数的整除特征(一)教案

数的整除特征（一）

新课引入：

数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性：

1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.

0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.

（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。

（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。

（4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。

（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。

（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。

（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。

（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。

（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。

（10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。

（11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。

（12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。如312。

新课讲授：

例1．在能被2,3,5整除。

能被

2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0，

里填

能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？

填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。

做练习题。

例2．五位数2A10B能被72整除，这样的五位数有几个？

解题思路：因为72=8×9，且8和9互质，这个数必须同时能被8和9整除。要能被8整除得看末三位，B必须是4；当个位是4时，千位上必须是2（因为2+2+1+0+4=9），所以符合条件的只有1个，即22104。

解：要使2A10B能被72整除，B=4，因为2+2+1+0+4=9，所以A=2。

例3. 下面的连乘积中，末尾有多少个0？

1×2×3×…×29×30。

解题思路：因为2×5=10，所以在连乘积中，有一个因子2和一个因子5，末尾就有一个0。连乘积中末尾的0的个数，等于1～30中因子2的个数与因子5的个数中较少的一个。而在连乘积中，因子2的个数比因子5的个数多(如4

含两个因子2，8含三个因子2)，所以，连乘积末尾0的个数与连乘积中因子5的个数相同。连乘积中含因子5的数有5，10，15，20，25，30，这些数中共含有七个因子 5(其中25含有两个因子5)。所以，1×2×3×…×29×30的积中，末尾有七个0。

解：1×2×3×…×29×30的积中，末尾有七个0。

总结：数的整除的几个重要性质：

性质1：如果数a、b都能被c整除，那么它们的和（a+b）或差(a－b)也能被c整除。

性质2：几个数相乘，如果其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。

习题答案：

1.解：如果56□2能被9整除，那么5＋6＋□＋2＝13＋□应能被9整除，所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；

如果56□2能被8整除，那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7，即四位数是5632或5672时能被8整除；

如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是5612，5632，5652，5672，5692时能被4整除。

2．解：1903

能同时被2、5、3整除的最大两位数是90。能被11整除的数的特征是奇数位与偶数位上的数字差能被11整除。要最小，千位取1，个位取3。

3．解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。

4．解：因为6＝2×3，且2与3互质，所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值。再由六位数能被3整除，推知3＋A＋B＋A＋B＋A＝3＋3A＋2B能被3整除，故2B能被3整除。B可取0，3，6，9这4个值。

由于B可以取4个值，A可以取5个值，题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）。

5．解：因为36＝4×9，且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除。六位数能被4整除，就要能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。先试取A=0。六位数

的各位数字之和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15。

因为B，C应尽量小，所以B＋C＝6，而C只能取1，3，5，7，9，所以要使

尽可能小，应取B＝1，C＝5。

当A=0，B=1，C＝5时，六位数能被36整除，而且所得商最小，为150156÷36＝4171。

6．9个0。

比一比.解：如果各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数也能被9整除；

如果各个位数字之和不能被9整除，那么得的余数就是这个数除以9得的余数。1+2+3+4+5+6+7+8+9=45；45能被9整除

依次类推：1~1999这些数的个位上的数字之和可以被9整除

10~19，20~29……90~99这些数中十位上的数字都出现了10次，那么十位上的数字之和就是10+20+30+……+90=450 它有能被9整除

同样的道理，100~900 百位上的数字之和为4500 同样被9整除

也就是说1~999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除；

同样的道理：1000~1999这些连续的自然数中百位、十位、个位上的数字之和可以被9整除（这里千位上的“1”还没考虑，同时这里我们少200020012002200320042005

从1000~1999千位上一共999个“1”的和是999，也能整除；200020012002200320042005的各位数字之和是27，也刚好整除。

最后答案为余数为0。

练习：1．在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

2．一个能被11整除的四位数，去掉它千位数和个位上的数字，是一个能同时被2、5、3整除的最大两位数，符合要求的四位数中最小一个数是？

3．从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

4．六位数是6的倍数，这样的六位数有多少个？

5．要使六位数能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

6．下面的连乘积中，末尾有多少个0？

20×21×22×…×49×50。

比一比．把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.....2005,这个多位数除以9余数是多少?

