迫敛准则在极限求解中的应用
迫敛准则在极限求解中的应用
中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广.
关键词：迫敛准则；极限求解；应用
Abstract：In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion.
Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application
1. 引言
迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.
本文主要介绍这样一个求极限的方法——迫敛性定理，即对于给定的数列{}n x ，当变量n x 的极限不易求出时，可考虑将其作适当的放大或缩小，使放大或缩小后所得到的新变量均易求极限，并且二者的极限值相同，则原极限存在，且等于此公共值.
2. 极限的定义
2.1 数列极限的定义
定义1 设{}n x 是一个数列，a 是实数.如果对任意给定的0ε>，总存在一个正整数N ，当n N >时，都有n x a ε-<，我们就称a 是数列{}n x 的极限，或者称数列{}n x 收敛，且收敛于a ，记为lim n n x a →∞
=或()n x a n →→∞.
2.2 函数极限的定义
定义 2 （函数在0x 点的极限定义） 设函数()f x 在点0x 的附近（但可能除掉点0
x 本身）有定义，又设A 是一个定数. 如果对任意给定的0ε>，一定存在0δ>，使得当
00x x δ<-<时，总有()f x A ε-<，我们就称A 是函数()f x 在点0x 的极限，记为
()0
lim x x f x A →=或者记为()()0f x A x x →→.
3. 迫敛准则及其证明
3.1 数列极限的迫敛准则及其证明
定理[]11 已知数列{}{}{},,n n n x y z ,若存在正整数N ,当n N >时，有n n n x y z ≤≤，且
lim n n x →∞
=lim n n z →∞
=a ，则有lim n n y a →∞
=.
证明：因为lim n n x a →∞
=，故对任意给定的0ε>，
存在正整数1N ，当1n N >时，有||n x a ε-<，即有
n a x ε-< ()3.1
又因为lim n n z a →∞
=，故对上述0ε>，
存在正整数2N ，当2n N >时，有||n z a ε-<，即有
n z a ε<+ ()3.2 又由已知
n n n x y z ≤≤ ()3.3
现取{}012max ,,N N N N =，则当0n N >时有()()()3.1,3.2,3.3三式同时成立， 从而有n n n a x y z a εε-<≤≤<+，即有||n y a ε-<成立，故
lim n n y a →∞
=. 证毕.
推论 已知数列{}{},n n x y ，若存在一正整数N ，当n N >时，有n n a x y ≤≤（或
n y n x a ≤≤），且lim n n y a →∞
=，则lim n n x a →∞
=.
证明：此推论证明方法与定理1的证明方法类似,此处略.
3.2 函数极限的迫敛准则及其证明
定理2 若()00,x U x δ'?∈,有()()()f x g x h x ≤≤,且()()lim lim o
o
x x x x f x h x A →→==,则
()lim o
x x g x A →=.
证明： <方法一> 因为
()()lim lim o
o
x x x x f x h x A →→== ,
所以,对()00,U x δ'内的任意数列{}n x :()00lim n n n x x x x →∞
=≠ ,
由归结原理,有()()lim lim n n n n f x h x A →∞
→∞
== ,
又由数列极限的性质;对*n N ?∈，有
()()()n n n f x g x h x ≤≤, 所以()lim n n g x A →∞
=，故
()lim o
x x g x A →= . 证毕.
<方法二>
按假设,对0ε?>分别存在正整数1δ和2δ,使得 当010||x x δ<-<时,有()A f x ε-<, 当020||x x δ<-<时,有()h x A ε<+,
令 {}12min ,,δδδδ'=,则当 00||x x δ<-< 时, 有
()A f x ε-< , ()h x A ε<+ , ()()()
f x
g x
h x ≤≤
同时成立,
故有A ε-<()()()f x g x h x ≤≤A ε<+, 由此得()||g x A ε-<,故
()lim o
x x g x A →= . 证毕.
