概率论与数理统计考试试卷选编(2)
概率论与数理统计考试试卷选编
概率论与数理统计试题（1）
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1．设,A B 为两个随机事件，且B A ?，则下列式子正确的是
A ．)()(A P
B A P =? B ．()()P AB P A =
C ．()()|P B A P B =
D ．()()()P B A P B P A -=-
2. 设),(~2σμN X ,那么当σ增大时，{}
-P X μσ<=
A ．增大
B ．不变
C ．减少
D ．增减不定
3．设()()()()~,E X-1X 21,X P poission λλ-==????分布且则 Ａ．1 B. 2 C ．3 D ．0
4．设),(~2σμN X ，其中μ已知,2
σ未知,123X , X ,X ,为其样本， 下列各项不是统计量的是
Ａ. 321X X X ++ Ｂ. {}123min X ,X ,X Ｃ.
2
3
i 2
i 1
X σ
=∑ Ｄ．1X μ-
5．在0H 为原假设，1H 为备择假设的假设检验中，显著性水平为α是
A.}{00成立
接受H H P B.}{11成立接受H H P C.}{10成立接受H H P D.}{01成立接受H H P
二、填空题（每小题3分，共15分）
1．用A 、B 、C 三个事件可将事件“A 、B 、C 至少有一个发生”表示为 2．设有10件产品，其中有1件次品，今从中任取出1件为次品的概率是
3． 设随机变量X 与Y 相互独立，()()~1,2,~0,1,X N Y N 则随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数 4．设12,X X 是来自X 的样本，
12()
3
AX X +是EX 的无偏估计，则A =
5．设()~,4X N μ，容量9n =，均值 4.2X =，则未知参数μ的置信度0.95的置信区间为 三、计算题 (10分) 设考生的报名表来自三个地区，各有10份，15份，25份，其中女生的分别为3份，
7份，5份.随机的从一地区任取一份报名表,求取到一份报名表是女生的概率. 四、计算题 (12分) 设随机变量X 的概率密度为()f x =Ax+10x 20,≤
?
，
其他 ，求：
1. A 值；
2.X 的分布函数()F x ；
3.{}1.5 2.5P X << .
五、计算题 (16分) 设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：()3x 4y ke
,x 0,y 0;(,)0,f x y -+?>>?=???
其它
求：1. 常数A ；2. 求边际分布；3. 求条件分布)(x y f X Y ；
4. X 与Y 是否独立？为什么？
六、计算题(9分) 一仪器同时受到108个噪声信号X i ，设它们是相互独立的且都服从[0，4]上的均匀分布.
求噪声信号总量108
1
i
i X X
==
>∑ 228的概率.
七、计算题(8分) 设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1x ,0x 1
f x 0,
ββ-?<<=??其他
0β>。求参数β的矩估计量．
八、应用题 (10分) 一台包装机包装面盐，包得的袋装面盐重是一个随机变量，它服从正态分布，当机器正常时，其均值为0.5公斤，标准差为0.015公斤，某日开工后，为检验包装机是否正常，随机抽取他所包装面盐9袋．经测量与计算得x=0.511，取0.05α=，问机器是否正常． 九、证明题(5分) 已知：()T ~t n ,求证：()2
T ~F 1,n ．
()222
/1
~1,//X X T F n Y n Y n
∴==（附：
,95.0)65.1(=Φ ,954.0)69.1(=Φ(1.96)0.975Φ=, (1)0.84Φ=）
概率论与数理统计试题（2）
一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．对于事件,A B ，下列命题正确的是
A ．若,A
B 互不相容，则.A 与B 也互不相容 B ．若,A B 相容，则.A 与B 也相容 C.若,A B 互不相容,则.A 与B 也相互独立 D ．若A 与B 相互独立,那么.A 与B 相互独立
2．假设连续型随机变量Ｘ的分布函数为()F x ，密度函数为()f x ．若X 与－X 有相同的分布函数，则下列
各式中正确的是
A ．()F x ＝()F x -；
B ．()F x ＝()F x --；
C ．()f x ＝()f x -；
D ．()f x ＝()f x --； 3．下列选项中，属于离散型随机变量的分布为
A ． 二项分布
B ．均匀分布
C ． 正态分布 C ． 指数分布
4．设X 服从N(1，4)分布．1234,,,,X X X X 是取自X 的样本，若X 是样本均值，且~(1,)X N m ，则m =
A ．0
B ． 1
C ． 4 C ． 2
5．随机变量X 和Y 的方差不等于０,则()()()D X Y D X D Y +=+是X 和Y 的 A ．不相关的充分条件，但不是必要条件； B ．独立的必要条件，但不是充分条件； C ．不相关的充分必要条件； D ．独立的充分必要条件． 二、填空题（每小题3分，共15分）
1．设总体服从2(,)N μσ分布．观察9次，算得样本均值为1，样本均方差为3．则μ的置信度为95%的置信区间为 ．
2．设离散型随机变量X 分布律为5{}2
k A
P X k ==
（1,2,k =…）则A= ． 3．假设总体X 服从参数为λ的泊松分布， X 是样本均值，S 是样本均方差，则对于任意实数α，
])1([2S X E αα-+= ．
4．设12,X X 是来自X 的样本，12(32)/X X N +是EX 的无偏估计，则N = 5．2
χ检验是利用理论与实际 的差别大小来检验的．
三、计算题 (10分) 轰炸机轰炸目标，它能飞到距离目标400，200，100（米）的概率分别为0.5，0.3，
0.2，又设他在距离目标400，200，100（米）的命中率分别为0.01，0.02，0.1．求目标被命中的概率．
四、计算题 (12分) 设随机变量X 与Y 独立，且X 服从]10[，上的均匀分布，Y 服从参数为1的指数分
布．试求：1.X 的分布函数()F x （4分）； 2.Y X Z +=的概率密度（8分）． 解 1. X 的分布函数()()x
X F x f t dt -∞
=
?
0,0
,011,1x x x x ≤??
=<
2.显然(,)X Y 的联合概率密度为
??
