠性设计和结构优化设计。前四种设计是基于结构的使用安全性考虑，其

结构设计思路是根据已有的基本理论和工程设计人员的设计经验设计出产品

的初始结构，然后进行强度分析，如果不符合要求，再重新设计，重新分析，

直到满足用户的要求。而结构优化设计是让设计的结构利用材料更经济、受力

分布更合理。

结构优化通常分为截面（尺寸）优化、形状优化、拓扑优化和结构类型优吉林大学硕士研究生学位论文

-2-

化[1]。优化技术包括传统的参数设计优化（Design Optimization）、基于产

品几何形状的拓扑优化（Topological Optimization）、多目标优化设计

（DesignXplorer）等。目前尺寸优化和形状优化技术已经比较成熟，但是在

结构布局已定的情况下，工程师对设计的修改程度有限，优化设计所能产生的

效果有限。结构拓扑优化又称为结构布局优化，它是一种根据约束、载荷及优

化目标而寻求结构材料最佳分配的优化方法。这个新兴的结构力学的分支不仅

能够解决结构优化中较难的一些问题，而且又有相当大的实际应用价值。运用

拓扑优化，在一定的设计域内通过反复地消除和重新分布结构材料，能够确定

结构材料的最佳排列方式。而这个设计域，是一个只需给出最外边界的粗糙的

模型，不需要初始给定有序结构。从宏观角度看，拓扑优化涉及到的不仅是结

构的截面、几何形状，还包括它的拓扑模型构成，即其构件的空间连接方式。

结构拓扑优化可以大大改善结构的性能或在保持原刚度不变的情况下减

轻结构的重量，从节能环保角度带来直接的经济效益。由于该方法能在工程结

构设计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构在布局上采用最优方

案，所以与尺寸优化和形状优化相比能取得更大的经济效益，也更易被工程技

术人员所接受。结构拓扑优化设计把传统结构设计理念向前推动了一大步，是

结构设计的一个新的里程碑，是目前工程设计人员必须学习和研究的一个方

向。近年来，结构拓扑优化设计技术越来越受到人们的重视，已成为国内外研

究的一个热点。研究拓扑结构优化设计方法，既有理论价值，又有现实意义。

骨是脊椎动物身体的重要组成部分。不论是从形态学的观点还是从力学的

观点来看，骨都是非常复杂的。但是这种复杂性是由其功能适应性所决定的。

所谓骨的功能适应性，是指对所担负工作的适应能力。决定骨功能适应性的因

素有：轴线形状，截面形状，材料沿各方向的分布规律和内部构造情况等。骨

是最理想的等强度优化结构。它不仅在某些不变的外力环境下能显示出其承力

的优越性，而且在外力环境发生变化时，能通过内部调整，以有力的新结构形第一章绪论-3-

式来适应新的外力环境。

拓扑优化的应用领域能否进一步扩展，应用于类似骨这种具有功能适应性

的生物结构呢？事实上，人类对于骨的研究是沿着另一条轨道进行的。学者们

的工作很好地描述了骨的内部最优结构形态，如Weinans 等[2]。然而，我们

可以设想，为什么骨长成不同的外形呢？这是对力学环境的适应，或者说是重

要的、大方向性的适应。如骨干，横截面近似椭圆形，适应各方向受弯，而长

轴则是弯矩最大的方向。再以椎体为例，我们知道，就外形而言，老年期椎体

比年轻期的有更明显的向内凹的腰鼓形；就内部组织结构而言，老年期小梁骨

更细，分布更疏松。椎体是主要承力骨，力学因素是决定其结构形态的主要因

素。椎体在从年轻期到老年期的生长过程中，由于总体力学环境逐渐地发生明

显的变化，从而使其外部几何形状和内部组织结构二者都发生变化，仍以最优

的结构形态去适应新的力学环境。

需要指出的是，骨的这种“最优的结构形态”，应该是即包括最优的内部

组织结构，又包括最优的外部几何形状。研究者们通过定量的骨再造理论与有

限元分析相结合，已经能够十分成功地模拟出在研究部位的确定的真实的骨结

构外形下的最优的内部组织结构。引入拓扑优化思想，通过定量的骨再造理论

与有限元分析相结合，模拟预测出骨结构最优的外部几何形状,在这方面宫赫

等[3]已做了一定的研究。

本文主要是对结构拓扑优化的基本理论,各种优化方法,优化算法,数值问

题等进行研究总结,并加以工程实际应用,以期更深入地运用到生物结构的分

析中来。

1.2 国内外拓扑优化研究概况

目前结构的尺寸优化和形状优化理论已经发展的相当成熟，并且在生产实

践中得到广泛应用。随着结构优化理论的进一步发展，结构拓扑优化作为一种吉林大学硕士研究生学位论文

-4-

更高层次的结构优化设计方法被认为是结构优化领域中更为复杂、困难和更具

挑战性的课题[4]。

拓扑优化按研究的结构对象可分为离散体结构拓扑优化（如桁架、刚架、

加强筋板、膜等骨架结构及它们的组合）和连续体结构拓扑优化（如二维板壳、

三维实体）两大类。

实际上离散结构拓扑优化的历史可以追溯到1904 年由Michell 提出的

Michell 桁架理论[5]，由于数学上的复杂性，Michell 桁架理论只能解决一

些承受简单载荷和简单支撑情况的问题，并依赖于选择适当的应变场。后来虽

有许多研究者对这一理论进行了完善和发展，但是这些研究都属于经典布局理

论优化范畴。为了克服经典布局理论在实践应用中的困难，陆续提出了一些优

化方法，其中最有代表性的是Dorm、Gomor 和Greenberg（1964）等提出的

基结构法（Ground structure approach）[6]，该方法只考虑单工况和应力约

束，不考虑位移约束和协调条件，以内力作为设计变量，从而导出了一个线性

规划问题，杆截面由满应力法求得，将截面面积为0的杆件从基结构中删除以

求得结构的最优化拓扑。后来Dobbs 和Felton[7]对这一方法进行了推广，

将设计变量指定为杆截面，考虑多工况和应力位移约束，求解这个非线性问题。

20世纪60年代初Schmit 将结构优化问题表述为数学规划问题，并采用数学规

划算法求解，成为结构优化领域的一个重要里程碑[8]。段宝岩和叶尚辉[9]