鉴于以上两个定理,定理1告诉了我们一种判断数列的极限存在与否的一种方法,而且我们可以用它来求解极限和证明极限.另外,利用函数极限的迫敛性,我们可以从一些简单的数列极限和函数极限出发,计算一些较复杂的数列极限或函数极限.
3.3 数列极限的迫敛准则的推广
定理[]2
3 已知(){}n x ε,(){}n z η为实函数列, {}n y 为一实数列,若有一正整数N ,当
n N >时,有(){}{}(){}n n n x y z εη≤≤,且()()00lim lim lim lim ,n n n n x z a εηεη→→∞
→→∞
==则有lim .n n y a →∞
=
证明： 令()()lim n n x x εε→∞
=()(),lim ,
n n z z ηη→∞
=
则对()()n n n x y z εη≤≤ 两端取上下极限：
()()()()lim lim n n n n x x z z εεηη→∞
→∞
=≤=
()()()()lim lim n n n n x x z z εεηη→∞
→∞
=≤=
对上式令0,0εη→→和()()00limlim limlim n n n n x z a εηεη→→∞
→→∞
==，可得
00lim limlim ,lim limlim n n n n n n n n y y a y y a εε→→∞→→∞
→∞
→∞
====,
即 lim n n y a →∞
= . 证毕.
在此定理中，当()n x ε，()n z η分别为,εη的常值函数时，此定理即为定理1，并且此定理条件中并未要求在n →∞时(),n x ε(),n z η的极限相等，此迫敛性的条件要弱，因此，定理可看成是极限迫敛性的推广，在实际应用中，寻找满足定理条件的
()n x ε(),n z η也比迫敛性更为灵活.
4. 应用
4.1 数列极限迫敛准则的应用
例1 求数列
{}n
n 的极限.
解: 记1n n n a n h ==+ （这里0,1n h n >>）
则有 ()()2
112
n
n n n n n h h -=+>
, 由上式得2
01
n h n <<
- ()1n >,从而有 2
1111
n n a h n ≤=+≤+
- ()* 对数列 211n ????
+??-???? ： 2lim 111n n →∞??+=??-?
? 因对于任给的0ε>,取 2
2
1N ε
=+
,则当n N >时有
2
111
n ε+
-<-, 于是不等式()*的左右两边的极限皆为1， 故由迫敛准则，可得
lim 1n n n →∞
=.
例2 求极限222111lim ...12n n n n n →∞
??
+++??+++?? . 解: 因为
2
2
2
2
2
111 (1)
2
1
n n n n
n n n n
n ≤
+
++
≤
+++++,
而
2
lim
1n n n n
→∞
=+ ,
2
lim
11
n n n →∞
=+,
故由数列极限的迫敛准则可得：
222111lim (11)
2n n n n n →∞
??
+++=??+++??.
由上例我们知道，当数列中的一般项为n 项的和时，在这种情况下，我们就可以放大或缩小{}n y ：取{}n y 中最大的分母作为 {}n x 的分母，最小的分母作为 {}n z 的分母，而{}{},n n x z 的其余部分具体情况具体定，一般为项数乘以原来 {}n y 中项的分子作为{}{},n n x z 的分子，若有 lim lim n n n n x z a →∞
→∞
== ，则可用迫敛性求得.
注意：对于无穷项和的极限，不能拆成极限的和. 例[]3
3 设12,,...,k a a a 是 k 个正数，证明：
{}1212lim ...max ,,...,n n n n k k n a a a a a a →∞
+++=.
证明: 记
{}12max ,,...,k A a a a = , 12...n n n n n k x a a a =+++ ,
则有 n n A x A k ≤≤,而lim n n A k A →∞
=,
故由迫敛准则有:
lim n n x A →∞
=,
即
{}1212lim ...max ,,...,n n n n k k n a a a a a a →∞
+++= . 证毕.
注：在此例题中直接运用了例1的结论，这里lim 1n n k →∞
=.
例4 设()01,2,...n a n >= ，lim 0n n a a →∞
=≠ ，证明：lim 1n n n a →∞
= .
