概率统计复习题答案
概率统计复习题
（同济大学浙江学院）
一、知识要点 1.古典概率计算公式
设Ω为样本空间，A 为事件，则事件A 发生的概率为
().A A n P A n ??
= ? ?Ω??
概率公式
⑴和的概率公式 ()(
)()
().P A B P A P B P A
B =+-
当,A B 互不相容时()A B ?=? ()()().P A B P A P B
=+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ?= ()()()
()().P A B P A P B P A P
B
=+-
⑵条件概率公式 ()()
()
|.P AB P A B P B =
⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式
设12,,,n A A A 为完备事件组，B 为任意一事件，则
()()()1|;n
i i i P B P A P B A ==∑
()()
()
(|)|.i i i P B A P A P A B P B =
2.6个常用分布和数字特征 名称
分布形式
期望
方差
()2E X 01-
p
()1p p -
p 二项分布 ()()
1n k
k k
n P X k C p p -==-
np
()1np p -
np
泊松分布
()e !
k
P X k k λλ-==
λ λ
2λλ+
均匀分布
()1
, ,0, else.
a x
b f x b a
?<
=-??? 2a b
+ ()2
12
b a -
指数分布
()e , 0,0, else.x x f x λλ-?>=??
1
λ
2
1λ 2
2λ 正态分布
()()2
2
21
e 2πx
f x μσσ
--
=
μ
2σ 22σμ+
3.正态分布概率计算
⑴若()2,X N μσ ，则().b a P a X b μμσσ--????
<<=Φ-Φ ? ?????
⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数
设(),X Y 为二维连续型随机变量，(),f x y 为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为
()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞
-∞
-∞
==??
随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ?= 5.数字特征 ⑴数学期望
①离散型 ()1.n
i i i E X x p ==∑
②连续型 ()()d .E X xf x x ∞
-∞
=?
③函数的期望
离散型，设X 是离散型随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则
()()1.n
i i i E Y g x p ==∑
连续，设X 是连续随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则
()()()d .E X g x f x x ∞
-∞
=?
二维连续型 设(),X Y 是二维连续型随机变量，(),f x y 是其联合密度函数，
(),Z g x y =为随机变量的函数，则()()()d ,,d .E Z x f x y g x y y ∞∞
-∞
-∞
=??
④期望性质 ()()();E aX bY aE X bE Y +=+ 当,X Y 独立时， ()()().E XY E X E Y = ⑵方差
①计算公式 ()()()22;D X E X E X =-
②方差性质 当,X Y 独立时，()()()22.D aX bY a D X b D Y +=+ ⑶协方差 设(),X Y 为二维随机变量，协方差为
()()()()cov ,,X Y E XY E X E Y =-
此时有 ()()()()2cov ,.D X Y D X D Y X Y ±=+±
⑷相关系数 设(),X Y 为二维随机变量，相关系数为()()
()()
cov ,,.X Y X Y X Y ρσσ=
6.中心极限定理
设12,,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==则
()1
lim .n i i n X n P x n μσ=→∞??
- ?
?=Φ ?
???
∑ 即 ()()1
.n
i i X n P a b b a n μσ=??
- ? ?<
<≈Φ-Φ ?
???
∑ 6.统计量
⑴样本均值 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量，()()2,,i i E X D X μσ==
()()2
1
1,,,n
i i i i E X D X X X n μσ====∑则()()21,.E X D X n μσ==
②样本方差 2
22
211
11(),().1n n i n i i i S X X S X X n n ===-=--∑∑ 关系 2
222
211
,().1n n
n n i i i i n S S nS X X X nX n ====-=--∑∑
⑵2
χ分布 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()0,1,i X N 21n
i i X =∑服从
自由度为n 的2χ分布.
结论 设12,,,n X X X 为独立同分布的随机变量且()2
0,,i X N σ 2
1
n
i
i c X
=∑服从自
由度为n 的2χ分布2
1.c σ?=
⑶t 分布 若()()20,1,,X N Y n χ 则()/X
t n Y n
7.估计量与估计方式 ⑴矩估计与矩估计方法
⑵极大似然估计与极大似然估计方法 设总体()2,,X N μσ
结论 X 是总体参数μ的极大似然估计；当μ已知时，211()n
i i X n μ=-∑是2σ的极
大似然估计，当μ未知时，21
1()n
i i X X n =-∑是2σ的极大似然估计.
⑶无偏性
若?θ是θ的估计量，且()
?E θ
θ=，称?θ是θ的无偏估计. 结论 2S 是2σ的无偏估计.
⑷四种情况下的单正态总体的区间估计
①2σ已知时μ的区间估计：1/21/2
,X u X u n n αασσ--?
?--???
?
②2σ未知时μ的区间估计：()()1/21/21,1S S X t n X t n n n αα--?
?--+-???
?
③μ已知时2σ的区间估计()
()2211
22
1/2/2()(),n n
i i i i X X n n ααμμχχ==-??--??
????????
∑∑ ④μ未知时2σ的区间估计
()()()()22221122221/2/21/2/2()(),,1111n n
i i i i n n X X X X nS nS n n n n ααααχχχχ==--??--??????=??----????????
∑∑ 二、填充题
1. 设,A B 为二个随机事件, ,B A A B ?= 则Ω, ()P A B = 1 .
2. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则3个数中不含1的概率为3
4352
5
C C =.
3. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中,则出现两个空盒的概率为
33139
=. 4. 甲乙两射手独立地向一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，则目标被命中的概率为()()110.610.50.8---=, 现已知目标被命中, 则是甲命中的概率为0.60.750.8=.
5. 设()()0.4,0.7,P A P A B == 若A 与B 互不相容,则()P B = 0.3,
()P A B -=()()0.4P A P AB -=； 若A 与B 相互独立,则()P B = 0.5 ,()P A B -= 0.2 . 6. 设
,,A B C
为
三个随机事件,已知
(
)()()
1,4P A P B P C ==
=()()()1
,016
P AB P BC P AC ===,则,,A B C 至少有
一发生的概率()P A B C = 58, ,,A B C 都不发生的概率()P ABC =38.
7. 设()()()111
,,,432
P A P B A P A B ===则()P A B = 13；()P AB = 1/12 . 8. 设随机变量X 只可能取-1,0,1,2这4个值, 且取这4个值的概率依次为
1357
,,,24816c c c c
,则常数c =3716
9. 设X 服从参数为λ的泊松分布(λ＞0),且()()1
02,2
P X P X ==
=则λ= 2 ,()2E X = 6 .
10. 设随机变量()2~3,0.2,,X B Y X =则()4P Y ==()20.096P X ==. 11. 设随机变量X 的分布律为
且2,Y X Y =的概率函数为
014
3
378
1616
Y P
,Y 的分布函数为()Y F y ,则()3Y F = ()9
316
P Y ≤=.
12.设随机变量X 的分布律为
X -2 1
x P
14
p
1
4
且()1,E X =则x = 4 .
13.设随机变量,X Y 相互独立,()()~16,0.5,~9,X B Y P 则)21E X Y -+=
-9,()21D X Y -+=()()440D X D Y +=.
14. 设随机变量X 的分布函数()F x =20
1e ,00,x x x -≥?-?
,其密度函数为()f x ,
则()2f =42e -.
X -1(1) 0(0) 1(1) 2(4)
P 18
38 116 716
15.设随机变量X 的密度函数为()f x = 1
,20,
a x a
a ?-<,
要使()1P X >=31
,则a = 3 .
16.设随机变量
X 的密度函数为
()()
221
e
x x f x A --+=,则
A =1
π,~X 11,2N ??
???
,()
2E X = ()()2
32
D X
E X +=????,()1P X >=
0.5 ,令()21Y X =-,则Y 的密度函数()Y f y =
2
2
1,2π
y e y --∞<<+∞. 17.随机变量()1,1,1,4,9,2X Y N ?
? ??
? ,则()X f x =
()2
18
1e ,8π
x x --
-∞<<+∞,()Y f y =
()2118
1
,18πy e y --
-∞<<+∞,)cov ,X Y = 3 ,()D X Y += 19 ,()D X Y -=
7 .
18. 已知()()()25,1,,0.4D X D Y X Y ρ===,则()D X Y += 30 ,()D X Y -= 22 .
19.设总体()()18~1,3,,,X R X X - 是来自总体X 的样本, X 为样本均值, 则E ()
X =()1E X =,()
D X =
()116D X n =, ()2E S = 4
3
. 20.设独立同分布的随机变量序列1,,,n X X ()()2,,,i i E X D X μσ==
则1lim n i n i P X n n μσ→∞=??
-≤=????
∑()1
1211n
i i X n P n μ
σ
=??- ?
?≤≈Φ- ? ??
?
∑. 21.设总体()()170,0.25,,,X N X X 是来自总体X 的样本, 要使α
7
2
1
i
i X =∑～()2n χ, 则α= 4 ,自由度 7n = . 22.设总体()()2123,,,,X N X X X μσ 是来自总体X 的样本,则当α= 0.5 时,
1231
136
X X X μα=++是未知参数μ的无偏估计.
23.用天平称量某物体的质量9次,得(),4.15g x =已知秤重结果服从N （21.0,μ）,
则μ的置信度为0.95的置信区间为[]15.335,15.465. 三、计算题
1. 罐中有12粒围棋子,其中8粒白的,4粒黑的,从中任取3粒,求：（1）取到的都是白子的概率；（2）取到2粒白子,1粒黑子的概率；（3）至少取到1粒黑子的概率；（4）取到3粒颜色相同棋子的概率.
解：3321331288484
,,,,A B C A D n C n C n C C n n n n C C ====-=+ ()()()()1428413,,,55555511
P A P B P C P D =
=== 2. 设某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4,问年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少？ 解：()()()250.4
25|200.5200.8
P X P X X P X >>>=
==>
3. 某小组共10人,得到一张足球票,他们决定用摸彩来决定谁去看球赛,（1）已知前4人都没有摸到,求第5人摸到的概率；（2）求第5人摸到的概率.
解：()
()()512345111|,610
P A A A A A P A P A ===
4. 某工厂中,三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的次品,将这些产品混合在一起,今随机地取一产品,问它是次品的概率是多少？又问这次品是由哪台机器生产的概率最大？ 解：()()()()()()()112233|||0.0345P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=
()()()()()()()()()()()()111222333|25
|69|28
|69|16
|69
P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B P A P B A P A B P B ==
==
=
=
5. 有两箱同种类型的零件,第一箱装10只零件,其中5只一等品；第二箱装10
只零件,其中6只一等品.今从两箱中任选一箱,然后从该箱中取零件两只,求（1）取到的两只零件都是一等品的概率；（2）在取到的两只零件都是一等品的条件下,求二两零件是取自第一箱的概率.