也以内力为设计变量，考虑两工况和内力位移约束，通过变量代换建立线型规

划问题，以求得桁架结构的最优化拓扑。最近Grierson 和Pak、许素强和夏

人伟[10]、Ohsaki 将遗传算法引进桁架。陈建军，曹一波等[11]把可靠性理

论应用到桁架拓扑优化设计中，并且取得了比较好的效果。

包括桁架结构优化在内的离散结构拓扑优化已比较成熟，国内外已有很多

深入的研究和文献[12-17]。连续体结构拓扑优化理论是结构优化领域研究的

难点和热点问题，近年来也得到了较快发展[18-23]。第一章绪论

-5-

连续体结构的拓扑优化是在一个确定的连续区域内寻求结构内部非实体

区域位置和数量的最佳配置，寻求结构中的构件布局及节点联结方式最优化，

使结构能在满足应力、位移等约束条件下，将外载荷传递到结构支撑位置，同

时使结构的某种性态指标达到最优。目前对二维连续体结构的拓扑优化研究较

多。进行拓扑优化的主要困难在于：满足一定要求的结构拓扑形式具有很多种，

拓扑形式难以定量描述或参数化，而需要设计的区域预先未知，大大增加了拓

扑优化的求解难度。

目前关于拓扑优化的重要研究方向可以概述为以下几个方面：拓扑结构描

述方式和材料插值模型；拓扑优化求解数值算法；去除拓扑优化中数值计算不

稳定性的方法，优化计算结果的提取和重构；拓扑优化的应用研究等。

拓扑优化中的拓扑描述方式和材料插值模型非常重要，是一切后续优化方

法的基础。拓扑优化中常用的拓扑表达形式和材料插值模型方法有：变厚度法

[24]；均匀化方法（Homogenization method）[25-30]；密度法[31-36]（如

各向正交惩罚材料密度法，即SIMP（Solid isotropic material with

penalization model）方法）；拓扑函数描述方法[37-40]等，其中均匀化方

法和密度法是最具有代表性的两种材料插值模型。

变厚度法是最早被采用的拓扑优化方法，这方面工作可追溯到1977年

Rossow和Taylor[41]的变厚度应力膜最优设计，它的基本思想是以单元的厚度

为设计变量，以优化后的厚度分布为确定最优拓扑，是尺寸优化的直接推广。

具有方法简单，概念清楚等优点，但是对优化对象进行限制，不能推广到三维

连续体的结构优化中。

20世纪70年代法国科学家Lions[42]提出“均质化方法”并且将其应用

到具有周期性结构材料的分析中，1980 年Cheng 和Olhoff[43]首先把材料

的微观模型引进到结构优化设计中，1988 年丹麦学者Bendose 与美国学者

kikuchi[44]提出基于均质化方法的结构拓扑优化设计。其方法在优化时只考吉林大学硕士研究生学位论文

-6-

虑体积约束和平衡条件，以最小柔顺性为目标，有限元模型中每一单元的微观

结构指定为相同并以其尺寸和转角作为设计变量，优化算法属于准则法，其最

优准则由变分法导出。Guedes 和Kikuchi[25]于1990 年提出了更为详细包

含二维和三维结构的实现算法。Suzhki 和Diaz[26,27]提出了采用均匀化方

法同时进行结构形状和拓扑优化的方法，以及采用均匀化方法进行多工况下拓

扑优化的算法。Michel[28]等研究了用均匀化方法进行材料特性计算的简化方

法。Lazarus[29]等将数学规划算法引入基于均匀化理论的拓扑优化算法中，

并进行了结构动力学的初步计算。Hassani 和Hinton[30]对基于均匀化理论

的拓扑优化理论和算法进行了全面系统的总结。均匀化理论和方法在Altair

公司的OptiStruct软件中首次得到了实现。

用均匀化方法解决宏观结构的拓扑优化问题时，其均匀化弹性张量的求解

非常复杂，并且微单元的最佳形状和方向难以确定，结构响应函数的敏度求解

复杂。Sigmund[33]等用均匀化方法优化了给定材料性能参数情况下的材料微

观结构问题，用均匀化方法材料插值模型进行了材料微观结构的反求，即在给

定一定材料特性参数情况下，采用拓扑优化方法求解材料的最佳微观结构构成

形式。国内学者吴长春等[34]用均匀化方法对蜂窝材料、复合材料的有效弹性

模量等力学性能参数做了数值模拟计算，刘书田、程耿东等[35]用均匀化理论

对复合材料的性能进行了研究。

密度法是结构拓扑优化设计中的另一种有效方法，与均匀化法不同的是人

为的引入一种假想的材料，材料的密度是可变的，材料参数与材料密度间的关

系也是人为假定的，拓扑优化设计时取密度为设计变量，优化结果是材料的最

优化分布，材料的分布反映了结构的最优拓扑。

Mlejnek 等[45]从工程角度出发提出了结构材料密度的幂次惩罚模型，通

过在0-1 离散结构优化问题中引入连续设计变量，并加入中间密度惩罚项，

从而将离散结构优化问题转换为连续结构优化问题，这一方法构成了后来密度第一章绪论-7-

法材料插值模型的基础。Sigmund 和Bendsoe 等[46-48]对密度法材料插值模

型进行了深入研究，从理论上研究了各种不同的密度法惩罚材料插值方法，提

出了一种基于正交各向同性材料密度幂指数形式的变密度法材料密度插值理

论，又称为SIMP 理论。利用该模型能够方便地获得单元密度与弹性模量之间

的关系，减少优化设计变量，简化优化求解过程。该方法作者于1999 年证实

了该方法所具有的中间密度单元在物理意义上的存在性。

国内学者隋允康等[49-53] 提出了一种独立连续映射模型方法（Independent continuous mapping, ICM），通过引入过滤函数、磨光函数