数的整除特征(一)教案

数的整除特征（一） 新课引入： 数的整除问题是整数的内容中最基本的问题。常见数的整除特征如下：（1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 （4）若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！如121，1375。 （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 （13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。如312。 新课讲授： 例1．在能被2,3,5整除。 能被 2,3,5和5整除的数的特征是个位上的数字必须是0， 里填 能被3+9+0的和能被3整除，那有几种呢？ 填1,4,7.符合条件的有2190,2490,2790。 做练习题。 例2．五位数2A10B能被72整除，这样的五位数有几个？ 解题思路：因为72=8×9，且8和9互质，这个数必须同时能被8和9整除。要能被8整除得看末三位，B必须是4；当个位是4时，千位上必须是2（因为2+2+1+0+4=9），所以符合条件的只有1个，即22104。 解：要使2A10B能被72整除，B=4，因为2+2+1+0+4=9，所以A=2。

数的整除复习设计_教学设计

数的整除复习设计_教学设计 ◆您现在正在阅读的数的整除复习设计文章内容由收集!数的整除复习设计概念的教学相对其他知识要枯燥得多，而概念的复习就更显得无味。为了克服这一缺陷，在进行第十册第四单元的复习时，我注意让学生在充分发挥自主性的同时，增强复习课的趣味性，从而提高了复习课的效率。 一、引言揭题，并板书课题 二、复习相关的概念 1.复习整除的概念。 谈话:老师今年36岁，同学们今年大都是12岁，看着36和12这两个数你能想到些什么?(学生可能说到有关整除、除尽、倍数、约数、质数、合数等内容。) 追问:谁能分别举例说一说整除和除尽有什么不同? 2.复习能被2、3、5整除的数的特征。让学生用卡片0、1、2、4、5按要求分别摆出下列各数: （1）能被2整除的数; （2）有约数5的数; (3)能被3整除的两位数; (4)能同时被2、3、5整除的五位数。 (学生摆出相应的数的同时追问能被2、3、5整除的数各有什么特征。) 3.复习整除中的其他概念。 给出1、2、4、5、9、11、15、30、51、81十个数，要求学生把它们按不同的标准分成两大类。(小组讨论后进行交流，在交流中进一步明确相关的概念，如奇数、偶数等。) 4.讨论"1"的有关特征。 提问:1是一个很特殊的数，关于1的知识，你了解多少?小组内的同学先相互说一说。(学生分小组讨论后再进行交流。) 三、练习

1.脑筋急转弯。(以竞赛形式抢答)按要求找数: （1）在0、1、7.5、20、58中不是整数的。 （2）在1、4、8、9、17、563中是偶数的。 (3)在11、21、51、61、81、111中不能被3整除的。 (4)在30、50、60、90、120中不能同时被2、3、5整除的。 (5)在25、39、42、160、555中能同时被2、5整除的。 2.快乐大转盘。学生从下列各项中任选一项说一句话: 3.综合练习。(按要求填写电话号码) 四、全课小结通过今天的复习，你还想对同学说些什么?

数的整除特征基础篇

什么是整除 若整数a 除以大于0的整数b ，商为整数，且余数为零。我们就说a 能被b 整除(或说b 能整除a )，记作b |a ，读作b 整除a 或a 能被b 整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系：3，9：看数字和 数字差系：11：看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除； ⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。 常见整除性质： ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 数的整除特征(上) 例2

(★★★) 四位偶数64WW 能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 例3 例4

(★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些 例5 (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个 例6

(★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除【先睹为快】

能被整除的数的特征精选版

能被整除的数的特征文件管理序列号：[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-

【数学】能被2、3、5、7、11、13、17、19整除的数的特征★★ 能被2整除的数的特征是个位上是偶数， 能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3 整除，因为3+1+5=9是3的倍感） 能被5整除的数个位上的数为0或5， 能被7整除的数的特征 若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 能被11整除的数的特征 把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一 定能被11整除。 例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12?

23-12=11 因此,491678能被11整除。这种方法叫“奇偶位差法”。 能被13整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 如：判断1284322能不能被13整除。 128432+2×4=128440 12844+0×4=12844 1284+4×4=1300 1300÷13=100 所以，1284322能被13整除。 能被17整除的数的特征

把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。 例如：判断1675282能不能被17整除。 167528-2×5=167518 16751-8×5=16711 1671-1×5=1666 166-6×5=136 到这里如果你仍然观察不出来，就继续…… 6×5=30，现在个位×5=30>剩下的13，就用大数减去小数，30-13=17，17÷17=1；所以1675282能被17整除。 能被19整除的数的特征 把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程

数的整除的特性(五年级)