解：()()()()()
11222256221010||111541655222109210918
P B P A P B A P A P B A C C C C =+??=?+?=?+?=??
()()()()1111
|2
9|5518
P A P B A P A B P B ===
6. 一大楼装有5个同类型的供水设备,调查表明在任一时刻,每个设备被使用的概率为0.1,问同一时刻,（1）恰有2个设备被使用的概率是多少？（2）至少有3个设备被使用的概率是多少？（3）至多有3个设备被使用的概率是多少？（4）至少有1个设备被使用的概率是多少？
解：()~5,0.1X B ,由计算公式()()
1.n k
k k
n P X k C p p -==-
()20.0729P X ==,()30.0085P X ≥=,()30.9995P X ≤=,
()()1100.4095P X P X ≥=-==
7. 15个同类型的零件中有2个是次品,从中不放回地抽取产品,每次一个. （1） 抽取3次,以X 表示取出的次品数,求X 的概率函数和分布函数； （2） 以Y 表示直到取得正品为止抽取的次数,求Y 的概率函数.
解：（1）
012
1312112213122121321133151413351514133515141335
r
X
P ??=???=???=
()0, 022
,0135
34,1235
1, 2x x F x x x
（2）123
1321321
1
1515141514
Y
P ???
8. 一口袋中装有5只乒乓球,编号分别为1,2,3,4,5,从中随机地取3个,以X 表示3个球中的最大号码,以Y 表示3个球中的最小号码,（1）分别求出,X Y 的概率函数和分布函数,（2）求出,X Y 的联合概率函数.
解：
2222
2233244233
3
33
35555553
451
23
13
663
1,10
10
10
10
10
10
r
r X
Y C C C C C C P P C C C C C C ====== ()()0, 30, 116,34,121010
,49,45,2310101, 51, 3x y x y F x F y x y x y <
??≤<≤
\123
1
30010
2140
10103215
101010
X Y 9. 设每分钟通过某交通道口的汽车流量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同,求在一分钟内至少有三辆车通过的概率.
解：()()011P X P X λ===?=,()()15
31212
P X P X e -≥=-≤=-
10. 抛3次均匀硬币,以X 表示正面向上的次数,以Y 表示正面向上次数与反面向上次数差的绝对值,（1）求(),X Y 的联合分布律和边缘分布律；（2）,X Y 是否相互独立,为什么？（3）求()()(),,cov ,.E X D X X Y
解：（1）01231~3,,
133128888
r
X
X B P ?? ???
\131
008
13310, 31844
3208
13
08
r
X Y Y P （2）()()()0,1001,,P X Y P X P Y X Y ===≠==所以不相互独立。
（3）()()()()()()33933
,,cov ,0.24422
E X D X X Y E XY E X E Y ===-=-?=
11. 设随机变量,X Y 独立同分布,()1
,1,2,3,3
P X k k === 令()max ,,U X Y =
()min ,,V X Y = (1)求(),U V 的联合概率函数；（2）讨论,U V 的独立性. 解：（1）
1232\123
1111
9991111112312
9991113
92233391239
X Y \1009
,210
123
9922123
1999
U V （2）()()()131
1,2012.9927
P U V P U P V ===≠===
=所以,U V 不相互独立. 12. 设随机变量X 的分布函数为()F x =arctan ,,A B x x +-∞<<+∞ 求 （1） 常数A,B 的值；（2）()
13;P X -<≤, (3) 密度函数()f x . 解：()()ππ
lim 1,lim 022
x x F x A B F x A B →∞
→-∞=+
==-=
11
,2πA B ∴==
()
()()7
133112
P X F
F -<≤=--= ()()()
'2
1
,.π1f x F x x x ==
-∞<<+∞+
13. 设随机变量X 的密度函数为()f x =πcos ,20,a x x ?
≤?
???其他
, 求：
（1）常数a ； (2)0;4P X π?
?<< ??? (3)X 分布函数()F x .
解：()π2π2
1d cos d 212
f x x a x x a a ∞
-∞
-===?=
?
? 40π120cos d 424P X x x π?
?<<==
???? 当ππ
22
x -
≤<时 ()()π2
11
cos d sin 122x
F x x x x -==+?
()()π0, 21
ππsin 1,2
22π1, 2x F x x x x ?
<-??
?=+-≤
≥??
14. 设()2,5,X R 现对X 进行3次独立的观测,求至少有两次观测值大于3的概率.
解：()()22203,~3,,23327P X Y B P Y ??
>=≥= ???
15. 已知某种电子元件的寿命（单位：小时）X E ??
?
??20001,一台仪器装有4个
此种类型的电子元件,其中任意一个损坏时仪器便不能正常工作,假设4个电子元件损坏与否相互独立,试求：（1）一个该种电子元件能正常工作2000小时以上的概率 ；(2)一台仪器能正常工作2000小时以上的概率 . 解：()()()1120001200011P X F e e -->=-=--=
()()()
4
1
14~4,e
,4e e Y B P Y ---===
16. 某地抽样调查结果表明,考生的外语成绩X （百分制）()272,,N σ 且96分已
上的同学占考生总数的2.3%,试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 解
：
()(
)99
6
P X σσ-????
