三角函数(集体备课)

高三年级数学教研组集体备课材料

备课内容：第三章三角函数

§4.1任意角的弧度制及任意角的三角函数

§4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式

§4.3三角函数的图像和性质

§4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用

§4.5两角和与差的正弦、余弦、正切及二倍角公式

主讲人：罗彬

教学目标：

1、角的概念的推广.弧度制.

2、任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式：sin2α+cos2α=1，

sinα/cosα=tanα，tanαcotα=1.正弦、余弦的诱导公式.

3、两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.

4、正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(ωx+φ)的图像.正切函数的图像

和性质.已知三角函数值求角.

考纲导读：

1、了解任意角的概念、弧度的意义.能正确地进行弧度与角度的换算.

2、理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.了解余切、正割、余割的定义.掌握同角三角函数

的基本关系式.掌握正弦、余弦的诱导公式.了解周期函数与最小正周期的意义.

3、掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.

4、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.

5、理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用"五点法"画正弦函数、余弦函

数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义.

高考导航：

三角函数是高考考查对象之一。近几年来高考对三角函数的考查基本以简单题为主，并且难度都不大，属于学生必须掌握的板块。通过对以上近5年高考三角函数试题的分析，发现以下命题特点：

（1）、以三角形为载体，以三角函数为核心，以正余弦公式为主体，考查三角变换及其应用的能力。

（2）、强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其他知识的综合，如与向量知识、三角问

题、解析几何、立体几何的综合。

基于以上分析，三角函数在高考命题中有如下趋势：

考查三角函数基本概念、基本公式、正弦函数的图像及基本性质，多为选择题、填空题。 1、 考查三角函数的图像和性质，即图像的平移、伸缩变换与对称变换，画图与识图，与

单调性、周期性和对称性、最值有关的问题。

2、 强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其他知识的综合，如与向量知识、三角问

题、解析几何、立体几何的综合。

3、 以三角形为载体，以三角函数为核心，以正余弦公式为主体，考查三角变换及其应用

的能力已成为考试热点。 本单元重点与难点：

重点： 让学生掌握三角函数的图象；在理解各组三角公式的基础上掌握并熟练运用三角公

式。

难点：两个变换，“图象变换”和“三角变换”。

各小节内容规纳总结：

第一节：任意角的三角函数

1. 角的概念

2. 象限角

第I 象限角的集合：??

??

??∈+<

παπα 第II 角限角的集合：??

??

??∈+<<+Z k k k ,222ππαπ

πα 第III 象限角的集合： ??

??

??∈+<<+Z k k k ,23

22ππαππα 第IV 象限角的集合：

??

????∈+<<+Z k k k ,)1(223

2παππα

3. 轴线角

4. 终边相同的角

①与α（0°≤α<360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）:

{}Z k k ∈+?=,360|αββ

;

②终边在x 轴上的角的集合:{}

Z k k ∈?=,180| ββ; ③终边在y 轴上的角的集合：{}

Z k k ∈+?=,90180| ββ;

④终边在坐标轴上的角的集合：{}

Z k k ∈?=,90| ββ.

5. 弧度制定义：我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫1弧度角 角度制与弧度制的互化：π=?180

180

1π

=

? 1弧度?≈?

=

3.57180π

6.弧度制下的公式 扇形弧长公式r =α，扇形面积公式211

||22

S R R α=

=，其中α为弧所对圆心角的弧度数。

7. 任意角的三角函数定义:

利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取

一点(,)P x y （与原点不重合），记||r OP ==

则sin y r α=，cos x r α=，tan y x

α=，

注: ⑴三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定,∴三角函数是以角为自变量,以比值为函数值的函数.（2）正弦、

余弦、正切函数的定义域

8. 各象限角的各种三角函数值符号:一全二正弦,三切四余弦

第二节：同角三角函数的基本关系式及诱导公式

一、基础知识

（一） 同角三角函数的基本关系式： ①平方关系；1cos sin 2

2

=+αα ②商式关系；

αα

α

tan cos sin = ③倒数关系。1cot tan =αα 注：关于公式1cos sin 22=+αα的深化

()2

cos sin sin 1ααα±=±；αααcos sin sin 1±=±；

2

cos

2

sin

sin 1α

α

α+=+

如：4cos 4sin 4cos 4sin 8sin 1--=+=+；4cos 4sin 8sin 1-=- （二） 正弦余弦的诱导公式：)(2

Z k k ∈±?

απ

与α的三角函数关系是“奇变偶不变，符号

看象限”。

注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为00~ 900 角的三角函数。 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值 b) 化简同角

三角函数式；c)证明同角的三角恒等式。

第三节：三角函数的图象和性质

一、主要知识：

1．三角函数线；注：)tan sin ),2

,

0((αααπ

α<<∈则

2．的图象x y x y x y tan ,cos ,sin === 3．的图象)sin(??+=x A y ①用五点法作图

②图象变换：平移、伸缩两个程序

)sin()

()2()sin()sin()1(sin ????????+=+=→=+=→+==x A y x six y x y x y x y x

y

③A---振幅 ?

