一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E.
(1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC;
(2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA
=,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG;
(3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2
3
DG,PO=5,求EF的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32.
【解析】
【分析】
(1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可;
(2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案;
(3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出
EH∥DG,求出OM=1
2
AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=
2
3
DG,DG=3a,
求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO=
1
2
MO
BM
=,tanP=
1
2
CO
PO
=,设
OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】
(1)证明:连接OC,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,
∵AD⊥PC,
∴OC∥AD,
∴∠OCA=∠DAC,
∵OC=OA,
∴∠PAC=∠OCA,
∴∠DAC=∠PAC;
(2)证明:连接BE交GF于H,连接OH,
∵FG∥AD,
∴∠FGD+∠D=180°,
∵∠D=90°,
∴∠FGD=90°,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BEA=90°,
∴∠BED=90°,
∴∠D=∠HGD=∠BED=90°,
∴四边形HGDE是矩形,
∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°,
∵BF AF
=,
∴∠HEF=∠FEA=1
2
∠BEA=190
2
o
?=45°,
∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°,
∴∠HEF=∠HFE,
∴FH=EH,
∴FG=FH+GH=DE+DG;
(3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF,
∵EH=HF,OE=OF,HO=HO,
∴△FHO≌△EHO,
∴∠FHO=∠EHO=45°,
∵四边形GHED是矩形,
∴EH∥DG,
∴∠OMH=∠OCP=90°,
∴∠HOM=90°﹣∠OHM=90°﹣45°=45°,∴∠HOM=∠OHM,
∴HM=MO,
∵OM⊥BE,
∴BM=ME,
∴OM=1
2 AE,
设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE=2
3
DG,DG=3a,
∵∠HGC=∠GCM=∠GHE=90°,∴四边形GHMC是矩形,
∴GC=HM=a,DC=DG﹣GC=2a,∵DG=HE,GC=HM,
∴ME=CD=2a,BM=2a,
在Rt△BOM中,tan∠MBO=
1
22 MO a
BM a
==,
∵EH∥DP,
∴∠P=∠MBO,
tanP=
1
2 CO
PO
=,
设OC=k,则PC=2k,
在Rt△POC中,OP=5k=5,
解得:k=5,OE=OC=5,
在Rt△OME中,OM2+ME2=OE2,5a2=5,
a=1,
∴HE=3a=3,
在Rt△HFE中,∠HEF=45°,
∴EF=2HE=32.
【点睛】
考查了切线的性质,矩形的性质和判定,解直角三角形,勾股定理等知识点,能综合运用性质进行推理是解此题的关键.
2.如图,AB是半圆O的直径,C是的中点,D是的中点,AC与BD相交于点E.
(1)求证:BD平分∠ABC;(2)求证:BE=2AD;
(3)求DE
BE
的值.
【答案】(1)答案见解析(2)BE=AF=2AD(3)21 -
【解析】
试题分析:(1)根据中点弧的性质,可得弦AD=CD,然后根据弦、弧、圆周角、圆心角的性质求解即可;
(2)延长BC与AD相交于点F, 证明△BCE≌△ACF, 根据全等三角形的性质可得
BE=AF=2AD;
(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:设OH为1,则BC为2,OB=OD=2,
DH=21
-, 然后根据相似三角形的性质可求解.
试题解析:(1)∵D是的中点
∴AD=DC
∴∠CBD=∠ABD
∴BD平分∠ABC
(2)提示:延长BC与AD相交于点F,
证明△BCE≌△ACF,
BE=AF=2AD
(3)连接OD,交AC于H.简要思路如下:
设OH为1,则BC为2,2,
21, DE
BE
=
DH
BC
DE BE 21 -
3.等腰Rt△ABC和⊙O如图放置,已知AB=BC=1,∠ABC=90°,⊙O的半径为1,圆心O 与直线AB的距离为5.
(1)若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动,⊙O不动,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
(2)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切?
(3)若两个图形同时向右移动,△ABC的速度为每秒2个单位,⊙O的速度为每秒1个单位,同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大.△ABC的边与圆第一次相切时,点B运动了多少距离?
【答案】(1)52
-
;(2)52
-;(3)
2042
-
【解析】
分析:(1)分析易得,第一次相切时,与斜边相切,假设此时,△ABC移至△A′B′C′处,A′C′与⊙O切于点E,连OE并延长,交B′C′于F.由切线长定理易得CC′的长,进而由三角形运动的速度可得答案;
(2)设运动的时间为t秒,根据题意得:CC′=2t,DD′=t,则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t,由第(1)的结论列式得出结果;
(3)求出相切的时间,进而得出B点移动的距离.
详解:(1)假设第一次相切时,△ABC移至△A′B′C′处,
如图1,A′C′与⊙O切于点E,连接OE并延长,交B′C′于F,
设⊙O与直线l切于点D,连接OD,则OE⊥A′C′,OD⊥直线l,
由切线长定理可知C′E=C′D,
设C′D=x,则C′E=x,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠A=∠ACB=45°,
∴∠A′C′B′=∠ACB=45°,
∴△EFC′是等腰直角三角形,
∴C′F=2x ,∠OFD=45°, ∴△OFD 也是等腰直角三角形, ∴OD=DF , ∴
2x+x=1,则x=2-1,
∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-(2-1)=5-2, ∴点C 运动的时间为52
-; 则经过
52
2
-秒,△ABC 的边与圆第一次相切; (2)如图2,设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切,△ABC 移至△A′B′C′处,⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处,
A′C′与⊙O 切于点E ,连OE 并延长,交B′C′于F , ∵CC′=2t ,DD′=t ,
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t , 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t , 由(1)得:2-1, 解得:2,
答:经过2秒△ABC 的边与圆第一次相切; (3)由(2)得CC′=(2+0.5)t=2.5t ,DD′=t , 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t , 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t , 由(1)得:2-1, 解得:1022
-, ∴点B 运动的距离为2×
10223-=2042
3
-.
点睛:本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系,并结合动点问题进行综合分析,比较复杂,难度较大,考查了学生数形结合的分析能力.
4.如图,Rt ABC ?内接于⊙O ,AC BC =,BAC ∠的平分线AD 与⊙O 交于点D ,与
BC 交于点E ,延长BD ,与AC 的延长线交于点F ,连接CD ,G 是CD 的中点,连接OG .
(1)判断OG 与CD 的位置关系,写出你的结论并证明; (2)求证:AE BF =;
(3)若3(22)OG DE =-,求⊙O 的面积.
【答案】(1)OG ⊥CD (2)证明见解析(3)6π 【解析】
试题分析:(1)根据G 是CD 的中点,利用垂径定理证明即可; (2)先证明△ACE 与△BCF 全等,再利用全等三角形的性质即可证明; (3)构造等弦的弦心距,运用相似三角形以及勾股定理进行求解. 试题解析:(1)解:猜想OG ⊥CD .证明如下:
如图1,连接OC 、OD .∵OC =OD ,G 是CD 的中点,∴由等腰三角形的性质,有OG ⊥CD .
(2)证明:∵AB 是⊙O 的直径,∴∠ACB =90°,而∠CAE =∠CBF (同弧所对的圆周角相等).在Rt △ACE 和Rt △BCF 中,∵∠ACE =∠BCF =90°,AC =BC ,∠CAE =∠CBF ,∴Rt △ACE ≌Rt △BCF (ASA ),∴AE =BF .
