例谈数列中的数学思想
例谈数列中的数学思想
高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正.
1、方程思想在数列中运用
等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。
例1：等差数列
{}n a 的前n 项和为S n
，且S 12
=84，S 20
=460，求S
28。
解：由已知得
???
????=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ，
解得4,151=-=d a .
故10922
)
128(2828128=-+
=d a S .
在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。
例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证：
321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。
分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。
证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(2
32231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数
根
所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=?a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =?=-
因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12
3
1213122
2213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。
评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。
例3、已知),0(,5
1
cos sin πααα∈=
+，则αcot 的值是__________。 分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。
解：由),0(,51cos sin πααα∈=+，知ααcos ,101
,sin 成等差数列 设公差是t ，则t t +=-=10
1cos ,101sin αα 由1)101()101(1cos sin 2
222=++-?=+t t αα,解之得:107±=t
又),0(πα∈,0,0101sin <>-=∴t t α10
7-=∴t 即53cos ,54sin -==αα,所以4
3
cot -=α
评注：也可将51cos sin =+αα同时平方得sin cos αα，进而得到5
7
cos sin =-αα
解方程组求解。
2、函数思想在数列中运用
数列可以看作定义域为正整数集（或其有限子集）的特殊函数。运用函数思想去研究数列，就是要借助于函数的单调性、图像和最值等知识解决相关问题。它不仅使问题简化，而且可以加深对知识的理解。
例4、已知数列}{n a 的通项n a n 21
=
，n S 为其前n 项的和。求证：n S n <
证明：构造函数n n
n f -++++
=21
...32122121)( 则11
21
21...32122121)1(+-++++++
=+n n n n f 两式作差得：n
n n n n n n f n f ++-+=-+-+=-+11
121)1(121)()1(
因为n n n ++>+112，所以n
n n ++<+11
121
即)()1(n f n f <+，则函数)(n f 在其定义域内是减函数
又因为0)1()(,02
1
121)1(<≤∴<-=-=f n f f ，
即021
...32122121<-++++
n n
，也就是n S n < 评注：数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为证明0)( 例5、已知数列}{n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+，在直线01=+-y x （1）求}{n a 的通项公式； （2）求 )2,(1 ...11*21≥∈++++++n N n a n a n a n n 的最小值。 分析:(1)由等差数列的通项是关于n 的一次函数,易判断}{n a 是等差数列;又一次函数的斜 率就是其公差,易得通项公式; (2)数列是特殊的函数,求数列最值时往往从研究其对应的函数入手,打开突破口. 解：（1）由题设11=a ，11=-+n n a a ，即n n a n =?-+=1)1(1 （2）构造函数n n n n n f ++++++= 1...2111)( 则) 1(21 ...3121)1(++ ++++=+n n n n f 于是11111 (1()021******* f n f n n n n n n +-= +-=->+++++ )()1(n f n f >+∴，即函数N n n n f y ∈≥=,2),(是增函数 故)(n f 的最小值是12 7221211)2(=+++=f 评注: 数列是特殊的函数，构造函数后，问题转化为判断函数的单调性，从而得到最值。这种看似“无中生有”的想法，决非一时的突发奇想，它靠的是扎实的基本功和对事物敏锐的洞察力，只要我们平时注重知识的联系，善于将一个问题移植于一种崭新的情景中去研究，就会灵感顿生，从而创造性解决问题。 例6、已知等差数列}{n a 的前 m 项和为30，前2m 项和为100，则它的前3m 项和为（）A 、130 B 、170 C 、210 D 、260 分析:等差数列的前n 项和n S = 21()22d d n a n +-,可以看成关于 n 的二次式函数,则n S n 可以看成关于n 的一次式函数. 一次函数图像是一条直线,那么三个点 30(, )m m 100 (2,)2m m 3(3,)3m S m m 就在同一条直线y an b =+上,利用斜率相等,得它的前3m 项和为210.选(C). 例7、递增数列}{n a ，对任意正整数n ，2n a n n λ=+恒成立，求λ. 分析：2n a n n λ=+看成函数2()f x x x λ=+，它的定义域是{} 1,x x x N ≥∈，要使函数 2()f x x x λ=+为递增函数，即单调增区间为[)1,+∞,抛物线对称轴2 x λ =- 至少在1x =的左 侧，不过由于函数为离散函数，对称轴2 x λ =-在 1.5x =的左侧也可以，因为B 点可以比A 点 高。于是，3 22 λ - < ，得 3.λ>- 例8、若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 的首项均为1，且公差0d >，公比1q >，则集合 *{|},n n n a b n N =∈的元素个数最多是（ ）个 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 解析：数列是特殊的函数，等差数列{}n a 是直线上的点 且直线的斜率是公差，由0d > 等比数列{}n b 例9、已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，其公比q 1111a b =，则（ ） A 、66a b = B 、66a b > C 、66a b < D 、6666a b a b ><或 解析：利用指数函数是凹函数的特性，可知选B ；可推广至：(1,2,3......)i i a b i >= 例10、在等差数列{}n a 中，n S 是前n 项的和，公差0d ≠。 （1）若,()n m a m a n m n ==≠，求m n a +； （2）若()m n S S m n =≠，求m n S +。 