(完整版)分支限界算法作业分配问题
分支限界法的研究与应用
摘要：
分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。
分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。
常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
关键词：
分支限界法回溯法广度优先分支搜索法
目录
第1章绪论 (3)
1.1 分支限界法的背景知识 (3)
1.2 分支限界法的前景意义 (3)
第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。
2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。
2.2 分支限界法的一般性描述 (6)
第3章作业分配问题 (7)
3.1 问题描述 (7)
3.2 问题分析 (7)
3.3 算法设计 (8)
3.4 算法实现 (10)
3.5 测试结果与分析 (12)
第4章结论 (13)
参考文献 (14)
第1章绪论
1.1 分支限界法的背景知识
分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。
（1) FIFO搜索
先进先出搜索算法要依赖“队”做基本的数据结构。一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。再从活结点表中取出队首结点为当前扩展结点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。
（2) LIFO搜索
后进先出搜索算法要依赖“栈”做基本的数据结构。一开始,根结点入栈.从栈中弹出一个结点为当前扩展结点。对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子入栈,再众栈中弹出一个结点为当前扩展结点,……，直到找到一个解或栈为空为止。
（3）优先队列式搜索
为了加速搜索的进程，应采用有效地方式选择E-结点进行扩展。优先队列式搜索，对每一活结点计算一个优先级，并根据这些优先级，从当前活结点表中优先选择一个优先级最高的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间树上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解。
1.2 分支限界法的前景意义
在现实生活中，有这样一类问题：问题有n个输入，而问题的解就由n个输入的某种排列或某个子集构成，只是这个排列或子集必须满足某些事先给定的条件。把那些必须满足的条件称为约束条件；而把满足约定条件的排列或子集称为该问题的可行解。满足约束条件的子集可能不止一个，也就量说可行解一般来说是不唯一的。为了衡量可行解的优劣，事先也可能给出了一定的标准，这些标准一般以函数
形式给出，这些函数称为目标函数。那些使目标函数取极值的可行解，称为最优解。如工作安排问题，任意顺序都是问题的可行解，人们真正需要的是最省时间的最优解。
用回溯算法解决问题时，是按深度优先的策略在问题的状态空间中，尝试搜索可能的路径，不便于在搜索过程中对不同的解进行比较，只能在搜索到所有解的情况下，才能通过比较确定哪个是最优解。这类问题更适合用广度优先策略搜索，因为在扩展结点时，可以在E-结点的各个子结点之间进行必要的比较，有选择地进行下一步扩展。分支限界法就是一种比较好的解决最优化问题的算法。分支限界法是由“分支”策略和“限界”策略两部分组成。“分支”策略体现在对问题空间是按广度优先的策略进行搜索；“限界”策略是为了加速搜索速度而采用启发信息剪枝的策略。
第2章分支限界法的理论知识
2.1 问题的解空间树
1
x1=1 x1=0
2 3
x2=1 x2=0 x2=1 x2=0
x3=1 x3=0 x3=1 x3=0 x3=1 x3=0 x3=1 x3=0
8 9 10 11 12 13 14 15
子集树
在FIFO分支搜索方法中,在搜索当前E-结点全部儿子后,其儿子成为活结点,E-
结点变为死结点;活结点存储在队列中,队首的活结点出队后变为E-结点,其再生成其他活结点的儿子……直到找到问题的解或活结点队列为空搜索完毕.
这里采用地构造解空间二叉树的方法,问题的解就是二叉树中的某一个分支.这个解是要搜索到二叉树的叶结点才能确定的,且只须记录最优解的叶结点,就能找到问题的解.比较方便的存储方式是二叉树要有指向父结点的指针,以便从叶结点回溯解的方案.又为了方便知道当前结点的情况,还要记录当前结点是父结点的哪一个儿子.
FIFO分支搜索算法框架如下:假定问题解空间树为T,T至少包含一个解结点(答案结点).u为当前的最优解,初值为一个较大的数;E表示当前扩展的活结点,x为E 的儿子,s(x)为结点x下界函数,当其值比u大时,不可能为最优解,不断续搜索此分支,该结点不入队;当其值比u小时,可能达到最优解,断续搜索此分支,该结点入队;cost(X)当前叶结点所在分支的解.