证明: 因 ()01,2,...n a n >= ,
故由极限的保号性知:0a > ,且当n 充分大时，有
22n a
a a <<
于是有:22
n n
n
n a a a <<,且 lim 12
n
n a
→∞
= ,lim 21n n a →∞=
故由迫敛准则知:lim 1n n n a →∞
= . 证毕.
注：在此例题中也是直接运用了例1的结论，这里lim 12
n
n a
→∞
=，lim 21n n a →∞=.此
外，通过这道例题，我们可以更加明显地感受到，利用迫敛准则不仅可以用来求解极限，还可以用来证明极限，这在上面的几道例题中得到了充分的体现.
说明：以上几道例题均是对数列极限迫敛准则的应用，由此可见，在求解一些比较复杂数列极限的时候，通过应用迫敛准则能够很快解决问题.
4.2 函数极限迫敛准则的应用
例[]3
5 求0
1lim x x x →??????
（注：[]* 表示取整函数）.
解: 由取整函数定义知：1101x x ??≤
-
所以有1111x x x ??-<≤????,当0x >时，有111x x x ??
-<≤????
,而
()0
lim 11x x +
→-=, 故由迫敛性得:
01lim 1x x x +
→??
=????
. 另一方面，当0x <时 ，有111x x x ??
≤<-????
,
故由迫敛性又可得:
01lim 1x x x -
→??=????
. 综上所述，可得：
1lim 1x x x →??
=????
.
说明：对于上述例5，首先要应用取整函数的定义得到不等式，然后利用不等式求出左右极限，最终求出所求函数极限.
例6 求2sin lim
4
x x x
x →+∞-.
解: 因为x R ?∈，有1sin 1x -≤≤, 从而由题意可得：当2x > 时有:
222sin 444
x x x x
x x x -≤≤---, 并且有
22
1
lim lim 04
41x x x x x x
→+∞→+∞-
-==--, 同理有 2lim
04
x x
x →+∞=-,
从而由函数极限的迫敛准则可得：
2sin lim
04
x x x
x →+∞=- .
说明：在上例中要注意不等式成立的条件.
另外，迫敛准则在解决问题的过程中，要借助不等式的放缩（技巧要求比较高，最主要是放缩之后要能求出极限），再利用极限的相关性质，法则和定理，才能很快
求出极限.这种方法在解决一些难度较高的问题时，可以变复杂为简单，是一种非常有效的工具.
5. 迫敛准则的推广
定理[]
44 若级数1
n n a ∞=∑与1
n n b ∞
=∑收敛，且成立不等式()1,2,...n n n a u b n ≤≤=，则级数
1
n
n u
∞
=∑ 收敛，且 1
1
1
n n n n n n a u b ∞∞∞
===≤≤∑∑∑.
证明: 因为n n n a u b ≤≤，于是有
0n n n n b u b a ≤-≤- ()1,2,...n =， 又因为级数1
n n a ∞
=∑与1
n n b ∞
=∑收敛，从而级数()1
n n n b a ∞
=-∑收敛，
故级数()1n n n b u ∞
=-∑收敛.
又因为()1
1
1
n n n n n n n u b b u ∞
∞
∞
====--∑∑∑,所以 1
n n u ∞
=∑收敛,
又由于()1,2,...n n n a u b n ≤≤= ，所以
1
1
1
n
n
n
k k k k k k a u b ===≤≤∑∑∑
于是令n →∞得：
1
1
1
n n n n n n a u b ∞
∞
∞
===≤≤∑∑∑. 证毕.
定理[]45 设函数()()(),,h x f x g x 都在任何区间[],a A [),a ?+∞上可积，且对任意
[),x a ∈+∞,有()()()h x f x g x ≤≤,若无穷积分:
()a
h x dx +∞
?与 ()a
g x dx +∞
? 都收敛，则
无穷积分
()a
f x dx +∞
? 收敛，且()()()a a a
h x dx f x dx g x dx +∞+∞+∞
≤≤???.