第四讲：数论初步（二） ——整除问题 一、训练目标 知识传递：掌握和拓展数的整除特征，根据整除特征灵活应用。 能力强化：分析能力、观察能力、综合能力、判断能力、推算能力。 思想方法：假设思想、对应思想、排除思想、尝试思想、重叠思想。 二、知识与方法归纳 1、熟悉并掌握 2、 3、5、9的倍数的特征。 2、一个数的末两位数能4或25整除，这个数就一定能被4或25整除。（4×25=100）。 （8×125=1000。） 3、一个数的末三位数能被8或125整除。那么这个数就能被8或25整除。 4、一个数的末三位数与末三位以前的数字组成的数的差分别能被7、11、13整除，这个数就能被7、11、13整除。另外，一个数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差（差 （7×11×13=1001。）等于0比较常见）能被11整除，这个数就能被11整除。（很常用，请牢记。） 5、如果两个数都能被同一个数整除，那么这两个数的和或差也能被这个数整除。即如果ca，c︱b，则c︱（a+b）或c︱（a-b）。 6、如果一个数能被另一个数整除，那么这个数的整倍数也一定能被另一个数整除。即如果c︱a，b是整数，则c︱ab。 7、如果一个数能被第二个数整除，第二个数又能被第三个数整除，那么，第一个数也能被第三个数整除。即如果a︱b，b︱c，则a︱c。 8、如果一个数能同时被另外两个数整除，而且这两个数互质，那么这一个数一寂能被另外两个数的积整除。即如果a︱c，b︱c，且a、b互质，则ab︱c。 三、经典例题 例1、七位数83□534□能被88整除，两个□中所填数字之和是。 解： 答：。 例2、在358后面补上三个数字，组成一个六位数，使它分别能被3、4、5整除，符合这些条件的六位数中，最小的一个是多少？ 解：

数的整除特征基础篇

数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被ｂ整除(或说ｂ能整除a）,记作b|a，读作b整除ａ或a能被ｂ整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5:看末一位 4，25：看末两位 8,12５：看末三位 数字和系：3，9:看数字和 数字差系：１1:看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被７，１1，13整除； ⑵把数从末三位开始,三位为一段断开,只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，１1，１3的倍数。 常见整除性质: ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除,那么甲数能被丙数整除. ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除,那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。

? (★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例1 例2

例3 (★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例4 ? (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？

? 【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是 91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例5 例6

被20以内整除数的特征

被0—20以内数整除的数性质 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数,即对于任何整数a,总有1|a. 0是任何非零整数的倍数,a≠0,a为整数,则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8,则这个数能被2整除. （3）若一个整数的数字和能被3整除,则这个整数能被3整除. (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除,则这个数能被4整除. （5）若一个整数的末位是0或5,则这个数能被5整除. （6）若一个整数能同时被2和3整除,则这个数能被6整除. （7）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除.如果差太大或心算不易看出是否7的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断294是否是7的倍数的过程如下：29-4×2=21,所以294是7 的倍数；又例如判断3983是否是7的倍数的过程如下：398－3×2＝392 ,39－2×2＝35,所以3983是7的倍数,以此类推. （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除,则这个数能被8整除. （9）若一个整数的数字和能被9整除,则这个整数能被9整除. （10）若一个整数的末位是0,则这个数能被10整除. （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除,则这个数能被11整除.例如,判断649是否是11的倍数的过程如下：

因为奇数位之和6+9=15,15减去4等于11，所以649是11的倍数. （12）若一个整数能被3和4整除,则这个数能被12整除. （13）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,加上个位数的4倍,如果差是13的倍数,则原数能被13整除.如果差太大或心算不易看出是否13的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断585是否是13的倍数的过程如下：58+5×4=78,7+8×4=39,所以585是13的倍数;又例如判断8476是否是13的倍数的过程如下：847+6是否是13的倍数的过程如下：4=871,87+1×4=91,9+1×4=13,所以585是13的倍数. （14）若一个整数同时被2和7整除,则这个数能被14整除.例如,判断6328是否是14的倍数的过程如下：首先6328能被2整除，其次判断它被7整除特征，632-8×2=616,61-6×2=49，因此6328是7的倍数，即6328是14的倍数. （15）若一个整数同时被3和5整除,则这个数能被15整除.判断方法与被6、14整除类似，与下文的18,20一样. （16）若一个整数末尾四位数能被16整除，则这个数能被16整除. （17）若一个整数的个位数字截去,再从余下的数中,减去个位数的5倍,如果差是17的倍数,则原数能被17整除.如果差太大或心算不易看出是否17的倍数,就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程,直到能清楚判断为止.例如,判断7701是否是17的倍数的过程如下：770-1×5=765,76-5×5=51,所以7701是17的倍数. （18）若一个整数同时能被2和9整除,则这个数能被18整除.

小学五年级数学教案：数的整除

小学五年级数学教案：数的整除

小学五年级数学教案：数的整除 1、使学生理解自然数与整数的意义． 2、使学生掌握整除、约数与倍数的概念． 3、培养学生抽象概括与观察物的能力． 教学过程 一、建议自然数与整数的概念 1、谈话引入：今天这节课，我们学习数的整除．（板书课题） 2、教师提问：既然是数的整除，自然就与数有关，同学们都学过什么数？ （教师板书：整数、小数、分数） 同学们会数数吧？（学生数数） （教师板书：1、2、3、4、5、） 继续数下去，能数到头吗？ 数不到头，我们可以用一个什么标点符号来表示呢？ （教师板书：） 2 / 7