search(T)
{ leaf=0;
初始化队;
ADDQ(T);
parent(E)=0;
while(队不空)
{ DELETEQ(E)
for(E的每个儿子X)
if(s(X) { ADD Q(X); parent(X)=E; if(X是解结点) { U=min(cost(X),u); leaf=x;} } } printf("least cost=%f",u); while(leaf!=0) { printf("%f",leaf); leaf=parent(leaf);} } 找最小成本的LC分支-限界算法框架与FIFO分支-限界算法框架结构大致相同,只是扩展结点的顺序不同,因而存储活结点的数据结构不同.FIFO分支-限界算法用队存储活结点,LC分支-限界算法用堆存储活结点,以保证比较优良的结点行被扩展.且对于LC分支-限界算法,当扩展到叶结点就已经找到最优解,可以停止搜索. 2.2 分支限界法的一般性描述 分支限界有3种不同的搜索方式:FIFO、LIFO和优先队列。 对于先进先出搜索(FIFO),其算法要依赖“队”做基本的数据结构。一开始,根结点是唯一的活结点,根结点入队。从活结点队中取出根结点后,作为当前扩展结点。对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子加入活结点队列中。再从活结点表中取出队首结点为当前扩展结点,……,直到找到一个解或活结点队列为空为止。 对于后进先出搜索(LIFO),其算法要依赖“栈”做基本的数据结构。一开始,根结点入栈.从栈中弹出一个结点为当前扩展结点。对当前扩展结点,先从左到右地产生它的所有儿子,用约束条件检查,把所有满足约束函数的儿子入栈,再众栈中弹出一个结点为当前扩展结点,……，直到找到一个解或栈为空为止。 对于优先队列式扩展方式，不加入限界策略其实是无意义的，因为要说明解的最优性，必需搜索完问题全部解空间，才能下结论。 优先队列式搜索通过结点的优先级，可以使搜索尽快朝着解空间树上有最优解的分支推进，这样当前最优解一定较接近真正的最优解。其后将当前最优解作为一个“标准”，对上界（或下界）不可能达到（或大于）这个“标准”的分支，则不去进行搜索，这样剪枝的效率更高，能较好地缩小搜索范围，从而提高搜索效率。这种搜索策略称为优先队列式分支限界法，即“LC-检索”。 优先队列式分支限界法进行算法设计的要点如下： （1）结点扩展方式：无论哪种分支限界法，都需要有一张活结点表。优先队列的分支限界法将活结点组织成一个优先队列，并按优先队列中规定的结点优先级 选取优先级最高的下一个结点成为当前扩展结点。 （2）结点优先级确定：优先队列中结点优先级常规定为一个与该结点相关的数值w，w一般表示以该结点为根的子树中的分支（其中最优的分支）接近最优解的程度。 （3）优先队列组织：结点优先级确定后，按结点优先级进行排序，就生成了优先队列。排序算法的时间复杂度较高，考试到搜索算法每次只扩展一个结点，使用数据结构中介绍的堆排序比较合适，这样每次扩展结点时，比较交换的次数最少。 第3章作业分配问题 3.1 问题描述 题1:作业分配问题：设有A,B,C,D,E, …等n个人从事J1,J2,J3,J4,J5,…等n项工作，每人只能从事一项任务，每个任务由不同的工人从事有着不同的费用，求最佳安排使费用最低。 要求：输出每人所从事的工作任务以及最佳安排的最低费用。 题2:有两艘船和需要装运的n个货箱，第一艘船的载重量是c1，第二艘船的载重量是c2，Wi是货箱i的重量，且W1+W2+W3+W4+......+Wn<=c1+c2。希望确定是否有一种可将所有n个货箱全部装船的方法。 要求:输出每艘船最终载重量. 3.2 问题分析 分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。在分支定界算法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。利用分支定界算法对问题的解空间树进行搜索，它的搜索策略是： (1)产生当前扩展结点的所有孩子结点； (2)在产生的孩子结点中，抛弃那些不可能产生可行解（或最优解）的结点； (3)将其余的孩子结点加入活结点表； (4)从活结点表中选择下一个活结点作为新的扩展结点。 如此循环，直到找到问题的可行解（最优解）或活结点表为空。分支限界法的思想是：首先确定目标值的上下界，边搜索边减掉搜索树的某些支，提高搜索效率。 题1:先看一个实例,设有A,B,C,D,E 5人从事J1,J2,J3,J4,J5项工作，每人只能从事一项，他们的效益如图所示，求最佳安排使效益最高。 要求：输出每人所从事的工作项目以及最佳安排的最高效益。 考虑任意一个可行解,例如矩阵中的对角线是一个合法的选择,表示将任务J1分配给人员A,任务J2分配给人员B,任务J3分配给人员C,任务J4分配给D,任务J5分配给E,其总效益是10+10+7+11+4=42;或者应用贪心法求得一个近似解:人员A 从事J2时效益最大,将任务J2分配给人员A,剩余工作中人员B从事J1时效益最大,任务J1分配给人员B,J3、J4、J5中人员D从事J4时效益最大,任务J4分配给人员D,J3和J5中人员C从事J3时效益最大,任务J3分配给人员C,任务J5只能分配给人员E,其总效益是11+13+11+7+4=46.显然,42和46都不能确定是最优解,有可能还有比其更大的效益,这两个解其一并不一定是一个最可行的选择,它们仅仅提供了一个参考,这样,可以以其中一个作为参考来进一步对各种作业分配方案进行搜索,比较其每种分配方式的效益.最大的总效益为最优解,其分配方案为最佳分配方案. 题2:先看一个实例,当n=3,c1=c2=50,w={10,40,40}时,可将货箱1,2装到第一艘船上,货箱3装到第二艘船上.但如果w={20,40,40},则无法将货箱全部装船.由此可知问题可能有解,可能无解,也可能有多解.下面以找出问题的一个解为目标设计算法. 虽然是关于两艘船的问题,其实只讨论一艘船的最大装载问题即可.因为当第一艘船的最大装载为bestw时,若w1+w2+…+wn-bestw<=c2则可以确定一种解,否则问题就无解.这样问题转化为第一艘船的最大装载问题. 3.3 算法设计 题1:问题的解空间为一个子集树,所有可能的解都可通过一个求解树给出.也就是算法要考虑任务是否分配给人员的情况组合,n个任务分配给n个人员的组合共n*n种情况,作业分配子集树是n=4的子集树它是用FIFO分支搜索算法解决该问题的扩展结点的过程编号的. 1 个人作业分配 2 3 1 3 4 2 2 4 5 3 4 5 3 5 4 5 5 4 4 作业分配子集树 在任务分配中,如实例中若n=4时,J1分配给A则向左走,否则往右走,直到走到最后,把最终的总效益求出,并把第一次求出的总效益作为最大效益与后边的总效益相比较,比其大者,交换两者,大的作为最大效益.