2012年数值分析第一次作业和参考答案与解析
数值计算方法第一次作业及参考答案
1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1），
（1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。
解：(1)Lagrange 插值基函数为
0(1)(2)1
()(1)(2)(01)(02)2
x x l x x x +-=
=-+-+-
同理 1211
()(2),()(1)36
l x x x l x x x =
-=+ 故 2
20
2151
()()(1)(2)(2)(1)
23631
i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为
011215
5(1)
[,]4,
[,]20(1)
12
f x x f x x ---=
=-=
=-----
0124(2)
[,,]102
f x x x ---=
=-
实际演算中可列一张差商表：
（3）用对角线上的数据写出插值多项式
2
2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+
2. 在44x -≤≤上给出()x
f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使
截断误差不超过6
10-，问使用函数表的步长h 应取多少？
解：
()40000(),
(),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及
(3)
2000
4
43
4
3
()
()[(()]()[()]
3!
(1)(1)
(1)(1)
3!3!
.(4,4).
6
f
R x x x h x x x x h
t t t
e
t h th t h e h
e
ξ
ξ
=----+
-+
≤+??-=
≤∈-
则
4
36
((1)(1)
100.006.
t t t
h
-
-+±
<<
在点
得
3.求2
()
f x x
=在［a,b］上的分段线性插值函数()
h
I x，并估计误差。
解：
22
22
11
1
111
22
11
11
1
()
()
k k k k
h k k
k k k k k k
k k k k
k k k k
k k
x x x x x x
I x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x x
x x
++
+
+++
++
++
+
---
=+=
---
?-?
-=+-
-
[]
2
11
22
11
()()()[()]
11
()()
44
h h k k k k
k k k k
R x f x I x x x x x x x
x x x x x x h
++
++
=-=-+-
=--≤-=
4.已知单调连续函数()
y f x
=的如下数据
用插值法计算x约为多少时() 1.
f x=（小数点后至少保留4位）
解：作辅助函数()()1,
g x f x
=-则问题转化为x为多少时，()0.
g x=此时可作新
的关于()
i
g x的函数表。由()
f x单调连续知()
g x也单调连续，因此可对()
g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为
1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10)
0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17)
x g y y y y
y y y
-
==-+++++
-++-
故1(0) 1.321497.
x g-
==
5. 设函数()f x 在区间[0,3]上具有四阶连续导数,试用埃尔米特插值法,求一个次数不高
于3的多项式3()P x ，使其满足3(0)0P =，3(1)1P =，3'(1)3P =,3(2)1P = 。并写出误差估计式。
解：由所给条件可用埃尔米特插值法确定多项式3()P x ， 32357()722
p x x x x =-+-
2
112(1)()(2);()(1)(2);();2
x x x x x x x x x x αβα-=--=---=
由题意可设23()()()()(1)(2)R x f x p x k x x x x =-=--
为确定待定函数()k x ，作辅助函数： 23()()()()(1)(2)g t f t p t k t t t t =---- 则()g t 在[0,3]上存在四阶导数且在[0,3]上至少有5个零点,0,1,2(1t x t ==为二重零点），反复应用罗尔定理，知至少有一个零点(0,3)ξ∈使4()0g ξ=，从而得
(4)
1()()4!
k x f ξ=
。 故误差估计式为(4)
21()()(1)(2)(0,3)4!
R x f x x x ξξ=
--∈
6. 设函数()y f x =在节点0,1,2,3x =的函数值均为零，试分别求满足下列边界条件下的
三次样条插值函数()S x ：
（1）'
'
(0)1,(3)0f f == （2）''
''
(0)1,(3)0f f ==
解：（1）取i x 处的一阶导数i m 作为参数，1,2i =。由于
11111
,1,3([,][,])022
i i i i i i i i i i i i i h g f x x f x x h h λμλλμ-+-=
==-==+=+
以及由三转角方程 112,1,2i i i i i i m m m g i λμ-+++==
得 012123
1
12022
112022
m m m m m m ?++=????++=?? 由于031,0,m m ==从而 12124140m m m m +=-??+=?
解之可得124/15,1/15m m =-=
故 2(1)(1511)/15,
[0,1]()(1)(2)(73)/15,[1,2](3)(2)/15,[2,3]x x x x S x x x x x x x x --∈??
=---∈??--∈?