3、教师小结： 用来表示物体个数的1、2、3、4、5等等，叫做自然数．（板书：自然数） 提问：最小的自然数是几？有最大的自然数吗？ 当一个物体也没有时，我们用几来表示？（板书：0） 二、建立整除的概念 1、教师明确：数的整除，不仅与数有关，还与除有关，一说到除，在家就会想到两个数相除，那么整除又是什么意思呢？整除也是两个数相除，但是在小学阶段，我们研究整除不包括0． 2、出示卡片 1.24 提问：在数的整除中研究这样的两个数相除吗？为什么？ 3、再出示卡片：1020，165，153，369，242 提问：这几个式子中的被除数和除数都是什么数？ 教师明确：被除数和除数都是自然数，这是我们研究数的整除的一个非常重要的条件． 3 / 7

4、教师说明：被除数和除数都是自然数，如：1020，我们能不能说10能被20整除呢？还不能，还要看它的商． 组织学生口算出5张卡片的商．（其中165指定回答商几余几） 提问：被除数和除数都是自然数，商可能有哪几种情况？ 排除没有整除关系的卡片，指153=5一类的卡片，说明：只有这样的，我们才能说15能被3整除． 5、学生举例 6、提问：用字母a表示这样的被除数，用b表示这样的除数，商怎么样，我们就说a能被b整除呢？ 这样看来，整除除了被除数和除数都是自然数外，还得有一个什么条件？ 教师明确：商是自然数，没有余数是整除的又一个重要的条件． 7、出示卡片（区别整除和除尽） 43=1.3 1818=1 75=1.4 40.2=20 426=7 4 / 7

数的整除参考教案

数的整除参考教案 数的整除参考教案 教学内容： 数的整除复习(小学数学九年制义务教材第十册)． 教学目标： 1．掌握自然数的分类和关系，沟通知识间的联系，形成网络．2．理解概念并能正确运用概念． 3．培养学生分析、判断、抽象概括的能力． 教学重点： 区别整除和除尽、互质和质数、分解质因数和求最大公约数、最小公倍数的不同． 教学方法： 边总结边练习(讲练结合)． 教学过程： 一、揭示课题，确定研究对象——自然数 师：前面我们学习了数的'整除知识(板书：数的整除) 你知道的数有哪些我们研究数的整除时，这里的数是指什么数(板书：自然数) 二、研究自然数的分类 1．提问：自然数可以怎样分类？ 生：按照能否被2整除，可以把自然数分成奇数和偶数；按照约

数的个数，可以把自然数分成：1、质数和合数．(板书：奇数偶数 1 质数合数) 2．提问：你能说说什么叫奇数、偶数什么叫质数、合数质数和合数有什么关系 (板书：分解质因数质因数) 3．练习：判断对错 (1)自然数可以分成质数和合数．( ) (2)质数都是奇数，合数都是偶数．( ) (3)两个质数的乘积一定是奇数．( ) (4)把15分解质因数是3×5=15，3和5叫质因数．( ) 三、研究自然数的关系 (一)整除关系 1．提问：两个自然数之间会存在哪些关系( 板书：整除互质) 2．什么叫整除( 引出约数、倍数)(板书：约数倍数) 它和除尽有什么区别( 板书：除尽) 约数、倍数表示的是数吗( 板书：关系) 公约数、公倍数表示什么(板书：数)它们各有什么特点

(板书：最大公约数最小公倍数) 3．练习：下面说法是否正确？ (1)1.2÷4=3，1.2能整除4．( ) (2)6是倍数，3是约数．( ) (3)约数的个数有限，倍数的个数无限．( ) (二)互质关系 1．什么叫互质它和质数有什么区别考虑下面各组中什么样的两个数间存在互质关系 2．判断练习： (1)两个数互质，这两个数一定是质数．( ) (2)两个质数一定互质．( ) (3)两个奇数一定不互质．( ) (4)两个偶数一定不互质．( ) (5)奇数和偶数一定不互质．( ) (三)既不互质，又不整除的关系 1．出示一组数：根据自然数间的关系，将下列一组数分类 (1)13和26 (2)2和7 (3)4和21 (4)45和3 (5)8和5 (6)14和42 (7)12和15 (8)9和10 (9)30和48 (10)12、18和24 整除关系??????互质关系 (1)13和26 (2)2和7 (7)12和15

(完整word版)数的整除特征专项训练

数的整除特征专项训练 一、性质 1、如果整数A、B都能被C整除，那么他们的和A＋B或差A－B也能被C整除。 例如：8整除64，8整除24，那么8整除64＋24或64－24。 2、如果A能被B整除，B能被C整除，那么A能被C整除。 例如：30能被15整除，15能被5整除，那么30能被5整除。 二、数的整除特征 能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8。 能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数。 能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。 能被5整除的数的特征：个位数字是0或5。 能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。 能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。 能被11整除的数的特征：奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除。 能被7、11、13整除的数的特征：末三位数与末三位数以前的数所组成的数之差能被7、11、13整除。 一个三位数连续写偶数次，所得的数能被7、11、13整除 三、例题与练习 例1、判断下面的数是否能整除。