依次方法,直到找到最优解,并输出其值以及其最大效益时的最佳分配方案. (1)用FIFO分支搜索所有的分支,并记录已搜索分支的最优解,搜索完子集树也就找出了问题的解.图中结点1为第零层,是初始E-结点;扩展后结点2,3为第一层;3,4,2是第一个任务分配出去后的下一层扩展结点,4,5,3,4,5是第二个任务分配出去后下一层的扩展结点(即分配情况). (2)用task[i]来表示任务是否分配及分配了给哪个工人,即task[i]=0时表示任务i未分配, task[i]=j表示任务i分配给了工人j;用worker[k]=0或1来表示 工人k是否分配了任务, worker[k]=0表示工人k未分配任务, worker[k]=1表示工人k已分配了任务. (3)把最低费用用mincost来表示和c[i][j]表示工人j执行任务i时的费用,并把c[i][j]和mincost分别初始化为c[1000][1000]和100000;同时把ask[i]和temp[i]、worker[i]的存储空间初始为task[1000]和temp[1000]、worker[1000],之后把其初始化为0. (4)用Plan(int k,unsigned int cost)来对分配作业的解空间树进行搜索,搜索的时候,每个活结点要记录下搜索的路径(即分配方案),存储在temp[i]中,并求出费用cost,然后cost与最小费用mincost进行比较,较小者是最小费用,其分配方案为最佳分配方案. (5)下面的算法中用Plan(int k,unsigned int cost)中的第二个for循环来实现对解空间树的搜索,第一次for(i=0)时，找出0号工人分别执行0，1，2，3，4号任务时总花费最小;第二次for(i=1)时，找出1号工人分别执行除0号工人的任务以外任务时总花费最小，并与i=0时的总花费最小比较;…;第五次for(i=4)时，找出总花费最小，并与上次的总花费最小比较;依次类推对解空间树进行搜索.第一个for循环把cost与mincost进行比较,求出最小费用并记录出最小费用的分配方案. 题2:转化为一艘船的最优化问题后,问题的解空间为一个子集树(问题的解空间树中的子集树).也就是算法要考虑所有物品取舍情况的组合. (1)要想求出最优解,必须搜索到叶结点.所以要记录树的层次,当层次为n+1时,搜索完全部叶结点,算法结束.不同于回溯算法,分支搜索过程中活结点的“层”是需要标识的,否则在入队后无法识别结点所在的层.下面算法,每处理完一层让“-1”入队,以此来标识“层”,并用记数变量i来记录当前层. (2)每个活结点要记录当前船的装载量. (3)为了突出算法思想,对数据结构队及其操作只进行抽象描述.用Queue代表队列类型，则Queue Q：定义了一个队列Q，相关操作有：add（Q，….）表示入队；Empty（Q）测试队列是否为空，为空则返回真值。Delete（Q，….）；表示出队。 3.4 算法实现 算法1如下: #include #include #include int n; //工人和任务的数目 int c[1000][1000]; unsigned int mincost = 100000; //设置的初始值,大于可能的费用 int task[1000],temp[1000],worker[1000]; void main() { void Plan(int k,unsigned int cost); int i,j; printf("please input tasks and workers:"); scanf("%d%d",&n,&n); printf("输入每个工人完成各个工作的费用:\n"); for(i=0;i { //设置每个任务由不同工人承担时的费用及全局数组的初值 /*task[i]:值为0表示任务i未分配,值为j表示任务i分配给工人j; worker[k]:值为0表示工人k未分配任务,值为1表示工人k已分配任务;*/ worker[i] = 0; task[i] = 0; temp[i] = 0; for(j=0;j scanf("%d",&c[i][j]); } Plan(0,0); //从任务0开始分配 printf("最小总费用:%d\n",mincost); for(i=0;i printf("工人:%d执行任务:%d\n",i+1,temp[i]+1); } void Plan(int k,unsigned int cost) { int i; if(k>=n && cost { mincost = cost; for(i=0;i temp[i] = task[i]; //工人i完成任务temp[i] } else { for(i=0;i { //分配任务k if(worker[i]==0) { worker[i] = 1; task[k] = i; //第一次for(i=0)时，找出0号工人分别执行0，1，2，3，4号任务时总花费最小 //第二次for(i=1)时，找出1号工人分别执行除0号工人的任务以外任务时总花费最 //小，并与i=0时的总花费最小比较 //... //第5次for(i=4)时，找出总花费最小，并与上次的总花费最小比较 Plan(k+1,cost+c[k][i]); worker[i] = 0; task[k] = 0; } } } } 算法2如附件: 3.5 测试结果与分析 实验结果1截图如下: 作业分配 实验结果2截图如下: 载重问题 第4章结论 分支限界法是由“分支”策略和“限界”策略两部分组成。“分支”策略体现 在对问题空间是按广度优先的策略进行搜索；“限界”策略是为了加速搜索速度而采用启发信息剪枝的策略。分支搜索的一种搜索方式FIFO，在搜索当前E-结点全部儿子后，其儿子结点成为活结点，E-结点变为死结点；活结点存储在队列中，队首的活结点出队后变为E-结点，其再生成其他活结点的儿子……直到找到问题的解或活结点队列为空搜索完毕，例如算法2的载重问题。在算法2中，根据分支搜索，再加上限界策略把不符合约束条件的分支给剪掉。分支搜索的另一种搜索方式优先队列搜索，它通过结点的优先级，可以使搜索尽快朝着解空间树上有最优解的分支推进，这样当前最优解一定较接近真正的最优解。其后将当前最优解作为一个“标准”，对上界（或下界）不可能达到（或大于）这个“标准”的分支，则不去进行搜索，这样剪枝的效率更高，能较好地缩小搜索范围，从而提高搜索效率。其中优先队列分支限界法进行算法设计的有一要点优先队列组织：结点优先级确定后，按结点优先级进行排序，就生成了优先队列。算法1则是利用了这一思想进行算法设计的，也通过最大效益的分配方案为最佳解的限界来进行筛选最优解，算法1也利用了广度优先的思想进行了算法设计。 分支算法的求解目标是找出满足约束条件的一个解，或是在满足条件的解中找出使用某一目标函数值达到极大或极小的解，即在某种意义下的最优解，即算法1。相对于回溯法而言，分支限界算法的解空间比回溯法大得多，因此当内存容量有限时，回溯法成功的可能性更大。