第四章方阵的特征值理论
§3 方阵的特征值与特征向量
一、特征值与特征向量的定义
设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是
A 的相应的特征向量.
下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义.
定义3.1 设()
i
j n n
a ?=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使
λAp =p ，
则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量. 为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n
E
A p 0. 再把λ看成
待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n
E
A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零
解当且仅当它的系数行列式为零：
0λ-=n E A .
定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称
为A 的特征多项式. 称
0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式
11
12
12122
21
2
n n
n n n n
a a a a a a a a a λλλλ-------=
---n E
A
()()()11
22
n n
a a a λλλ=
---+
, (1)
在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值.
综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的
n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的
齐次线性方程组0()λ-=n E A x 0的所有的非零解. 注意: 虽然零向量也是
0()λ-=n E A x 0的解，但0不是A 的特征向量!
二、关于特征值和特征向量的若干结论
定理3.1 n 阶方阵A 和它的转置矩阵T
A 必有相同的特征值. 证 由矩阵转置的定义得到矩阵等式()
T
T λλ-=-n n E A E A . 再由行列式性质1知道
()T
T λλλ-=-=-n n n E A E A E A .
这说明A 和T
A 必有相同的特征多项式,因而必有相同的特征值. 证毕 定理3.2 设12,,,n λλλ的n 阶方阵()
i j a =A 的全体特征值，则必有
()1
1
1
,
n
n n
i i i
i
i i i a
tr λλ
======∑∑∏A A .
这里，()tr A 为()
i j a =A 中的n 个对角元之和，称为A 的迹（trace ）.A 为A 的行列式. 证 在关于变量λ的恒等式
()()
()()
1
1211
1n
n n
n
n n i i
i i λλλλλλλλλλλ
-==??-=---=-++- ?
??
∑∏n E A
中取0λ=即得 ()()
1
11n
n
n
i
i λ
=-=-=-∏A A ，所以必有1
n
i
i λ
==
∏A .
再据行列式定义可得
()()
()1122n n
a a a λλλλ-=---+n E A ｛()!1n -个不含n
λ
和1
n λ
-的项｝
11n n
n i i i a λλ-=??
=-+
+ ???
∑｛()!1n -个不含n λ和1n λ-的项｝
比较
λ-n E A 的上述两个等式两边的1
n λ
-项的系数, 即得
1
1
n
n
i i i
i i a
λ===∑∑. 证毕
定理3.3 设A 为n 阶方阵.()1
110m
m m m f x a x a x
a x a --=++
++为m 次多项式.
()1110m m m m f a a a a --=++
++n A A A A E
为对应的A 的方阵多项式. 如果λ=Ap p ，则必有()()f f λ=A p p . 这说明()f λ必是
()f A 的特征值. 特别, 当()f =A O 时，必有()0f λ=，即A 的特征值必是对应的m 次多
项式()f x 的根.
证 先用归纳法证明,对于任何自然数k , 都有k
k
λ=A p p . 当1k =时,显然有λ=Ap p . 假设k
k
λ=A p p 成立, 则必有
()()11k k k k k λλλ++====A p A A p A p Ap p 。
因此, 对于任何自然数k , 都有k
k
λ=A p p .于是,必有
()()1110m m m m f a a a a --=++++n A p A A A E p
()()()()1110m m m m a a a a --=++++n A p A p Ap E p
=()()1110m m m m a a a a f λλλλ--++++=p p .
当()f =A O 时，必有()()f
f λ==p A p 0. 因为≠p 0, 所以()0f λ=， 证毕
注1: 求方阵多项式的特征值, 只要求出A 的一个特征值λ, 那么()f λ一定是()f A 的
特征值.
注2: 利用2
()f x x =, 若λ是A 的特征值, 则2λ是2
A 的特征值.
例1任意取定A 的一个特征值0λ. 如果12p p 和都是A 的属于特征值0λ的特征向量,则对任何使12k k +≠12p p 0的实数12k k 和, 12k k =+12p p p 必是A 的属于特征值0λ的特征向量.
证 由所设条件知
()()12120120k k k k k k λλ=+=+=+=121212Ap A p p Ap Ap p p p . 证毕
任意取定A 的一个特征值0λ. 因为0λ是
0λ-=n E A 的根,()0λ-=n E A x 0必有
无穷多个解, 所以, A 的属于任意特征值0λ的特征向量一定有无穷多个. 那么自然要问: 属于取定特征值的线性无关的特征向量的最大个数是多少?
为此, 考虑由特征值0λ确定的齐次线性方程组
()0
λ-=n
E
A x 0的解空间
{}
00V λλ==p Ap p .
它的任意一个基, 也就是齐次线性方程组()0
λ-=n
E
A x 0的任意一个基础解系
{}12s ξ,ξ,
,ξ,
就是A 的属于这个特征值0λ的最大个数的线性无关的特征向量组. 其中的基向量个数为
()0s n λ=--n r E A .
所以这个最大个数就是齐次线性方程组()0λ-=n
E
A x 0的自由未知量个数. 而A 的属于这
个特征值0λ的特征向量全体就是
1
s
i i k =∑i
ξ
，这里12,,
,s k k k 是任意的不全为零的实数.
例2 设1224??
=
???
A ,求出A 的所有的特征值和特征向量. 解 A 的特征方阵为1224λλλ--??
-= ?--??
n E A . A 的特征方程为
()1
2
502
4
λλλλλ---=
=-=--n E A .
它的两个根:120,5λλ==,就是A 的两个特征值. 用来求特征向量的齐次线性方程组为 12120240x x λλ??--????
= ?
? ?--????
??. 即
()()1212120
240x x x x λλ--=???
-+-=??
. 属于10λ=的特征向量满足线性方程组:121220240
x x x x --=??--=? .可取解 21-??
= ???1p .
属于25λ=的特征向量满足线性方程组:121242020
x x x x -=??-+=? . 可取解 12??
= ???2p .
这就是A 的两个线性无关的特征向量. 容易验证 112202024101λ--????????
====
??? ? ?????????
11A p p ,
22121515242102λ????????
==== ??? ? ?????????
2A p p .
属于10λ=的特征向量全体为11,k k 1p 为任意非零常数. 属于25λ=的特征向量全体为22,k k 2p 为任意非零常数.
例3 当20-=n E A 时，根据特征值的定义知道,2就是A 的特征值. 当0=n E +A 时，因为 ()
10n
--=-=n n E A E +A ，所以，1-就是A 的特征值.
