历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题(每小题5分,共50分) 1.设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数,且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 . 4.设扇形的周长为6,则其面积的最大值为 . 5.11!22!33!!n n ?+?+?++?= . 6.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N .若M N ?,则k 的最小值为 . 7 . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= . 8.设0a ≥,且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = . 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考,考生答完试卷的先后次序不定,且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 . 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =,则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分,共50分)
11.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ,试写出R 用h 表示的函数关系式,并计算当 10,4r mm h mm ==时,R 的值. 12.设函数()sin cos f x x x =+,试讨论()f x 的性态(有界性、奇偶性、单调性和周期性),求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像. 13.已知线段AB 长度为3,两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:
重点高中自主招生物理试题(含答案)
重点高中自主招生物理试题(含答案) (100分,90分钟) 一、选择题(每小题4分,共40分,每小题至少有一个正确的选项,选对但不全得2分,有错选得0分) 1、如图1所示,浸在水中的A 物体的质量为3kg ,B 物体的质量为2kg ,且整体处于静止状态,弹簧测力计自身重力不计(g =9.8N/kg )。下列说法正确的是( ) A .弹簧测力计的示数为19.6N B .物体A 浸在水中的体积为500cm 3 C .物体A 受三个力作用 D .物体B 受到的重力和B 对绳的拉力是一对平衡力 2、如图2所示:轻质弹簧a 、b 处于竖直方向,一端固定在物 体上,另外一端与分别 固定于上下两块木板上,物体处于静止 状态,现已知两弹簧的弹力大小分别为F a =22N ,F b =12N ,则物体 的重力大小可能为( ) A .34N B .2N C .10N D .6N 3、如图所示,水平地面上放置相同材料制成的四个木块,其中 两个质量为m 的木块间用一不可伸长的水平轻绳相连,下面两个木块质量分别为2m 和3m 。现用水平拉力F 拉其中一个质量为3m 的木块,使四个木块一同水平向右匀速运动,则( ) A .质量为3m 的木块与地面间的摩擦力为4F /7 B .质量为2m 的木块与地面间的摩擦力为F /2 C .轻绳对m 的拉力为3F /7 D .轻绳对m 的拉力为F /2 4、一物块由静止开始从粗糙斜面上的某点加速下滑到另一点,在此过程中( ) A .物块的动能减少 B .物块的重力势能减少 C .物块重力势能的减少量等于物块动能的增加量 D .物块重力势能的减少量等于物块和斜面摩擦产生的总热量与物块动能的增加量之和 5、如图所示为用热敏电阻R 和电磁继电器L 等组成的一个简单的恒温控制电路,其中热敏电阻的阻值会随温度的升高而减小.电源甲与继电器、热敏 电阻等组成控制电路,电源乙与恒温箱加热器(图中未画出) 相连接.则( ) A .当温度降低到某一数值,衔铁P 将会被吸下 B .当温度升高到某一数值,衔铁P 将会被吸下 C .工作时,应该把恒温箱内的加热器接在A 、B 端 D .工作时,应该把恒温箱内的加热器接在C 、D 端 6、如图4所示,两平面镜A 和B 之间的夹角为9°自平 面镜B 上的某点P 射出一条与B 镜面成β角的光线, 在β角由0°至 180°范围内(不包括0°)连续变化的 过程中,发现当β取某角度时,光线经镜面一次或多 次反射后,恰好能返回到P 点,则符合该要求的β的个数有 ( ) A .1个 B .4个 C .6个 D .9个 7 、在探究凸透镜成像规律时,当蜡烛和光屏的位置在光具座上固定后,在它们之间放一凸 图4
2010年北京大学自主招生数学试题(含详细答案)
