导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率

课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题．

1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________．

2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy

Δx＝

f(x2)－f(x1)

x2－x1

的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象

上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________．

一、填空题

1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号)

①在[x0，x1]上的平均变化率；

②在x0处的变化率；

③在x1处的变化率；

④以上都不对．

2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________.

3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝

________.

4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________．

5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________．

6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________．

7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______．

8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________．

二、解答题

9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．

能力提升

11.

甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？

12．函数f(x)＝x2＋2x在[0，a]上的平均变化率是函数g(x)＝2x－3在[2,3]上的平均变化率的2倍，求a的值．

3.1.2 瞬时变化率——导数(二)

课时目标 1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程．

1．导数的几何意义

函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：________________________________.

2．利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤： (1)求出函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)；

(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．

一、填空题

1．曲线y ＝1

x

在点P(1,1)处的切线方程是________．

2．已知曲线y ＝2x 3上一点A(1,2)，则A 处的切线斜率为________． 3．曲线y ＝4x －x 3在点(－1，－3)处的切线方程是____________． 4．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为______________．

5．曲线y ＝2x －x 3

在点(1,1)处的切线方程为________．

6．设函数y ＝f(x)在点x 0处可导，且f ′(x 0)>0，则曲线y ＝f(x)在点(x 0，f(x 0))处切线的倾斜角的范围是________．

7．曲线f(x)＝x 3＋x －2在点P 处的切线平行于直线y ＝4x －1，则P 点的坐标为______________．

8．已知直线x －y －1＝0与曲线y ＝ax 2相切，则a ＝________. 二、解答题

9．已知曲线y ＝4

x

在点P(1,4)处的切线与直线l 平行且距离为17，求直线l 的方程．

10．求过点(2,0)且与曲线y ＝1

x

相切的直线方程．

能力提升

11．已知曲线y＝2x2上的点(1,2)，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程．12．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值．

1．利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题．

2．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点．

3.1.2 瞬时变化率——导数(一)

课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

1．瞬时速度的概念

作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．

用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函

数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)

Δt

趋近于常数，我们这个常数称为

______________． 2．导数的概念

设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy

Δx

＝

____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数

若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.

一、填空题

1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．

2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

的值为________．

3．一物体的运动方程是s ＝1

2

at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．

4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝3

2

处的瞬时变化率是________．

5．函数y ＝x ＋1

x

在x ＝1处的导数是________．

6．设函数f(x)＝ax 3＋2，若f ′(－1)＝3，则a ＝________. 7．曲线f(x)＝x 在点(4,2)处的瞬时变化率是________．

8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t 2＋2t ＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t ＝1时的瞬时加速度是________． 二、解答题

9．用导数的定义，求函数y ＝f(x)＝1

x

在x ＝1处的导数．

10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

能力提升

11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．

12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－1

2gt

2，求物体在时

刻t0处的瞬时速度．

1．利用定义求函数在一点处导数的步骤：

3.2.1 常见函数的导数

课时目标 1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运用公式求某些函数的导数．

1．几个常用函数的导数： (kx ＋b)′＝______；

C ′＝______ (C 为常数)； x ′＝______； (x 2)′＝______； ???

?1x ′＝________. 2(cos x)′＝________

一、填空题

1．下列结论不正确的是________．(填序号) ①若y ＝3，则y ′＝0；

②若y ＝1x

，则y ′＝－1

2x ；

③若y ＝－x ，则y ′＝－1

2x

；

④若y ＝3x ，则y ′＝3.

2．下列结论：①(cos x)′＝sin x ；②????sin π3′＝cos π3；③若y ＝1x 2，则f ′(3)＝－227

.其中正确的有______个．

3．设f 0(x)＝sin x ，f 1(x)＝f ′0(x)，f 2(x)＝f ′1(x)，…，f n ＋1(x)＝f ′n (x)，n ∈N ，则f 2 010(x )＝________. 4．已知曲线y ＝x 3在点P 处的切线斜率为k ，则当k ＝3时的P 点坐标为______________． 5．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5

t ，则质点在t ＝4时的速度为_________．

6．若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝1－2x ＋x 2，则y ′＝f ′(x )＝________.

7．曲线y ＝cos x 在点A ???

?π6，3

2处的切线方程为__________________．

8．曲线y ＝x 2上切线倾斜角为π

4

的点是__________．

二、解答题

9．求下列函数的导数．

(1)y ＝log 4x 3

－log 4x 2

； (2)y ＝2x 2＋1x －2x ； (3)y ＝－2sin x

2?

???2sin 2 x 4－1.

10.已知曲线y ＝x 2上有两点A (1,1)，B (2,4)．求： (1)割线AB 的斜率k AB ；

(2)在[1,1＋Δx ]内的平均变化率； (3)点A 处的切线斜率k AT ； (4)点A 处的切线方程．

能力提升

11．若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围为__________． 12．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p (单位：元)与时间t (单位：年)有如下函数关系：

p (t )＝p 0(1＋5%)t ，

其中p 0为t ＝0时的物价，假定某种商品的p 0＝1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？(注ln 1.05≈0.05，精确到0.01)

1．求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式． 2．对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决．

§3.2 导数的运算

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数

课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能

够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．

1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.

2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．

3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.

一、填空题

1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.

2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．

3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．

5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．

6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π

4)的值为__________．

7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x

＋2在x ＝0处的切线方程为____________．

8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3

t

(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在

第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s. 二、解答题

9．求下列函数的导数． (1)y ＝10x ；

(2)y ＝x ＋cos x x －cos x

；

(3)y ＝2x cos x －3x log 2 011x ； (4)y ＝x ·tan x .

