离散傅里叶变换的分析与研究

XXXX大学

2012届学士学位论文

离散傅里叶变换的分析与研究

学院、专业物理与电子信息学院

电子信息工程

研究方向数字信号处理

学生姓名XX

学号 XXXXXXXXXXX

指导教师姓名XXX

指导教师职称讲师

2012年4月26日

离散傅里叶变换的分析与研究

XX

淮北师范大学物理与电子信息学院 235000

摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。

本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。

关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析

The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform

XX

School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing .

This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length.

Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis

目次

1 绪论 (1)

2 DFT的基本理论 (2)

2.1DFT的定义 (2)

2.2DFT的隐含周期性 (2)

2.3DFT的性质 (3)

3 DFT的应用 (6)

3.1用DFT计算线性卷积 (6)

3.2用DFT对信号进行谱分析 (9)

3.3用DFT进行谱分析的误差问题 (12)

结论 (13)

参考文献 (14)

附录 (15)

致谢 (18)

1 绪论

傅里叶变换是数字信号处理中常用的重要数字变换。对于有限长序列，还有一种更为重要的数学变换，即本文要讨论的离散傅里叶变换（即DFT）。离散傅里叶变换之所以更为重要，是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更为重要的是，离散傅里叶变换有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。所以说，离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。

DFT在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。

(1) 快速傅里叶变换

快速傅里叶变换（即FFT）是计算离散傅里叶变换及其逆变换的快速算法。按照DFT的定义计算一个长为n的序列的DFT需要的计算复杂度达到了，而同样长度FFT的计算复杂度仅为。由于DFT的逆变换可以由DFT表示，所以DFT逆变换的计算同样可以由FFT完成。FFT算法的提出，使DFT得到了广泛的实际应用。

(2) 频谱分析

前面指出，DFT是连续傅里叶变换的近似。因此可以对连续信号x(t)均匀采样并截断以得到有限长的离散序列，对这一序列作离散傅里叶变换，可以分析连续信号x(t)频谱的性质。前面还提到DFT应用于频谱分析需要注意的两个问题：即采样可能导致信号混叠和截断信号引起的频谱泄漏。可以通过选择适当的采样频率（见奈奎斯特频率）消减混叠。选择适当的序列长度并加窗可以抑制频谱泄漏。

(3)数据压缩

由于人类感官的分辨能力存在极限，因此很多有损压缩算法利用这一点将语音、音频、图像、视频等信号的高频部分除去。高频信号对应于信号的细节，滤除高频信号可以在人类感官可以接受的范围内获得很高的压缩比。这一去除高频分量的处理就是通过离散傅里叶变换完成的。将时域或空域的信号转换到频域，仅储存或传输较低频率上的系数，在解压缩端采用逆变换即可重建信号[1-2]。

2 DFT 的基本理论

2.1 DFT 的定义

设x(n)是一个长度为M 的有限长序列，则定义x(n)的N 点离散傅里叶变换为：

1

...,,1,0)()]([)(1

0-===∑-=N k W n x n x DFT k X N n kn

N

(1)

(1)式即为离散傅里叶变换的表达式，其中，N 称为DFT 变换的区间长度。

2.2 DFT 的隐含周期性

前面定义的DFT 变换对中，x(n)与X(k)均为有限长序列，但由于kn

N W 的周期性，使(1)式中的X(k)隐含周期性，且周期均为N 。对任意整数m ，总有：

mN

k N

k N W W +=k,m 为整数，N 为自然数 所以(1)式中，X(k)满足：

)()()()(101

)(k X W n x W n x mN k X N n kn

N N n n

mN k N

===+∑∑-=-=+

实际上,任何周期为N 的周期序列x ~都可以看作长度为N 的有限长序列x(n)的周期

延拓序列，而x(n)则是x ~的一个周期，即：

∑∞

-∞

=+=

m mN n x n x )()(~ (2)

)()(~)(n R n x n x N =

为了以后叙述方便，将(2)式用如下形式表示：

N

n x n x ))(()(~=

式中x((n))N 表示x(n)以N 为周期的周期延拓序列， ((n))N 表示n 对N 求余， 即如果：

n=MN+n1， 0≤n1≤N -1， M 为整数

则 ((n))N=n1

如果x(n)的长度为N ，且M N n x n x N ≥=,))(()(~，则可写出)(~n x 的离散傅里叶级数表示为：

∑∑∑∑∑-=--=--=-=-===

===1

1

1

10

10

)(1)(~

1)(~)())(()(~)(~N k kn N

N k kn N

N n kn N

kn N N n N N n kn N W

k X N

W

k X N

n x W n x W n x W n x k X

式中

)()(~

)(k R k X k X N =

2.3 DFT 的性质

2.3.1 线性性质

如果x 1(n)和x 2(n)是两个有限长序列，长度分别为N 1和N 2，且 ：

)()()(21n bx n ax n y += 式中a 、b 为常数， 即N=max ［N 1, N 2］，则y(n)的N 点DFT 为:

)()()]([)(21k bX k aX n y DFT k Y N +==

其中X 1(k)和X 2(k)分别为x 1(n)和x 2(n)的N 点DFT 。 2.3.2 序列的循环移位

设x(n)为有限长序列，长度为N ，则x(n)的循环移位定义为：

)())(()(n R m n x n y N N += (3)

(3)式表明，将x(n)以N 为周期进行周期延拓得到N

))n ((x )n (x ~

=，再将)n (x ~左移m 得到)m n (x ~+，最后取)m n (x ~

+的主值序列则得到有限长序列x(n)的循环移位序列y(n),显然，y(n)是长度为N 的有限长序列。观察图1可见，循环移位的实质是将x(n)左移m 位，而移出主值区]1N n 0[-≤≤的序列值又依次从右侧进入主值区。“循环移位”由此得名。

由循环移位的定义可知，对同一序列x(n)和相同的位移m ，当延拓周期N 不同时，)n (R ))m n ((x )n (y N N +=则不同。

图1循环移位过程示意图

2.4.3 时域循环移位定理

设x(n)是长度为M （M≤N ）的有限长序列，y(n)为x(n)的循环移位，即：

)n (R ))m n ((x )n (y N N += 则

1

0)]([)()

()]([)(-≤≤===-N k n x DFT k X k X W n y DFT k Y N

km

M N

2.4.4 频域循环移位定理

频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N 等分的圆周上。 由于频域与时域的对偶关系，有如下性质：

)

())(()(1

0)]([)(k R L k X k Y N k n x DFT k X N N N

+=-≤≤=

则

)()]([)(n x W k Y IDFT n y nl

N N == (4)

(4)式的证明方法与时域循环移位定理类似。 2.4.5 循环卷积定理

时域循环卷积定理是DFT 中最重要的定理，具有很强的实用性。已知系统输入和系统的单位脉冲响应，计算计算机的输出，以及用FFT 实现FIR 滤波器等，都是基于该定理的。以下介绍循环卷积的定义及循环卷积定理。 ①循环卷积定义：

