八年级数学上册第二章实数7二次根式教案(新版)北师大版
八年级数学上册第二章实数7二次根式教案（新版）北师大版
一、学生起点分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度．
二、教材任务分析
本节分为三个课时．第一课时，认识二次根式和最简二次根式的概念，探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式的形式；第二课时，基于二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算；第三课时，进一步进行二次根式的运算，发展学生的运算技能，并关注解决问题方式的多样化，提高学生运用法则的灵活性和解决问题的能力．
为此，确定本节课教学目标是：
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：明晰概念；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：明晰概念
问题1 ：5，11，2.7，
121
49，))((b c b c -+（其中b =24，c =25），上述式子有什么共同特征？
答：都含有开方运算，并且被开方数都是非负数． 介绍二次根式的概念．一般地，式子)0(≥a a 叫做二次根式．a 叫做被开方数．强调条件：0≥a ．
问题2：二次根式怎样进行运算呢？
答：这是我们本节课要解决的新问题．
意图：通过问题，回顾旧知，为导出新知打好基础．
第二环节：探究性质
（一）内容：，b a b
a =．
具体过程如下：
（1＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ． （2）用计算器计算：
＝ ，＝ ；＝ ，＝ ． 问题1：观察上面的结果你可得出什么结论？
问题2：从你上面得出的结论，发现了什么规律？能用字母表示这个规律吗？
问题3：其中的字母a ，b 有限制条件吗？
意图a ≥0，b ≥0）=（a ≥0， b ＞0）． 说明：公式中字母a ≥0，b ≥0（或b ＞0）这一条件是公式的一部分，不应忽略． 第三环节：知识巩固
例1 化简（1（2（3 观察：化简以后的结果中的被开方数又有什么特征？
意图：由于现在还没有最简二次根式的概念，学生实际上并不知道化简的方向，因此，这里以例题的形式呈现了有关结论.
被开方数中都不含分母，也不含能开得尽的因数．一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式．
化简时，要求最终结果中分母不含有根号，而且各个二次根式是最简二次根式．
例2.化简：（1（2（3
；（4（5
答案：（13==
（23=
（3
==
；
（4====
（5===．
问题：
（1）你怎么发现45是最简二次根式的？ （2）将二次根式化成最简二次根式时，你有哪些经验与体会，与同伴交流．
说明：含有根号的数与一个不含根号的数相乘，一般把不含根号的数写在前面，并省略去乘号．
反思：以上化简过程有何规律呢？希望学生得出：根号里面的数有一部分移到了根号外面，具体来说是能开得尽方的因数，开方后写到了根号外面．从而明确：被开方数若有开得尽的因数，一般需要进行化简．
第四环节：知识拓展
说明：这部分根据学生的实际情况进行取舍，程度好的班级可选用，基础不好的班级舍去． 练习：
1.下列平方根中， 已经简化的是（ ）
A ．3
1 B ．20 C ．2
2 D ．121 2.判断下列各式是否成立．你认为成立的请在（）内打对号 ，不成立的打错号．
=（ ） ； =
③=（ ）； =你判断完以后，发现了什么规律？请用含有n 的式子将规律表示出来，并说明n 的取值范围？ 第五环节：课堂小结
本节课主要内容：
（1a≥0，b≥0）=（a≥0，b＞0）．（2）理解本节课中用过的数学方法：类比，找规律，归纳总结．
四、教学反思
（一）关注类比，提出重点
本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系．
（二）对运算技能要求恰当定位
根据新课标精神，对学生的评价不能过分要求技巧，应关注学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否依据算理正确地进行计算，能否确认结果的合理性等等，对于较复杂的实数运算，应关注学生是否会使用计算器进行运算．因此，注意对运算技能要求作恰当的定位，特别是在开始运算的第一课时，不要提高要求．（三）分层教学
本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识深度和广度的要求也有所不同，因此，增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．
7 二次根式（第2课时）
一、学生起点分析
在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：
=a≥0，b≥0）=（a≥0，b＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础．
二、教材任务分析
二次根式（第2课时）是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是：
1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法．
2.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识．
3.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
三．教学过程设计
本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；
第一环节：复习引入
内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？
这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？点明本节课研究课题
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．
第二环节：知识探究
1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则
=a ≥0，b ≥0）
=a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？
例3 计算：
（1）326?
