初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿）

数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。

本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。

《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。

1、实数

十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。

素数和合数，最大公约数与最小公倍数。

奇数和偶数，奇偶性分析。

带余除法和利用余数分类。

完全平方数。

因数分解的表示法，约数个数的计算。

有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。

2、代数式

综合除法、余式定理。

拆项、添项、配方、待定系数法。

部分分式。

对称式和轮换对称式。

3、恒等式与恒等变形

恒等式，恒等变形。

整式、分式、根式的恒等变形。

恒等式的证明。

4、方程和不等式

含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。

含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。

含绝对值的一元一次不等式。

简单的一次不定方程。

列方程（组）解应用题。

5、函数

y=|ax+b|,y=|ax2+bx+c|及y=ax2+bx+c的图像和性质。

二次函数在给定区间上的最值。简单分式函数的最值，含字母系数的二次函数。

6、逻辑推理问题

抽屉原则（概念），分割图形造抽屉、按同余类造抽屉、利用染色造抽屉。

简单的组合问题。

逻辑推理问题，反证法。

简单的极端原理。

简单的枚举法。

7、几何

四种命题及其关系。

三角形的不等关系。同一个三角形中的边角不等关系，不同三角形中的边角不等关系。

面积及等积变换。

三角形的心（内心、外心、垂心、重心）及其性质。

第一讲整数问题：特殊的自然数之一

A1－001求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．

【题说】1956年～1957年波兰数学奥林匹克一试题1．

x＝1000a＋100a＋10b＋b

＝11（100a＋b）

其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882．

A1－002假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．

【题说】1953年匈牙利数学奥林匹克题2．

【证】设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么

k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k）

但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k＋1）2得出k2＋2k不是平方数．

A1－003试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．

【题说】1962年上海市赛高三决赛题1．

【证】四个连续自然数的乘积可以表示成

n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1

因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立．

A1－004已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此级数一定含有无穷多个完全平方数．

【题说】1963年全俄数学奥林匹克十年级题2．算术级数有无穷多项．

【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是

a＋（2km＋dk2）d＝（m＋kd）2

对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数．

A1－005求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得到一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．

【题说】1964年全俄数学奥林匹克十一年级题1．

【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此

b＝n2100a2?20a＋1

由此得20a＋1＜100，所以a?4．

经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402?422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681．

A1－006求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．

【题说】1964年～1965年波兰数学奥林匹克二试题1．

【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5．

A1－007证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a都不是素数．

【题说】第十一届（1969年）国际数学奥林匹克题1，本题由原民主德国提供．

【证】对任意整数m＞1及自然数n，有

n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2

＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2）

而n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2

＝（n－m）2＋m2?m2＞1

故n4＋4m4不是素数．取a＝4224，4234，…就得到无限多个符合要求的a．

第二讲整数问题：特殊的自然数之二

A1－008将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．

【题说】第四届（1970年）全苏数学奥林匹克八年级题4．

【证】假设和的数字都是奇数．在加法算式

中，末一列数字的和d＋a为奇数，从而第一列也是如此，因此第二列数字的和b＋c?9．于是将已知数的前两位数字a、b 与末两位数字c、d去掉，所得的13位数仍具有性质：将它的数字颠倒，得到的数与它相加，和的数字都是奇数．照此进行，每次去掉首末各两位数字．最后得到一位数，它与自身相加显然是偶数．矛盾！

因此，和的数字中必有偶数．

A1－009证明：如果p和p＋2都是大于3的素数，那么6是p＋1的因数．

【题说】第五届（1973年）加拿大数学奥林匹克题3．

【证】因为p是奇数，所以2是p＋1的因数．

因为p、p＋1、p＋2除以3余数不同，p、p＋2都不被3整除，所以p＋1被3整除．

于是6是p＋1的因数．

A1－010证明：三个不同素数的立方根不可能是一个等差数列中的三项（不一定是连续的）．

【题说】美国第二届（1973年）数学奥林匹克题5．

【证】设p、q、r是不同素数．假如有自然数l、m、n和实数a、d，

消去a，d，得

化简得（m－n）3p＝（l－n）3q＋（m－l）3r＋3（l－n）（m

原命题成立．

A1－011设n为大于2的已知整数，并设V n为整数1＋kn的集合，k＝1，2，…．数m∈V n称为在V n中不可分解，如果不存在数p，q∈V n使得pq＝m．证明：存在一个数r∈V n可用多于一种方法表达成V n中不可分解的元素的乘积．【题说】第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题3．本题由荷兰提供．