设序列h(n)和x(n)的长度分别为N 和M 。h(n)与x(n)的L 点循环卷积定义为：

)(]))(()([)(1

0n R m n x m h n y L L m L c ∑-=-=

式中，L 称为循环卷积区间长度，L ≥max[N,M]。 ②循环卷积定理：

有限长序列)n (x 1和)n (x 2，长度分别为N 1和N 2，N=max[N 1,N 2]。x 1(n)和x 2(n)的N 点DFT 分别为：

)]

([)()]([)(2211n x DFT k X n x DFT k X ==

如果

)()()(21k X k X k X ?=

则

)())(()()]([)(21

01n R m n x m x k x IDFT n X N N N m -==∑-= (5)

)())(()()]([)(11

2n R m n x m x k x IDFT n X N N N m -==∑-= (6)

一般，式(5)、(6)称为)n (x 1和)n (x 2的循环卷积[3-4]。

3 DFT 的应用

3.1 用DFT 计算线性卷积

用DFT 计算循环卷积很简单。设h(n)和x(n)的长度分别为N 和M ，其L 点循环卷积为：

)())(()()(1

0n R m n x m h n y L L m L c ∑-=-=

且：

],max[,10)]([)()]([)(M N L L k n x DFT k X n h DFT k H L L ≥-≤≤????

??==

则由DFT 的时域循环卷积定理有：

10)

()()]([)(-≤≤==L k k X k H n y DFT k Y L c C

由此可见，循环卷积可以在时域直接计算，由于DFT 有快速算法，当L 很大时，在频域计算循环卷积的速度快的多，因而常用DFT 计算循环卷积。

在实际应用中，为了分析时域离散线性时不变系统或者对序列进行滤波处理等，需要计算两个序列的线性卷积。与计算循环卷积一样，为了提高运算速度，也希望用DFT 计算线性卷积。而DFT 只能直接用来计算循环卷积，因此，下面导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。 假设h(n)和x(n)都是有限长序列，长度分别是N 和M 。他们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：

∑-=-=*=1

0)()()()()(N m l m n x m h n x n h n y (7)

)())(()()(1

n R m n x m h n y L L m L c ∑-=-=

其中

∑∞

-∞

=+=

≥i L iL n x n x M N L )())((],,max[

所以

)()()()()()(1

1

n R

m iL n x m h R iL m n x m h n y i N m L

N m i L c ∑∑∑∑∞-∞=-=-=∞

-∞

=-+=

+-=

对照(7)式可以看出，上式中

)iL n (y )m iL n (x )m (h 1

N 0

m l

+=-+∑-=

即 )()()(n R

iL n y n y L

i l

c +=

∑∞

-∞

= (8)

(8)式说明，)n (y c 等于)n (y l 以L 为周期的周期延拓序列的主值序列。我们知道，

)n (y l 长度为N+M-1，因此只有当循环卷积长度L≥N+M -1时，)n (y l 以L 为周期

进行时才无时域混叠现象。此时取其主值序列显然满足)n (y )n (y l c =。由此证明了循环卷积等于线性卷积的条件是L≥N+ M -1[5-6]。 下面举例说明线形卷积和循环卷积之间的关系：

例1 设序列x1=[1 2 3 2]，x2=[2 1 2 1]，求两序列的线性卷积及4点，7点和9点的循环卷积。仿真结果如图2~4所示。

图2 原序列x1和x2

图2为原序列x1和x2。由线性卷积公式：y(n)=x1*x2；得到序列x1和x2的线性卷积结果如图3所示。

图3 序列x1和x2的线性卷积

由图3得y(n)=x1*x2，线性卷积结果为：[2 5 10 12 10 7 2] 。

由循环卷积定义计算x1和x2的4点，7点，9点循环卷积，结果如图4所示。

图4 序列x1和序列x2的4点，7点，9点循环卷积

图4中，图a是两序列的4点循环卷积，图b是两序列的7点循环卷积，图c 是两序列的9点循环卷积。

将图3和图4中的图a,图b和图c依次比较可得出，如果循环卷积长度小于线性卷积长度，则二者的卷积结果不相等。当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，二者相等，从而可以由循环卷积来计算线性卷积。

3.2 用DFT 对信号进行谱分析

所谓信号的谱分析，就是计算信号的傅里叶变换。连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机计算，使其应用受到限制。而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为用计算机分析离散信号和系统的有力工具。对连续信号和系统，可以通过时域采样，应用DFT 进行近似谱分析。下面将介绍DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的原理及方法。 3.2.1 用DFT 对连续信号谱分析

工程实际中，经常遇到的连续)t (x a 其频谱函数)j (X a Ω也是连续函数。为了利用 DFT 对)t (x a 进行频谱分析，先对)t (x a 进行时域采样，得到)nT (x )n (x a =，再对x(n)进行DFT ，得到的X(k)则是x(n)的傅里叶变换)e (X jw 在频率区间[0,2π]上的N 点等间隔采样。用DFT 对连续信号进行频谱分析必然是近似的，近似度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。以下分析中,假设)t (x a 是经过预滤波和截取处理的有限长帯限信号。

x(n)的傅立叶变换)e (X jw 与)t (x a 的傅里叶变换)j (X a Ω满足如下关系：

)]2([1)(m T

T w j X T e X m a jw

π

-=∑∞-∞=

将T w Ω=带入上式，得到： )(~T

1def )]2([1)(Ω-Ω=∑∞-∞=Ωj X m T j X T e

X a m a T

j π (9) 由x(n)的N 点DFT 定义有

10|)()]([)(2-≤≤===

N k e X n x DFT k X k N

w jw N π (10)

将(10)式带入(9)式中，得到： 10)2(~1)2(~1)()(2-≤≤==

=N k k T X T k NT X T e

X k X p

a a k N

j πππ (11)

上式说明了X(k)与)j (X a Ω的关系，以频率f 为自变量，整理(11)式，得：

1...2,1,0)]([)()(~

-=?=='N k n x DFT T k TX kF X N a ，， 式中，F 表示对模拟信号频谱的采样间隔，所以称之为频率分辨率，NT T p =为截断时间长度。

3.2.2 用DFT 对序列进行谱分析

我们知道单位圆上的Z 变换就是序列的傅里叶变换，即：

jw e z jw z X e X ==|)()(

)e (X jw 是w 的连续周期函数。如果对序列x(n)进行N 点DFT 得到X(k)，则X(k)