(3)解:如图2,过点O 作BD 的垂线,垂足为H ,则H 为BD 的中点,∴OH =1
2
AD ,即AD =2OH ,又∠CAD =∠BAD ?CD =BD ,∴OH =OG .在Rt △BDE 和Rt △ADB 中,∵∠DBE =∠DAC =∠BAD ,∴Rt △BDE ∽Rt △ADB ,∴
BD DE
AD DB
=,即BD 2=AD ?DE ,
∴22622BD AD DE OG DE =?=?=-()
.又BD =FD ,∴BF =2BD ,∴2242422BF BD ==-()①,设AC =x ,则BC =x ,AB =2x .∵AD 是∠BAC 的平分线,∴∠FAD =∠BAD .在Rt △ABD 和Rt △AFD 中,∵∠ADB =∠ADF =90°,AD =AD ,∠FAD =∠BAD ,∴Rt △ABD ≌Rt △AFD (ASA ),∴AF =AB =2x ,BD =FD ,∴CF =AF ﹣AC =221x x x -=-().在Rt △BCF 中,由勾股定理,得:
222222[21]222BF BC CF x x x =+=+-=-()()②,由①、②,得
22222422x -=-()(),∴x 2=12,解得:23x =或23-(舍去),∴222326AB x =
=?=,∴⊙O 的半径长为6,∴S ⊙O =π?(6)2=6π.
点睛:本题是圆的综合题.解题的关键是熟练运用垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质.
5.如图,AB 是圆O 的直径,射线AM ⊥AB ,点D 在AM 上,连接OD 交圆O 于点E ,过点D 作DC=DA 交圆O 于点C (A 、C 不重合),连接O C 、BC 、CE . (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若圆O 的直径等于2,填空: ①当AD= 时,四边形OADC 是正方形; ②当AD= 时,四边形OECB 是菱形.
【答案】(1)见解析;(2)①1;②3. 【解析】
试题分析:(1)依据SSS 证明△OAD ≌△OCD ,从而得到∠OCD=∠OAD=90°; (2)①依据正方形的四条边都相等可知AD=OA ;
②依据菱形的性质得到OE=CE ,则△EOC 为等边三角形,则∠CEO=60°,依据平行线的性质可知∠DOA=60°,利用特殊锐角三角函数可求得AD 的长. 试题解析:解:∵AM ⊥AB , ∴∠OAD=90°.
∵OA=OC ,OD=OD ,AD=DC ,
∴△OAD≌△OCD,
∴∠OCD=∠OAD=90°.
∴OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线.
(2)①∵当四边形OADC是正方形,
∴AO=AD=1.
故答案为:1.
②∵四边形OECB是菱形,
∴OE=CE.
又∵OC=OE,
∴OC=OE=CE.
∴∠CEO=60°.
∵CE∥AB,
∴∠AOD=60°.
在Rt△OAD中,∠AOD=60°,AO=1,
∴AD=.
故答案为:.
点睛:本题主要考查的是切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、菱形的性质、等边三角形的性质和判定,特殊锐角三角函数值的应用,熟练掌握相关知识是解题的关键.
6.如图1,四边形ABCD为⊙O内接四边形,连接AC、CO、BO,点C为弧BD的中点.(1)求证:∠DAC=∠ACO+∠ABO;
(2)如图2,点E在OC上,连接EB,延长CO交AB于点F,若∠DAB=∠OBA+∠EBA.求证:EF=EB;
(3)在(2)的条件下,如图3,若OE+EB=AB,CE=2,AB=13,求AD的长.
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)AD=7.
【解析】
试题分析:(1)如图1中,连接OA,只要证明∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO,由点C是 ,推出∠BAC=∠DAC,即可推出∠DAC=∠ACO+∠ABO;
BD中点,推出CD CB
(2)想办法证明∠EFB=∠EBF即可;
(3)如图3中,过点O作OH⊥AB,垂足为H,延长BE交HO的延长线于G,作BN⊥CF 于N,作CK⊥AD于K,连接OA.作CT∠⊥AB于T.首先证明△EFB是等边三角形,再证明△ACK≌△ACT,Rt△DKC≌Rt△BTC,延长即可解决问题;
试题解析:(1)如图1中,连接OA , ∵OA=OC ,∴∠1=∠ACO ,
∵OA=OB ,∴∠2=∠ABO ,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO , ∵点C 是BD 中点,∴CD CB =,∴∠BAC=∠DAC , ∴∠DAC=∠ACO+∠ABO .
(2)如图2中,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB ,∠COB=2∠BAC ,∴∠BAD=∠BOC , ∵∠DAB=∠OBA+∠EBA ,∴∠BOC=∠OBA+∠EBA , ∴∠EFB=∠EBF ,∴EF=EB .
(3)如图3中,过点O 作OH ⊥AB ,垂足为H ,延长BE 交HO 的延长线于G ,作BN ⊥CF 于N ,作CK ⊥AD 于K ,连接OA .作CT ∠⊥AB 于T .
∵∠EBA+∠G=90°,∠CFB+∠HOF=90°, ∵∠EFB=∠EBF ,∴∠G=∠HOF ,
∵∠HOF=∠EOG ,∴∠G=∠EOG ,∴EG=EO , ∵OH ⊥AB ,∴AB=2HB ,
∵OE+EB=AB ,∴GE+EB=2HB ,∴GB=2HB ,
∴cos ∠GBA=
1
2
HB GB = ,∴∠GBA=60°, ∴△EFB 是等边三角形,设HF=a , ∵∠FOH=30°,∴OF=2FH=2a ,
∵AB=13,∴EF=EB=FB=FH+BH=a+13
2
,
∴OE=EF﹣OF=FB﹣OF=13
2﹣a,OB=OC=OE+EC=
13
2
﹣a+2=
17
2
﹣a,
∵NE=1
2EF=
1
2
a+
13
4
,
∴ON=OE=EN=(13
2﹣a)﹣(
1
2
a+
13
4
)=
13
4
﹣
3
2
a,
∵BO2﹣ON2=EB2﹣EN2,
∴(17
2﹣a)2﹣(
13
4
﹣
3
2
a)2=(a+
13
2
)2﹣(
1
2
a+
13
4
)2,
解得a=3
2
或﹣10(舍弃),
∴OE=5,EB=8,OB=7,
∵∠K=∠ATC=90°,∠KAC=∠TAC,AC=AC,∴△ACK≌△ACT,∴CK=CT,AK=AT,
∵CD CB
,∴DC=BC,∴Rt△DKC≌Rt△BTC,∴DK=BT,
∵FT=1
2
FC=5,∴DK=TB=FB﹣FT=3,∴AK=AT=AB﹣TB=10,∴AD=AK﹣DK=10﹣3=7.
7.定义:
数学活动课上,李老师给出如下定义:如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半,那么称三角形为“智慧三角形”.
理解:
⑴如图,已知是⊙上两点,请在圆上找出满足条件的点,使为“智慧三角形”(画出点的位置,保留作图痕迹);
⑵如图,在正方形中,是的中点,是上一点,且,试判断是否为“智慧三角形”,并说明理由;
运用:
⑶如图,在平面直角坐标系中,⊙的半径为,点是直线上的一点,若在⊙上存在一点,使得为“智慧三角形”,当其面积取得最小值时,直接写出此时点的坐标.
【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)P的坐标(
22
3
,
1
3
),(
22
3
,
1
3
).
【解析】
试题分析:(1)连结AO并且延长交圆于C1,连结BO并且延长交圆于C2,即可求解;(2)设正方形的边长为4a,表示出DF=CF以及EC、BE的长,然后根据勾股定理列式表示出AF2、EF2、AE2,再根据勾股定理逆定理判定△AEF是直角三角形,由直角三角形的性质可得△AEF为“智慧三角形”;(3)根据“智慧三角形”的定义可得△OPQ为直角三角形,根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值,由垂线段最短可得斜边最短为3,根据勾股定理可求另一条直角边,再根据三角形面积可求斜边的高,即点P的横坐标,再根据勾股定理可求点P的纵坐标,从而求解.