【证】设a＝n－1，b＝2n－1，则a2、b2、a2b2都属于V n．因为a2＜（n＋1）2，所以a2在V n中不可分解．

式中不会出现a2．

r＝a2b2有两种不同的分解方式：r＝a22b2＝a2…（直至b2分成不可分解的元素之积）与r＝ab2ab＝…（直至ab分成不可分解的元素之积），前者有因数a2，后者没有．

A1－012证明在无限整数序列

10001，100010001，1000100010001，…

中没有素数．

注意第一数（一万零一）后每一整数是由前一整数的数字连接0001而成．

【题说】1979年英国数学奥林匹克题6．

【证】序列1，10001，100010001，…，可写成

1，1＋104，1＋104＋108，…

一个合数．

即对n＞2，a n均可分解为两个大于1的整数的乘积，而a2＝10001＝137273．故对一切n?2，a n均为合数．

A1－013如果一个自然数是素数，并且任意地交换它的数字，所得的数仍然是素数，那么这样的数叫绝对素数．求证：绝对素数的不同数字不能多于3个．

【题说】第十八届（1984年）全苏数学奥林匹克八年级题8．

【证】若不同数字多于3个，则这些数字只能是1、3、7、9．不难验证1379、3179、9137、7913、1397、3197、7139除以7，余数分别为0、1、2、3、4、5、6．因此对任意自然数M，1043M与上述7个四位数分别相加，所得的和中至少有一个被7整除，从而含数字1、3、7、9的数不是绝对素数．

A1－014设正整数d不等于2、5、13．证明在集合｛2，5，13，d｝中可以找到两个不同元素a、b，使得ab－1不是完全平方数．

【题说】第二十七届（1986年）国际数学奥林匹克题1．本题由原联邦德国提供．

【证】证明2d－1、5d－1、13d－1这三个数中至少有一个不是完全平方数即可．用反证法，设

5d－1＝x2 （1）

5d－1＝y2 （2）

13d－1＝z2 （3）

其中x、y、z是正整数．

由（1）式知，x是奇数，不妨设x＝2n－1．代入有2d－1＝（2n－1）2即

d＝2n2－2n＋1 （4）

（4）式说明d也是奇数．

于是由（2）、（3）知y、Z是偶数，设y＝2p，z＝2q，代入（2）、（3）相减后除以4有

2d＝q2－p2＝（q＋p）（q－p）

因2d是偶数，即q2－p2是偶数，所以p、q同为偶数或同为奇数，从而q＋p和q－p都是偶数，即2d是4的倍数，因此d 是偶数．这与d是奇数相矛盾，故命题正确．

第三讲整数问题：特殊的自然数之三

A1－015求出五个不同的正整数，使得它们两两互素，而任意n（n?5）个数的和为合数．

【题说】第二十一届（1987年）全苏数学奥林匹克十年级题1．

【解】由n个数

a i＝i2n！＋1，i＝1，2，…，n

组成的集合满足要求．

因为其中任意k个数之和为

m2n！＋k（m∈N，2?k?n）

由于n！＝1222…2n是k的倍数，所以m2n！＋k是k的倍数，因而为合数．

对任意两个数a i与a j（i＞j），如果它们有公共的质因数p，则p也是a i－a j＝（i－j）n！的质因数，因为0＜i－j＜n，所以p也是n！的质因数．但a i与n！互质，所以a i与a j不可能有公共质因数p，即a i、a j（i≠j）互素．令n＝5，便得满足条件的一组数：121，241，361，481，601．

A1－016已知n?2，求证：如果k2＋k＋n对于整数k

素数．

【题说】第二十八届（1987年）国际数学奥林匹克题6．本题由原苏联提供．

（1）若m?p，则p|（m－p）2＋（m－p）＋n．

又（m－p）2＋（m－p）＋n?n＞P，这与m是使k2＋k＋n为合数的最小正整数矛盾．

（2）若m?p－1，则（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n＝（p－1－m）（p－m）＋n被p整除，且

（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n?n＞p

因为（p－1－m）2＋（p－1－m）＋n为合数，所以

p－1－m?m，p?2m＋1

由

得

4m2＋4m＋1?m2＋m＋n

即

3m2＋3m＋1－n?0

由此得

A1－017正整数a与b使得ab＋1整除a2＋b2．求证：（a2＋b2）/（ab＋1）是某个正整数的平方．

【题说】第二十九届（1988年）国际数学奥林匹克题6．本题由原联邦德国提供．

a2－kab＋b2＝k （1）

显然（1）的解（a，b）满足ab?0（否则ab?－1，a2＋b2＝k（ab＋1）?0）．

又由于k不是完全平方，故ab＞0．

设（a，b）是（1）的解中适合a＞0（从而b＞0）并且使a＋b最小的那个解．不妨设a?b．固定k与b，把（1）看成a 的二次方程，它有一根为a．设另一根为a′，则由韦达定理

