正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理
在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。
3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下：
a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。
证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a；
(2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a；
(3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。
3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。
(1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。
(2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。
证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。
任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。
(2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。
显然F是满射。
任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。
因为F是双射，所以|a| = |H|。■
因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。
1
定理3.4.2的(2)告诉我们，商集G/~H中每个元素（作为G的子集）的基数都是|H|，这样的元素共有|G/~H|个，所以有：
3.4.3 定理如果H是G的子群，则| G | = |H|?|G/~H|。■
这个结果用在有限群上就有：
3.4.4 定理Lagrange定理G是有限群。任给G的子群H，都有|H| | |G|。■
如果|a| = d，则|| = d，所以有：
3.4.5 定理G是有限群。任给a∈G，都有|a| | |G|。■
现在考虑正规的等价关系。
群只有一个运算?，所以群上的正规等价关系是条件是：如果x ~ y, a ~ b，则xa ~ yb。这个条件称为正规性条件。
3.4.6 引理~是群G上的正规等价关系。
(1) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则a-1 ~ b-1。
(2) e是G的子群。
证(1) 显然有a-1~a-1, b-1~b-1，由正规性得a-1ab-1 ~ a-1bb-1，所以b-1 ~ a-1，由对称性得a-1 ~ b-1。
(2)
2.1 e∈e。
2.2 任给a, b∈e，都有a ~ e, b ~ e，由正规性得ab ~ ee= e，所以ab∈e。
2.3 任给a∈e，都有a ~ e，由(1)得a-1 ~ e-1 = e，所以a-1∈e。■
3.4.7 定理G是群，~是G上的正规等价关系，则存在G的子群H，使得~ = ~H。
证取G的子群H =e，证明~ = ~H。
如果a ~ b，则由正规性得ab-1 ~ bb-1 = e，所以ab-1∈e= H，因此a ~H b。
如果a ~H b，则由~H的定义得ab-1∈H =e，所以ab-1~ e，由2
3 正规性ab -1b ~ eb ，所以a ~ b 。■
定理3.4.7说明了G 上任何一个正规等价关系都是由G 的子群生成的，但并不是每个子群都能生成正规等价关系。
3.4.8 定义 正规子群 H 是G 的子群，如果~H 是正规等价关系，则称H 是G 的正规子群，记为H G 。
3.4.9 例 {e }和G 都是G 的正规子群。如果群G 除{e }和G 外没有其它正规子群，则称G 为单群。
3.4.10 例 G 是有限群，H ＜G 。如果|||
|H G = 2，则H G 。特别地，因为|
S ||S |n n = 2，所以A n S n 。 取a ?H =e ，则G /~H ={e ,a }，任给x ∈G ，都有x ~H e 或x ~H a ，因此?(x ~H e ) 当且仅当 x ~H a 。
先证明如果x ~H y ，则x -1 ~H y -1。
设x ~H y 。
如果x -1 ~H e ，则x ~H e ，所以y ~H e ，所以y -1 ~H e ，所以y -1 ~H e ，因此x -1 ~H y -1。
如果x -1 ~H a ，则?(x -1 ~H e )，所以?(x ~H e )，所以?(y ~H e )，所以?(y -1 ~H e )，所以y -1 ~H a ，因此x -1 ~H y -1。
再证~H 是正规的。
设x ~H s ，y ~H t ，则由以上所证得y -1 ~H t -1，所以x ~H y -1 当且仅当 s ~H t -1。
如果xy ~H e ，则x (y -1)-1 ~H e ，所以x ~H y -1，所以s ~H t -1，所以s (t -1)-1 ~H e ，所以st ~H e ，因此xy ~ st 。
如果xy ~H a ，则?(xy ~H e )，所以?(x (y -1)-1 ~H e )，所以?(x ~H y -1)，所以?(s ~H t -1)，所以?(s (t -1)-1 ~H e )，所以?(st ~H e )，所以st ~H a ，因此xy ~ st 。
3.4.11 例 G 是一个群，集合Z(G ) = {a | a ∈G 且任给x ∈G ，都有ax = xa }称为G 的中心，Z(G )是G 的正规子群。
先证Z(G)是G的子群。
任给a, b∈Z(G)，任给x∈G，都有(ab-1)x = a(b-1x) = a(x-1b)-1 = a(bx-1)-1 = a(xb-1) = (ax)b-1= (xa)b-1 = x(ab-1)，所以ab-1∈Z(G)。
再证Z(G)是G的正规子群。
如果x ~Z(G)s，y ~Z(G)t，则由~Z(G)的定义得xs-1, yt-1∈Z(G)，所以xs-1yt-1∈Z(G)，由yt-1∈Z(G)得s-1yt-1 = yt-1s-1，所以xy(st)-1 = xyt-1s-1 = xs-1yt-1∈Z(G)，由~Z(G)的定义得xy ~Z(G)st。■
用H本身的条件来刻画更为方便。
3.4.12 定理H是G的子群。H是G正规子群当且仅当任给a∈G，任给h∈H，都有aha-1∈H。
证设H是G正规子群。
任给a∈G，任给h∈H，都有h ~H e，由正规性得ah ~H ae = a，由~H的定义得aha-1∈H。
设任给a∈G，任给h∈H，aha-1∈H。
如果x~H s，y~H t，则由~H的定义得xs-1∈H且yt-1∈H，由xs-1∈H得s-1x= x-1(xs-1)x∈H，所以s-1xyt-1∈H，因此xy(st)-1= xyt-1s-1 = s(s-1xyt-1)s-1∈H，由~H的定义得xy~H st。■
3.4.13 例同构保持正规子群不变。H1＜G1且H2＜G2，如果H1≌H2且G1≌G2，则H1 G1当且仅当H2 G2。
3.4.14 例交换群的每个子群都是正规子群，因为在交换群中有aha-1 = h。特别地，n Z是Z的正规子群。
3.4.15 例取例3.2.5中的群R*×R，则{1}×R是它的正规子群，而R*×{0}不是它的正规子群。
任给
取<1, 1>∈R*×R，<2, 0>∈R*×{0}，则
<1, 1><2, 0><1, 1>-1 = <2, -1>?R*×{0}。
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正规子群
§3.4 正规子群同态基本定理 在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。 3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下： a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。 证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a； (2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a； (3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。 3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。 (1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。 (2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。 证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。 任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。 (2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。 显然F是满射。 任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。 因为F是双射，所以|a| = |H|。■ 因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。 1
3。2 正规子群与商群