是在区间[0,2π]上对)e (X jw 的N 点等间隔采样，频谱分辨率就是采样间隔2π/N 。因此序列的傅里叶变换可利用DFT 来计算。

对周期为N 的周期序列)n (x ~

，其频谱函数为: )2()(~

2)](~[)(k N w k X N

n x FT e X k jw

∑∞

-∞

=-=

=πδπ

其中

∑-=-==10

2)(~)](~[)(~N n kn N j e n x n x DFS k X π

由于)k (X ~

以N 为周期，因而)e (X jw 也是以2π为周期的离散谱，每个周期有N 条

谱线，第k 条谱线位于w=(2π/N)k 处，代表)n (x ~

的k 次谐波分量。而且，谱线的相对大小与)k (X ~

成正比。由此可见，周期序列的频谱结构可用其离散傅里叶级数)k (X ~

表示。由DFT 的隐含周期性知道，截取)n (x ~

的主值序列)n (R )n (x ~)n (x N =，并进行N 点DFT ，得到：

)()(~

)]()(~[)]([)(k R k X n R n x DFT n x DFT k X N N N === 所以可用)k (X ~

表示)n (x ~

的频谱结构。 在很多实际应用中，并非整个单位圆上的频谱都有意义。例如窄带信号，往往只希望对信号所在的一段频带进行频谱分析，这时便希望采样能密集地在这段频带内进行，而带外部分可完全不予考虑。另外，有时希望采样点不局限于单位圆上。例如语音信号处理中，常常需要知道系统极点所对应的频率，如果极点位置离单位圆较远，则其单位圆上的频谱就很平滑，这时就很难从中识别出极点对应的频率。如果使采样点轨迹沿一条接近这些极点的弧线或圆周进行，则采样结果将会在极点对应的频率上出现明显的尖峰，这样就能准确地测定出极点频率。对均匀分布在以原点为圆心的任何圆上的N 点频率采样，可用DFT 计算，而沿螺旋弧线采样，则要用线性调频Z 变换（Chirp-Z 变换，简称CZT ）计算[7-8]。 下面通过实例来说明连续信号的频谱分析：

例2 已知一连续信号)2sin()(ft t y π=其中，f=200Hz ，现以采样频率1000=s f Hz ，截取长度N 分别为100，200点。截取长度分别为Tp 1=0.1s ，Tp 2=0.2s 。对该信号进行频谱分析，仿真结果如图5，图6所示。

图5 截取长度N=100时的频谱

图5为截取长度Tp=0.1s时的频谱图，由图可以看出该信号包含频率成分为200Hz。

图6 截取长度N=200时的频谱

图6为截取长度Tp=0.2s时的频谱图，由图可以看出该信号包含频率成分为200Hz。

由图5和图6可得出：用DFT 对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似度与信号带宽、采样频率和截取长度有关，由于截取长度Tp 2增加了一倍，所以图6的分辨率也提高了一倍。

3.3 用DFT 进行谱分析的误差问题

(1) 混叠现象

对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用DFT 进行谱分析。采样速率Fs 必须满足采样定理，否则会在w=π附近发生频谱混叠现象。这时用DFT 分析的结果必然在f=Fs/2附近产生较大误差。因此，理论上必须满足Fs ≥2fc 。对Fs 确定的情况，般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率Fs/2。 (2) 截断效应

为了避免混叠效应，频带应该为有限带宽信号，而有限带宽信号)t (x a 频带宽度必定是无限长的信号，其采样信号x(n)自然是无限长序列。DFT 由于只能计算有限长的信号，因此必须对x(n)截短。截短也称截断，相当于将原始序列与长度为N 的矩形序列相乘，这将导致原来的离散谱线向附近扩展，出现两种情况： ① 形成频谱泄露或功率泄露：

对一个时间无限的信号虽然频带有限，但在实际FT 运算中，时间长度总是取有限值，在将信号截短的过程中，出现了分散扩展谱线的现象，称为频谱泄漏或功率泄漏。 ② 出现谱间干扰：

如果展宽的信号频谱的高频分量超过π=ω，就造成混叠，影响频率分辨率。 解决方法：增加N 的截短长度。

随着截短长度N 增加，)e (X jw N 更接近理论的)e (X jw 值，反之若截短长度N 减小，则泄漏误差加大。

(3) 栅栏效应：（又称分辨率有偏误差）

N 点DFT 是在频率区间 [0，2π] 上对信号频谱进行N 点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱点X(k)，且它们限制在基频的整数倍上，这就好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样，只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成分被遮挡， 所以称之为栅栏效应。 减小栅栏效应方法：

尾部补零,使谱线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱分量就可能被检测出来[9]。

结论

本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算及对连续信号的谱分析。在理解理论的基础是上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。

离散傅里叶变换在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。因此离散傅里叶变换的研究显得尤为重要。

参考文献

[1] 王世一.数字信号处理[M].北京：北京工业学院出版社,1987

[2] 胡广书.数字信号处理－理论、算法与实现[M].北京：清华大学出版社,1998

[3]丁玉美,高西全.数字信号处理[M].西安：西安电子科技大学出版社,2008.8

[4] 刘晓阳.离散傅立叶变换的公式分析与求解[J].济南教育学院学报,2004年第

6期

[5] 楼顺天,李博菡.基于MATLAB的系统分析与设计－信号处理[M].西安：西安电

子科技大学出版社,1998

[6] 曹戈.MATLAB教程及实训[M].北京：中国电力出版社,2008

[7] 薛年喜.MATLAB在数字信号处理中的应用[M].北京：清华大学出版社,2004

[8] 徐岩,张晓明,王瑜,孙庆彬,王之猛,孙岳.基于离散傅里叶变换的频谱分析新

方法[J].《电力系统保护与控制》,2011年11期

[9] 刘益成,孙祥娥.数字信号处理[M].北京：电子工业出版社,2004

附录循环卷积实现程序：

x1=input('输入x1=');

输入x1=[1 2 3 2]

x2=input('输入x2=');

输入x2=[2 1 2 1]

xn1=length(x1);

xxn1=0:xn1-1;

subplot(2,1,1);

stem(xxn1,x1,'.');

title('序列x1');

axis([0,4,0,4]);grid;

xn2=length(x2);

xxn2=0:xn2-1;

subplot(2,1,2);

stem(xxn2,x2,'.');

title('序列x2');

axis([0,4,0,4]);grid;

figure(2)

N=input('输入N=');

输入N=4

x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];

x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];

m=0:N-1;

x=zeros(N,N);

for n=0:N-1

x(:,n+1)=x2(mod((n-m),N)+1);

end;

yn=x1*x;

subplot(3,1,1);

stem(m,yn,'r','.');

title('序列x1和序列x2的4点循环卷积结果'); N=input('输入N=');

输入N=7

x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];

x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];

m=0:N-1;

x=zeros(N,N);

for n=0:N-1

x(:,n+1)=x2(mod((n-m),N)+1);

end;

yn=x1*x;

subplot(3,1,2);

stem(m,yn,'r','.');

title('序列x1和序列x2的7点循环卷积结果'); N=input('输入N=');

输入N=9

x1=[x1,zeros(1,N-length(x1))];

x2=[x2,zeros(1,N-length(x2))];

m=0:N-1;

x=zeros(N,N);

for n=0:N-1

x(:,n+1)=x2(mod((n-m),N)+1);

end;

yn=x1*x;

subplot(3,1,3);

stem(m,yn,'r','.');

title('序列x1和序列x2的9点循环卷积结果');

线性卷积实现程序：

x1=[1 2 3 2];

x2=[2 1 2 1];

离散傅里叶变换的分析与研究

XXXX大学 2012届学士学位论文 离散傅里叶变换的分析与研究 学院、专业物理与电子信息学院 电子信息工程 研究方向数字信号处理 学生姓名XX 学号 XXXXXXXXXXX 指导教师姓名XXX 指导教师职称讲师 2012年4月26日