（2），a′为整数，因而（a′，b）也是（1）的解．由于b＞0，所以a′＞0．

但由（3）

从而a′＋b＜a＋b，这与a＋b的最小性矛盾，所以k必为完全平方．

A1－018求证：对任何正整数n，存在n个相继的正整数，它们都不是素数的整数幂．

【题说】第三十届（1989年）国际数学奥林匹克题5．本题由瑞典提供．

【证】设a＝（n＋1）！，则a2＋k（2?k?n＋1），被k整除而不被k2整除（因为a2被k2整除而k不被k2整除）．如果a2＋k是质数的整数幂p l，则k＝p j（l、j都是正整数），但a2被p2j整除因而被p j＋1整除，所以a2＋k被p j整除而不被p j＋1整除，于是a2＋k＝p j＝k，矛盾．因此

a2＋k（2?k?n＋1）

这n个连续正整数都不是素数的整数幂．

第四讲整数问题：特殊的自然数之四

A1－019 n为怎样的自然数时，数32n＋1－22n＋1－6n是合数？

【题说】第二十四届（1990年）全苏数学奥林匹克十一年级题5

【解】32n＋1－22n＋1－6n＝（3n－2n）（3n＋1＋2n＋1）

当n＞l时，3n－2n＞1，3n＋1＋2n＋1＞1，所以原数是合数．当n＝1时，原数是素数13．

A1－020设n是大于6的整数，且a1、a2、…、a k是所有小于n且与n互素的自然数，如果

a2－a1＝a3－a2＝…＝a k－a k－1＞0

求证：n或是素数或是2的某个正整数次方．

【题说】第三十二届（1991年）国际数学奥林匹克题2．本题由罗马尼亚提供．

【证】显然a1＝1．

由（n－1，n）＝1，得a k＝n－1．

令d＝a2－a1＞0．

当a2＝2时，d＝1，从而k＝n－1，n与所有小于n的自然数互素．由此可知n是素数．

当a2＝3时，d＝2，从而n与所有小于n的奇数互素．故n是2的某个正整数次方．

设a2＞3．a2是不能整除n的最小素数，所以2|n，3|n．由于n－1＝a k＝1＋（k－1）d，所以3d．又1＋d＝a2，于是3

1＋d．由此可知3|1＋2d．若1＋2d＜n，则a3＝1＋2d，这时3|（a3，n）．矛盾．若1＋2d?n，则小于n且与n互素自然数的个数为2．

设n＝2m（＞6）．若m为偶数，则m＋1与n互质，若m为奇数，则m＋2与m互质．即除去n－1与1外、还有小于n 且与n互质的数．矛盾．

综上所述，可知n或是素数或是2的某个正整数次方．

A1－021试确定具有下述性质的最大正整数A：把从1001至2000所有正整数任作一个排列，都可从其中找出连续的10项，使这10项之和大于或等于A．

【题说】第一届（1992年）中国台北数学奥林匹克题6．

【解】设任一排列，总和都是1001＋1002＋…＋2000＝1500500，将它分为100段，每段10项，至少有一段的和?15005，所以

A?15005

另一方面，将1001～2000排列如下：

2000 1001 1900 1101 1800

1201 1700 1301 1600 1401

1999 1002 1899 1102 1799

1202 1699 1302 1599 1402

………………

1901 1100 1801 1200 1701

1300 1601 1400 1501 1300

并记上述排列为

a1，a2，…，a2000

（表中第i行第j列的数是这个数列的第10（i－1）＋j项，1?i?20，1?j?10）

令S i＝a i＋a i＋1＋...＋a i＋9（i＝1，2， (1901)

则S1＝15005，S2＝15004．易知若i为奇数，则S i＝15005；若i为偶数，则S i＝15004．

综上所述A＝15005．

第五讲整数问题：特殊的自然数之五

A1－022相继10个整数的平方和能否成为完全平方数？

【题说】1992年友谊杯国际数学竞赛七年级题2．

【解】（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2

＝10n2＋110n＋385＝5（2n2＋22n＋77）

不难验证n≡0，1，－1，2，－2（mod 5）时，均有

2n2＋22n＋77≡2（n2＋n＋1）0（mod 5）

所以（n＋1）2＋（n＋2）2＋…＋（n＋10）2不是平方数，

A1－023是否存在完全平方数，其数字和为1993？

【题说】第三届（1993年）澳门数学奥林匹克第二轮题2．

【解】存在，事实上，

取n＝221即可．

A1－024能够表示成连续9个自然数之和，连续10个自然数之和，连续11个自然数之和的最小自然数是多少？

【题说】第十一届（1993年）美国数学邀请赛题6．

【解】答495．

连续9个整数的和是第5个数的9倍；连续10个整数的和是第5项与第6项之和的5倍；连续11个整数的和是第6项的11倍，所以满足题目要求的自然数必能被9、5、11整除，这数至少是495．