解析：（1）由1()n a dn a d =+-知n a 是关于n 的一次式 则三点(,),(,),(,)m n m n m a n a m n a ++三点共线，故任意两点连线斜率相等 即 ()m n m n m a a a a m n m n m +--=+--，解得0m n a += （2）由211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+- 可知:n S 是关于n 的二次式，且无常数项 故可构造函数21()()22 d d f x x a x =+- 由()m n S S m n =≠得()()f m f n =则2 m n x +=因此()(0)0f m n f +==，即0m n S += 另解：由211(1)()222n n n d d S na d n a n -=+ =+-得122 n S d d n a n =+- 则n S n 大关于n 的一次式，所以三点(,),(,),(,)m n m n S S S m n m n m n m n +++共线 利用任意两点连线斜率相等易求得0m n S +=。 例11、已知等差数列{}n a 的前n 项和是n S ，满足675S S S >>，下列结论不正确的是（ ） A 、0d < B 、110S > C 、120S < D 、130S < 解析：由675S S S >>可知760,0a a <>，故0d <； 由n S 有最大值，且与n S 相对应的二次函数的对称轴在区间1113 (,)22 内 又00S =，所以130S >，故选D 。 例12、在等差数列{}n a 中，59750a a +=，且95a a >，则使数列前n 项和是n S 取最小值的n 等于_______。 解析：传统解法是13170a d +=得117 3()03 a d +=，再由95a a >知0d > 所以670,0a a ><，即6n = 但若注意到等差数列中n a 是一次函数，则由一次函数的线性特征 1212()()...()...()n n f x f x f x x x x f n n ++++++= 可知59750a a +=即755912 120a ?+?= 所以203 0a =，又670,0a a ><得6n = 例13、已知*111 1...()23n S n N n =+ +++∈，定义211()n n f n S S ++=-，试确定m 的取值范围，使得对于大于1的自然数n ，不等式2 2111()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->--恒成立。 解：构造关于n 的函数1111()...23221f n n n n n =+++++++ 若2 2111()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->--恒成立，只需 22min 111 ()[log (1)][log ]20 m m f n m m ->-- 即可 而易证(1)()0f n f n +->即()f n 是增函数 所以min 9 ()(2)20 f n f == 从而221911[log (1)][log ]2020m m m m ->-- 2m m <<>或2 评注:不等式恒成立的常见问题是min ()()f x a f x a ≥?≥恒成立，max ()()f x a f x a ≤?≤恒成立，()()0f x g x >?>min 恒成立F(x)=[f(x)-g(x)] 或min max ()()()()f x g x f x g x >?>恒成立，可见解不等式恒成立问题的关键是求函数的最 值。 例14：已知数列{}n a 的通项99 98--= n n a n ，比较1110 a a 、的大小。 通常做法是先求出1110 a a 、，然后作商与1比较或作差判断符号。但无论作商还是作差， 都不好做。这时正是渗透数学思想方法的良好契机，将99 98--=n n a n 看成是关于正整数集的 函数，如果能判断该函数的增减性，则可判断1110 a a 、的大小。 由99 98 991999998999998--+=-+--=--= n n n n n a n 知，当n≥10 n∈N + 时，数列 {}n a 为递减数列，所以1110a a ＞. 函数思想在数列中的运用不是学生容易想到的，学生往往对运用函数思想解决问题有一种可遇不可求的感觉，正是这种感觉说明学生的知识结构在函数应用方面的欠缺，问题的关键在于转化意识。由数列情景转变为函数情景，是运用函数思想解决问题的意识在起作用。 3、分类讨论思想在数列中的运用 分类讨论思想是根据问题的实际需要按一定标准将所研究的对象分成若干种不同的情况，把复杂的问题分解成若干个小问题，并将若干个小问题逐一解决。分类讨论使问题变得简单、清晰、明朗。 例15：设等比数列{} n a 的前n 项的和为S n ，而数列 ? ?? ???n a 1的前n 项的和为T n ，求证： S n =n a a 1T n . 证明：设等比数列 {}n a 的公比为q 。 ∵ q a a a a n n n n 1 11 11==++， ∴数列? ?????n a 1是首项为11 a ，公比为 q 1 的等比数列。 （1）当q=1时，S n =na 1, 1 a n T n = 。 ∴n n n S na a n a a T a a ==?=11 111 （2）当q≠1时，q q a S n n --=1) 1(1， q q q a q q a T n n n n --?=--=-11111)11(11 11， ∴n n n n n n n S q q a q q q a q a a T a a =--=--???=--1)1(11111 11 111。 由(1) (2)，所以n n n T a a S 1=。 例16.（05’19）设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。 （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设122 3 ++- =n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。 解:设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和),2,1( 0 =>n S n 。 （Ⅰ）求q 的取值范围； （Ⅱ）设122 3 ++- =n n n a a b ，记{}n b 的前n 项和为n T ，试比较n S 与n T 的大小。 解：（Ⅰ）因为}{n a 是等比数列，.0,0,011≠>=>q S a S n 可得 当;0,11>==na S q n 时 1(1)11,0,0,(1,2,)11n n n a q q q S n q q --≠=>>=-- 当时即 上式等价于不等式组：),2,1(,0 1, 01 =???<-<-n q q n ① 或),2,1(,0 1, 01 =???>->-n q q n ② 解①式得q>1；解②，由于n 可为奇数、可为偶数，得－1 综上，q 的取值范围是).,0()0,1(+∞?- （Ⅱ）由2132n a n b a a ++=- 得.)23 (),23(22n n n n S q q T q q a b -=-= 于是)123(2--=-q q S S T n n n ).2)(2 1 (-+=q q S n 又∵n S >0且－1 当1 12 q -<<-或2q >时0n n T S ->即n n T S > 当1 22 q -<<且q ≠0时，0n n T S -<即n n T S < 当1 2 q =-或q =2时，0n n T S -=即n n T S = 分类讨论，前提是要讨论的对象有着多种不同的情况，这些不同的情况有的显露在算式之中，有的隐含在概念之内。在解决问题当中，必须概念清晰，必须对问题的本质有深刻的理解，才会想到需要分类讨论，才能准确确定要讨论的对象，并按情况需要正确地进行讨论。分类讨论思想是数学学科特点之一，在运用数学方法解决实际问题当中有着广泛的应用，分类讨论在中学教学中经常出现，具有自然而来，层次分明的特征。 4、整体思想在数列中的运用 整体思想是从问题的整体结构出发，实施整体变形、整体运算的思想。整体思想的灵活运用，通常是将问题从多元向一元简化，使问题的解决方式变得明朗、简洁。 例17：数列 {}n a 为正项等比数列，它的前n 项和为80，其中数值最大的项为54，前2n 项的和为6560，求此数列的首项n a 和公比q 。 解：由已知有n n S S 22>，故q≠1。依题意，有 ()()??? ? ???=--=--2,65601)1(1,801) 1(21 1q q a q q a n n ()() 12得, 82112=--n n q q ∴q n =81. 