10.求曲线y ＝x 2＋sin x 在点(π，π2)处的切线方程．

能力提升

11．已知点P在曲线y＝4

e x＋1

上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围为__________．

12．求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．

1．理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件．

2．对于一些应用问题如切线、速度等，可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算．

3．1.1 平均变化率

知识梳理 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1

x 2－x 1 Δx ＝x 2－x 1 增量 x 1＋Δx f (x 2)－f (x 1) Δy Δx

2．斜率 作业设计 1．①

2．f (x 0＋Δx )－f (x 0) 3．4＋2Δx

解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2×12＋1＝4Δx ＋2(Δx )2， ∴Δy Δx ＝4Δx ＋2(Δx )2Δx ＝4＋2Δx . 4.s (t ＋Δt )－s (t )Δt

解析 由平均速度的定义可知，物体在t 到t ＋Δt 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．

所以v ＝Δs Δt ＝s (t ＋Δt )－s (t )

Δt

.

5．－1

解析 Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝1－32＝－1.

6．0.41 7．1

解析 由平均变化率的几何意义知k ＝2－1

1－0

＝1.

8．4.1

解析 质点在区间[2,2.1]内的平均速度可由Δs Δt 求得，即v ＝Δs Δt ＝s (2.1)－s (2)

0.1

＝4.1.

9．解 函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为： f (－1)－f (－3)

(－1)－(－3)

＝[(－1)2－2×(－1)]－[(－3)2－2×(－3)]2

＝－6.

函数f (x )在[2,4]上的平均变化率为： f (4)－f (2)4－2

＝(42－2×4)－(22－2×2)

2＝4.

10．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1 ＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3， ∴割线PQ 的斜率

Δy Δx ＝(Δx )3＋3(Δx )2＋3Δx Δx

＝(Δx )2＋3Δx ＋3. 当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率为k ，

则k ＝Δy

Δx

＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.

∴当Δx ＝0.1时割线的斜率为3.31.

11．解 乙跑的快．因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小．

12．解 函数f (x )在[0，a ]上的平均变化率为 f (a )－f (0)a －0

＝a 2＋2a

a ＝a ＋2.

函数g (x )在[2,3]上的平均变化率为 g (3)－g (2)3－2

＝(2×3－3)－(2×2－3)

1＝2.

∵a ＋2＝2×2，∴a ＝2.

3．1.2 瞬时变化率——导数(二)

知识梳理

1．曲线y ＝f (x )上过点x 0的切线的斜率 作业设计

1．x ＋y －2＝0

解析 Δy Δx ＝1

1＋Δx

－1

Δx ＝－Δx 1＋Δx Δx ＝－11＋Δx

，

当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于－1，

∴k ＝－1，

∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. 2．6

解析 ∵y ＝2x 3， ∴Δy Δx ＝2(x ＋Δx )3－2x 3Δx

＝2(Δx )3＋6x (Δx )2＋6x 2Δx Δx

＝2(Δx )2＋6x Δx ＋6x 2.

∴当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于6x 2，

∴点A (1,2)处切线的斜率为6. 3．x －y －2＝0

解析 Δy Δx ＝4(x ＋Δx )－(x ＋Δx )3－4x ＋x 3

Δx

＝4－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，

当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于4－3x 2，

∴f ′(－1)＝1.

所以在点(－1，－3)处的切线的斜率为k ＝1， 所以切线方程是y ＝x －2. 4．4x －y －3＝0

解析 与直线x ＋4y －8＝0垂直的直线l 为4x －y ＋m ＝0，即y ＝x 4在某一点的导数为4，而y ′＝4x 3，所以y ＝x 4在(1,1)处导数为4，此点的切线方程为4x －y －3＝0. 5．x ＋y －2＝0

解析 Δy Δx

＝2－(Δx )2－3x 2－3x (Δx )，

当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于2－3x 2，

∴y ′＝2－3x 2，∴k ＝2－3＝－1.

∴切线方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.

6.???

?0，π2 解析 k ＝f ′(x 0)>0，∴tan θ>0，∴θ∈???

?0，π2. 7．(1,0)或(－1，－4)

解析 设P (x 0，y 0)，由f (x )＝x 3＋x －2， Δy

Δx

＝(Δx )2＋3x 2＋3x (Δx )＋1， 当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于3x 2＋1.

∴f ′(x )＝3x 2＋1，令f ′(x 0)＝4， 即3x 20＋1＝4，得x 0＝1或x 0＝－1， ∴P (1,0)或(－1，－4)． 8.14

解析 Δy Δx ＝a (x ＋Δx )2－ax 2

Δx

＝2ax ＋a Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，2ax ＋a Δx 无限趋近于2ax ， ∴f ′(x )＝2ax .

设切点为(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝2ax 0,2ax 0＝1，

且y 0＝x 0－1＝ax 20，解得x 0＝2，a ＝1

4

. 9．解 Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝4x ＋Δx －

4x

Δx

＝－4Δx x Δx (x ＋Δx )＝－4x (x ＋Δx )

， 当Δx 无限趋近于0时，－4x (x ＋Δx )

无限趋近于－4

x 2，

即f ′(x )＝－4

x

2.

k ＝f ′(1)＝－4，切线方程是y －4＝－4(x －1)， 即为4x ＋y －8＝0，

设l ：4x ＋y ＋c ＝0，则17＝|c ＋8|

42＋1

2，

∴|c ＋8|＝17，

∴c ＝9，或c ＝－25，

∴直线l 的方程为4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0.

10．解 (2,0)不在曲线y ＝1

x 上，

令切点为(x 0，y 0)，则有y 0＝1

x 0

.①

又Δy Δx ＝1x ＋Δx －

1

x Δx ＝－1x (x ＋Δx )

， 当Δx 无限趋近于0时，－1x (x ＋Δx )

无限趋近于－1

x 2.

∴k ＝f ′(x 0)＝－1

x 20

.

∴切线方程为y ＝－1

x 20

(x －2)．

而y 0x 0－2

＝－1x 20.②

由①②可得x 0＝1，

故切线方程为x ＋y －2＝0.

11．解 Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2

Δx

＝4Δx ＋2(Δx )2Δx

＝4＋2Δx ，

当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于4，

∴f ′(1)＝4.

∴所求直线的斜率为k ＝－1

4

.

∴y －2＝－1

4

(x －1)，即x ＋4y －9＝0.