?><<=-其他
,00
,10,),(y x e y x f y 先求Z 的分布函数dxdy y x f z Y X P z F z
y x ??≤+=≤+=),()()(
当0≤z 时，0)(=z F 当10< ???---≤++-===x z z y z z y x e z dy e dx dxdy y x f z F 0 01),()( 当1≥z 时，)1(1),()(0 1 --=== ---≤+? ???e e dy e dx dxdy y x f z F z y x z z y x 所以，Z 的分布密度函数 0,0()()1,01(1),1z z z f z F z e z e e z --≤??? '==-<≤??->?? 五、计算题 (16分) 设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ????? <<<<=其他, 00,2 10,sin ),(π y x y C y x p 试求：1. 常数C （3分）； 2. 边际密度函数)(),(y p x p Y X （6分）； 3. 讨论X 和Y 的独立性（4分）； 4. 求()Y X p y x （3分）． ????? <<<<=其他, 00,2 10,sin ),(π y x y C y x p 解 1.由C ydy dx C dxdy y x p R === ????2 1 sin ),(12 π ，得1=C ； 2.2 1 0, 2sin ),()(0 <<=== ??+∞∞ -x ydy dy y x p x p X π ， 故????? <<=其它 ,0210 ,2)(x x p X π<<= == ??∞ +∞ -y y dx y dx y x p y p Y 0,2 sin sin ),()(2 1 ， 故??? ??<<=其它 ,00 ,2sin )(πy y y p Y 3. 因为 )()(),(y p x p y x p Y X =，故Y X ,独立； 4. ? ????<<==其它 ,00 ,2sin )(),()(πy y x p y x p x y p X X Y 六、计算题(9分) 已知红黄两种番茄杂交的第二代结红果的植株与结黄果的植株的比率为1:4．现种植杂 交种10000株，试求结黄果植株介于1960到2040之间的概率．（用)(x Φ 表示） 解 设结黄果植株为X ， 160054 5110000,20005110000=??==? =DX EX 2040200019602000(19602040)2(1)14040P X --???? <<≈Φ-Φ=Φ- ? ????? 七、计算题(8分) 设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，X 的密度函数()1x ,0x 1 f x 0, ββ-?<<=??其他， 0β>．求参数β的极大似然估计量． 解 似然函数 ()1 1 ,010,n n i i i x x L βββ-=?< ∏其它 ()()1 ln ln 1ln n i i L n x βββ==+-∑ ()1 ln 0ln n i i d L n x d βββ===+∑ 故极大似然估计量为 1 ?ln n i i n X β=-=∑ 八、应用题 (10分) 某种元件的寿命X （以小时计）服从正态分布2(,)N μσ，2,μσ均未知，现测得16 只元件的寿命的均值x =241.5，s =98.7259，问是否有理由认为元件的平均寿命与225（小时）有差异．（0.05α=） 解 （1） :225;:225H H μμ=≠, （3）结论：没有落入拒绝域，接受0 因此认为元件的平均寿命不大于225。 九、证明题(5分) 设A 、B 独立，证明A 的对立事件与B 独立． （附：0.025(8) 2.3060t =，0.025(9) 2.2622t =， 0.025(15) 2.1315t =，0.025(16) 2.1199t =） 概率论与数理统计试题（3） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为两个随机事件，且A B ?，则下面正确的等式是：A (B))(1)(A P AB P -=； (C))()|(B P A B P =； (D))()|(A P B A P =。 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ D (A) 随μ增加而变大; (B) 随μ增加而减小； (C) 随σ增加而不变; (D) 随σ增加而减小 3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥= ,2 {0}{0}5 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= C (A) 15; (B) 25 4 5 4. 设总体X ,12,,,n X X X ???是取自总体X 的一个样本, X 为样本均值，则不是总体期望μ的无偏估计 量的是 B (A) X ; (B) 1 n i i X =∑; (C) 1230.20.30.5X X X ++; (D) 123X X X +- 5. 设总体X ~() 2,N μσ，其中2 σ已知, μ未知,123, ,X X X 为其样本， 下列各项中不是统计量的是 (A) 123X X X ++; (B) {}123min ,,X X X ; (C) 2 3 2 1 i i X σ =∑; (D) 1X μ- 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P A B = ,则()|P A B = 2/3 。 2．设12,,,n X X X ?相互独立，当n 较大时， 1 n i i iX =∑近似服从 分布。 3．设随机变量X 与Y 相互独立，()()~0,2,~4,4,X N Y N 则随机变量21Z Y X =-+服从N （ ， ）。 4、“取伪”是假设检验中的第 类错误。 5．设随机变量X 的数学期望()7E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得{}212P X <<≥ 4/5 。 三、计算题 (10分) 两个箱子中都有10个球，其中第一箱中有4个白球和6个红球，第二箱中有6个白 球和4个红球，现从第一箱中任取2个球放入第二箱中，再从第二箱中任取1个球。若从第二箱中取得白球，求从第一箱中取的2个球都为白球的概率。 解 设A 表示“从第二箱中取的1个球为白球” ，1B 表示“从第一箱中取的2个球都为白球”；2B 表示 “从第一箱中取的1白1红”；3B 表示“从第一箱中取的2个球都为红球” 则()1P B =24210C C =2/15，()2P B =11 462 10C C C =8/15，()3P B =2 6210 C C =1/3， ()1|P A B =2/3，()2|P A B =7/12，()3|P A B =1/2，(4分) 由贝叶斯公式得：()()() 111||() P A B P B P B A P A = =8/51 四、计算题 (12分) 已知随机变量X 的密度为,01 ()0, ax b x f x +< ?其它,且{1/2}5/8P X >=,求: 1. 常数,a b 的值; 2. 随机变量X 的分布函数()F x 。 