由题意知q ＞1，所以前n 项中第n 项最大，即54=n a . 将q n =81代入11-=n n q a a ，得18154a q =. (3) 将q n =81代入(1)得11-=q a . (4) 联立(3)、（4），解得.3,21==q a 整体思想出现在问题解决当中，具有一气呵成、豁然开朗的特质，呈现结构明快、巧妙生成、简洁流畅的思维特征。整体思想的运用基于对问题的敏锐观察力，基于缜密的分析思考， 往往在经过观察分析过后迸发出的灵感。在问题解决中懂得运用整体思想，一般依赖于解题经验的积累，其运用场合是由多元问题转化为一元问题。 5、转化与化归思想在数列中的运用 转化与化归思想是将陌生、复杂的问题转化为熟悉、简单的问题的一种数学思想方法。数列中有很多复杂的问题都可以通过转化与化归获得解决。 例18：已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，若)2(1 2,111 1 ≥+= =--n S S S a n n n ，求n a . 解：由1211+=--n n n S S S ，得 1 111 2121---+=+=n n n n S S S S 。 即 2111 =--n n S S ∴数列??? ???n S 1是首项为1，公差为2的等差数列。 ∴ 12)1(211 -=-+=n n S n 。 ∴121-=n S n ，)2(3 21 1≥-= -n n S n 则)2() 32)(12(2 1 ≥---=-=-n n n S S a n n n 即?? ? ??≥---==).2() 32)(12(2 ),1(1n n n n a n 例19.（06江西）已知数列{}n a 满足:*11133 ,(2,)221 n n n na a a n n N a n --==≥∈+-且. 求数列{}n a 的通项公式; 解：两边同时取倒数得：112133n n n a n na --=+，即1112(2)33 n n n n n a a --=?+≥ 设 111 ()(2)3n n n n n a a λλ--+=+≥， 则1112(2)33 n n n n n a a λ--=?-≥，故1λ=- 所以{1}n n a -是公比为13的等比数列 则有1111()33 n n n a --=-?即11()3 n n n a = - 评注：引入新数列是“无中生有”的策略，也是解数学问题常用的想法。 例20.（05‘湖北）已知不等式 n n n 其中],[log 2 1 131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(1 1 1=+≤ >=--n a n na a b b a n n n 求证 ,5,4,3,] [log 222=+< n n b b a n 分析：本题“穿着”不等式的“光彩外衣”，给我们以假象，但只要用“慧眼”认真观察，就会把问题看得“清清楚楚、明明白白、真真切切”喔！原来是数列求通项，继而奇妙的思路就会从心底升腾。 证明：∵当,1 11,0,211111n a na a n a a n na a n n n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时 即 ,1 111n a a n n ≥-- 于是有 .1 11,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得 .1 3121111n a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 21 1121n a a n >- . ] [log 22. 2][log 2][log 21 11,2221n b b a b n b n b a b a n n +<+=+>∴= 评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项相消求和得证. 例21.设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n ∈-=--． 证明:对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[5 1 a a n n n n n n ?-+?-+=-； 分析：由于欲证明的式子与n a 有关，因此可以把证明问题转化为计算问题，即求出通项n a 。由已知得 1132--+-=n n n a a ，对于这种类型，一种变形方向是把1-n a 的系数化为1，另一种是把式中的最后一项化成与n 无关的数或式子，从而转化为新的等差或等比数列来解。 证法1：两边同除以（-2）n 得 n n n n n a a )2 3(31)2()2(1 1 -?+ -= --- 令n n n a b ) 2(-=,则n n n b b )23(311-?=--，差后等比（累加） ∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=--- =2 )23()23()23(31121-+??????-++-+--a n n =)21(21) 2 3(1] )23(1[)23(31012a n -------?-=0]1)23[(51a n +--= ∴==-= n n n b a )2(012)1(]2)1(3[5 1 a n n n n n ?-+?-+- 证法2：由)(2311N n a a n n n ∈-=--得 11 332313 --?-=n n n n a a 设n n n a b 3 =，则b 31321+-=-n n b . 构造：)51 (32511--=--n n b b , 所以???? ?? -51n b 是以)51(325101a b -=-为首项，32-为公比的等比数列 则10)32)(51(3251---=-n n a b =(n n a )32()1)(5110--- 即：51)32()1)(51(3 10+--==-n n n n n a b a 故 012)1(]2)1(3[5 1 a a n n n n n n ?-+?-+=- 证法3：用待定系数法构造)3(2311--?+-=?+n n n n a a λλ 即:11352--?--=n n n a a λ 比较系数得：15=-λ,所以 =λ5 1- 所以)35 1 (235111--?--=?- n n n n a a , 则???? ??-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5 3 21(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即 012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ?-+?-+=-. 例22、设数列{}n a 的前n 项和1412 2,1,2,3,.333 n n n S a n +=-?+= 求首项1a 与通项n a ； 解：（I ） 2111412 2333a S a ==-?+ ，解得：12a = 当2n ≥时，111412412 2(2)333333 n n n n n n n a S S a a +--=-= -?+--?+ 即142n n n a a -=+ 设1124(2)n n n n a a λλ--+?=+即142n n n a a -=+，比较系数得1λ= 所以数列{2}n n a +是公比是4，首项为4的等比数列 则1244n n n a -+=?，即42n n n a =- 从条件出发，进行合理的式子变形是转化的必经之路，变形当中体现着对问题的探索，观察联想是其中重要的环节，化简原则在正确变形当中起到极其重要的作用。 数学思想方法在教学中的渗透讲求的是情景与意识、时机与把握、转化与运用。在解决数列问题中，数学思想方法的运用比比皆是，但离开了扎实的知识基础，熟练的基本技能，数学思想方法的运用也就成了空中楼阁。 例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用_ 数学思想方法是对数学内容及其所使用的方法的本质认识。小学数学解题中涉及许多数学思想方法，重视这些数学思想方法的运用，能启迪学生的思维，培养学生的数学素养，使学生学会数学地思考问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。现举几例加以说明。 