例4 设A 为n 阶方阵，但不是单位矩阵. 如果()()
n +-=n n r A +E r A E ，问1-是不是A 的特征值？
解 因为≠n A E ，所以必有()
,1-≠-≥n n A E O r A E . 再根据 ()()
n +-=n n r A +E r A E
知道必有()
n 命题1 实方阵的特征值未必是实数，特征向量也未必是实向量. 例5 求0110?? = ?-?? A 的特征值 解 容易求出特征方程 21 101λλλλ --= =+=2E A 的两个根：12,i i λλ==-， 这里，i =是纯虚数. 此例说明，虽然A 是实方阵，但是它的特征值都不是实的. 求出对应的向量会发现，特征向量也不是实向量. 命题2 三角矩阵的特征值就是它的全体对角元.例如,设A 是上三角矩阵 12000n a a a **?? ?* ?= ? ? ???A , 则 ()1 2 100 n i i n a a a a λλλλλ=--* -*--* -= =--∏n E A . 它的n 个根就是A 的n 个对角元. 命题3 一个向量p 不可能是属于同一个方阵A 的不同特征值的特征向量. 事实上，如果 , λμ==A p p A p p ，则()λμ-=p 0. 因为≠p 0, 所以必有 λμ=. 注意: A 和T A 未必有相同的特征向量. 即当λ=Ap p 时未必有T λ=A p p . 例如，取 111,,1010λ???? === ? ????? A p , 则有 1111101111,1010011010??????? ? ??????=?=≠? ? ? ? ? ? ? ??????? ????????. 100011111?????? =? ??? ??????? . 这说明A 和T A 的属于同一个特征值的特征向量可以是不相同的. 例6 设1203??= ??? A , 求2 23=-+2B A A E 的所有的特征值. 解 因为上三角矩阵A 的特征值就是它的对角元13和，而由223=-+2B A A E 知道,对应的多项式为()223f x x x =-+，所以B 的特征值就是()()12, 36f f ==. 例7 求出以下特殊的n 阶方阵A 的所有可能的特征值（m 是某个正整数）： （1）m =A O （2）2 =n A E 解 设λ=Ap p ，则, m m λ=≠A p p p 0. （1） 由 m m λ==?=p A p O 00 和≠p 0 知道0λ=. （2） 由 λ?=22n p =A p =E p p 和≠p 0 知道21,1λλ==±. 注: 上述二个特殊的方阵分别称为幂零矩阵与对合矩阵. 因此, 幂零矩阵的特征值必为0. 对合矩阵的特征值必为1±. 三、关于求特征值和特征向量的一般方法 下面我们通过实例介绍求方阵的特征值和特征向量的一般方法. 例8 求出624232426?? ? = ? ??? A 的特征值和线性无关的特征向量. 解 先求出A 的特征多项式 6 242 2423 2 03 2 4 2 622 6 λλλλλλλ λ-------= ---= --------3E A 2 2 403 2 4 10 λλλ---= ---- ()()()231024λλλ----?????= ()()()()2 221322211.λλλλλ=--+=--. 因此A 的特征值为1232,11λλλ===. 用来求特征向量的齐次线性方程组为 ()12362 4232426x x x λλλλ??---?? ? ?-=--- ? ? ? ?---???? 3E A x =0. 属于122λλ==的特征向量123x x x ?? ?= ? ???p 满足:1231231234240 2204240x x x x x x x x x ?---=? ---=??---=? , 即() 213 2x x x =-+. 据此可求出两个线性无关的特征向量 102,201???? ? ? =-=- ? ? ? ????? 12p p . 属于311λ=的特征向量123x x x ?? ?= ? ???p 满足:1231231235240 28204250x x x x x x x x x ?--=? -+-=??--+=? . 在前两个方程中消去3x ,可得12129180,2x x x x -==. 在后两个方程中消去1x ,可得23321890,2x x x x -==. 于是可求出特征向量 212?? ? = ? ??? 3p . 属于122λλ==的特征向量全体为{} 121212|,,k k k k R k k +∈12p p 且不全为零. 属于311λ=的特征向量全体为{} 30|k k k R ≠∈p 且. 例9 设n 阶方阵() i j a =A 的每一行中元素之和同为a ，证明a 必是A 的特征值，并求出A 的属于这个a 的特征向量p . 证 取11 1?? ? ?= ? ? ???p . 显然有 1112 1 12 12 111n i i i n n n n n a a a a a a a a a a ???? ? ? ? ? ?== ? ? ? ??? ??? Ap p . 因此a 是矩阵A 的一个特征值, 而p 是A 的属于特征值a 的特征向量. 证毕 四．矩阵的对角化 定义3.3 设A 是一个n 阶方阵，若存在n 阶可逆矩阵，使得 112(,,,)n diag λλλ-==P AP Λ 则称A 相似于对角矩阵, 也称A 可以相似对角化, 简称A 可对角化. 定理 3.4 设12,,,m λλλ是方阵A 的m 个特征值, 12,, ,m p p p 依次是与之对应的特 征向量. 如果12,, ,n λλλ各不相等, 则12,, ,m p p p 线性无关. 证 设有常数12,,,m x x x 使1122m m x x x ++ +=p p p 0, 则 1122()m m x x x ++ +=A p p p 0, 即 111222m m m x x x λλλ++ +=p p p 0 依此类推, 得 111222(1,2,,1).k k m m m m x x x k m λλλ++ +==-p p p 0 把以上各式写成矩阵形式, 得 1 1 1 22 21122111(,, ,)(,,,).1m m m m m m m x x x λλλλλ λ---?? ? ? = ? ? ?? ? p p p 000 上式等号式端第二个矩阵的行列式是范德蒙行列式, 当12,,,m λλλ互不相等时, 该行列式 不等于零, 从而该矩阵可逆, 于是有 1122(,, ,)(,,,)(1,2, ,).m m j j x x x x j m =?==p p p 000p 0 但j ≠p 0, 故120m x x x == ==, 所以向量组12,,,m p p p 线性无关. 定理3.4 若n 阶方阵A 与B 相似, 则A 与B 的特征多项式相同, 从而其特征值相等. 证 因A 与B 相似, 即有可逆矩阵P , 使1 -=P AP B , 故 111()()λλλλ----=-=-=-E B P E P P AP P E A P E A . 推论: 若n 阶方阵A 与对角阵12 n λλλ?? ? ?= ? ?? ? Λ相似, 则12 ,, ,m λλλ就是A 的全部特征值. 定理3.5 n 阶方阵A 相似于对角矩阵?A 有n 个线性无关的特征向量. 证 必要性：设12 n λλλ-?? ? ?== ? ? ?? ? 1P AP Λ ，则有AP =P Λ. 令(),, ,12n P =p p p 是P 的按列分块的列向量表示法，则由P 是可逆矩阵知道列向量组 {}1 2n p ,p , ,p 为线性无关向量组. 