北京四中中考数学全真模拟试题及答案

中考数学全真模拟试题（4） 第Ⅰ卷 （机读卷 共32分）

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

下列各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的．用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．

1．5-的相反数是（ ）

A ．5

B ．5-

C ．

15 D ．15

- 2．在第十一届全国人民代表大会第二次会议上，温家宝总理在政府报告中指出：2008年我国粮食连续五年增产，

总产量为52850万吨，创历史最高水平.将52850用科学记数法表示应为（ ）

A ．528510?

B ．3

52.8510? C ．3

5.28510? D ．4

5.28510? 3．五边形的内角和是（ ）

A ．180°

B ．360°

C ．540°

D ．720° 4城市 北京 上海 重庆 杭州 苏州 广州 武汉 最高温度 （℃）

26

25

31

29

29

31

31

A ．29，28

B ．31，29

C ．26，30

D ．25，31

5．若两圆的半径分别是2cm 和5cm ，圆心距为3cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切

6．如图，有4张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别写有一个实数，背面完全相同．现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上，从中随机抽取一张，抽出卡片正面的实数是无理数的概率是

A ．1

2

B ．14

C ．34

D ．1

7．已知：2222233+

=?，2333388+=?，244441515+=?，255

552424

+=?

，…，若 21010b b

a a

+=?符合前面式子的规律，则a b +的值为（ ）

A ．179

B ．140

C ．109

D ．210

8．将一正方体纸盒沿下右图所示的粗实线剪开，展开成平面图，其展开图的形状为（ ）．

A ．

B .

C .

D .

纸盒剪裁线

正方体纸盒0.1625—32

第Ⅱ卷 （非机读卷 共88分）

二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分） 9．在函数1y x =

-中，自变量x 的取值范围是______________．

10．如图，点A 、B 、C 是⊙O 上三点，∠C 为20°，则∠AOB 的度数 为__________°．

11．分解因式：2

242x x ++=____________________．

12．如图，小正方形方格的边长为1cm ，则AB ⌒

的长为___________cm ．

三、解答题（共5道小题，共25分） 13．（本小题满分5分）

计算：1

012sin 60(2009)122-??

+--+ ???

o ．

14．（本小题满分5分）

解不等式组()2035148x x x -

+-??g ≥，

15．（本小题满分5分）

已知：如图，AB ∥DE ，∠A ＝∠D ，且BE ＝CF ， 求证：∠ACB ＝∠F . 16．（本小题满分5分）

先化简，再求值：2314223a a a a +-??+÷ ?

--??

，其中2

410a a -+=．

17．（本小题满分5分）

如图，反比例函数k

y x

=的图象与一次函数y mx b =+的图象交于(13)A ，，(1)B n -，两点．求反比例函数与一次函数的解析式．

A

O

B

A B C D

F

A

O

C

B

C

B

D

A

图1图2A

D 'B

C

A C E

O B

D F 四、解答题（共2道小题，共10分） 18．（本小题满分5分）

如图1，矩形纸片ABCD 中，AB ＝4，BC ＝43，将矩形纸片沿对角线AC 向下翻折，点D 落在点D ’处，联结B D ’，如图2，求线段BD ’ 的长．

19．（本小题满分5分）

如图，点D 是⊙O 直径CA 的延长线上一点，点B 在⊙O 上，且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线；

（2）若点E 是劣弧BC 上一点，弦AE 与BC 相交

于点F ，且CF ＝9，cos ∠BF A ＝

3

2

，求EF 的长．

五、解答题（本题满分5分）

20．某校学生会准备调查本校初中三年级同学每天（除课间操外）课外锻炼的平均时间．

（1）确定调查方式时，①甲同学说：“我到1班去调查全体同学”；②乙同学说：“我到体育场上去询问参加锻炼的同学”；③丙同学说：“我到初中三年级每个班去随机调查一定数量的同学”．上面同学说的三种调查方式中最为合理的是___________（填写序号）；