仅就限界剪枝的效率而言，优先队列的分支限界法显然要更充分一些。回溯法则因为层次的划分，可以在上界函数值小于当前最优解时，剪去以该结点为根的子树，也就是节省了搜索范围；分支限界法在这方面除了可以做到回溯法能做到的之外，若采用优先队列的分支限界法，有上界函数作为活结点的优先级，一旦有叶结点成为当前扩展结点，就意味着该叶结点所对应的解即为最优解，可以立刻终止其余的过程。由以上例子可以说明优先队列的分支限界法更像是有选择、有目的地进行深度优先搜索，时间效率、空间效率都是比较高的。 参考文献 [1]吕国英，任瑞征，钱宇华.算法设计与分析.贪婪算法 [2]谭浩强.c程序设计（第四版） 附件 #include #include #define MAX 100 struct Queue { float l[MAX]; int head,tail; }; void InitialQ(Queue &q) { q.head = q.tail = 0; } void Add(Queue &q,float i) { q.l[q.tail] = i; q.tail++; } void Delete(Queue &q,float &i) { if(q.head < q.tail) { i = q.l[q.head]; q.head ++; }else { exit(1); } } bool Empty(Queue& q) { if(q.head < q.tail) return false; else return true; } float bestw,w[100]; int n; Queue Q; int main() { InitialQ(Q); float c1,c2,s=0; int i; float MaxLoading(float c); scanf("%f%f%d",&c1,&c2,&n); for(i=1;i<=n;i++) { scanf("%f",&w[i]); s=s+w[i]; } if(s<=c1||s<=c2) { printf("need only one ship"); return 0; } if(s>c1+c2) { printf("Non solution"); return 0; } MaxLoading(c1); if(s-bestw<=c2) { printf("The first ship loading: %f\n",bestw); printf("The second ship loading: %f\n",s-bestw); } else printf("Non solution"); } float MaxLoading(float c) { void AddLiveNode(float,int); Add(Q,-1); int i=1; float ew=0; bestw=0; while(!Empty(Q)) { if(ew+w[i]<=c) AddLiveNode(ew+w[i],i); AddLiveNode(ew,i); Delete(Q,ew); if(ew==-1) { if(Empty(Q)) return bestw; Add(Q,-1); Delete(Q,ew); i++; } } } void AddLiveNode(float wt,int i) { if(i==n) { if(wt>bestw) bestw=wt; } else Add(Q,wt); } 分支限界法的研究与应用 摘要： 分支限界法与回溯法的不同:首先,回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解,而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解,或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。其次，回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则一般以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。再者，回溯法空间效率高；分支限界法往往更“快”。 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 常见的分支限界法有：队列式分支限界法，按照队列先进先出原则选取下一个结点为扩展结点。栈式分支限界法，按照栈后进先出原则选取下一个结点为扩展结点。优先队列式分支限界法，按照规定的结点费用最小原则选取下一个结点为扩展结点（最采用优先队列实现）。 分支搜索法是一种在问题解空间上进行搜索尝试的算法。所谓分支是采用广度优先的策略国,依次搜索E-结点的所有分支,也就是所有的相邻结点。和回溯法一样,在生成的结点中,抛弃那些不满足约束条件的结点,其余结点加入活结点表。然后从表中选择一个结点作为下一个E-结点,断续搜索。 关键词： 分支限界法回溯法广度优先分支搜索法 目录 第1章绪论 (3) 1.1 分支限界法的背景知识 (3) 1.2 分支限界法的前景意义 (3) 第2章分支限界法的理论知识.................. 错误!未定义书签。 2.1 问题的解空间树 ............................................... 错误!未定义书签。 2.2 分支限界法的一般性描述 (6) 第3章作业分配问题 (7) 3.1 问题描述 (7) 3.2 问题分析 (7) 3.3 算法设计 (8) 3.4 算法实现 (10) 3.5 测试结果与分析 (12) 第4章结论 (13) 参考文献 (14) TSP问题算法实验报告 指导教师：季晓慧 姓名：辛瑞乾 学号：1004131114 提交日期：2015年11月 目录 总述 (2) 动态规划法 (3) 算法问题分析 (3) 算法设计 (3) 实现代码 (3) 输入输出截图 (6) OJ提交截图 (6) 算法优化分析 (6) 回溯法 (6) 算法问题分析 (6) 算法设计 (7) 实现代码 (7) 输入输出截图 (9) OJ提交截图 (9) 算法优化分析 (10) 分支限界法 (10) 算法问题分析 (10) 算法设计 (10) 实现代码 (10) 输入输出截图 (15) OJ提交截图 (15) 算法优化分析 (15) 总结 (16) 总述 TSP问题又称为旅行商问题，是指一个旅行商要历经所有城市一次最后又回到原来的城 市，求最短路程或最小花费，解决TSP可以用好多算法，比如蛮力法，动态规划法…具体的时间复杂的也各有差异，本次实验报告包含动态规划法，回溯法以及分支限界法。 动态规划法 算法问题分析 假设n个顶点分别用0~n-1的数字编号，顶点之间的代价存放在数组mp[n][n]中，下面考虑从顶点0出发求解TSP问题的填表形式。