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数学分析课后习题答案

【篇一：数学分析试卷及答案6套】

>一. (8分)用数列极限的??

n定义证明?1.

n二. (8分)设有复合函数f[g(x)], 满足: (1) limg(x)?b;

x?a

(2) ?x?u(a),有g(x)?u(b) (3) limf(u)?a

u?b

用???定义证明, limf[g(x)]?a.

x?a

三. (10分)证明数列{xn}:

xn?

cos1cos2cosn

????收敛. 1?22?3n?(n?1)

在[a,1](0?a?1)一致连续,在(0,1]不一致连续. x

四. (12分)证明函数f(x)?

五. (12分)叙述闭区间套定理并以此证明闭区间上连续函数必有界.

六. (10分)证明任一齐次多项式至少存在一个实数零点. 七. (12分)确定a,b

使limax?b)?0.

x???

八. (14分)求函数f(x)?2x?9x?12x在[?

,]的最大值与最小值. 42

九. (14分)设函数f(x)在[a,b]二阶可导, f?(a)?f?(b)?0.证明存在??(a,b),使

f??(?)?

f(b)?f(a). 2

(b?a)

数学分析-1样题(二)

一. (10分)设数列{an}满足

: a1?

, an?1?(n?n), 其中a是一给定的正常

数, 证明{an}收敛,并求其极限.

二. (10分)设limf(x)?b?0, 用???定义证明lim

x?x0

?. f(x)b

三. (10分)设an?0,且lim

?l?1, 证明liman?0.

n??n??an?1

四. (10分)证明函数f(x)在开区间(a,b)一致连续?f(x)在(a,b)连续,且 x?a?

limf(x),limf(x)存在有限. ?

x?b

五. (12分)叙述确界定理并以此证明闭区间连续函数的零点定理.

六. (12分)证明:若函数在连续,且f(a)?0,而函数[f(x)]2在a可导,则函数f(x)在a可导. 七. (12分)求函数f(x)?x???x???1在的最大值,其中0???1.

八. (12分)设f在上是凸函数,且在(a,b)可微,则对任意x1,x2?(a,b), x1?x2,都有

f?(x1)?f?(x2).

?g(x)

,??????x?0?

九. (12分)设f(x)??x 且g(0)?g?(0)?0, g??(0)?3, 求f?(0).

??0???????,??????x?0

数学分析-2样题(一)

一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. 3.

?xarctanx?dx

?edx

ln0

xsinx

1?cosx

二.(10分)设f(x)是上的非负连续函数, 三. (10分)证明

f(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).

sinx

?0. x

四. (15分)证明函数级数

?(1?x)x

n?0

在不一致收敛, 在[0,?](其中)一致收敛.

五. (10分)将函数f(x)??

???x,????????x?0

展成傅立叶级数.

???x,??????0?x??

?22

xy??????x?y?0?六. (10分)

设f(x,y)??

?22

???????????0,???????????????????x?y?0

证明: (1) fx?(0,0), fy?(0,0)存在;

(2) fx?(x,y),fy?(x,y)在(0,0)不连续; (3) f(x,y)在(0,0)可微.

七. (10分)用钢板制造容积为v的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板? 八. (15分)设0???1, 证明

. ???

?n?1n(n?1)

数学分析-2样题(二)

一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分:

???(a?0)

x?xx?x

100?87

1712

1514

arcsinx??dx

二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. lim

?22n??

k?1n?k

2. lim

xx?01?ex

etdt

三.(10分)设函数在[a,b]连续,对任意[a,b]上的连续函数g(x), g(a)?g(b)?0,有

f(x)g(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).

四. (15分)定义[0,1]上的函数列

1?2

2nx,?????????????????????x??2n?

11?

fn(x)??2n??2n2x?????????????x?

2nn?

1? ????????????????????????????x?1?n?

证明{fn(x)}在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数

?(n?1)x

n?0

的和函数.

六. (10分)用???定义证明

(x,y)?(2,1)

lim(4x2?3y)?19.

七. (12分)求函数u?(2ax?x2)(2by?y2)??(ab?0)的极值. 八. (13分)设正项级数

数学分析-3样题(一)

一 (10分) 证明方程f(x?zy?1, y?zx?1)?0所确定的隐函数z?z(x, y)满足方程

n?1

收敛,且an?an?1???(n?n?).证明limnan?0.

n??

?z?z

?y?z?xy. ?x?y

二 (10分) 设n个正数x1, x2, ?, xn之和是a

，求函数u?三 (14分) 设无穷积分

f(x) dx收敛，函数f(x)在[a, ??)单调，证明

四 (10分) 求函数f(y)?五 (14分) 计算

ln(x2?y2) dx的导数(y?0).

sinbx?sinax

dx (p?0, b?a).

六 (10分) 求半径为a的球面的面积s.

i??

e?px

七 (10分) 求六个平面

a1b1c1 ?a1x?b1y?c1z??h1 ,

?a2x?b2y?c2z??h2 , ?=a2b2c2?0 , ?ax?by?cz??h ,a3b3c3333

所围的平行六面体v的体积i，其中ai, bi, ci, hi都是常数，且hi?0 (i?1, 2, 3). 八 (12分) 求

xdy?ydx??cx2?y2，其中c是光滑的不通过原点的正向闭曲线.