及光滑映射变换，将桁架结构中的离散变量转换为连续设计变量，优化求解后

再将连续设计变量转换为离散设计变量，这样在离散设计变量和连续设计变量

之间建立了一一对应关系，从而建立完善了桁架结构拓扑优化模型，成功解决

了多工况应力与位移约束下的桁架结构拓扑优化问题。并尝试将ICM 方法推

广到连续体结构拓扑优化中，研究了位移和应力约束下的连续体结构拓扑优化

问题，求解中采用了对偶规划算法。

最近，拓扑优化的应用领域也有了新的进展：拓扑优化问题的结构形式有

板壳弯曲问题，三维连续结构。拓扑优化问题的材料有高级材料，非线性材料，

自由材料等。按照目标函数和约束划分有:固有值问题，应力约束，损伤和冲

击，控制问题，荷载与设计相关问题，多目标优化。同时计算方法上也有新的

发展，准则法有转向标准的数学规划方法的趋势，还出现了进化和遗传方法，

细胞自动机，自适应有限元网格的再划分技术。数值问题稳定性方面，抑制棋

盘格现象的方法也得到了进一步的研究，如周长控制和过滤方法以及小波近似

方法都十分有效。《连续结构拓扑优化：综述》[54-55]一文详细介绍了拓扑

优化研究开拓出的许多新的应用领域。列举的例子包括:给定宏观性质的材料

设计研究可以设计出负泊松比，负热膨胀系数材料；柔性机构拓扑优化设计提

供的柔性机构具有极小的磨损、摩擦及配合间隙，无需润滑，具有内在恢复力吉林大学硕士研究生学位论文

-8-

等非常优良的机械性能；生物力学中的功能自适应和拓扑优化研究可以模拟骨

骼的形成。

拓扑优化技术通过有限元分析和优化算法相结合来求解，主要解决离散结

构体和连续结构体两类问题。从研究报告发表的结果表明，国内目前主要工作

是围绕桁架类结构的设计，这些工作虽然在不同程度上推动了拓扑优化技术的

发展，但从总体上讲，对二维、三维及骨架式连续体结构的研究还处于起步状

态，研究与应用力度不够，缺少具有求解大型复杂结构、多工况下的软件系统

与设计平台，且其繁琐的计算和复合材料难于制造现象的存在，影响其应用，

并且在实际的优化过程中普遍存在着数值计算不稳定现象，如棋盘格式、网格

依赖性以及局部极值问题等。总之，目前拓扑优化的研究主要集中于单工况平

面结构，对三维结构和多工况的研究尚少，而且成熟的理论和算法尚未得到，

研究工作还是处于探索阶段。

另外，还存在一种结构布局优化，布局优化综合考虑结构构件的尺寸、形

状和拓扑的优化，同时也考虑外力的最佳作用位置及分布形式，结构的支承条

件等，还包括结构单元类型的优化。布局优化的数学模型描述更为复杂，求解

更困难。目前处于较低的研究水平，国内外很少见文献报道，是研究领域的一

个难点，不在本文的论述范围之内。

以上介绍了拓扑优化方法的发展过程，拓扑优化方法的发展比较缓慢，特

别是连续体的拓扑优化，其主要原因是：拓扑学理论的应用还很不够，连续体

结构拓扑优化模型很难用一个定量的方法来描述拓扑优化的结果。结构拓扑优

化是建立在拓扑学、计算机技术和优化方法基础上的结构优化理论，涉及到应

用数学、计算力学、优化策略等领域，并且不断融入人工智能遗传算法、图像

信息处理、科学计算可视化等新兴学科和技术。随着拓扑优化理论和工程研究

的逐步进展，拓扑优化将可能成为新产品设计和开发的有力工具。连续体结构

拓扑优化是一个新兴的研究领域，其理论和应用研究中都还存在许多问题需要第一章绪论-9-

解决，但随着科技的快速发展，特别是广大科技人员的艰苦努力，拓扑优化方

法将一定会大大推动工程设计的革新和生产力的发展。

1.3 本文研究内容及意义

本文在总结国内外最新研究成果的基础上，对连续体结构拓扑优化的基本

理论、优化方法、相关算法、数值问题及拓扑优化应用进行了系统地分析和研

究。研究工作主要体现在以下几个方面：

1）通过阅读大量的参考文献，归纳总结出了结构拓扑优化的各种分析方

法和优化算法，并介绍了方法的适用范围和算法的选取；

2）对连续体结构拓扑优化中的材料插值理论进行了探讨，基于SIMP 理

论，在体积约束下，选择合适的设计变量和目标函数（最小柔度），构造了适

应结构拓扑优化的数学模型即最小柔度优化问题的数学表达式；并选取了有效

的求解方法—准则优化法对优化模型进行了求解，推导出了其密度迭代格式；

3）利用MATLAB 软件编程，实现了简单的结构拓扑优化程序，有效地进

行了二维平面结构的分析和拓扑优化设计；

4）讨论了结构拓扑优化中普遍存在的数值不稳定现象：多孔材料、棋盘

格、网格依赖性、局部极值等，以及去除这些数值计算不稳定性的方法，并对

各种方法进行了比较；

5）文章最后，选取了两个具体的车身结构部件：车门内板和控制臂，利

用结构有限元分析软件Hyperworks 的OptiStruct 模块对其进行了拓扑优

化应用研究，将拓扑优化理论和方法应用到实际工程结构，算例结果表明了该

优化方法的有效性和正确性。

本课题来源于高等学校博士学科点专项科研基金项目：结构形状拓扑优化

理论及算法。通过本课题的研究，学习了有限元分析理论、算法及应用软件的吉林大学硕士研究生学位论文

-10-

使用，全面了解了优化设计的思想，掌握了一种全新的工程结构和零部件设计

方法；并应用拓扑优化技术，实现了具体工程结构部件的优化设计全过程，提

高了自己分析解决实际问题的能力。-11-

第二章现代结构拓扑优化理论

2.1 拓扑的概念

2.1.1 拓扑学的由来

拓扑学起初叫形势分析学，这是G．W．莱布尼茨1679 年提出的名词。中

文名称起源于希腊语Τοπολογ?α的音译。Topology 原意为地貌，于19 世纪

中期由科学家引入，当时主要研究的是出于数学分析的需要而产生的一些几何

问题。

几何拓扑学是十九世纪形成的一门数学分支，它属于几何学的范畴。有关

拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了。当时发现了一些孤立的问题，后来

在拓扑学的形成中占据着重要的地位。

在数学上，关于哥尼斯堡七桥问题（图2-1）、多面体的欧拉定理（图2-2）、

四色问题等都是拓扑学发展史的重要问题。

哥尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）是东普鲁士的首都，普莱格尔河横贯其

中。十八世纪在这条河上建有七座桥，将河中间的两个岛和河岸联结起来。人

们闲暇时经常在桥上散步，一天有人提出：能不能每座桥都只走一遍，最后又

回到原来的位置。这个问题看起来很简单又很有趣的问题吸引了大家，很多人

在尝试各种各样的走法，但谁也没有做到。看来要得到一个明确、理想的答案

并不那么容易。

1736 年，有人带着这个问题找到了当时的大数学家欧拉，欧拉经过一番

思考，很快就用一种独特的方法给出了解答。欧拉把这个问题首先简化，他把

两座小岛和河的两岸分别看作四个点，而把七座桥看作这四个点之间的连线。

那么这个问题就简化成，能不能用一笔就把这个图形画出来。经过进一步的分吉林大学硕士研究生学位论文

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析，欧拉得出结论—不可能每座桥都走一遍，最后回到原来的位置。并且给出