证明: 对[),x a ?∈+∞,由条件知，有 ()()()()0g x f x g x h x ≤-≤-
因为
()a
h x dx +∞
?与()a g x dx +∞?都收敛,从而()()a
g x h x dx +∞
-?
????收敛, 故
()()a
g x f x dx +∞
-?
????收敛. 又因
()()()()a
a
a
f x dx
g x dx g x f x dx +∞
+∞+∞
=--?
??????, 所以
()a
f x dx +∞
?收敛.
又因为对于任给的[),x a ∈+∞ ，有()()()0h x f x g x ≤≤≤, 所以 [),A a ?∈+∞,有
()()()A
A
A
a
a
a
h x dx f x dx g x dx ≤≤???
令 A →∞ 得：
()()()a
a
a
h x dx f x dx g x dx +∞
+∞+∞
≤≤??? 证毕.
以上这两个定理，定理4是将迫敛准则推广到数项级数的情形，而定理5则是将迫敛准则推广到无穷限的反常积分的情形.接下来看一个积分区间为有限的例子.
例7 求1
lim 1n
n x dx x →∞+?.
解: 由01n
n x x x ≤≤+ []0,1x ∈,
将上述不等式对x 从0到1积分得：
11
00
1
011n n x dx x dx n x ≤≤=
++??. 又由1
lim
01
n n →∞=+,据迫敛性，有
1
lim 01n
n x dx x →∞=+?.
例8 求0
1
lim sin x
x t dt x →+∞?.
解: 由于sin t 是以π为周期的函数，因此，有
sin sin 2n t dt tdt n π
π
==?? ，其中 n N ∈,
所以0x ?>,存在n ，使
()1n x n ππ≤≤+ , 则有
()10
sin sin sin n n x
t dt t dt t dt π
π
+≤≤
???
,
有 ()0
2sin 21x
n t dt n ≤≤+? ,
于是
()
()
sin 2121x
t dt
n n
n x
n ππ
+≤
≤
+?, 两边取极限有：
12
lim sin x
x t dt x π→+∞=?. 这两个例题均是积分区间为有限的，自变量趋于无穷大的情况.
6. 结束语
极限是微积分学中的最基本的概念，迫敛性是极限的一个重要性质，利用它我们既可以来判断极限的存在，又可以用它来求出极限.通过对迫敛性定理的应用，我们可以更快更准确的求出一些极限，对于一些极限的证明，我们也可以利用迫敛准则.
但是，在迫敛性解决一些实际问题时，常常需要进行一些技巧性较高的放缩，然后再利用其他相关知识加以求解.由此可见，迫敛性是一种很好的解决问题的工具.数列极限是函数极限的基础，通过对数列极限，函数极限迫敛性的深入理解，可以将迫敛性条件减弱、放宽，加以推广.
在这篇文章中，我将迫敛准则的应用推广到了级数和积分中，另外还可以再进一步推广到二重积分、三重积分中.
参考文献
[1] 陈传章，等.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，1983,36.
[2] 覃燕梅，吴凯腾，等.极限迫敛性的推广[J].内江师范学院报，2006，21（4）. [3] 欧阳光中，等.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2007. [4] 孙雪莹.迫敛性及其应用[J].科技信息，2008:139-141.
迫敛准则在极限求解中的应用
迫敛准则在极限求解中的应用 中文摘要：在高等数学中，有很多重要的概念和方法都和极限有关，并且在实际问题中，极限也占有很很要的地位.同样在数学分析中，极限对我们来说也很重要，它是我们解决问题的一个工具.在这篇文章中，我主要介绍迫敛准则在极限求解中的应用，迫敛准则，我们有时也称它为夹挤定理或两边夹法则，它是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，对我们求解极限和证明极限是一个很好的工具.本文给出迫敛准则的一些直接应用，并进行了一些推广. 关键词：迫敛准则；极限求解；应用 Abstract：In advanced mathematics, there are a lot of important concepts and methods and to the limit,and in the actual problem, the limit also plays the position.Also in mathematical analysis, limit is also important for us, it is a tool for us to solve the problem, in this article, I'll focus on the of approximate convergence criteria limit solving.The approximate convergence criteria, we sometimes call it the squeeze theorem or folder on both sides of the law, it is the calculus limit the theoretical part of a very important nature, solving strength and proof limit is a good tool for us.In this paper, squeeze criteria applied directly,and some promotion. Keywords: forced convergence criteria; ultimate solving;application 1. 引言 迫敛性是微积分极限理论部分中一个非常重要的性质，它在许多极限问题的计算和证明中有很重要的应用.然而，在实际应用中，要寻找到满足条件的{}n x和{}n y经常是困难的，这给迫敛性的应用也带来了一定的不便.