因为 ( )(), , ,,,, 12 n 12n A P =A p p p = A p A p A p ( )()1 2 12,, ,,, ,n n λλλλλλ?? ? ?= ? ? ???12n 12 n P Λ=p p p p p p 所以, 由AP =P Λ知道必有分块矩阵等式 ( ),, ,12n A p A p A p ()12,,,n λλλ=12n p p p 由此可得列向量等式, 1,2, ,j j n λ==j j Ap p . 这就证明了P 的n 个列向量就是A 的n 个线性无关的特征向量. 充分性：设A 有n 个线性无关的特征向量{}12n p ,p ,,p ，且 ,1,2,,j j n λ==j j Ap p ， 则(),, ,12n P =p p p 是n 阶可逆矩阵，而且满足 ()()2122,,,,,,n n n λλλ==11AP A p p p p p p ()1 2 2,, ,n n λλλ?? ? ?== ? ? ?? ? 1p p p P Λ. 即-1 P AP =Λ为对角矩阵. 证毕 推论: 如果n 阶方阵A 的n 个特征值各不相等, 则A 与对角阵相似. 例10 设2125 312a b -?? ?= ? ?--??A 的一个特征向量为121?? ? = ? ?-?? p . (1) 求参数,a b 的值及A 的特征向量p 对应的特征值; (2) A 是否与对角阵相似? 解 (1) 设A 的与特征向量p 相对应的特征值为λ, 可得方程组(),λ-=E A p 0 即 21210 5310,1210a b λλλ--????? ? ??? ?---= ??? ? ??? ?-+-?????? 亦即 1 020,10a b λλλ+=?? --=??---=? 解得 1,3,0.a b λ=-=-= (2) 由32 12 53 3(1)01 2 λλλλλ---= -+-=+=+E A , 知A 三重特征值 123 1.λλλ===- 由于 312101101101523523022011101312011000--???????? ? ? ? ? --=--→--→→ ? ? ? ? ? ? ? ?--???????? E A 可知, ()2,321r n r --=-=-=E A , 因而三阶方阵A 的与1λ=-对应的线性无关的特征向量组仅有一个向量, 故A 不可以对角化. 第四章统计综合指标（一） （一）填空题 1、总量指标是反映社会经济现象的统计指标，其表现形式为绝对数。 2、总量指标按其反映总体的内容不同，分为总体的标志总量和总体单位总量；按其反映的时间状况不同，分为时期结构和时点结构。 反映总体在某一时刻（瞬间）上状况的总量指标称为时点结构，反映总体在一段时期内活动过程的总量指标称为时期结构。 3、相对指标的数值有两种表现形式，一是有名数，二是无名数。 4、某企业中，女职工人数与男职工人数之比为1:3,即女职工占25%，则1:3属于比例相对数，25%属于结构相对数。 （二）单项选择题（在每小题备选答案中，选出一个正确答案） 1、银行系统的年末储蓄存款余额是( D ) A. 时期指标并且是实物指标 B. 时点指标并且是实物指标 C. 时期指标并且是价值指标 D. 时点指标并且是价值指标 2、某企业计划规定本年产值比上年增长4%，实际增长6%，则该企业产值计划完成程度为（ B ） A、150% B、% C、% D、无法计算 3、总量指标具有的一个显着特点是( A ) A. 指标数值的大小随总体范围的扩大而增加 B. 指标数值的大小随总体范围的扩大而减少 C. 指标数值的大小随总体范围的减少而增加 D. 指标数值的大小随总体范围的大小没有直接联系 4、在出生婴儿中，男性占53%，女性占47%，这是（ D ） A、比例相对指标 B、强度相对指标 C、比较相对指标 D、结构相对指标 5、我国1998年国民经济增长（即国内生产总值为）% ，该指标是( C ) A. 结构相对指标 B. 比例相对指标 C. 动态相对指标 D. 比较相对指标 6、某商店某年第一季度的商品销售额计划为去年同期的110%，实际执行的结果，销售额比去年同期增长%，则该商店的商品销售计划完成程度的算式为( B ) A. %÷210% B. %÷110% C. 210%÷ D. 条件不够，无法计算 7、下面属于时点指标的是( A ) A. 商品库存量 B. 商品销售量 C. 婴儿出生数 D. 平均工资 8、将粮食产量与人口数相比得到的人均粮食产量指标是（ D ） A、统计平均数 B、结构相对数 C、比较相对数 D、强度相对数 9、某工业企业总产值计划比去年提高8%，实际比去年提高10%，则实际总产值比计划的任务数提高( B ) A. 2% B. % C. 25% D. % 10、某企业产值计划完成程度为102%，实际比基期增长12%，则计划规定比基期增长( A ) A. % B. 10% C. % D. 6% 11、已知某市有各种经济类型的工业企业3128个，工业总产值为210亿元，则在该资料中总体标志总量是( C ) A. 各种经济类型的工业企业共3128个 B. 其中国有工业企业所占的百分比 C. 工业总产值210亿元 D. 平均每个工厂的产值为671万元 12、比较相对指标是（ A ） A、同类现象在不同空间上对比 B、同类现象在不同时间上对比 C、同一现象的部分与总体的对比 D、有联系的不同现象的相互对比 13、正确计算和应用相对指标的前提条件是（ B ） [习题4-4] 一力系由四个力组成，如图4-17所示。已知F 1＝60Ｎ，F 2＝400Ｎ，F 3＝500Ｎ，F 4＝200Ｎ，试将该力系向Ａ点简化(图中长度单位为mm)。 解： 方向余弦: 4696.0877 .638300 cos == = ∑R x F F α 8553.0877 .63841 .546cos == = ∑R y F F β 2191.0877 .638140 cos -=-= =∑R z F F γ 主矢量计算表 主矩计算表 方向余弦: 6790.0831.162564 .110cos 0 -=-= = ∑M M x α 7370.0831.162120 cos 0 == = ∑M M y β 0831 .1620 cos 0 == = ∑M M z γ [习题4－6] 起重机如图4-19所示。已知AD ＝DB ＝１ｍ，CD ＝1.5ｍ，CM ＝１ｍ；机身与平衡锤E 共重kN W 1001=，重力作用线在平面LMN ，到机身轴线的距离为0.5ｍ；起重量kN W 302=。求当平面LMN 平行于AB 时，车轮对轨道的压力。 B N C N A N By R Bz R Bx R Ay R A T W D 解：因为起重机平衡，所以： 0)(=∑i AB F M 05.05.05.121=?+?+?-W W N C kN kN N C 3.43)(333.435.1/)5.0305.0100(≈=?+?= 0)(=∑i CD F M 045.01121=?-?+?-?W W N N A B 70=-A B N N (1) 0=∑iz F 021=--++W W N N N C B A 030100333.43=--++B A N N 667.86=+B A N N ………………(2) (1)+(2)得： 667.1562=A N kN kN N A 3.78)(334.78≈= kN kN N N A B 3.8)(333.8334.78667.86667.86≈=-=-= [习题4－11] 均质杆AB ，重W ，长l ，A 端靠在光滑墙面上并用一绳AC 系住，AC 平行于ｘ轴， B 端用球铰连于水平面上。