了所有能够一笔画出来的图形所应具有的条件。

图2-1 哥尼斯堡七桥问题

在拓扑学的发展历史中，还有一个著名而且重要的关于多面体的定理也和

欧拉有关。这个定理内容是：如果一个凸多面体的顶点数是v、棱数是e、面

数是f，那么它们总有这样的关系：f+v-e=2。

根据多面体的欧拉定理，可以得出这样一个有趣的事实：只存在五种正多

面体。它们是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。

图2-2 五种正多面体

著名的“四色问题”也是与拓扑学发展有关的问题。四色问题又称四色猜

想，是世界近代三大数学难题之一。

四色猜想的提出来自英国。1852 年，毕业于伦敦大学的弗南西斯.格思里

来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“看来，每幅

地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家都被着上不同的颜色”。

1872 年，英国当时最著名的数学家凯利正式向伦敦数学学会提出了这个

问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。世界上许多一流的数学家都

纷纷参加了四色猜想的大会战。1878～1880 年两年间，著名律师兼数学家肯第二章现代结构拓扑优化理论

-13-

普和泰勒两人分别提交了证明四色猜想的论文，宣布证明了四色定理。但后来

数学家赫伍德以自己的精确计算指出肯普的证明是错误的。不久，泰勒的证明

也被人们否定了。于是，人们开始认识到，这个貌似容易的题目，其实是一个

可与费马猜想相媲美的难题。

进入20 世纪以来，科学家们对四色猜想的证明基本上是按照肯普的想法

在进行。电子计算机问世以后，由于演算速度迅速提高，加之人机对话的出现，

大大加快了对四色猜想证明的进程。1976 年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美

国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200 个小时，作了100 亿

次判断，终于完成了四色定理的证明。不过不少数学家并不满足于计算机取得

的成就，他们认为应该有一种简捷明快的书面证明方法。

上面的几个例子所讲的都是一些和几何图形有关的问题，但这些问题又与

传统的几何学不同，而是一些新的几何概念。这些就是“拓扑学”的先声。

2.1.2 拓扑学及拓扑性质

拓扑学的英文名是Topology，直译是地志学，也就是和研究地形、地貌

相类似的有关学科。我国早期曾经翻译成“形势几何学”、“连续几何学”、

“一对一的连续变换群下的几何学”，但是，这几种译名都不大好理解，1956

年统一的《数学名词》把它确定为拓扑学，这是按音译过来的。

拓扑学是几何学的一个分支，但是这种几何学又和通常的平面几何、立体

几何不同。通常的平面几何或立体几何研究的对象是点、线、面之间的位置关

系以及它们的度量性质。拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度

量性质和数量关系都无关。

举例来说，在通常的平面几何里，把平面上的一个图形搬到另一个图形上，

如果完全重合，那么这两个图形叫做全等形。但是，在拓扑学里所研究的图形，

在运动中无论它的大小或者形状都发生变化。在拓扑学里没有不能弯曲的元

素，每一个图形的大小、形状都可以改变。例如，前面讲的欧拉在解决哥尼斯吉林大学硕士研究生学位论文

-14-

堡七桥问题的时候，他画的图形就不考虑它的大小、形状，仅考虑点和线的个

数。这些就是拓扑学思考问题的出发点。

拓扑性质

1、拓扑等价

定义：

m

R 的子集X 与

m

R 的子集Y 叫作拓扑等价的（或同胚的），如果

存在一个一对一的函数 f :X Y使得 f 连续，并且

1

f :Y X

也连续。

此外，这函数 f 叫作拓扑等价（或同胚）。

拓扑等价是比较容易理解的一个拓扑性质。在拓扑学里不讨论两个图形全

等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，尽管圆和方形、三角形的形状、

大小不同，在拓扑变换下，它们都是等价图形。

右图的三样东西就是拓扑等价的，换句话讲，

就是从拓扑学的角度看，它们是完全一样的。

在一个球面上任选一些点用不相交的线把它们连接起来，这样球面就被这

些线分成许多块。在拓扑变换下，点、线、块的数目仍和原来的数目一样，这

就是拓扑等价。一般地说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，

它的变换就是拓扑变换，就存在拓扑等价。

应该指出，环面不具有这个性质。比如像右图那

样，把环面切开，它不至于分成许多块，只是变成一

个弯曲的圆桶形，对于这种情况，我们就说球面不能

拓扑的变成环面。所以球面和环面在拓扑学中是不同

的曲面。

2、曲线和曲面的闭合性

直线上的点和线的结合关系、顺序关系，在拓扑变换下不变，这是拓扑性

质。在拓扑学中曲线和曲面的闭合性质也是拓扑性质。第二章现代结构拓扑优化理论-15-

我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一

张纸有两个面一样。但德国数学家莫比乌斯（1790～

1868）在1858 年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面就不

能用不同的颜色来涂满两个侧面。

3、拓扑不变性质

连通性是拓扑空间的一个拓扑不变性质。在拓扑学以及相关的数学分支里

面，一个拓扑空间被认为是连通的，如果它不能够被分成两个不相交的非空开

集，并且这两个集合的并集为整个空间。相应的，也可以从闭集的角度定义连

通性：一个连通的拓扑空间不能够被分成两个不相交的非空闭集（因为开集的

补集正是闭集），并且这两个集合的并集为整个空间。

拓扑变换的不变性除了连通性以外，如：分离性、紧致性、度量空间的完

备性等还有很多，这里不在介绍。

拓扑学建立后，由于其它数学学科的发展需要，它也得到了迅速的发展。

特别是黎曼创立黎曼几何以后，他把拓扑学概念作为分析函数论的基础，更加

促进了拓扑学的进展。

二十世纪以来，集合论被引进了拓扑学，为拓扑学开拓了新的面貌。拓扑

学的研究就变成了关于任意点集的对应的概念。拓扑学中一些需要精确化描述

的问题都可以应用集合来论述。

因为大量自然现象具有连续性，所以拓扑学具有广泛联系各种实际事物的

可能性。通过拓扑学的研究，可以阐明空间的集合结构，从而掌握空间之间的

对应关系。二十世纪三十年代以后，数学家对拓扑学的研究更加深入，提出了

许多全新的概念。比如，一致性结构概念、抽象距概念和近似空间概念等等。

有一门数学分支叫做微分几何，是用微分工具来研究取线、曲面等在一点附近

的弯曲情况，而拓扑学是研究曲面的全局联系的情况，因此，这两门学科应该

存在某种本质的联系。1945 年，美籍中国数学家陈省身建立了代数拓扑和微

分几何的联系，并推进了整体几何学的发展。吉林大学硕士研究生学位论文

-16-

拓扑学发展到今天，在理论上已经十分明显分成了两个分支。一个分支是

偏重于用分析的方法来研究的，叫做点集拓扑学，或者叫做分析拓扑学。另一

个分支是偏重于用代数方法来研究的，叫做代数拓扑。现在，这两个分支又有

统一的趋势。

拓扑学在泛函分析、李群论、微分几何、微分方程和其他许多数学分支中

都有广泛的应用。

确切讲，拓扑学其实是一种满足“拓扑性质”的几何图形学。拓扑性质就

是几何图形在作拓扑变换时保持不变的性质。拓扑变换可用集合与映射的语言

给出确切的描述。把图形M 变为M '，就是给出M 和M '（都看作点集）的

一个一一对应（因而不出现重叠现象，并不产生新点） f : M M'，并且 f

连续，

1

f : M 'M

也连续。这里所说的连续是分析学中的概念，可以用距

离概念刻画。简单的说：从图形M 到M '的一个一一对应f ，如果f 与

1

f

都

是连续的，就称f 为从M 到M '的一个拓扑变换，并称M 和M '是同胚的。

于是拓扑性质也就是同胚的图形所共同具有的几何性质。

综上，拓扑学是一门年青而富有生命力的学科。拓扑学是在数学中发展最

迅速，研究成果最丰富的研究领域，已经成为十分重要的数学基础学科。拓扑

学的基本内容已经成为现代数学的常识。拓扑学的概念和方法在物理学、生物

学、化学、经济学等学科中都有直接、广泛的应用。

2.2 结构拓扑优化原理和方法

通常把结构优化按照设计变量的类型划分成三个层次:结构尺寸优化、形

状优化和拓扑优化。尺寸优化和形状优化已得到充分的发展，但它们存在着不

能变更结构拓扑的缺陷。在这样的背景下，人们开始研究拓扑优化。

拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的,拓扑优化理论的解析方法

可追溯到由Michel 提出的Michel 桁架理论[5]。直到1964 年Dorn.Gomory,第二章现代结构拓扑优化理论

-17-

Greenberg 等人提出了基结构法[6],将拓扑优化引入到数值计算领域,使其克

服了Michel 桁架理论的局限性,重新使拓扑优化的研究活跃起来。

2.2.1 拓扑优化的基本原理

拓扑优化的基本思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计

区域内寻求最优材料的分布问题。

寻求一个最佳的拓扑结构形式有两种基本的原理[56]:一种是退化原理，

另一种是进化原理。退化原理的基本思想是在优化前将结构所有可能杆单元或

所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化方法逐步删减那

些不必要的结构元素，直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。进化原理的

基本思想是把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化，它通过模拟适者

生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构。

2.2.2 结构拓扑优化设计方法

结构拓扑优化方法,简单地说,就是在一个给定的空间区域内,依据已知的

负载或支承等约束条件,解决材料的分布问题,从而使结构的刚度达到最大或

使输出位移、应力等达到规定要求的一种结构设计方法,是有限元分析和优化

方法有机结合的新方法。

连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及数值优化

算法的巨大计算量而发展缓慢,其蓬勃发展的起点以Bendsoe 和Kikuchi[44]

提出的均匀化算法（Homogenization method）为标志。采用解析法描述并求

解连续体结构拓扑优化问题是较困难的,目前多采用基于结构法基础上的物理

描述方法。均匀化方法是连续体结构拓扑优化研究中应用较广的一种物理描述

方法,它的提出标志着连续体结构拓扑优化研究进入到一个新的阶段。正是由

于Bendsoe 和Kikuchi 的介绍后,拓扑优化方法在学术界得到了广泛地普及,吉林大学硕士研究生学位论文

-18-

并应用到材料设计、机构设计、MEMS 器件设计、柔性微机构的设计和别的更

复杂的结构设计中。

目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为退化法和进化法两大类。

退化法即传统的拓扑优化方法，一般通过求目标函数导数的零点或一系列

迭代计算过程求最优的拓扑结构。目前常用于拓扑优化的退化法有基结构方

法、均匀化方法、变密度法、变厚度法等。

1）基结构方法GSA（Ground structural approach）[6]

其思路是假定对于给定的桁架节点，在每两个节点之间用杆件连结起来，

得到的结构称为基结构。按照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基本结

构中删除，认为最终剩下的构件决定了结构的最佳拓扑。基结构方法更适合于

桁架和框架结构的拓扑优化。基结构法是在有限的子空间内寻优，容易丢失最

优解，另外还存在组合爆炸、解的奇异性等问题。

2）均匀化方法HM（Homogenization method）[42、44]

其基本思想是以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其

增减，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，结构拓扑优化的模型转

化为微结构的尺寸优化模型。

此方法引入微结构的单胞，通过优化计算确定其材料密度分布，并由此得

出最优的拓扑结构。均匀化方法主要应用于连续体的拓扑优化设计，它不仅能

用于应力约束和位移约束，也能用于频率约束。目前用均匀化方法来进行拓扑

优化设计的有一般弹性问题、热传导问题、周期渐进可展曲面问题、非线性热

弹性问题、振动问题和骨改造问题等。

3）变密度法（Variable density method）[45-48]

变密度法不必构造微结构，而是人为地引入一种假想的相对密度在0～1

之间可变的材料，以材料密度作为拓扑设计变量。直接定义一个经验公式来表

达密度与弹性模量之间假定的函数关系。这样，结构的拓扑优化问题就被转化

为材料的最优分布问题。第二章现代结构拓扑优化理论

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变密度法比均匀化方法设计变量少，在实际工程中大多采用密度法来解决

问题，每个单元只包含一个设计变量，相对于均匀化方法而言，减少了设计变

基于拓扑优化的车身结构研究---经典

基于拓扑优化的车身结构研究 瞿元王洪斌张林波吴沈荣 奇瑞汽车股份有限公司，安徽芜湖，241009 摘要：随着CAE技术的发展，虚拟仿真技术在汽车开发中的作用也愈来愈显著。而前期工程阶段，如何布置出合理的车身骨架架构，一直是个相对空白的地带，也是整车正向开发过程中绕不过的坎。尽管研发工程师根据经验，参照现有车型的结构特点，也能进行车身骨架架构的设定，但总是缺乏有效手段直观地反映不同车型结构布置的特点。本文用拓扑优化的方法，从结构基本特征的角度来审视这一问题，并运用该方法对某SUV车身结构进行研究，获得一些直观性的结论。 关键词：车身,前期工程,拓扑优化 1引言 随着对整车研发过程认识的加深，以及对正向开发过程的探索，在车型开发前期，对车身结构做出更合理的规划显得愈来愈重要。常规的研发思路之一是通过参考已有车型的结构，经过适当的修改，形成新的结构，并用于新车型中。但是对于原始车型的设计思路、结构布置的原因等缺乏系统的理解，或者理解不深，往往在更改过程中产生新的问题。为了部分解决上述问题，本文从结构拓扑优化的角度，对某SUV 车型车身结构的总体布置进行初步探讨，以期加深对结构布置的理解。 2研究方法概述 合理化的车身结构，是满足整车基本性能的重要保障。为了能够实现结构的最优布置，文献[1]使用了拓扑优化工具来布置车身结构。其基本思路是从造型以及车内空间布置出发，建立车身空间的基础网格模型，然后根据一定的工况要求，对基础网格进行拓扑分析，并根据拓扑结果建立梁、板壳模型，并进行多项性能的优化，从而实现车身结构的正向开发。本文借助于该思想，建立研究对象的结构空间包络，并对该包络进行拓扑分析，然后将仿真结果与原始结构进行比较，寻找车身结构中的关键点，推测初始结构可能的布置思想，从而加深对该研究思路的理解。其基本过程如下图所示：

工程结构拓扑优化的理论研究及应用_满宏亮.

提要 本文首先介绍了国内外拓扑优化技术的研究发展现状，讨论了拓扑优化的 原理、方法以及各种拓扑优化算法。其次，着重研究了SIMP 材料插值方法，建立了基于SIMP 理论的连续体结构拓扑优化模型，选取准则优化法对其密 度迭代格式进行了推导；并且利用MATLAB软件编程实现，有效地进行了平面结构的分析和拓扑优化设计。然后，分析了拓扑优化中的数值计算不稳定性现象，研究了能够有效消除拓扑优化中的数值计算不稳定性现象的各种解决方法，并对其进行了比较。最后，利用连续体结构拓扑优化求解理论和算法，使用结构有限元分析软件Hyperworks 对具体工程结构部件进行了拓扑优化设计研究，成功地应用到了实际工程问题中，算例结果表明了该优化方法的有效性和正确性。 关键词：有限元拓扑优化材料插值模型数值计算不稳定性优化 求解算法 Key words: FEA Topology optimization Material Interpolation Model Numerical Calculation Instabilities Optimization Solution Algorithm-i- 目录 第一章绪论 (1) 1.1 前言 (1) 1.2 国内外拓扑优化研究概况 (3) 1.3 本文研究内容及意义 (9) 第二章现代结构拓扑优化理论 (11) 2.1 拓扑的概念 (11) 2.1.1 拓扑学的由来 (11) 2.1.2 拓扑学及拓扑性质 (13) 2.2 结构拓扑优化原理和方法 (16) 2.2.1 拓扑优化的基本原理 (17) 2.2.2 结构拓扑优化设计方法 (17) 2.2.3 拓扑优化设计方法比较 (21) 2.3 拓扑优化设计的优化算法概述 (22) 2.3.1 优化算法分类 (22) 2.3.2 拓扑优化常用算法 (24) 第三章连续体结构拓扑优化的模型建立与求解算法 (27) 3.1 连续体结构拓扑优化设计的模型描述 (29) 3.2 数学模型的有限元离散 (34) 3.2.1 单元应变和应力.........................................34吉林大学硕士研究生学位论文-ii- 3.2.2 单元平衡方程 (35) 3.2.3 连续体结构拓扑优化的数学模型的有限元离散形式 (38) 3.3 基于SIMP 理论的优化准则法 (39) 第四章结构拓扑优化程序实现 (45) 4.1 基于SIMP 理论的优化准则法迭代分析流程 (45) 4.2 优化过程的MA TLAB 编程实现 (47) 4.3 计算实例 (48)