首先，按个数为1、2、…、n-1的顺序生成1~n-1个元素的子集存放在数组x[2^n-1]中，例如当n=4时，x[1]={1},x[2]={2},x[3]={3},x[4]={1,2},x[5]={1,3},x[6]={2,3},x[7]={1,2,3}。设数组dp[n][2^n-1]存放迭代结果，其中dp[i][j]表示从顶点i经过子集x[j]中的顶点一次且一次，最后回到出发点0的最短路径长度，动态规划法求解TSP问题的算法如下。 算法设计 输入：图的代价矩阵mp[n][n] 输出：从顶点0出发经过所有顶点一次且仅一次再回到顶点0的最短路径长度 1.初始化第0列（动态规划的边界问题） for(i=1;i 回溯法与分支限界法的分析与比较 摘要：通过对回溯法与分支限界法的简要介绍，进一步分析和比较这两种算法在求解问题时的差异，并通过具体的应用来说明两种算法的应用场景及侧重点。 关键词：回溯法分支限界法n后问题布线问题 1、引言 1.1回溯法 回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略，从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问题的解。如果肯定不包含，则跳过对该结点为根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。这种以深度优先方式系统搜索问题解的算法称为回溯法。 1.2分支限界法 分支限界法是以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树，在每一个活结点处，计算一个函数值，并根据函数值，从当前活结点表中选择一个最有利的结点作为扩展结点，使搜索朝着解空间上有最优解的分支推进，以便尽快地找出一个最优解，这种方法称为分支限界法。 2、回溯法的基本思想 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少应包含问题的一个解。之后还应将解空间很好的组织起来，使得能用回溯法方便的搜索整个解空间。在组织解空间时常用到两种典型的解空间树，即子集树和排列树。确定了解空间的组织结构后，回溯法从开始结点出发，以深度优先方式搜索整个解空间。这个开始结点成为活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应往回移动至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法以这种工作方式递归的在解空间中搜索，直至找到所要求的解或解空间中已无活结点时为止。 3、分支限界法的基本思想 用分支限界法解问题时，同样也应明确定义问题的解空间。之后还应将解空间很好的组织起来。分支限界法也有两种组织解空间的方法，即队列式分支限界法和优先队列式分支限界法。两者的区别在于：队列式分支限界法按照队列先进先出的原则选取下一个节点为扩展节点，而优先队列式分支限界法按照优先队列 实验四用分支限界法实现0-1背包问题 一.实验目的 1.熟悉分支限界法的基本原理。 2.通过本次实验加深对分支限界法的理解。 二.实验内容及要求 内容：?给定n种物品和一个背包。物品i的重量是w,其价值为v，背包容量为c。问应该如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大？ 要求：使用优先队列式分支限界法算法编程，求解0-1背包问题 三.程序列表 #inelude stack 实验五分支限界算法的应用 一、实验目的 1 ?掌握分支限界算法的基本思想、技巧和效率分析方法。 2?熟练掌握用分支限界算法的基本步骤和算法框架，FIFO搜索，LIFO搜索，优先队列式搜索的思想。 3 ?学会利用分支限界算法解决实际问题。 二、算法问题描述 批处理作业调度问题：n个作业｛1,2,…,要在两台机器上处理，每个作业必须先由机器1处理，然后再由机器2处理，机器1处理作业i所需时间为ai，机器2处理作业i 所需时间为bi ( K i菊n，批处理作业调度问题(batch-job scheduling problem)要求确定这n个作业的最优处理顺序，使得从第1个作业在机器1上处理开始，到最后一个作业在机器2上处理结束所需时间最少。 注意：由于要从n个作业的所有排列中找出具有最早完成时间的作业调度，所以，批处理作业调度问题的解空间是一棵排列树，并且要搜索整个解空间树才 能确定最优解，因此，其时间性能是O(n!)。在搜索过程中利用已得到的最短完成时间进行剪枝，才能够提高搜索速度。 三、算法设计 批处理作业调度问题要从n个作业的所有排列中找出具有最小完成时间和 的作业调度，所以如图，批处理作业调度问题的解空间是一颗排列树 业集:1--'……：。以该节点为根的子树中所含叶节点的完成时间和可 表示为： 匸工代+工的 设|M|=r ，且L 是以节点E 为根的子树中的叶节点，相应的作业调度为 {pk,k=1,2,……n}，其中pk 是第k 个安排的作业。如果从节点 E 到叶节点L 的 路上，每一个作业pk 在机器1上完成处理后都能立即在机器 2上开始处理，即 从p 叶1开始，机器1没有空闲时间，则对于该叶节点 L 有： IX 二￡ [%+心+1)仏+切」諾 踰 也'+! 注：(n-k+1)t1pk,因 为是完成时间和，所以，后续的(n-k+1)个作业完成时间和都得算上tlpk 。 如果不能做到上面这一点，则si 只会增加，从而有： 。 类似地，如果从节点E 开始到节点L 的路上，从作业p 叶1开始，机器2没 有空闲 时间，贝 n 炳辽画(咏凡+卿 同理可知，s2是 的下界。由此得到在节点E 处相应子树中叶 在作业调度问相应的排列空间树中, 每一个节点E 都对应于一个已安排的作 』+山“ + 1)抵]二￡ 2 B 2 2 3 3 F 3 2 2 3 IG L P M 19 20 21 0-1背包问题 计科1班朱润华 32 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至 装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例， n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装的物品2。由此得一个解为[1,,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "" #include 实验五分支限界法实现单源最短路径 一实验题目：分支限界法实现单源最短路径问题 二实验要求：区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。 三实验内容：解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。 