又495＝51＋52＋…＋59＝45＋46＋…＋54＝40＋41＋…＋50

A1－025如果自然数n使得2n＋1和3n＋1都恰好是平方数，试问5n＋3能否是一个素数？

【题说】第十九届（1993年）全俄数学奥林匹克九年级一试题1．

【解】如果2n＋1＝k2，3n＋1＝m2，则5n＋3＝4（2n＋1）－（3n＋1）＝4k2－m2＝（2k＋m）（2k－m）．

因为5n＋3＞（3n＋1）＋2＝m2＋2＞2m＋1，所以2k－m≠1（否则5n＋3＝2k＋m＝2m＋1）．从而5n＋3＝（2k＋m）（2k －m）是合数．

第六讲整数问题：特殊的自然数之六

A1－026设n是正整数．证明：2n＋1和3n＋1都是平方数的充要条件是n＋1为两个相邻的平方数之和，并且为一平方数与相邻平方数2倍之和．

【题说】1994年澳大利亚数学奥林匹克二试题2．

【证】若2n＋1及3n＋1是平方数，因为2（2n＋1），3（3n＋1），可设2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2，由此可得

n＋1＝k2＋（k＋1）2，n＋1＝（t±1）2＋2t2

反之，若n＋1＝k2＋（k＋1）2＝（t±1）2＋2t2，则

2n＋1＝（2k＋1）2，3n＋1＝（3t±1）2

从而命题得证．

A1－027设a、b、c、d为自然数，并且ab＝cd．试问a＋b＋c＋d能否为素数．

【题说】第五十八届（1995年）莫斯科数学奥林匹克九年级题10．

【解】由题意知

正整数，将它们分别记作k与l．由

a＋c＞c?c1，b＋c＞c?c2

所以，k＞1且l＞1．

从而，a＋b＋c＋d＝kl为合数．

A1－028 设k1＜k2＜k3＜…是正整数，且没有两个是相邻的，又对于m＝1，2，3，…，S m＝k1＋k2＋…＋k m．求证：对每一个正整数n，区间（S n，S n＋1）中至少含有一个完全平方数．

【题说】1996年爱朋思杯——上海市高中数学竞赛题2．

【证】S n＝k n＋k n－1＋…＋k1

所以

从而

第七讲整数问题：求解问题之一

A2－001哪些连续正整数之和为1000？试求出所有的解．

【题说】1963年成都市赛高二二试题3．

【解】设这些连续正整数共n个（n＞1），最小的一个数为a，则有

a＋（a＋1）＋…＋（a＋n－1）＝1000

即

n（2a＋n－1）＝2000

若n为偶数，则2a＋n－1为奇数；若n为奇数，则2a＋n－1为偶数．因a?1，故2a＋n－1＞n．

同，故只有n＝5，16，25，因此可能的取法只有下列三种：

若n＝5，则a＝198；

若n＝16，则a＝55；

若n＝25，则a＝28．

故解有三种：

198＋199＋200＋201＋202

55＋56＋…＋70

28＋29＋…＋52

A2－002 N是整数，它的b进制表示是777，求最小的正整数b，使得N是整数的四次方．

【题说】第九届（1977年）加拿大数学奥林匹克题3．

【解】设b为所求最小正整数，则

7b2＋7b＋7＝x4

素数7应整除x，故可设x＝7k，k为正整数．于是有

b2＋b＋1＝73k4

当k＝1时，（b－18）（b＋19）＝0．因此b＝18是满足条件的最小正整数．

A2－003如果比n个连续整数的和大100的数等于其次n个连续数的和，求n．

【题说】1976年美国纽约数学竞赛题7．

s2－s1＝n2＝100

从而求得n＝10．

A2－004设a和b为正整数，当a2＋b2被a＋b除时，商是q而余数是r，试求出所有数对（a，b），使得q2＋r＝1977．【题说】第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题5．本题由原联邦德国提供．