π

2=

T ----周期 π

ω

21==

T f ----频率 相位--+?ωx 初相--? 4．图象的对称性

①x y x y cos sin ==与的图象既是中心对称图形又是轴对称图形。 ②x y tan =的图象是中心对称图形，有无穷多条垂直于x 轴的渐近线。 二、主要方法：

1．“五点法”画正弦、余弦函数和函数sin()y A x ω?=+的简图，五个特殊点通常都是取三个平衡点，一个最高、一个最低点；

2．给出图象求sin()y A x B ω?=++的解析式的难点在于,ω?的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点（平衡点、最值点）代入解析式；②图象变换法，即考察已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．

三角函数的图像和性质

第四节：函数sin()y A x ω?=+的图象和应用

2、函数sin()y A x ω?=+），（其中00>>ωA 最大值是B A +，最小值是A B -，周期

是ω

π

2=

T ，频率是π

ω

2=

f ，相位是?ω+x ，初相是?； 对称轴的位置：图象的最高点处；对称中心的位置：函数的零点处。而函数

c o s ()y A x ω?=+），（其中00>>ωA 对称轴的位置：函数的零点处；对称中心的位置：

图象的最高点处。 3、思想方法:

（1）总是用图象得函数的各性质,

（2）选取一个恰当的周期讨论性质从而加上周期推广到整个定义域。

（3）在研究函数)sin(?ω+=x A y 的各项性质的时候总是设u x =+?ω，从而只需讨论

u y sin =的各项性质就可得到)sin(?ω+=x A y 的各项性质和由u 的范围得到x 的范围.

（4）合一：

y=asinx+bcosx=

（x +?）

= （x +θ）

这里，cos sin ???

=?

?

??=

??

经常考察的内容：

1．形如y x y y x y cos sin cos sin -=+=或 的辅助角的形式，求最大、最小值的总题。

2．同一问题中出现y x y x x x cos sin ,cos sin ,cos sin ?-+，求它们的范围。如求y x y x y

cos sin cos sin ?++=的值域。

3．已知正切值，求正弦、余弦的齐次式的值。 如已知求,2tan =x

4

cos cos sin 2sin 22++?+y y x x 的值。

三角函数是六个基本初等函数之一，三角函数的知识包括三角函数的定义、图象、性质、三角函数线、同角三角函数的关系式与诱导公式，以及两角和与差的三角函数，二倍角，降次公式等。

高考题参考：

1．函数f(x)

02x π≤≤) 的值域是（B ）（A ）

]

(B)[-1,0] （C ）

] （D ）

]

【解析】特殊值法， sin 0,cos 1x x ==则f(x)

1=- 排除A ，

令=26(sin 1)cos 4x x -+=当时sin 1x =-时3cos 2x =所以

矛盾()f x

≠C ， D 2.设函数2()sin(

)2cos 1468

x x

f x ππ

π=--+． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期．

.zxx

（Ⅱ）若函数()y g x =与()y f x =的图像关于直线1x =对称，求当4

[0,]3

x ∈时

()y g x =的最大值．

3.已知函数()sin (0,)2

y x π

ω?ω?=+><的部分图象如题（6）图所示，则（D ）

A.

ω=1 ?=

6π B. ω=1 ?=- 6

π

C.

ω=2 ?=

6π D. ω=2 ?= -6

π

4.（本小题满分13分，（I ）小问7分，（II ）小问6分） 设函数()22cos 2cos ,32

x

f x x x R π??=+

+∈ ??

?。 （Ⅰ）求()f x 的值域；

（Ⅱ）记ABC ?的内角A 、B 、C 的对边长分别为a ，b ，c ，若()f B =1，

a

的值5.若ABC 的内角A 、B 、C 所对的边a 、b 、c 满足

2

2a b 4（）c +-=，且C=60°，则ab 的值为（A ） （A ）

43 （B

）8-2

3

【解析】2=∴=?πT

由五点作图法知

2

3

2π

?π

=

+?

，?= -

6

π

5.已知1sin cos 2α=

+α，且0,2π??α∈ ???

，则cos 2sin 4πα

?

?α- ?

?

?的值为__________ 6. (本小题满分13分)

设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π??

=-+-

???

满足()3f π-(0)f =，求函数

()f x 在11424ππ??

,????

上的最大值和最小值 解：（1）()2sin(2)6

f x x π

=-；

（2）当[

,]43x ππ∈时，2[,]632x πππ

-∈，函数()f x 递增；

当11[,]324x ππ∈时，32[,]624

x πππ

-∈，函数()f x 递减； 所以()f x 在11[,]424x ππ∈上的最大值为()23

f π

=

又11()(

)424f f ππ==()f x 在11[,]424x ππ∈

上的最小值为11()24

f π

= 7.函数f (x

(0≤x ≤2π)的值域是（C ）

(A)[-

11,44] (B)[-11

,

33] (C)[-11,22

]

(D)[-22,33

]

8.设函数2

2

()(sin cos )2cos (0)f x x x x ωωωω=++>的最小正周期为

23

π （I ）求ω的值；

（Ⅱ）若函数()y g x =的图像是由()y f x =的图像向右平移

2

π

个单位长度得到，求()y g x =的单调增区间。

9.下列函数中，周期为π，且在[,]42

ππ

上为减函数的是（A ） （A ）sin(2)2y x π

=+

（B ）cos(2)2y x π=+ （C ）sin()2y x π=+ （D ）cos()2

y x π

=+ 【解析】C 、D 中函数周期为2π，所以错误 当[

,]42x ππ

∈时，32,22x πππ??

+∈????

，函数sin(2)2y x π=+为减函数而函数cos(2)2

y x π

=+为增函数，所以选A