试题解析:
(1)如图1所示:
(2)△AEF是否为“智慧三角形”,
理由如下:设正方形的边长为4a,
∵E是DC的中点,
∴DE=CE=2a,
∵BC:FC=4:1,
∴FC=a,BF=4a﹣a=3a,
在Rt△ADE中,AE2=(4a)2+(2a)2=20a2,
在Rt △ECF 中,EF 2=(2a )2+a 2=5a 2, 在Rt △ABF 中,AF 2=(4a )2+(3a )2=25a 2, ∴AE 2+EF 2=AF 2, ∴△AEF 是直角三角形,
∵斜边AF 上的中线等于AF 的一半, ∴△AEF 为“智慧三角形”; (3)如图3所示:
由“智慧三角形”的定义可得△OPQ 为直角三角形,
根据题意可得一条直角边为1,当斜边最短时,另一条直角边最短,则面积取得最小值, 由垂线段最短可得斜边最短为3, 由勾股定理可得PQ=,
PM=1×2
÷3=
,
由勾股定理可求得OM=
, 故点P 的坐标(﹣,),(,).
考点:圆的综合题.
8.如图,AB 为
O 的直径,C 、D 为O 上异于A 、B 的两点,连接CD ,过点C 作
CE DB ⊥,交CD 的延长线于点E ,垂足为点E ,直径AB 与CE 的延长线相交于点F .
(1)连接AC 、AD ,求证:180DAC ACF ∠+∠=?. (2)若2ABD BDC ∠=∠. ①求证:CF 是
O 的切线.
②当6BD =,3
tan 4
F =
时,求CF 的长.
【答案】(1)详见解析;(2)①详见解析;② 203
CF =. 【解析】 【分析】
(1)根据圆周角定理证得∠ADB=90°,即AD ⊥BD ,由CE ⊥DB 证得AD ∥CF ,根据平行线的性质即可证得结论;
(2)①连接OC .先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3=2∠1,由已知∠4=2∠1,得到∠4=∠3,则OC ∥DB ,再由CE ⊥DB ,得到OC ⊥CF ,根据切线的判定即可证明CF 为⊙O 的切线;
②由CF ∥AD ,证出∠BAD=∠F ,得出tan ∠BAD=tan ∠F=BD AD =34,求出AD=4
3
BD=8,利用勾股定理求得AB=10,得出OB=OC=,5,再由tanF=OC CF =3
4
,即可求出CF . 【详解】 解:(1)AB 是
O 的直径,且D 为O 上一点,
90ADB ∴∠=?, CE DB ⊥, 90DEC ∴∠=?, //CF AD ∴,
180DAC ACF ∴∠+∠=?. (2)①如图,连接OC . OA OC =,12∴∠=∠. 312∠=∠+∠, 321∴∠=∠.
42BDC ∠=∠,1BDC ∠=∠, 421∴∠=∠, 43∴∠=∠, //OC DB ∴. CE DB ⊥, OC CF ∴⊥.
又OC 为O 的半径, CF ∴为O 的切线.
②由(1)知//CF AD ,
BAD F ∴∠=∠,
3tan tan 4
BAD F ∴∠==, 3
4
BD AD ∴
=. 6BD =
4
83
AD BD ∴=
=, 226810AB ∴=+=,5OB OC ==.
OC CF ⊥, 90OCF ∴∠=?,
3
tan 4OC F CF ∴==,
解得203
CF =. 【点睛】
本题考查了切线的判定、解直角三角形、圆周角定理等知识;本题综合性强,有一定难度,特别是(2)中,需要运用三角函数、勾股定理和由平行线得出比例式才能得出结果.
9.对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ,给出如下定义:若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点,记为点A ,B ,设AQ BQ
k CQ
+=
,则称点A (或点B )是⊙C 的“K 相关依附点”,特别地,当点A 和点B 重合时,规定AQ=BQ ,2AQ k CQ =
(或2BQ
CQ
). 已知在平面直角坐标系xoy 中,Q(-1,0),C(1,0),⊙C 的半径为r . (1)如图1,当2r =
①若A 1(0,1)是⊙C 的“k 相关依附点”,求k 的值. ②A 22,0)是否为⊙C 的“2相关依附点”. (2)若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M , ①当r=1,直线QM 与⊙C 相切时,求k 的值.
②当3k =时,求r 的取值范围.
(3)若存在r 的值使得直线3y x b =-+与⊙C 有公共点,且公共点时⊙C 的“3相关依附点”,直接写出b 的取值范围.
【答案】(1)2.②是;(2)①3k =②r 的取值范围是12r <≤;(3)
333b -<.
【解析】 【分析】
(1)①如图1中,连接AC 、1QA .首先证明1QA 是切线,根据2AQ
k CQ
=计算即可解决问题;
②根据定义求出k 的值即可判断;
(2)①如图,当1r =时,不妨设直线QM 与C 相切的切点M 在x 轴上方(切点M 在
x 轴下方时同理),连接CM ,则QM CM ⊥,根据定义计算即可;
②如图3中,若直线QM 与
C 不相切,设直线QM 与C 的另一个交点为N (不妨设
QN QM <,点N ,M 在x 轴下方时同理),作CD QM ⊥于点D ,则MD ND =,可得()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ +=++=+=,2CQ ,推出
2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==,可得当3k =3DQ =221CD CQ DQ -=,
假设
C 经过点Q ,此时2r ,因为点Q 早C 外,推出r 的取值范围是12r <;
(3)如图4中,由(2)可知:当3k =
12r <.当2r 时,C 经过点
(1,0)Q -或(3,0)E ,当直线3y x b =-+经过点Q 时,3b =3y x b
=-+经过点E 时,33b =,即可推出满足条件的b 的取值范围为333b -<<. 【详解】
(1)①如图1中,连接AC 、1QA .
由题意:1OC OQ OA ==,∴△1QA C 是直角三角形,190CA Q ∴∠=?,即
11CA QA ⊥,1QA ∴是C 的切线,1222
22
QA k QC ∴=
==. ②
2(12,0)A +在
C 上,22121
22
k -+++∴=
=,2A ∴是C 的“2相关依附
点”.
故答案为:2,是;
(2)①如图2,当1r =时,不妨设直线QM 与
C 相切的切点M 在x 轴上方(切点M
在x 轴下方时同理),连接CM ,则QM CM ⊥.
(1,0)Q -,(1,0)C ,1r =,2CQ ∴=,1CM =,∴3MQ =,此时
23MQ
k CQ
=
=; ②如图3中,若直线QM 与C 不相切,设直线QM 与C 的另一个交点为N (不妨设
QN QM <,点N ,M 在x 轴下方时同理),作CD QM ⊥于点D ,则MD ND =,
()222MQ NQ MN NQ NQ ND NQ DQ ∴+=++=+=,2CQ =,∴2MQ NQ DQ
k DQ CQ CQ
+=
==,∴当3k =时,3DQ =,此时221CD CQ DQ =-=,
假设
C 经过点Q ,此时2r ,点Q 早C 外,r ∴的取值范围是12r <.
(3)如图4中,由(2)可知:当3k =
12r <.
当2r
时,C 经过点(1,0)Q -或(3,0)E ,当直线3y x b =-+经过点Q 时,
3b =-,当直线3y x b =-+经过点E 时,33b =,∴满足条件的b 的取值范围为
333b -<<.