（2）取i x 处的二阶导数i M 作为参数，1,2i =。由于
111111
,1,6[,,]022
i i i i i i i i i i h d f x x x h h μλμ--+-=
==-===+
以及由三弯矩方程
01211123
1
12022
21,21120
22
i i i i i i
M M M M M M d i M M M μλ-+?++=??++==???++=??
由于031,0,M M ==代入方程可得 134/15,1/15,M M =-=
故 (1)(1926)/90,
[0,1]()(1)(2)(512)/90,[1,2](3)(2)(4)/90,[2,3]x x x x S x x x x x x x x x --∈??
=---∈??---∈?
7．编程实现题：
略。
8、试求 ()sin ,
[0,]2
f x x x π
=∈最佳一次一致逼近多项式。
解：因为''()sin f x x =-在[0,/2]π内不变号，故最佳一次一致逼近多项式为
*
1111()[(0)()]/2(/2)P x f f x a x x =++-
式中 '11111(/2)(0)2
0.63661977()cos 0.88068924/20f f a a f x x x πππ
-=
====?=-
从而 *
1111()(sin )/2(/2)0.105256830.63661977P x x a x x x =+-=+
9、给定4
3
()1f x x x =+-，试利用最小零偏差定理，即切比雪夫多项式的最小零偏差性质，在[0,1]上求()f x 的三次最佳一致逼近多项式。
2342234(()21,()43,()881)T x x T x x x T x x x =-=-=-+
解：令43
11121()(
)()3() 1.222
t t t t x f x f +++=-?==+-
设*
3()P x 为()f x 在[0,1]上的三次最佳一致逼近多项式，
由于1
()2
t f +的首项系数为
41
2
，故 *3441*43423*4342332111
16[(
)()]()2221111()()()1(881)
222168
1
()(31)[8(21)8(21)1]
168
51129
3.[0,1]
44128
t t f P T t t t t P t t P x x x x x x x x x -++-=+++?=+---+??=+-----+?=-+-∈
10、设{}{
}100
101
121,,,span x span x x
??==，分别在1
2
??
、上求一函数，使其为
2[0,1]x C ∈的最佳平方逼近，并比较其结果。 解：
**
0111
2
0001001211100112
20100***
010*1
***101
22
122
1 (,)11,(,),
211
(,),(,),
3211(,)1,(,),
34
11
1123()6111612
34a a x
dx xdx x dx f x dx f x xdx a a a x x a a a f
????????????δ=+========?==?=?+=??=-?????=-+????=+=???=-?????*1(1)设因1
*
(,)0.00556k k k a f ?=≈∑
**100
*101
2011
11002
100101000110001111012102
1031101000*
*01**01
(2)()11(,)(),(,)(,),
201202111(,)(),(,),(,).
203103104
111201202103
111
202203104x b x b x x dx x x dx x dx f x dx f x dx b b b b ???????????=+====?=======?+=?+=?????
设*0*
1*
10010121
1
22
*
4222
375.24253375.14825()375.24253375.14825.
11(,)[375.24253375.14825]0.16406103104
k k k b b x x x f
b f x dx ?δ?=??≈????≈-?????=-=-=-?-?≈∑? 由结果知（1）比（2）好。
11、用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式，使它与下列数据拟合，并计算均方误差。
44
2
22010000
44
20110010
44
4111100
4
4
00004
2110
()1,().(,)()15,
(,)(,)()()5327,
(,)()()7277699,
(,)()271.4,
(,)()i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i x x x x x x x x x x y x y y y x y x ???????????????????==========================∑∑∑∑∑∑∑∑∑因有4
222
01222
369321.5,
55327271.40.972604553277277699369321.50.05003510.97260450.0500351.
(,)(,)0.016954.0.130207526.
i i y a b a a b b y x y a y b y δ??δ
==+==??????
+==???=+=--==∑
12、用格拉姆－施密特方法构造正交多项式求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书） 解： 构造正交多项式
0()1x ?= 1
00011000
(,)
1(,)
2
1xdx
x dx
??α??=
=
=
??
111()2x x x ?α=-=- 1
2
011212110
1()(,)121(,)2()2
x x dx x x dx ??α??-
=
==-?? 1
2
1121
000
1()(,)
12(,)
12
1x dx
dx
??β??-
==
=?
? 2222120111()()()()()2
126
x x x x x x x ?α?β?=--=--
=-+ 于是
1
000
(,)11dx ??==? 1
2110
11
(,)()212
x dx ??=
-
=
?
1
2
222011
(,)()6180
x x dx ??=-+=
?1
00
2
(,)sin f xdx ?ππ
=
=
?