>=
-
≤
=
-Φ=?Φ=-
=
? ?????
0.97724
212u σσ
==?=
()()()()847260726084121211211
P X --????
<<≈Φ-Φ ? ?
????=Φ-Φ-=Φ-
17. 已知(),X Y 联合密度的函数(),f x y =24,0,01
0,
x y x x ?<<<
（1）求,X Y 的边缘密度函数；（2）讨论,X Y 的独立性；（3）求12P X ?
?≤ ???.
解：()()()2
1304d 21,014d 4,01
,0, else 0, else x y X Y x x y y x y x x f x f y ??=-<<=<
==??????
??
1111,,,2525X Y f f f X Y ??????
≠∴ ? ? ???????
不独立
1
320114d 216P X x x ?
?≤== ??
??
18.已知(),X Y 联合密度函数(),f x y =()22e
,0,0,0,x y x y -+?>>??
??
其他,(1),X Y 是否相互独立？为什么？（2）求()1P X Y +<.
解：()()2e ,02e ,0
,0, else 0, else
x y X Y x y f x f y --??>>==??
?? ()()(),X Y f x y f x f y = 在公共连续点处成立 所以,X Y 相互独立
()112210
1e d 2e d 1e 2e x
x y P X Y x y -----+<==+-??
19. 设随机变量()()0,0.2,5,X R Y E 且,X Y 相互独立.
（1）求,X Y 各自的密度函数及联合密度函数；（2）求()P X Y >.
解：()()55,00.25,0,0, else 0, else y X Y x e y f x f y -<?==??
?? ()()()525e ,00.2;0
,0, else y X Y x y f x y f x f y -?<<>==?
? ()()()0.2
0.2
550
000.2
0.2
55100
d 25e
d d 5
e 55e d 1e
e x
x
y
y x
x
P X Y x y x x -----??
>==-??????=-=+=??????
20. 设随机变量()0,1,X N （1）求21Y X =+的密度函数;（2）求2Y X =的密度函数;（3）求e X Y =的密度函数. 解：①()()()2
18
1
~1,4,e ,8y Y Y N f y y π
--
=-∞<<+∞
②[)0,,0Y y Ω=∞>当时
()()()()()()2Y F y P Y y P X y P y X y y y =≤=≤=-≤≤=Φ
-Φ-
()
()2
2
2
201121e d 2e d 22πx x y y
Y y y F y x x π---??
=Φ
-== ? ??
?
??
()()()()'
'
'
222Y
y F y y y y
?
=Φ
=
,
()21
e ,02π0, else y Y y
f y y -?>?
=???
③()0,,0Y y Ω=∞>当时
()()()()()e ln ln X Y F y P Y y P y P X y y =≤=≤=≤=Φ
()2
ln 21e d 2πx y Y F y x --∞??= ? ???
? ()()()()
'
''
ln ln ln Y
y F y y y y
?=Φ=
()()2
ln 21e ,0
2π0, else
y Y y f y y
-
??>=??
?
21. 设随机变量()1,X E (1)求21Y X =+的密度函数; （2）求2Y X =的密度函数,（3）求e X Y =的密度函数.
解：（1）()e ,0
0, 0
x x f x x -?>=?≤?
()()()()1
2
01,,11121,=e d 22Y y x Y y y y F y P Y y P X y P X F x --Ω=∞>??--????=≤=+≤=≤= ?
? ???????
?当时
或 ()'
''11112222Y y y y F y F f ---??????
== ??? ???????
()1
2
1e ,1
2
0, else y Y y f y --?>?=???
②()0,,0Y y Ω=∞>当时
()()()()()()()2Y F y P Y y P X y P y X y F y F y F y =≤=≤=-≤≤=--=
()0=e d y x Y F y x -?? ???
?或 ()()()()'
''
2Y
f
y F y F
y y y
==
()1e ,020, else y
Y y y f y -?>?
=???
③()1,,1Y y Ω=∞>当时
()()()()()()(
)
ln 0
e ln ln e d y
X x Y Y F y P Y y P y P X y F y F y x -=≤=≤=≤==?
或
()()()()ln '
'
'
2ln e 1ln ln y Y
f y F y F y y y y y
-====
()2
1
,1
0, else Y y y f y ?>?=???
22.设随机变量,X Y 相互独立,()()()()1,2,3,E X E Y D X D Y ====求()D XY .
解：()()()()()()()2
2
2222
D XY
E X Y E XY E X E Y E X E Y =-=-????????
()(){
}()(){
}
2
2
112111D X E X D Y E Y =++-=-=??????
??
23. 设随机变量,X Y 相互独立,均服从10,,2N ??
???
令,Z X Y =+求
（1）Z 的密度函数；（2）()E Z ；
（3）()cov ,X Z ,并问,X Z 是否相关,是否相互独立?为什么？
解：①()()2
21~0,1,e 2π
z Z Z N f z -=
②()222
2
2
2
00
1122
e d 2e d e
π2π2π2πz z z E z z z z z ∞
∞
∞
-
-
--∞??=?==-=?????