（2）他们采用了最为合理的调查方式收集数据，并绘制出如图1所示的条形统计图和如图2所示的扇形统计图，请将图1补充完整；

（3）若该校初中三年级共有240名同学，则其中每天（除课间操外）课外锻炼平均时间不大于20分钟的人数约为__________人．

(注：图2中相邻两虚线形成的圆心角为30°)

图1 A C

E D

B

六、解答题（共2道小题，共10分） 21．（本小题满分5分）

列方程或方程组解应用题：

2008年5月12日14时28分在我国四川省汶川地区发生了里氏8.0级强烈地震，灾情牵动全国人民的心．“一方有难、八方支援”，某厂计划加工1500顶帐篷支援灾区，在加工了300顶帐篷后，由于情况紧急，该厂又增加了人员进行生产，将工作效率提高到原来的1.5倍，结果提前4天完成任务．问该厂原来每天加工多少顶帐篷．

22．（本小题满分5分）

把两个三角形按如图1放置，其中90ACB DEC ==?∠∠， 45A =?∠，30D =?∠，且6AB =，7DC =．把△DCE 绕点C 顺时针旋转15°得到△D 1CE 1，如图2，这时AB 与 CD 1相交于点O ，与D 1E 1相交于点F ．

（1）求1ACD ∠的度数；

（2）求线段AD 1的长；

（3）若把△D 1CE 1绕点C 顺时针再旋转30°得到△D 2CE 2，这时点B 在△D 2CE 2的

内部、外部、还是边上？请说明理由．

七、解答题（本题满分7分）

23．如图1，在ABC △中，ACB ∠为锐角，点D 为射线BC 上一

点，联结AD ，以

AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．

（1）如果AB AC =，90BAC =o

∠，

①当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合），如图2，线段CF BD 、所在直线的位置关系为 __________ ，线段CF BD 、的数量关系为 ；

②当点D 在线段BC 的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；

（2）如果AB AC ≠，BAC ∠是锐角，点D 在线段BC 上，当ACB ∠满足什么条件时，CF BC ⊥（点C F

、B

图2

A

E 1

C

D 1

O

F

图1 A B D F E C 图2

A B D C F 图3

A B E

不重合），并说明理由．

八、解答题（本题满分7分）

24. 如图，在平面直角坐标系中，直线1

(0)2

y x b b =-

+>分别交x 轴、y 轴于A B 、两点．点(40)C ，、(80)D ，，以CD 为一边在x 轴上方作矩形CDEF ，且:1:2CF CD =．设矩形CDEF 与ABO △重叠部分的面积为S ． （1）求点E 、F 的坐标；

（2）当b 值由小到大变化时，求S 与b 的函数关系式；

（3）若在直线1(0)2

y x b b =-+>上存在点Q ，使OQC ∠等于90o

，请直接．．

写出b 的取值范围．

九、解答题（本题满分8分） 25．已知抛物线2

23

y x bx c =-

++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积； （3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．

x

y

B C E A

F D

O

中考数学模拟试题（4）答案及评分参考

一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）

1．A ； 2．D ； 3．C ； 4．B ； 5．D ； 6．B ； 7．C ； 8．A ． 二、填空题（共4道小题，每小题4分，共16分）

9．x ≥1； 10．40； 11．()2

21x +； 122π． 三、解答题（共5道小题，共25分）

13．解：1

12sin 60(2009)122-??

+- ???

o

14．

()2035148x x x -

+-??≥， ①

，②

3

21232=+-+…………4分 解：解不等式①，得x >2； ····· 2分 33=-5分 解不等式②，得1x -≥； ··· 4分

在数轴上表示不等式①、②的解集,

∴原不等式组的解集为x >2． ·· 5分

15．证明： ∵AB ∥DE ，∴∠B ＝∠DEF ， ·························································· 1分

∵BE ＝CF ， ∴BE ＋CE ＝CF ＋CE ，即BC ＝EF ， ································ 2分 ∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ≌△DEF ． ···················································· 4分 ∴∠ACB ＝∠F . ············································································ 5分

16．解：23

14223a a a a +-??+÷ ?--??2314223a a a a +-??=-÷ ?--??