1
101(,)()sin 02f x xdx ?π=-=? 212
230112(,)()sin 63f x x xdx π?ππ
-=-+=? 所以，
()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式为
0120120011222(,)(,)(,)
()()()()
(,)(,)(,)4.1225 4.12250.05047
f f f x x x x x x ?????????????=
++≈-+-
13、求()x
f x e =在［－1，1］上的三次最佳平方逼近多项式。（参考讲义与参考书，利用Legendre 正交多项式）
解 先计算(,)(0,1,2,3)k f P k =。
3504.21
d ),(11
0≈-
==?
-e
e x e P
f x ； 7358.02d ),(11
1
1≈==--?
e x xe P
f x ；
1431.07d 212
3),(211
2≈-=??? ??-=
?
-e e x e x P f x
；
.02013
.05137d 2325),(31
1
3≈-=??
? ??-=?
-e e x e x x P f x
； 又有
1752.12/),(0*
0==P f a ， 1036
.12/),(31*
1
==P f a 3578.02/),(52*2==P f a ， 07046
.02/),(73*3==P f a ， 得
*
23323
11
() 1.1752 1.10360.3578(31)0.07046(53)22
0.99630.99790.53670.1761S x x x x x x x x =++?
-+?-=+++均方误差
*
32
2
()0.0084
x n
e S x δ=-=
≤
14、 A 、B 、C 三点连成一条直线，AB 长为1x ，BC 长为2x ，某人测量的结果为115.5x =米，2 6.1x =米，
为控制丈量的准确性，又测量1220.9AC x x =+=米，试合理地决定1x 和2x 的长度。（小数点后取四位有效数字）
解：令*
1x 为AB 的所求值，*
2x 为BC 的所求值，则*
*
11122215.5, 6.1,x x x x εε==+==+
******
12123112231220.9.15.5, 6.1,20.9().x x x x x x x x εεεε+==++=-=-=-+故 在最小二乘意义下，要222123
f εεε=++达到极小， 即求*2*2**2
1212(15.5)( 6.1)(20.9)f x x x x =-+-++-的极小点。 令
******
112212**1
2
2(15.5)2(20.9)0,2( 6.1)2(20.9)0,f f x x x x x x x x ??=-++-==-++-=?? 解的*
*1215.2667, 5.8667x x ==。故应取1215.2667, 5.8667x x ≈≈。
15、求函数()x
f x e =在区间［－1，1］上的近似3次最佳一致逼近多项式有哪几种方法？
选一种方法解本题，并估计误差。（参考讲义与参考书） 解：三种方法，见参考讲义。 （1） 截断切比雪夫级数
由富利叶级数系数公式得
*cos 0
2cos d k
C e k πθ
θθπ=?，
它可用数值积分方法计算，得到
,13031821.1,
53213176.2*1*0==C C ,04433685.0,
27149534.0*
3*
2==C C
由 ),(2)(*
1
*0*
x T C C x C k k n
k n
∑=+= 及)(x T k 的公式得到 *233()0.9945710.9973080.5429910.177347,C x x x x =+++
*
3()
0.00607.x e C x ∞
-≈
（2） 拉格朗日插值余项的极小化
由)(4x T 的4个零点 21
cos
(1,2,3,4)8
k k x k π-==
做插值点可求得
323175176.0542900.0998967.0994584.0)(x x x x L +++=， .
00666.0)
(3=-∞
x L e x
（3） 台劳级数项数的节约
应用x
e
的台劳展开，取6=n ，得
23456
611111()1.2624120720
P x x x x x x x =++
++++ 作为x
e
的近似，其误差为
461
1103934.5!
7)(max -≤≤-?<≤
-e
x P e x x ， 由于 ,32116923)(3212466+-+=x x x T x ,16
545)(161355x x x T x -+= 则
),(32
1
7201)(1611201)()(654,66x T x T x M x P ?+?+= 其中
2
4,64996094.09973958.00000434
.1)(x x x M ++= .043750.01770833
.04
3
x x ++ 用)(4,6x M 做x
e
的逼近多项式，其误差为
23040
1
192010005393.0)(max 4,61
1++
≤-≤≤-x M e
x
x
若再用8
1
)(81244
-+=x x T x
代入)(4,6x M 可求出 ,177083.0542969.0997396.0994575.0)(323,6x x x x M +++=
.