例2、判断下面的数是否能整除。 例3、四位数2□2□能同时被8、9整除，那么这个四位数是多少？ 练一练 在3□2□的方框里填入合适的数字，使这个四位数能被15整除，这样的四位数中最大的是多少？ 例4、将1、2、3、4这四个数任意排列，可组成若干个四位数，在这些四位数中，能被11整除的数最小是多少？能被4整除的数最小是多少？

1、由1、 2、3这三个数任意排列，可组成若干个三位数，在这些三位数中，能被11整除的数有哪些？ 2、从0、 3、5、7这四个数中选择三个数，排成一个三位数，使它能同时被2、3、5整除，这样的三位数最大的是哪个？ 3、在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能被3、 4、5整除，这个六位数最小是多少？ 例5、某个七位数1993口口口能同时被2、3、4、5、6、7、8、9整除，那么它的最后三位数字依次是多少?

数的整除特征

数的整除特征 1)被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。 2)被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。 3)被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。 4)被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。 5)被7整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。 第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。 6)被11整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。第二种方法：奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。 第三种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。 7)被13整除 第一种方法：末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。第二种方法：逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。 8)被10整除：如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）。 9)被12整除：若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。 10)被17整除 第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 11)被19整除 第一种方法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。第二种方法：若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 12)被23整除：若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除。 13)被99整除：从个位开始，两位一截，各段求和，看和能否能被99整除。 14)被999整除：从个位开始，三位一截，各段求和，看和能否能被999整除。

数的整除特性练习题

数的整除专题训练 知识梳理： 性质1.如果一个自然数的末两位数能被4（或25）整除，那么这个自然数就能被4（或25）整除，否则这个数就不能被4（或25）整除。 性质2.如果一个自然数的末三位数能被8（或125）整除，那么这个自然数就能被8（或125）整除，否则这个数就不能被8（或125）整除。 性质3.如果一个数的各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数就能被9整除，否则这个数就不能被9整除。 性质4.如果一个自然数的奇数位上数字和与偶数位上数字和的差能被11整除，那么这个数便能被11整除，否则这个数便不能被11整除。 性质5.如果一个数的末三位数字所表示的数与末三位以前的数字所表示的数的差能被11（7、13）整除，那么这个数就能被11（7、13）整除，否则这个数就不能被11（7、13）整除。 例题精讲： 1. 三年级共有75名学生参加春游，交的总钱数为一个五位数“2□7□5”元，求每位学生最多可能交多少元 解：先求出满足条件的最大五位数。75=25 ×3，则这个五位数是25和3的倍数。 因为是25的倍数，所以十位为7或2，设千位为x， 如十位为7，则使2+x+7+7+5=21+x为3的倍数的x最大为9，得此五位数为29775；如十位为2，则使2+x+7+2+5=16+x为3的倍数的x最大为8，得此五位数为28725。所以，满足题意的最大五位数为29775。 29775÷75=397(元)， 即每位学生最多可能交397元。

2. 小勤想在电脑上恢复已经删除掉的72个文件，可是他只记得这些文件的总大小是“*679.*KB”，“*”表示小勤忘掉的第一个和最后一个数字(两个数字可能不同)，你能帮他算出这两个数字吗 解：“*679. *”能被72除尽，则“*679*”应是72的倍数。72=8 ×9，先考虑8，末三位数字79*应满足被8整除，所以十分位数字是2；考虑9，已知数字之和是6+7+9+2=24，所以原数的千位上应是3，即这两个数字分别是3和2。 3. 有三个连续的四位数，它们的和也是四位数，并且是3333的倍数，求中间那个数可能的最小取值。 解：设中间的数为a，则另外两个数是(a-1)和(a+1)，所以要a+(a+1)+(a-1)=3a是3333的倍数，那么a是1111的倍数，又3a<10000，所以a≤3333，所以a可取1111、2222、3333。所以。取可能的最小的值为1111。 4. 一个整数的末三位数字组成的数与其末三位以前的数字组成的数之间的差是7的倍数时，这个整数可以被7整除吗请证明你的判断。 解：设末三位数字组成的数为m，末三位以前数字组成的数为n，则m-n=7d(d 为整数),即n=m-7d，原数为m+1000n=m+1000 ×(m-7d)=1001m-7000d，1001=13 ×11 ×7，7000d=7 ×1000d，所以原数是7的倍数。 5. 小明有一些数字卡片，现在要从这些卡片中挑出2、4、5、7、8这几张，任选4张，能组成可以被75整除的没有重复数字的四位数，它能组成几种呢 解：75=3 ×5 ×5， 要被75整除，必可被3整除，所以有4、5、7、8，2、4、7、8和2、4、5、7三种选法； 又要被25整除，所以未两位为25或75，所以排除2、4、7、8的选法。 则4、5、7、8的选法有2种组合，2、4、5、7的选法有4种组合，所以共可