【点睛】
本题考查了一次函数综合题、圆的有关知识、勾股定理、切线的判定和性质、点A (或点
)B 是C 的“k 相关依附点”的定义等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解
决问题,学会考虑特殊位置解决问题,属于中考压轴题.
10.已知四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,∠DAB =120°,BC =CD ,AD =4,AC =7,求AB 的长度.
【答案】AB =3. 【解析】 【分析】
作DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系,求得BC CD =,进而得到∠DAC =∠CAB =60°,在Rt △ADE 中,根据60°锐角三角函数值,可求得DE =3AE =2,再由Rt △DEC 中,根据勾股定理求出DC 的长,在△BFC 和△ABF 中,利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF 的长,然后根据求出的两个结果,由AB =2AF ,分类讨论求出AB 的长即可. 【详解】
作DE ⊥AC ,BF ⊥AC ,
∵BC =CD , ∴BC CD =, ∴∠CAB =∠DAC , ∵∠DAB =120°, ∴∠DAC =∠CAB =60°, ∵DE ⊥AC ,
∴∠DEA =∠DEC =90°, ∴sin60°=
4DE ,cos60°=4
AE
, ∴DE =3AE =2, ∵AC =7, ∴CE =5, ∴DC ()
2
223537+=
∴BC 37, ∵BF ⊥AC ,
∴∠BFA =∠BFC =90°, ∴tan60°=
BF
AF
,BF 2+CF 2=BC 2, ∴BF 3, ∴
()2
2
2
3737AF +-=
,
∴AF =2或AF =32
, ∵cos60°=
AF
AB
, ∴AB =2AF ,
当AF =2时,AB =2AF =4, ∴AB =AD , ∵DC =BC ,AC =AC , ∴△ADC ≌△ABC (SSS ), ∴∠ADC =∠ABC ,
∵ABCD是圆内接四边形,∴∠ADC+∠ABC=180°,∴∠ADC=∠ABC=90°,
但AC2=49,
2
222
453 AD DC
+=+=,
AC2≠AD2+DC2,
∴AB=4(不合题意,舍去),
当AF=3
2
时,AB=2AF=3,
∴AB=3.
【点睛】
此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质,解题关键是构造直角三角形模型,利用直角三角形的性质解题.
2015中考数学真题分类汇编圆综合题 一.解答题(共30小题) 1.(2015?大连)如图,AB是⊙O的直径,点C,D在⊙O上,且AD平分∠CAB,过点D作AC的垂线,与AC的延长线相交于点E,与AB的延长线相交于点F. (1)求证:EF与⊙O相切; (2)若AB=6,AD=4,求EF的长. 2.(2015?潍坊)如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE. (1)求证:直线DF与⊙O相切; (2)若AE=7,BC=6,求AC的长. 3.(2015?枣庄)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D,E是BC的中点,连接DE,OE. (1)判断DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)求证:BC2=CD?2OE; (3)若cos∠BAD=,BE=6,求OE的长. 4.(2015?西宁)如图,已知BC为⊙O的直径,BA平分∠FBC交⊙O于点A,D是射线BF上的一点,且满足=,过点O作OM⊥AC于点E,交⊙O于点M,连接BM, AM. (1)求证:AD是⊙O的切线;
(2)若sin∠ABM=,AM=6,求⊙O的半径. 5.(2015?广元)如图,AB是⊙O的弦,D为半径OA的中点,过D作CD⊥OA交弦于点E,交⊙O于点F,且CE=CB. (1)求证:BC是⊙O的切线; (2)连接AF、BF,求∠ABF的度数; (3)如果CD=15,BE=10,sinA=,求⊙O的半径. 6.(2015?北海)如图,AB、CD为⊙O的直径,弦AE∥CD,连接BE交CD于点F,过点E作直线EP与CD的延长线交于点P,使∠PED=∠C. (1)求证:PE是⊙O的切线; (2)求证:ED平分∠BEP; (3)若⊙O的半径为5,CF=2EF,求PD的长. 7.(2015?莆田)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,对角线AC,BD交于点E,点O 在线段AE上,⊙O过B,D两点,若OC=5,OB=3,且cos∠BOE=.求证:CB是⊙O的切线.
25题汇编 1. 如图,AB 是⊙O 的直径,BC 是⊙O 的切线,切点为B ,AD 为弦,OC ∥AD 。 (1)求证:DC 是⊙O 的切线; (2)若OA=2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,∠B=60°,CD 是⊙O 的直径,P 是CD 延长线上的一点,且AP=AC (1)求证:直线AP 是⊙O 的切线; (2)若AC=3,求PD 的长。 3. 如图,已知AB 是⊙O 的直径,AM 和BN 是⊙O 的两条切线,点E 是⊙ O 上一点,点D 是AM 上一点,连接DE 并延长交BN 于点C ,连接OD 、BE ,且OD ∥BE 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AD=1,BC=4,求直径AB 的长。 D C B A O C B M N E D B A O
4. 如图,△ABC 内接于⊙O ,弦AD ⊥AB 交BC 于点E ,过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ,且∠ABF=∠ABC 。 (1)求证:AB=AC ; (2)若EF=4,2 3 tan = F ,求DE 的长。 5. 在△ABC 中,AB=AC ,以AB 为直径作⊙O ,交BC 于点D ,过点D 作DE ⊥AC ,垂足为E 。 (1)求证:DE 是⊙O 的切线; (2)若AE=1,52=BD ,求AB 的长。 6. 如图,AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,AD 垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且AC 平分 ∠BAD 。 (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,AD=4,求AB 的长。 A
7. 如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,AD 和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,AD 交⊙O 于点E 。 求证:(1)AC 平分∠DAB ; (2)若∠B=60°,32 CD ,求AE 的长。 8. 如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,AC 是⊙O 的直径,弦BD=BA ,AB=12,BC=5,BE ⊥DC 交DC 的延长线于点E 。 (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)求DE 的长。 9. 如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,CB=CA=6,半径为2的⊙F 与射线BA 相切于点G ,且AG=4,将Rt △ABC 绕点A 顺时针旋转135°后得到Rt △ADE ,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 (1)求证:DE 为⊙F 的切线; (2)求出Rt △ADE 的斜边AD 被⊙ F 截得的弦PQ 的长度。 A E A D
中考数学圆的综合-经典压轴题及答案 一、圆的综合 1.如图,点A、B、C分别是⊙O上的点, CD是⊙O的直径,P是CD延长线上的一点,AP=AC. (1)若∠B=60°,求证:AP是⊙O的切线; (2)若点B是弧CD的中点,AB交CD于点E,CD=4,求BE·AB的值. 【答案】(1)证明见解析;(2)8. 【解析】 (1)求出∠ADC的度数,求出∠P、∠ACO、∠OAC度数,求出∠OAP=90°,根据切线判定推出即可; (2)求出BD长,求出△DBE和△ABD相似,得出比例式,代入即可求出答案. 试题解析:连接AD,OA, ∵∠ADC=∠B,∠B=60°, ∴∠ADC=60°, ∵CD是直径, ∴∠DAC=90°, ∴∠ACO=180°-90°-60°=30°, ∵AP=AC,OA=OC, ∴∠OAC=∠ACD=30°,∠P=∠ACD=30°, ∴∠OAP=180°-30°-30°-30°=90°, 即OA⊥AP, ∵OA为半径, ∴AP是⊙O切线. (2)连接AD,BD,
∵CD是直径, ∴∠DBC=90°, ∵CD=4,B为弧CD中点, ∴BD=BC=, ∴∠BDC=∠BCD=45°, ∴∠DAB=∠DCB=45°, 即∠BDE=∠DAB, ∵∠DBE=∠DBA, ∴△DBE∽△ABD, ∴, ∴BE?AB=BD?BD=. 考点:1.切线的判定;2.相似三角形的判定与性质. 2.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC交直径AD于点E,过点C作AD的垂线交AB的延长线于点G,垂足为F.连接OC. (1)若∠G=48°,求∠ACB的度数; (2)若AB=AE,求证:∠BAD=∠COF; (3)在(2)的条件下,连接OB,设△AOB的面积为S1,△ACF的面积为S2.若 tan∠CAF= 1 2,求1 2 S S的值. 【答案】(1)48°(2)证明见解析(3)3 4
一、圆的综合真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