00651.0)(max 3,61
1≤-≤≤-x M e x x
16.编出用正交多项式(格拉姆－施密特)作最小二乘拟合的程序或框图。（参考讲义与参考书）
略。
17． 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数进度。
1）21012()()(0)();h
h f x dx A f h A f A f h --≈-++?
2）
1
121
(1)2()3()
();3
f f x f x f x dx --++≈
?
解：（1）三个参数，代入
110121102231112333
3224544
452228344()1,,,0316
8()33848()0()0333
6484816()0()53333
84()()3h h
h h
h h A h
A A A h f x x x hA hA A h
h A h A h A h h h x dx h h h h h x dx h h h h h h h f x dx f h -------?
=???++=??-?
=?-+=?=??????-+==???=--?+==≠--?+=∴≈-+???8(0)().33
h h f f h +具有三次代数精度
1
1212121122
12221
(2)()1,()[(1)2()3()].
3
,(),2310.689900.28990
2310.126600.52660
f x f x dx f f x f x f x x x x x x x x x x x -==-++=+===-????????+==-=????当时有两个参数令精确成立
或 1333
1211
11
1
1[123]
3
()[(1)2(0.68990)3(0.12660)]/3 ()[(1)2(0.28990)3(0.52660)]/3
2.
x dx x x f x dx f f f f x dx f f f ---≠-++≈-++-≈-+-+???而 故与均具有次代数精度
18、已知013113,,424
x x x =
==， （1） 推导以这三个点为求积节点在［0，1］上的插值型求积公式。
（2） 求上述求积公式的代数精确度。 （3） 用上述公式计算1
20
x dx ?
。
解：（1）过013113
,,424x x x =
==三点的二次插值为 2131311()()()()()()
113244442()()()()111311133131
424()()()()()()424424244442
x x x x x x L x f f f ------=
++------ 故有
2
1
1
20
()()()k k k f x dx L x dx A f x =≈=∑?
?
其中 1101001313
()()()()212444,,1113111333()()()()42442424x x x x A dx A dx ----====-----?? 1
2011()()24231313()()4442
x x A dx --==--? 故求积公式为 101113
()[2()()2()][]3424
f x dx f f f Q f ≈-+=?
（2）因为上述由二次插值推出，故至少具有二次代数精度，将3
4
(),f x x x =代入有
1
1
33440
1
137[][]4
5192
x dx Q x x dx Q x =
==
≠=?
?
故该求积公式的代数精度为3次。
（3）1
2
2220
11131[2()()2()]34243
x dx ≈?-+?=?
19、如果要用复化梯形公式计算积分[]()b
a
I f f x dx =
?
，试问应将积分区间［a,b ］分成多
少份，才能保证误差不超过ε。
解：已知将［a,b ］分成n 份的复化梯形公式的余项为
32''''
2
()[]()(),(,)1212b a b a R f h f f a b n ξξξ--=-=-∈
记''
max ()a x b
M f x ≤≤=，则按要求应满足
3
2
()[]12b a R f M n n
ε-≤≤? 故
n =，为上取整。
20、已知勒让德（Legendre ）正交多项式()n p x 有三项递推关系式：
0111()1,
()21()()()(1,2,)11n n n p x p x x n n p x xp x p x n n n +-==??
+?
=-=?++?
试确定三点的高斯—勒让德（G —L ）求积公式 1
0011221
()()()()f x dx f x f x f x ωωω-≈++?
的求积系数和节点，并利用此公式写出1
2
1
x
I e dx =
?
的计算式（无需计算结果）。
解：由递推关系式得三次勒让德正交多项式331
()(53).2
p x x x =-令3()0p x =，其三个零点为
0100.7745967,0,0.7745967.x x x =≈-==≈
则所求的高斯求积公式为
1
0121
()((0)(55
f x dx f f f ωωω-≈-
++?
因三点的高斯求积公式具有5次代数精确度，令上述高斯求积公式对2
()1,,f x x x =均精确成立，
1
0121
1
021
1
12
022
1
5
2
9
8
9
3325
5539
dx
xdx
x dx
ω
ωωω
ω
ωωω
-
-
-
?
?=
++==?
?
?
?
??
+==?=
??
??
??
+===
??
??
?
?
?
所以三点的高斯－勒让德求积公式为
1
1
585
()((0)
999
f x dx f f f
-
≈++
?
对
1
2
1
x
I e dx
=?，作变换1(3)
2
x t
=+，把积分区间［1，2］化为区间［－1，1］，即
12
21
3
11
1
.