2010年北京大学、香港大学、北京航空航天大学 三校联合自主招生考试试题 (数学部分) 1.(仅文科做)02 απ<< ,求证:sin tan ααα<<.(25分) 【解析】 不妨设()sin f x x x =-,则(0)0f =,且当02 x π<< 时,()1cos 0f x x '=->.于是 ()f x 在02x π << 上单调增.∴()(0)0f x f >=.即有sin x x >. 同理可证()tan 0 g x x x =->. (0)0g =,当02 x π<< 时,2 1()10 cos g x x '= ->.于是()g x 在02 x π<< 上单调增. ∴在02 x π<< 上有()(0)0g x g >=.即tan x x >. 注记:也可用三角函数线的方法求解. 2.AB 为边长为1的正五边形边上的点.证明:AB 2 (25分) 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点,此边所在的直线为x 轴,建立如图所示的平面 直角坐标系. ⑴当,A B 中有一点位于P 点时,知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ;当有一点位于O 点时,1 m ax AB O P PR =<; ⑵当,A B 均不在y 轴上时,知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值(否则取A 点关于y 轴的对称点A ',有AB A B '<). 不妨设A 位于线段2OR 上(由正五边形的中心对称性,知这样的假设是合理的),则使A B 最大的B 点必位于线段PQ 上. 且当B 从P 向Q 移动时,A B 先减小后增大,于是max AB AP AQ =或; 对于线段PQ 上任意一点B ,都有2B R B A ≥.于是 22max AB R P R Q ==
自主招生考试数学试卷及参考答案
第2题 自主招生考试 数学试题卷 亲爱的同学: 欢迎你参加考试!考试中请注意以下几点: 1.全卷共三大题,满分120分,考试时间为100分钟。 2.全卷由试题卷和答题卷两部分组成。试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。做在试题卷上无效。 3.请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号,请勿遗漏。 4.答题过程不准使用计算器。 【 祝你成功! 一、选择题(本题共6小题,每小题5分,共30分.在每小题的四个选项中,只有一个 符合题目要求) 1.如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ,∠B=90°,那么关于x 的方程a(x 2-1)-2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为 A 有两个相等的实数根 B 有两个不相等的实数根 C 没有实数根 D 无法确定根的情况 2.如图,P P P 123、、是双曲线上的三点,过这三点分别作y 轴的垂线,得三个三角形 P A O P A O P A O 112233、、,设它们的面积分别是S S S 123、、,则 A S S S 123<< B S S S 213<< $ C S S S 132<< D S S S 123== 3.如图,以BC 为直径,在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆,交弦AB 于点D ,连接CD ,则阴影部分的面积是 A π-1 B π-2 C 121-π D 22 1 -π
… 4.由325x y a x y a x y a m -=+??+=??>??>?得a>-3,则m 的取值范围是 A m>-3 B m ≥-3 C m ≤-3 D m<-3 5.如图,矩形ABCG (AB y 2 D y 1与y 2的大小不能确定 % 二、填空题(本题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填写在题中横线上) 7. 二次函数y =ax 2+(a -b )x —b 的图象如图所示, 222|| a a b b b -+-______▲________. ] 8. 如图所示,在正方形 ABCD 中,AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂 直于 AD ,EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ,若已知 S ΔA JI =1, 则S 正方形ABCD = ▲ 9.将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体,锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10.用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案: (1)第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 】 第7题 第8题
重点高中自主招生数学试题4含答案
重点高中自主招生数学试题4 一、选择题(本大题共10个小题,每小题3分,共30分.) 1.已知抛物线的解析式为y=﹣(x﹣3)2+1,则它的顶点坐标是() A.(3,1)B.(﹣3,1)C.(3,﹣1)D.(1,3) 2.如图,在⊙O中A、P、B、C是⊙O上四个点,已知∠APC=60°,∠CPB=50°,则∠ACB的度数为() A.100°B.80°C.70°D.60° 3.(2007?内江)用配方法解方程:x2﹣4x+2=0,下列配方正确的是() A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=6 4.若一个三角形的外心在它的一条边上,那么这个三角形一定是() A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.钝角三角形 5.给出下列命题:其中,真命题的个数是() (1)平行四边形的对角线互相平分;(2)对角线相等的四边形是矩形; (3)菱形的对角线互相垂直平分;(4)对角线互相垂直的四边形是菱形. A.4 B.3 C.2 D.1 6.