九 (10分) 求

ds2222

?，其中是球面被平面z?h (0?h?a)所截的顶部. x?y?z?a??z?

数学分析-3样题(二)

一 (10分) 求曲面x?u?v, y?u2?v2, z?u3?v3在点(0, 2)对应曲面上

的点的切平面与法线方程.

二 (10分) 求在两个曲面x2?xy?y2?z2?1与x2?y2?1交线上到原

点最近的点. 三(14分) 设函数f(x)在[1, ??)单调减少，且limf(x)?0，证明无穷积分

x???

f(x) dx与级数?f(n)同时收敛或同时发散.

n?1??

100

四 (12分) 证明

e?ax?e?bxb

dx?ln(0?a?b). xa

五 (12分) 设函数f(x)在[a, a]连续，证明? x?[a, a]，有

lim ?[f(t?h)?f(t)] dt?f(x)?f(a).

ah?0h

六 (10分) 求椭圆区域r: (a1x?b1y?c1)2?(a2x?b2y?c2)2?1

(a1b2?a2b1?0)的面积

七 (10分) 设f(t)?

???

f(x2?y2?z2) dx dy dz，其中v: x2?y2?z2? t2 (t?0)，

f是连续函数，求f(t).

八 (10分) 应用曲线积分求(2x?siny)dx?(xcosy)dy的原函数. 九(12分) 计算外侧.

??xyz dx dy，其中s是球面x

?y2?z2?1在x?0, y?0部分并取球面

【篇二：数学分析三试卷及答案】

lass=txt>一. 计算题（共8题，每题9分，共72分）。

求函数f(x,y)??在点(0,0)处的二次极限与二重极限.

yx11

解：

f(x,y)???，因此二重极限为0.……(4分)

yx1111

因为

与均不存在，

x?0yxy?0yx

故二次极限均不存在。……(9分)

?z?xf(x?y),?y?y(x),

2. 设? 是由方程组?所确定的隐函数,其中f和f分别

f(x,y,z)?0z?z(x)??

具有连续的导数和偏导数,求.

解：对两方程分别关于x求偏导:

dy?dz

?f(x?y)?xf?(x?y)(?1)，??dxdx?……(4分)

dydz?f?f?fz?0。 xy

?dxdx?

dzfy?f(x?y)?xf?(x?y)(fy?fx)?解此方程组并整理得.……(9分) dxfy?xf?(x?y)fz

3. 取?,?为新自变量及w?w(?,v)为新函数，变换方程

?2z?2z?z

???z。 2?x?x?y?xx?yx?y设??,??,w?zey （假设出现的导数皆

连续）.

解：z看成是x,y的复合函数如下：

wx?yx?y

。……(4分) z?y,w?w(?,?),??,??

e22

代人原方程，并将x,y,z变换为?,?,w。整理得：

?2w?2w

?2w。……(9分) 2?

??????

4. 要做一个容积为1m3的有盖圆桶,什么样的尺寸才能使用料最省? 解：设圆桶底面半径为r,高为h,则原问题即为：求目标函数在约束

条件下的最小值，其中

目标函数: s表?2?rh?2?r2,

约束条件: ?r2h?1。……(3分)构造lagrange函数：

f(r,h,?)?2?rh?2?r2??(?r2h?1)。

?fr?2?h?4?r?2?rh??0,令?……(6分) 2

f?2?r??r??0.?h

h? 由题意知问题的最小值必存在，当底面半

解得h?

2r，故有r?径为r?

高为h?时，制作圆桶用料最省。……(9分) 2

5. 设f(y)??e?xydx,计算f?(y).

解：由含参积分的求导公式

?y3y322

???x2y

f?(y)???2edx???2?x2e?xydx?3y2e?xy

?y?y

???2x2e?xydx?3y2e?y?2ye?y

yy3

x?y

?2ye?x

yx?y2

……(5分)

72?y75?y51y3?x2y ?ye?ye?edx。……(9分)

222y?y2

?x2y2?xy

6. 求曲线?2?2??2所围的面积，其中常数a,b,c?0.

b?c?a

?x?a?cos?,

解：利用坐标变换? 由于xy?0，则图象在第一三象限，从而可 y?b?sin?.?

以利用对称性，只需求第一象限内的面积。

???????

?,??0???,0???。……(3分) 2??则

v?2??

?(x,y)

d?d??2?2d??0?(?,?)

?ab?2

?sin?cos???c?0

ab?d? ……(6分)

ab2

sin?cos?d?2?0

a2b2?2 ……(9分)2c.

7. 计算曲线积分?3zdx?5xd?,z其中l是圆柱面x2?y2?1与平面y2yd

，从z轴的正向看去，是逆时针方向. z?y?3的交线（为一椭圆）解：取平面z?y?3上由曲线l所围的部分作为stokes公式中的曲面?，定向为上侧，则?的法向量为

cos?,cos?,cos????0,。……(3分)?