人教版九年级数学上册 圆 几何综合中考真题汇编[解析版] 一、初三数学 圆易错题压轴题(难) 1.如图,在直角体系中,直线AB 交x 轴于点A(5,0),交y 轴于点B,AO 是⊙M 的直径,其半圆交AB 于点C,且AC=3.取BO 的中点D,连接CD 、MD 和OC . (1)求证:CD 是⊙M 的切线; (2)二次函数的图象经过点D 、M 、A,其对称轴上有一动点P,连接PD 、PM,求△PDM 的周长最小时点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,当△PDM 的周长最小时,抛物线上是否存在点Q ,使S △PDM =6S △QAM ?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】解:(1)证明:连接CM , ∵OA 为⊙M 直径,∴∠OCA=90°.∴∠OCB=90°. ∵D 为OB 中点,∴DC=DO .∴∠DCO=∠DOC . ∵MO=MC ,∴∠MCO=∠MOC . ∴ . 又∵点C 在⊙M 上,∴DC 是⊙M 的切线. (2)∵A 点坐标(5,0),AC=3 ∴在Rt △ACO 中,. ∴545(x )x 5)12152- =--(,∴,解得10 OD 3 = . 又∵D 为OB 中点,∴ 1552 4 +∴D 点坐标为(0,154). 连接AD ,设直线AD 的解析式为y=kx+b ,则有
解得. ∴直线AD 为 . ∵二次函数的图象过M (5 6 ,0)、A(5,0), ∴抛物线对称轴x= 154 . ∵点M 、A 关于直线x=154对称,设直线AD 与直线x=15 4 交于点P , ∴PD+PM 为最小. 又∵DM 为定长,∴满足条件的点P 为直线AD 与直线x=15 4 的交点. 当x= 15 4时,45y (x )x 5)152 = --(. ∴P 点的坐标为(15 4,56 ). (3)存在. ∵ ,5 y a(x )x 5)2 =--( 又由(2)知D (0,154),P (15 4,56 ), ∴由 ,得 ,解得y Q =± 103 . ∵二次函数的图像过M(0,5 6 )、A(5,0), ∴设二次函数解析式为, 又∵该图象过点D (0,15 4 ),∴,解得a= 512 . ∴二次函数解析式为 . 又∵Q 点在抛物线上,且y Q =±103 . ∴当y Q =103 时,,解得x= 1552-或x=1552 +; 当y Q =5 12 - 时,,解得x= 15 4 .
2017年浙江中考真题分类汇编(数学):专题11 圆 一、单选题 1、(2017·金华)如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦AB的长为( ) A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、(2017?宁波)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,BC=.以BC的中点O为圆心的圆分别与AB、AC相切于D、E两点,则的长为() A、 B、 C、 D、
3、(2017·丽水)如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是() A、 B、 C、 D、 4、(2017·衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是⊙O的直径,CD,EF是⊙O的弦,且AB∥CD∥EF,AB=10,CD=6,EF=8。则图中阴影部分的面积是() A、 B、 C、 D、 二、填空题
5、(2017?杭州)如图,AT切⊙O于点A,AB是⊙O的直径.若∠ABT=40°,则∠ATB=________. 6、(2017?湖州)如图,已知在中,.以为直径作半圆,交于点.若 ,则的度数是________度. 7、(2017·台州)如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条AB,AC的夹角为120°,AB长为30cm,则弧BC的长为________cm(结果保留) 8、(2017?绍兴)如图,一块含45°角的直角三角板,它的一个锐角顶点A在⊙O上,边AB,AC分别与⊙O交于点D,E.则∠DOE的度数为________.
9、(2017·嘉兴)如图,小明自制一块乒乓球拍,正面是半径为的,,弓形 (阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为________. 10、(2017?湖州)如图,已知,在射线上取点,以为圆心的圆与相切;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切;;在射线上取点,以为圆心,为半径的圆与相切.若的半径为,则的半径长是________. 11、(2017·衢州)如图,在直角坐标系中,⊙A的圆心A的坐标为(-1,0),半径为1,点P为直线 上的动点,过点P作⊙A的切线,切点为Q,则切线长PQ的最小值是________ 三、解答题
中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 ( ) (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 ( ) (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用 现在的数学语言表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =寸,求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交⊙O 于点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5厘 米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( )
一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,AB 是半圆的直径,过圆心O 作AB 的垂线,与弦AC 的延长线交于点D ,点E 在OD 上DCE B ∠=∠. (1)求证:CE 是半圆的切线; (2)若CD=10,2 tan 3 B = ,求半圆的半径. 【答案】(1)见解析;(2)413 【解析】 分析: (1)连接CO ,由DCE B ∠=∠且OC=OB,得DCE OCB ∠=∠,利用同角的余角相等判断出∠BCO+∠BCE=90°,即可得出结论; (2)设AC=2x ,由根据题目条件用x 分别表示出OA 、AD 、AB ,通过证明△AOD ∽△ACB ,列出等式即可. 详解:(1)证明:如图,连接CO . ∵AB 是半圆的直径, ∴∠ACB =90°. ∴∠DCB =180°-∠ACB =90°. ∴∠DCE+∠BCE=90°. ∵OC =OB , ∴∠OCB =∠B. ∵=DCE B ∠∠, ∴∠OCB =∠DCE . ∴∠OCE =∠DCB =90°. ∴OC ⊥CE . ∵OC 是半径, ∴CE 是半圆的切线. (2)解:设AC =2x ,
∵在Rt △ACB 中,2 tan 3 AC B BC ==, ∴BC =3 x . ∴()() 22 2313AB x x x = +=. ∵OD ⊥AB , ∴∠AOD =∠A CB=90°. ∵∠A =∠A , ∴△AOD ∽△ACB . ∴ AC AO AB AD =. ∵1132OA AB x = =,AD =2x +10, ∴ 1 132210 13x x x = +. 解得 x =8. ∴13 8413OA = ?=. 则半圆的半径为413. 点睛:本题考查了切线的判定与性质,圆周角定理,相似三角形. 2.如图,在平面直角坐标系xoy 中,E (8,0),F(0 , 6). (1)当G(4,8)时,则∠FGE= ° (2)在图中的网格区域内找一点P ,使∠FPE=90°且四边形OEPF 被过P 点的一条直线分割成两部分后,可以拼成一个正方形. 要求:写出点P 点坐标,画出过P 点的分割线并指出分割线(不必说明理由,不写画法). 【答案】(1)90;(2)作图见解析,P (7,7),PH 是分割线. 【解析】 试题分析:(1)根据勾股定理求出△FEG 的三边长,根据勾股定理逆定理可判定△FEG 是直角三角形,且∠FGE="90" °. (2)一方面,由于∠FPE=90°,从而根据直径所对圆周角直角的性质,点P 在以EF 为直径
2018年中考数学真题汇编:圆(填空+选择46题)答案 一、选择题 1.已知的半径为,的半径为,圆心距,则与的位置关系是( C ) A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 2. 如图,为的直径,是的弦,,则的度数为( C ) A. B. C. D. 3.已知半径为5的⊙O是△ABC的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧的长为( C ) A. B. C. D. 4. 如图,在中,,的半径为3,则图中阴影部分的面积是( C ) A. B. C. D. 5.如图,AB是圆O的弦,OC⊥AB,交圆O于点C,连接OA,OB,BC,若∠ABC=20°,则∠AOB的度数是( D ) A.40° B.50° C.70° D.80° 6.如图,蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为3m,圆锥高为2m的蒙古包,则需要毛毡的面积是( A ) A. B.40πm2 C. D.55πm2 7.如图,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形.则此扇形的面积为( A ) A. B. C. D. 8.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D ) A. 点在圆内 B. 点在圆上 C. 点在圆心上 D. 点在圆上或圆内 9.如图,AB是圆锥的母线,BC为底面直径,已知BC=6cm,圆锥的面积为15πcm2,则sin∠ABC的值为( C ) A. B. C. D.