一、转化的思想方法 G·波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。”转化的思想方法就是在解决数学问题时，把那些陌生或难以解决的问题，换一个角度去看、换一种方式去想、换一种叙述去讲、换一种观点去处理，使得陌生问题熟悉化、多元问题一元化、复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，朝着有利于解决问题的方向不断变更，从而使原问题获得解决。 例1 一辆汽车从甲地开往乙地，前两小时行了全程的，第三小时行了80千米，这时已行的路程与剩下路程的比是 二、对应的思想方法 对应是两个集合元素之间存在着一种对应关系，即未知问题中所描述的对象，在已知问题中都有与之一一对应的内容。小学数学中有元素与元素、数与算式、量与量、量与率等多种对应关系，解题时可以根据这种一一对应的关系，由已知问题去探索解决未知问题。 例3 一辆汽车，行驶75千米节约汽油5千克。照这样计算，再行驶525千米，一共可节约汽油多少千克?(用比例解) 三、方程的思想方法 方程的思想方法是从问题中已知量和未知量之间的数量关系入手，运用数学的符号语言在已知量与未知量之间建立一个等式(方程)，然后通过解方程来使问题获解。在小学数学解题中，有些问题逆向思考起来思路不够顺畅，有时甚至不容易求解。这时，可以抓住题中数量之间的等量关系，用方程的思想方法来解决，会收到意想不到的效果。 例5 徒弟加工零件45个，比师傅加工零件个数的多5个。师傅加工零件多少个? 例6 打印一部书稿，王师傅单独工作15天可以完成，李师傅单独工作20天可以完成。两人合作6天后，剩下的由李师傅继续完成，李师傅还要工作几天才能完成? 四、类比的思想方法 G·波里亚说过：“类比似乎在一切数学发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。”类比思想方法就是根据两个或两类对象的相同或相似方面来推断它们在其他方面也相同或相似，是一种从特殊到特殊的思想方法，它能够解决一些表面上看似复杂 中小学数学很重要的20种常见思想方法 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数;按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 例谈数列中的数学思想 高中数学常见的数学思想有:方程思想、函数思想、分类讨论思想、化归与转化、整体思想等；在高中数学教学过程中，加强数学思想方法的渗透，培养学生的思维能力，显得非常重要。下面通过几道例题浅谈数列解题过程中渗透的数学思想,不当之处,敬请批评指正. 1、方程思想在数列中运用 等差（比）数列一般涉及五个基本量：n n S a n q d a ,,),,1（或.于是“知三求二”成为等差（比）数列中的基本问题，可运用方程思想，通过解方程（组）求解。 例1：等差数列 {}n a 的前n 项和为S n ，且S 12 =84，S 20 =460，求S 28。 解：由已知得 ??? ????=-+=-+4602)112(2020842)112(121211d a d a ， 解得4,151=-=d a . 故10922 ) 128(2828128=-+ =d a S . 在解决问题中利用方程揭示问题隐含的等量关系，从而显露设问与条件的联系。等差（比）数列基本量之间的关系决定了方程思想在等差（比）数列问题中得以广泛运用。 例2、实数4321,,,a a a a 都不为0，且0)(2)(23224312242221=+++-+a a a a a a a a a ，求证： 321,,a a a 成等比数列，且4a 为其公比。 分析：题中出现了四个变量，切不可乱了阵脚眉毛胡子一把抓，要抓住一个进行研究，观察后发现以4a 为主研究简单。 证明：由题设知，4a 是一元二次方程0)(2)(2 32231222221=+++-+a a x a a a x a a 的实数 根 所以0)(4))((4)(4231222322222123122≥--=++-+=?a a a a a a a a a a 所以312231220a a a a a a =?=- 因为)4,3,2,1(0=≠i a i 所以321,,a a a 成等比数列 由求根公式得：12 3 1213122 2213124)()(2)(2a a a a a a a a a a a a a a =++=++= 所以4a 为其公比。 评注：对已知等式进行整体观察，发现4a 是某一元二次方程的根，从而得出巧妙的解答，颇具代表性。 例3、已知),0(,5 1 cos sin πααα∈= +，则αcot 的值是__________。 分析：初观之，易两边同时平方---比较复杂；细察之，联想等差数列的性质，构造等差中项求解---非常简洁。 《小学数学与数学思想方法》读后感 读完《小学数学与数学思想方法》这本书，对数学思想方法有了更系统和更全面的认识。知道了什么是数学思想，什么是数学方法，知道了数学思想与数学方法的内在联系与区别。知道数学思想是数学方法进一步提炼和概括，数学思想的抽象概括程度要高一些，而数学方法的操作性更强一些。人们实现数学思想往往要靠一定的数学方法，而人们选择的数学方法，又要以一定的数学思想为依据。由此可见，数学思想方法是数学的灵魂，那么，要想学好数学，用好数学，就要深入到数学的“灵魂深处”。 数学思想方法如此严重，从这本书中还知道了教师如何进行数学思想方法的教学： 重视思想方法目标的落实。 教师在备课撰写教学设计时，把数学思想方法作为与知识技能同等地位的目标呈现出来。而不是可有可无或者总是进行渗透，并利用动词进行描述和评价，使数学思想方法的教学目标落到实处。 2.在知识形成过程中体现数学思想方法。 现在的数学课堂教学中，很多教师精讲多练，急于把概念、公式、法则等知识传授给学生，然后按照考试的要 求进行训练，轻视了知识的形成过程。这样，既浪费了时间，又没有真正培养学生的思维能力、思想方法和学习兴趣，导致很多学生害怕数学。我曾经在讲《除法的初步认识—平均分》时，通过让学生动手操作引导他们经历知识的形成过程。读过这本书才知道自己忽略了数学思想方法的渗透，在这个教学过程中，教师可以引导学生感受从直观操作的详尽情境中抽象出除法概念的抽象思想，认识用除法符号表达的具有简洁性的符号化思想，体会用实物、图形帮助理解除法的具有直观性的数形结合思想，知道除法是一种严重的模型思想，体会在除法中商随着被除数、除数的变化而变化的函数思想。 数列中包含的数学文化 数学家的故事———数学王子高斯 高斯(Carl Fried rich Gauss，1777～1855)德国数学家、天文学家和物理学家，被誉为历史上伟大的数学家之一，和阿基米德、牛顿并列，同享盛名。 1777年4月30日生于不伦瑞克的一个工匠家庭，1855年2月23日卒于格丁根。幼时家境贫困，但聪敏异常，受一贵族资助才进学校受教育。1795～1798年在格丁根大学学习1798年转入黑尔姆施泰特大学，翌年因证明代数基本定理获博士学位。从1807年起担任格丁根大学教授兼格丁根天文台台长直至逝世。高斯是近代数学奠基者之一，在历史上影响之大，可以和阿基米德、牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之称。高斯的成就遍及数学的各个领域，在数论、非欧几何、微分几何、超几何级数、复变函数论以及椭圆函数论等方面均有开创性贡献。他十分注重数学的应用，并且在对天文学、大地测量学和磁学的研究中也偏重于用数学方法进行研究。 幼年时，他在数学方面就显示出了非凡的才华。3岁能纠正父亲计算中的错误；10岁便独立发现了算术级数的求和公式；11岁发现了二项式定理。少年高斯的聪颖早慧，得到了很有名望的布瑞克公爵的垂青与资助，使他得以不断深造。19岁的高斯在进大学不久，就发明了只用圆规和直尺作出正17边形的方法，解决了两千年来悬而未决的几何难题。1801年，他发表的《算术研究》，阐述了数论和 高等代数的某些问题。他对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大贡献。作为一个物理学家，他与威廉.韦伯合作研究电磁学，并发明了电极。为了进行实验，高斯还发明了双线磁力计，这是他对电磁学问题研究的一个很有实际意义的成果。高斯30岁时担任了德国著名高等学府天文台台长，并一直在天文台工作到逝世。他平生还喜欢文学和语言学，懂得十几门外语。他一生共发表323篇（种）著作，提出了404项科学创见，完成了4项重要发明。 高斯去世后，人们在他出生的城市竖起了他的雕像。