【解】由题设a2＋b2＝q（a＋b）＋r（0?r＜a＋b），q2＋r＝1977，所以q2?1977，从而q?44．

若q?43，则r＝1977－q2?1977－432＝128．

即（a＋b）?88，与（a＋b）＞r?128，矛盾．

因此，只能有q＝44，r＝41，从而得

a2＋b2＝44（a＋b）＋41

（a－22）2＋（b－22）2＝1009

不妨设|a－22|?|b－22|，则1009?（a－22）2?504，从而45?a?53．

经验算得两组解：a＝50，b＝37及a＝50，b＝7．

由对称性，还有两组解a＝37，b＝50；a＝7，b＝50．

A2－005数1978n与1978m的最后三位数相等，试求出正整数n和m，使得m＋n取最小值，这里n＞m?1．【题说】第二十届（1978年）国际数学奥林匹克题1．本题由古巴提供．

【解】由题设

1978n－1978m＝1978m（1978n－m－1）≡0（mod 1000）

因而

1978m≡2m3989m≡0（mod 8），m?3

又

1978n－m≡1（mod 125）

而1978n－m＝（1975＋3）n－m

≡3n－m＋（n－m）3n－m－121975（mod 125）（1）

从而3n－m≡1（mod 5），于是n－m是4的倍数．

设n－m＝4k，则

代入（1）得

从而

k（20k＋3）≡0（mod 25）

因此k必须是25的倍数，n－m至少等于4325＝100，于是m＋n的最小值为

n－m＋2m＝106，m＝3，n＝103

A2－006求方程x3＋x2y＋xy2＋y3＝8（x2＋xy＋y2＋1）的全部整数解x、y．

【题说】1980年卢森堡等五国国际数学竞赛题6．本题由荷兰提供．

于是x3＋x2y＋xy2＋y3＝（x＋y）3－2xy（x＋y）＝u3－2vu

x2＋xy＋y2＝（x＋y）2－xy＝u2－v

从而原方程变为

2v（u－4）＝u3－8u2－8 （2）

因u≠4，故（2）即为

根据已知，u－4必整除72，所以只能有

u－4＝±2α3β，其中α＝0，1，2，3；β＝0，1，2

进一步计算可知只有u－4＝223＝6，于是

u＝10，v＝16

第八讲整数问题：求解问题之二

A2－007确定m2＋n2的最大值，这里m和n是整数，满足m，n∈｛1，2，…，1981｝，（n2－mn－m2）2＝1．【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题3．

【解】若m＝n，由（n2－mn－m2）2＝1得（mn）2＝1，故m＝n＝1．

若m≠n，则由n2－mn－m2＝±1得n＞m．令n＝m＋u k，于是

[（m＋u k）2－m（m＋u k）－m2]2＝1

于是有

若u k≠u k－1，则以上步骤可以继续下去，直至

从而得到数列：

n，m，u k，u k－1，…，u k－l，u k－l－1

此数列任意相邻三项皆满足u i＝u i－1＋u i－2，这恰好是斐波那契型数列．

而{1，2，…，1981}中斐氏数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，可见m＝987，n＝1597时，m2＋n2＝3524578为满足条件的最大值．

A2－008求方程w！＝x！＋y！＋z！的所有正整数解．

【题说】第十五届（1983年）加拿大数学奥林匹克题1．

【解】不妨设x?y?z．显然w?z＋1，因此

（z＋1）！?w！＝x！＋y！＋z！?32z！

从而z?2．通过计算知x＝y＝z＝2，w＝3是原方程的唯一解．

A2－009求满足下式的所有整数n，m：

n2＋（n＋1）2＝m4＋（m＋1）4

【题说】1984年匈牙利阿拉尼2丹尼尔数学竞赛（15年龄组）题1．

【解】由原式得

n（n＋1）＝m（m＋1）（m2＋m＋2）

设m2＋m＝k，我们有n（n＋1）＝k（k＋2）．显然，只可能两边为零．解是（0，0），（0，－1），（－1，0），（－1，1）．

A1－010前1000个正整数中可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的正整数有多少个？

【题说】第三届（1985年）美国数学邀请赛题10．

【解】令f（x）＝[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]．

个不同的正整数值．

另一方面f（x＋n）＝f（x）＋20n对任一正整数n成立．将1－1000分为50段，每20个为1段．每段中，f（x）可取12个值．故总共可取到50312＝600个值，亦即在前1000个正整数中有600个可以表示成[2x]＋[4x]＋[6x]＋[8x]的形式．