10.如图所示,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C,连结BC,若∠P=36°,则∠B等于( A )。 A.27° B.32° C.36° D.54° 11.如图,过点,,,点是轴下方上的一点,连接,,则 的度数是( B ) A. B. C. D. 12.如图,AC是⊙O的直径,弦BD⊥AO于E,连接BC,过点O作OF⊥BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,则OF的长度是( D ) A. 3cm B. cm C. 2.5cm D. cm 13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=4,以点B为圆心,BC长为半径画弧,交边AB于点D,则 的长为( C ) A. B. C. D. 14.如图,点A,B,C在⊙O上,∠ACB=35°,则∠AOB的度数是( B ) A. 75° B. 70° C. 65° D. 35° 15.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( D ) A.3 B. C. D. 16. 如图,已知AB是的直径,点P在BA的延长线上,PD与相切于点D,过点B作PD的垂线交PD 的延长线于点C,若的半径为4,,则PA的长为( A ) A. 4 B. C. 3 D. 2.5 17.在中,若为边的中点,则必有成立.依据以上结论,解决如下问题: 如图,在矩形中,已知,点在以为直径的半圆上运动,则的最小 值为( D )A. B. C. 34 D. 10
中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1.如图,四边形OABC 是平行四边形,以O 为圆心,OA 为半径的圆交AB 于D ,延长AO 交O 于E ,连接CD ,CE ,若CE 是⊙O 的切线,解答下列问题: (1)求证:CD 是⊙O 的切线; (2)若BC=4,CD=6,求平行四边形OABC 的面积. 【答案】(1)证明见解析(2)24 【解析】 试题分析:(1)连接OD ,求出∠EOC=∠DOC ,根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ,推出∠ODC=∠OEC=90°,根据切线的判定推出即可; (2)根据切线长定理求出CE=CD=4,根据平行四边形性质求出OA=OD=4,根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解. 试题解析:(1)证明:连接OD , ∵OD=OA , ∴∠ODA=∠A , ∵四边形OABC 是平行四边形, ∴OC ∥AB , ∴∠EOC=∠A ,∠COD=∠ODA , ∴∠EOC=∠DOC , 在△EOC 和△DOC 中, OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC (SAS ), ∴∠ODC=∠OEC=90°, 即OD ⊥DC , ∴CD 是⊙O 的切线; (2)由(1)知CD 是圆O 的切线, ∴△CDO 为直角三角形, ∵S △CDO = 1 2 CD?OD , 又∵OA=BC=OD=4,
∴S△CDO=1 2 ×6×4=12, ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24. 2.如图,⊙M交x轴于B、C两点,交y轴于A,点M的纵坐标为2.B(﹣33,O),C(3,O). (1)求⊙M的半径; (2)若CE⊥AB于H,交y轴于F,求证:EH=FH. (3)在(2)的条件下求AF的长. 【答案】(1)4;(2)见解析;(3)4. 【解析】 【分析】 (1)过M作MT⊥BC于T连BM,由垂径定理可求出BT的长,再由勾股定理即可求出BM的长; (2)连接AE,由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC,再由AAS定理得出△AEH≌△AFH,进而可得出结论; (3)先由(1)中△BMT的边长确定出∠BMT的度数,再由直角三角形的性质可求出CG 的长,由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形,进而可求出答案.【详解】 (1)如图(一),过M作MT⊥BC于T连BM, ∵BC是⊙O的一条弦,MT是垂直于BC的直径, ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ; (2)如图(二),连接AE,则∠AEC=∠ABC,∵CE⊥AB, ∴∠HBC+∠BCH=90°
中考数学圆的综合提高练习题压轴题训练附详细答案 一、圆的综合 1.如图,点P在⊙O的直径AB的延长线上,PC为⊙O的切线,点C为切点,连接AC,过点A作PC的垂线,点D为垂足,AD交⊙O于点E. (1)如图1,求证:∠DAC=∠PAC; (2)如图2,点F(与点C位于直径AB两侧)在⊙O上,?? BF FA =,连接EF,过点F作AD 的平行线交PC于点G,求证:FG=DE+DG; (3)在(2)的条件下,如图3,若AE=2 3 DG,PO=5,求EF的长. 【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)EF=32. 【解析】 【分析】 (1)连接OC,求出OC∥AD,求出OC⊥PC,根据切线的判定推出即可; (2)连接BE交GF于H,连接OH,求出四边形HGDE是矩形,求出DE=HG,FH=EH,即可得出答案; (3)设OC交HE于M,连接OE、OF,求出∠FHO=∠EHO=45°,根据矩形的性质得出 EH∥DG,求出OM=1 2 AE,设OM=a,则HM=a,AE=2a,AE= 2 3 DG,DG=3a, 求出ME=CD=2a,BM=2a,解直角三角形得出tan∠MBO= 1 2 MO BM =,tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k,则PC=2k,根据OP=5k=5求出k=5,根据勾股定理求出a,即可求出答案.【详解】 (1)证明:连接OC, ∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC, ∵AD⊥PC, ∴OC∥AD, ∴∠OCA=∠DAC, ∵OC=OA, ∴∠PAC=∠OCA, ∴∠DAC=∠PAC; (2)证明:连接BE交GF于H,连接OH, ∵FG∥AD, ∴∠FGD+∠D=180°, ∵∠D=90°, ∴∠FGD=90°, ∵AB为⊙O的直径, ∴∠BEA=90°, ∴∠BED=90°, ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°, ∴四边形HGDE是矩形, ∴DE=GH,DG=HE,∠GHE=90°, ∵?? BF AF =, ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°, ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°, ∴∠HEF=∠HFE, ∴FH=EH, ∴FG=FH+GH=DE+DG; (3)解:设OC交HE于M,连接OE、OF, ∵EH=HF,OE=OF,HO=HO, ∴△FHO≌△EHO, ∴∠FHO=∠EHO=45°,
2017年浙江中考真题分类汇编(数学):专题11圆、单选题 1、(2017 ?金华)如图,在半径为13cm的圆形铁片上切下一块高为8cm的弓形铁片,则弓形弦 A、10cm B、16cm C、24cm D、26cm 2、(2017?宁波)如图,在Rt △KBC中,Z A = 90 ° BC = .以BC的中点O为圆心的圆分别与AC相切于D、E两点,则:三的长为() JT B、 C、 D、AB的 AB、 长为(