为了纪念他发现做出17边形的方法，雕像的底座修成17边形。世人公认他是一位和牛顿、阿基米德、欧拉齐名的数学家。他八岁时进入乡村小学读书。教数学的老师是一个从城里来的人，觉得在一个穷乡僻壤教书真是大材小用。而他又有些偏见：穷人的孩子天生都是笨蛋，教这些蠢笨的孩子念书不必认真。 这一天正是数学教师情绪低落的一天。同学们看到老师那抑郁的脸孔，心里畏缩起来。“你们今天替我算从1加2加3一直到100的和。谁算不出来就罚他不能回家吃午饭。”老师讲了这句话后就一言不发。教室里的小朋友们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一个数后就擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸孔涨红了，有些手心、额上渗出了汗来。 还不到半个小时，小高斯拿起了他的石板走上前去。“ 2019年高考数学数列题型篇 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 知识整合 1.在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关问题; 2.在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基 本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力， 语文课本中的文章都是精选的比较优秀的文章,还有不少名家名篇。如果有选择循序渐进地让学生背诵一些优秀篇目、精彩段落,对提高学生的水平会大有裨益。现在,不少语文教师在分析课文时,把文章解体的支离破碎,总在文章的技巧方面下功夫。结果教师费劲,学生头疼。分析完之后,学生收效甚微,没过几天便忘的一干二净。造成这种事倍功半的尴尬局面的关键就是对文章读的不熟。常言道“书读百遍,其义自见”,如果有目的、有计划地引导学生反复阅读课文,或细读、默读、跳读,或听读、范读、轮读、分角色朗读,学生便可以在读中自然领悟文章的思想内容和写作技巧,可以在读中自然加强语感,增强语言的感受力。久而久之,这种思想内容、写作技巧和语感就会自然渗透到学生的语言意识之中,就会在写作中自觉不自觉地加以运用、创造和发展。进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 一般说来，“教师”概念之形成经历了十分漫长的历史。杨士勋（唐初学者，四门博士）《春秋谷梁传疏》曰：“师者教人以不及，故谓师为师资也”。这儿的“师资”，其实就是先秦而后历代对教师的别称之一。《韩非子》也有云：“今有不才之子……师长教之弗为变”其“师长”当然也指教师。这儿的“师资”和“师长”可称为“教师”概念的雏形，但仍说不上是名副其实的“教师”，因为“教师”必须要有明确的传授知识的对象和本身明确的职责。 数学文化——数列（27题） 1、“竹九节”问题 【编号第1题】 1．【2015秋?九江校级期末】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共5升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为（） A．B．C．D． 【考点】等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 【分析】由题意可得等差数列的首项和公差，由通项公式可得． 【解析】：由题意可得每节的容积自上而下构成9项等差数列， 且a1+a2+a3+a4=5，a9+a8+a7=4，设公差为d， 则a1+a2+a3+a4=4a1+6d=5，a9+a8+a7=3a1+21d=4， 两式联立可得a1=，d=， 所以第5节的容积a5=a1+4d=． 故选：B 【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式，属基础题． 【编号第2题】 2．【2011?湖北】《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（）A．1升B．升C．升D．升 【考点】等差数列的性质． 【分析】设出竹子自上而下各节的容积且为等差数列，根据上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升列出关于首项和公差的方程，联立即可求出首项和公差，根据求出的首项和公差，利用等差数列的通项公式即可求出第5节的容积． 【解析】：设竹子自上而下各节的容积分别为：a1，a2，…，a9，且为等差数列， 根据题意得：a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4， 即4a1+6d=3①，3a1+21d=4②，②×4﹣①×3得：66d=7，解得d=， 把d=代入①得：a1=， 则a5=+（5﹣1）=． 故选B 【点评】此题考查学生掌握等差数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题． 2、“女子织布”问题 蕴含数列中的数学思想方法 山东省五莲一中 王振香 数列是高中数学的重要内容之一，与其它数学知识有着广泛、密切而又深入的交汇，这类数列综合问题往往蕴含着许多重要的数学思想与方法（如函数思想、方程思想、分类讨论、化归与转化思想、归纳猜想等），在分析与处理解决时，若能灵活地以这些数学思想与方法作思路指导，则会取得事半功倍的效果. 一 函数思想 由于数列是以正整数为自变量的一种特殊离散型函数，则我们若能有意识地多从函数的角度去看待数列，在这种整体的、动态的观点之下加强数列与函数的联系，利用函数的图象和性质去解决数列的一系列问题，就会使数列的一些性质显现得更加清楚，使某些问题得到更好地解决. 例1．已知数列{}n a 是等差数列，若10=n S ，502=n S ，求n S 3. 分析：因{}n a 是等差数列，则知n S n ?????? 也为等差数列，由此可用一次函数的方法解决问题. 解：)1(2)1(2111-+=-+=n d a n d n n na n S n ，故? ?????n S n 为等差数列， 其通项为一次函数，将之设为b ax x f +=)(，则点),(n S n n 、)2,2(2n S n n 在其图象上，n b an 10=+∴，5022a n b n ?+=，则解得155,an b n n ==-. 故n n n S n n a n f n 5315353)3(3-?==-?=，解之得1203=n S . 评注：n S n 是关于n 的一次函数，其图象是直线上的离散点.上述解法是利用待定系数法建立一次函数来求解n S 3.当然更可利用结论“232,,n n n n n S S S S S --成等差数列”这个等差数列的重要结论而简单解决本题. 二 方程（组）思想 数列与以前所学过的数、式、方程、函数、不等式、简易逻辑等许多知识都有广泛的联系，方程（组）思想在学习过程中得以较为充分的体现，许多数列习题都可通过列出方程或方程 高考专题突破三 高考中的数列问题 等差数列、等比数列基本量的运算 命题点1 数列与数学文化 例1 (1)(2019·乐山模拟)《张丘建算经》中女子织布问题为：某女子善于织布，一天比一天织得快，且从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，已知第一天织5尺布，一月(按30天计)共织390尺布，则从第2天起每天比前一天多织多少尺布？( ) A.1631 B.1629 C.12 D.815 答案 B 解析 由题意可知每天织布的多少构成等差数列，其中第一天为首项a 1＝5，一月按30天计 可得S 30＝390，从第2天起每天比前一天多织的即为公差d .又S 30＝30×5＋30×292 ×d ＝390，解得d ＝1629 .故选B. (2)(2020·北京市房山区模拟)《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍，若蒲、莞长度相等，则所需时间为(结果精确到0.1，参考数据： lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)( ) A ．2.2天 B ．2.4天 C ．2.6天 D ．2.8天 答案 C 解析 设蒲的长度组成等比数列{a n }，其a 1＝3，公比为12，其前n 项和为A n ，则A n ＝3????1－12n 1－12 ＝6??? ?1－12n . 