第一章 函数、极限与连续
第一章 函数、极限与连续 (一) 1．区间[)+∞,a 表示不等式( ) A ．+∞< 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、1000个0相加，极限等于0。 2、无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、，其中，，极限不能确定。对于 2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则1、夹逼准则准则Ⅰ 如果数列及满足下列条件:那么数列的极限存在, 且、证： 取上两式同时成立, 当时，恒有上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限准则Ⅰ′ 如果当 (或)时,有那么存在, 且等于、准则 I和准则 I称为夹逼准则。 【注意】 利用夹逼准则求极限的关键是构造出与，并且与的极限是容易求的。例1 求解： 由夹逼定理得： 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2、单调有界准则准则Ⅱ 单调有界数列必有极限、如果数列满足条件，就称数列是单调增加的；如果数列满足条件，就称数列是单调减少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。几何解释:例2 证明数列（重根式）的极限存在 【分析】 已知，，求。首先证明是有界的，然后证明是单调的，从而得出结论证： 1、证明极限存在a) Afr .-f-e 第一早第八节 极限存在准则两个重要极限 【教学目的】 1、 了解函数和数列的极限存在准则； 2、 掌握两个常用的不等式； 3、 会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、 夹逼准则； 2、 单调有界准则； 3、 两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。首先给出极限存在准 则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（ 5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类 型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1000 3、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则: 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件 (1) y n X n Z n (n 1,2,3 ) (2) lim y n a, lim z n a, n n 那么数列X n 的极限存在，且lim X n a . n 证： y a, z a, 0, N 1 0, N 2 0,使得 1、 lim n n 2 1000个0相加，极限等于 0。 2、 lim n ——2一无穷多个 .n i 0”相加，极限不能确定。 当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n 取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2 【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用 2. 单调有界准则 准则n 单调有界数列必有极限 几何解释： X 2 X 3 X n X n 1 A 1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。首先证明是有界的，然后证明是单 n 调的，从而得出结论 证：1、证明极限存在 例2证明数列 X n .3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在 当n > N 时，恒有 a y n x n z n a ,即 X n a 成立, lim x n a. n 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限 o 准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有 (1) g(x) f(x) h(x), ⑵』m g(x) A ，』m h(x) A, x x x x (x ) (x ) 那么lim f (x)存在，且等于A . x x 0 (x ) 准则 和准则'称为夹逼准则。 【注意】利用夹逼准则求极限的关键是构造出 y n 与z n ，并且y n 与z n 的极限是容易求的。 解: 又lim n 1 1 求 lim( + =+ L n “n 2+ 1 、n 2 + 2 + J 2 ： ). .n + n 1 + . < ..n 2 + n lim n 1, lim 一n - n lim n 1, 1 2 y n a 由夹逼定理得: -)1- n 如果数列x n 满足条件X 1 加的；如果数列 x n 满足条件X 1 x 2 x 3 少的。单调增加和单调减少的数列统称为单调数列。 X 2 X 3 X n X n X n 1 X n 1 ，就称数列 x n 是单调增 ,就称数列x n 是单调减 【分析】已知X n 第一章第六节 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3分钟）。首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10分钟）；课堂练习（5分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ →Λ 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→Θ使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 第一章 习题二 重要极限与极限存在准则 无穷小的比较 一. 