3、(2017 ?丽水如图,点C是以AB为直径的半圆O的三等分点,AC=2,则图中阴影部分的面积是() B、— C、 D、 32 4、(2017 ?衢州)运用图形变化的方法研究下列问题:如图,AB是O O的直径,CD , EF是O O的弦, 且AB //CD //EF, AB=10 , CD=6 , EF=8。则图中阴影部分的面积是() A、一 B、 C、-- + 4." D、 、填空题
(2017?杭州)如图,AT 切O O 于点A , AB 是O O 的直径.若/ ABT=40 (2017?绍兴)如图,一块含45。角的直角三角板,它的一个锐角顶点 A 在 O O 上,边AB , AC 分别 与O O 交于点D , E.则/DOE 的度数为 9、 ( 2017 ?嘉兴如图,小明自制一块乒乓球拍, 正面是半径为比謬的 . 亏:一,弓形 (阴影部分)粘贴胶皮,则胶皮面积为 C 10、 ( 2017?湖州)如图,已知 Z.4.L 一;「,在射线 上取点 ,以 为圆心的圆与 相 ,则 B= 6、( 2017?湖州)如图,已知在 上]1中,一-上二_二「.以.p?为直径作半圆 , 交二'_1 于点一.若 的度数是 度. 如图,扇形纸扇完全打开后,外侧两竹条 AB , AC 的夹角为120 ,AB 长为30cm ,则 8 、
数学中考圆综合题附参考答案 1.如图,△ABC 中,以BC 为直径的圆交AB 于点D ,∠ACD =∠ABC . (1)求证:CA 是圆的切线; (2)若点E 是BC 上一点,已知BE =6,tan ∠ABC = 32,tan ∠AEC =3 5 ,求圆的直径. 2. 如图右,已知直线PA 交⊙0于A 、B 两点,AE 是⊙0的直径.点C 为⊙0上一点,且AC 平分∠PAE ,过C 作CD ⊥PA ,垂足为D 。 (1)求证:CD 为⊙0的切线; (2)若DC+DA=6,⊙0的直径为l0,求AB 的长度. 1. (1)证明:连接OC, ∵点C 在⊙0上,0A=OC,∴∠OCA=∠OAC ,∵CD ⊥PA ,∴∠CDA=90°, 有∠CAD+∠DCA=90°,∵AC 平分∠PAE ,∴∠DAC=∠CAO 。 ∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。 又∵点C 在⊙O 上,OC 为⊙0的半径,∴CD 为⊙0的切线. (2)解:过0作0F ⊥AB ,垂足为F ,∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°, ∴四边形OCDF 为矩形,∴0C=FD ,OF=CD. ∵DC+DA=6,设AD=x ,则OF=CD=6-x ,∵⊙O 的直径为10,∴DF=OC=5,∴AF=5-x , 在Rt △AOF 中,由勾股定理得222AF +OF =OA .即22(5)(6)25x x -+-=,化简得:211180x x -+= 解得2x =或9x =。由AD 2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案) 类型一 与全等结合 1. 如图,⊙O 的直径AB =4,C 为⊙O 上一点,AC = 2.过点C 作⊙O 的切线DC ,P 点为优弧CBA ︵ 上一动点(不与A 、C 重合). (1)求∠APC 与∠ACD 的度数; (2)当点P 移动到劣弧CB ︵ 的中点时,求证:四边形OBPC 是菱形; (3)当PC 为⊙O 的直径时,求证:△APC 与△ABC 全等. 第1题图 (1)解:∵AC =2,OA =OB =OC =1 2 AB =2, ∴AC =OA =OC , ∴△ACO 为等边三角形, ∴∠AOC =∠ACO =∠OAC =60°, ∴∠APC =1 2∠AOC =30°, 又∵DC 与⊙O 相切于点C , ∴OC ⊥DC , ∴∠DCO =90°, ∴∠ACD =∠DCO -∠ACO =90°-60°=30°; 第1题解图 (2)证明:如解图,连接PB ,OP , ∵AB 为直径,∠AOC =60°, ∴∠COB =120°, 当点P 移动到CB ︵ 的中点时,∠COP =∠POB =60°, ∴△COP 和△BOP 都为等边三角形, ∴OC =CP =OB =PB , ∴四边形OBPC 为菱形; (3)证明:∵CP 与AB 都为⊙O 的直径, ∴∠CAP =∠ACB =90°, 在Rt △ABC 与Rt △CPA 中, ? ????AB =CP AC =AC , ∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL). 2. 如图,AB 为⊙O 的直径,CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ,CO 的延长线交⊙O 于点M ,连接BD 、DM . (1)求证:AC =DC ; (2)求证:BD ∥CM ; (3)若sin B =4 5 ,求cos ∠BDM 的值. 第2题图 (1)证明:如解图,连接OD , 2018 年中考数学真题汇编 :圆(填空 +选择 46 题)答案 一、选择题 1.已知的半径为,的半径为,圆心距,则与的位置关系是( C ) A. 外离B外.切C相.交D内.切 2.如图,为的直径,是的弦,,则的度数为( C ) A. B. C. D. 3.已知半径为 5 的⊙ O 是△ ABC 的外接圆,若∠ABC=25°,则劣弧的长为( C ) A. B. C. D. 4.如图,在中,,的半径为3,则图中阴影部分的面积是( C ) A. B. C. D. 5.如图, AB 是圆 O 的弦, OC⊥ AB,交圆 O 于点 C,连接 OA, OB, BC,若∠ ABC=20°,则∠ AOB 的度数是(D ) A.40 ° B.50 ° C.70 ° D.80 ° 6.如图,蒙古包可近似看作由圆锥和圆柱组成,若用毛毡搭建一个底面圆面积为25πm2,圆柱高为 3m ,圆锥高为 2m 的蒙古包,则需要毛毡的面积是( A ) A. 2 C. 2 B.40 πm D.55 πm 7.如图 ,从一块直径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形 .则此扇形的面积为( A ) A. B. C. D. 8.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是(D) A. 点在圆内B点.在圆上C点.在圆心上D点.在圆上或圆内 9.如图, AB 是圆锥的母线, BC 为底面直径,已知BC=6cm,圆锥的面积为15πcm2,则 sin∠ ABC的值为( C ) A. B. C. D. 10.如图所示, A.27 ° 11.如图,AB 是⊙ O 的直径, PA 切⊙ O 于点 B.32 C.36°° 过点,, A,线段 D.54 ,点 PO交⊙O 于点 是轴下方 C,连结 BC,若∠ P=36°,则∠ B 等于( ° 上的一点,连接,,则 A)。 的度数是( B ) A. B. C. D. 12.如图, AC 是⊙ O 的直径,弦BD⊥ AO 于 E,连接 BC,过点 O 作 OF⊥ BC于 F,若 BD=8cm, AE=2cm,则 OF 的长 度是( D ) A. 3cm B.cm C. 2.5cm D.cm 13.如图,在△ABC 中,∠ ACB=90°,∠ A=30°,AB=4,以点 B 为圆心,BC长为半径画弧,交 边 AB 于点D,则 的长为(C) A. B. C. D. 14.如图,点A,B,C在⊙ O上,∠ ACB=35°,则∠AOB 的度数是( B ) A. 75° B. 70 C. 65° D. 35°° 15.如图,一把直尺,的直角三角板和光盘如图摆放,为角与直尺交点,,则光盘的直径是( D ) A.3 B. C. D. 16.