12．解 ∵Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)

＝(x 0＋Δx )3＋a (x 0＋Δx )2－9(x 0＋Δx )－1－(x 30＋ax 20－9x 0－1)

＝(3x 20＋2ax 0－9)Δx ＋(3x 0＋a )(Δx )2＋(Δx )3

， ∴Δy Δx

＝3x 20＋2ax 0－9＋(3x 0＋a )Δx ＋(Δx )2. 3.1.2 瞬时变化率——导数(一)

课时目标 1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数．

1．瞬时速度的概念

作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫____________．

用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝f(t)，当Δt 趋近于0时，函

数f(t)在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)

Δt

趋近于常数，我们这个常数称为

______________． 2．导数的概念

设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)上有定义，x 0∈(a ，b)，当Δx 无限趋近于0时，比值Δy

Δx

＝

____________无限趋近于一个常数A ，则称f(x)在点x ＝x 0处________，并称该常数A 为______________________________，记作f ′(x 0)． 3．函数的导数

若f(x)对于区间(a ，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x)的导函数，记作f ′(x)． 4．瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t)＝________. 5．瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t 的导数，即a(t)＝________.

一、填空题

1．任一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________．

2．设f(x)在x ＝x 0处可导，则当Δx 无限趋近于0时f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

的值为________．

3．一物体的运动方程是s ＝1

2

at 2(a 为常数)，则该物体在t ＝t 0时的瞬时速度是________．

4．已知f(x)＝－x 2＋10，则f(x)在x ＝3

2

处的瞬时变化率是________．

5．函数y＝x＋1

x在x＝1处的导数是________．

6．设函数f(x)＝ax3＋2，若f′(－1)＝3，则a＝________.

7．曲线f(x)＝x在点(4,2)处的瞬时变化率是________．

8．已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t)＝t2＋2t＋2，则在时间间隔[1,1＋Δt]内的平均加速度是________，在t＝1时的瞬时加速度是________．

二、解答题

9．用导数的定义，求函数y＝f(x)＝1

x

在x＝1处的导数．

10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

能力提升

11．已知函数y＝ax2＋bx＋c，求函数在x＝2处的导数．

12．以初速度v0 (v0>0)垂直上抛的物体，t秒时间的高度为s(t)＝v0t－1

2gt

2，求物体在时

刻t0处的瞬时速度．

3．1.2 瞬时变化率——导数(一)

知识梳理

1．瞬时速度 瞬时速度 2.f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx

可导 函数f (x )在点x ＝x 0处的导数

4．S ′(t ) 5.v ′(t ) 作业设计 1．3

解析 Δs Δt ＝s (Δt )－s (0)Δt ＝3Δt －(Δt )2

Δt

＝3－Δt ，

当Δt 无限趋近于0时，Δs

Δt

无限趋近于3.

2．－f ′(x 0)

解析 ∵f (x 0－Δx )－f (x 0)

Δx

＝f (x 0)－f (x 0－Δx )－Δx

＝－f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx

，

∴当Δx 无限趋近于0时，原式无限趋近于－f ′(x 0)． 3．at 0

解析 Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt ＝12

a Δt ＋at 0，

当Δt 无限趋近于0时，Δs

Δt

无限趋近于at 0.

4．－3

解析 ∵Δf Δx ＝f ????32

＋Δx －f ????32Δx

＝－Δx －3，

当Δx 无限趋近于0时，Δf

Δx

无限趋近于－3.

5．0

解析 Δy

Δx ＝(1＋Δx )＋1

1＋Δx －2

Δx

＝(1＋Δx )2＋1－2(1＋Δx )Δx (1＋Δx )

＝(Δx )2Δx (1＋Δx )＝Δx 1＋Δx

， 当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于0.

6．1

解析 ∵f (－1＋Δx )－f (－1)

Δx

＝a (－1＋Δx )3－a (－1)3Δx

＝a (Δx )2－3a Δx ＋3a .

∴当Δx 无限趋近于0时，Δf

Δx

无限趋近于3a ，

即3a ＝3，∴a ＝1. 7.14

解析 Δf Δx ＝f (4＋Δx )－f (4)

Δx ＝4＋Δx －2Δx

＝1

4＋Δx ＋2

，

∴当Δx 无限趋近于0时，Δf Δx 无限趋近于1

4

.

8．4＋Δt 4

解析 在[1,1＋Δt ]内的平均加速度为Δv Δt ＝v (1＋Δt )－v (1)

Δt

＝Δt ＋4，当Δt 无限趋近于0时，

Δv

Δt

无限趋近于4. 9．解 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝11＋Δx －1

1

＝

1－1＋Δx 1＋Δx ＝－Δx

1＋Δx ·(1＋1＋Δx )

∴Δy

Δx ＝－11＋Δx ·(1＋1＋Δx )， ∴当Δx 无限趋近于0时，

－1

1＋Δx ·(1＋1＋Δx )

无限趋近于－12，∴f ′(1)＝－1

2

.

10．解 运动方程为s ＝1

2

at 2.

因为Δs ＝12a (t 0＋Δt )2－1

2at 20

＝at 0Δt ＋1

2a (Δt )2，

所以Δs Δt ＝at 0＋12a Δt .

所以当Δt 无限趋近于0时，

Δs

Δt

无限趋近于at 0. 由题意知，a ＝5×105 m/s 2，t 0＝1.6×10－

3s ， 所以at 0＝8×102＝800 (m/s)．

即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

11．解 ∵Δy ＝a (2＋Δx )2＋b (2＋Δx )＋c －(4a ＋2b ＋c ) ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx ， ∴Δy Δx ＝4a Δx ＋a (Δx )2＋b Δx Δx

＝4a ＋b ＋a Δx ， 当Δx 无限趋近于0时，Δy

Δx

无限趋近于4a ＋b .

所以函数在x ＝2处的导数为4a ＋b .

12．解 ∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－1

2

g (t 0＋Δt )2－

?

???v 0t 0－12gt 20 ＝(v 0－gt 0)Δt －1

2

g (Δt )2，

∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－1

2

g Δt ， 当Δt 无限趋近于0时，Δs

Δt

无限趋近于v 0－gt 0.