在新年联欢会上,九年级(6)班的班委设计了一个游戏,并给予胜利者甲、乙两种不同奖品中的一种.现将奖品名称写在完全相同的卡片上,背面朝上整齐排列,如图所示.若阴影部分放置的是写有乙种奖品的卡片,则胜利者小刚同学得到乙种奖品的概率是() A.B.C.D. 7.(2005?四川)在△ABC中,已知∠C=90°,BC=4,sinA=,那么AC边的长是() A.6 B.2 C.3 D.2 8.某市2004年底已有绿化面积300公顷,经过两年绿化,绿化面积逐年增加,到2006年底增加到363公顷.设绿化面积平均每年的增长率为x,由题意,所列方程正确的是() A.300(1+x)=363 B.300(1+x)2=363 C.300(1+2x)=363 D.363(1﹣x)2=300 9.如图,EF是圆O的直径,OE=5cm,弦MN=8cm,则E,F两点到直线MN距离的和等于()A.12cm B.6cm C.8cm D.3cm 10.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论: ①c>0;②a+b+c<0;③ab<0;④b2﹣4ac>0,其中正确结论的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共5道小题,每小题3分,共15分.) 11.方程3(x﹣5)2=2(5﹣x)的解是_________ . 12.(2008?宁夏)从﹣1,1,2三个数中任取一个,作为一次函数y=kx+3的k值,则所得一次函数中y随x的增大而增大的概率是_________ . 13.一个点到一个圆的最短距离是3cm,最长距离是5cm,则这个圆的半径是_________ cm. 14.一个人沿坡度比为1:的斜坡前进10米,则他升高_________ 米. 15. (2007?莆田)如图,点A为反比例函数y=的图象上一点,B点在x轴上且OA=BA,则△AOB的面积为_________ . 16.已知0°<∠α<90°且cosα=,那么tanα=_________ . 17.(2009?大兴安岭)梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,∠C=70°,∠B=40°,则AB的长为_________ .
2018年重点高中自主招生英语试题及答案
2018年重点高中自主招生英语试题 考生注意: 1、本试题分为I、II两卷,请将第I、II两卷的答案均填在答题卷的相应位置。 2、考试时间:90分钟;总分:150分。 第I卷(选择题,共100分) 第一节:单项填空(共25小题,每小题1分,满分25分) 1. —When did the terrible earthquake in YaNan happen? —It happened ________ the morning of April 20, 2013. A. on B. at C. in D. / 2. Our teacher told us ________ too much noise in class. A. to make B. make C. not to make D. not make 3. Here is your hat. Don’t forget______ when you __________. A. to put it on, leave B. to wear it, leave C. to wear it, will leave D. putting it on, will leave 4. The baby is sleeping. You _____ make so much noise. A. won’t B. mustn’t C. may not D. needn’t 5. Since you are _____ trouble, why not ask _________ help? A. in, for B. in, to C. with, for D. with, to 6. It’s about___________kilometers from Nanchong to Chengdu. A. two hundreds B. two hundreds of C. two hundred D. two hundred of 7. It is six years since my dear uncle ________China. A. left B. has left C. is left D. had left 8. —How long _______ you _______ the bicycle? —About two weeks. A. have, had B. have, bought C. did, buy D. have, have 9. The Yellow River is not so ________ as the Yangtze River. A. longer B. long C. longest D. a long 10.Mrs.Green usually goes shopping with ________ umbrella in ________ summer. A. a;the B. an;/ C. the;a D. /;/ 11. At first, I was not too sure if he could answer the question. However, ____,he worked it out at last with the help of his friend. A. to my anger B. to my surprise C. in other words D. in a word 12. —Must I stay here with you? —No, you ______.You may go home, but you _____ go to the net bar (网吧). A. mustn't; needn't B. needn't; mustn't