22423a a a +-=÷-………2分 ()()23222a a a a +=

?-+-2

3

44a a =-+ ····················································· 4分

∵2

410a a -+= ∴2

41a a -=-

12345-1-2-3-4-50

A E

O B

D F O 1

42

3

B

D 'A 图2

图1

A D B

C

E

当2

41a a -=-时， 原式3

114

=

=-+． ·

················································ 5分 17．解：（1）∵点A (13)，在反比例函数k

y x =的图象上，∴3k =， …………………1分

∴反比例函数的解析式为3

y x =， ··················································· 2分

∵点B (1)n -，在反比例函数3

y x

=的图象上，

∴3

1n

=-，∴3n =-， ································································ 3分 ∴点B 的坐标为(31)--，，

∵点A 、点B 在一次函数y mx b =+的图象上． ∴331m b m b +=??-+=-?，∴12

m b =??=? ∴一次函数的解析式为2y x =+ ····················································· 5分

四、解答题（共2个小题，共10分）

18．解：设AD ’交BC 于O ，

方法一：

过点B 作BE ⊥AD ’于E ， 矩形ABCD 中，

∵AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∠B ＝∠D ＝∠BAD ＝90°， 在Rt △ABC 中，

∵ta n ∠BAC ＝

43

34

BC AB == ∴∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝90°—∠BAC ＝30°，……………………………2分