A2－011使n3＋100能被n＋10整除的正整数n的最大值是多少？

【题说】第四届（1986年）美国数学邀请赛题5．

【解】由n3＋100＝（n＋10）（n2－10n＋100）－900知，若n3＋100被n＋10整除，则900也应被n＋10整除．因此，n 最大值是890．

第九讲整数问题：求解问题之三

A2－012 a、b、c、d为两两不同的正整数，并且

a＋b＝cd，ab＝c＋d

求出所有满足上述要求的四元数组a、b、c、d．

【题说】1987年匈牙利数学奥林匹克题1．

【解】由于a≠b，所以当且仅当a＝1或b＝1时，才有a＋b?ab．

如果a、b都不是1，那么

c＋d＝ab＞a＋b＝cd

由此知c＝1或d＝1．

因此a、b、c、d中总有一个（也只有一个）为1．如果a＝1，那么由消去b可以推出

从而得到c＝2，d＝3，或者c＝3，d＝2．

这样，本题的答案可以列成下表

A2－013设[r，s]表示正整数r和s的最小公倍数，求有序三元正整数组（a，b，c）的个数，其中[a，b]＝1000，[b，c]＝2000，[c，a]＝2000．

【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题7．

【解】显然，a、b、c都是形如2m25n的数．设a＝2m125n1，b＝2m225n2，c＝2m325n3．

由[a，b]＝1000＝23253，知max（m1，m2）＝3，max（n1，n2）＝3．同理，max（m2，m3）＝4，max（n2，n3）＝3；max（m1，m3）＝4，max（n1，n3）＝3．

由此，知m3应是4，m1、m2中必有一是3．另一个可以是0、1、2或3之任一种，因此m1、m2的取法有7种．又，n1、n2、n3中必有两个是3，另一个可以是0、1、2或3．因此n1、n2、n3取法有10种．故m i、n i（i＝1、2、3）不同取法共有7310＝70种，即三元组共有70个．