如图,已知AB 是的直径,点P 在BA 的延长线上,PD 与相切于点D,过点 B 作PD 的垂线交PD 的延长线于点C,若的半径为4,,则PA 的长为(A) A. 4 B. C. 3 D. 2.5 17.在中,若为边的中点,则必有成立 .依据以上结论,解决如下问题:如图,在矩形中,已知,点在以为直径的半圆上运动,则的最小值为( D )A. B. C. 34 D. 10 25题汇编 1. 如图,是⊙O 的直径,是⊙O 的切线,切点为B ,为弦,∥。 (1)求证:是⊙O 的切线; (2)若2,求OC AD 的值。 2. 如图,⊙O 是△的外接圆,∠60°,是⊙O 的直径,P 是延长线上的一点,且 (1)求证:直线是⊙O 的切线; (2)若3,求的长。 D C B A O C B 3. 如图,已知是⊙O 的直径,和是⊙O 的两条切线,点E 是⊙O 上一点,点D 是上一点,连接并延长交于点C ,连接、,且∥。 (1)求证:是⊙O 的切线; (2)若1,4,求直径的长。 4. 如图,△内接于⊙O ,弦⊥交于点E ,过点B 作⊙O 的切线交的延长线于点F ,且∠∠。 (1)求证:; (2)若4,2 3 tan F ,求的长。 M N E D C B A O 5. 在△中,,以为直径作⊙O ,交于点D ,过点D 作⊥,垂足为E 。 (1)求证:是⊙O 的切线; (2)若1,52=BD ,求的长。 6. 如图,是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,垂直于过点C 的直线,垂足为D ,且平分 ∠。 (1)求证:是⊙O 的切线; (2)若62=AC ,4,求的长。 A 7. 如图,为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,和过C 点的切线互相垂直,垂足为点D ,交⊙O 于点E 。 求证:(1)平分∠; (2)若∠60°,32 CD ,求的长。 8. 如图,⊙O 是△的外接圆,是⊙O 的直径,弦,12,5,⊥交的延长线于点E 。 (1)求证:是⊙O 的切线; (2)求的长。 A E A 9. 如图,在△中,∠90°,6,半径为2的⊙F 与射线相切于点G ,且4,将△绕点A 顺时针旋转135°后得到△,点B 、C 的对应点分别是点D 、E 。 (1)求证:为⊙F 的切线; (2)求出△的斜边被⊙F 截得的弦的长度。 10. ⊙O 是等边三角形的外接圆,点E 在弧上,点D 在弧上,且弧等于弧,连接交于点F ,连接交于点H ,交于点G ,连接。 (1)求证:; (2)若5:3: BF AF ,8,求的长。 D 一、选择题 1、(2020最新模拟山东淄博)一个圆锥的高为33,侧面展开图是 半圆,则圆锥的侧面积是( )B (A )9π (B )18π (C )27π (D )39π 2、(2020最新模拟四川内江)如图(5),这 是中央电视台“曲苑杂谈”中的一副图案,它是一扇形图形,其中AOB ∠为120o ,OC 长为8cm ,CA 长为12cm ,则阴影部分的面积为( ) A .264πcm B .2112πcm C .2144πcm D .2152πcm 解:S = 212020360 π?- 21208360 π?=2112πcm 选(B )。 3、(2020最新模拟山东临沂)如图,在△ABC 中, AB =2,AC =1,以AB 为直径的圆与AC 相切,与 边 BC 交于点D ,则AD 的长为( )。A A 、55 2 B 、 554 C 、35 2 D 、354 4、(2020最新模拟浙江温州)如图,已知ACB ∠是O e 的圆周角,50ACB ∠=?,则圆心角AOB ∠是( )D A .40? B. 50? C. 80? D. 100? 5、(2020最新模拟重庆市)已知⊙O 1的半径r 为3cm ,⊙O 2的半径R 为4cm ,两圆的圆心距O 1O 2为1cm ,则这两圆的位置关系是( )C (A )相交 (B )内含 (C )内切 (D )外切 A C O B 图(5) 6、(2020最新模拟山东青岛)⊙O 的半径是6,点O 到直线a 的距离为5,则直线a 与⊙O 的位置关系为( ).C A .相离 B .相切 C .相交 D .内含 7、(2020最新模拟浙江金华)如图,点A B C ,,都在 O e 上,若34 C o ∠,则AOB ∠的度数为( )D A .34o B .56o C .60o D .68o 8、(2020最新模拟山东济宁)已知圆锥的底面半径为1cm ,母线长为3cm ,则其全面积为( )。C A 、π B 、3π C 、4π D 、7π 9、(2020最新模拟山东济宁)如图所示,小华从一个圆形场地的A 点出发,沿着与半径OA 夹角为α的方向 行 走,走到场地边缘B 后,再沿着与半径OB 夹角为α的方向折向行走。按照这种方式,小华第五次走到场地边缘时处于弧AB 上,此时∠AOE =56°,则α的度数是( )。A A 、52° B 、60° C 、72° D 、76° 10、(2020最新模拟福建福州)如图2,O e 中,弦 AB 的长为6cm ,圆心O 到AB 的距离为4cm ,则O e 的半径长 为( ) A .3cm B .4cm C .5cm D .6cm C 11、(2020最新模拟双柏县)如图,已知PA 是⊙O 的切线,A 为切点,PC 与⊙O 相交于B 、C 两点,PB =2 cm ,BC =8 cm ,则PA 的长等于( ) A .4 cm B .16 cm O C B A O B A 图2 A ·O P C B 初中数学中考精华试题汇编--圆 一、选择题 1.(北京市西城区)如图,BC 是⊙O 的直径,P 是CB 延长线上一点,PA 切⊙O 于点A ,如果PA =3,PB =1,那么∠APC 等于 () (A ) 15 (B ) 30 (C ) 45 (D ) 60 2.(北京市西城区)如果圆柱的高为20厘米,底面半径是高的 41,那么这个圆柱的侧面积是 () (A )100π平方厘米 (B )200π平方厘米 (C )500π平方厘米 (D )200平方厘米 3.(北京市西城区)“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题,“今在圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何?”用现在的数学语言 表述是:“如图,CD 为⊙O 的直径,弦AB ⊥CD ,垂足为E ,CE =1寸,AB =10寸, 求直径CD 的长”.依题意,CD 长为 ( ) (A )2 25寸 (B )13寸 (C )25寸 (D )26寸 4.(北京市朝阳区)已知:如图,⊙O 半径为5,PC 切⊙O 于点C ,PO 交 ⊙O 于 点A ,PA =4,那么PC 的长等于 ( ) (A )6 (B )25 (C )210 (D )214 5.(北京市朝阳区)如果圆锥的侧面积为20π平方厘米,它的母线长为5 厘米,那么此圆锥的底面半径的长等于 ( ) (A )2厘米 (B )22厘米 (C )4厘米 (D )8厘米 6.(天津市)相交两圆的公共弦长为16厘米,若两圆的半径长分别为 10厘米 和17厘米,则这两圆的圆心距为 ( ) (A )7厘米 (B )16厘米 (C )21厘米 (D )27厘米 7.(重庆市)如图,⊙O 为△ABC 的内切圆,∠C = 90,AO 的延长线交BC 于点D ,AC =4,DC =1,,则⊙O 的半径等于 ( ) (A )54 (B )45 (C )43 (D )6 5 8.(重庆市)一居民小区有一正多边形的活动场.为迎接“AAPP ”会议在重庆市的召开,小区管委会决定在这个多边形的每个顶点处修建一个半径为2米的扇形花台,花台都以多边形的顶点为圆心,比多边形的内角为圆2020中考数学 专题练习:圆的综合题(含答案)
2018年中考数学真题汇编圆
中考数学圆综合题汇编
2020中考数学圆试题分类汇编
初中数学中考试题精华汇编-圆-(附答案).