；（2）236?；（3）52． 解：
（1）略；
（2
3=； （3
说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习
例4计算：
面积8
面积2
（1）（25；（3）)2
1；
（4）)
33；（5）（6
解：（1）32=?=；
（2555651===-=；
（3）
)2121516=+=+=+
（4）)
3322(13)34=-=；
（5）615=-=；
（6235==+=．
意图：从本例开始，正式进行二次根式的加减乘除运算，但设计时注意了题目的梯度．本例还侧重于乘除法运算，只是已经开始考虑有关运算律和公式的运用了（如交换律、结合律、分配率、乘法公式等）；教学中，注意体会这些题目之间的层次性，教学中务必循序渐地开展相关技能训练，让更多的学生感受到成功的喜悦，循序渐进地发展学生的学力．
例5 计算：
（1
（2；
（3）
解：（1===
（2==
（3）= 课堂练习1：
1.化简：（1（2；（3）（4（5）．
第四环节：知识拓展
课堂练习2：
化简：（1（2（3）；
（4+（5）-（6
解：（18
===
（230
==；
（3）2
==
=?=；
224
（4==
==
（5）3
=
==
（6====．
第五环节：课堂小结
在进行根式乘除运算时，你有哪些体会与收获？
四、教学反思
本节课提出了最简二次根式，给出了二次根式化简成最简二次根式的常用方法．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到能灵活运用．为今后的学习打下基础．本节课的教学设计中考虑了学生的层次不同，对知识的要求也不同，因此增加了知识拓展的内容，供层次高一些的学生及班级选用．
7 二次根式（第3课时）
一、学生情况分析
前面学习了实数，实数的运算法则，最简二次根式及二次根式的化简，已能进行实数的四则运算.但熟练程度不高，同时对根号内含字母的二次根式的化简比较生疏.．为今后的数学学习扫清了计算方面的障碍．
二、教学任务分析
二次根式（第3课时）是义务教育课程标准教科书北师大版八年级上册第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第3课时．继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算．
二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算．若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了．经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解．因此本节课的目标定为：
1.进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简．
2. 了解根号内含有字母的二次根式的化简
3.利用二次根式的化简解决简单的数学问题．通过独立思考，能选择合理的方法解决
问题．
4.在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法．
根号内含字母的二次根式的化简对学生来说是一个难点．
三、教学过程设计
本节课设计了六个教学环节，第一环节：复习引入；第二环节：知识巩固；
第三环节：问题解决；第四环节：知识提升；第五环节：课时小结；第六环节：作业布置. 第一环节：复习引入
内容：
（1）最简二次根式的概念；
（2）二次根式化简过程中，你有哪些体会？
（3 1.414
≈ 1.732 2.449．你是怎样解决的？
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课．
第二环节：知识巩固
1.巩固提升
例4 计算：
（1）32
23
-；（2）
1
188
8
-+；（3）
1
(24)3
6
-÷．
解：（1）32
23
-＝
3223
2233
??
-
??
＝
11
66
23
-＝
11
()6
23
-＝
1
6
6
；
（2）
1
188
8
-+＝22
2
3222
16
?-?+＝
1
32222
4
-+＝
5
2
4
；
（3）
1
(24 )3
6
-÷＝
1
243 3
6
÷-÷＝
1
243 3
6
÷-÷
＝
1
8
63
-
?
＝
2
42
66
?-
?
＝
1
22 2
6
-＝
11
2
6
．
说明：可以放手让学生独立完成，然后通过交流，发现问题，给出一个统一的意见．2.交流
收集第（3）小题有多少种解决方法．让学生说说想法．
3.反思
以上过程每位同学都是怎样化简的，方法好不好，能做到快而准确吗？
4.练习
化简：
（1）21
510
-；（2）
1
123
3
-+；（3）
1
(18)8
2
-?．
解：（1）21
510
-＝
25110
551010
??
-
??
＝
11
1010
510
-＝
1
10
10
；
（2）
1
123
3
-+＝
13
433
33
?
?-+
?
＝
1
2333
3
-+＝
4
3
3
；
（3）
1
(18)8
2
-?＝
1
1888
2
?-?＝
1
1888
2
?-?