离散傅里叶变换的分析与研究 XX 淮北师范大学物理与电子信息学院 235000 摘要离散傅里叶变换是连续傅里叶变换在时域和频域上都离散的形式，是对连续时间信号频谱分析的逼近。离散傅里叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 本文首先介绍了离散傅里叶变换的定义及性质，然后介绍了离散傅里叶变换的应用，主要包括对线性卷积的计算和对连续信号的谱分析。在理解理论的基础上，在matlab环境下实现了线性卷积和对连续信号频谱分析的仿真。仿真结果表明：当循环卷积长度大于或等于线性卷积长度时，可利用循环卷积计算线性卷积；利用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似的结果与信号带宽，采样频率和截取长度都有关。 关键词离散傅里叶变换；线性卷积；谱分析

The Analysis and Research of Discrete Fourier Transform XX School of Physics and Electronic Information, Huai Bei Normal University, Anhui Huaibei, 235000 Abstract The discrete Fourier transform is the form that the continuous Fourier transform are discrete both in the time domain and frequency domain,it is a approach to the analysis of continuous time signal spectrum . The discrete Fourier transform not only has important significance in theory, but also plays a central role in all kinds of signal processing . This paper introduced the definition and properties of the discrete Fourier transform first of all.Then introduced the application of the discrete Fourier transform, which mainly including the calculation of linear convolution and analysis of continuous signal the spectral. On the basement of understanding theory, we realized the linear convolution and analysis of continuous signal spectrum on the Matlab environment . The simulation results show that when the length of the cyclic convolution is equal to or greater than linear convolution,we can use cyclic convolution to calculate linear convolution;It is approximately use continuous DFT spectrum to analyze the frequency domain of continuous time signal, the approximation of the results is related to the signal bandwidth, sampling frequency and intercept length. Keywords The discrete Fourier transform; Linear convolution; Spectrum analysis

离散傅里叶变换(DFT)试题

第一章 离散傅里叶变换（DFT ） 填空题 （1） 某序列的DFT 表达式为 ∑-==1 )()(N n kn M W n x k X ，由此可以看出，该序列时域的长 度为 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是 。 解：N ； M π 2 （2）某序列DFT 的表达式是 ∑-==1 0)()(N k kl M W k x l X ，由此可看出，该序列的时域长度 是 ，变换后数字频域上相邻两个频率样点之间隔是 。 解： N M π 2 （3）如果希望某信号序列的离散谱是实偶的，那么该时域序列应满足条件 。 解：纯实数、偶对称 （4）线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为2 52) 1(8)(22++--=z z z z z H ，则系统 的极点为 ；系统的稳定性为 。系统单位冲激响应)(n h 的初值为 ；终值 )(∞h 。 解： 2,2 1 21-=- =z z ；不稳定 ；4)0(=h ；不存在 (5) 采样频率为Hz F s 的数字系统中，系统函数表达式中1 -z 代表的物理意义是 ，其中时域数字 序列)(n x 的序号 n 代表的样值实际位置是 ；)(n x 的N 点DFT )k X （中，序号k 代表的样值实际 位置又是 。 解：延时一个采样周期F T 1=，F n nT =，k N k πω2= （6）已知 }{}{4,3,2,1,0;0,1,1,0,1][,4,3,2,1,0;1,2,3,2,1][=-===k n h k n x ，则][n x 和 ][n h 的5点循环卷积为 。 解：{}]3[]2[][][][][---+?=?k k k k x k h k x δδδ {}4,3,2,1,0;2,3,3,1,0])3[(])2[(][55==---+=k k x k x k x （7）已知}{}{3,2,1,0;1,1,2,4][,3,2,1,0;2,0,2,3][=--=== k n h k n x 则][][n h n x 和的 4点循环卷积为 。

傅里叶变换在信号与系统系统中的应用

河北联合大学 本科毕业设计（论文） 题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 院系理学院 专业班级07数学一班 学生姓名刘帅 学生学号200710050113 指导教师佟玉霞 2011年5月24日

题目傅里叶变换在信号与系统中的应用 专业数学与应用数学姓名刘帅学号200710050113 主要内容、基本要求、主要参考资料等 主要内容 傅里叶变换是一种重要的变换，且在与通信相关的信号与系统中有着广泛的应用。本文主要研究傅里叶变换的基本原理；其次，掌握其在滤波，调制、解调，抽样等方面中的应用。分析了信号在通信系统中的处理方法，通过傅里叶变换推导出信号调制解调的原理，由此引出对频分复用通信系统的组成原理的介绍。 基本要求 通过傅里叶变换实现一个高通滤波，低通滤波，带通滤波。用傅里叶变换推导出信号调制解调的原理。通过抽样实现连续信号离散化，简化计算。另外利用调制的原理推导出通信系统中的时分复用和频分复用。 参考资料 [1]《信号与系统理论、方法和应用》徐守时著中国科技大学出版社 2006年3月修订二版 [2]《信号与系统》第二版上、下册郑君里、应启珩、杨为理著高等教育出版社 [3]《通信系统》第四版 Simon Haykin 著宋铁成、徐平平、徐智勇等译沈 连丰审校电子工业出版社 [4]《信号与系统—连续与离散》第四版 Rodger E.Ziemer 等著肖志涛等译 腾建辅审校电子工业出版社 [5]《现代通信原理》陶亚雄主编电子工业出版社 [6]《信号与系统》乐正友著清华大学出版社 [7]《信号与线性系统》阎鸿森、王新风、田惠生编西安交通大学出版社 [8]《信号与线性系统》张卫钢主编郑晶、徐琨、徐建民副主编西安电 子科技大学出版社 [9] https://www.wendangku.net/doc/0f10249436.html,/view/191871.htm//百度百科傅里叶变换 [10]《通信原理》第六版樊昌信曹丽娜编著国防工业出版社 [11]A．V．Oppenheim,A.S.Willsky with S.H.Nawab.Siganals and systems(Second edition).Prentice-Hall,1997.中译：刘树棠。信号与系统。西安交通工业大学出版社 完成期限 指导教师 专业负责人