多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计

多工况应力约束下连续体结构拓扑优化设计ΞTOPOLOG Y OPTIMIZATION DESIGN OF THE CONTINUUM STRUCTURE FOR MU L TIPL E LOADING CON DITIONS WITH STRESS CONSTRAINTS 王　健ΞΞ (山东理工大学交通与车辆工程学院,淄博255012)　 程耿东 (大连理工大学工程力学研究所,大连116024) WAN G Jian (Traffic and Vehicle Engineering School,Shandong Univer sity o f Technology,Zibo255012,China) CHEN G Gengdong (Research Institute o f Engineering Mechanics,Dalian Univer sity o f Technology,Dalian116024,China) 摘要　建立多工况应力约束条件下连续体结构拓扑优化的数学模型,给出求解方法。采用包络法处理大量的应力约束,用改进的满应力法进行求解,方法简单、实用。提出的分层优化技术能使最优结构更为清晰。分层优化方法的基本思想是按载荷大小分为几个层次,后面层次的拓扑优化以前面层次得到的最优拓扑为基础,通过逐层优化,最终得到最优结构。分层优化时主要考虑属于本层载荷的影响,避免大小载荷混在一起,最优拓扑模糊不清的问题。为解决各层优化单元厚度相差太大,易造成结构刚度矩阵奇异的问题,提出对相应参数的调整方法。算例表明该方法是有效的。 关键词　结构拓扑优化　应力约束　连续体结构　满应力法　分层优化技术 中图分类号　T B114.3　T B115 Abstract　The mathematical m odel of topology optimization design of the continuum structure for multiple loading conditions with stress constraints are presented in the paper,and the s olving method is als o given.The problem is s olved by m odified fully stress method combined with a bundle method to deal with plentiful stress constraints,both the method are sim ple and practical.The multilevel opti2 mization technique is proposed in this paper to make clearer optimal topology of structures.The main idea of the multilevel optimization method is to partition the load cases into several levels according to their magnitude.In every level,we mainly consider the in fluence of the loads belonged to this level.In this way,we av oid the blending of various loads and the dim topological structure.T o s olve the prob2 lem that the single structure stiffness matrix caused by the too big dispersion of element thickness between different levels,it proposed the adjustive method of relevant parameters.Numeral com putations show that the method is effective and efficient. K ey w ords　Structure topology optimization;Stress constraints;Continuum structure;Fully stress method;Multilevel optimization technique Correspondent:WANG Jian,E2mail:wangjian0721@https://www.wendangku.net/doc/062967922.html,,Fax:+86253322313164 The project supported by the Natural Science F oundation of Shandong Province,China(N o.Y96F03085). Manuscript received20010920,in revised form20011225. 1　引言 在多工况、多约束情况下,结构的最优拓扑往往是超静定的,必须考虑变形协调条件,其数学模型是一个非线性规划问题。文献[1～4]是离散结构拓扑优化方面成功采用非线性规划方法求解的范例。连续体结构拓扑优化方面也有考虑多工况情况的文章发表[5,6],但这方面的工作不多,且没有研究应力约束问题。实际工程结构多半在多种工况下工作,应力约束是最基本的约束条件,所以研究多工况应力约束下连续体结构的拓扑优化问题是非常必要的。 多工况下受到应力约束的结构拓扑优化问题的数学模型可以描述为式(1),用数学规划法求解时自然将其作为一个多约束问题来处理;连续体结构拓扑优化的设计变量很多,采用文献[1～4]中的数学规划方法求解意味着将有浩大的计算工作量,因此一般采用准则法———满应力法解决。用满应力法求解多工况问题时往往使用包络法处理大量的应力约束[7]。包络法的基本思想是把每一个应力约束先单独地考虑,求出在这个应力约束下改进后的新设计变量,然后对每一个设计变量,在所有的值中挑出最大的作为新的设计。这种方法可以保证应力约束条件满足,并且也易于将 机械强度 Journal of Mechanical Strength2003,25(1):055～057 Ξ ΞΞ王　健,男,1962年7月生,山东省济南市长清县人,汉族。山东理工大学交通与车辆工程学院院长,教授,博士,长期从事结构优化研究,发表相关论文20余篇。 20010920收到初稿,20011225收到修改稿。山东省自然科学基金资助项目(Y96F03085)。

结构拓扑优化的发展现状及未来

结构拓扑优化的发展现状及未来 王超 中国北方车辆研究所一、历史及发展概况 结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。目前有关结构拓扑优化的工程应用研究还很不成熟，在国外处在发展的初期,尤其在国内尚属于起步阶段。1904 年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。自1964 年Dorn等人提出基结构法,将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。20 世纪80 年代初，程耿东和N. Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的研究兴趣。1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。1993年和提出了渐进结构优化法。1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。2002 年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中实现了退化和进化的统一，提高了优化效率。 二、拓扑优化的工程背景及基本原理 通常把结构优化按设计变量的类型划分成三个层次：结构尺寸优化、形状优化和拓扑优化。尺寸优化和形状优化已得到充分的发展，但它们存在着不能变更结构拓扑的缺陷。在这样的背景下，人们开始研究拓扑优化。拓扑优化的基本思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻求最优材料的分布问题。寻求一个最佳的拓扑结构形式有两种基本的原理：一种是退化原理，另一种是进化原理。退化原理的基本思想是在优化前将结构所有可能杆单元或所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化方法逐步删减那些不必要的结构元素,直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。进化原理的基本思想是把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化，它通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构。 三、结构拓扑优化设计方法 目前常使用的拓扑优化设计方法可以分为两大类：退化法和进化法。 退化法即传统的拓扑优化方法，一般通过求目标函数导数的零点或一系列迭代计算过程求最优的拓扑结构。目前常用于拓扑优化的退化法有基结构方法、均匀化方法、变密度法、变厚度法等。 基结构方法（GSA）的思路是假定对于给定的桁架节点，在每两个节点之间用杆件连结起来得到的结构称为基结构。按照某种规则或约束,将一些不必要的杆件从基本结构中删除，认为最终剩下的构件决定了结构的最佳拓扑。基结构方法更适合于桁架和框架结构的拓扑优化。基结构法是在有限的子空间内寻优，容易丢失最优解，另外还存在组合爆炸、解的奇异性等问题。 均匀化方法（HA）引入微结构的单胞，通过优化计算确定其材料密度分布，并由此得出最优的拓扑结构。均匀化方法主要应用于连续体的拓扑优化设计，它不仅能用于应力约束和位移约束，也能用于频率约束。目前用均匀化方法来进行拓扑优化设计的有一般弹性问题、热传导问题、周期渐进可展曲面问题、非线性热弹性问题、振动问题和骨改造问题等。 变密度法是一种比较流行的力学建模方式，与采用尺寸变量相比，它更能反映拓