故物体在时刻t 0处的瞬时速度为v 0－gt 0.

3．2.1 常见函数的导数

知识梳理

1．k 0 1 2x －1

x

2

2.

1．②

解析 y ′＝???

?1x ′＝(x －12)′＝－123

2x -

＝－1

2x x .

2．1

解析 直接利用导数公式．

因为(cos x )′＝－sin x ，所以①错误；

sin π3＝32，而???

?3

2′＝0，所以②错误；

????1x 2′＝(x －2)′＝－2x －3，则f ′(3)＝－227， 所以③正确． 3．－sin x

解析 f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f ′0(x )＝cos x ，

f 2(x )＝f ′1(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f ′2(x )＝－cos x ，

f 4(x )＝f ′3(x )＝sin x ，….由此继续求导下去，发现四个一循环，从0到2 010共2 011个数，

2 011＝4×502＋3，所以f 2 010(x )＝f 2(x )＝－sin x . 4．(－1，－1)或(1,1)

解析 y ′＝3x 2，∵k ＝3，∴3x 2＝3，∴x ＝±1， 则P 点坐标为(－1，－1)或(1,1)．

5.11052

3

解析 s ′＝1

55t 4

.

当t ＝4时，s ′＝15·1544＝1

105

23

.

6．2x

解析 ∵f (x －1)＝1－2x ＋x 2＝(x －1)2， ∴f (x )＝x 2，f ′(x )＝2x .

7．x ＋2y －3－π

6

＝0

解析 ∵y ′＝(cos x )′＝－sin x ，

∴k ＝－sin π6＝－1

2

，

∴在点A 处的切线方程为y －32＝－1

2???

?x －π6， 即x ＋2y －3－π

6

＝0.

8.????12，14

解析 设切点坐标为(x 0，x 20)，

则tan π4＝f ′(x 0)＝2x 0，∴x 0＝12

.

∴所求点为????

12，14.

9．解 (1)∵y ＝log 4x 3－log 4x 2＝log 4x ，

∴y ′＝(log 4x )′＝1

x ln 4

.

(2)∵y ＝2x 2＋1x －2x ＝2x 2＋1－2x 2x ＝1

x .

∴y ′＝????1x ′＝－1

x 2

. (3)∵y ＝－2sin x

2????2sin 2 x 4－1 ＝2sin x

2????1－2sin 2 x 4 ＝2sin x 2cos x

2

＝sin x .

∴y ′＝(sin x )′＝cos x .

10．解 (1)k AB ＝4－1

2－1

＝3.

(2)平均变化率Δy Δx ＝(1＋Δx )2－1

Δx

＝2Δx ＋(Δx )2Δx

＝2＋Δx .

(3)y ′＝2x ，∴k ＝f ′(1)＝2， 即点A 处的切线斜率为k AT ＝2.

(4)点A 处的切线方程为y －1＝2(x －1)， 即2x －y －1＝0. 11．(－∞，0)

解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1

x

，x ∈(0，＋∞)，

∴由题知5ax 4＋1

x ＝0在(0，＋∞)上有解．

即a ＝－1

5x

5在(0，＋∞)上有解．

∵x ∈(0，＋∞)，∴－1

5x

5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)．

12．解 ∵p 0＝1，∴p (t )＝(1＋5%)t ＝1.05t . 根据基本初等函数的导数公式表，有 p ′(t )＝(1.05t )′＝1.05t ·ln 1.05. ∴p ′(10)＝1.0510·ln 1.05≈0.08(元/年)．

因此，在第10个年头，这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨．

3.2.2 函数的和、差、积、商的导数

课时目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数．

1．两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的__________，即[f (x )±g (x )]′＝______________.

2．两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上________________________________________，即[f (x )·g (x )]′＝________________.特别地[Cf (x )]′＝__________(其中C 为常数)．

3．两个函数的商的导数，等于分子的导数与__________减去________________与分子的积，再除以______________．即_______________________________.

一、填空题

1．已知f (x )＝x 3＋3x ＋ln 3，则f ′(x )＝__________.

2．曲线y ＝x e x ＋1在点(0,1)处的切线方程是____________．

3．已知函数f (x )＝x 4＋ax 2－bx ，且f ′(0)＝－13，f ′(－1)＝－27，则a ＋b ＝________. 4．曲线y ＝x (x －1)(x －2)…(x －6)在原点处的切线方程为__________．

5．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为________．

6．已知函数f (x )＝f ′(π4)cos x ＋sin x ，则f (π

4)的值为__________．

7．曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x

＋2在x ＝0处的切线方程为____________．

8．某物体作直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3

t

(t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在

第4秒末的瞬时速度应该为________ m/s.

浙江人教A版数学高二选修2-2学案第一章导数及其应用1.3.1

1．3.1函数的单调性与导数 学习目标 1.理解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间． 知识点一函数的单调性与导函数正负的关系 思考1观察高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10的图象及h′(t)＝－9.8t＋6.5的图象，思考运动员从起跳到最高点，从最高点到入水的运动状态有什么区别． 答案从起跳到最高点，h随t的增加而增加，h(t)是增函数，h′(t)>0；从最高点到入水，h(t)是减函数，h′(t)<0. 思考2观察图中函数f(x)，填写下表． 导数值切线的斜率倾斜角曲线的变化趋势函数的单调性 >0>0锐角上升递增 <0<0钝角下降递减

梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上， (1)如果f′(x)>0，则f(x)在该区间上单调递增； (2)如果f′(x)<0，则f(x)在该区间上单调递减． 知识点二函数图象的变化趋势与导数值大小的关系 思考观察下图，填写下表． 注：表的最右一列填“平缓”或“陡峭”，函数值变化一栏中填快或慢. 区间导数的绝对值函数值变化函数图象 (－∞，a)较小较慢比较“平缓” (a,0)较大较快比较“陡峭” (0，b)较大较快比较“陡峭” (b，＋∞)较小较慢比较“平缓” 梳理一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值函数值变化函数的图象 越大快比较“陡峭”(向上或向下) 越小慢比较“平缓”(向上或向下) 类型一导数与单调性的关系 命题角度1根据原函数图象确定导函数图象 例1已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是图中的()