A2－014设m的立方根是一个形如n＋r的数，这里n为正整数，r为小于1/1000的正实数．当m是满足上述条件的最小正整数时，求n的值．

【题说】第五届（1987年）美国数学邀请赛题12．

m＝n3＋1＜（n＋10－3）3

＝n3＋3n2210－3＋3n210－6＋10－9

于是

从而n＝19（此时m＝193＋1为最小）．

【题说】第十三届（1987年）全俄数学奥林匹克九年级题1．

【解】144＝122，1444＝382

设n＞3，则

则k必是一个偶数．所以

也是一个自然数的完全平方，但这是不可能的．因为平方数除以4，

因此，本题答案为n＝2，3．

A2－016当n是怎样的最小自然数时，方程[10n/x]＝1989有整数解？

【题说】第二十三届（1989年）全苏数学奥林匹克十年级题1．

【解】1989?10n/x＜1990

所以

10n/1990＜x?10n/1989

即

10n20.000502512…＜x?10n20.000502765…

所以n＝7，这时x＝5026与5027是解．

A2－017设a n＝50＋n2，n＝1，2，…．对每个n，a n与a n＋1的最大公约数记为d n．求d n的最大值．【题说】1990年日本第1轮选拔赛题9．

【解】

d n＝（a n，a n＋1）

＝（50＋n2，50＋（n＋1）2－（50＋n2））

＝（50＋n2，2n＋1）

＝（2（n2＋50），2n＋1）（因2n＋1是奇数）

＝（2（n2＋50）－n（2n＋1），2n＋1）

＝（100－n，2n＋1）

＝（100－n，2n＋1＋2（100－n））

＝（100－n，201）?201

在n＝100≠201k（k∈N）时，d n＝201．

故所求值为201．

A2－018 n是满足下列条件的最小正整数：

（1）n是75的倍数；

（2）n恰为75个正整数因子（包括1及本身）．试求n/75．

【题说】第八届（1990年）美国数学邀请赛题5．

【解】为保证n是75的倍数而又尽可能地小，可设n＝2α23β25γ，其中α?0，β?1，γ?2，并且

（α＋1）（β＋1）（γ＋1）＝75

由75＝5223，易知当α＝β＝4，γ＝2时，符合条件（1）、（2）．此时n＝24234252，n/75＝432．

第十讲整数问题;求解问题之四

A2－019 1．求出两个自然数x、y，使得xy＋x和xy＋y分别是不同的自然数的平方．

2．能否在988至1991范围内求到这样的x和y？

【题说】第二十五届（1991年）全苏数学奥林匹克九年级题5．

【解】1．例如x＝1，y＝8即满足要求．

2．假设

988?x＜y?1991

x、y∈N，使得xy＋x与xy＋y是不同的自然数的平方，则

x2＜xy＋x＜xy＋y

这时

y－x＝（xy＋y）－（xy＋x）

＞（x＋1）2－x2＝2x＋1

即

y＞3x＋1

由此得

1991?y＞3x＋1?33998＋1

矛盾！故在988与1991之间不存在这样的自然数x、y．

A2－020求所有自然数n，使得

这里[n/k2]表示不超过n/k2的最大整数，N是自然数集．

【题说】1991年中国数学奥林匹克题5．

【解】题给条件等价于，对一切k∈N，

k2＋n/k2?1991 （1）

且存在k∈N，使得k2＋n/k2＜1992．（2）

（1）等价于对一切k∈N，

k4－1991k2＋n?0

即（k2－1991/2）2＋n－19912/4?0 （3）

故（3）式左边在k取32时最小，因此（1）等价于

n?19913322－324＝10243967

又，（2）等价于存在k∈N，使

（k2－996）2＋n－9962＜0

上式左边也在k＝32时最小，故（2）等价于

n＜19923322－324＝10243968

故n为满足

10243967?n?10243967＋1023

的一切整数．

A2－021设n是固定的正整数，求出满足下述性质的所有正整数的和：在二进制的数字表示中，正好是由2n个数字组成，其中有n个1和n个0，但首位数字不是0．

【题说】第二十三届（1991年）加拿大数学奥林匹克题2．

【解】n＝1，易知所求和S1＝2．

n?2时，首位数字为1的2n位数，在其余2n－1位上，只要n个0的位置确定了．则n－1个1的位置也就确定了，从而这个2n位二进制数也随之确定．

现考虑第k（2n＞k?1）位数字是1的数的个数．因为其中n个0的位置只可从2n－2个位置（除去首位和第k位）中选择，故这样的

初中数学奥林匹克竞赛题及答案

初中数学奥林匹克竞赛题及答案 奥数题一 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数 D．a，b互为倒数 答案：C 解析：令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此a、b互为相反数。 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式 B．单项式与单项式的和是多项式 C．多项式与多项式的和是多项式 D．整式与整式的和是整式 答案：D 解析：x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A。两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B。两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D。 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 答案：C 解析：最大的负整数是-1，故C错误。 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号 B．a，b异号 C．a＞0 D．b＞0 答案：D 5．大于－π并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个 答案：C 解析：在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，

－1，0共4个．选C。 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身； 乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身； 丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 答案：B 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故C错误。 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 答案：D 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数 B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式 D．都加上1 答案：D 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一 个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多 B．多了 C．少了 D．多少都可能 答案：C 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全

初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全

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初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。

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如何有效使用初中数学教材

如何有效使用初中数学教材-中学数学论文 如何有效使用初中数学教材 文/张杰 【摘要】本文主要从教师注重教材的研究使用，以及如何有效使用教材，合理有效地发挥教材的作用阐述了自己的观点。有效地使用教材才能真正提高教学质量，使学生学习有用的数学。 关键词有效；初中；数学教材 《基础教育课程改革纲要（试行）》中指出：“教材改革应该有利于引导学生利用已有的知识经验，主动探索知识的发生和发展，同时也应利于教师创造性地进行教学。”然而当前很多教师不重视教材，甚至将教材搁置在了一边。因此有效地用好初中数学教材是一个日益突出的问题了。 一、教师应该重视初中数学教材的研究 教材是教学的主要资源，同时体现《标准》所倡导的理念的重要载体，也是教师教和学生学的重要凭借。因此我们教学时一定要弄清教材的特点，编排的结构和知识体系，教学建议等。如现行《义务教育教科书数学（苏科版）》的主要特点是：以“生活.学习”，“活动.思考”为主线；注重课程内容的“整合”；注重引导学生“做数学”；注重“过程和数学思想方法”；注重引导教师理解《标准》的理念。只有深入研究教材才能更好地理解新课程改革的教学理念，只有将“把握教材的整体体系及其结构放在首位”才能在教学中准确地展开教学。有效的使用教材是学生得到全面发展的基础和保证，从而使学生更好地掌握数学的本质，切实提高教学质量。 二、教师应该有效地使用好教材资源