求杆A 、B 两端所受的力。图中长度单位为m 。 解： 0=∑iz F 0=-W R Bz W R Bz = 0)(=∑i x F M 第十二讲 矩阵特征值估计 特征值计算较困难，希望找到简便的特征值界限或分布范围的估计方法。 一、 特征值界的估计 定理1. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 () Im M λ≤其中，ij ji 1i ,j n a a M m a x 2 ≤≤-= 证明：设x 为A 的属于特征值λ的单位特征向量，即A x x =λ， H x x 1=， 则 H x A x λ= → ( ) () H H H H H x A x x A x x A x λ== = () ()()H H H T 2jIm x A A x x A A x λ-λ=λ=-=- 将x 写成[] T 12n x ,,,=ξξξ ()()n n H T i ij ji j i 1 j 1 x A A x a a ==-=ξ-ξ∑∑ () ()()n n i ij ji j i 1j 1 n n i ij ji j i 1 j 1 2I m a a a a ====λ= ξ-ξ≤ ξ-ξ∑∑ ∑∑ n ' i j ij ji i ,j 1 a a == ξξ-∑ （'∑表示不含i ＝j ） n ' i j i ,j 1 2M =≤ξξ∑ () 2 n 2 2 ' i j i ,j 1 I m M =? ?λ≤ξξ ? ? ? ∑ () n 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1=≤-ξξ∑ () n 2 2 2 ' i j i ,j 1M n n 1==-ξξ∑ n n n n n 2 2 2 2 4 2 4 ' i j i j i i i i ,j 1 i ,j 1 i 1 i 1 i 1 =====ξξ= ξξ- ξ≤ ξ- ξ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ( )n 2 2 i i i 11== ξ-ξ∑ 不妨写为： ( ) ( ) ( )n 2 222 2 2 1 1 2 2 i i i 3 111==ξ-ξ +ξ -ξ + ξ -ξ∑ ( )( )( )2 2 2 2 2 2 n 11 22 2 2 i i i 3 1112 2 =????ξ +-ξξ +-ξ ? ? ≤++ ξ-ξ ? ? ? ???? ? ∑ 12 ≤ 取等号的条件为2 2 1 2 12 ξ=ξ= ，但 2 x 1 =，所以其它2 i ξ= ∴ () Im M λ≤定理2. 设n n A R ?∈，λ为A 的任意特征值，则有 n λ≤ρ ()R e n λ≤τ () I m n s λ≤ 其中，ij 1i,j n m a x a ≤≤ρ =，ij ji 1i,j n m a x a a ≤≤τ =+，ij ji 1i,j n s m a x a a ≤≤=- 二、 盖尔圆法 定义：设() n n ij n n A a C ??= ∈,由方程 n ii i ij j 1 i j z a R a =≠-≤= ∑ 所确定的圆称 为A 的第i 个盖尔圆，i R 称为盖尔圆的半径。 9-10 在瓦特行星传动机构中，平衡杆O 1A 绕O 1轴转动，并借连杆AB 带动曲柄OB ；而曲柄OB 活动地装置在O 轴上，如图所示。在O 轴上装有齿轮Ⅰ，齿轮Ⅱ与连杆AB 固连于一体。已知：r 1＝r 2＝0.33m ，O 1A ＝0.75m ，AB ＝1.5m ；又平衡杆的角速度ωO 1＝6rad/s 。求当γ＝60°且β＝90°时，曲柄OB 和齿轮Ⅰ的角速度。 题9－10图 【知识要点】 Ⅰ、Ⅱ两轮运动相关性。 【解题分析】 本题已知平衡杆的角速度，利用两轮边缘切向线速度相等，找出ωAB ,ωOB 之间的关系，从而得到Ⅰ轮运动的相关参数。 【解答】 A 、B 、M 三点的速度分析如图所示，点C 为AB 杆的瞬心，故有 AB A O CA v A A B ??== 21ωω ωω?= ?=A O CD v AB B 12 3 所以 s rad r r v B OB /75.32 1=+= ω s rad r v CM v M AB M /6,1 == ?=I ωω 9-12 图示小型精压机的传动机构，OA ＝O 1B ＝r ＝0.1m ，EB ＝BD ＝AD ＝l ＝0.4m 。在图示瞬时，OA ⊥AD ，O 1B ⊥ED ，O 1D 在水平位置，OD 和EF 在铅直位置。已知曲柄OA 的转速n ＝120r/min ，求此时压头F 的速度。 题9－12图 【知识要点】 速度投影定理。 【解题分析】 由速度投影定理找到A 、D 两点速度的关系。再由D 、E 、F 三者关系，求F 速度。 【解答】 速度分析如图，杆ED 与AD 均为平面运动，点P 为杆ED 的速度瞬心，故 v F = v E = v D 由速度投影定理，有A D v v =?θcos 可得 s l l r n r v v A F /30.1602cos 2 2m =+??== πθ 9-16 曲柄OA 以恒定的角速度＝2rad/s 绕轴O 转动，并借助连杆AB 驱动半径为r 的轮 子在半径为R 的圆弧槽中作无滑动的滚动。设OA ＝AB ＝R ＝2r ＝1m ，求图示瞬时点B 和点C 的速度与加速度。 题9－16图 【知识要点】 基点法求速度和加速度。 【解题速度】 分别对A 、B 运动分析，列出关于B 点和C 点的基点法加速度合成方程，代入已知数据库联立求解。 【解答】 轮子速度瞬心为P, AB 杆为瞬时平动，有 §3 方阵的特征值与特征向量 一、特征值与特征向量的定义 设A 为n 阶方阵，p 是某个n 维非零列向量. 一般来说，n 维列向量Ap 未必与p 线性相关，也就是说向量Ap 未必正好是向量p 的倍数. 如果对于取定的n 阶方阵A ，存在某个n 维非零列向量p ，使得Ap 正好是p 的倍数，即存在某个数λ使得λAp =p ，这样的向量就是 A 的相应的特征向量. 下面正式给出方阵的特征值和特征向量的定义. 定义3.1 设() i j n n a ?=A 为n 阶实方阵. 若存在某个数λ和某个n 维非零列向量p 使 λAp =p ， 则称λ是A 的一个特征值，称p 是A 的属于特征值λ的一个特征向量. 为了求出A 特征值和特征向量，我们把λAp =p 改写成()λ-=n E A p 0. 再把λ看成 待定参数，那么p 就是齐次线性方程组()λ-=n E A x 0的任意一个非零解. 显然，它有非零 解当且仅当它的系数行列式为零： 0λ-=n E A . 定义3.2 带参数λ的n 阶方阵λ-n E A 称为A 的特征方阵，它的行列式λ-n E A 称 为A 的特征多项式. 称 0λ-=n E A 为A 的特征方程. 根据行列式的定义可知有以下等式 11 12 12122 21 2 n n n n n n a a a a a a a a a λλλλ-------= ---n E A ()()()11 22 n n a a a λλλ= ---+ , (1) 在省略的各项中不含λ的方次高于2n -的项, 所以n 阶方阵A 的特征多项式一定是λ的n 次多项式. A 的特征方程的n 个根（复根，包括实根或虚根, r 重根按r 个计算）就是A 的n 个特征值. 在复数范围内, n 阶方阵一定有n 个特征值. 综上所述, 对于给定的n 阶实方阵()i j a =A , 求它的特征值就是求它的特征多项式(1)的 n 个根. 对于任意取定的一个特征值0λ，A 的属于这个特征值0λ的特征向量，就是对应的 第四章判别分析 习题4.8 （1）根据数据建立贝叶斯判别函数，并根据此判别函数对原样本进行回判。 （2）现有一新品牌的饮料在该超市试销，其销售价格为3.0，顾客对其口味评分为8，信任度评分平均为5，试预测该饮料的销售情况。 将数据导入SPSS，分析得到以下结果： 1.典型判别函数的特征函数的特征值表 表1-1 特征值表 表1-1所示是典型判别函数的特征值表，只有两个判别函数，所以特征值只有2个。函数1的特征值为17.791，函数2的特征值为0.720，判别函数的特征值越大，说明函数越具有区别判断力。函数1方差的累积贡献率高达96.1%，且典型相关系数为0.973，而函数2方差的贡献率仅为3.9%，典型相关系数为0.647。由此，说明函数1的区别判断力比函数2的强，函数1更具有区别判断力。 2.Wilks检验结果 表1-2 Wilks 的Lambda 上表中判别函数1和判别函数2的Wilks’Lambda值为0.031，判别函数2的Wilks’Lambda值为0.581。“1到2”表示两个判别函数的平均数在三个类间的差异情况，P值=0.002<0.05表示差异达到显著水平“2”表示在排除了第一个判别函数后，第二个判别函数在三个组别间的差异情况，P值=0.197>0.05表示判别函数2未达到显著水平。 3.建立贝叶斯判别函数 表1-3 贝叶斯判别法函数系数 上表为贝叶斯判别函数的系数矩阵，用数学表达式表示各类的贝叶斯判别函数为： 第一组： F1=-81.843-11.689X1+12.97X2+16.761X3 第二组： F2=-94.536-10.707X1+13.361X2+17.086X3 第三组： F3=-17.499-2.194X1+4.960X2+6.447X3 将新品牌饮料样品的自变量值分别代入上述三个贝叶斯判别函数，得到三个函数值为： F1=65.271，F2=65.661，F3=47.884 比较三个值，可以看出F2=65.661最大，据此得出新品牌饮料样品应该属于第二组，即该饮料的销售情况为平销。 4.个案观察结果表 表1-4 个案观察结果表 《理论力学》第四章作业参考答案 习题 4-1 解： 以棒料为研究对象，所受的力有重力P 、力偶M ，与V 型槽接触处的法向 约束力1N F 、2N F 和摩擦力1S F 、2S F ，且摩擦力的方向与棒料转动方向相反，如图所示。建立坐标系，列平衡方程： ?? ?? ???===∑∑∑0 )(00F M F F O y x ?? ???=-+=--=-+0 125.0125.00 45sin 0 45cos 210 12021M F F P F F P F F S S S N S N 临界条件下，补充方程： 11N S S F f F = 22N S S F f F = 联立以上各式得： 223.01=s f 491.42=s f （忽略） 答：棒料与V 型槽间的静摩擦因数223.0=s f 。 习题4-6 解法一： (1)取整体为研究对象，作用力有重力P 、提砖力F ，列平衡方程： 0=-P F 所以 )(120N F = (2)取砖块为研究对象，其受力情况如图所示：作用力有重力P 、法向约束 力NA F 、ND F 和摩擦力SA F 、SD F ，由于其滑动趋势向下，所以其摩擦力的方向向上。列平衡方程： ∑=0)(F M D 0250125=-SA F P 补充方程： NA S SA F f F ≤ 所以 )(60N F SA = )(160N F NA ≥ (3)取构件AGB 为研究对象，所受的力除提砖力F 外，还有砖块对其作用的 正压力NA F ' 、摩擦力SA F ' ， G 点的约束力G X F 、G Y F 。列平衡方程： ∑=0)(F M G 03095='-'+NA SA F b F F 其中NA F ' 与砖块所受的力NA F 、SA F ' 与砖块所受的力SA F 分别为作用力与反作用力关系，将各力的数值代入得 第四章 一、单项选择题 1、算术平均数的基本形式是（）。 ①同一总体不同部分对比②不同总体两个有联系的指标数值对比 ③总体部分数值与总体数值对比 ④总体单位数量标志值之和与同一总体的单位数对比 2、平均数指标反映了同质总体的（）。 ①集中趋势②离中趋势③变动趋势④分布特征 3、分配数列各组变量值不变，每组次数均增加25%，加权算术平均数的数值（）。 ①增加25% ②减少25% ③不变化④无法判断 4、对下列资料计算平均数，适宜于采用几何平均数的是（）。 ①对某班同学的考试成绩求平均数②对一种产品的单价求平均数 ③由相对数或平均数求其平均数④计算平均比率或平均速度时 5、SRL服装厂为了了解某类服装的代表性尺寸，最适合的指标是（）。 ①算术平均数②几何平均数 ③中位数④众数 6、下列平均数中不受资料中极端数值影响的是（）。 ①算术平均数②调和平均数 ③几何平均数④中位数和众数 7、分配数列中各组变量值都增加3倍，每组次数都减少1/3，中位数（）。 ①增加3倍②减少3倍③减少1/3 ④不变 8、若某一变量数列中，有变量值为零，则不适宜计算的平均指标是（）。 ①算术平均数②调和平均数 ③中位数④众数 9、一班和二班《统计学》平均考试成绩分别为78.6分和83.3分，成绩的标准差分别为9.5 分和11.9分，可以判断（）。 ①一班的平均成绩有较大的代表性 ②二班的平均成绩有较大的代表性 ③两个班的平均成绩有相同代表性 ④无法判断 10、离散程度指标的数值越小，表明（）。 ①总体分布越集中，平均指标的代表性越大 ②总体分布越集中，平均指标的代表性越小 ③总体分布越分散，平均指标的代表性越大 ④总体分布越分散，平均指标的代表性越小 11、若两数列的计量单位不同，在比较两数列离散程度大小时，应采用（）。 ①全距②平均差③标准差④标准差系数 12、由总体中两个极端数值大小决定的标志变异指标是（）。 ①极差②平均差③标准差④方差 理论力学思考题答案 1-1 （1）若F 1=F 2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向相同。 （2）若F 1=F 2表示力，则一般只说明两个力大小相等，方向是否相同，难以判定。 （3）说明两个力大小、方向、作用效果均相同。 1-2 前者为两个矢量相加，后者为两个代数量相加。 1-3 （1）B 处应为拉力，A 处力的方向不对。 （2）C 、B 处力方向不对，A 处力的指向反了。 （3）A 处力的方向不对，本题不属于三力汇交问题。 （4）A 、B 处力的方向不对。 1-4 不能。因为在B 点加和力F 等值反向的力会形成力偶。 1-5 不能平衡。沿着AB 的方向。 1-7 提示：单独画销钉受力图，力F 作用在销钉上；若销钉属于AC ，则力F 作用在AC 上。受力图略。 2-1 根据电线所受力的三角形可得结论。 2-2不同。 2-3（a ）图和（b ）图中B 处约束力相同，其余不同。 2-4（a ）力偶由螺杆上的摩擦力和法向力的水平分力形成的力偶平衡，螺杆上的摩擦力与法向力的铅直方向的分力与N F 平衡。 （b ）重力P 与O 处的约束力构成力偶与M 平衡。 2-5可能是一个力和平衡。 2-6可能是一个力；不可能是一个力偶；可能是一个力和一个力偶。 2-7一个力偶或平衡。 2-8（1）不可能；（2）可能；（3）可能；（4）可能；（5）不可能；（6）不可能。 2-9主矢：''RC RA F F =，平行于BO ；主矩： '2C RA M aF =，顺时针。 2-10正确：B ；不正确：A ，C ，D 。 2-11提示：OA 部分相当一个二力构件，A 处约束力应沿OA ，从右段可以判别B 处约束力应平行于DE 。 