??? ③()()()()()1
cov ,cov ,cov ,cov ,02
X Z X X Y X X X Y D X =+=+=+=
()cov ,0,,X Z X Y ≠∴ 相关且不独立.
24. 在次品率为
6
1
的一批产品中,任意抽取300件产品,利用中心极限定理计算在抽取的300件产品中次品数在40与60之间的概率. 解：()1250~300,,50,1,66n Y B np np p ?
?=-= ???
()()405060504060250250616n n Y np np P Y p P ?? ?
-- ?<-<=<<
? ?
?
?- 33322221555????
??≈Φ-Φ-=Φ- ? ? ? ? ? ???????
25. 计算器在进行加法时,将每个加法舍入最靠近它的整数,设所有舍入误差相互独立且在（-0.5,0.5）上服从均匀分布.将1500个数相加,问误差总和的绝对值超过15的概率.(用中心极限定理求解） 解：()21
~0.5,0.5,1500,0,12
i X R n μσ-===
111115115115151515
111
15001500121215151555532155n
n n n
i i i i i i i i P X P X P P X n X n μσ====??????>=-≤=--≤≤ ? ? ?
???????
?
?- ?=-≤≤
??
? ??
?
??-????≈-Φ-Φ??
? ???????????=-Φ ? ?
??-?
?∑∑∑∑
26. 设15,,X X 独立同分布,均服从()0,1.N
（1）试求出常数,a b ,使()()2
2
12345a X X b X X X ++++服从2χ分布,并指出它的自由度；
（2）试求出常数,c 使122223
4
5
( ) X X c
X X X
+++服从t 分布并指出它的自由度.
解：①()()()2
2
1212121~0,2,~0,1,~1,222X X X X X X N N a χ++??+∴= ??? 同理1
,23
b n ==；
（2）()()12
22
22123452222
2234534
5
32~3,~3.23
X X X X X X X t X X X X X X
χ++++∴=
++++
3
, 3.2
c n ∴=
=自由度 27. 设()1,,n X X 是来自总体X 的样本,X 的密度函数为：
()f x =(1),01
,0,
x x θθ?+<未知,
求θ的矩估计和极大似然估计.
解：()()()1
1
d 1d 2E X xf x x x x x θθθθ∞
-∞
+==?+=
+??()() 12121.11E X X E X X
θθ--?=?=-- ()()()121,01,1,2.,0, else n n i x x x x i n
L θ
θθ?+???<<=?=???
当()0L θ>时
()()()()()() ()
1212122
121
ln ln 1ln ln ln 01
1
ln 11.
ln ln n n n n
n i
i L n x x x d L n
x x x d n
x x x n
n
X X X X
θθθθθθθθ==++???=+???=+=--???=--=--
???∑
28. 设()1,,n X X 是来自总体X 的样本,X 的分布函数为
()F x =220,
0,01,
x x
x x θ
θ
θ未知,
（1） 求θ的矩估计1?θ,并讨论1?θ的无偏性； （2） 求常数c ,使得21n
i i c X =∑为2θ的无偏估计.
解：()22,00, else x
x f x θ
θ?≤≤?=???
①()()3220
22233x
x E X xf x dx x dx θ
θ
θ
θθ+∞
-∞
??==?==?????
?
()1
33?,.22
E X X θθ∴=
∴= ()
()()133332?,22
223E E X E X E X θθθ??===== ?
??所以?θ是θ的无偏估计。
③()()422222222011022d 42
n n i i i i x x cn E c X c E X cnE X cn x x cn θ
θθθθθ==????===?===?? ?????∑∑?
2
c n
∴=
29. 设()1,,n X X 是来自总体X 的样本,X 的密度函数为
()f x =2
2e , 0,
0, 0.x
x x x θθ
-??>??≤?,其中θ未知，0.θ>,0θθ>未知, 求θ的极大似然估计,并讨论无偏性. 解：()()1n
i i L f x θ==∏
2
2212
122221212e ,0e ,0e ,00,0
0,00,0n x x x n n n x x x x x x x x x θθθθθθ---??????>>>=???????≤≤≤???
2
1122
e , 00, .
n
i i x n i n
x x x x else θθ=-?∑??>=???? 当()0L θ>时, ()()2
1
12ln ln ln 2n
i
i n x
L x x x n θθθ
==--
∑
()2
21
12
ln 0,22n
n
i
i
i i x
x
d L n d n
θθθθθ==-=+=∴=∑∑ 即参数θ的极大似然估计为 2
1
2n
i
i X
n
θ
==∑
()
()()220222
211e 1d 2222n n i i i i x X E X E X E E x n n x x θθθ∞=-=?? ? ?====? ?
???
∑∑?
2
2
22
2
22220
00021
11d e e 2e d 0e d 222x x x x x x x x x x θ
θθ
θθθθ∞
---∞
∞
∞-????=
-=-+=+= ??? ????
???
???
所以是无偏估计
30. 从一大批螺丝钉中随机地取9枚,测得其长度为19,,x x ,并算得
1
27,
n
i
i x
==∑9
21
83,i
i x
==∑设钉子的长度服从()2.,,N μσμσ均未未知参数，试分别求
μ与2σ的置信水平为0.95的置信区间.