数的整除教案

数的整除 一教学目标 1、通过对数的整除的整理与复习，使同学们进一步理解、掌握数的整除的有关概念，并能做出明确的判断与区分，进一步完善知识间的联系，形成知识网络，培养学生抽象概括与观察事物的能力. 2、通过师生互动，自主探究等方法，掌握知识的特点，合理解决问题 3、培养学生严肃认真的学习态度，养成良好的学习习惯。 二教学重点 通过对主要概念进行整理和复习，深化理解形成知识网络。 三教学难点 弄清概念间的联系与区别理解易混淆的概念 四教学步骤 （一）创设情境引入课题 师：同学们，我们从相识到相知已有半年多的时间老师已经深深喜欢上了你们，再有一个月的时间，我们就要分别,各自踏上理想中学的大门, 再像今天这样聚在一起 ,很不容易了, 所以我们要珍惜今天的美好时光，那么你们今天课上打算怎样做呢？用上“认真和积极”两个词语，如果老师再出2个数“3和12”,你能用3和12说几句话么？ 生：3能整除12，12能被3整除 , 12是3的倍数……. 师：刚才同学们运用了什么知识为3和12造句呢?刚才提到的这些知识实际上属于整除这部分知识，这些知识之间有怎么样的联系呢？今天我们就来复习数的整除（板书课题） （二）整理知识形成网络 1、整除与除尽 师：看到题目,你认为数的整除与什么有关? 下面就有三个除法算式（1） 4 ÷ 8＝ 0.5 （2） 12÷ 3＝ 4 （3）2÷ 0.1＝ 20 （4）3.2 ÷ 0.8＝ 4 你认为哪个算式是整除？什么是整除? 师：根据概念,你怎样判断一个算式是否能整除?(出示幻灯片:先出示三要素,再出示整除三要素几个字被除数是整数，除数是不为0的整数，商是整数而没有余数。）,你能再举出几个整除的例子吗? 12÷3=4 是整除, 那么那几个算式是什么呢？（除尽）什么样的式子是除尽？师：根据刚才的分析,你认为在这四个算式中,除尽的有几个?整除的有几个?出示图小结:整除一定是除尽,但除尽不一定是整除 2、因数倍数 ⑴师：如果12能被3整除,那么12和3之间还有什么关系? 板书因数倍数 ⑵说一说什么叫因数 ? 倍数? ⑶出示判断：18÷2=9 所以18是倍数,2是因数（） 1.2÷2=0.6 所以1.2是2的倍数 2是1.2的因数（） ⑷通过上面的练习，你得到什么结论？ 生： 1、因数与倍数是相互依存的2、因数与倍数必须以整除为前提 ⑸任何一个非0自然数都能找出它所含的因数，我们知道2是18的因数,你能找出18的其他因数吗??动笔写订正后问:怎样快速找准一个数的因数呢？（从1开始，一对一地找，不会漏掉或重复因数）幻灯片出示写的过程.

数的整除特征47662

数的整除特征 1、一个整数的末尾一位数能被2或5整除，那么这个数就能被2或5整除。 2、一个整数的末尾两位数能被4或25整除，那么这个数就能被4或25整除。 3、一个整数的末尾三位数能被8或125整除，那么这个数就能被8或125整除。 4、能被9和3整除的数的特征，如果各位上的数字和能被9或3整除，那么这个数能被9 或3整除。 5、一个整数的末尾三位数与末尾三位数以前的数字组成的数的差（大数减小数）能被 7、11、13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。 6、一个整数的奇数位上的数字和与偶数位上的数字之和的差（大减小）能被11整除，这个数就能被11整除。 【例1】七位数 23A45AB 一一一一一一一 能被15整除，A 与B 可以是哪些数字？ 【例2】从0， 4， 9， 5这四个数中任选三个排列成能同时被2， 5， 5 整除的三位

数。问：这样的三位数有几个？ 【例3】五年级（1）班有36名同学，每人买了一本英语词典，共花了6 问：每本词典多少钱？ 【例4】在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3,4,5整除，而且使这个数尽可能小。

【例5】要使27A3B 一一一一一一这个五位数能被44整除，那么个位，百位各应该是几？ 【例6】能被11整除，首位数字是6，其余各位数字均不相同的最大与最小六位数分别是几？ 数的整除专项练习： 1、五位数6A25B 一一一一一一一一的A ，B 各是什么数字时，这个五位数能被75整除？问：这样的五位数共有几个？

2、在 内填上合适的数使七位数 能被72整除。 3、在1978后面补上三个数字，组成一个七位数，使它能同时被3,4,5整除，并且使这个数尽可能小。 4能被11整除，求这个六位数。