3-1 矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用，它的物理意义在于什么 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手，把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵，最简单的线性变换就是数乘变换，求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换，特征值就是这个数乘变换的变换比，这样的一些非零向量就是特征向量，其实我们更关心的是特征向量，希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和，这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行，这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理！ 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题，才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中，其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ，其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍，即 ；对某些输入，其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ= ? 例如，对系统 ，若输入 ? 则 ? ? 若输入 ，则 ? 所以，给定一个线性系统A ，到底对哪些输入，能使其输出按比例放大，放大倍数 等于多少这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念： ? 定义 设A 是一个n 阶方阵，若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ，使得 则称 是方阵A 的特征值，非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量，或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ 9 矩阵特征值计算 在实际的工程计算中，经常会遇到求n 阶方阵 A 的特征值(Eigenvalue)与特征向量(Eigenvector)的问题。对于一个方阵A，如果数值λ使方程组 Ax=λx 即(A-λI n )x=0 有非零解向量(Solution Vector)x，则称λ为方阵A的特征值，而非零向量x为特征值λ所对应的特征向量，其中I n 为n阶单位矩阵。 由于根据定义直接求矩阵特征值的过程比较复杂，因此在实际计算中，往往采取一些数值方法。本章主要介绍求一般方阵绝对值最大的特征值的乘幂(Power)法、求对称方阵特征值的雅可比法和单侧旋转(One-side Rotation)法以及求一般矩阵全部特征值的QR 方法及一些相关的并行算法。 1.1 求解矩阵最大特征值的乘幂法 1.1.1 乘幂法及其串行算法 在许多实际问题中，只需要计算绝对值最大的特征值，而并不需要求矩阵的全部特征值。乘幂法是一种求矩阵绝对值最大的特征值的方法。记实方阵A的n个特征值为λi i=(1,2, …,n)，且满足： │λ1 │≥│λ2 │≥│λ3 │≥…≥│λn │ 特征值λi 对应的特征向量为x i 。乘幂法的做法是：①取n维非零向量v0 作为初始向量；②对于 k=1,2, …,做如下迭代： 直至u k+1 ∞ - u k u k =Av k-1 v k = u k /║u k ║∞ <ε为止，这时v k+1 就是A的绝对值最大的特征值λ1 所对应的特征向∞ 量x1 。若v k-1 与v k 的各个分量同号且成比例，则λ1 =║u k ║∞；若v k-1 与v k 的各个分量异号且成比例，则λ1 = -║u k ║∞。若各取一次乘法和加法运算时间、一次除法运算时间、一次比较运算时间为一个单位时间，则因为一轮计算要做一次矩阵向量相乘、一次求最大元操作和一次规格化操作，所以下述乘幂法串行算法21.1 的一轮计算时间为n2+2n=O(n2 )。 算法21.1 单处理器上乘幂法求解矩阵最大特征值的算法 输入：系数矩阵A n×n ，初始向量v n×1 ，ε 输出：最大的特征值m ax Begin while (│diff│>ε) do (1)for i=1 to n do (1.1)sum=0 (1.2)for j= 1 to n do sum=sum+a[i,j]*x[j] end for 理论力学题库——第四章 一、填空题 1.科里奥利加速度（“是”或“不是”）由科里奥利力产生的，二 者方向（“相同”或“不相同”）。 2.平面转动参考系中某一点对静止参考系的加速度的表达式 是，其中是相对加速度，是牵 连加速度，是科里奥利加速度。 4-1.非惯性系中，运动物体要受到 4种惯性力的作用它们是：惯性力、惯性切 向力、惯性离轴力、科里奥利力。 4-2.在北半球，科里奥利力使运动的物体向右偏移，而南半球，科里奥利力使 运动的物体向左偏移。（填“左”或“右”） 4-3.产生科里奥利加速度的条件是：物体有相对速度υ'及参照系转动，有角速度ω，且υ'与ω不平行。 4-4.科里奥利加速度是由参考系的转动和物体的相对运动相互影响产生的。 4-5.物体在主动力、约束力和惯性力的作用下在动系中保持平衡，称为相对平衡。4-6.重力加速度随纬度增加的主要原因是：地球自转产生的惯性离轴力与地心引力有抵消作用。 4-7.由于科里奥利力的原因北半球气旋（旋风）一般是逆时针旋转的.（顺时针或逆时针） 4-8.地球的自转效应，在北半球会使球摆在水平面内顺时针转动.（顺时针或逆时针） 二、选择题 1.关于平面转动参考系和平动参考系，正确的是（） A.平面转动参考系是非惯性系； B.牛顿定律都不成立； C.牛顿定律都成立； D.平动参考系中质点也受科里奥利力。 2. 下列关于非惯性系的说法中正确的是： 【C 】 A 惯性离心力与物体的质量无关； B 科里奥利力与物体的相对运动无关； C 科里奥利力是参考系的转动与物体相对与参考系的运动引起的； D 科里奥利力使地球上南半球河流右岸冲刷比左岸严重。 3. 科里奥利力的产生与下列哪个因素无关？ 【B 】 A 参照系的转动； B 参照系的平动； C 物体的平动； D 物体的转动。 4. 在非惯性系中如果要克服科里奥利力的产生，需要： 【D 】 A 物体作匀速直线运动； B 物体作匀速定点转动； C 物体作匀速定轴转动； D 物体静止不动。 5. A 、B 两点相对于地球作任意曲线运动，若要研究A 点相对于B 点的运动，则A (A) 可以选固结在B 点上的作平移运动的坐标系为动系； (B) 只能选固结在B 点上的作转动的坐标系为动系； (C) 必须选固结在A 点上的作平移运动的坐标系为动系； (D) 可以选固结在A 点上的作转动的坐标系为动系。 6..点的合成运动中D (A) 牵连运动是指动点相对动参考系的运动； (B) 相对运动是指动参考系相对于定参考系的运动； (C) 牵连速度和牵连加速度是指动参考系对定参考系的速度和加速度； (D) 牵连速度和牵连加速度是该瞬时动系上与动点重合的点的速度和加速度。 7. dt v d a e e =和dt v d a r r =两式A (A) 只有当牵连运动为平移时成立； (B) 只有当牵连运动为转动时成立； (C) 无论牵连运动为平移或转动时都成立； (D) 无论牵连运动为平移或转动时都不成立。 