离散傅里叶变换和快速傅里叶变换

实验报告 课程名称： 信号分析与处理 指导老师： 成绩：__________________ 实验名称：离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 实验类型： 基础实验 同组学生姓名： 第二次实验 离散傅里叶变换和快速傅里叶变换 一、实验目的 1.1掌握离散傅里叶变换（DFT ）的原理和实现； 1.2掌握快速傅里叶变换（FFT ）的原理和实现，掌握用FFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的方法。 1.3 会用Matlab 软件进行以上练习。 二、实验原理 2.1关于DFT 的相关知识 序列x (n )的离散事件傅里叶变换（DTFT ）表示为 n j n j e n x e X Ω-∞ -∞ =Ω ∑= )()(， 如果x (n )为因果有限长序列，n =0,1,...,N-1，则x (n )的DTFT 表示为 n j N n j e n x e X Ω--=Ω ∑=1 )()(， x (n )的离散傅里叶变换（DFT ）表达式为 )1,...,1,0()()(21 -==--=∑N k e n x k X nk N j N n π， 序列的N 点DFT 是序列DTFT 在频率区间[0,2π]上的N 点灯间隔采样，采样间隔为2π/N 。通过DFT ，可以完成由一组有限个信号采样值x (n )直接计算得到一组有限个频谱采样值X (k )。X (k )的幅度谱为 )()()(22k X k X k X I R += ，其中下标R 和I 分别表示取实部、虚部的运算。X (k )的相位谱为 ) () (arctan )(k X k X k R I =?。 离散傅里叶反变换（IDFT ）定义为 )1,...,1,0()(1)(21 -==∑-=N n e k X N n x nk N j N n π 。 2.2关于FFT 的相关知识 快速傅里叶变换（FFT ）是DFT 的快速算法，并不是一个新的映射。FFT 利用了n N j e π2-函数的周期性 和对称性以及一些特殊值来减少DFT 的运算量，可使DFT 的运算量下降几个数量级，从而使数字信号处 装 订 线

离散傅里叶变换应用举例

x=[1,1,1,1];w=[0:1:500]*2*pi/500; [H]=freqz(x,1,w); magH=abs(H);phaH=angle(H); subplot(2,1,1);plot(w/pi,magH);grid;xlabel('');ylabel('|X|'); title('DTFT的幅度') subplot(2,1,2);plot(w/pi,phaH/pi*180);grid; xlabel('以pi为单位的频率');label('度'); title('DTFT的相角')

N=4;w1=2*pi/N;k=0:N-1; X=fft(x,N); magX=abs(X);phaX=angle(X)*180/pi; subplot(2,1,1);plot(w*N/(2*pi),magH,'--');axis([-0.1,4.1,0,5]);hold on; stem(k,magX);ylabel('|X(k)|');title('DFT的幅度:N=4');text(4.3,-1,'k'); hold off; subplot(2,1,2);plot(w*N/(2*pi),phaH*180/pi,'--');axis([-0.1,4.1,-200,200]); hold on; stem(k,phaX);ylabel('度');title('DFT的相角:N=4');text(4.3,-200,'k')

n=(0:1:9);x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n); w=[0:1:500]*2*pi/500; X=x*exp(-1i*n'*w); magx=abs(X); x1=fft(x);magx1=abs(x1(1:1:10)); k1=0:1:9;w1=2*pi/10*k1; subplot(3,1,1);stem(n,x);title('signalx(n),0<=n<=9'); axis([0,10,-2.5,2.5]);line([0,10],[0,0]); subplot(3,1,2);plot(w/pi,magx);title('DTFT幅度');xlabel('w');axis([0,1,0,10]); subplot(3,1,3);stem(w1/pi,magx1);title('DFT幅度'); xlabel('频率（单位：pi)');axis([0,1,0,10]) 实验总结：补零运算提供了一个较密的频谱和较好的图示形式，但因为在信号中只是附加了零，而没有增加任何新的信息，因此不能提供高分辨率的频谱。

离散傅里叶变换

第三章离散傅里叶变换 离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义，相对于DTFT他更便于用计算机处理。但是，直至上个世纪六十年代，由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大，离散傅里叶变换长期得不到真正的应用，快速离散傅里叶变换算法的提出，才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能，并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。近年来，计算机的处理速率有了惊人的发展，同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法，但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。 § 3-1 引言 一.DFT是重要的变换 1.分析有限长序列的有用工具。 2.在信号处理的理论上有重要意义。 3.在运算方法上起核心作用，谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。 二.DFT是现代信号处理桥梁 DFT要解决两个问题： 一是离散与量化， 二是快速运算。 傅氏变换 § 3-2 傅氏变换的几种可能形式 一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换

对称性： 时域连续，则频域非周期。 反之亦然。 二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数 时域信号 频域信号 连续的 非周期的 非周期的 连续的 t ? ∞ ∞ -Ω-= Ωdt e t x j X t j )()(:? ∞ ∞ -ΩΩ Ω= d e j X t x t j )(21 )(:π 反

*时域周期为Tp, 频域谱线间隔为2π/Tp 三.离散时间、连续频率的傅氏变换 --序列的傅氏变换 p T 0= Ω时域信号 频域信号 连续的 周期的 非周期的 离散的 ? -Ω-= Ω2 /2 /00)(1 )(:p p T T t jk p dt e t x T jk X 正∑ ∞ -∞ =ΩΩ= k t jk e jk X t x 0)()(:0反

傅里叶变换及应用

傅里叶变换在MATLZB里的应用 摘要：在现代数学中，傅里叶变换是一种非常重要的变换，且在数字信号处理中有着广泛的应用。本文首先介绍了傅里叶变换的基本概念、性质及发展情况；其次，详细介绍了分离变数法及积分变换法在解数学物理方程中的应用。傅立叶变换将原来难以处理的时域信号转换成了易于分析的频域信号，再利用傅立叶反变换将这些频域信号转换成时域信号。应用MATLAB实现信号的谱分析和对信号消噪。 关键词：傅里叶变换；MA TLAB软件；信号消噪 Abstract: In modern mathematics,Fourier transform is a transform is very important ,And has been widely used in digital signal processing.This paper first introduces the basic concepts, properties and development situation of Fourier transform ;Secondly, introduces in detail the method of separation of variables and integral transform method in solving equations in Mathematical Physics.Fourier transformation makes the original time domain signal whose analysis is difficult easy, by transforming it into frequency domain signal that can be transformed into time domain signal by inverse transformation of Fourier. Using Mat lab realizes signal spectral analysis and signal denoising. Key word: Fourier transformation, software of mat lab ,signal denoising 1、傅里叶变换的提出及发展 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常常采用所谓变换的方法来达到目的"例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算。在工程数学里积分变换能够将分析运算（如微分，积分）转化为代数运算，正是积分变换这一特性，使得它在微分方程和其它方程的求解中成为重要方法之一。 1804年，法国科学家J-.B.-J.傅里叶由于当时工业上处理金属的需要，开始从事热流动的研究"他在题为<<热的解析理论>>一文中，发展了热流动方程，并且指出如何求解"在求解过程中，他提出了任意周期函数都可以用三角级数来表示的想法。他的这种

傅里叶变换的应用.