2
x t
I e dx e dt
+
-
==
??用三点的高斯－勒让德求积公式计算，有
222
0.7745967330.77459673
545
18918
I e e e
-++
≈++
21、
建立高斯型求积公式
1
0011
()()()
x dx A f x A f x
≈+
?。（参考讲稿与参考书）解：
1
010
1
00110
2
22
00110
332
0011
1
3
27
3
2
637
30
735
2
1
5
2
1
7
x
A A
x
x A x A
x x
x A x A A
x A x A dx A
?
?=
?
+==
??
??
??=+
+==
???
?-+=?
??
??
+===+
??
??
??
+===-
???
?
?
?
?
?
数值分析大作业-三、四、五、六、七
大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用 程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) 数值分析试题 一、 填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位 有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代 函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商 公式的 前插公式 ，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的 拉格朗日插值公式 。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当 系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收 敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x ) 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 大作业 三 1. 给定初值 0x 及容许误差 ，编制牛顿法解方程f (x )=0的通用程序. 解：Matlab 程序如下： 函数m 文件：fu.m function Fu=fu(x) Fu=x^3/3-x; end 函数m 文件：dfu.m function Fu=dfu(x) Fu=x^2-1; end 用Newton 法求根的通用程序Newton.m clear; x0=input('请输入初值x0:'); ep=input('请输入容许误差:'); flag=1; while flag==1 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) while flag==1 sigma=k*eps; x0=sigma; k=k+1; m=0; flag1=1; while flag1==1 && m<=10^3 x1=x0-fu(x0)/dfu(x0); if abs(x1-x0) end end fprintf('最大的sigma 值为：%f\n',sigma); 2．求下列方程的非零根 5130.6651()ln 05130.665114000.0918 x x f x x +?? =-= ?-???解： Matlab 程序为： （1）主程序 clear clc format long x0=765; N=100; errorlim=10^(-5); x=x0-f(x0)/subs(df(),x0); n=1; 1、（本题5分）试确定7 22 作为π的近似值具有几位有效数字，并确定其相对误差限。 解 因为 7 22 =3.142857…=1103142857 .0-? π=3.141592… 所以 312102 11021005.0001264.0722--?=?=<=- π （2分） 这里，3,21,0=-=+-=n n m m 由有效数字的定义可知7 22 作为π的近似值具有3位有效数字。 （1分） 而相对误差限 3102 1 0005.00004138.0001264.07 22-?= <≈= -= π π πε r （2分） 2、（本题6分）用改进平方根法解方程组：??? ?? ??=????? ??????? ??--654131*********x x x ； 解 设???? ? ??????? ? ?????? ??===????? ??--11111 1 131321112323121 32 132 31 21 l l l d d d l l l LDL A T 由矩阵乘法得： 5 7,21,215 27 ,25,2323121321- ==-== -==l l l d d d （3分） 由y D x L b Ly T 1 ,-==解得 T T x y )9 23 ,97,910(,)563, 7,4(== （3分） 3、（本题6分）给定线性方程组???????=++-=+-+=-+-=-+17 7222382311387 510432143213 21431x x x x x x x x x x x x x x 1）写出Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式； 2）考查Jacoib 迭代格式和Gauss-Seidel 迭代格式的敛散性； 解 1）Jacoib 迭代格式为 数值分析作业答案 插值法 1、当x=1，-1，2时，f(x)=0，-3，4，求f(x)的二次插值多项式。 （1）用单项式基底。 （2）用Lagrange插值基底。 （3）用Newton基底。 证明三种方法得到的多项式是相同的。 解：（1）用单项式基底 设多项式为: ， 所以： 所以f(x)的二次插值多项式为： （2）用Lagrange插值基底 Lagrange插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： (3) 用Newton基底: 均差表如下： xk f(xk) 一阶均差二阶均差 1 0 -1 -3 3/2 2 4 7/ 3 5/6 Newton插值多项式为： 所以f(x)的二次插值多项式为： 由以上计算可知，三种方法得到的多项式是相同的。 6、在上给出的等距节点函数表，若用二次插值求ex的近似值，要使截断误差不超过10-6，问使用函数表的步长h应取多少？ 解：以xi-1,xi,xi+1为插值节点多项式的截断误差，则有 式中 令得 插值点个数 是奇数，故实际可采用的函数值表步长 8、，求及。 解：由均差的性质可知，均差与导数有如下关系： 所以有： 15、证明两点三次Hermite插值余项是 并由此求出分段三次Hermite插值的误差限。 证明：利用[xk，xk+1]上两点三次Hermite插值条件 知有二重零点xk和k+1。