导数练习题 含答案

导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )

导数学案(有答案)

3.1.1平均变化率 课时目标 1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx看作是相对于x1的一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)的平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)的平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 的几何意义是：表示连接函数y＝f(x)图象 上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))的割线的________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上的平均变化率； ②在x0处的变化率； ③在x1处的变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数的增量Δy＝______________. 3．已知函数f(x)＝2x2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________. 4．某物体做运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变化率是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0.1时，Δy的值为________． 7．过曲线y＝2x上两点(0,1)，(1,2)的割线的斜率为______． 8．若一质点M按规律s(t)＝8＋t2运动，则该质点在一小段时间[2,2.1]内相应的平均速度是________． 二、解答题 9．已知函数f(x)＝x2－2x，分别计算函数在区间[－3，－1]，[2,4]上的平均变化率．10．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx，1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率．

浙江人教A版数学高二选修2-2学案第一章导数及其应用疑难规律方法

1 变化率与导数 1．变化率 函数的平均变化率为 Δy Δx ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0 ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，它是用来刻画函数值在区间[x 0，x 1]上变化快慢的量．式中Δx ，Δy 的值可正、可负，当函数f (x )为常数函数时，Δy 的值为0，但Δx 不能为0.当Δx 趋于0时，平均变化率就趋于函数在x 0点处的瞬时变化率． 例1 甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人在时间段[0，t 0]内的平均速度的大小？ 解 比较在相同的时间段[0，t 0]内，两人速度的平均变化率的大小便知结果． 在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，s 1(0)>s 2(0)， 所以s 1(t 0)－s 1(0)t 0

最新3.1-3.2导数学案汇总

3.1-3.2导数学案

第三章导数及其应用 3.1导数（刘骏宇） 第1课时平均变化率、瞬时速度与导数 学习要求 1．了解函数的平均变化率的概念 2．会求函数的平均变化率 3．知道函数的瞬时速度的概念 4．理解导数的概念，能利用导数的定义求导数 自学评价 1、已知函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?及其附近 有定义，令?Skip Record If...?_______, ?Skip Record If...?,则当?Skip Record If...?时，比值______=?Skip Record If...?,称作自变量在?Skip Record If...?附近的平均变化率. 2、一般地，如果物体的运动规律是?Skip Record If...?，那么物体在 时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到?Skip Record If...?这段时 间内，当?Skip Record If...?时__________，即 v=______=________ 3、设函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?附近有定义， 当自变量在?Skip Record If...?处有增量?Skip Record If...? 时，函数?Skip Record If...?相应地有增量?Skip Record If...?=________.如果?Skip Record If...?时，?Skip Record If...?与?Skip Record If...?的比?Skip Record If...?（也叫做 函数的______）有极限（即?Skip Record If...?无限趋近于某个常 数），我们就把这个极限值叫做函数?Skip Record If...?在?Skip Reco rd If...?处的导数，记做______或_______，于是可写作 ______=?Skip Record If...?. 4、如果函数?Skip Record If...?在开区间(a,b)内的每点处都有导 数，此时对于每一个?Skip Record If...?，都对应着一个确定的导 数?Skip Record If...?，从而构成了一个新的函数?Skip Record If...?，称这个函数?Skip Record If...?为函数?Skip Record If...?在开区间(a,b)内的______，简称______. 【精典范例】 例1：（1）求?Skip Record If...?在?Skip Record If...?到?Skip Record If...?之间的平均变化率.

教师课件：2020年高中数学第一章导数及其应用1.2第二课时导数的运算法则学案新人教A版选修2-2

第二课时 导数的运算法则 预习课本P15～18，思考并完成下列问题 (1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？ (2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？ [新知初探] 1．导数的四则运算法则 (1)条件：f (x )，g (x )是可导的． (2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ③???? ??f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ](g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项 (1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导． (4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导， 可简化求导过程． 2．复合函数的求导公式 (1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))． ②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量． (2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为： y x ′＝y u ′·u x ′. [小试身手] 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2 .( ) (2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)×

函数与导数练习题(有答案)

函数与导数练习题（高二理科） 1．下列各组函数是同一函数的是 （ ） ①()f x = ()g x =()f x x = 与()g x =； ③0()f x x =与01 ()g x x = ；④2()21f x x x =--与2()21g t t t =--. A 、①② B 、①③ C 、③④ D 、①④ 2．函数2 4 ++= x x y 的定义域为 . 3．若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f 且，则)(x f = . 4．如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(],4-∞上单调递减，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、3a -≤ B 、3a -≥ C 、a ≤5 D 、a ≥5 5．下列函数中，在()0,2上为增函数的是（ ） A ．12 log (1)y x =+ B ．2 log y =C ．2 1log y x = D ．2 log (45)y x x =-+ 6．)(x f y =的图象关于直线1-=x 对称，且当0>x 时，,1 )(x x f =则当2-

第一章 1.1 1.1.1 1.1.2 导数的概念(优秀经典导学案课时作业及答案详解)

[A组学业达标] 1．已知函数f(x)＝－x2＋x，则f(x)从－1到－0.9的改变量为() A．－0.29 B．－2.9 C．0.29 D．2.9 解析：f(－1)＝－(－1)2＋(－1)＝－2. f(－0.9)＝－(－0.9)2＋(－0.9)＝－1.71. 所以函数值的改变量为 f(－0.9)－f(－1)＝－1.71－(－2)＝0.29.故选C. 答案：C 2．将半径为R的球加热，若球的半径增量为ΔR，则球的表面积增量ΔS等于() A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2 C．4πRΔR＋4π(ΔR)2D．4π(ΔR)2 解析：球的表面积S＝4πR2，则ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2，故选B. 答案：B 3．一质点的运动方程为s＝3－5t2，则在时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为() A．－2－Δt B．2＋Δt C．－10－5Δt D．10＋5Δt 解析：v＝3－5(1＋Δt)2－(3－5×12) Δt ＝－10－5Δt，故选C. 答案：C 4．给定函数f(x)，则lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx等于() A．f′(x0) B．f′(－x0) C．－f′(x0) D．－f′(－x0) 解析：lim Δx→0f(x0－Δx)－f(x0) Δx ＝－lim Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) (x0－Δx)－x0 ＝－lim －Δx→0 f(x0－Δx)－f(x0) －Δx ＝ －f′(x0)，故选C.