傅立叶变换在图像处理中有非常非常的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理的很多方面，傅立叶的改进算法， 比如离散余弦变换，gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。 印象中，傅立叶变换在图像处理以下几个话题都有重要作用： 1.图像增强与图像去噪 绝大部分噪音都是图像的高频分量，通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量，可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘； 2.图像分割之边缘检测 提取图像高频分量 3.图像特征提取： 形状特征：傅里叶描述子 纹理特征：直接通过傅里叶系数来计算纹理特征 其他特征：将提取的特征值进行傅里叶变换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性 4.图像压缩 可以直接通过傅里叶系数来压缩数据；常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换； 傅立叶变换 傅里叶变换是将时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下，傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯版<图像处理>里面的解释非常形象：一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器，每个成分的颜色由波长（或频率）来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜，将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变换使我们能通过频率成分来分析一个函数。 傅立叶变换有很多优良的性质。比如线性，对称性（可以用在计算信号的傅里叶变换里面）; 时移性：函数在时域中的时移，对应于其在频率域中附加产生的相移，而幅度频谱则保持不变； 频移性：函数在时域中乘以e^jwt，可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理，通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性（将不同的信号调制到不同的频段上同时传输）； 卷积定理：时域卷积等于频域乘积；时域乘积等于频域卷积（附加一个系数）。（图像处理里面这个是个重点） 信号在频率域的表现 在频域中，频率越大说明原始信号变化速度越快；频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时，表示直流信号，没有变化。因此，频率的大小反应了信号的变化

第二讲 Part3 离散傅里叶变换_难点

第三讲 Part3 DFT 的理论难点 1、抽样定理 连接离散信号与连续信号的桥梁。 ()(){ ()()j t a a j j n s n X j x t e dt X e x nT e ω ω∞ -Ω-∞ ∞ -=-∞ Ω== ?∑ 根据频域卷积定理推导 () ()()() {1()()()()()2j j j j j y n x n h n Y e X e H e X e H e d πωωωθωθπ θ π--==*=? 得到：1 ()()j a s k s X e X j jk T ω ∞ =-∞ = Ω-Ω∑ 2、FT 中的待研究的理论难点与关键之处 2．1 DFT 与DTFT 的关系 两种论述方法： 方法1：书P119-P120的论述；请同学看书后，上黑板叙述推演相关的过程。 方法2：书P121，连续频谱的抽样也必然使原来的时域信号变成周期的。 2.2 DFT 的()X k 是“()x n 的傅里叶变换”的某种程度上的近似。 用DFT 对连续信号和离散信号进行谱分析的基本原理和方法 2.2.1 怎样理解DFT 对FT 的近似？ 由于用DFT 对连续信号做频谱分析的过程中隐含了频域和时域的两个周期延拓，又由于信号时宽和带宽的制约关系，因此，做DFT 得到的()N X k ，及由()N X k 做IDFT 得到的 ()N x n 都是对原()a X j Ω及()a x t 的某种近似。 如果s T 选得足够小，则式1 ()|()s j a T a s l s X e X j jl T ω ω∞ =Ω=-∞ = Ω-Ω∑ 中将避免或大大减轻 频域的混叠。 如果N 选得足够大，一方面可以减轻式()()*()j j j a X e X e D e ω ω ω =的窗口效应，另一方面也会减轻式()(),0,1, (1) l x n x n lN n N ∞ =-∞ = +=-∑的时域混叠。 结论：在这两个条件均满足的情况下，上述的近似误差将减小到可接受的程度，从而

基于Labview的快速傅里叶变换的实现

一、概述 FFT（Fast Fourier Transformation），即为快速傅氏变换，是离散傅氏变换的快速算法，它是根据离散傅氏变换的奇、偶、虚、实等特性，对离散傅立叶变换的算法进行改进获得的。DFT对于X（K）的每个K值，需要进行4N次实数相乘和（4N-2）次相加，对于N个k值，共需N*N乘和N（4N-2）次实数相加。改进DFT算法，减小它的运算量，利用DFT中的周期性和对称性，使整个DFT的计算变成一系列迭代运算，可大幅度提高运算过程和运算量，这就是FFT的基本思想。虽然它对傅氏变换的理论并没有新的发现，但是对于在计算机系统或者说数字系统中应用离散傅立叶变换，可以说是进了一大步。 虽然FFT大幅度地降低了常规傅立叶变换的运算量，但对于一般的单片机而言，处理FFT运算还是力不从心。主要原冈是FFT计算过程中的蝶形运算是复数运算，要分开实部和虚部分别计算。在这里利用LabVIEW来实现快速傅立叶变化。LabVIEW是一种程序开发环境，类似于BASIC开发环境；但LabVIEW与其它计算机语言相比，有一个特别重要的不同点：其它计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码行；而LabVIEW使用图形化编程语言G编写程序，产生.的程序是框图的形式。像C或BASIC一样，LabVIEW也是通用的编程系统，有一个可完成任何编程任务的庞大的函数库。LabVIEW的函数库包括数据采集、GPIB、串口控制、数据分析、数据显示及数据存储等。LabVIEW也有传统的程序调试工具，如设置断点、以动画方式显示数据及其通过程序(子V1)的结果、单步执行等，便于程序的调试。 二、方案论证 1：单一频率正弦信号的FFT 采用Labview的信号产生模板提供的常用的信号发生器，从中找到正弦信号发生器，使其产生一个正弦信号。将此正弦信号输入到实数FFT.vi中的X端进行快速傅里叶变换处理，使时域信号转换为频域信号。然后经过复数至极坐标转换后将其显示出来。其结构如图1所示。 图1 单一频率正弦信号的FFT结构图

离散傅里叶变换及其快速算法

第五章 离散傅里叶变换及其快速算法 1 离散傅里叶变换(DFT)的推导 (1) 时域抽样： 目的：解决信号的离散化问题。 效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓。 (2) 时域截断： 原因：工程上无法处理时间无限信号。 方法：通过窗函数(一般用矩形窗)对信号进行逐段截取。 结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积。 (3) 时域周期延拓： 目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号。 方法：周期延拓中的搬移通过与)(s nT t -δ的卷积来实现。 表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积。 结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱。 (4) 1。 图1 DFT 推导过程示意图 (5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：∑∑ ∞ -∞=-=π--δ???? ? ????= k N n N kn j s kf f e nT h f H )()()(~ 010/2

(i) )(~f H 是离散函数，仅在离散频率点S NT k T k kf f = ==00处存在冲激，强度为k a ，其余各点为0。 (ii) )(~ f H 是周期函数，周期为s s T NT N T N Nf 1 00= == ，每个周期内有N 个不同的幅值。 (iii) 时域的离散时间间隔(或周期)与频域的周期(或离散间隔)互为倒数。 2 DFT 及IDFT 的定义 (1) DFT 定义：设()s nT h 是连续函数)(t h 的N 个抽样值1,,1,0-=N n ，这N 个点的宽度为 N 的DFT 为：[])1,...,1,0(,)()(1 0/2-=??? ? ? ?==? -=π-∑N k NT k H e nT h nT h DFT s N n N nk j s s N (2) IDFT 定义：设??? ? ??s NT k H 是连续频率函数)(f H 的N 个抽样值1,,1,0-=N k ， 这N 个点的宽度为N 的IDFT 为： ())1,...,1,0(,11 0/21 -==??? ? ? ?=???????????? ???-=π--∑ N k nT h e NT k H N NT k H DFT s N k N nk j s s N (3) N nk j e /2π-称为N 点DFT 的变换核函数，N nk j e /2π称为N 点IDFT 的变换核函数。它们 互为共轭。 (4) 同样的信号，宽度不同的DFT 会有不同的结果。DFT 正逆变换的对应关系是唯一的， 或者说它们是互逆的。 (5) 引入N j N e W /2π-= (i) 用途： (a) 正逆变换的核函数分别可以表示为nk N W 和nk N W -。 (b) 核函数的正交性可以表示为：() )(* 1 0r n N W W kr N N k kn N -δ=∑-= (c) DFT 可以表示为：)1,,1,0(,)(10 -==? ??? ??∑ -=N k W nT h NT k H N n nk N s s (d) IDFT 可以表示为：)1,,1,0(,1 )(1 0-=??? ? ? ?= ∑ -=-N n W NT k H N nT h N k nk N s s (ii) 性质：周期性和对称性： (a) 12==π-j N N e W (b) 12 /-==π-j N N e W (c) r N r N N N r N N W W W W ==+ (d) r N r N N N r N N W W W W -=-=+2/2/ (e) )(1Z m W m N ∈?= (f) ),(/2/2Z n m W e e W n N N n j m N m n j m n m N ∈?===π-π- 3 离散谱的性质 (1) 离散谱定义：称)(Z k NT k H H S k ∈???? ? ?=? 为离散序列)0)((N n nTs h <≤的DFT 离散谱，简称离散谱。 (2) 性质： (i) 周期性：序列的N 点的DFT 离散谱是周期为N 的序列。 (ii) 共扼对称性：如果)0)((N n nTs x <≤为实序列，则其N 点的DFT 关于原点和N /2都