解 1.由1()/2f x dx a b +∞ -∞ = =+? , {}1/2 5/81/2()3/8/2P X f x dx a b +∞ =>==+? 解得1,1/2a b == 2.0.5,01 ()0,x x f x +< 其它, (){}()x F x P X x f t dt -∞=≤=? 当0x <时, (){}0F x P X x =≤=， 当01x ≤<时, (){}()()2 0.5/2x F x P X x x dx x x =≤= +=+?, 当1x ≥时, ()1F x =， 所以 ()()20, 0/2,011, 1x F x x x x x =+≤ ≥? 五、计算题 (16分) 设二维随机变量(,)X Y 有密度函数：21 ,01,02;(,)30, x xy x y f x y ?+≤≤≤≤?=???其他 1.求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；2.求条件密度()||X Y f x y ； 3.求概率{}P X Y >； 4.X 与Y 是否独立？为什么？ 解 1.()(,)X f x f x y dy +∞ -∞ = ? 222/3,01 0, x x x ?+≤≤=? ?其他 ()(,)Y f y f x y dx +∞ -∞ =? 1/3/6,02 0, y y +≤≤?=? ?其他 2.当02y ≤≤时, ()|(,) |() X Y Y f x y f x y f y = 262,0120,x xy x y ?+≤≤? =+??? 其他 3.{}P X Y >(,)x y f x y dxdy >= ?? 1 20017/243x dx x xy dy ? ?=+= ?? ??? 4.X 与Y 不独立。2分； 因(,)()()X Y f x y f x f y ≠ 。 六、计算题(9分) 设随机变量()~1,9X N ， ()~0,16Y N ，相关系数12XY ρ=- ，设32 X Y Z = +。求：1.随机变量Z 的期望()E Z 与方差()D Z ； 2.随机变量X 与Z 的相关系数XZ ρ。 解 1.X ~()1,9N ，Y ~()0,16N ，所以()1E X =，()0E Y =，()9D X =，()16D Y =， (,)6XY Cov X Y ρ==- ， 所以()()()111323 E Z E X E Y = +=，()()()112 (,)3946D Z D X D Y Cov X Y =++= 2. 由于()11 (,)(,)032Cov X Z D X Cov X Y =+=， 所以 0XZ ρ== 七、计算题(8分) 设12n X ,X ,X ?,为总体X 的一个样本，总体X ~(100,)b p 为二项分布，01p <<未知。 求参数p 的矩估计量和极大似然估计量。 解 由()100E X p X ==，得p 的矩估计量?100 X p = 似然函数为100100 1 ()(1)i i i n x x x i L p C p p -== -∏， ()()()()1001 ln ()ln ln 100ln 1i n x i i i L p C x p x p ==++--∑ 由 ()()ln ()0d L p dp =，得极大似然估计量?100 X p = 八、应用题 (10分) 设正常人的身高服从正态分布，平均身高为172公分。现测得9例某种病患者的身高， 算得平均数为167公分，标准差为S=2公分。问这种病患者身高与正常人有无显著差异（α=0.05， t 0.025(9)=2.262 ; t 0.025(8)=2.306）？ 解 设这种病患者平均身高为μ。 （1） （2（3）结论：0.025(8) 2.306t t >=，拒绝原假设,0H 因此认为这种病患者身高与正常人有显著差异 。 九、证明题(5分) 设事件,,A B C 相互独立,证明事件A B -与事件C 也相互独立。 证 由于事件,,A B C 相互独立，所以()()()()P ABC P A P B P C =，()()()P AB P A P B =， ()()()P AC P A P C =，()()()P BC P B P C =， 所以 ()()()P A B C P AC BC -=-()()P AC P ABC =-()()()()() P A P C P A P B P C =-()()P A B P C =- 即()()P A B C -()()P A B P C =-,所以事件A B -与C 也相互独立 概率论与数理统计试题（4） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．在一个确定的假设检验的问题中，与判断结果无关的因素有（ A ） (A) 检验统计量 (B)显著性水平 (C) 样本值 (D)样本容量 2. 设X ~2(,)N μσ,那么概率{2}P X μ<+ C (A) 随μ增大而变大; (B) 随μ增大而减小； (C) 随μ增大而不变; (D) 随σ增大而不变 3．对于任意随机变量Y X ,，若)()()(Y E X E XY E =，则（ B ）。 (A) Y X ,一定相关 （B ）Y X ,不相关 (C) Y X ,一定独立 （D ）Y X ,不独立 4．设)(~),(~ 2222122 1n n χχχχ，22 21,χχ独立，则~2 221χχ+（ ）。 (A) )(~ 22 221n χχχ+ （B ）~2 221χχ+)1(2-n χ (C) ~2221χχ+t(n) （D ）~2221χχ+)(212n n +χ 5. 设随机变量X 与Y 的方差满足 ()()25,36,D X D Y ==()85D X Y += 则相关系数 XY ρ=( C ) (A) 0.2 ; (B) 0.3 ; (C) 0.4 ; (D) 0.5 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 是两个随机事件, ()=0.7P A , ()=0.3P A B -,则事件“,A B 同时发生”的对立事件的概率为 0.6 。 2．设有40件产品，其中有4件次品，从中不放回的任取10次，每次取一件，则最后一件取得为次品的概率是 0.1 。 3．设随机变量X 与Y 相互独立，)4,4(~),4,0(~N Y N X ,则随机变量 4 -Y X 服从t （ ）。 4．设随机变量X 的数学期望()75E X =,方差()5D X =,用切比雪夫不等式估计得 {}750.05P X ε-≥≤,则ε= 10 。 5. 设12,X X 是来自总体X ~2 (,)N μσ的样本，若 122CX X -是 μ的一个无偏估计，则常数 C = 。 三、计算题 (10分) 某厂有三条流水线生产同一产品，每条流水线的产品分别占总量的30％，25％，45％， 又这三条流水线的次品率分别为0.05，0.04，0.02。现从出厂的产品中任取一件，问恰好取到次品的概率是多少？ 四、计算题 (12分) 设连续型随机变量X 的密度为 ???≤>=-.0, 00,)(5x x Me x f x 1. 确定常数M ； 2. 求}2.0{>X P ； 3. 求分布函数F(x)。 五、计算题 (16分) 设二维随机变量Y 与X 的联合分布密度? ??<<<<=其它,01 0,10,4),(x y xy y x f 1. 