解：1
19,10.95,0.05,3n
i i n x x n αα==-====∑
()
2
2
22
1
1
111()2,()12
n n
n i
i
i
i i i x x x
n x
s x x n ===-=-=∴=
-=-∑∑∑ μ的双侧1α-置信区间为
()()11221,1S S
X t n X t n n n αα--??--+-????
代入数据得：[]2.616,3.384
2σ的双侧1α-置信区间为
()
()221122
122()(),11n n
i i i i X X X X n n ααχχ==-??--????--??????
∑∑ 代入数据得：[]0.114,0.917
31. 假设灯泡的寿命()
22
~,,X N μσμσ其中，均未知.现从一批灯泡中随机抽取36只,
分别测试其寿命,算得平均寿命()
1900x =小时,标准差490s =（小时）,求μ和2
σ的置信水平为0.95的置信区间.
解：μ的双侧1α-置信区间为：
()()11221,1S S X t n X t n n n αα--??--+-????
代入数据得：
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论期末试卷
填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 2014-2015学年《概率论与数理统计》期末考试试卷 (B) 一、填空题（每小题4分，共32分）. 1．设 A 、B 为随机事件, P (A ) = 0.3, P (B ) = 0.4, 若 P (A |B ) =0.5, 则 P (A B ) = _______; 若 A 与 B 相互独立, 则 P (A B ) = _________. 2．设随机变量 X 在区间 [0, 10] 上服从均匀分布, 则 P { 1 < X < 6} = ______________. 3．设随机变量 X 的分布函数为,4 ,1 42 ,7.021 ,2.01 ,0 )(???? ?? ?≥<≤<≤--<=x x x x x F 则 X 的分布律为 ___________________________ . 4．若离散型随机变量 X 的分布律为 X 1 2 3 p k 0.5 0.3 a 则常数 a = _________; 又 Y = 2X + 3, 则 P {Y > 5} = _________ . 5．设随机变量 X 服从二项分布 b (100, 0.2), 则 E (X ) = ________, D (X ) = ___________. 6．设随机变量 X ~ N (0, 1), Y ~ N (1, 3), 且X 和 Y 相互独立, 则D (3X +2Y ) = _________.
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
概率统计试题和答案
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论复习题及答案
复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
概率论与数理统计期末考试试题及解答
《概率论与数理统计》期末试题 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的 概率为__________. 答案： 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P Y . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=- 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F =
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计期末试卷.docx
浙 江 工 业 大 学 概 率 统 计 期 末 试 卷 （ A ） （2009 ～ 2010 第 一 学 期） 2010-1-14 任课教师 学院： 班级： 上课时间：星期 ____,_____节 学号： 姓名： 一、选择题（每题 2 分 , 共 10 分） 1. n 个 随 机 变 量 X i (i 1,2,3, , n) 相 互 独 立 且 具 有 相 同 的 分 布 , 并 且 E( X i ) a , D( X i ) b , 则这些随机变量的算术平均值 X 1 n 的数学期望和方差分别 X i n i 1 为 （ ） ( A ) a , b ( B ) a , b ( C ) a , b ( D ) a , b 2 2. n n 2 n n 设 X 1 , X 2 , , X 500 为独立同分布的随机变量序列 , 且 X 1 ~ B(1, p) , 则下列不正确的为 （ ） 1 500 500 ~ B(500, p) (A) X i p (B) X i 500 i 1 i 1 500 ( ) ( ) P a X i b (C) i 1 500 b 500 p a 500 p (D) P a X i b Φ Φ . i 1 500 p(1 p) 500 p(1 p) 3. 设0 P( A) 1,0 P(B) 1, P(A | B) P( A | B ) 1, 则 （ ） (A) P( A | B) P(A) (B) B A (C) AB (D) P( AB) P( A)P(B) 4. 如果随机变量 X ,Y 满足 D( X Y) D ( X Y ) , 则必有 （ ） (A) X 与 Y 独立 (B) X 与Y 不相关 (C) DY 0 (D) DX 5. 设 A 和 B 是任意两个概率不为零的不相容事件 , 则下列结论中肯定正确的是 （ ） (A) A 与 B 不相容 (B) A 与 B 相 容 (C) P( AB) P( A)P(B) ; (D) P( A B) P( A) P(B) 二、填空题（每空 3 分 , 共 30 分） 1. 设 X ~ N (1, 1/ 2), Y ~ N (0, 1/ 2) , 且相互独立 , Z X Y , 则 P(Z 0) 的值为 ( 结果用正态分布函数 表示 ).
概率统计习题含答案
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率论试题及答案
试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
概率统计期末考试试题附答案
中国计量学院2011 ~ 2012 学年第 1 学期 《 概率论与数理统计(A) 》课程考试试卷B 开课二级学院： 理学院 ，考试时间： 2011 年 12_月26 日 14 时 考试形式：闭卷√、开卷□，允许带 计算器 入场 考生姓名： 学号： 专业： 班级： 1．某人射击时，中靶的概率为4 3 ，若射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率为（ ）. (A) 43412?）（ (B) 343）（ (C) 41432?）（ (D) 34 1）（ 2．n 个随机变量),,3,2,1(n i X i =相互独立且具有相同的分布并且a X E i =)(,b X Var i =)(,则这些随机变量的算术平均值∑= =n i i X n X 1 1的数学期望和方差分别为（ ）. （A ） a ,2n b （B ）a ,n b (C)a ,n b 2 （D ）n a ,b 3．若100张奖券中有5张中奖，100个人分别抽取1张，则第100个人能中奖的概率为（ ）. (A) 01.0 (B) 03.0 (C) 05.0 (D) 0 4. 设 )(),(21x F x F 为两个分布函数,其相应的概率密度)(),(21x f x f 是连续函数,则必为概率密度的是（ ）. (A) )()(21x f x f (B))()(212x F x f (C))()(21x F x f (D) )()()()(1221x F x f x F x f + 5．已知随机变量X 的概率密度函数为?????≤>=-0,00 ,)(22 22x x e a x x f a x ,则随机变量X Y 1 = 的期望 =)(Y E （ ）.