傅里叶变换及其在图像处理中的应用

傅里叶变换及其在数字图像处理中的应用 王家硕 学号：1252015 一、 Fourier 变换 1. 一维连续傅里叶变换 设 f (x)为x 的实变函数，如果f (x)满足下面的狄里赫莱条件： （1）具有有限个间隔点。 （2）具有有限个极点。 （3）绝对可积。 则 f (x )的傅里叶变换（Fourier Transformation ，FT ）定义为: Fourier 正变换：dt e t f t f f F t j ? +∞ ∞ --==ωω)()]([)(； Fourier 逆变换：ωωπ ωd e f t F f t f t j ? ∞ +∞ ---= =)(21)]([)(1 ， 式中：1-= j ，ω 为频域变量。 f (x )与F (w )构成傅里叶变换对，可以证明傅里叶变换对总是存在的。由于f (x )为实函数，则它的傅里叶变换F (w )通常是复函数，于是F (w )可写成 F (w ) = R (w ) + j I (w ) (1) 式中：R (w )和I (w )分别是F (w )的实部和虚部。公式1可表示为指数形式： 式中： F (w ) 为f (x )的傅里叶幅度谱，f (w )为f (x )的相位谱。 2. 二维连续傅里叶变换 如果二维函数f (x , y )是连续可积的，即∞

数字信号处理基于MATLAB的离散傅里叶变换的仿真

数字信号处理设计报告书 课题名称 应用MATLAB 对信号进行频谱分析及 滤波 姓 名 何 晨 学 号 20076089 院、系、部 电气系 专 业 电子信息工程 指导教师 刘鑫淼 2010年 6 月27日 ※※※※※※※※※ ※※ ※ ※ ※※ ※※ ※※※※※ ※※ 2007级数字信号处理 课程设计

应用MATLAB对信号进行频谱分析及滤波 20076089 何晨 一、设计目的

要求学生会用MATLAB语言进行编程，绘出所求波形，并且运用FFT求对连续信号进行分析。 二、设计要求 1、用Matlab产生正弦波，矩形波，并显示各自的时域波形图； 2、进行FFT变换，显示各自频谱图，其中采样率、频率、数据长度自选，要求注明； 3、绘制三种信号的均方根图谱； 4、用IFFT回复信号，并显示恢复的正弦信号时域波形图。 三、系统原理 用FFT对信号作频谱分析是学习数字信号处理的重要内容。经常需要进行频谱分析的信号是模拟信号和时域离散信号。频谱分辨率直接和FFT的变换区间N 有关，因为FFT能够实现频率分辨率是2π/N。 x(n)是一个长度为M的有限长序列，则x(n)的N点离散傅立叶变换为： X(k)=DFT[x(n)]= kn N W N n n x ∑ - = 1 ) ( ,k=0,1,...,N-1 N j e N Wπ2- = 逆变换：x(n) =IDFT[X(k)]= kn N W k X N n N - ∑ - = 1 ) ( 1 ,k=0,1,...,N-1 但FFT是一种比DFT更加快速的一种算法，提高了DFT的运算速率,为数字信号处理技术应用于各种信号处理创造了条件，大大提高了数字信号处理技术的发展。本实验就是采用FFT，IFFT对信号进行谱分析。 四、程序设计 fs=input('please input the fs:');%设定采样频率 N=input('please input the N:');%设定数据长度 t=0:0.001:1; f=100;%设定正弦信号频率 %生成正弦信号

离散系统分析和离散傅里叶变换讲解

第四章 离散系统分析和离散傅里叶变换 4-1概述 在上一章中我们已经介绍了连续时间信号（周期的或非周期的）的傅里叶变换。在第一、二章中介绍了离散信号和离散系统的概念，在这一章中主要讨论离散信号的傅里叶变换。 4-2离散信号的傅里叶变换 时域抽样定理告诉我们，连续时间信号可以由它的样本值恢复出来，即 ]2 ) ([ )()(∑ ∞ -∞ =-Ω= n s nT t Sa nT f t f 当抽样频率s Ω给定时，抽样函数]2 ) ([ nT t Sa s -Ω就确定了，唯一与信号相关的是信号的样本值)(nT f ，换句话说传载)(t f 中信息的是样本值)(nT f 。因此研究连续时间信号)(t f 中的信息，就转 变为研究样本值)(nT f 中的信息。当抽样频率s Ω给定时，T 也就一定了，样本值)(nT f 就可以抽象为序列)(n f ，也就是说离散信号的数学抽象是序列。以后我们就用序列)(n f 表示离散信号（样本值）。 由于序列的变量是整数变量，与连续信号的变量不同，因此对序列的处理方法与连续时间变量的处理方法也必定不同。先来看看序列的傅里叶变换，连续非周期时间信号)(t f 的傅里叶变换为 ? ∞ ∞ -Ω-= =Ωdt e t f t f F t j )(])([)(F ? ∞ ∞ -ΩΩΩ= Ω=d e F F t f t j -)(21 )]([)(1 π F 假定)(n f 是非周期的，仿照连续时间信号的傅里叶变换形式可以定义序列的傅里叶变换： ∑∞ -∞ =-= n jn j e n f e F ω ω )()( （4-1） ?- = π πωω ωπ d e e F n f jn j )(21 )( （4-2） 式中ω为数字角频率。（4-1）式和（4-2）式构成了序列的傅里叶变换对，前者称为序列的傅里叶正变换，后者称为序列的傅里叶逆变换。注意到序列傅里叶正变换公式是个和式，这是因为序列)(n f 的变量是离散的整数，序列的傅里叶逆变换公式是个积分式，由此也说明序列的傅里叶变换是ω的连续函数，也就是说，离散信号的傅里叶变换是频域中连续的函数。此外因