设 确定函数k(x): 当或xk+1时k(x)取任何有限值均可； 当时，，构造关于变量t的函数 显然有 在[xk,x][x,xk+1]上对g(x)使用Rolle定理，存在及使得 在，，上对使用Rolle定理，存在，和使得 再依次对和使用Rolle定理，知至少存在使得 而，将代入，得到 推导过程表明依赖于及x 综合以上过程有： 确定误差限： 记为f(x)在[a,b]上基于等距节点的分段三次Hermite插值函数。在区间[xk，xk+1]上有 而最值 进而得误差估计： 16、求一个次数不高于4次的多项式，使它满足，，。 第一章典型例题 例3 ln2=0.…，精确到10－3的近似值是多少 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是＝, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1＝D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 数值分析报大作业 班级：铁道2班 专业：道路与铁道工程 姓名：蔡敦锦 学号：13011260 一、序言 该数值分析大作业是通过C语言程序编程在Microsoft Visual C++ 6.0编程软件上运行实现的。本来是打算用Matlab软间来计算非线性方程的根的。学习Matlab也差不多有一个多月了，感觉自己编程做题应该没什么问题了；但是当自己真心的去编程、运行时才发现有很多错误，花了一天时间修改、调试程序都没能得到自己满意的结果。所以，我选择了自己比较熟悉的C程序语言来编程解决非线性的求值问题，由于本作业是为了比较几种方法求值问题的收敛速度和精度的差异，选择了一个相对常见的非线性函数来反映其差异，程序运行所得结果我个人比较满意。编写C语言，感觉比较上手，程序出现问题也能比较熟练的解决。最终就决定上交一份C程序语言编程的求值程序了！ 二、选题 本作业的目的是为了加深对非线性方程求根方法的二分法、简单迭代法、、牛顿迭代法弦截法等的构造过程的理解；能将各种方法的算法描述正确并且能够改编为程序并在计算机上实现程序的正确合理的运行，能得到自己满意的结果，并且能调试修改程序中可能出现的问题和程序功能的增减修改。本次程序是为了比较各种方法在求解同一非线性方程根时，在收敛情况上的差异。 为了达到上面的条件我选择自己比较熟悉的语言—C语言来编程，所选题目为计算方程f(x)=x3-2x-5=0在区间[2,3]内其最后两近似值的差的绝对值小于等于5 ?的根的几种方法的比较。 110- 本文将二分法、牛顿法、简单迭代法、弦截法及加速收敛法这五种方法在同一个程序中以函数调用的方式来实现，比较简洁明了，所得结果能很好的比较，便于分析；发现问题和得出结论。 数值分析试题答案 1、构造拉格朗日插值多项式(X)p 逼近3 (x)f x =，要求 （1）取节点011,1x x =-=作线性插值 （2）取节点0121,0,1x x x ===作抛物插值 答案：（1）代入方程得 0110 10010 1,1(x)y (x x )x y y y y p x x =-=-=+ -=- （2）代入方程得 1202011220120102101220210.1(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x ) (x)y x (x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )y y p y y ==------= ++=------ 2、给出数据点：01234 39 61215 i i x y =?? =? 用1234,,,x x x x 构造三次牛顿插 值多项式3 () N x ，并计算 1.5x =的近似值3(1.5)N 。 33333133.15()93(1) 4.5(1)(2)2(1)(2)(3)(1.5) 5.6250, ()36 4.5(1)3(1)(2)(1.5)7.5000, 1.54 (1.5)(1.5)((1.5)(1.5)) 1.17194 N x x x x x x x N N x x x x x x x N R f N N N =+-+------==+--+--=-=-≈ -=四（分） 3、已知 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求)(x f 的三次插值多项式)(3x P ，并求)2(f 的近似值（保留四位小数）。 答案： )53)(43)(13() 5)(4)(1(6 )51)(41)(31()5)(4)(3(2 )(3------+------=x x x x x x x L 数值计算方法第一次作业及参考答案 1. 已测得函数()y f x =的三对数据：（0，1），（－1，5），（2，－1）， （1）用Lagrange 插值求二次插值多项式。（2）构造差商表。（3）用Newton 插值求二次插值多项式。 解：(1)Lagrange 插值基函数为 0(1)(2)1 ()(1)(2)(01)(02)2 x x l x x x +-= =-+-+- 同理 1211 ()(2),()(1)36 l x x x l x x x = -=+ 故 2 20 2151 ()()(1)(2)(2)(1) 23631 i i i p x y l x x x x x x x x x =-==-+-+-++=-+∑ （2）令0120,1,2x x x ==-=，则一阶差商、二阶差商为 011215 5(1) [,]4, [,]20(1) 12 f x x f x x ---= =-= =----- 0124(2) [,,]102 f x x x ---= =- 实际演算中可列一张差商表： （3）用对角线上的数据写出插值多项式 2 2()1(4)(0)1*(0)(1)31P x x x x x x =+--+-+=-+ 2. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表，若用二次插值求x e 的近似值，要使 截断误差不超过6 10-，问使用函数表的步长h 应取多少 解： ()40000(), (),[4,4],,,, 1.x k x f x e f x e e x x h x x h x x th t ==≤∈--+=+≤考察点及 (3) 2000 4 43 4 3 () ()[(()]()[()] 3! (1)(1) (1)(1) 3!3! .(4,4). 6 f R x x x h x x x x h t t t e t h th t h e h e ξ ξ =----+ -+ ≤+??-= ≤∈- 则 4 36 ((1)(1) 100.006. t t t h - -+± << Q在点 得 3.求2 () f x x =在［a,b］上的分段线性插值函数() h I x，并估计误差。 