莞的长度组成等比数列{b n }，其b 1＝1，公比为2，其前n 项和为B n .则B n ＝2n －12－1 ＝2n －1， 由题意可得，6??? ?1－12n ＝2n －1， 整理得，2n ＋62n ＝7，解得2n ＝6或2n ＝1(舍去)． ∴n ＝log 26＝lg 6lg 2＝1＋lg 3lg 2 ≈2.6. 数学思想方法在小学数学教学中的渗透 摘要：在小学数学教学实践中注重数学思想方法的渗透有助于帮助学生培养数学思维，提高运用数学基础知识解决问题的能力。本文试图结合小学教学中具体实例，对转化、分类以及极限三种思想方法在小学教学实践中渗透做出探讨。 关键词：数学思想方法；小学教学；渗透 一、问题的提出 数学思想方法是从某些具体数学认识过程中提炼和概括，在后继的认识活动中被反复证实其正确性，带有一般意义和相对稳定的特征。它揭示了数学发展中普遍的规律，对数学的发展起着指引方向的作用，它直接支配着数学的实践活动，是数学的灵魂。在小学数学的教学实践中，数学思想方法是以具体数学内容为载体，又高于具体数学内容的一种指导思想和普遍适用的方法。它能使学生领悟数学的真谛，学会数学地思考和处理问题，是学习知识、发展智力和培养能力相结合的法宝，是学生未来发展的重要基础。本文试图结合小学数学教学实践，对数学思想方法在小学数学教学中的渗透做出一定的探讨。 二、数学思想方法在小学数学教学中渗透的应用分析 （一）转化思想方法在小学教学中的渗透 转化思想是把一个实际问题通过某种转化、归结为一个数学问题，把一个较复杂的问题转化、归结为一个较简单的问题。也就是说，转化方法的基本思想是在解决数学问题时，将待解决的问题甲，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或者比较容易解决的问题乙，然后通过问题乙还原解决复杂的问题甲。将有待解决或未解决的问题，转化为在已有知识的范围内可解决的问题，是解决数学问题的基本思路和途径之一，是一种重要的数学思想方法。转化是解决数学问题常用的思想方法。小学数学解题中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的问题时，可通过转化，使生疏的问题熟悉化、抽象的问题具体化、复杂的问题简单化，从而顺利解决问题。 在小学的教学内容中，很多知识点的教学都可以渗透转化的思想。如在五年级上册的《小数乘整数》教学中，教学的基准点就可以定位让学生通过“把小数乘整数”转化为“整数乘整数”，利用知识的迁移作用帮助学生掌握“小数乘整数”的运算方法，不仅使学生理解了算理感受了算法，同时也感受了“转化”的策略对于解决新问题的作用。再比如分数除法的教学，让学生知道分数除法应转化为分数乘法进行计算；按比例分配应用题转化为分数应用题解答；在三角形 浅谈小学数学中蕴含的基本思想方法 《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》把“双基”改为“四基”，即把原来的“基础知识”与“基本技能”修改为“基础知识”、“基本技能”、“基本思想”和“基本活动经验”。数学的精髓在于数学基本思想，它并没有像数学知识那样被清清楚楚地显现在课本里，而是隐含在教材中，需要教师去挖掘、去提炼，并贯穿到教学过程中。小学数学中蕴含着哪些最基本的数学思想方法呢？笔者从长期的教学实践中总结出有如下方面最基本的思想方法：观察比较思想方法、分类的思想方法、抽象和概括思想方法、数形结合思想方法、化归思想方法等。 标签：小学数学；基本；思想方法 《全日制义务教育数学课程标准（2011版）》（以下简称《标准》）总目标明确要求：通过义务教育阶段的数学学习，学生能够获得适应社会生活和进一步发展所必须的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。《标准》把“双基”改为“四基”，即“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”。以往，我们通常把概念、性质、法则、公式、数量关系以及解题方法等作为数学的组成部分。当然，没有这些组成部分，数学就不存在了。但是，只有这些组成部分，也不是本质意义上的数学，数学至少还包含由这些内容所反映出来的思想方法。也可以说数学的精髓在于其基本思想，在教学活动中“基本思想”应是主线，但是数学思想不像数学知识那样被清清楚楚地显现在课本里，而是隐含在教材中，需要教师去挖掘、去提炼，并贯穿到教学过程中。 所谓的数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，是从某些具体数学认识过程中提炼出的一些观点，它揭示了数学发展中的普遍规律，直接支配着数学的实践活动，这是对数学规律的理性认识。所谓的数学方法，就是解决数学问题的方法，也是解决数学问题的策略。数学思想是宏观的，它更具有普遍的指导意义。而数学方法是微观的，它是解决数学问题的直接而具体的手段。一般来说，前者给出了解决问题的方向，后者给出了解决问题的策略。但由于小学数学内容比较简单，知识最为基础，所以隐藏的思想和方法很难截然分开，更多的反映在联系方面，其本质往往是一致的。 小学数学中蕴含着哪些基本的数学思想方法呢？ 一、观察和比较思想方法 在逻辑学上，观察和比较是重要的思维方法，现代数学思想方法把观察法和比较法看作是最基本的数学思想方法。 观察是思维的窗口，是认识的开始，是解决问题的基础，可以说科学上的重大发现多起源于观察。没有牛顿观察到苹果从树上掉下来，就没有万有引力定律的产生，没有爱迪生一生的观察与探索，就没有“世界发明大王”的诞生。观察对数学学习也是十分重要的，数与代数，统计与概率，空间与图形，实践与综合应 高中数学基本数学思想：函数与方程思想在数列中的应用 函数思想和方程思想是学习数列的两大精髓.“从基本量出发，知三求二.”这是方程思想的体现.而“将数列看成一种特殊的函数，等差、等比数列的通项公式和前n项和公式都是关于n的函数.”则蕴含了数列中的函数思想.借助有关函数、方程的性质来解决数列问题，常能起到化难为易的功效。以下是小编给大家带来的方程思想在数列上的应用，仅供考生阅读。 函数与方程思想在数列中的应用(含具体案例) 本文列举几例分类剖析： 一、方程思想 1.知三求二 等差(或等比)数列{an}的通项公式，前n项和公式集中了等差(或等比)数列的五个基本元素a1、d(或q)、n、an、Sn.“知三求二”是等差(或等比)数列最基本的题型，通过解方程的方法达到解决问题的目的. 例1等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a10=30，a20=50，(1)求数列{an}的通项公式;(2)若Sn=242，求n的值. 解(1)由a10=a1+9d=30， a20=a1+19d=50， 解得a1=12， 因为n∈N*，所以n=11. 2.转化为基本量 在等差(等比)数列中，如果求得a1和d(q)，那么其它的量立即可得. 例2在等比数列{an}中，已知a6―a4=24，a3a5=64，求{an}的前8项的和S8. 解a6―a4=a1q3(q2―1)=24.(1) 由a3a5=(a1q3)2=64，得a1q3=±8. 将a1q3=―8代入(1)， 得q2=―2(舍去); 将a1q3=8代入(1)，得q=±2. 当q=2时，a1=1，S8=255; 当q=―2时，a1=―1，S8=85. 小学数学常见数学思想方法归纳与整理 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合元素之间的联系的一种思想方法。小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线（数轴）上的点与表示具体大小的数的一一对应，又如分数应用题中一个具体数量与一个抽象分数（分率）的对应等。对应思想也是解答一般应用题的常见方法。 2、转化思想方法： 这是解决数学问题的重要策略。是由一种形式变换成另一种形式的思想方法。如几何形体的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等。在计算中也常常用到转化，如甲÷乙（零除外）=甲×，又如除数是小数的除法可以转化成除数是整数的除法来计算。在解应用题时，常常对条件或问题进行转化。通过转化达到化难为易、化新为旧、化繁为简、化整为零、化曲为直等。 3.符号化思想方法： 数学的思维离不开符号的形式（图、表），这样可大大地简化和加速思维的进程。符号化语言是数学高度抽象的要求。如定律a.b=b.a，公式S=vt等都是用字母表示数和量的一般规律，而运算的本身就是符号化的语言。