MATLAB离散傅里叶变换及应用资料

MATLAB 离散傅里叶变换及应用 一、DFT 与IDFT 、DFS 、DTFT 的联系 1、 序列的傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT) 在实际中常常使用有限长序列。如果有限长序列信号为x(n)，则该序列的离散傅里叶变换对可以表示为 1N ,0,1,k , W x(n)DFT [x(n)]X(k)1 N 0n nk N -===∑-= (12-1) 1N ,0,1,n , W X(k)N 1IDFT[X(k)]x(n)1N 0 k nk N -===∑-=- (12-2) 已知x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，求x(n)的DFT 和IDFT 。要求： (1)画出序列傅里叶变换对应的|X(k)|和arg ［X(k)］图形。 (2)画出原信号与傅里叶逆变换IDFT ［X(k)］图形进行比较。 程序源代码： xn=[0,1,2,3,4,5,6,7]; N=length(xn); n=0:(N-1);k=0:(N-1); Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).^(n'*k); x=(Xk*exp(j*2*pi/N).^(n'*k))/N; subplot(2,2,1),stem(n,xn); title('x(n)');

subplot(2,2,2),stem(n,abs(x)); title('IDFT|X(k)|'); subplot(2,2,3),stem(k,abs(Xk)); title('|X(k)|'); subplot(2,2,4),stem(k,angle(Xk)); title('arg|X(k)|'); 运行图如下： x(n) IDFT|X (k)| 2 4 6 8 |X (k)| 2 4 6 8 arg|X (k)| 从得到的结果可见，与周期序列不同的是，有限长序列本身是仅有N 点的离散序列，相当于周期序列的主值部分。因此，其频谱也对应序列的主值部分，是含N 点的离散序列。 2、 序列DFT 与周期序列DFS 已知周期序列的主值x(n)＝［0，1，2，3，4，5，6，7］，

离散傅里叶变换的分析与研究 开题报告

本科学生毕业论文（设计）开题报告题目离散傅里叶变换的分析与研究 姓名XX 专业电子信息工程 学号XXXXXXXXXX 学院物理与电子信息学院 指导教师XXX 淮北师范大学教务处制

一、本课题研究现状及可行性分析 离散傅里叶变换,其实质是有限长序列傅立叶变换的有限点离散采样，从而实现了频域离散化，使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行，这样就大大增加了数字信号处理的灵活性。更为重要的是，离散傅里叶变换有多种快速算法，统称为快速傅里叶变换，从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现。所以说，离散傅立叶变换不仅在理论上有重要意义，而且在各种信号的处理中亦起着核心作用。 离散傅里叶变换在数字通信、语音信号处理、图像处理、功率谱估计、系统分析与仿真、雷达信号处理、光学、医学、地震以及数值分析等各个领域都有着广泛的应用。 目前，我们已具备有关的大量参考文献和基本的原始程序，对本论文的开展不存在根本性的问题，我们的研究方法是可行的。 二、本课题研究的关键问题及解决问题的思路 关键问题： 线性卷积与循环卷积之间的关系，及对信号的频谱分析。并在MA TLAB环境下的编程实现。 解决思路： 在理解和掌握线性卷积，循环卷积以及信号频谱分析的基础上，用MA TLAB语言编写线性卷积，循环卷积以及频谱分析的设计程序，最后通过仿真结果验证理论的正确性。 三、论文纲要 1 绪论 1.1 DFT的定义 1.2 DFT与傅里叶变换和Z变换的关系 2 DFT的基本性质 2.1 线性性质 2.2 循环卷积性质 2.3循环卷积定理 3 DFT的应用 3.1 用DFT计算线性卷积 3.2 用DFT对信号进行谱分析 3.3 用DFT进行谱分析的误差问题

离散傅里叶变换

第3章 离散傅里叶变换 在第二章讨论了利用序列的傅里叶变换和z 变换来表示序列和线性时不变系统的 方法，公式分别为：∑∞ -∞ =-= n n z n x z X )()(和∑∞ -∞ =-= n jwn jw e n x e X )()(。对于有限长序列， 也可以用序列的傅里叶变换和z 变换来分析和表示，但还有一种方法更能反映序列的有限长这个特点，即离散傅叶里变换。这就是我们这一章要讨论的问题。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。这一章讨论的问题有： 1、 傅里叶变换的几种可能形式：至今学过很多种傅里叶变换形式，到底之间有什么 不 同，需要分析一下； 2、 周期序列的离散傅里叶级数(DFS)：通常的周期信号都可以表示成傅里叶级数，然 后根据傅里叶级数可以得到傅里叶变换；也就是说傅里叶级数与傅里叶变换之间有一定的关系； 3、 有限长序列的离散傅里叶变换(DFT)：这是我们的重点，我们会对其性质等作分析 讨论； 4、 DFT 的应用：学习了这种傅里叶变换，怎么用？计划作一个实验。 3.1 傅里叶变换的几种形式 傅里叶变换就是建立以时间为自变量的"信号"与以频率为自变量的"频率函数"之间的某种变换关系。都是指在分析如何综合一个信号时，各种不同频率的信号在合成信号时所占的比重。 如连续时间周期信号)()(mT t f t f +=，可以用指数形式的傅里叶级数来表示，可以分解成不同次谐波的叠加，每个谐波都有一个幅值，表示该谐波分量所占的比重。 傅里叶表示形式为：∑∞ -∞ =Ω= n t jn n e F t f )(? - Ω-= ?2 2 )(1T T t jn n dt e t f T F （Fn 离散、衰减、 非周期）。例如周期性矩形脉冲，其频谱为 ,1,0,/) /sin(±==n T n T n T F n πτπττ。画出图 形。

傅里叶变换算法详细介绍

从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、上 前言 第一部分、DFT 第一章、傅立叶变换的由来 第二章、实数形式离散傅立叶变换（Real DFT） 从头到尾彻底理解傅里叶变换算法、下 第三章、复数 第四章、复数形式离散傅立叶变换 /***************************************************************************************************/ 这一片的傅里叶变换算法，讲解透彻，希望对大家会有所帮助。感谢原作者们（July、dznlong）的精心编写。 /**************************************************************************************************/ 前言： ―关于傅立叶变换，无论是书本还是在网上可以很容易找到关于傅立叶变换的描述，但是大都是些故弄玄虚的文章，太过抽象，尽是一些让人看了就望而生畏的公式的罗列，让人很难能够从感性上得到理解‖---dznlong， 那么，到底什么是傅里叶变换算法列?傅里叶变换所涉及到的公式具体有多复杂列? 傅里叶变换（Fourier transform）是一种线性的积分变换。因其基本思想首先由法国学者傅里叶系统地提出，所以以其名字来命名以示纪念。 哦，傅里叶变换原来就是一种变换而已，只是这种变换是从时间转换为频率的变化。这下，你就知道了，傅里叶就是一种变换，一种什么变换列?就是一种从时间到频率的变化或其相互转化。 ok，咱们再来总体了解下傅里叶变换，让各位对其有个总体大概的印象，也顺便看看傅里叶变换所涉及到的公式，究竟有多复杂： 以下就是傅里叶变换的4种变体（摘自，维基百科）