选择题 1．=--∞ →n n n n n ne e 2 2 11) sin(lim （ A ） （A ）0； （B ）1； （C ）1-； （D ）∞． 2．3)2 1(lim -∞ →=+e n kn n ，则=k （ C ） （A ）23； （B ）32； （C ）23-； （D ）3 2-． 3．设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调有界，{}n x 为数列，则以下选项正确的是（ B ） （A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 4．当0→x 时，)11(22-++x x 是x 的（ D ） （A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小． 5．当∞→n 时，4321321n n n +++是5 321321n n n -+-的（ C ） （A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小． 6．当0→x 时，下列结论正确的是（ D ） （A ）22~)1ln(x x -； （B ）x x ~121--； （C ）x e x 2~12-； （D ）x x ~)sin 1ln(+． 7．当0x +→ B ） （A ）1- （B ） （C 1 （D ）1-二．填空题 1．设0≠x ，则___________lim 2tan 2 n n n x x →∞=． 2．221___________sin(21)lim 032x x x x x →-+=-+． 3．4)2( lim =++∞ →x x c x c x ，则___________ln 4c =-． 4．0___________11 lim(sin sin )1x x x x x →-=-． 5． 220___________1sin lim 0 sin 2x x x x →=． 6．220_____ ln cos lim ln cos x ax a bx b →=. 7 ．0 ___________ 13 x →= ． 8 ．0lim x + →= 9．若0x →时，124 (1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，则________4a =-。 10．当0→x 时，x x sin 22sin -是x 的k 阶无穷小量, k= 3 ． 11．设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()n x x 更高阶的无穷小，而sin()n x x 是比2 1x e -更高阶的无穷小。则正整数_________2n =。 三．计算题 1．求n n n n )2 3()32(lim +∞ →． 解：Θ ≤+?=+≤n n n n n 1)32(23)23()32(232n 22 3 ?，且∞→n lim n 21=， 2 3 )23()32(lim =+∴∞→n n n n ． 另解：n n n n )23()32(lim +∞→n n n 1)3 2(23lim 2+?=∞→n n n n 1 lim 21)3 2(lim 23∞→? ?? ? ????? ??+=∞→2 3= ． 2 ．求n →∞+L n n < ++ < L 且1n n == ，所以n →∞ L ＝1 3．求)2211(lim 222n n n n n n n n n n n n -+ ++-++-+ ∞→Λ． 极限存在准则 两个重要极限 【教学目的】 1、了解函数和数列的极限存在准则； 2、掌握两个常用的不等式； 3、会用两个重要极限求极限。 【教学内容】 1、夹逼准则； 2、单调有界准则； 3、两个重要极限。 【重点难点】 重点是应用两个重要极限求极限。 难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。 【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（5分钟）。首先给出极限存在准则（20分钟），并举例说明如何应用准则求极限（20分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（40分钟）；课堂练习（15分钟）。 【授课内容】 引入：考虑下面几个数列的极限 1、∑ =∞ →+1000 12 1lim i n i n 1000个0相加，极限等于0。 2、∑ =∞ →+n i n i n 1 21lim 无穷多个“0”相加，极限不能确定。 3、n n x ∞ →lim ，其中n x = 1x = 对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则： 一、极限存在准则 1. 夹逼准则 准则Ⅰ 如果数列n n y x ,及n z 满足下列条件: , lim ,lim )2() 3,2,1()1(a z a y n z x y n n n n n n n ===≤≤∞ →∞ → 那么数列n x 的极限存在, 且a x n n =∞ →lim . 证：,, a z a y n n →→ 使得,0,0,021>>?>?N N ε ,1ε<->a y N n n 时恒有当 ,2ε<->a z N n n 时恒有当 取12max{,},N N N =上两式同时成立,,εε+<<-a y a n 即 ,εε+<<-a z a n 当n N >时，恒有 ,εε+<≤≤<-a z x y a n n n ,成立即ε<-a x n .lim a x n n =∴∞ →极限存在准则两个重要极限
(完整版)1极限存在准则-两个重要极限
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第1章重要极限与极限存在准则习题集及答案
极限存在准则,两个重要极限