§3.2 正规子群与商群 对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN N a ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。 但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ?∈=。 例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当 a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN N a =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==， (13){(13),(23),(12)}(13)N N ==， (23){(23),(13),(12)}(23)N N ==， 所以3a G S ?∈=，都有aN N a =。 再比如，交换群的子群总满足上述性质。 设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ?∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。 由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S 交换群的子群都是正规子群； 任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。 {}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1 ,N G a G aNa N -??∈? 有； ?,,a G x N ?∈?∈ 都有1 .axa N -∈ 例1 证明：次交错群n A 是次对称群n S 的正规子群：n n A S 。 例2. 设(){|(),||0}n n G G L R A A M R A =∈≠ 且， (){|||1}n N SL R A A R A =∈= ，且， 证明：N G 。 证明：,X G A N ?∈?∈，则 111 ||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。 例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S = 。 证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2 阶偶置换。现44,x K S σ?∈?∈，则1 x σσ -的阶为2且是偶置换， 从而1 4 x K σσ-∈，故44K S 。 由,H K K N H N ≤≤?≤，即子群具有传递性。 但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H N 。 例如，由例3，44K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是 交换群，显然有4 4B K 。但是4 B 不是4S 的正规子群，因为取 4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。
论述全特征子群 特征子群与正规子群之间的关系
本科生代数论文 课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系 班级：2011级应用数学班 姓名：xx 学号：xxxxxxxx 专业：xxxxxxxxxxx 学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx
摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。 一．陪集的引入 定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。 左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH 定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。 即有：c（H∩K）=cH∩cK。 定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。 同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。 例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。 定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。 定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。 推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。 例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ?3。 定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。 二．自同构群的定义 定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的
有限群的几乎次正规子群与可解性
有限群的几乎次正规子群与可解性 摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。 关键词：几乎次正规子群可解群有限群 在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g 中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g 表示h是g的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集； (g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。所用的概念和符号参考文献[4]。 1 基本概念
定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh和n∩h都是g的次正规子群。 注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。但反之不真。事实上，设g=s4为四次对称群， h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g的s-正规子群，也不是g的次正规子群。h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。 为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。 引理1 若群g的子群h在g中几乎次正规， (1)k是g的子群并且h≤k,则h也k是的几乎次正规子群。 (2)t是g的正规子群且t≤h，则h/t在g/t中几乎次正规当且仅当h/t在g/t中几乎次正规。 证明 (1)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h ∩n g。注意到k∩n k，我们有(k∩n)h=nh∩k k且(k∩n)∩h=h ∩n k,故h是k的几乎次正规子群。 (2)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h∩n g。同时注意到nt/t为g/t的次正规子群，我们有(nt/t)∩(h/t)=(n ∩h)t/t g/t且(nt/t)(h/t)=nh/t g/t,即h/t在g/t中几乎次正规。反之若h/t在g/t中几乎次正规，那么存在s/t g/t使得 (s/t)(h/t)=sh/t g/t,且(s/t)∩(h/t)=s∩h/t g/t。显然 s,sh,s∩h都是g中的次正规子群，即h在g中几乎次正规。
全特征子群,特征子群,正规子群的关系
《近世代数》论文 课程：《近世代数》 姓名：XXX 学号：XXXXXXX 专业：XXXXXXXXXXXXX
全特征子群，特征子群，正规子群的关系 内容：1）引入群的定理 2）表述其关系 3）证明并且举例 4）总结 摘要：本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全 特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群正规子群。 一、有关群的定理 定理1设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有 θ（H）∈H， 则称H为群G的一个全特征子群。 定理2设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。 左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH
定理3对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有 ε（N）∈N 的子群N，叫做G的一个特征子群。 定理4如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。 同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。 例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则 有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。 定理5 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。 即有：c（H∩K）=cH∩cK。 定理6设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na, 则称N是群G的一个正规子群。 定理7 设群G的子群H由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H为G 的一个有限子群。 例2：H≦G，且H有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H为G的一个有限子群。 定理8群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。 定理9设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。 推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。