解： 22 22 11 1 111 22 11 11 1 () () k k k k h k k k k k k k k k k k k k k k k k k x x x x x x I x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++ + +++ ++ ++ + --- =+= --- ?-? -=+- - [] 2 11 22 11 ()()()[()] 11 ()() 44 h h k k k k k k k k R x f x I x x x x x x x x x x x x x h ++ ++ =-=-+- =--≤-= 4.已知单调连续函数() y f x =的如下数据 用插值法计算x约为多少时() 1. f x=（小数点后至少保留4位） 解：作辅助函数()()1, g x f x =-则问题转化为x为多少时，()0. g x=此时可作新 的关于() i g x的函数表。由() f x单调连续知() g x也单调连续，因此可对() g x的数值进行反插。的牛顿型插值多项式为 1()0.110.097345( 2.23)0.451565( 2.23)( 1.10) 0.255894( 2.23)( 1.10)(0.17) x g y y y y y y y - ==-+++++ -++- 数值分析习题集 （适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》） 长沙理工大学 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出 它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对 误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若 数值分析整理版试题及答案 例1、 已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。 解： （1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为 []()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶 二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、 设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。 解： 若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有 6.4.设??? ? ? ??=5010010a b b a A ，0det ≠A ，用a ，b 表示解线性方程组f Ax =的雅可比迭代与 高斯—塞德尔迭代收敛的充分必要条件。 解 雅可比迭代法的迭代矩阵 ? ??? ??? ? ??----=???? ? ??----????? ??=-050100100100000001010101 a b b a a b b a B J ， ?? ? ?? -=-1003||2ab B I J λλλ，10||3)(ab B J = ρ。 雅可比迭代法收敛的充分必要条件是3 100 || 数值分析经典例题1.y' = y , x [0,1] ,y (0) =1 , h = 0.1。 1求解析解。 2 Eular法 3 R-K法 ○1解析法 在MATLAB命令窗口执行 clear >> x=0:0.1:1; >> y=exp(x); >> c=[y]' c = 1.000000000000000 1.105170918075648 1.221402758160170 1.349858807576003 1.491824697641270 1.648721270700128 1.822118800390509 2.013752707470477 2.225540928492468 2.459603111156950 2.718281828459046 ○2Euler法 在Matlab中建立M文件如下： function [x,y]=euler1(dyfun,xspan,y0,h) x=xspan(1):h:xspan(2);y(1)=y0; for n=1:length(x)-1 y(n+1)=y(n)+h*feval(dyfun,x(n),y(n)); end x=x';y=y' 在MATLAB命令窗口执行 clear >> dyfun=inline('y+0*x'); >> [x,y]=euler1(dyfun,[0,1],1,0.1); >> [x,y] 得到 ans = 0 1.000000000000000 0.100000000000000 1.100000000000000 0.200000000000000 1.210000000000000 0.300000000000000 1.331000000000000 0.400000000000000 1.464100000000000 0.500000000000000 1.610510000000000 0.600000000000000 1.771561000000000 0.700000000000000 1.948717100000000 0.800000000000000 2.143588810000000 0.900000000000000 2.357947691000000 1.000000000000000 2.593742460100000 ○3R-K法（龙格-库塔法） 在本题求解中，采用经典4阶龙格-库塔法 首先在Matlab的M文件窗口对4阶龙格-库塔算法进行编程： function [x,y]=RungKutta41(dyfun,x0,y0,h,N) x=zeros(1,N+1);y=zeros(1,N+1);x(1)=x0;y(1)=y0; for n=1:N x(n+1)=x(n)+h; k1=h*feval(dyfun,x(n),y(n)); k2=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k1); k3=h*feval(dyfun,x(n)+h/2,y(n)+1/2*k2); k4=h*feval(dyfun,x(n+1)+h,y(n)+k3); y(n+1)=y(n)+(k1+2*k2+2*k3+k4)/6; end 在MATLAB命令窗口执行 clear >> dyfun=inline('y','x','y'); >> [x,y]=RungKutta41(dyfun,0,1,0.1,10); >> c=[x;y]' 得到 1. 已知325413.0,325413*2*1==X X 都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分） 解： 由已知可知6 5.0102 1 ,0,6,10325413.0016*1=?