结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。 四实验代码 #include 实验四分支限界法实现单源最短路径 09电信实验班I09660118 徐振飞 一、实验名称 实现书本P194页所描述的单源最短路径问题 二、实验目的 （1）掌握并运用分支限界法基本思想 （2）运用分支限界法实现单源最短路径问题 （3）区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法理解三、实验内容和原理 （1）实验原理 解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆（本次实验我采用java.util包中的优先队列类PriorityQueue来实现）来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。 （2）实验内容测试用例： 1 2 3 4 5 6 3 4 2 7 6 13 9 5 四、源程序 import java.util.*; public class ShortestPath { private int n; private double matrix[][] = null; private double minpath[]; public ShortestPath(int n) { this.n = n; matrix = new double[n+1][n+1]; minpath = new double[n+1]; 算法分析与设计实验报告第八次附加实验 for(int i=1;i 完整代码（分支限界法） //分支限界法求最优装载 #include 0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1:回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时， 应明确定义问题的解空间。 问题的解空间至少包含问题的一个 (最 优)解。对于0-1背包问题，解空间由长度为 n 的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所 有 0-1 赋值。例如 n=3 时，解空间为： {(0, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1) , (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1 , 1, 1) 然后可将解空间组织成树或图的形式， 0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定 n 种物品和一背包。物品i 的重量是wi ,其价 值为vi ,背包的容量为 C 。问：应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值 最大？ 形式化描述：给定 c >0, wi >0, vi >0 , 1 w i < n.要求找一 n 元向量(x1,x2,…,xn,), xi € {0,1}, ? 刀wi xi w c,且刀vi xi 达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空 间树时，只要其 左儿子节点是一个可行节点， 搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最 优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设 r 是当前剩余物品价值总和， cp 是 当前价值；bestp 是当前最优价值。当 cp+r<=bestp 时，可剪去右子树。计算右子树上界的 更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序， 然后依次装入物品， 直至装不下时，再装 入物品一部分而装满背包。 例如：对于 0-1 背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1] 品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。 品4,然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1,只能装 由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价 值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过 在实现时，由 Bound 计算当前节点处的上界。类 Knap 的数据成员记录解空间树中的节 点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。 在解空间树的当前扩展节点处， 仅要进入右 子树时才计算上界 Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因 为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #i nclude "stdafx.h" #in clude 问题描述 给定无向图G=(V, E)，其中V是非空集合，称为顶点集；E 是V中元素构成的无序二元组的集合，称为边集，无向图中的边均是顶点的无序对，无序对常用圆括号“( )”表示。如果U∈V，且对任意两个顶点u，v∈U有(u, v)∈E，则称U是G的完全子图(完全图G就是指图G的每个顶点之间都有连边)。G的完全子图U是G的团当且仅当U不包含在G的更大的完全子图中。G的最大团是指G中所含顶点数最多的团。 如果U∈V且对任意u，v∈U有(u, v)不属于E，则称U是G 的空子图。G的空子图U是G的独立集当且仅当U不包含在G的更大的空子图中。G的最大独立集是G中所含顶点数最多的独立集。 对于任一无向图G=(V, E)，其补图G'=(V', E')定义为：V'=V，且(u, v)∈E'当且仅当(u, v)∈E。 如果U是G的完全子图，则它也是G'的空子图，反之亦然。因此，G的团与G'的独立集之间存在一一对应的关系。特殊地，U是G的最大团当且仅当U是G'的最大独立集。 例：如图所示，给定无向图G={V, E}，其中V={1,2,3,4,5}，E={(1,2), (1,4), (1,5),(2,3), (2,5), (3,5), (4,5)}。根据最大团(MCP)定义，子集{1,2}是图G的一个大小为2的完全子图，但不是一个团，因为它包含于G的更大的完全子图{1,2,5}之中。{1,2,5}是G的一个最大团。