答案：C 5．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是() A．1 B．－1 C．±1 D．3 3 解析：因为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx2)＋(Δx)3， 所以Δy Δx ＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2， 所以f′(x0)＝lim Δx→0 [3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20， 由f′(x0)＝3得3x20＝3，所以x0＝±1，故选C. 答案：C 6．甲、乙两人的运动路程与时间的函数关系分别为s＝s1(t)，s＝s2(t)，图象如图，则在时间段[0，t0]内甲的平均速度________乙的平均速度(填“大于”“小于”或“等于”)． 解析：由图象知s1(t0)＝s2(t0)，s1(0)＞s2(0)， 所以 s1(t0)－s1(0) t0 ＜ s2(t0)－s2(0) t0 ，即v甲＜v乙． 答案：小于 7．一物体的运动方程为s＝ 3 t，则当t＝2时该物体的瞬时速度为________． 解析：瞬时速度即为s对t的导数， 所以v＝s′|t＝2＝lim Δt→0 3 2＋Δt －3 2 Δt ＝lim Δt→0 －3Δt 2(2＋Δt)Δt ＝lim Δt→0 －3 4＋2Δt ＝－3 4. 答案：－ 3 4

导数测试卷(带答案)

高二导数部分测试卷 一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分） 1．曲线3x y =在点)8,2(处的切线方程为（ ）． A ．126-=x y B ．1612-=x y C ．108+=x y D ．322-=x y 2．在曲线2 y x =上的切线的倾斜角为4 π 的点是（ ） A ．()0,0 B ．()2,4 C ．11,416?? ??? D ．11,24?? ??? 3．已知函数)(x f y =的导函数)(x f y '=的图像如右图，则（ ） A ．函数)(x f 有1个极大值点，1个极小值点 B ．函数)(x f 有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数)(x f 有3个极大值点，1个极小值点 D ．函数)(x f 有1个极大值点，3个极小值点 4. 函数32 (2)y x =+的导数是（ ） A ．5 2 612x x + B ．3 42x + C ．332(2)x + D ．3 2(2)3x x +? 5.曲线3cos (0)2y x x π =≤≤ 与坐标轴围成的面积是：（ ） A.4 B. 5 2 C.3 D.2 6. 直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为 A ．1- B ．e C ．ln 2 D ．1 7.若函数3 2 ()1f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是: （ ） A. 1(,)3+∞ B. 1(,)3-∞ C. 1[,)3+∞ D. 1(,]3 -∞ 8. 若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或 C ．22<<-k D ．不存在这样的实数k 9. ()f x 与()g x 是R 定义在上的两个可导函数，若()f x 与()g x 满足()()f x g x ''=， 则()f x 与()g x 满足: （ ） Ａ．()()f x g x = Ｂ．()()f x g x -为常数函数 Ｃ．()()0f x g x == Ｄ．()()f x g x +为常数函数 10、设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ） 11．点P 在曲线3 2 3 y x x =- +上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α 的取值范 围是（ ） A ．0,2π?????? B ．30,,24πππ???????????? C ．3,4ππ?????? D ．3,24ππ?? ??? 12．设函数()m f x x tx =+的导数()21f x x '=+，则数列1(*)()n N f n ?? ∈???? 的前n 项 和为（ ）． A ． n n 1- B ．n n 1 + C ． 1 +n n D ． 1 2 ++n n 二、填空题 13．函数2cos y x x =+在区间[0,]2 π 上的最大值是 14. 已知函数2)(2 3 -=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的图象与直线 33+-=x y 在点（1，0）处相切，则函数)(x f 的表达式为 __ __. 15.（08北京卷理）如图函数()f x 的图像是折线段， 其中A 、B 、C 的坐标分别是(0,4)、(2,0)、(6,4)， 则((0))f f =________； (1)(1li ) m x x f x f ?→?-?+=______（用数字作答）． A B C D

高中数学第一章导数及其应用1.3.2极大值与极小值学案苏教版选修2

1.3.2 极大值与极小值 数的极大、极小值. 1．极值 (1)观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调________变为单调________)，这时在点P 附近，点P 的位置最高，亦即f (x 1)比它附近点的函数值都要大，我们称f (x 1)为函数f (x )的一个________． (2)类似地，上图中f (x 2)为函数的一个________． (3)函数的极大值、极小值统称为函数的______． 预习交流1 做一做：函数y ＝－|x |有极______值______． 2．极值点与导数的关系 观察上面的函数的图象，发现： (1) (2) 预习交流做一做：函数f (x )＝3x －x 3的极大值为________，极小值为________． 预习交流3 议一议：(1)导数为0的点一定是函数的极值点吗？ (2)函数在极值点处的导数一定等于0吗？ (3)一个函数在一个区间的端点处可以取得极值吗？ (4)一个函数在给定的区间上是否一定有极值？若有极值，是否可以有多个？极大值一定比极小值大吗？

预习导引 1．(1)递增递减极大值(2)极小值(3)极值 预习交流1：提示：大0 2．(1)＞0 ＝0 ＜0 (2)＜0 ＝0 ＞0 预习交流2：提示：f′(x)＝3－3x2，令f′(x)＝0得x＝±1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)＝2，极小值为f(－1)＝－2. 预习交流3：提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)＝x3，虽有f′(0)＝0，但x＝0并不是f(x)＝x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件． (2)不一定，例如函数f(x)＝|x－1|，它在x＝1处取得极小值，但它在x＝1处不可导，就更谈不上导数等于0了． (3)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义． (4)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值．极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小． 一、求函数的极值 求下列函数的极值： (1)f(x)＝x3－12x；(2)f(x)＝2x x2＋1 －2. 思路分析：首先从方程f′(x)＝0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点． 1．函数y＝1＋3x－x3有极大值__________，极小值__________． 2．求函数f(x)＝x3－3x2－9x＋5的极值． 利用导数求函数极值的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化： ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； ②如果由负变正，则f(x0)是极小值； ③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点． 二、已知函数的极值求参数范围