数的整除特性

2013国家公务员考试行测数学运算冲刺：数的整除特性 在国家公务员考试中，数学运算题目通常是给出一段表达数量关系的文字，考生需要做的就是找到题干中各个数字之间的联系，然后运用基本的运算法则，计算出结果。中公教育专家发现，国家公务员考试中，数学运算题干中的数字之间都有着千丝万缕的联系，最基础的体现就是两个数之间的整除关系。在考试中，如果能够顺利的发现数字之间存在整除关系，那么我们就可以利用数字的整除特性，快速、简单地得到答案。 一、整除判定 在解题过程中，如果经过分析、判断后，你已经确定题目的正确答案能被某个数整除，那么在进行具体计算之前，只需要对四个选项逐个进行判定，哪个选项能被这个特殊数字整除，即可得到结果。 在行测考试中，被2、３、５、8、９整除的判定较为常见，考生需要熟练掌握并灵活应用。 被2、3、4、5、8、9整除的判断依据 （1）被2整除的判断依据：个位数字能被2整除的数能被2整除。 （2）被３整除的判断依据：各位数字和是３倍数的数可被３整除。 （3）被4整除的判断依据：末两位可被4整除的数能被4整除。 （4）被５整除的判断依据：个位是０、５的数可被５整除。 （5）被８整除的判断依据：末三位可被８整除的数能被８整除。 （6）被９整除的判断依据：各位数字和是９倍数的数可被９整除。 【例题1】为了打开保险箱，首先要输入密码，密码由7个数字组成，它们不是2就是3，在密码中的数字2比3多，而且密码能被3和4整除，试求出这个密码？ A.2323232 B.2222232 C.2222332 D.2322222 中公解析：此题答案为B。此题的题干中明确说明，要求密码能够同时被3和4整除。考虑被3、4整除的判断依据。 能被4整除的数字，其后两位数字能够被4整除。所以四个选项中，首先排除D项。 能被3整除的数，要求各位数字和是3的整倍数，剩余三个选项中，A项所有数字和为17，B项所有数字和为15，C项所有数字和为16，符合条件的只有B项。 因此密码为2222232。 【例题2】某单位有工作人员４８人，其中女性占总人数的３７．５％，后来又调来女性若干人，这时女性人数恰好是总人数的４０％，问调来几名女性？ Ａ．１人Ｂ．２人Ｃ．３人Ｄ．４人

数的整除教学设计

《数的整除》总复习公开课教案 执教：卢河小学朱孔玲 教学内容： 教科书第130页第1——6题。 教学目标： 1、弄清概念之间的联系、区别，使知识进一步系统化。 2、培养学生分析比较、抽象概括和判断能力。 3、通过合作交流等学习方式，培养学生的学习能力。 教学过程： 一、导入新课 今天这节课我们复习《数的整除》的有关知识。 板书课题：数的整除（复习） 学生齐读课题。师：学习了数的整除这一单元的知识，你有什么体会或想法？（概念很多，容易混淆）你认为我们复习这部分内容的关键是什么呢？（弄清概念之间的联系与区别） 二、梳理知识 1、回忆一下，在这一单元我们主要学习了哪些知识？学生回答后，投影出示概念、知识点。 2、确实概念很多，为了弄清这些知识之间的联系和区别，请大家根据下面的问题，分组思考、讨论，理清知识联系。 （1）约数和倍数是在什么情况下产生的？它们之间是什么关系？ （2）一个数倍数的个数有多少？两个、三个数的公倍数、最小公倍数如何确定？ （3）一个数约数的个数有多少？两个数的公约数、最大公约数如何确定？ （4）能被2、5、3整除的数的特征各是什么？ （5）偶数和奇数是怎样产生的？质数和合数又是怎样区分的？ （6）把一个合数分解质因数的表达形式是什么？ （7）质数、质因数、互质数之间的区别是什么？构成互质数的两个数有几种情况？ 3、小组讨论。 4、全班交流。 5、完善知识结构。 在这一单元里，我们首先学习了哪个概念？（整除）这是为什么呢？（短暂交流）明确因为其他概念都是在整除的基础上得到。的。举例说说看例如：由整除的概念得到约数和倍数，由约数得到公约数、最大公约数。 师：说得真好！看来这些概念之间都是有联系的。你能画一张图，表示出概念与概念之间得联系吗？如果有困难可以向老师求助。 教师巡视后展示部分学生画的图，并让学生说说是怎样想的。

能被2,5整除的数(参考教案二)

能被 2 ， 5 整除的数（参考教案二）教学目标 (一)掌握能被2，5整除的数的特征。 (二)理解并掌握奇数和偶数的概念。 (三)能运用这些特征进行判断。 (四)培养学生的概括能力。 教学重点和难点 (一)能被2，5整除的数的特征。 (二)奇数和偶数的概念，0也是偶数。 教学用具 投影片。 教学过程设计 (一)复习准备 1.提问。 ①说出20的全部约数。 ②说出5个8的倍数。 ③26的最小约数是几?最大约数是几?最小的倍数是几?2.板书。 按要求在集合圈里填上数。 教师：在计算中，经常需要先判断一个数能否被另一个数整除。如果掌握了数的一些特征，就可以帮助我们进行判断。今天我们就学习最常见的，能被2，5整除的数的特