概率统计试卷及答案
概率统计试卷 A 一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15分） 1、设P(A) =, P(B) = , P() = ，若事件A与B互不相容，则 = . 2、设在一次试验中，事件A发生的概率为，现进行n次重复试验，则事件A至少发生一次的概率为 . 3、已知P() = , P(B) = , P() = ，则P()= . 4、设随机变量的分布函数为则= . 5、设随机变量~，则P{}= . 二、选择题（共5 小题，每题3 分，共计15分） 1、设P(A|B) = P(B|A)=,, 则( )一定成立. (A) A与B独立，且. (B) A与B独立，且. (C) A与B不独立，且. (D) A与B不独立，且. 2、下列函数中，（）可以作为连续型随机变量的概率密度. (A) (B) (C) (D) 3、设X为一随机变量，若D(10) =10，则D() = ( ). (A) . (B) 1. (C) 10. (D) 100. 4、设随机变量服从正态分布，是来自的样本， 为样本均值，已知，则有（）. (A) . (B) . (C) . (D) . 5、在假设检验中，显著性水平的意义是（）. (A)原假设成立，经检验不能拒绝的概率. (B)原假设不成立，经检验被拒绝的概率. (C) 原假设成立，经检验被拒绝的概率. (D)原假设不成立，经检验不能拒绝的概率. 三、10片药片中有5片是安慰剂， (1)从中任取5片，求其中至少有2片是安慰剂的概率. (2)从中每次取一片，作不放回抽样，求前3次都取到安慰剂的概率. (本题10分) 四、以表示某商店从早晨开始营业起直到第一个顾客到达的等待时间（以分计），的分布函数是 求下述概率： （1）{至多3分钟}. （2）{3分钟至4分钟之间}. (本题10分) 五、设随机变量(,Y)的概率密度为 (1) 求边缘概率密度.
概率统计期末试卷 答案
2013年下学期概率统计模拟卷参考答案 1. 设A, B, C 是三个随机事件. 事件：A 不发生, B , C 中至少有一个发生表示为(空1) . 2. 口袋中有3个黑球、2个红球, 从中任取一个, 放回后再放入同颜色的球1个. 设B i ={第i 次取到黑球},i =1,2,3,4. 则1234()P B B B B =(空2) . 解 用乘法公式得到 )|()|()|()()(32142131214321B B B B P B B B P B B P B P B B B B P = .32a r b a r a r b r a r b a b r b b +++?++?+++?+= =3/70 3. 在三次独立的重复试验中, 每次试验成功的概率相同, 已知至少成功一次的概率为1927 . 则每次试验成 功的概率为(空3) .. 解 设每次试验成功的概率为p , 由题意知至少成功一次的概率是27 19，那么一次都没有成功的概率是278. 即278)1(3 = -p , 故 p =3 1 . 4. 设随机变量X , Y 的相关系数为5.0, ,0)()(==Y E X E 2 2 ()()2E X E Y ==, 则2 [()]E X Y +=(空4) . 解 2 2 2 [()]()2()()42[Cov(,)()()]E X Y E X E XY E Y X Y E X E Y +=++=++ 42420.52 6.XY ρ=+=+??= 5. 设随机变量X 的方差为2, 用切比雪夫不等式估计{||}P X E X -（）≥3=(空5) . 解 由切比雪夫不等式, 对于任意的正数ε, 有 2() {()}D X P X E X εε -≥≤, 所以 2 {||}9 P X E X -（）≥3≤ . 6. 设总体X 的均值为0, 方差2σ存在但未知, 又12,X X 为来自总体X 的样本, 2 12()k X X -为2σ的无 偏估计. 则常数k =(空6) . 解 由于2 2 2 121122[()][(2)]E k X X kE X X X X -=-+ 22211222[()2()()]2k E X E X X E X k σσ=-+==, 所以k = 1 2 为2σ的无偏估计. 1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则下列结论正确的是( ). (A) A 和B 互不相容. (B) AB 是不可能事件. (C) P (A )=0或P (B )=0.. (D) 以上答案都不对.