由stokes公式得

cos?cos?cos????

?3zdx?5xdy?2ydz???

?x?y?z?l

3z5x?2y

?ds ……(6分)

?x2?y2?1

?2? ……(9分)

x2y2z2

8. 计算积分??yzdzdx,s为椭球2?2?2?1的上半部分的下侧.

abcs解：椭球的参数方程为x?asin?cos?,y?bsin?sin?,z?ccos?，其中

,且

2?(z,x) ?acsin2?sin?。……(3分) ?(?,?)

积分方向向下，取负号，因此，

2322

yzdzdx??d?bacsin?cos?sin?d?????

0???2?,0???

……(6分)

??bac2?sin2?d??2sin3?cos?d?

abc

……(9分)

二。 . 证明题（共3题，共28分）

?xy322

,x?y?0?24

9.（9分）讨论函数f(x)??x?y在原点(0,0)处的连续性、

?0,x2?y2?0?

可偏导性和可微性.

解：连续性：当x2?y2?0时，

xy2x2?y4yy

f(x)?2?y????0，当?x,y???0,0?， 424

x?yx?y22

从而函数在原点?0,0?处连续。……(3分) 可偏导性：fx?0,0??lim f?0??x,0??f?0,0?

?x?0

?0，

fy?0,0??lim

f?0,0??y??f?0,0?

即函数在原点?0,0?处可偏导。……(5分)

?y?0

?0，

?f?f?x?f?y

? 不存在，

从而函数在原点?0,0?处不可微。……(9分)

10.（9分）（9分）设f?x,y?满足：（1）在d?

??x,y?

x?x0?a,y?y0?b上连续，

（2）f?x0,y0??0，

（3）当x固定时，函数f?x,y?是y的严格单减函数。试证：存在??0，使得在???x

x?x0??上通过f?x,y??0定义了一个

函数y?y(x)，且y?y(x)在??上连续。

证明：（i）先证隐函数的存在性。

由条件（3）知，f?x0,y?在?y0?b,y0?b?上是y的严格单减函数，而由条件（2）知f?x0,y0??0，从而由函数f?x0,y?的连续性得

f?x0,y0?b??0， f?x0,y0?b??0。

现考虑一元连续函数f?x,y0?b?。由于f?x0,y0?b??0，则必存在?1?0使得

f?x,y0?b??0， ?x?o(x0,?1)。

同理，则必存在?2?0使得

f?x,y0?b??0， ?x?o(x0,?2)。

取??min(?1,?2)，则在邻域o(x0,?)内同时成立

f?x,y0?b??0， f?x,y0?b??0。……(3分) 于是，对邻域o(x0,?)内的任意一点x，都成立

固定此x，考虑一元连续函数f?x,y?。由上式和函数f?x,y?关于y 的连续性可知，存在f?x,y?的零点y??y?b,y?b?使得

f?x,y?＝0。

而f?x,y?关于y严格单减，从而使f?x,y?＝0的y是唯一的。再由x的任意性，

fx,y0?b?0， fx,y0?b?0。

证明了对??:?o(x0,?)内任意一点，总能从f?x,y??0找到唯一确定的y与x相对应，即存在函数关系f:x?y或y?f(x)。此证明了隐函数的存在性。

……(6分)

（ii）下证隐函数y?f(x)的连续性。

设x*是??:?o(x0,?)内的任意一点，记y*:?f?x*?。

对任意给定的??0，作两平行线

y?y*??， y?y*??。

由上述证明知

f?x*,y*????0， f?x*,y*????0。由f?x,y?的连续性，必存在x*的邻域o(x*,?)使得

f?x,y*????0， f?x,y*????0， ?x?o(x*,?)。

对任意的x?o(x*,?)，固定此x并考虑y的函数f?x,y?，它关于y 严格单减且

f?x,y*????0， f?x,y*????0。

于是在?y*??,y*???内存在唯一的一个零点y使

f?x,y??0，

即对任意的x?o(x*,?)，它对应的函数值y满足y?y*??。这证明了函数

y?f(x)是连续的。……(9分)

111

11.（10分）判断积分??sindx在0???2上是否一致收敛，并给出证明。

0xx

证明：此积分在0???2上非一致收敛。证明如下：

作变量替换x?，则

11??11

?0x?sinxdx??1t2??sintdt。……(3分)

?3???

不论正整数n多么大，当t??a?,a????

?2n??,2n???时，恒有

44??

sint?。……(5分)

因此，

a??

1t2??

a??1

sintdt?dt……(7分)

2?a?t2??

?a??

2??

3???

4?2n???

4??

因此原积分在0???2上非一致收敛。……(10分) 注：不能用dirichlet判别法证明原积分是一致收敛的。原因如下：

尽管对任意的b?1积分?sintdt一致有界，且函数2??关于x单调，但是当

x???时，2??关于???0,2?并非一致趋于零。事实上，取t?n, 相应

地取

t1111

??2?，则lim2???lim1??1?0，并非趋于零。 1t??n??nt

nnlimnn

n??

?0，当??2?时。 4

【篇三：《数学分析》第三版全册课后答案 (1)】

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