导数练习题含答案

导数概念及其几何意义、导数的运算 一、选择题： 1 已知32 ()32f x ax x =++，若(1)4f '-=，则a 的值等于 A 193 B 103 C 16 3 D 133 2 已知直线1y kx =+与曲线3 y x ax b =++切于点（1，3），则b 的值为 A 3 B -3 C 5 D -5 3 函数2y x a a = +2 （）(x-)的导数为 A 222()x a - B 223()x a + C 223()x a - D 22 2()x a + 4 曲线313y x x =+在点4 (1,)3 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 A 1 9 B 29 C 13 D 2 3 5 已知二次函数2 y ax bx c =++的导数为(),(0)0f x f ''>，对于任意实数x ，有()0f x ≥，则(1) (0) f f '的最小值为 A 3 B 52 C 2 D 32 6 已知函数()f x 在1x =处的导数为3，则()f x 的解析式可能为 A 2()(1)3(1)f x x x =-+- B ()2(1)f x x =- C 2()2(1)f x x =- D ()1f x x =- 7 下列求导数运算正确的是 A 211()1x x x '+=+ B 21 (log )ln 2 x x '= C 3(3)3log x x e '=? D 2 (cos )2sin x x x x '=- 8 曲线32 153 y x x =-+在1x =处的切线的倾斜角为 A 6 π B 34π C 4π D 3 π 9 曲线3 2 31y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 A 34y x =- B 32y x =-+ C 43y x =-+ D 45y x =- 10 设函数sin cos y x x x =+的图像上的点(,)x y 处的切线斜率为k ，若()k g x =，则函数()k g x =的图像大致为

3.1导数导学案

导数的概念及运算 一、预习案 （一）高考解读 能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数，通过图像直观地理解导数的几何意义，会求在某点和过某点的切线方程。 （二）知识清单 2、求导法则 ①运算 （1）=±' )]()([x g x f 。 （2）=?')]()([x g x f 。 （3）=?? ????' )()(x g x f 。 ②复合函数的导数：设)(x v u =在x 处可导，)(u f y =在点u 处可导， 则复合函数)]([x v f 在点x 处可导，且=)('x f 。 （三）预期效果及存在困惑

二、导学案 （一）完成《新亮剑（红色）》第50页查缺补漏。 （二）高考类型 考点一、导数运算 1、已知函数ax x x x f +=sin )(，且1)2 ('=π f ，则a 的值等于（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 2、函数)(x f 的定义域是R ，2)0(=f ，对任意1)()(,'>+∈x f x f R x ，则不等式1)(+>?x x e x f e 的解集为 考点二、导数几何意义的应用 3、已知函数454)(23-+-=x x x x f 。 （1）求曲线)(x f 在点))2(,2(f 处的切线方程； （2）求经过点)2,2(-A 的曲线)(x f 的切线方程。 练习： 1（2018课标I ）设函数ax x a x x f +-+=23)1()(。若)(x f 为奇函数，则曲线)(x f y =在)0,0(处的切线方程为（ ） A. x y 2-= B.x y -= C.x y 2= D.x y =

2.（2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( ) A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0 课堂总结： 三、巩固案 1.（2016北京节选）设函数bx xe x f x a +=-)(，曲线)(x f y =在))2(,2(f 处的切线方程为4)1(+-=x e y ，求b a ,的值。 2.（2015全国II ）设函数)('x f 是奇函数)(x f 的导函数，0)1(=-f ，当 0>x 时，0)()('<-x f x xf ，解不等式0)(>x f 。

浙江人教A版数学高二选修2-2学案第一章导数及其应用1.3.3

1．3.3函数的最大(小)值与导数 学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函数的最值． 知识点函数的最大(小)值与导数 如图为y＝f(x)，x∈[a，b]的图象． 思考1观察[a，b]上函数y＝f(x)的图象，试找出它的极大值、极小值． 答案极大值为f(x1)，f(x3)，极小值为f(x2)，f(x4)． 思考2结合图象判断，函数y＝f(x)在区间[a，b]上是否存在最大值，最小值？若存在，分别为多少？ 答案存在，f(x)min＝f(a)，f(x)max＝f(x3)． 思考3函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值一定是某极值吗？ 答案不一定，也可能是区间端点的函数值． 思考4怎样确定函数f(x)在[a，b]上的最小值和最大值？ 答案比较极值与区间端点的函数值，最大的是最大值，最小的是最小值． 梳理(1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)一般地，求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 类型一求函数的最值 命题角度1不含参数的函数求最值 例1已知函数f(x)＝x3－3x，x∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)当x∈[－3，3]时，求f(x)的最大值与最小值．

解 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)， 当x <－1或x >1时，f ′(x )>0； 当－1

导数及其应用学案+作业 (答案)

变化率与导数、导数的计算 1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数：f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx . 2.函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义：f ′(x 0)是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 二、基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝lo g a x f ′(x )＝1x ln a f (x )＝ln x f ′(x )＝1x 三、导数的运算法则 1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 3.????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2 (g (x )≠0)． 1.函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误． 2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系 (1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条． 1．用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x 2. [自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx ＝(x ＋Δx )2－x 2 Δx

2017函数的最值与导数学案.doc

3.3.3 函数的最值与导数 【学习目标】 是多少？最小值是多少? 2.函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系是什么？能列表的应采用列表的方法. 3.利用导数求函数的最大值和最小值的方法是什么？ 4.利用导数求函数的最值步骤是什么？ 5.不等式恒成立问题，常常转化为求函数的最值，f(x)≥c对x∈R 恒成立，常怎么转化？ f(x)≤c对x∈R恒成立，常怎么转化？【自主检测】 1．下列说法正确的是( ) A.函数的极大值就是函数的最大值 B.函数的极小值就是函数的最小值 C.函数的最值一定是极值 D.在闭区间上的连续函数一定存在最值