8.点的速度合成定理D (A) 只适用于牵连运动为平移的情况下才成立； (B) 只适用于牵连运动为转动的情况下才成立； (C) 不适用于牵连运动为转动的情况； (D) 适用于牵连运动为任意运动的情况。 第四章 统计特征值 1．某车间工人日生产零件分组资料如下： （2）说明该数列的分布特征。 解： ()()()() ) (71.6571.56010 5080408060111个=+=?-+-+=?-+-+=+--i f f f f L M o ) (65560108060 22006021个=+=?-+=?-+=-i f S N L M m m e )(5.6420012900 个== =∑∑f xf x 因为o e ＜M ＜M x ，所以，该数据分布属于左偏分布。 2．某公司所属三个企业生产同种产品，2002年实际产量、计划完成情况及产品优质品率资料如下： （2）该公司实际的优质品率。 解：（1）产量计划完成百分比： % 95.9320 .532500 8 .02501.11502.1100250150100== ++++== ∑∑x m m x （2）实际优质品率： % 8.96500484 25015010098.025096.015095.0100==++?+?+?= = ∑∑f xf x 3．某企业2003年一、二季度生产某产品产量资料如下： （2）由于质量变化而给该企业带来的收益（或损失）。 解：（1）平均等级： ) (22.150******** 3100275011 1 1 级=++?+?+?= = ∑∑f xf x ) (5.1100300600100 3300260012 2 2 级=++?+?+?= = ∑∑f xf x 二季度比一季度平均等级下降0.28级。 （2）由于质量下降而带来的损失： ) (33.16835010075050 800100125075018001 1 1 元=++?+?+?= = ∑∑f pf p ) (1535100300600100 800300125060018002 2 2 元=++?+?+?= = ∑∑f pf p () ()) (148330100033.16831535212 元-=?-=?-∑f p p 由于产品质量下降而损失148330元。 4．某区两个菜场有关销售资料如下： 解： )(82.22005 5650 5.315008.219505.22200150019502200元== ++++= =∑∑x m m x 甲 ) (98.257 .22136600 5 .330008.219505.21650300019501650元== ++++== ∑∑x m m x 乙 乙菜场比甲菜场平均价格高0.16元，理由是销售量结构变动影响。 4-1 图示为一轧纸钳，其尺寸如图所示。工作时上、下钳口保持平行，设手握力为P ，求作用于纸片上的力Q 的大小。 解： 1）取整个轧纸钳为研究对象。 2）系统约束为理想约束。 3）主动力P 和Q 分别作用在B 点和A 点。 4）取A 点和B 点的无穷小真实位移为虚位移A y δ和B y δ。 5）建立虚位移和的关系。由几何关系得 ::A B y a y b δδ= 6）主动力的虚功为 0B A A P y Q y δδδ=-= 于是 B A y Pb Q P y a δδ== 4-2 图示机构的在C 处铰接，在D 点上作用水平力P ，已知AC =BC =EC =FC =DE =DF =l ，求保持 机构平衡的力Q 的值。 解：建立如图所示的坐标系，由几何关系得： θcos 2l y A =，θsin 3l x D = 由虚位移原理得： 0=+D A x P y Q δδ 所以： θPctg Q 2 3 = 4-4 反平行四边形机构ABCD 中的杆CD AB 、和BC 用铰链B 和C 互相连接，同时又用铰链A 和D 连在机架AD 上。在杆CD 的铰链C 处作用着水平力C F 。在铰链B 沿垂直于杆 AB 的方向作用有力B F ，机构在图示位置处于平衡。设AD BC =，AB CD =， ?=∠=∠90ADC ABC ，?=∠30DCB 。求B F 的大小。 解：根据题意，选三根杆组成的整体为研究对象，约束均为理想约束，主动力为B C F F 及。质系平衡，则由虚位移原理，有 0C C B B δδ+=F r F r 又由运动学知识， ）（3/cos /1)/()/(11πδδ==B C B C v v r r 其中11B B v r 及δ是沿CB 杆方向的分量。 联立上述两式可得， C B F F 2= 4-5 滑套D 套在光滑直杆AB 上，并带动CD 杆在铅垂滑道上滑动，如图所示。已知当0θ= 时，弹簧等于原长，且弹簧系数为5kN/m 。若系统的自重不计，求在任意位置θ角平衡时，在AB 杆上应加多大力偶矩M 。 第四章统计资料的初步描述 一、单项选择题 1、数值随着总体范围大小发生增减变化的统计指标是（）。 ①总量指标②相对指标③平均指标④标志变异指标 2、将总量指标按其反映总体总量的内容不同分为（）。 总体标志总量指标和总体单位总量指标 时期指标和时点指标 实物总量指标和价值总量指标 动态指标和静态指标 3、若以我国工业企业为研究对象，则单位总量指标为（）。 ①工业企业总数②工业职工总人数 ③工业设备台数④工业增加值 4、下列表述正确的是（）。 ①单位总量与标志总量无关②单位总量和标志总量是相对的 ③某一总量指标在某一总体中是单位总量指标，则在另一总体中也一定是单位总量指标 ④某一总量指标在某一总体中是标志总量指标，则在另一总体中也一定是标志总量指标 5、某地区年末居民储蓄存款余额是（）。 ①时期指标②时点指标③相对指标④平均指标 6、总量指标数值大小（）。 ①随总体范围增大而增大②随总体范围增大而缩小 ③随总体范围缩小而增大④与总体范围大小无关 7、下列指标中，哪个不是时期指标（）。 ①森林面积②新增林地面积 ③减少林地面积④净增林地面积 8、下列指标中属于时点指标的是（）。 ①国内生产总值②劳动生产率 ③固定资产投资额④居民储蓄存款余额 9、下列指标中属于时期指标的是（）。 ①人口出生数②人口总数 ③人口自然增长率④育龄妇女数 10、相对指标是不能直接相加的，但在特定条件下，个别指标可以相加，如（）。 ①结构相对指标②动态相对指标 ③比例相对指标④强度相对指标 11、某产品单位成本计划规定比基期下降3%，实际比基期下降3.5%，单位成本计划完成程度为（）。 ①85.7% ②99.5% ③100.5% ④116.7% 12、宏发公司2006年计划规定利润应比2005年增长10%，实际执行的结果比2005年增长了12%，则其计划完成程度为（）。 ①83% ②120% ③101.8% ④98.2% 13、按照计划，宏发公司今年产量比上年增加30%，实际比计划少完成10%，同上年相比，今年产量实际增长程度为 ①12% ②17% ③40% ④60% 5-1 如图所示，置于V 型槽中的棒料上作用一力偶，力偶的矩M ＝15N ?m 时，刚好能转动此棒料。已知棒料重P ＝400N ，直径D ＝0.25m ，不计滚动摩阻。试求棒料与V 形槽间的静摩擦系数f s 。 【知识要点】 通过摩擦定律求摩擦系数。 【解题分析】 通过平衡方程和摩擦定律求解，两点同时到达临界状态。 【解答】 以棒料为研究对象，受力如图，在临界状态时，由平衡方程 题5－1图 ∑∑∑=-+==--==-+=02) (,0)(045cos ,0045sin ,0000M D F F F M P F F F P F F F SB SA SA NB y SB NA x 其中 F SB =f S F NB ,F SA =f s F NA 解得 f S =0.223 5-18 尖劈顶重装置如图所示。