分别求关于X 与关于Y 的边缘密度函数()(),X Y f x f y 。 2. 求条件密度()||X Y f x y ； 3. 求EX ； 4. X 与Y 是否独立？为什么？ 六、计算题(9分) 已知X 的概率密度为?????<<=其它0 2083)(2 x x x f ，求12 +=X Y 的分布函数和概率密度。 解 Y 的分布函数)1()()(2-≤=≤=y X P y Y P y F 。 当1 当15y ≤<时，)11()1()(2-≤ ≤--=-≤=y X y P y X P y F 8 ) 1(83 )10(2 31 2-= =-≤≤=? -y dx x y X P y ； 当5≥y 时，1)(=y F 。所以 320,11 ()(1),158 1,5y F y y y y ? 。 因此，Y 的概率密度为 15()()0,Y y f y F y <<'==??其他 七、计算题(8分) 设总体p m p m B X ,),,(~为未知参数, 12,,X X …,n X 为取自总体X 的样本,求参数 p m ,的矩估计量。 解 mp EX =，)1(p mp DX -= 令 2 (1)(1)/mp X mp p n S n ?=? -=-? 得 2(1)/?1n S n p X -=-，2 2 ()?(1)/X m X n S n =--。 八、应用题 (10分) 设甲乙两人加工同一种零件，其零件的直径分别为随机变量为,X Y 且 2212~(,),~(,)X N Y N μσμσ，今从它们的产品中分别抽取若干进行检测，测得数据如下： 397.4,50.21,7,216.2,93.20,82 222111======s y n s x n ，求21μμ-的置信度为90％的置信区 间。)7709.1)13((05.0=t 解 因2 2 2 12σσσ＝＝未知，置信区间：)7 1 81) 13(05.0+?±-t S y x w （ （5分） 0.57 3.223(3)(0.57 2.951)[ 3.521,2.351](2) =-±?=-±=-分分 九、证明题(5分) 设两事件概率不全为0. 若它们互斥，则它们不独立. 证 设B A ,互斥。若B A ,独立，则)()()(B P A P AB P = 那么 )()()()()()()()(B P A P B P A P AB P B P A P B A P -+=-+=? )()())(1)(()(B P A P A P B P A P +<-+= 故0)(>AB P ，这与B A ,互斥矛盾.因此B A ,不独立. 概率论与数理统计试题（5） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设,A B 为对立事件, ()01P B <<, 则下列概率值为1的是( ) (A) () |P A B ; (B) ()|P B A ; (C) () |P A B ; (D) ()P AB 2．设~(),1,2,3.=i X P i λ,且3λ=，则?? ????++)(31 321X X X E ( ) (A) １ (B) 4 (C) 6 (D) 3 3．若ξ与η相互独立，且),(~),,(~2 22211σησξa N a N ，则Z=ξη+为( )。 (A) ),(22211σσ+a N (B) ),(2121σσa a N + (C) ),(222121σσa a N + (D) ),(222121σσ++a a N 4．设随机变量X ~()1,1N ,其密度为()f x ,分布函数()F x ,则下列正确的是( ) (A) {0}{0}P X P X ≤=≥; (B) {1}{1}P X P X ≤=≥; (C) ()()f x f x =-, x R ∈; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 5. 设X 和Y 分别是取自正态总体的样本均值和样本方差，且P{X<1}=0.2，P{Y< 2}=0.4，则P{X<1，Y>2}=（ ） (A) 0.12 ; (B) 0.4 ; (C) 0.6 ; (D) 0 ; 二、填空题（每小题3分，共15分） １．设111 (),(|),(|)432 P A P B A P A B = ==，则=?)(B A P 。 2．设() 2 ,0.3X N μ~，容量9n =，均值5X =，则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是 。 （查表0.025 1.96Z =） 3．设()2D X =，25Y X =+，则XY ρ= 。 4．设随机变量X 服从参数为2的泊松分布,则应用切比雪夫不等式估计得{} 22P X -≥≤ 。 5. 设1234,,,X X X X 是来自正态总体X ~()0,4N 的样本,则当 a = 时, ()()22 123422Y a X X a X X =++-~()22χ。 三、计算题 (10分) 有两个口袋，甲袋中盛有2个白球，1个黑球；乙袋中盛有1个白球，2个黑球。从 甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求取得白球的概率。 四、计算题 (12分) 已知连续型随机变量X 的分布函数为2 20, 0(),0 x x F x A Be x -≤?? =??+>?, 求: 1.常数,A B 的值；2.随机变量X 的密度函数()f x ； 3.) 2P X <<。 五、计算题 (16分) 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：,02,(,)0, A x y x f x y ?<<<=??其他 1. 求常数A 的值； 2. 求边缘概率密度()(),X Y f x f y ； 3. X 和Y 是否独立? 4. 求条件密度()|Y X f y x 。 六、计算题(9分) 设随机变量X 与Y 相互独立,概率密度分别为: ,0()0,0x X e x f x x -?>=? ≤?, ?? ???≤>=-0,00 ,2)(2y y e y f y Y 求随机变量Z X Y =+的概率密度。 七、计算题 (8分) 设总体X 概率密度为()1,01 ()0, x x f x θθ?+<<=??其他，1θ>-未知，12,,n X X X 为 来自总体的一个样本。求参数θ的矩估计量和极大似然估计量。 八、应用题 (10分) 某工厂生产一种钢索，其断裂强度X(kg/cm 2)服从正态分布N () 2 ,40μ。从中选取一 个容量为9的样本，得X =780 kg/cm 2，能否据此认为这批钢索的断裂强度为800 kg/cm 2？(α=0.05, 0.025Z 1.96=) 九、证明题 (5分) 设,,A B C 任意三个事件,试证明:()()()()P AB P BC P B P AC +-≤。 概率论与数理统计试题（6） 一、单项选择题（每小题3分，总计18分） 1．设,A B 为事件,且A B ?,则下列式子一定正确的是( ) (A) ()()P A B P A = ; (B) ()()P BA P A =; (C) ()()P AB P B =; (D) ()()()P A B P A P B -=- 2. 设随机变量X 的分布律为{}1! k P X k a k λ==?, ()1,2,k = ,则a = ( ) (A) e λ-; (B) e λ; (C) 1e λ--; (D) 1e λ - 3. 