征。板书课题。 (二)学习新课 1.能被2整除数的特征。 (1)教师：(指板书练习2)右边集合圈里的数与左边圈里的数是什么关系? 教师：请观察右边圈里的数、它们的个位数有什么特点?(个位上是0，2，4，6，8。) 教师：请再举出几个2的倍数，看看符不符合这个特点? 学生随口举例。 教师：谁能说一说能被2整除的数的特征? 学生口答后老师板书：个位上是0，2，4，6，8的数，都能被2整除。 (2)口答练习(投影片) 请把下面的数按要求填在圈内： 1，3，4，11，14，20，23，24，28，31，401，826，740，1000，6431。 学生口答完后，老师介绍： 能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。(奇读j9)板书，上面两个集合圈上补写出“偶数”，“奇数”。 教师：上面两个集合圈里该不该打省略号?为什么?

学生讨论后老师说明： 在本题所列的有限个数里的奇数、偶数都是有限的，但是自然数是无限的，奇数、偶数也是无限的，所以集合圈里要写上省略号。 教师：奇数、偶数在我们日常生活中遇到过吗?习惯上称它们为什么数?(单数、双数。) 教师板书：0÷2=0。 问：0算不算偶数?请说一说是怎样想的。 学生讨论后老师总结：商是0，0是整数，说明0也能被2整除，所以0也算偶数。 (3)练习：(先分小组小说，再全班统一回答。) ①说出5个能被2整除的两位数。 ②说出3个不能被2整除的三位数。 ③说出15～35以内的偶数。 ④50以内的偶数有多少个?奇数有多少个? 2.能被5整除的数的特征。 (1)教师先在黑板上画出两个集合圈，然后提出要求：你们能不能用与研究能被2整除的数的特征相同的方法，找出能被5整除的数的特征? 学生自己动手填数、观察、讨论。老师巡视过程中选一位同学板书填空。 教师：说一说能被5整除的数的特征?

数的整除特征基础篇

数的整除特征基础篇 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

数的整除特征(上) 什么是整除？ 若整数a 除以大于0的整数b，商为整数，且余数为零。我们就说a能被b整除(或说b能整除a)，记作b|a，读作b整除a或a能被b整除。 常见数的整除特征： 末位系：2，5：看末一位 4，25：看末两位 8，125：看末三位 数字和系：3，9：看数字和 数字差系：11：看奇位和与偶位和的差 7，11，13系列： ⑴看多位数的末三位和前面部分之差能否被7，11，13整除； ⑵把数从末三位开始，三位为一段断开，只需看奇数段的和与偶数段的和的差是否为7，11，13的倍数。 常见整除性质： ⑴如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。 ⑵如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 ⑶如果一个数能分别被几个两两互质的自然数整除，那么这个数能被这几个两两互质的自然数的乘积整除。 例

(★★★) 两个四位数275A 和275B 相乘，要使它们的乘积能被72整除，求A 和B 。 (★★) 在□里填上适当的数字，使得七位数□7358□□能分别被9，25和8整除。 例 例

(★★★) 四位偶数64能被11整除，求出所有满足要求的四位数。 例 (★★★) 在所有五位数中，各位数字之和等于43且能够被11整除的数有哪些？ 例

【先睹为快】 将三位数3ab 连续重复地写下去，共写2005个3ab ，所得的数20053333ab ab ab ab 个正好是91的倍数，试求ab ＝___________。 (★★★) 能不能将从1到10的各数排成一行，使得任意相邻的两个数之和都能被3整除？ (★★★★) 请用1，2，5，7，8，9这六个数字(每个数字至多用一次)来组成一个五位数，使得它能被75整除，并求出这样的五位数有几个？ 例

被3整除的特征

整除的特征 （1）1与0的特性： 1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a. 0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0. （2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。 （3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。 (4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。 （5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。 （6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。 （7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。 （8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。 （9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。 （10）若一个整数的末位是0，则这个数能被10整除。 （11）若一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被11整除。11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！ （12）若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除。

（13）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （14）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。如果差太大或心算不易看出是否17的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （15）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的2倍，如果差是19的倍数，则原数能被19整除。如果差太大或心算不易看出是否19的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。 （16）若一个整数的末三位与3倍的前面的隔出数的差能被17整除，则这个数能被17整除。 （17）若一个整数的末三位与7倍的前面的隔出数的差能被19整除，则这个数能被19整除。 （18）若一个整数的末四位与前面5倍的隔出数的差能被23(或29)整除，则这个数能被23整除