2．函数y=f(x)在区间［a,b ］上的最大值是M ，最小值是m,若M=m, 则f ′(x) ( ) A.等于0 B.大于0 C.小于0 D.以上都有可能 【典型例题】 例1．（1）求()31443f x x x =-+在[]0,3的最大值与最小值; （2）求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值; (3)求函数x x x y -+=23在闭区间]1,2[-上的最大值与最小值． 例2.已知函数f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝－23 与x ＝1时都取得极值 (1)求a 、b 的值与函数f （x ）的单调区间; (2)若对x ∈[]12－，，不等式f （x ）b,则 ( ) A ．2,29a b =-=- B ．2,3a b == C ．3,2a b == D ．2,3a b =-=- 2. 已知f(x)=2x 3－6x 2+m(m 为常数)在［－2，2］上有最大值3，求此函数在［－2，2］上的最小值__________________. 4．求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值，并画出函数的图像．

17学年高中数学第一章导数及其应用1.1第2课时导数的概念学案新人教A版选修2_2

1．1第二课时 导数的概念 一、课前准备 1．课时目标 (1) 从位移的变化、速度的变化等具体现象到本节研究函数的改变量、变化率，经历从平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，为学习导数概念打下坚实的基础； （2）了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数； （3）掌握函数()x f y =在0x x =处的导数及求导数的方法； 2．基础预探 (1)函数x y = 在1=x 处的导数为 ． (2) 已知函数()x f 在a x =的导数为A ，求()()x x a f x a f x ??--?+→?0 lim ． 二、学习引领 1． 瞬时变化率 设函数()x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变量为 =?y ()()00x f x x f -?+，如果当x ?趋近于0时，平均变化率 x y ??=()()x x f x x f ?-?+00趋 近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()x f 在点0x 的瞬时变化率，比如，运动的瞬时速度就是路程函数()t s y =的瞬时变化率． 2．导数与导函数 一般地，设函数()x f y =在点0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ?时，函数值相应的改变量为()x x f y ?+=?0()0x f -；如果当x ?趋近于零时，平均变化率 =??x y ()()x x f x x f ?-?+00趋近于一个常数l ，则常数l 称为函数()x f 在点0x 处的变化率，而函数在点0x 处的瞬时变化率则称为()x f 在 0x x =处的导数，又称函数在该点处可导，记作()0x f '，即 ()0x f '=0 lim →?x x y ??=0lim →?x ()x x f x x f ?-?+00)(． 如果()x f 在开区间内每一点都是可导的，则称()x f 在区间()b a ,可导．在区间()b a ,内， ()x f '则构成一个新的函数，我们则把这个函数称为函数()x f 的导函数，简称为导数． 3．函数()x f y =在0x x =处的导数及求导数的方法 （1）函数()x f y =在0x x =处的导数()0x f '=0lim →?x x y ??=0lim →?x ()x x f x x f ?-?+00)(．

导数习题+答案

一．解答题（共9小题） 1．已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax2，x＞0． （Ⅰ）求f（x）的单调区间； （Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β），证明． 2．已知函数f（x）=xlnx﹣2x+a，其中a∈R． （1）求f（x）的单调区间； （2）若方程f（x）=0没有实根，求a的取值范围； （3）证明：ln1+2ln2+3ln3+…+nlnn＞（n﹣1）2，其中n≥2． 3．已知函数f（x）=axlnx（a≠0）． （Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和最值； （Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，证明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n） 4．已知函数f（x）=2e x﹣x （1）求f（x）在区间[﹣1，m]（m＞﹣1）上的最小值； （2）求证：对时，恒有． 5．设a为实数，函数f（x）=e x﹣2x+2a，x∈R． （1）求f（x）的单调区间及极值； （2）求证：当a＞ln2﹣1且x＞0时，e x＞x2﹣2ax+1． 6．已知函数f（x）=ln（x+2）﹣a（x+1）（a＞0）． （1）求函数f（x）的单调区间； （2）若x＞﹣2，证明：1﹣≤ln（x+2）≤x+1． 7．已知函数f（x）=ln（x+1）﹣x． （Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间； （Ⅱ）若x＞﹣1，证明：． 8．已知函数 （1）当a=1时，利用函数单调性的定义证明函数f（x）在（0，1]内是单调减函数； （2）当x∈（0，+∞）时f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围． 9．已知函数f（x）= （1）当a＜0，x∈[1，+∞）时，判断并证明函数f（x）的单调性 （2）若对于任意x∈[1，+∞），不等式f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围． 参考答案与试题解析

导数学案(有答案)

3、1、1平均变化率 课时目标1、理解并掌握平均变化率得概念、2、会求函数在指定区间上得平均变化率、3、能利用平均变化率解决或说明生活中得实际问题． 1．函数f(x)在区间[x1，x2]上得平均变化率为____________．习惯上用Δx表示________，即__________，可把Δx瞧作就是相对于x1得一个“__________”，可用__________代替x2；类似地，Δy＝__________，因此，函数f(x)得平均变化率可以表示为________． 2．函数y＝f(x)得平均变化率Δy Δx＝ f(x2)－f(x1) x2－x1 得几何意义就是：表示连接函数y＝f(x) 图象上两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))得割线得________． 一、填空题 1．当自变量从x0变到x1时，函数值得增量与相应自变量得增量之比就是函数________．(填序号) ①在[x0，x1]上得平均变化率； ②在x0处得变化率； ③在x1处得变化率； ④以上都不对． 2．设函数y＝f(x)，当自变量x由x0改变到x0＋Δx时，函数得增量Δy＝______________、 3．已知函数f(x)＝2x2－1得图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx，f(1＋Δx))，则Δy Δx＝ ________、 4．某物体做运动规律就是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内得平均速度就是______________． 5．如图，函数y＝f(x)在A，B两点间得平均变化率就是________． 6．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，在x＝2，Δx＝0、1时，Δy得值为________．