∵将△ACD 沿对角线AC 向下翻折，得到△ACD ’，

∴AD’＝AD ＝BC ＝431＝∠DAC ＝30°， ∴∠4＝∠BAC —∠1＝30°，

又在Rt △ABE 中，∠AEB ＝90°,∴BE ＝2， ……………………………………4分 ∴AE 2223AB BE -=D’E ＝AD’—AE ＝3

∴AE ＝D’E ，即BE 垂直平分AD’，∴BD ’＝AB ＝4. ……………………………5分 方法二：

矩形ABCD 中，∵AD ∥BC ，AD ＝BC ，∠B ＝∠D ＝90°，∴∠ACB ＝∠DAC ， 在Rt △ABC 中，∵ta n ∠BAC ＝

3

34

BC AB == ∴∠BAC ＝60°，∴∠ACB ＝90°—∠BAC ＝30°，……………………………2分∵将△ACD 沿对角线AC

向下翻折，得到△ACD ’，

∴AD ＝AD’＝BC ，∠1＝∠DAC ＝∠ACB ＝30°， ∴OA ＝OC ，

∴OD ’＝OB ，∴∠2＝∠3，

∵∠BOA ＝∠1＋∠ACB ＝60°, ∠2＋∠3＝∠BOA ， ∴∠2＝

1

2

∠BOA ＝30°，…………………………………………………………4分 ∵∠4＝∠BAC —∠1＝30°，∴∠2＝∠4，∴BD ’＝AB ＝4. …………………5分

19．（1）证明：联结BO ，……………………………1分 方法一：∵AB ＝AD ，∴∠D ＝∠ABD ，

∵AB ＝AO ，

∴∠ABO ＝∠AOB ，………………2分 又在△OBD 中，∠D +∠DOB +∠ABO +∠ABD ＝180°，

∴∠OBD ＝90°，即BD ⊥BO ，

∴BD 是⊙O 的切线． ····························································· 3分

方法二：∵AB ＝AO ，BO ＝AO ，∴AB ＝AO ＝BO ，∴△ABO 为等边三角形，

∴∠BAO ＝∠ABO ＝60°， ∵AB ＝AD ，∴∠D ＝∠ABD ，

又∠D ＋∠ABD ＝∠BAO ＝60°，∴∠ABD ＝30°， …………………2分 ∴∠OBD ＝∠ABD ＋∠ABO ＝90°，即BD ⊥BO ，

∴BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分

方法三：∵ AB ＝AD ＝AO ，∴点O 、B 、D 在以OD 为直径的⊙A 上 …………2分

∴∠OBD ＝90°，即BD ⊥BO ，

∴BD 是⊙O 的切线． ……………………………………………………3分

（2）解：∵∠C ＝∠E ，∠CAF ＝∠EBF ，∴△ACF ∽△BEF ， …………………… 4分

∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，

在Rt △BF A 中，cos ∠BF A ＝

32=AF BF ，∴3

2

==AF BF CF EF ，

又∵CF =9，

∴EF =6．…………………5分

五、解答题（本题满分5分） 20．解：（1）③，……………………1分

（2）图1补充完整， ……3分 （3）220． …………………5分

六、解答题（共2个小题，共10分）

21．解：设该厂原来每天加工x 顶帐篷，则工作效率提高后每天加工1.5x 顶帐篷． ···· 1分

根据题意，得

15003001500300

41.5x x

---=， ·

········································ 3分 解这个方程，得100x =， ··································································· 4分 经检验：100x =是原方程的解．

答：该厂原来每天加工100顶帐篷． ······················································ 5分

22．解：（1）如图1，由题意可知：∠BCE 1＝15°,

∵∠D 1CE 1＝60°， ∴∠D 1CB ＝∠D 1CE 1—∠D 1CB ＝45°，

又∠ACB ＝90°,

∴∠ACD 1＝∠ACB —∠D 1CB ＝45°． ·········· 1分

（2）由（1）知，∠ACD 1＝45°，

又∠CAB ＝45°，

∴∠AOD 1＝∠CAB ＋∠ACD 1＝45°∴OC ⊥AB ， ∵∠BAC ＝45°,∠ABC ＝90°—∠BAC ＝45°， ∴∠ABC ＝∠BAC ，∴AC ＝BC ，

∴OC ＝

1

2

AB ＝OA ＝3，∴OD 1＝CD 1—OC ＝4， 在R t △AOD 1中，∠5＝90°，AD 12

2

1OA OD +5． ······················ 3分 （3）点B 在△D 2CE 2内部． ·································································· 4分 理由如下：设BC （或延长线）交D 2E 2于点P ，则∠PCE 2＝15°＋30°＝45°．

在R t △PCE 2中，可求CP 2

1

2

CE 2＝22，

B

图1

A E 1

C

D 1

O F

G D E F

A 图1

B C

A D E F

y

x O G D E F

C A B y

x O H G x y

B

A

图3C F

E D O D E F

C 图4

A B y

x O 在R t △ABC 中，可求BC ＝322

322

<

，即BC

七、解答题（本题满分7分） 23．（1）①垂直，相等；………………………………………………………………………1分

②当点D 在BC 的延长线上时①的结论仍成立．…………………………………2分 由正方形ADEF 得 AD ＝AF ，∠DAF ＝90o． ∵∠BAC ＝90o，∴∠DAF ＝∠BAC ， ∴∠DAB ＝∠F AC ，

又AB ＝AC ，∴△DAB ≌△F AC ， ∴CF ＝BD ， ∠ACF ＝∠ABD ． ∵∠BAC ＝90o， AB ＝AC ，

∴∠ABC ＝45o，∴∠ACF ＝45o，

∴∠BCF ＝∠ACB +∠ACF ＝90o．

即 CF ⊥BD . ……………………………………………………………………5分

（2）当∠ACB ＝45o时，CF ⊥BD （如图）．……………………………………………6分 理由：过点A 作AG ⊥AC 交CB 或CB 的延长线于点G ，

则∠GAC ＝90o，

∵∠ACB ＝45°,∠AGC ＝90°—∠ACB ＝45°， ∴∠ACB ＝∠AGC ，∴AC ＝AG ，

∵点D 在线段BC 上，∴点D 在线段GC 上，

由（1）①可知CF ⊥BD . …………………………………………………………7分

八、解答题（本题满分7分）

24. 解：（1）∵(40)C ，，(80)D ，，∴4CD =，

∵矩形CDEF 中，

1

2

CF CD =，∴2CF DE ==， ∵点E 、F 在第一象限，∴(8)E ，2，(4)F ，2．………………………1分 （2）由题意，可知(2)A b ，0，(0)B b ，，在R t △ABO 中，ta n ∠BAO ＝