设~(2,1)X N ,概率密度为()f x ,分布函数为()F x ,则有( ) (A) {1}{1}P X P X ≤=≥; (B) {0}{0}P X P X ≤=≥; (C) {2}{2}P X P X ≤=≥; (D) ()()1F x F x =--, x R ∈ 4. 设2{1,1}5P X Y ≤≤= ,3 {1}{1}5 P X P Y ≤=≤=,则{min{,}1}P X Y ≤=( ) (A) 45; (B) 925 ; (C) 35; (D) 25 5. 设随机变量,X Y 满足方差()()D X Y D X Y +=-,则必有( ) (A) X 与Y 独立; (B) X 与Y 不相关; (C) X 与Y 不独立; (D) ()0D X =或()0D Y = 6. 12,,n X X X 是来自正态总体X ~() 2 ,N μσ的样本,其中μ已知,σ未知,则下列不是统计量的是 ( ) (A) 4 114i i X X ==∑ (B) 142X X μ+- (C)42211()i i K X X σ==-∑ (D) 42 1 1()3i i S X X ==-∑ 二、填空题（每小题3分，共18分） 1. 设,A B 为随机事件,()0.8P A B = ,()0.4P B =,则() |P A B = 。 2．10个球队平均分成两组进行比赛,则最强的两个队分到同一组的概率为 。 3．设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则X Y e =的数学期望为 。 4．设X ~),(p n B 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则n =______。 5. 设随机变量X 在区间[0,2上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得 {} 12P X -≥≤ 。 6. 设123,,X X X 是来自正态总体X )1,(~μN 的样本,则当a = 时, 12311 ?32 X X aX μ =++是总体均值μ的无偏估计。 三、计算题 (10分) 有三个盒子,第一个盒子中有2个黑球,4个白球,第二个盒子中有4个黑球，2个白球, 第三个盒子中有3个黑球,3个白球,今从3个盒子中任取一个盒子,再从中任取1球。若已知取得的为白球,求此球是从第一个盒子中取出的概率。 四、计算题 (9分) 已知连续型随机变量X 的分布函数为 0, ()arcsin ,,01, x a x F x A B a x a a a x a ≤-??? =+-<≤>?? >??其中为常数。 求：1.常数,A B 的值；2.随机变量X 的密度函数()f x ；3.2a P X a ?? << ??? 。 五、计算题 (10分) 设随机变量X 在区间[1,2]上服从均匀分布, 求2X Y e =概率密度。 六、计算题 (10分) 设二维随机变量(,)X Y 的密度函数：2,0,01 (,)0, Ay x y y f x y ?<<<<=??其他 1.求常数A 的值； 2.求边缘概率密度()(),X Y f x f y ； 3.X 和Y 是否独立? 七、计算题 (10分) 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度函数6, 01 (,)0, x x y f x y << ?其他 求1. 数学期望()E X 与()E Y ；2. X 与Y 的协方差(),Cov X Y 。 八、计算题 (10分) 设总体X 的概率密度为1 ,01()0, x f x <<=??其他 ，0θ>未知，12,,n X X X 为 来自总体的一个样本. 求参数θ的矩估计量和极大似然估计量. 九、证明题 (5分) 设三个事件,,A B C 满足AB C ?,试证明:()()()1P A P B P C +≤+。 概率论与数理统计试题（7） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．下面（ ）成立时，A 与B 互为对立事件. (A)AB φ= (B)A 与B 相互独立 (C)AB φ=且A B =Ω (D)A B =Ω 2．设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从B(1,0.3)，那么（ ）． （A ）X Y = （B ）P{}1X Y == （C ）P{}0.21X Y ≠= （D ）P{}0.58X Y == 3．设总体2~N(,)X μσ，其中2σ未知，容量为n 的样本均值和方差分别为2,x s ，则参数μ的置信度为 1α-（01α<<）置信区间长度为（ ）． （A ）2(1)n α- （B ）2 α （C ）(1)n α- （D ）22(1)xt n α- 4．设离散型随机变量X 的分布函数为()F x ，且11k k k x x x -+<<，则()( )k P X x == (A)1()k k P x X x -≤≤ (B)11()()k k F x F x +-- (C)1()k k P x X x -<< (D)1()()k k F x F x -- 5．总体2~N(,)X μσ，1,2()X X 是总体X 的样本，那么下列4个μ的无偏估计中，最有效的是（ ） （A ） 121122X X + （B ）121233X X + （C ）12371010X X + （D ）1219 1010X X + 二、填空题（每小题3分，共15分） 1．设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，且A 与B 相互独立，则=)(AB P . 2．设随机变量101~111236-?? ? ? ??? X ，则2~X ． 3．1234(,,,)X X X X 是来自正态总体N(0,4)的样本，221234()()Y X X X X =+++那么 当c = 时，2 ~χ(2)cY ． 4．设随机变量X 的概率密度?? ?≤≤=其它 , 01 0, 1)(x x f 则{}=>2.0X P ． 5．设D(X)=4, D(Y)=9, 0.4XY ρ=，则D(X+Y)= ． 三、计算题 (9分) 设有甲乙两袋，甲袋中装有3只白球、2只红球，乙袋中装有2只白球、3只红球。今 从甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中任取两球，问取出的两球都为白球的概率是多少？ 四、计算题 (10分) 已知随机变量X 的分布密度为 01()2120x x p x Ax x <≤?? =-<≤??? 其它 1. 求A ； 2.求X 的分布函数)(x F 。 五、计算题 (16分) 设随机向量),(Y X 具有下列概率密度 ?? ?≤≤≤<=others x y x cx y x f 0 0,10),( 1. 求c ；2. 求边际分布；3. X 与Y 是否独立？为什么？4. 求)(x y f X Y 。 六、计算题(9分) 某镇年满18岁的居民中20%受过高等教育。今从中有放回地抽取1600人的随机样本， 求样本中受过高等教育的人在19%和21%之间的概率。（(1)0.8413Φ=） 七、计算题(10分) 若X ，Y 相互独立，均服从]10[，上均匀分布，试求Z X Y =+的分布密度函数。 