机械结构拓扑优化设计研究现状及其发展趋势

机械结构拓扑优化设计研究现状及其发展趋势 发表时间：2018-12-27T16:17:28.400Z 来源：《河南电力》2018年13期作者：谢进芳 [导读] 机械产品应用范围相对较广，为确保机械产品在我国日常生活及企业从生产中得到有效应用，实施优化设计十分必要。 （广东科立工业技术股份有限公司广东省佛山市 528000） 摘要：随着现代科学技术的发展，市场产品竞争也越来越激烈，产品品种的换代速度加快，产品的复杂性在不断增加。所以产品生产正在以小批量、多品种的生产方式取代过去的单一品种大批量生产方式。而这种生产方式，肯定会缩短产品的生产周期，产品的成本也会降低，产品提高市场的占有率和竞争力也会提高。所以在机械结构设计中采用优化设计是满足市场竞争的需要。 关键词：机械结构拓扑；现状；发展趋势 引言 机械产品应用范围相对较广，为确保机械产品在我国日常生活及企业从生产中得到有效应用，实施优化设计十分必要。目前我国已经针对机械结构优化设计进行了研究，并取得一定成果，主要表现在船舶行业、焊工航天以及汽车行业等。机械结构的优化设计可有效提高其产品性能并增加其自身市场竞争力，对其市场发展起重要作用。 1.机械结构优化设计 随着科学技术的发展，机械产品更新换代的速度越来越快。过去，机械产品主要是大批量生产，产品相对单一。目前采用的是小批量加工方式，以保证产品的多样性。为了保证生产企业的利润，必须在保证质量的前提下，缩短生产周期，降低生产成本。优化设计能够达到上述目标，在一定程度上缩短了生产时间，降低了成本，有效地抢占了市场。机械结构优化设计已广泛应用于造船、运输、航空航天、冶金、纺织、建筑等领域。 机械结构优化设计流程主要包括：（1）针对所优化机械产品尽心目标函数优化设计，可确保机械产品相关技术指标符合优化要求。（2）设计机械产品优化函数变量，变量设计包括机械产品长度、厚度以及弧度等相关结构参数。（3）对机械产品优化设计约束条件进行设定，对计算过程中各项变量浮动范围进行限定。（4）通过以上步骤得出多种优化设计方案，分别对不同方案进行评价，根据机械结构优化设计需求选择最佳方案实施。 2.机械结构拓扑优化设计常用方法 （1）均匀化方法 常用的连续结构拓扑优化设计方法主要有均匀化方法、变密度方法、水平集方法以及进化结构优化方法等。 均匀化方法属于材料描述方式，基本思想是将微结构模型引入结构拓扑优化设计领域，以微结构的单胞尺寸参数为设计变量，根据单胞尺寸的变化实现微结构的增删，优化实体与孔的分布形成带孔洞的板，达到结构拓扑优化的目的。优化过程：①设计区域的划分；②确定设计变量；③进行拓扑优化设计；④以不同的微结构形式的分布显示连续结构的形状和拓扑状态。 图1 微结构单胞示意图 微结构的划分形式通常有空孔、实体和开孔 3种，空孔是指没有材料的微结构，其孔的尺寸为 1；实体是指具有各向同性材料的微结构，其孔的尺寸为 0；开孔是指具有正交各向异性材料的微结构，其孔的尺寸介于 0~1 且可变化。设计区域划分为空孔、实体和开孔的微结构形式。简单的二维微结构单胞示意图如图 1 所示。微结构上孔的尺寸和方位角是设计变量，其中孔的尺寸是微结构材料主方向，它可以由坐标转换矩阵体现在材料的有效弹性模量上，通过微结构的密度与有效弹性模量之间的关系曲线，把设计变量与结构各处的形态联结起来。在结构拓扑优化设计过程中，微结构中孔的尺寸和在 0～1 的变化区域就可使各微结构在空孔与实体之间变化，这样就可用连续变量对结构优化设计问题进行描述。 均匀化结构拓扑优化方法涉及的设计变量非常多，用的较多的优化算法是准则优化算法。 （2）变密度方法 变密度方法式是引入一种假想的密度在 0～1可变的材料，采用材料的密度作为优化设计变量，实现结构的拓扑变化；材料弹性模量等物理参数与材料密度间的关系也是人为假定的；这样不但将结构的拓扑优化问题转换为材料的最优分布问题，还可使优化结果尽可能具有非 0 即 1 的密度分布。变密度结构拓扑优化方法与采用尺寸变量相比，它更能反映拓扑优化的本质特征。因此，在实际工程的结构优化设计中大多采用变密度方法来解决结构优化问题。变密度结构拓扑优化方法常用的插值模型是固体各向同性惩罚微结构模型（SIMP）。由于变密度结构拓扑优化方法更能反映拓扑优化的本质特征，且概念简单、设计变量数目少，简化了计算求解过程，因此，变密度结构拓扑优化方法成为目前最常用的、也是用的最多的结构优化设计方法。 3.机械结构优化的应用趋势 随着优化方法的不断发展和完善，结构优化设计也逐渐发展起来。近年来，在结构优化算法方面，由于结构优化设计中变量较多，结构优化设计往往采用接近实际情况的复杂结构模型来模拟一些大型结构系统。因此，新的准则优化方法备受关注，但如何为一些特殊结构

连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析

编号：SY-AQ-00556 ( 安全管理) 单位：_____________________ 审批：_____________________ 日期：_____________________ WORD文档/ A4打印/ 可编辑 连续体结构拓扑优化方法及存 在问题分析 Topology optimization method of continuum structure and analysis of existing problems

连续体结构拓扑优化方法及存在问 题分析 导语：进行安全管理的目的是预防、消灭事故，防止或消除事故伤害，保护劳动者的安全与健康。在安全管理的四项主要内容中，虽然都是为了达到安全管理的目的，但是对生产因素状态的控制，与安全管理目的关系更直接，显得更为突出。 文章深入分析国内外连续体结构拓扑优化的研究现状，介绍了拓扑优化方法的发展及实现过程中存在的问题。对比分析了均匀化方法，渐进结构优化法，变密度法的优缺点。研究了连续体结构拓扑优化过程中产生数值不稳定现象的原因，重点讨论了灰度单元，棋盘格式，网格依赖性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应的解决办法。 结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和Olhof在研究中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解，必须扩大设计空间，得到由无限细肋增强的板设计。此研究被认为是近现代连续体结构拓扑优化的先驱。 目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研究，这些

研究大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网格的存在，结构拓扑优化过程中常常出现如灰度单元，网格依赖性和棋盘格等数值不稳定的现象。本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决办法。 1.拓扑优化方法 连续体结构拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法，此后许多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓扑优化数学建模方法。 1.1.均匀化方法 均匀化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。采用有限元方法进行分析，在每个单元内构造不同尺寸的微结构，微结构的尺寸和方向为拓扑优化设计变量。1988年Bendsoe研究发现，通过在结构中引入具有空洞微结构的材料模型，将困难的拓扑设计问题转换为相对简单的材料微结构尺寸优化问题。 很多学者发展了均匀化方法，Suzhk进行了基于均匀化方法结

拓扑优化

结构拓扑优化设计现状及前景 目前, 最优化设计理论和方法在机械结构设计中得到了深入的研究和广泛的应用。所谓优化设计就是根据具体的实际问题建立其优化设计的数学模型, 并采用一定的最优化方法寻找既满足约束条件又使目标函数最优的设计方案。根据优化问题的初始设计条件, 目前结构优化技术有四大领域: 1) 尺寸优化; 2) 形状优化; 3) 拓扑与布局优化; 4) 结构类型优化。结构尺寸优化是在结构的拓扑确定的前提下, 首先用少量尺寸对结构的某些变动进行表达, 如桁架各单元的横截面尺寸、某些节点位置的变动等, 然后在此基础上建立基于这些尺寸参数的数学模型并采用优化方法对该模型进行求解得到最优的尺寸参数。在尺寸优化设计中, 不改变结构的拓扑形态和边界形状, 只是对特定的尺寸进行调整, 相当于在设计初始条件中就增加了拓扑形态的约束。而结构最初始的拓扑形态和边界形状必须由设计者根据经验或实验确定, 而不能保证这些最初的设计是最优的, 所以最后得到的并不是全局最优的结果。结构形状优化是指在给定的结构拓扑前提下, 通过调整结构内外边界形状来改善结构的性能。以轴对称零件的圆角过渡形状设计的例子。形状设计对边界形状的改变没有约束,和尺寸优化相比其初始的条件得到了一定的放宽,应用的范围也得到了进一步的扩展。拓扑优化设计是在给定材料品质和设计域内,通过优化设计方法可得到满足约束条件又使目标函数最优的结构布局形式及构件尺寸。拓扑设计的初始约束条件更少, 设计者只需要提出设计域而不需要知道具体的结构拓扑形态。拓扑设计方法是一种创新性

的设计方法, 能为我们提供一些新颖的结构拓扑。目前, 拓扑设计理论在柔性受力结构、MEMS 器件及其它柔性微操作机构的设计中得到了广泛的研究。 结构拓扑优化的发展概况 结构拓扑优化包括离散结构的拓扑优化和连续变量结构的拓扑优化。近10 年来, 结构拓扑优化设计虽然取得了一些进展, 但大部分是针对连续变量的, 关于离散变量的研究为数甚少。由于离散变量优化的目标函数和约束函数是不连续、不可微的, 可行域退化为不连通的可行集, 所以难度远大于连续变量优化问题。在离散结构中, 桁架在工程中的应用较为广泛, 由于其重要性, 也由于其分析比较简单, 桁架结构的拓扑优化在文献中研究得最多. 结构拓扑优化的历史可以追溯到1904 年Michell提出的桁架理论, 但这一理论只能用于单工况并依赖于选择适当的应变场, 不能应用于工程实际。1964 年Dorn、Gomory、Greenberg 等人提出基结构法( ground structure approach) , 将数值方法引入该领域, 此后拓扑优化的研究重新活跃起来, 陆续有一些解析和数值方面的理论被 提出来。所谓基结构就是一个由结构节点、荷载作用点和支承点组成的节点集合, 集合中所有节点之间用杆件相连的结构。该方法的基本思路是: 从基结构的模型出发, 应用优化算法( 数学规划法或准则法) , 按照某种规划或约束, 将一些不必要的杆件从基结构中删除, 例如截面积达到零或下限的杆件将被删掉, 并认为最终剩下的杆件 决定了结构的最优拓扑。因此应用基结构, 可以将桁架拓扑优化当作

如何利用ANSYS进行拓扑优化

如何利用ANSYS进行拓扑优化 前言 就目前而言，利用有限元进行优化主要分成两个阶段： （1）进行拓扑优化，明确零件最佳的外形、刚度、体积，或者合理的固有频率，主要目的是确定优化的方向； （2）进行尺寸优化，主要目的是确定优化后的的零件具体尺寸值，通常是在完成拓扑优化之后，再执行尺寸优化。 在ANSYS中，利用拓扑优化，可以完成以下两个目的： （1）在特定载荷和约束的条件下，确定零件的最佳外形，或者最小的体积（或者质量）； （2）利用拓扑优化，使零件达到需要的固有频率，避免在使用过程中产生共振等不利影响。 本文主要就在ANSYS环境中如何执行拓扑优化进行说明。