{1,4,5}和{2,3,5}也是G的最大团。右侧图是无向图G的补 图G'。根据最大独立集定义，{2,4}是G的一个空子图，同时也是G的一个最大独立集。虽然{1,2}也是G'的空子图，但它不是G'的独立集，因为它包含在G'的空子图{1,2,5}中。{1,2,5}是G'的最大独立集。{1,4,5}和{2,3,5}也是G'的最大独立集。 算法设计 最大团问题的解空间树也是一棵子集树。子集树的根结点是初始扩展结点，对于这个特殊的扩展结点，其cliqueSize的值为0。算法在扩展内部结点时，首先考察其左儿子结点。在左儿子结点处，将顶点i加入到当前团中，并检查该顶点与当前团中其它顶点之间是否有边相连。当顶点i与当前团中所有顶点之间都有边相连，则相应的左儿子结点是可行结点，将它加入到子集树中并插入活结点优先队列，否则就不是可行结点。 接着继续考察当前扩展结点的右儿子结点。当 upperSize>bestn时，右子树中可能含有最优解，此时将右儿子结点加入到子集树中并插入到活结点优先队列中。算法的while循环的终止条件是遇到子集树中的一个叶结点(即n+1层结点)成为当前扩展结点。 实验5 分支界限法解0-1背包问题一、实验要求 1．要求用分支界限法求解0-1背包问题； 2．要求交互输入背包容量，物品重量数组，物品价值数组； 3．要求显示结果。 二、实验仪器和软件平台 仪器：带usb接口微机 软件平台：WIN-XP + VC++ 三、源程序 #include "" #include float ub; //结点的上界值 }; //类Knap中的数据记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间class Knap { private: struct node *front, //队列队首 *bestp,*first; //解结点、根结点 int *p,*w,n,c,*M;//背包价值、重量、物品数、背包容量、记录大小顺序关系 long lbestp;//背包容量最优解 public: void Sort(); Knap(int *pp,int *ww,int cc,int nn); ~Knap(); float Bound(int i,int cw,int cp);//计算上界限 node *nnoder(node *pa,int ba,float uub);//生成一个结点 ba=1生成左节点 ba=0生成右节点 void addnode(node *nod);//向队列中添加活结点 void deletenode(node *nod);//将结点从队列中删除 struct node *nextnode(); //取下一个节点 void display(); //输出结果 void solvebag(); //背包问题求解 }; //按物品单位重量的价值排序 void Knap::Sort() { 华北水利水电学院数据结构与算法分析实验报告2009 ～2010 学年第 1 学期2009 级计算机专业 班级：200915326 学号：200915326 姓名：郜莉洁 一、实验题目： 分别用回溯法和分支限界法求解0-1背包问题 二、实验内容： 0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。 三、程序源代码： A:回溯法： // bag1.cpp : Defines the entry point for the console application. // #include "stdafx.h" #include 0-1背包问题 计科1班朱润华 2012040732 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑ wi xi≤c,且∑ vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "stdafx.h" #include 《算法设计与分析》实验报告六 学号： 1004091130 姓名：金玉琦 日期：2011-11-17得分： 一、实验内容： 运用分支限界法解决0-1背包问题。 二、所用算法的基本思想及复杂度分析： 分支限界法 分支限界法按广度优先策略遍历问题的解空间树, 在遍历过程中, 对已经处理的每一个结点根据限界函数估算目标函数的可能取值, 从中选取使目标函数取得极值的结点优先进行广度优先搜索, 从而不断调整搜索方向, 尽快找到问题的解。因为限界函数常常是基于问题的目标函数而确定的, 所以, 分支限界法适用于求解最优化问题。 0-1背包问题 1）基本思想 给定n 种物品和一个容量为C 的背包, 物品i 的重量是W i, 其价值为V i, 0/ 1 背包问题是如何选择装入背包的物品(物品不可分割) , 使得装入背包中物品的总价值最大，一般情况下, 解空间树中第i 层的每个结点, 都代表了对物品1～i 做出的某种特定选择, 这个特定选择由从根结点到该结点的路径唯一确定: 左分支表示装入物品, 右分支表示不装入物品。对于第i 层的某个结点, 假设背包中已装入物品的重量是w, 获得的价值是v, 计算该结点的目标函数上界的一个简单方法是把已经装入背包中的物品取得的价值v, 加上背包剩余容量W - w 与剩下物品的最大单位重量价值vi + 1/ wi + 1的积,于是,得到限界函数: u b = v + ( W - w) × ( vi + 1/ wi + 1 ) 根据限界函数确定目标函数的界[ down , up]，然后, 按照广度优先策略遍历问题的空间树。 2）复杂度分析 时间复杂度是O(2n); 三、源程序及注释： #include 毕业设计（论文）开题报告 计算机科学与信息工程学院2013 届 题目分支限界算法的研究与实现Research and application of branch threshold algorithm 课题类型应用研究课题来源老师指定 学生姓名李瑞杰学号200903010017 专业班级09届计算机科学与技术（应用） 指导教师冯慧玲职称讲师 填写日期：2013 年3 月30 日 一、本课题研究的主要内容、目的和意义 1.课题内容 以旅行售货员问题、0/1背包问题、作业分配问题、布线问题、货物装载问题为例进行算法的分析、设计、实现及模拟演示。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 在现实生活中，有这样一类问题：问题有n个输入，而问题的解就由n个输入的某种排列或某个子集构成，只是这个排列或子集必须满足某些事先给定的条件。把那些必须满足的条件称为约束条件；而把满足约定条件的排列或子集称为该问题的可行解。满足约束条件的子集可能不止一个，也就量说可行解一般来说是不唯一的。为了衡量可行解的优劣，事先也可能给出了一定的标准，这些标准一般以函数形式给出，这些函数称为目标函数。