＝
1
1888
2
?-?＝1444
-＝122
-＝10．
第三环节：问题解决
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中梯形的面积，你有哪些方法，与同伴交流．
1.交流
让学生充分发表意见．
2.答案
（1）直接求法．
过点D 作AB 边上的高DE ，可发现边AB ，DC 及DE 都是某一个小直角三角形的斜边．根
据勾股定理可求得AB ＝， CD ＝，DE ＝，面积梯形ABCD 的面积是1
2
?18. （2）间接求法．
将梯形ABCD 补成一个5×7长方形，用长方形的面积减去3个小三角形的面积，得梯形
ABCD 的面积是11157554211222
?-??-??-??＝18． 第四环节：知识提升
1.知识探索
0a >）等于多少？
a =（0a >）．
2.知识运用
例5 化简：
（1（0a >，0b >）；（20x y +≥）；（30a >，0b >）．
解：（1＝5
（2(x y +；
（3a b 3.课堂练习
1.当0a >，0b >时化简：
（1；（2（3）
（4）10a
解：（1
a b +；
（22；
（3）
（4）10a 2(105a ?÷＝2103a
＝2103a 2103a 2103a 2103b a a ?
＝103
2. 求代数式3a =，2b =． 解：由题知0a >，0b >．
-
当3a =，2b =
第五环节：课堂小结
（1）二次根式的化简：二次根式的化简一定要化成最简二次根式．
（2a =（0a >）可将根号内含字母的二次根式化简，结果也要化成最简二次根式．
第六环节：课后作业
习题 2．11 1， 3
补充作业：
化简：（1）； （2）；
（3）0,0)x y ≥≥；
（4）)0,0)ab a b ≥≥；
（5）220)a ≥．
答案：（1）2）6；（3）2xy y x -+；（4）22a b ab +-
（5
四、教学反思
本节课继续熟练二次根式的化简，要求化成最简二次根式．同学们需通过练习认真体会各类方法，做到熟练并能灵活运用．
本节还涉及根号内含有字母的二次根式的化简，仍然要求化成最简二次根式．这部分内容对学生的基础要求较高，基础不好的班级可降低难度．
北师大版八年级数学上册知识点总结
北师大版八年级上册数学整理总结 第一章 勾股定理 1、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 2、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股数：满足222c b a =+的三个正整数，称为勾股数。 第二章 实数 一、实数的概念及分类 1、实数的分类 正有理数 有理数 零 有限小数和无限循环小数 实数 负有理数 正无理数 无理数 无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类： （1）开方开不尽的数，如32,7等； （2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如3 π+8等； （3）有特定结构的数，如0.1010010001…等； （4）某些三角函数值，如sin60o 等 二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a 与b 互为相反数，则有a+b=0，a=—b ，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|≥0）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相反数，若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0。 3、倒数 如果a 与b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）。 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 5、估算 三、平方根、算数平方根和立方根
北师大版新教材八年级上数学《实数》教案
八年级数学单元测试试卷---第二单元《实数》大全 第二章 实数 2.1认识无理数 一、问题引入： 1、 和 统称有理数，它们都是有限小数和无限 （填循环或不 循环）小数。 2、(1)在下图中，以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少？ (2)设该正方形的边长为b ，则b 应满足什么条件？ (3)b 是有理数吗？ 3、请你举出一个无限不循环小数的例子___________，并说出它的整数部分是 ，小数部分是 ，请指出它的十分位、 百分位、千分位……..。 4、 称为无理数，请举两个例子 。 二、基础训练： 1、2 8x =,则x _____分数，______整数，______有理数.(填“是”或“不是”) 2、在0.351，－ 3 2 ，4.969696…，0，－5.2333,5.411010010001…，6.751755175551…中，不是有理数的数有_____ 。 3、长、宽分别是3、2的长方形，它的对角线的长可能是整数吗？可能是分数吗？ _______ 个． 下图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别找出两条长度是有理数的线段和三条长度不是有理数的线段. 四、课堂检测： 1、在下列实数-12，π，4，13，5中，无理数有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2、下列说法正确的是（ ） A ．有理数只是有限小数 B ．无理数是无限不循环小数 C ．无限小数都是无理数 D ．3 π 是分数
3、实数：3.14，π，0.315315315…， 7 22 ，0.3030030003…中，无理数有 _________ 个． 4、下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？ π 、0.351，－? ?69.4,3 2，3.14159，－5.2323332…，0、0.1234567891011112131…（小数部分由相继 的正整数组成）在下列每一个圈里，至少填入三个适当的数 . 5、（1）设面积为10的正方形的边长为x ，x 是有理数吗？说说你的理由。 （2）估计x 的值（结果精确到十分位），用计算器验证你的估计如果精确到百分位呢？ 6、如图，是面积分别为1,2,3,4,5,6,7,8,9的正方形 边长是无理数的正方形有________个 7、如图，在△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D ，AC =6，AD =5，问：CD 可能是整数吗？可能是分数吗？可能是有理数吗？
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