概率统计 期末考试试卷及答案
任课教师 专业名称 学生姓名 学号 密 封 线 X X 工业大学概率统计B 期末考试试卷（A 卷） } 分 分 108
求：（1）常数k ，（2）P(X<1,Y<3) (3) P(X<1.5); (4) P(X+Y ≤4) 解：（1）由()1)6(1 )(20 4 =--=???? +∞∞-+∞ ∞ -dx dy y x k dxdy xy f 即 解得24 1 = k 2分 （2）P(X<1,Y<3)=()dx dy y x )6241(1030--??=2 1 4分 (3) P(X<1.5)=()16 13 )6241(5.1040=--??dx dy y x 7分 （4）P(X+4≤Y ) =()9 8 21616241)6241(2202040=+-=--???-dx x x dx dy y x x 10分 4. 已知随机变量)3,1(~2N X ，)4,0(~2N Y ，且X 与Y 相互独立，设 2 3Y X Z += (1) 求)(Z E ，)(Z D ； (2) 求XZ ρ 解：(1)??? ??+=23)(Y X E Z E )(21)(3 1 y E X E += 021131?+?= 3 1 = 2分 =??? ??+=23)(Y X D Z D ()()2 2 22)23(23?? ? ??+-??? ??+=-Y X E Y X E EZ Z E =22 2)2 3()439( EY EX Y XY X E +-++ = 9 1 4392 2 -++EY EXEY EX 又因为()10192 2=+=+=EX DX EX 16016)(22=+=+=EY DY EY 所以DZ= 59 1 416910=-+ 6分 (2)),(Z X Cov ) ,(1 1Y X X Cov += =EX( 23Y X +)-EXE(23Y X +) EXEY -EX -EXEY +EX =21 )(31213122 233 1 ?==3 则XZ ρ= ()DZ DX Z X Cov ,= 5 5 5 33= 10分 5. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度为 ?????≤≤≤≤=其它, 00,20,163),(2x y x xy y x f （1） 求X 的数学期望EX 和方差DX （2） 求Y 的数学期望EY 和方差DY 解：（1）dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= ()()xyd dy y x f x f x x ? ? ==∞ +∞ -20 16 3 ,y dx x xf X E X )()(? ∞ +∞ -= = 分 27 12)163(2 2 =? ?dx xydy x x () ()分 549 3)712( 33)16 3 (22 2 22 2 22 =-====EX EX -EX =???∞ +∞ -DX dx xydy x dx x f x DX x X () ()分 72)16 3 (),()()(24 02====?? ???+∞∞ -+∞ ∞ -∞ +∞ -dy xydx y dy dx y x yf dy y yf Y E y Y ()()5 24 4323)163(),()(4034 02 2 22 2 =-====?????? +∞ ∞ -+∞∞ -∞ +∞-dy y y dy xydx y dy dx y x f y dy y f y EY y Y DY=()分 105 4452422 =-=EY -EY 6. 设随机变量X 的概率密度为) 1(1 )(2 x x f X += π，求随机变量 31X Y -=的概率密度函数。 ()()( )( ) ()() ( ) ()()()() ()()()()( )() ()() 分 分 解：10111311311315)1(111)1(16 2 3 2 2 33 3 3 3y y y f y y y f dy y dF y f y F y X y X y X y Y y F X X Y Y X Y -+-= --=----== ∴ --=-
概率统计试题及答案(本科完整版)
概率统计试题及答案(本科完整版)
一、 填空题（每题2分，共20分） 1、记三事件为A ，B ，C . 则用A ，B ，C 及其运算关系可将事件，“A ，B ，C 中只有一个发生”表示为 . 2、匣中有2个白球，3个红球。 现一个接一个地从中随机地取出所有的球。那么，白球比红球早出现的概率是 2/5 。 3、已知P(A)=0.3，P （B ）＝0.5，当A ，B 相互独立时，06505P(A B )_.__,P(B |A )_.__?==。 4、一袋中有9个红球1个白球，现有10名同学依次从袋中摸出一球（不放回），则第6位同学摸出白球的概率为 1/10 。 5、若随机变量X 在区间 (,)a b 上服从均匀分布，则对 a c b <<以及任意的正数0 e >，必有概率 {} P c x c e <<+ ＝ ?+?-?e ,c e b b a b c ,c e b b a 6、设X 服从正态分布2 (,)N μσ，则~23X Y -= N ( 3-2μ , 4σ2 ) . 7、设1128363 X B EX DX ~n,p ),n __,p __==（且＝，＝，则 8、袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以X 表示取出3只球中 ABC ABC ABC U U
2，3，则: P ( A 1 ) = 0.1 , P ( A 2 ) = 0.2 , P ( A 3 ) = 0.15 ,由各台机器间的相互独立性可得 ()()()()()123123109080850612P A A A P A P A P A ....=??=??= ()()()12312321101020150997P A A A P A A A ....??=-=-??= ()() ()()()()1231231231231231231231233010808509020850908015090808500680153010806120941 P A A A A A A A A A A A A P A A A P A A A P A A A P A A A .................=+++=??+??+??+??=+++=U U U 2、甲袋中有n 只白球、m 只红球；乙袋中有N 只白球、M 只红球。今从甲袋任取一球放入乙袋后，再从乙袋任取一球。问此球为白球的概率是多少？ 解：以W 甲表示“第一次从甲袋取出的为白球”，R 甲表示“第一次从甲袋取出的为红球”， W 乙表示“第二次从乙袋取出的为白球”， 则 所 求 概率为 ()()()() P W P W W R W P W W P R W ==+U 乙甲乙甲乙甲乙甲乙 ()( ) ()( ) P W P W W P R P W R =+甲乙甲甲乙甲 11 111111111 n m N N n m N M n m N M C C C C C C C C +++++++=?+?