八、应用题 (9分) 某校从初一开始实行了数学教学某项改革。三年后在初中毕业数学考试中，全市平均 成绩为80分，从该校抽取的49名学生成绩的平均数为85分。已知该校这次考试分数服从)14,(2 μN 分布。问该校这次考试的平均成绩与全市平均成绩差异如何？（0.05α=，96.1025.0=z ） 九、证明题(7分) 设随机变量ξ的分布函数是()F x ，且具有对称的分布密度函数)(x p ，即()()px p x =- 。 证明：对任意的,0>a 有-=-=-2 1)(1)(a F a F ? a dx x p 0 )(。 概率论与数理统计试题（8） 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1．设A B ?，则下面正确的等式是 . （a ）)(1)(A P AB P -=； （b ）1)|(=B A P ； （c ）)()()(B P A P B A P -=-； （d ）)()|(A P B A P =. 2. 设随机变量)1,0(~N X ，对给定的)10(<<αα，数αz 满足αα=>)(z X P . 若α=<)(c X P ，则=c . （a ）2 1α-z ； （b ）21α-z ； （c ）2 αz ； （d ）α-1z 。 3．设),,,(21n X X X 为总体)1,0(~N X 的一个样本，X 为样本均值，2 S 为样本方差，则有 . （a ）)1,0(~N X ； （b ）)1,0(~N X n ； （c ）)1(~/-n t S X ； （d ）)1,1(~/ )1(2 22 1 --∑=n F X X n n i i . 4．设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则 。 （a ）2/1)0(=≤+Y X P ； （b ）2/1)1(=≤+Y X P ； （c ）2/1)0(=≤-Y X P ； （d ）2/1)1(=≤-Y X P . 5．设),,,(21n X X X 为总体),(2 σμN (μ已知)的一个样本，X 为样本均值，则在总体方差2 σ的下列估计量中，为无偏估计量的是 . （a ）∑=-=n i i X X n 122 1 )(1?σ； （b ）∑=--=n i i X X n 122 2)(11?σ； （c ）∑=-=n i i X n 1223)(1?μσ； （d ）∑=--=n i i X n 1 22 4)(11?μσ. 二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设随机事件A ,B 互不相容，且3.0)(=A P ，6.0)(=B P ，则=)(A B P 。 2. 设 3.0,25)(,16)(===XY Y D X D ρ，则=+)(Y X D 。 3．设随机变量X 的概率密度为1,0 ()0,0 x e x f x x θ θ-?>?=??≤?，其中θ>0，则E(X) = 。 4．设随机变量),(~2σμN X ，由切比雪夫不等式知，概率≤≥-)2(σμX P . 5．“取伪”是假设检验中的第 类错误。 三、计算题 (9分) 某地有甲乙两种彩票，它们所占份额比3 ：2 。甲的中奖率为0.1, 乙的中奖率为0.3 。 任购1张彩票，求中奖的概率。 四、计算题 (10分) 设X 的分布律为 ??? ? ??--22)1()1(2321θθθθ 已知一个样本值)1,2,1(),,(321=x x x ，求参数的极大似然估计值。 五、计算题 (16分) 设二维随机向量),(Y X 的联合密度函数为 ???<<<<=其他, 0,10,),(2x y x x C y x p ， 试求：1.常数C ；2.边际密度函数)(),(y p x p Y X ； 3.并讨论X 和Y 的独立性； 4.求()Y X p y x 。 六、应用题 (10分) 某商店负责供应某地区10000人所需商品，其中一商品在一段时间每人需要一件的概 率为0.8，假定在这一段时间内各人购买与否彼此无关，问商店应预备多少件这种商品，才能以97.5%的概率保证不会脱销？（(1.96)0.975Φ=.假定该商品在某一段时间内每人最多可以买一件）。 七、应用题 (9分) 已知维尼纶纤度在正常条件下服从2 (1.405,0.048)N 。某日抽取5根维尼纶，计算 得样本均值与样本方差分别为21.414,0.00776x s ==。问这一天纤度总体标准差是否正常？ （05.0=α,484.0)4(,1 .11)4(2 975.02 025.0==χχ） 八、应用题 (8分) 某银行要测定在业务柜台上处理每笔业务所花费的时间，假设处理每笔业务所需时间 服从正态分布，现随机地抽取16笔业务，测得所需时间为 （min ）。由此算出 min ， 5.6s =min ，求处理每笔业务平均所需时间的双侧0.95置信区间。（1315.2)15(025.0=t ） 九、证明题 (8分) 设(51,,X X ）是取自正态总体),0(2σN 的一个样本，试证： )3,1(~)(232 52 4232 21F X X X X X +++。 一、填空题（每空2分，共20分） 1．设A 、B 、C 为三个事件。事件“A 、B 、C 至少有两个事件发生”可以表示为（ ）。 2．设P （A ）=1/3，P （B ）=1/4，P （A ∪B ）=1/2，则P （A-B ）=（ ）。 3．设~(1,4)X N ， ~(100,0.2)Y B ，且X 与Y 独立，则(21)D X Y -++=（ ）。 4．设总体~(,4)X N μ。观察4次，算得样本均值为5，样本方差为1。则μ的置信度为95%的置信区 间为：（ ） 5．设X 与Y 独立,概率分布如下： 则A=（ ），B=（ ） 。 6．设X 和Y 分别是取自总体()P λ的样本均值和样本方差，()A X Y +是λ的无偏估计，则A=（ ）。 7．1:0≤θH 是原假设；则其相应的备选假设(对立假设) 为1H ：（ ）。 8．X 和Y 分别是取自正态总体的样本均值和样本方差，且P{X<1}=0.2，P{Y< 2}=0.4，则{12}P X Y ≥≤ =（ ）。 9．某种电池的寿命服从正态分布。为检验一批这种电池寿命的波动性2200:H σσ=，随机抽取了一个样本 容量26=n 的样本。检验的统计量及其分布是（ ）。 二、应用题 (10分) 某系有1000名住校学生，每人都以80%的概率去系阅览室自习，问系阅览室至少应 设多少个座位才能以99%的概率保证上自习的同学有座位？ 三、计算题（每小题5分，共30分） 设（X ，Y ）的密度为：0, ,(,),0,f x y A x y x ?=? ≤≤≤?其它 1.求A ； 2. 求边际分布密度； 3. X 、Y 是否独立？为什么？ 4.求P{0≤X ≤1，0≤Y ≤1/2}； 5.求E （XY ）； 6.f Y │X （y │x ）。 四、计算题 (10分) 设X 服从N （a ，b 2），求a 、b 的极大似然估计。 五、计算题（每小题4分，共12分） 设随机变量X 的密度函数为1(),2 x X f x e x -= -∞<<+∞ 求: 1.)10(< 六、应用题 (10分) 在无意识记中，用红、绿、蓝三种颜色的文字呈现同样难度的内容，经测试发现，被试能记识的内容中，用红色呈现的为26 个，用绿色呈现的为 19个，用蓝色呈现的为 21个。