1、利用ANSYS进行拓扑优化的过程 在ANSYS中，执行优化，通常分为以下6个步骤： 、定义需要求解的结构问题 对于结构进行优化分析，定义结构的物理特性必不可少，例如，需要定义结构的杨氏模量、泊松比（其值在～之间）、密度等相关的结构特性方面的信息，以供结构计算能够正常执行下去。

、选择合理的优化单元类型 在ANSYS中，不是所有的单元类型都可以执行优化的，必须满足如下的规定： （1）2D平面单元：PLANE82单元和PLANE183单元； （2）3D实体单元：SOLID92单元和SOLID95单元； （3）壳单元：SHELL93单元。 上述单元的特性在帮助文件中有详细的说明，同时对于2D单元，应使用平面应力或者轴对称的单元选项。 、指定优化和非优化的区域 在ANSYS中规定，单元类型编号为1的单元，才执行优化计算；否则，就不执行优化计算。例如，对于结构分析中，对于不能去除的部分区域将单元类型编号设定为≥2，就可以不执行优化计算，请见下面的代码片段：…… …… Et,1,solid92 Et,2,solid92 …… Type,1 Vsel,s,num,,1,2 Vmesh,all …… Type,2 Vsel,s,num,,3 Vmesh,all ……

具有多种约束的连续体结构拓扑优化

文章编号:1004Ο8820(2003)02Ο0138206 具有多种约束的连续体结构拓扑优化 江允正,王子辉,初明进 (烟台大学土木工程系,山东烟台264005) 摘要:对于具有多种约束条件的连续体结构的拓扑优化设计,本文提出一种通用优化方 法:首先用优化方法确定微孔或称为基点的位置,然后再扩大微孔并确定其边界.文中对 于具有应力和位移约束的几个平面问题进行拓扑优化,计算结果十分令人满意. 关键词:结构拓扑优化;结构优化;连续体; 中图分类号:TP391.72 文献标识码:A 近年来,Bendsoe 和K ikuchi [1]等广泛采用连续体拓扑优化的均匀方法.首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞;然后用以数学中扰动理论为基础的均匀化方法这一数学工具建立材料的宏观弹性性质和微结构尺寸的关系,连续介质的拓扑优化就转化为决定微结构尺寸最优分布的尺寸优化问题,可以采用成熟的尺寸优化算法.迄今为止的均匀化方法还不能给出带有微观结构的材料的宏观许用应力和微结构尺寸的关系,因此到目前为止均匀优化方法可以求解的拓扑优化问题还很有限.均匀化方法的另一缺点是求得的最终设计可能具有很不清晰的拓扑,即结构中有的区域是相对密度介于0和1之间的多孔介质;文献[2]提出修改的满应力法来求解受应力约束的平面弹性体的拓扑优化问题,也仅能考虑应力约束问题;文献[3]提出统一骨架与连续体的结构拓扑优化的ICM 理论与方法.这些方法,基本上都采用有限元法进行结构分析,为了使边界光滑,不得不划分很细的单元,对于一般平面问题,单元数目都在数千个之上,计算效率低.总之,拓扑优化是最具挑战性而又困难的问题,优化方法仍然处在发展初期.这一领域迫切需要取得进展,开发通用的算法仍是挑战. 如上所述,采用均匀方法时,首先从连续介质中人为地引进某一形式的微结构,例如周期性分布的微孔洞.我们认为微孔洞的数量和位置应该用优化方法确定.并称这种微孔的中心叫做删除区的基点.然后扩大微孔,用优化方法确定孔的边界.于是,连续体结构的拓扑优化,可以归结为确定删除区的基点位置及其边界的问题. 1　方　法 对于一个二维连续体,当给定外载和支承位置时,满足应力、位移等各种约束条件下的结构最优拓扑问题,都可以按如下步骤来求解: 收稿日期:2002-12-17 作者简介:江允正(1942-),男,湖南衡阳人,教授,主要从事结构优化方向教学与研究工作. 第16卷第2期 烟台大学学报(自然科学与工程版)Vol.16No.22003年4月Journal of Y antai University (Natural Science and Engineering Edition )　Apr.2003

连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析(最新版)

( 安全管理 ) 单位：_________________________ 姓名：_________________________ 日期：_________________________ 精品文档 / Word文档 / 文字可改 连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析(最新版) Safety management is an important part of production management. Safety and production are in the implementation process

连续体结构拓扑优化方法及存在问题分析 (最新版) 文章深入分析国内外连续体结构拓扑优化的研究现状，介绍了拓扑优化方法的发展及实现过程中存在的问题。对比分析了均匀化方法，渐进结构优化法，变密度法的优缺点。研究了连续体结构拓扑优化过程中产生数值不稳定现象的原因，重点讨论了灰度单元，棋盘格式，网格依赖性的数值不稳定现象，并针对每一种数值不稳定现象提出了相应的解决办法。 结构拓扑优化设计的主要对象是连续体结构，1981年程耿东和Olhof在研究中指出：为了得到实心弹性薄板材料分布的全局最优解，必须扩大设计空间，得到由无限细肋增强的板设计。此研究被认为是近现代连续体结构拓扑优化的先驱。 目前，国内外学者对结构拓扑优化问题进行了大量研究，这些

研究大多数建立在有限元法结构分析的基础上，但由于有限元法中单元网格的存在，结构拓扑优化过程中常常出现如灰度单元，网格依赖性和棋盘格等数值不稳定的现象。本文介绍了几种连续体结构拓扑优化方法及每种方法存在的问题，并提出了相应的解决办法。 1.拓扑优化方法 连续体结构拓扑优化开始于1988年Bendoe和Kikuchi提出的均匀化方法，此后许多学者相继提出了渐进结构优化方法、变密度法等拓扑优化数学建模方法。 1.1.均匀化方法 均匀化方法即在设计区域内构造周期性分布的微结构，这些微结构是由同一种各向同性材料实体和孔洞复合而成。采用有限元方法进行分析，在每个单元内构造不同尺寸的微结构，微结构的尺寸和方向为拓扑优化设计变量。1988年Bendsoe研究发现，通过在结构中引入具有空洞微结构的材料模型，将困难的拓扑设计问题转换为相对简单的材料微结构尺寸优化问题。 很多学者发展了均匀化方法，Suzhk进行了基于均匀化方法结构

拓扑优化经典99行程序解读

3188-1-1.html Sigmund教授所编写的top优化经典99行程序，可以说是我们拓扑优化研究的基础； 每一个新手入门都会要读懂这个程序，才能去扩展，去创新； 99行程序也有好多个版本，用于求解各种问题，如刚度设计、柔顺机构、热耦合问题，但基本思路大同小异； 本文拟对其中的一个版本进行解读，愿能对新手有点小小的帮助。 不详之处，还请论坛内高手多指点 读懂了该程序，只能说是略懂拓扑优化理论了， 我手里就有一些水平集源程序是成千上万行，虽然在99行的基础上成熟了很多，但依然还有很多的发展空间。 源程序如下： %%%% A 99 LINE TOPOLOGY OPTIMIZATION CODE BY OLE SIGMUND, JANUARY 2000 %%% %%%% CODE MODIFIED FOR INCREASED SPEED, September 2002, BY OLE SIGMUND %%% function top(nelx,nely,volfrac,penal,rmin); nelx=80; nely=20; volfrac=0.4; penal=3; rmin=2; % INITIALIZE x(1:nely,1:nelx) = volfrac; loop = 0; change = 1.; % START ITERATION while change > 0.01 loop = loop + 1; xold = x; % FE-ANAL YSIS [U]=FE(nelx,nely,x,penal); % OBJECTIVE FUNCTION AND SENSITIVITY ANAL YSIS [KE] = lk; c = 0.; for ely = 1:nely for elx = 1:nelx n1 = (nely+1)*(elx-1)+ely; n2 = (nely+1)* elx +ely; Ue = U([2*n1-1;2*n1; 2*n2-1;2*n2; 2*n2+1;2*n2+2; 2*n1+1;2*n1+2],1); c = c + x(ely,elx)^penal*Ue'*KE*Ue; dc(ely,elx) = -penal*x(ely,elx)^(penal-1)*Ue'*KE*Ue; end end