1

2

OA OB =， ①当0

2

GC AC =，∴2CG b =-． ∴()()1

2422

S b b =

--，即244S b b =-+，……………………………4分

③当4

在R t △ADH 中，∵ta n ∠BAO ＝

1

2

DH AD =，∴4DH b =-，6EH b =-， 在矩形CDEF 中，∵CD ∥EF ，∴∠EGH ＝∠BAO ， 在R t △EGH 中，∵ta n ∠EGH ＝1

2

EH EG =，∴122EG b =-， ∴()()1

2412262

S b b =?-

--，即21228S b b =-+-，……………5分 ④当b >6时，如图4，8S =．………………………………………………6分

（3）0b <51+． ………………………………………………………7分

九、解答题（本题满分8分）

解：（1）解方程2

230x x --=，得123x x ==-1,．………………1分

∴点()0A -1，，点()0B 3，．

∴()()221

1102

13302

b c b c ?-?-+?-+=????-?+?+=??

解，得432

b c ?

=?

??=?

∴抛物线的解析式为224

233

y x x =-

++．

··········································· 2分 （2）∵抛物线与y 轴交于点C ．

∴点C 的坐标为（0，2）．

又点()0B 3，，可求直线BC 的解析式为2

23

y x =-

+． ∵AD ∥CB ，∴设直线AD 的解析式为2

3

y x b '=-+． 又点()0A -1，，∴23b '=-

，直线AD 的解析式为2233

y x =--． 解2242332233y x x y x ?

=-++????=--

??

，得21

1241,1003x x y y =?=-????==-???，

∴点D 的坐标为（4，10

3

-

）． ······························································· 4分 过点D 作DD ’⊥x 轴于D ’， DD ’＝10

3

，则又AB ＝4．

∴四边形ACBD 的面积S ＝12AB ?OC +12AB ?DD ’＝2

103

··························· 5分

（3）假设存在满足条件的点R ，设直线l 交y 轴于点E （0，m ），

∵点P 不与点A 、C 重合，∴0< m <2，∵点()0A -1，，点()0,2C ，

∴可求直线AC 的解析式为22y x =+，∴点112P m m ??-

???

，． ∵直线BC 的解析式为223y x =-

+，∴点332Q m m ??

-+ ???

，． ∴24PQ m =-+．在△PQR 中，

①当RQ 为底时，过点P 作PR 1⊥x 轴于点R 1，则∠R 1PQ ＝90°，PQ ＝PR 1＝m ． ∴24m m -+=，解得43m =

，∴点1433P ??- ???

，， ∴点R 1坐标为（1

3

-

，0）． ································································ 6分 ②当RP 为底时，过点Q 作Q R 2⊥x 轴于点R 2， 同理可求，点R 2坐标为（1，0）． ······················································· 7分

③当PQ 为底时，取PQ 中点S ，过S 作SR 3⊥PQ 交x 轴于点R 3，则PR 3＝QR 3，∠PR 3Q ＝90°．∴PQ ＝2R 3S ＝2m ．∴242m m -+=，解，得1m =，

∴点112P ??- ???，

，点312Q ?? ???

，，可求点R 3坐标为（1

2

，0）． …………………8分 经检验，点R 1，点R 2，点R 3都满足条件．

综上所述，存在满足条件的点R ，它们分别是R 1（13-

，0），R 2（1，0）和点R 3（12

，0）．