问不同颜色在无意识记中有无显著差异？ 七、证明题 (8分) 设A 、B 是任意两个事件，A 的概率不等于0或1。证明 ： {}{}P B A P B A =是A 、B 独立的充分必要条件。 （附：Φ（1.96）=0.975; 21.9)2(,99.5)2(201.0205.0==χχ） 一、填空题（每空2分，共20分） 1．设8 1 )(,41)(=-= B A P A P ，且A 、B 独立。则)(B P =（ ），=?)(B A P （ ） 。 2．设X 为连续型随机变量，则P{X=10}=( ). 3 且X X Y 22 +=，()E Y =（ ）; )(X D =（ ）. 4 则a=（ ），b=（ ） 。 5．设总体服从N(μ,16)分布，若的置信度为95%的置信区间为（5-1.96, 5+1.96）,则样本均值为( ),样本容量为( ). （0.025 1.96z =） 6．设随机变量X 服从F ),(21f f 分布，则随机变量X Y 1 = 服从( )分布。 二、计算题（10分）设随机变量]2,0[~U X ，]2,0[~U Y ，且它们相互独立，试求Y X Z +=的密 度函数)(z f Z 。 三、计算题 (10分) 设),(~2σμN X ，求2,σμ的极大似然估计。它们是无偏估计吗？ 四、计算题（每小题5分，共30分）设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为 32,0,0 (,)0,x y Ae x y f x y --?≥≥=?? 其它 求：1.常数A ； 2.联合分布函数(,)F x y ； 3.{}01,02P X Y <<<<； 4.边缘密度函数 (),()X Y f x f y ； 5. ()X Y f x ； 6.E(XY). 五、应用题 (10分) 有枪8支，其中的5支经过试射校正，3支未经过试射校正。校正过的枪，击中靶的 概率为0.8；未经过校正的枪，击中靶的概率为0.3。今任取一支枪射击，结果击中靶。问此枪为校正过的概率是多少？ 六、应用题（8分） 某商店出售某种贵重商品。根据经验，该商品每周销售量服从参数为1=λ的泊松分 布。假定各周的销售量是相互独立的。用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率。（用)(x Φ表示） 七、应用题 (8分) 某厂用一台包装机包装葡萄糖。包装的袋装糖重),(~2 σμN X 。按其生产经验，标准差为0.015kg 。当机器工作正常时，每袋糖标准重量为0.5kg 。某日为检验包装机工作是否正常，随机抽取9袋装糖检查，算得样本均值x =0.5111.试问在0.05α=水平下，包装机工作是否正常？（Φ（1.96）=0.975） 八、证明题 (4分) 证明)()()(AB P A P B A P -=- 2011 ~2012 学年第一学期《概率论与数理统计》考试试题A卷班级（学生填写）： 姓名： 学号： 命题： 审题： 审批： --------------------------------------------------- 密 ---------------------------- 封 ----------------------- ---- 线 -------------------------------------------- ----- （答题不能超出密封线） 使用班级（老师填写）：数学09-1,3班可以普通计算器 题号一二三四五六七八九总分得分 阅卷 人 一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填 在括号中） （本大题共 11 小题，每小题2分，总计 22 分） 1、设A,B为随机事件,则下列各式中不能恒成立的是(C ). A.P) B.,其中P(B)>0 C. D. 2、为一列随机事件,且,则下列叙述中错误的是(D ). A.若诸两两互斥,则 B.若诸相互独立,则 C.若诸相互独立,则 D. 3、设有个人,,并设每个人的生日在一年365天中的每一天的可能性为均 等的,则此个人中至少有某两个人生日相同的概率为( A ). A. B. C. D. 4、设随机变量X服从参数为的泊松分布，且则的值为( B ）. A. B. C. D.. 解：由于X服从参数为的泊松分布，故.又故，因此 5、设随机变量X的概率密度函数为的密度函数为(B ). A. B. C. D. 解：这里，处处可导且恒有，其反函数为，直接套用教材64页的公式（5.2），得出Y的密度函数为 6、若,且X,Y相互独立,则( C ). A. B. * 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。 一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故 1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ） 2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________. 概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望 2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 . 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 概率论与数理统计题库及答案 一、单选题 1. 在下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 51,41,31,21 (B) 81,81,41,21 (C) 2 1,21,21,21- (D) 16 1, 8 1, 4 1, 2 1 2. 下列数组中，（ ）中的数组可以作为离散型随机变量的概率分布． (A) 4 1414121 (B) 161814121 (C) 16 3 16 14 12 1 (D) 8 18 34 12 1- 3. 设连续型随机变量X 的密度函数 ???<<=, ,0, 10,2)(其他x x x f 则下列等式成立的是（ ）． (A) X P (≥1)1=- (B) 21)21(==X P (C) 2 1)21(= < X P (D) 2 1)21(= > X P 4. 若 )(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数，则等式（ ）成 立． (A) X a P <(≤?∞ +∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤? = b a x x F b d )() (C) X a P <(≤? = b a x x f b d )() (D) X a P <(≤? ∞+∞ -= x x f b d )() 5. 设 )(x f 和)(x F 分别是随机变量X 的分布密度函数和分布函数，则对任意b a <，有 X a P <(≤=)b （ ）． (A) ? b a x x F d )( (B) ? b a x x f d )( (C) ) ()(a f b f - (D) )()(b F a F - 6. 下列函数中能够作为连续型随机变量的密度函数的是（ ）． 