2015北大自主招生数学试题
一.选择题 1.整数x,y,z 满足xy+yz+zx=1,则(1+2x )(1+2y )(1+2z )可能取到的值为( ) A .16900 B .17900 C .18900 D .前三个答案都不对 2.在不超过99的正整数中选出50个不同的正整数,已知这50个数中任两个的和都不等于99,也不等于100.这50个数的和可能等于( ) A .3524 B .3624 C .3724 D .前三个答案都不对 3.已知x ∈[0,2 π],对任意实数a ,函数y=2cos x ?2a cosx+1的最小值记为g(a ),则当a 取遍所有实数时,g(a )的最大值为( ) A .1 B .2 C .3 D .前三个答案都不对 4.已知2010?202是2n 的整数倍,则正整数n 的最大值为( ) A .21 B .22 C .23 D .前三个答案都不对 5.在凸四边形ABCD 中,BC=4,∠ADC=60°,∠BAD=90°,四边形ABCD 的面积等于 2 AB CD BC AD ?+?,则CD 的长(精确到小数点后1位)为( ) A .6.9 B .7.1 C .7.3 D .前三个答案都不对 二.填空题 6.满足等式120151 11+)(1)2015 x x +=+(的整数x 的个数是_______. 7.已知a ,b,c,d ∈[2,4],则2 2222()()() ab cd a d b c +++ 的最大值与最小值的和为___________ 8.对于任意实数x ∈[1,5],|2x +px+q|≤2,的最大整数是__________ 9.设x=2222b c a bc +-,y=2222a c b ac +-,z=222 2b a c ba +-,且x+y+z=1,则201520152015x y z ++的值为___ 10.设12,,...,n A A A 都是9元集合{1,2,3,…,9}的子集,已知|i A |为奇数,1≤i ≤n,|i j A A ?|为偶数,1≤i ≠j ≤n ,则n 的最大值为____________ 三.解答题 11.已知数列{n a }为正项等比数列,且3412a a a a +--=5,求56a a +的最小值 12.已知f (x)为二次函数,且a ,f (a ),f (f (a )),f (f (f (a )))成正项等比数列,求证:f (a )=a 13.称四个顶点都在三角形边上的正方形为此三角形的内接正方形。若锐角△ABC 的三边满足a >b>c , 求证:这个三角形内接正方形边长的最小值为sin sin ac B a c B + 14.从O 出发的两条射线12,l l ,已知直线l 交12,l l 于A 、B 两点,且AOB S ?=c(c 为定值),记AB 的中点为X , 求证:X 的轨迹为双曲线 15.已知i a (i=1,2,3,…,10)满足:1210...a a a +++=30,1210...a a a <21,求证:i a ?,使得i a <1 ##Answer##
全国名校重点高中自主招生物理试卷有答案和解析
2015年湖南省长沙市南雅中学自主招生物理试卷 一、选择题 1.体操、投掷、攀岩等体育运动都不能缺少的“镁粉”,它的学名是碳酸镁.体操运动员在上杠前都要在手上涂擦“镁粉”,其目的是() A..仅仅是为了利用“镁粉”,吸汗的作用,增加手和器械表面的摩擦而防止打滑 B..仅仅是为了利用手握着器械并急剧转动时“镁粉”,能起到衬垫作用,相当于在中间添加了一层“小球”做“滚动摩擦” C.仅仅是为了利用“镁粉”,填平手掌的褶皱和纹路,使手掌与器械的接触面增大,将握力变得更加实在和均匀 D.上述各种功能都具有 2.分别用铁和铝做成两个外部直径和高度相等,但内径不等的圆柱形容器,铁杯装满质量为m1的水后总重为G1;铝杯装满质量为m2的水后总重为G2.下列关系不可能正确的是() A.G1<G2,m1<m2B.G1>G2,m1>m2C.G1<G2,m1>m2D.G1>G2,m1<m2 3.两个人共同搬一个50千克质量分布均匀的木箱上楼梯,如图所示.木箱长1.25米,高0.5米;楼梯和地面成45°,而且木箱与楼梯平行.如果两人手的用力方向都是竖直向上的,那么在下面的人对木箱施加的力与上面的人对木箱施加的力的比值是() A.B.C.D.
4.如图所示,三个定值电阻R1、R2、R3的电阻值均不相等,在A、B之间接一个电源,在C、D 之间接一个电流表,电流表的示数为I,现将电源、电流表的位置互调,则电流表的示数() A.可能增大 B.可能减小 C.一定不变 D.由于R1、R2、R3大小关系不知,故无法判定 5.如图所示,点光源发出的光垂直射到平面镜M上,经反射在正对着平面镜相距为米的墙上有一光斑,若使光斑沿墙向上移动1米,平面镜M应以O点为轴转过的角度θ是() A.5°B.10°C.15°D.20° 6.容器内原来盛有水银,有一只小铁球浮在水银面上,如图(a)所示.现再向容器里倒入油,使小铁球完全浸没在这两种液体中,如图(b)所示,则() A.铁球受到的浮力增大 B.铁球受到油的压力而下沉了些 C.铁球上升些使它在水银中的体积减小 D.铁球保持原来的位置不动 7.容器内盛有部分盐水,在盐水中放入一块淡水凝固成的冰,冰熔化后() A.盐水的密度减小,液面上升 B.盐水的密度减小,液面不变