所以说，符号化思想方法是数学信息的载体，也是人们进行定量分析和系统分析的一种载体。 4、分类思想方法： 分类的思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如对自然数的分类，若按能否被2整除可分为奇数和偶数，若按约数的个数分则可分为质数、合数和1。又如三角形既可按角分，也可按边分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性。数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 5、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 6、类比思想方法 小学数学中常见的几种数学思想方法 我们的教学实践表明：小学数学教育的现代化，主要不是内容的现代化，而是数学思想及教育手段的现代化，加强数学思想的教学是基础数学教育现代化的关键。所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的本质认识，它直接支配着数学的实践活动。所谓数学方法，是指某一数学活动过程的途径、程序、手段。数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的表现形式和得以实现的手段。以上合称为数学思想方法。一、小学数学教学中渗透数学思想方法的必要性小学教学教材是数学教学的显性知识系统，数学思想方法是数学教学的隐性知识系统。许多重要的法则、公式，教材中只能看到漂亮的结论，许多例题的解法，也只能看到巧妙的处理，而看不到由特殊实例的观察、试验、分析、归纳、抽象概括或探索推理的心智活动过程。虽然数学知识本身是非常重要的，但是它并不是唯一的决定因素，真正对学生以后的学习、生活和工作长期起作用，并使其终生受益的是数学思想方法。因此，向学生渗透一些基本的数学思想方法，是数学教学改革的新视角，是进行数学素质教育的突破口。二、在小学数学课堂中如何运用数学思想方法 1.符号思想用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学的内容，这就是符号思想。符号思想是将复杂的文字叙述用简洁明了的字母公式表示出来，便于记忆，便于运用。把客观存在的事物和现象及它们相互之间的关系抽象概括为数学符号和公式，有一个从具体到表象再抽象的过程。在数学中各种量的关系，量的变化以及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式来表达大量的信息。例1：“六一”联欢会上，小明按照3个红气球、2个黄气球、1个蓝气球的顺序把气球串起来装饰教室。你能知道第24个气球是什么颜色的吗?解决这个问题可以用书写简便的字母a、b、c分别表示红、黄、蓝气球，则按照题意可以转化成如下符号形式：aaabbc aaabbc aaabbc……从而可以直观地找出气球的排列规律并推出第24个气球是蓝色的。这是符号思想的具体体现。 2.化归思想化归思想是数学中最普遍使用的一种思想方法，其基本思想是：把甲问题的求 中学数学中重要数学思想——分类讨论思想的教 中学数学中重要数学思想—— 分类讨论思想 数学思想是人们对数学内容的本质认识，是对数学方法的进一步抽象和概括，属于对数学规律的理性认识的范畴，数学教学中不仅要注重数学知识的传授，能力的提高，更要注重揭示知识发生、发展过程中，解决问题过程中蕴含的数学思想方法。数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面具有重要作用。 分类讨论是一种重要的数学思想方法：是按照数学对象的相同点和相异点将数学对象区分为不同种类的思想方法（朱人杰.数学思想方法研究导论）；分类讨论是根据需要对研究对象进行分类，然后将划分的每一类别分别进行求解，综合后即得答案（任子朝.数学标准解读）。分类讨论贯穿在整个高中数学学习的全过程，通过分类可以使大量繁杂的材料条理化、系统化，从而为人们进行分门别类的深入研究创造条件，分类讨论不仅在数学知识的探究和概念学习中十分重要，而且在解决数学问题过程中起着重要作用。学会用这种思想方法解决问题，对提高学生思维能力、解决问题的能力有很大作用。 数学思想方法需要在教学过程中多次孕育，初步形成以致应用发展，使思想方法由隐到显，以致明朗化、深刻化。本文针对部分学生不会分类，分类不全面，标准不统一，以致有畏难情绪，结合学生学习实际，提出分类讨论的三个教学策略，以求学生能理解该思想方法的含义，初步掌握该方法的操作步骤，会运用分类讨论思想方法解决问题。 1、分类讨论的教学策略一、“按需而分” 分类讨论是按照数学对象的相同点和相异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法。是根据研究数学对象、数学问题过程的需要进行分类讨论，需要是根本。在教学过程中要挖掘教材中采用分类讨论解决问题的材料，渗透、孕育分类讨论思想，同时一定要让学生体验到分类讨论的必要性，是解决问题的需要而讨论。逐步内化为学生的思想意识。 1.1、从数学知识的发生、发展过程，分类是一种重要的逻辑方法，通过分类研究可以使问题化繁为简，化零乱为条理，化分散为系统。如研究函数，从函数的解析式、定义域、值域、性质和图像，先一般函数后特殊函数，指数函数、对数函数、三角函数。数列也可以看成特殊的函数来进行研究，以期更深刻地理解数列的本质。 1.2、在高中数学教学过程中着重在以下方面对学生加以引导，让学生体悟分类讨论思想的运用: 绝对值概念的定义；一元二次方程根的判别式与实根数的情况；二次函数二次项系数正负与抛物线开口方向；指数函数、对数函数的单调性与底a的关系；等比数列的求和公式中q=l与q≠1的区别；由数列的前n项和求数列的通项公式n=1与n≠1；不等式的性质， 读《小学数学与数学思想方法》心得 体会 读《小学数学与数学思想方法》心得体会 一、教学进一步的升华 读《小学数学与数学思想方法》，对数学老师是一次思想和教学的提升，让我们能够明白数学的本质是什么？做为一名小学数学老师，我们究竟该进行怎样的教学？王教授告诉我们当面对新一轮课程改革，我们需要转变观念，逐步培养重视数学思想的意识,同时又需要在数学的专业素养上的提高自己，这样才能更好地落实“四基”目标。这也让我们明白不能纯粹地教会学生一些知识，一些解决问题的技巧，更重要的是关注学生的思维，帮助学生初步地学会数学思想。 全书分为上篇和下篇两部分，上篇主要阐述与小学数学有关的数学思想方法，下篇是义务教育人教版小学数学中的数学思想方法案例解读。本书思想脉络清晰，上篇主要帮助教师认识数学思想方法，具有理论指导意义，下篇旨在通过生动形象的案例， 让教师感悟如何传授数学思想，具有实践指导意义。 二、我和大家一起分享我学习第二节“数学思想方法的教学”的心得 此书读过之后，我发现王教授阐述二年级下册《表内除法（一）》的教学过程，回想起自己所教的还是发现自己有很多不足，我只顾教学生数学方法，忽略传授数学思想，例如从文中了解到除法在教学的过程中分五个模块让学生经历除法概念的形成过程做了很多铺垫，如设计参观科技园准备分食物的大情境，如图1-3，通过例1把6块糖果分成3份理解平均分，通过例2和例3体验平均分有两种实际情况及平均分的过程、方法与结果，再通过例4把12个竹笋平均分成4盘引出除法、除号的概念，最后通过例5把20个竹笋每4个放一盘引出被除数、除数和商的概念。整个教学过程非常丰富，有观察、操作、演示、语言表达、画图、书写、符号特征、思考等多种活动，学生在已有的生活经验和积累的活动经验的基础上，逐步抽象出除法，初步理解除法的概念。再通过适当的练习和利用乘法口诀求商，进一步理解除法的概念。 在这教学过程中，只有引导学生感受从直观操 专题二数列中的数学文化题 一．考点解读： 数列中的数学文化题一般以我国古代数学名著中的等差数列和等比数列问题为背景，考查等差数列和等比数列的概念、通项公式和前n项和公式．二．数学文化的典型题： （1）等差等比数列： 等差等比数列的数学文化题频繁出现在各级各类考试试卷中.解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，运用等差等比数列的概念、通项公式和前n项和公式。 （2）斐波拉契数列： 斐波那契数列又称“兔子数列”，也称黄金分割数列，是这样一个数列：这个数列的第0项是0，第1项是1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和，即：0、1、1、2、3、5、8、13、21…，在数学上斐波纳契数列被以递归的方法定义：F（0）=0， F（1）=1， F（n）=F(n-1)+F(n-2)（n≥2，n∈N*）。