拓扑优化

一种新的优化方法——拓扑优化。是一种以多种使用条件为目标优化参数的优化方式，可以提高零件的真正使用效益，更加准确的反映了设计的优化过程。 优化设计可以在很大程度上改善和提高铸造件、锻造件和冲压件的性能，并减轻产品重量。然而，优化设计特别是拓扑优化很少应用在实际工程中。一方面是因为工程问题的复杂性和高度非线性，拓扑优化技术目前还无法实现这些系统优化问题，但更重要的是一门新的技术和方法很难取代人们已经习惯多年的思维模式和工作方式。 工程设计人员需要有更系统、更科学的设计思想和方法，以达到提高产品开发效率、节约原材料、降低成本及提高产品质量的目的，结构优化设计则是实现这些目的较佳手段[1]。由于设计变量类型的不同，结构优化设计可以分为由易到难的四个不同层次：尺寸优化、形状优化、形貌优化和拓扑布局优化。由于拓扑优化设计的难度较大，被公认为是当前结构优化领域内最具有挑战性的课题之一。但是在工程应用中，拓扑优化可以提供概念性设计方案，取得的经济效益比尺寸优化、形状优化更大，因此，拓扑优化技术对工程设计人员更具吸引力，已经成为当今结构优化设计研究的一个热点。 发动机运转期间，主轴承座承受多种载荷，这些载荷包括：螺栓预紧载荷、轴瓦过盈载荷及曲轴动载荷等。目前，主轴承座的主要评价指标是结构的强度、刚度是否满足设计需求。在明确主轴承座承载情况和设计要求的前提下，作者对某大马力发动机原有主轴承座进行了最大爆发压力工况下的有限元分析。分析模型及主轴承座轴瓦径向变形量见图1（a）、图1 （b）和图1（c）。通过主轴承座的强度分析和动态疲劳安全系数分析可以得知：主轴承座的动态疲劳安全系数为1.843，远远大于安全系数阀值1，所以主轴承座的强度足以满足设计需求。而从图1（b）可以得知轴瓦在变形后水平方向径向减小0.0739mm ，已经接近曲轴、轴瓦径向间隙最小值0.079mm，这容易导致曲轴与轴瓦间缺少油膜润滑，形成干摩擦，最终导致曲轴磨损加剧，发动机动载荷增加，甚至机毁人亡的悲剧；另外从图1（c）可以得知轴瓦在变形后上下方向径向增加0.0971mm ，小于轴瓦径向变形许可值0.147mm 。所以，根据有限元分析结果可以判断：主轴承座在水平方向的刚度不足够，应该改进现有结构，提高其刚度性能。

连续体结构拓扑优化方法评述_夏天翔

第2卷第1期2011年2月航空工程进展 A DV A N CES IN A ERON A U T ICA L SCIEN CE A N D EN GIN EERIN G Vo l 12N o 11Feb 1 2011 收稿日期:2010-12-01; 修回日期:2011-01-20基金项目:教育部长江学者创新团队项目(Irt0906)通信作者:姚卫星,w xyao@https://www.wendangku.net/doc/062967922.html, 文章编号:1674-8190(2011)01-001-12 连续体结构拓扑优化方法评述 夏天翔,姚卫星 (南京航空航天大学飞行器先进设计技术国防重点学科实验室,南京 210016) 摘 要:连续体结构拓扑优化在优化中能产生新的构型,对实现自动化智能结构设计具有重要意义。目前,连续体结构拓扑优化方法主要有:均匀化方法、变厚度法、变密度法、渐进结构优化方法、水平集法、独立连续映射方法。本文首先系统回顾了以上方法的发展历程,介绍了它们的研究现状。其次,通过对比以上拓扑优化方法对若干典型算例的优化结果,表明以上方法都有较好的减重效果。最后,对以上方法进行了总结,列出了它们的优缺点和发展方向。 关键词:拓扑优化;均匀化方法;变厚度法;变密度法;渐进结构优化方法;水平集法;独立连续映射方法中图分类号:V 211.7 文献标识码:A A Survey of Topology Optimization of Continuum Stru cture Xia Tianx iang ,Yao Weix ing (K ey L abor ator y of F undamental Science fo r N atio nal Defense -adv anced Design T echno lo gy of F lig ht V ehicle,Nanjing U niver sity o f A eronautics and A st ronautics,N anjing 210016,China) Abstract:A s the to po log y optim izat ion o f continuum structure can pr oduce new config ur atio ns during the optim-i zatio n,it is significant for automatic str ucture design.A t present,the most commo nly used t opolo gy o ptimiza -t ion methods of continuum st ructur e ar e:the ho mog enization method,var iable t hickness method,v ariable dens-i t y metho d,evo lutio nar y str uctur al o pt imizatio n met ho d,lev el set metho d,independent co ntinuous mapping method.Firstly,the develo pment pro cesses of above metho ds ar e sy stematically review ed,their cur rent r e -sear ch is br iefly intro duced in this paper.T hen,these methods ar e com par ed and discussed t hr ough a number of typical ex amples.T he typical ex amples show that all of above methods have gr eat abilities to r educe w eig ht.F-i nally ,the adv ant ag es,disadv ant ag es and dev elo pment directio ns of abov e metho ds ar e discussed. Key words:to po lo gy o ptimization;homog enizat ion metho d;va riable thickness method;var iable density method;evolutionar y structure optimization metho d;lev el set method;independent continuo us mapping method 0 引言 按照设计变量的不同,结构优化可分为以下三个层次:尺寸优化、形状优化和拓扑优化。结构拓 扑优化能在给定的外载荷和边界条件下,通过改变结构拓扑使结构在满足约束的前提下性能达到最优。与尺寸优化、形状优化相比,结构拓扑优化的经济效果更为明显,在优化中能产生新的构型,是 结构实现自动化智能设计所必不可少的。 按照优化对象的性质,拓扑优化可分为离散体拓扑优化和连续体拓扑优化两种。连续体拓扑优化与离散体拓扑优化相比,在应用范围更广的同 时,模型描述困难,设计变量多,计算量大。在过去很长一段时间里,连续体拓扑优化发展得十分缓慢,直到1988年Bendso e 等人[1] 提出均匀化方法之后,它才得到了迅速发展。目前,国内外学者对结构拓扑优化问题已经进行了大量研究[2-9]。目前最常用的连续体拓扑优化方法有均匀化方法、变厚 度法、变密度法、渐进结构优化方法(ESO)、水平集法(Level set)、独立连续映射方法(ICM)等。从拓

拓扑优化

拓扑优化研究方法综述 结构拓扑优化是近20年来从结构优化研究中派生出来的新分支，它在计算 结构力学中已经被认为是最富挑战性的一类研究工作。目前有关结构拓扑优化 的工程应用研究还很不成熟，在国外处在发展的初期，尤其在国内尚属于起步 阶段。1904年Michell在桁架理论中首次提出了拓扑优化的概念。自1964年Dorn等人提出基结构法，将数值方法引入拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。20世纪80年代初，程耿东和N.Olhoff在弹性板的最优厚度分布研究中首 次将最优拓扑问题转化为尺寸优化问题，他们开创性的工作引起了众多学者的 研究兴趣。1988年Bendsoe和Kikuchi发表的基于均匀化理论的结构拓扑优化 设计，开创了连续体结构拓扑优化设计研究的新局面。1993年XieYM和StevenGP提出了渐进结构优化法。1999年Bendsoe和Sigmund证实了变密度法物理意义的存在性。2002年罗鹰等提出三角网格进化法，该方法在优化过程中 实现了退化和进化的统一，提高了优化效率。 通常把结构优化按设计变量的类型划分成三个层次：结构尺寸优化、形状优化和拓扑优化。尺寸优化和形状优化已得到充分的发展，但它们存 在着不能变更结构拓扑的缺陷。在这样的背景下，人们开始研究拓扑优化。拓 扑优化的基本思想是将寻求结构的最优拓扑问题转化为在给定的设计区域内寻 求最优材料的分布问题。寻求一个最佳的拓扑结构形式有两种基本的原理：一 种是退化原理，另一种是进化原理。退化原理的基本思想是在优化前将结构所 有可能杆单元或所有材料都加上，然后构造适当的优化模型，通过一定的优化 方法逐步删减那些不必要的结构元素，直至最终得到一个最优化的拓扑结构形式。进化原理的基本思想是把适者生存的生物进化论思想引入结构拓扑优化， 它通过模拟适者生存、物竞天择、优胜劣汰等自然机理来获得最优的拓扑结构。 退化法即传统的拓扑优化方法，一般通过求目标函数导数的零点或一 系列迭代计算过程求最优的拓扑结构。目前常用于拓扑优化的退化法有基结构 方法、均匀化方法、变密度法、变厚度法等。 进化法是一类全局寻优方法，目前常用于拓扑优化的进化法主要有遗 传算法、模拟退火算法和渐进结构优化法等。 什么是拓扑优化？ 拓扑优化是指形状优化，有时也称为外型优化。拓扑优化的目标是寻找承 受单载荷或多载荷的物体的最佳材料分配方案。这种方案在拓扑优化中表现为“最大刚度”设计。 与传统的优化设计不同的是，拓扑优化不需要给出参数和优化变量的定义。目标函数、状态变量和设计变量（参见“优化设计”一章）都是预定义好的。用 户只需要给出结构的参数（材料特性、模型、载荷等）和要省去的材料百分比。 拓扑优化的目标——目标函数——是在满足结构的约束（V）情况下减少 结构的变形能。减小结构的变形能相当于提高结构的刚度。 下面是从振动论坛的回帖，有帮助的： ========================================================= =============== 求助：结构动力学优化设计（拓扑优化） veasha 发表于: 2009-2-27 11:44 来源: 振动资讯