那些使目标函数取极值的可行解，称为最优解。如工作安排问题，任意顺序都是问题的可行解，人们真正需要的是最省时间的最优解。 2.研究方法 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 3.课题研究的意义 用回溯算法解决问题时，是按深度优先的策略在问题的状态空间中，尝试搜索可能的路径，不便于在搜索过程中对不同的解进行比较，只能在搜索到所有解的情况下，才能通过比较确定哪个是最优解。这类问题更适合用广度优先策略搜 [汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01 背包问题 一、实验内容: 分别用蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解0/1背包问题。 C注:0/1背包问题:给定种物品和一个容量为的背包，物品的重量ni 是，其价值为，背包问题是如何使选择装入背包内的物品，使得装入背wvii 包中的物品的总价值最大。其中，每种物品只有全部装入背包或不装入背包两种选择。 二、所用算法的基本思想及复杂度分析: 1.蛮力法求解0/1背包问题: 1)基本思想: 对于有n种可选物品的0/1背包问题，其解空间由长度为n的0-1向量组成,可用子集数表示。在搜索解空间树时，深度优先遍历，搜索每一个结点，无论是否可能产生最优解，都遍历至叶子结点，记录每次得到的装入总价值，然后记录遍历过的最大价值。 2)代码: #include }a[N]; bool m(goods a,goods b) { return (a.p/a.w)>(b.p/b.w); } int max(int a,int b) { return a 0-1背包问题 计科1班朱润华2012040732 方法1：回溯法 一、回溯法描述： 用回溯法解问题时，应明确定义问题的解空间。问题的解空间至少包含问题的一个（最优）解。对于0-1背包问题，解空间由长度为n的0-1向量组成。该解空间包含对变量的所有0-1赋值。例如n=3时，解空间为：｛（0，0，0），（0，1，0），（0，0，1），（1，0，0），（0，1，1），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）｝然后可将解空间组织成树或图的形式，0-1背包则可用完全二叉树表示其解空间给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包的容量为C。问:应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大? 形式化描述：给定c >0, wi >0, vi >0 , 1≤i≤n.要求找一n元向量(x1,x2,…,xn,), xi∈{0,1}, ? ∑wi xi≤c,且∑vi xi达最大.即一个特殊的整数规划问题。 二、回溯法步骤思想描述： 0-1背包问题是子集选取问题。0-1 背包问题的解空间可以用子集树表示。在搜索解空间树时，只要其左儿子节点是一个可行节点，搜索就进入左子树。当右子树中有可能含有最优解时，才进入右子树搜索。否则，将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和，cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算右子树上界的更好的方法是将剩余物品依次按其单位价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入物品一部分而装满背包。 例如：对于0-1背包问题的一个实例，n=4,c=7,p=[9,10,7,4],w=[3,5,2,1]。这4个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4]。以物品单位重量价值的递减序装入物品。先装入物品4，然后装入物品3和1.装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装0.2的物品2。由此得一个解为[1,0.2,1,1]，其相应价值为22。尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优值的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。 在实现时，由Bound计算当前节点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的节点信息，以减少参数传递调用所需要的栈空间。在解空间树的当前扩展节点处，仅要进入右子树时才计算上界Bound,以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需要计算上界，因为上界预期父节点的上界相同。 三、回溯法实现代码： #include "stdafx.h" #include (完整版)分支限界算法作业分配问题
动态规划法,回溯法,分支限界法求解TSP问题实验报告
回溯法与分支限界法的分析与比较
实验4用分支限界法实现0-1背包问题
分支限界算法报告
回溯法和分支限界法解决背包题
分支限界法实现单源最短路径问题
实验四 分支限界法实现单源最短路径
分支限界法实验(最优装载问题)
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
0037算法笔记——【分支限界法】最大团问题
分支界限法解0-1背包问题实验报告
用回溯法和队列式分支限界算法求解0-1背包问题
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
实验报告 分支限界法01背包
毕业设计(论文)开题报告 分支限界算法的研究与实现
[汇总]蛮力法、动态规划法、回溯法和分支限界法求解01背包问题
回溯法和分支限界法解决0-1背包题
- 算法分析与设计 实验报告 分支限界法：最优及其优化
- 动态规划法-回溯法-分支限界法求解TSP问题实验报告
- 分支限界算法报告
- 毕业设计(论文)开题报告 分支限界算法的研究与实现
- 分支限界算法作业分配问题
- 分枝限界法_实验报告
- 分支限界法求解装载问题实验报告
- 分支限界法(课堂PPT)
- 分支限界法经典案例算法分析
- 算法设计与分析---回溯+分支限界法实验报告
- 分支限界法经典案例算法分析
- (完整版)分支限界算法作业分配问题
- 分支限界算法报告
- 分支限界法
- 分支限界法实验最优装载问题
- 分支限界法经典案例算法分析共41页文档
- 分支界限法解0-1背包问题实验报告
- 0037算法笔记——【分支限界法】最大团问题
- 动态规划法回溯法分支限界法求解问题实验报告
- 实验报告 分支限界法01背包