= =-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 620*2102 1 ,6,0,10325413.0-?= -=-=?=ε绝对误差限n k k X 2分 2. 已知?? ???=0 01 A 220- ?????440求21,,A A A ∞ （6分） 解： {}, 88,4,1max 1==A 1分 {}, 66,6,1max ==∞A 1分 () A A A T max 2λ= 1分 ?????=0 1 A A T 4 2 ???? ? -420?????0 01 2 20 - ???? ?440= ?????0 01 80 ???? ?3200 2分 {}32 32,8,1max )(max ==A A T λ 1分 24322==A 3. 设32)()(a x x f -= （6分） ① 写出f(x)=0解的迭代格式 ② 当a 为何值时，)(1k k x x ?=+ （0,1……）产生的序列{}k x 收敛于 2 解： ①迭代格式为： x a x x x a x a x x a x x x f x f x x k k k k k k k k k k 665)(665)(6)()(')(2 2 32 1 += +=---=-=+? 3 分 ②时迭代收敛即当222,112 10)2(',665)('2<<-<-=-= a a x a x ?? 3分 4. 给定线性方程组，其中：?? ?=13A ?? ?2 2，?? ? ???-=13b 用迭代公式 )()()()1(k k k Ax b x x -+=+α（0,1……）求解，问取什么实数α ，可使 迭代收敛 （8分） 解： 所给迭代公式的迭代矩阵为?? ? --???--=-=ααααα21231A I B 2分 数值分析典型习题 特别声明：考试时需带计 算器作辅助计算 1．2015x *=是经四舍五入得到的近似值，则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数，则 3．设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =，[0123]f =，，，1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式，则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ，则A 的谱半径()A ρ= 1 ，A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ，线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ，迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ 目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。 这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 和分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式 ()()2 1 121 1()(2)636f x dx f Af f ≈ ++? ，则A ＝（ ） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点 ()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ） A ． ()00l x ＝0， ()110 l x = B ． () 00l x ＝0， ()111 l x = C ． () 00l x ＝1， ()111 l x = D ． () 00l x ＝1， ()111 l x = 4. 设求方程 ()0 f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组12312312 20223332 x x x x x x x x ++=?? ++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）. A ．232 x x -+= B ．232 1.5 3.5 x x -+= C ． 2323 x x -+= D ． 230.5 1.5 x x -=- 单项选择题答案 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 2. 一阶均差 ()01,f x x = 3. 已知3n =时，科茨系数 ()()() 33301213,88C C C === ，那么() 3 3C = 4. 因为方程 ()420 x f x x =-+=在区间 []1,2上满 足 ，所以 ()0 f x =在区间内有根。 5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题 ()211y y y x y ?'=+?? ?=? 的计算公 式 . 填空题答案 第一章典型例题 例3…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝，即绝对误差限是?＝, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=－1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X ＝(1,1,－1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)＝0，得到X (1)＝(1,3,5)T 第2次迭代，k =1 X (2)＝(5,－3,－3)T 第3次迭代，k =2 X (3)＝(1,1,1)T 第4次迭代，k =3 X (4)＝(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A ＝?? ?? ? ?????-122111221 于是 D ＝?? ?? ??????100010001 D －1 ＝D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0＝?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G ＝－U ~ )L ~D (1-+ ＝－?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0，?2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2，3个方程分别为 。数值分析试题及答案汇总
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