斐波拉契数列是一个非常美丽、和谐的数列，它的形状可以用排成螺旋状的一系列正方形来说明起始的正方形(图中用灰色表示)的边长为1，在它左边的那个正方形的边长也是1 ，在这两个正方形的上方再放一个正方形，其边长为2，以后顺次加上边长为3、5、8、13、21……等等的正方形，这些数字每一个都等于前面两个数之和，它们正好构成了斐波那契数列。 （3）《九章算术》： 《九章算术》是我国古代的数学名著，强调“经世济用”，注重算理算法，其中很多问题可转化为数列的问题，然后再利用数列的知识有关知识进行解题。（4）“莱布尼兹调和三角形”： “莱布尼兹调和三角形”：第n行有n的数它们是由整数的倒数组成的，且两端的数均为1/n，每个数是它下一行左右相邻两数的和， 例1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走 读《小学数学与数学思想方法》的心 得体会 读《小学数学与数学思想方法》的心得体会 海口市美兰实验小学吴乙玉 小学阶段常见的数学思想有：对应的思想，转化的思想，分类的思想，假设的思想，极限的思想，符号化的思想，还原的思想，统计的思想等。在教学中，如何将这些方法渗透呢？结合这次读书，我谈一下自己的体会。 数学知识可以用言传口授的方法传递给学生，而数学思想则显然不能，课堂教学中给学生的至多是关于数学思想方面的知识，不妨称为知识形态的数学思想，这种知识形态的数学思想需要经历学生个体独立的思维活动才能发展为认知形态的数学思想。换言之，数学教学在使学生初步领悟了某些最高思想的基础上，还要积极引导学生参与数学问题的解决过程，通过主体主动的数学活动激活知识形态的数学思想，数学思想也只有在需要该种思想的数学活动中才能形成。 波利亚说过：“学习数学的目的就是意味着解题”。要解决我们学生过去、现在、将来所遇到的种 种问题，他们所需要的不仅仅是知识，而是比知识更为重要的数学思想。未来社会，是需要大量具有较强数学意识和数学素质的人才的社会。为此，现在的我们，向学生渗透一些基本的数学思想方法比苦口婆心地灌输大量的刁钻难题这些形式化的数学知识更加重要，因为前者更具有普遍性，在他们未来的生活和工作中能派到用处。 原来提到数学思想方法的时候，总是感觉似乎知道一些，总想应用它来指导自己的教学，但是自身对数学思想方法的理解不深透，另外又觉得数学思想方法的渗透教学在课堂教学中短时期难以见成效。所以本人的教学现状中仍然存在一些急功近利的不好现象。 数学名师工作室主持人张富老师一语道破玄机：加强数学思想方法的教学是进一步提高数学教学质量的需要。从数学教材体系看，整个小学数学教材中贯穿着两条主线，一是写进教材的最基础的数学知识，它是明线，一贯很受重视，必须切实保证学生学好。另一条是数学能力培养和数学思想方法的渗透，这是条暗线，较少或没有直接写进教材，但对小学生的成长却十分重要，也越来越引起人们的重视。在教学中不能只注重数学知识的教学，忽视 数列中体现的数学思想 恩施市第一中学高二（11）班杨义内容摘要：数学思想犹如一把开启解题的大门，拥有它就能在解答数学问题中游刃有余。能否有意识地正确运用数学思想方法解答数学问题，是衡量数学素质和数学能力的重要标志。在解题时如果能够充分运用数学思想方法，可以使很多数列问题获得直观、简捷、巧妙地解答。 关键词：数列函数方程整体分类讨论等价转化 在数列中蕴涵了许多重要的数学思想方法，例如整体思想，方程思想，函数思想，分类讨论思想，等价转化思想，等等。本文主要通过例题剖析来体现数列中的数学思想，下面就简单介绍数列中几种常见的数学思想。 1.整体思想 整体思想就是从整体着眼,把一些看起来很复杂，很繁琐的数学形式看成一个整体，看成一个元素，从而达到简捷地解题的目的. 例已知数列为等差数列，前12项和为354，前12项中奇数项和与偶数项和之比为27:32,求公差d. 分析:此题常规思路是利用求和公式列方程组求解，但是计算量较大,应考虑利用整体思想去解决,解法十分简捷。 解: 由题意令奇数项和为,偶数项和为. ∵. 而 2.方程思想 方程思想就是通过设未知数建立方程,研究方程解决问题的方法.在解数列问题时,利用等差、等比数列的通项公式、求和公式及性质构造方程（组），是解数列问题基本方法. 例 在等比数列{}a n 中，已知a a 6424-=，a a 3564=，求{}a n 的前8项的和S 8. 解：a a a q q 64132124-=-=() （1） 由a a a q 3513264==() （2） 由（1）（2）得： a q 138=± 将a q 138=-代入（1），得q 22=-（舍去） 将a q 138=代入（1），得q =±2. 当2=q 时，a 11=，S 8255=；当q =-2时，a S 18185=-=,. 3.函数思想 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。数列是一类特殊的函数,因此可以用函数的观点来认识和理解数列，这是解决数列问题的有效方法. 例 等差数列的前n 项和为 .已知 问数列的多少 项和最大? 小学数学思想方法 教育 2009-12-16 23:07 阅读32 评论0 字号：大中小 1、对应思想方法 对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。如直线上的点（数轴）与表示具体的数是一一对应。 2、假设思想方法 假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。 3、比较思想方法 比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。 4、符号化思想方法 用符号化的语言（包括字母、数字、图形和各种特定的符号）来描述数学内容，这就是符号思想。如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。如定律、公式、等。 5、类比思想方法 类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟的自然和简洁。 6、转化思想方法 转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。 7、分类思想方法 分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。如自然数的分类，若按能否被2整除分奇数和偶数；按约数的个数分质数和合数。又如三角形可以按边分，也可以按角分。不同的分类标准就会有不同的分类结果，从而产生新的概念。对数学对象的正确、合理分类取决于分类标准的正确、合理性，数学知识的分类有助于学生对知识的梳理和建构。 8、集合思想方法 集合思想就是运用集合的概念、逻辑语言、运算、图形等来解决数学问题或非纯数学问题的思想方法。小学采用直观手段，利用图形和实物渗透集合思想。在讲述公约数和公倍数时采用了交集的思想方法。 9、数形结合思想方法 数和形是数学研究的两个主要对象，数离不开形，形离不开数，一方面抽象的数学概念，复杂的数量关系，借助图形使之直观化、形象化、简单化。另一方面复杂的形体可以用简单的数量关系表示。在解应用题中常常借助线段图的直观帮助分析数量关系。 10、统计思想方法： 小学数学中的统计图表是一些基本的统计方法，求平均数应用题是体现出数据处理的思想方法。 11、极限思想方法： 事物是从量变到质变的，极限方法的实质正是通过量变的无限过程达到质变。在讲“圆的面积和周长”时，“化圆为方”“化曲为直”的极限分割思路，在观察有限分割的基础上想象它们的极限状态，这样不仅使学生掌握公式还能从曲与直的矛盾转化中萌发了无限逼近的极限思想。 12、代换思想方法： 它是方程解法的重要原理，解题时可将某个条件用别的条件进行代换。如学校买了4张桌子和9把椅子，共用去504元，一张桌子和3把椅子的价钱正好相等，桌子和椅子的单价各是多少？ 13、可逆思想方法： 它是逻辑思维中的基本思想，当顺向思维难于解答时，可以从条件或问题思维寻求解题思路的方法，有时可以借线段图逆推。如一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了全程的1/7，第二小时比第一小时多行了16千米，还有94千米，求甲乙之距。0
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