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ?? 8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<?? 07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 概率论与数理统计 答案 一．1．（D ）、2.（D ）、3.（A ）、4.（C ）、5.（C ） 二．1．0.85、2. n =5、3. 2 ()E ξ=29、4. 0.94、5. 3/4 三．把4个球随机放入5个盒子中共有54=625种等可能结果--------------3分 （1）A={4个球全在一个盒子里}共有5种等可能结果,故 P (A )=5/625=1/125------------------------------------------------------5 分 (2) 5个盒子中选一个放两个球，再选两个各放一球有 302415=C C 种方法----------------------------------------------------7 分 4个球中取2个放在一个盒子里，其他2个各放在一个盒子里有12种方法 因此，B={恰有一个盒子有2个球}共有4×3=360种等可能结果.故 125 72625360)(== B P --------------------------------------------------10分 四．解：（1） ?? ∞∞-==+=3 04ln 1,4ln 1)(A A dx x A dx x f ---------------------3分 （2）? ==+=<10 212ln 1)1(A dx x A P ξ-------------------------------6分 （3）3 300()()[ln(1)]1Ax E xf x dx dx A x x x ξ∞-∞= ==-++?? 13(3ln 4)1ln 4ln 4 =-=-------------------------------------10分 五．解：（1）ξ的边缘分布为 ??? ? ??29.032.039.02 1 0--------------------------------2分 η的边缘分布为 ??? ? ??28.034.023.015.05 4 2 1---------------------------4分 因)1()0(05.0)1,0(==≠===ηξηξP P P ,故ξ与η不相互独立-------5分 （2）ξη?的分布列为 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 概率论与数理统计复习题--带答案 ;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000 概率论与数理统计试题 与答案 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 概率论与数理统计试题与答案(2012-2013-1) 概率统计模拟题一 一、填空题（本题满分18分，每题3分） 1、设,3.0)(,7.0)(=-=B A P A P 则)(AB P = 。 2、设随机变量p)B(3,~Y p),B(2,~X ，若9 5 )1(= ≥X p ，则=≥)1(Y p 。 3、设X 与Y 相互独立，1,2==DY DX ，则=+-)543(Y X D 。 4、设随机变量X 的方差为2，则根据契比雪夫不等式有≤≥}2EX -X {P 。 5、设)X ,,X ,(X n 21 为来自总体)10(2 χ的样本，则统计量∑==n 1 i i X Y 服从 分布。 6、设正态总体),(2σμN ，2σ未知，则μ的置信度为α-1的置信区间的长度 =L 。（按下侧分位数） 二、选择题（本题满分15分，每题3分） 1、 若A 与自身独立，则（ ） (A)0)(=A P ； (B) 1)(=A P ；(C) 1)(0< 《概率论与数理统计》作业集及答案 模拟试题A 一.单项选择题（每小题3分，共9分） 1. 打靶 3 发，事件表示“击中i发”，i = 0， 1， 2， 3。那么事件 表示 ( )。 ( A ) 全部击中； ( B ) 至少有一发击中； ( C ) 必然击中； ( D ) 击中 3 发 2.设离散型随机变量x 的分布律为则常数 A 应为( )。 ( A ) ； ( B ) ； (C) ； (D) 3.设随机变量，服从二项分布B ( n，p )，其中 0 < p < 1 ，n = 1， 2,…，那么，对于任一实数x，有等于 ( )。 ( A ) ; ( B ) ; ( C ) ; ( D ) 二、填空题（每小题3分，共12分） 1.设A , B为两个随机事件，且P(B)>0，则由乘法公式知P(AB) =__________ 2.设且有 ,,则 =___________。 3.某柜台有4个服务员，他们是否需用台秤是相互独立的，在1小时每人需用台秤的概率 为，则4人中至多1人需用台秤的概率为： __________________。 4.从1，2，…，10共十个数字中任取一个，然后放回，先后取出5个数字，则所得5个数字全不相同的事件的概率等于 ___________。 三、（10分）已知，求证 四、（10分）5个零件中有一个次品，从中一个个取出进行检查，检查后不放回。直到查到次品时为止，用x表示检查次数，求的分布函数： 五、（11分）设某地区成年居民中肥胖者占10% ,不胖不瘦者占82% ,瘦者占8% ,又知肥胖者患高血压的概率为 20%,不胖不瘦者患高血压病的概率为 10% ,瘦者患高血压病的概率为5%, 试求： ( 1 ) 该地区居民患高血压病的概率; ( 2 ) 若知某人患高血压, 则他属于肥胖者的概率有多大？ 六、（10分）从两家公司购得同一种元件，两公司元件的失效时间分别是随机变量和，其概率密度分别是： 如果与相互独立，写出的联合概率密度，并求下列事件的概率: ( 1 ) 到时刻两家的元件都失效(记为A)， ( 2 ) 到时刻两家的元件都未失效(记为B)， ( 3 ) 在时刻至少有一家元件还在工作(记为D)。 七、（7分）证明：事件在一次试验中发生次数x的方差一定不超过。 八、（10分）设和是相互独立的随机变量，其概率密度分别为 又知随机变量, 试求w的分布律及其分布函数。 九、（11分）某厂生产的某种产品，由以往经验知其强力标准差为7.5 kg且强力服从正态分布，改用新原料后，从新产品中抽取25 件作强力试验，算 得，问新产品的强力标准差是否有显著变化？ ( 分别取和 0.01，已知， ） 十、（11分）在考查硝酸钠的可溶性程度时，对一系列不同的温度观察它在 100ml 的水中溶解的硝酸钠的重量，得观察结果如下：概率论与数理统计考试试卷
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第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
xHAQX74J0X
§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19概率论与数理统计模拟试题
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