在B 块上受力P 的作用。A 与B 块间的摩擦系数为f s （其它有滚珠处表示光滑）。如不计A 和B 块的重量，试求：使系统保持平衡的力F 的值。 【知识要点】 考察摩擦的平衡问题、摩擦角、几何法。 【解题分析】 本题采用几何法更简单。读者可练习用解析法求解。平衡的临界状态有两种，可分别求得F 的最大值和最小值。 【解答】 以整体为研究对象，受力如图（a ）所示。 则由 ∑=-=0,0P F F NA y 解得 F NA = P 假设F 题5－18图 )tan(),tan(21?α?α+=-=P F P F 为使系统平衡则F 值应为F 1≤F ≤F 2 又?tan =s f 则上式化为 a f f P F f f P s s s s sin cos cos sin sin cos cos sin -+≤≤+-ααααααα 5-14 均质圆柱重P 、半径为r ，搁在不计自重的水平杆和固定斜面之间。杆端A 为光滑铰 链，D 端受一铅垂向上的力F ，圆柱上作用一力偶，如图所示。已知F ＝P ，圆柱与杆和斜面间的静滑动摩擦系数皆为f s ＝0.3，不计滚动摩阻，当a ＝45°时，AB ＝BD 。求此时能保持系统静止的力偶矩M 的最小值。 题5－14图 【知识要点】 考察摩擦的平衡问题。 【解题分析】 当力偶矩较小时，圆柱可能的运动形式有两种，一种是点E 先滑动，另一种 4－1.套管A由绕过定滑轮B的绳索牵引而沿铅垂导轨上升，滑轮中心到导轨的距离为l，如图所示。设绳索以等速 v拉下，忽略滑轮尺寸。求套管A的速度 和加速度与距离x的关系式。 4－2.图示摇杆滑道机构中的滑块M同时在固定的圆弧槽BC和摇杆OA的滑道中滑动。如弧BC的半径为R，摇杆OA的轴O在弧BC的圆周上。摇杆绕O 轴以等角速度 转动，当运动开始时，摇杆在水平位置。试分别用直角坐标法和自然法给出点M的运动方程，并求其速度和加速度。 4－3.如图所示，光源A以等速v沿铅直线下降。桌子上有一高为h的立柱，它与上述铅直线的距离为b。试求该柱上端的影子M沿桌面移动的速度和加速度的大小（将它们表示为光源高度y的函数）。 4－4.小环M 由作平动的丁字形杆ABC 带动，沿着图示曲线轨道运动。设杆 ABC 的速度==v x 常数，曲线方程为px y 22=。试求环M 的速度和加速度的大小（写成杆的位移x 的函数）。 4－4.如图所示，曲柄CB 以等角速度0ω绕C 轴转动，其转动方程为t 0ω?=。滑块B 带动摇杆OA 绕轴O 转动。设h OC =，r CB =。求摇杆的转动方程。 4－5.图示机构中齿轮1紧固在杆AC 上，AB=O 1O 2，齿轮1和半径为2r 的齿轮2啮合，齿轮2可绕O 2轴转动且和曲柄O 2B 没有联系。设l B O A O ==21，t b ω?sin =，试确定s 2ω π=t 时，轮2的角速度和角加速度。 4－6.半径mm 100=R 的圆盘绕其圆心转动，图示瞬时，点A 的速度为 m m /s 200j v =A ，点B 的切向加速度2mm/s 150i a =τ B 。试求角速度ω和角加速α，并进一步写出点 C 的加速度的矢量表达式。 4－7.圆盘以恒定的角速度rad/s 40=ω绕垂直于盘面的中心轴转动，该轴在z y - 4-7图示空间构架由三根无重直杆组成，在D端用球铰链连接，如图所示。 A、B和C端则用球铰链固定在水平地板上。如果挂在D端的物重P＝ 10kN，试求铰链 A、B和C的反力。 题4-7图 【知识要点】空间汇交力系的平衡方程。 【解题分析】空间汇交力系平衡方程的一般形式为三个投影式。 【解答】受力分析如图所示，可知三杆都是二力杆F F Fx y0,F Acos450 F Bcos4500 0,F Asin450cos300＋F Bsin450cos300 F Ccos1500 0,F Asin450sin300 F Asin450sin300 F Csin150P0z由上面三个方程联立，解得F A = F B= 26.39kNFC= 33.46kN 4-14图示电动机以转矩M通过链条传动将重物P等速提起，链条与水平线成30角（直线O 1x 1平行于直线A x）。已知： r＝100mm，R＝200mm，P＝10kN，链条主动边（下边）的拉力为从动边拉力的两倍。轴及轮重不计求支座A和B的反力以及链条的拉力。 【知识要点】空间任意力系的平衡方程。 【解题分析】此力系在y方向投影自动满足，所有只有五个独立方程。 【解答】将大小转轮相连的链条断开后，系统受力如图。 已知链条下边的拉力为上边的拉力的二倍，则F 1=2F 2。题4－14图 由力系平衡可得 F0,F F(F F)cos300F0,F F(F F)sin30P0M(F)0,1000F 600(F F)sin30300P0M(F)0,(F F)R Pr0M(F)0,1000F600(F F )cos3000x zAxBx120AzBz120xBz12 y210zBx12 xx得F 1＝10kN, F 2＝5kN, F B z ＝1.5kNFA z ＝6kN, F 理论力学第四章习题解答 4.1解如题4.1.1图所示. 坐标系的原点位于转动的固定点，轴沿轴与角速度的方向一致，即设点沿运动的相对速度为则有题意得： 故在点时的绝对速度 设与轴的夹角为，则故与边的夹角为，且指向左上方。 点时绝对速度 题４．１．１ Oxyz Ox Oz OB ,.k ω=ωP j v '='v π ωωπ22b v v b ='='，得：P A ()()[]1 482212222++=++-=+?+=?+'=πππ ωπππωωπ ωb b b b b v j i i j k j OA ωv v v y ()边即AB θ,1 22tan +== ππθy x v v v AB 1 22arctan +ππ A P 在()()[]1 22122022222++=++-=? ++-='?+'=πππ ωπππωπ ωωωωb b b b b a j i j k j i v ωOA -a a 2 设的夹角为，则,故与边的夹角为，且指向左下方。 4.2解 如题4.2.1图所示， 以转动的方向为极角方向建立坐标系。轴垂直纸面向外，设点相对速度 ① 设绝对速度的量值为常数，则： ① 对①式两边同时球时间导数得： 依题意故解得通解 当时，，将其带入①式游客的知： 时， 即 最后有 ()边轴与AB y a θ'π πθ1 tan +== 'y x a a a AB π π1 arctan +o 题４．２．１图 Ox Oz P θωωe e re k e OP ωv v r r r r r r +=?+=?+'= v v 2222v r r =+ω () 022=+r r r ω ,0≠r 02=+r r ω ()t B t A t r ωωsin cos +=0=t ()0=t r 0=t .v r = ?? ? ??==???==ωωv B A v B A 0,0()t v t r ωω sin =统计学第四章统计综合指标
《理论力学》第四章作业答案
12 特征值估计、广义特征值与极大极小原理
理论力学第七版答案 第九章
第四章方阵的特征值理论
多元统计分析应用 第四章课后习题
理论力学答案第四章
统计学原理第四章 习题
理论力学(第七版)思考题答案
矩阵特征值的意义
并行计算-矩阵特征值计算 -
理论力学题库第4章
统计学期末复习计算题
理力答案_第四章
04第四章统计资料的初步描述习题
理论力学第七版答案
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第4章习题解答
理论力学第七版答案
理论力学第四章课后习题解答