1．利用教材丰富的素材，激发学生的探究欲望 如苏科版教材中第3.1节“数学实验室”中，创设了用同样大小的两种不同颜色的小正方形纸片拼正方形的情境和过程：第2个图形比第1图形多了几个小正方形？第100个图形比第99图形多了几个小正方形？第n个图形比第n-1个图形多了几个小正方形呢？你还有什么新发现？我们要利用好这个材料，用学生感兴趣的活动和游戏形成一个个“情境串”再带动一些“问题串”，激发了学生的探究欲望和兴趣。 2．利用好教材的资源发挥其作用 教师要研究教材中给出的每一个材料使用的意义和作用，尽其所能。如在苏科版教材中3.3节中“做一做”中设计了列表记录搭“小鱼”所用火柴棒根数的活动。仔细观察这个活动在“代数式”，“一元一次方程”，“一元一次不等式”“一次函数”4个章节中均出现。都是采用搭“小鱼”的同一个材料。我们应该引导学生从相同材料对其不断深入地研究，感悟知识之间的联系，不断获取函数的感性认识，感悟数学模型的思想。但实际教学时我们很多教师都忽略了这一点，不能真正体会编者的意图，也就谈不上发挥这个材料的作用了。 3．把握教材的精髓，创造性地使用教材 在课堂教学中，我们要根据学生的年龄特点和认知规律，针对教学实际情况，灵活地开发利用教材，大胆合理的创造性地使用教材。如教材中安排的“想一想”，“做一做”“试一试”等内容，可以利用这些弹性的课程设置，有针对性地实施教学。如在苏科版教材第九章数学活动“拼图.公式”这一活动中，教师借助于拼图的方法把一部分二次三项式进行因式分解，教师就可以创造性地使用教材，使学生经历从具体问题抽象出数学问题——建立模型——运用已有知识解决问

初中数学奥林匹克竞赛解题方法大全(配PDF版)-第06章-几何基础知识

第六章几何基础知识 第一节线段与角的推理计算 【知识点拨】 掌握七条等量公理： 1、同时等于第三个量的两个量相等。 2、等量加等量，和相等。 3、等量减等量，差相等。 4、等量乘等量，积相等。 5、等量除以等量（0除外），商相等。 6、全量等于它的各部分量的和。 7、在等式中，一个量可以用它的等量来代替（等量代换）。 【赛题精选】 例1、如图，∠AOB＝∠COD，求证：∠AOC＝∠BOD。 例2、C、D为线段AB上的两点，AD＝CB，求证：AC＝DB。 例3、AOB是一条直线，∠AOC＝600，OD、OE分别是∠ AOC和∠BOC的平分线。问图中互为补角关系的角共有多少对？ 例4、已知B、C是线段AD上的任意两点，M是AB的中 点，N是CD的中点，若MN＝a，BC＝b，求CD的长。

例5、已知OM是∠AOB的平分线，射线OC在∠BOM内部，ON是∠BOC的平分线，且∠AOC＝800。求∠MON的度数。 例6、已知A、O、B是一条直线上的三个点，∠BOC比∠AOC 大240，求∠BOC、∠AOC的度数。 例7、如图，AE＝8.9CM，BD＝3CM。求以A、B、C、D、 E这5个点为端点的所有线段长度的和是多少？ 例8、线段AB上的P、Q两点，已知AB＝26CM，AP＝14CM， PQ＝11CM。求线段BQ的长。 例9、已知∠AOC＝∠BOD＝1500，∠AOD＝3∠BOC。

求∠BOC的度数。 例10、已知C是AB上的一点，D是CB的中点。若图中线段的长度之和为23CM，线段AC的长度与线段CB 的长度都是正整数。求线段AC的长度是多少厘米？

【针对训练】

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Adobe Photoshop CS6 自学教程完整版 【前言】本教程适合任何技术成熟程度的人士，详细讲解从软件的下载、安装、激活（破解），到PS的基础知识，再到Photoshop CS6的新功能和高级技巧。特别是零基础人士成为PS 高阶好手的红宝书。 一、安装与激活（破解） Adobe已经发布Photoshop CS6 beta，并提供免费下载，Photoshop新版本的更新包括一个全新的暗色界面，视频编辑，简易的3D特性等，包括所有Photoshop中CS6的功能扩展。如果想要使用该软件，需要注册一个Adobe ID。 Adobe Photoshop CS6配置要求 * Intel Pentium 4 或 AMD Athlon 64 处理器 * Microsoft Windows XP(带有 Service Pack 3);Windows Vista Home Premium、Business、Ultimate 或 Enterprise(带有 Service Pack 1，推荐Service Pack 2);或 Windows 7 * 1GB 内存 * 1GB 可用硬盘空间用于安装;安装过程中需要额外的可用空间(无法安装在基于闪存的可移动存储设备上) * 1024×768 屏幕(推荐1280×800)，配备符合条件的硬件加速 OpenGL 图形卡、16 位颜色和 256MB VRAM * 某些 GPU 加速功能需要 Shader Model 3.0 和 OpenGL 2.0 图形支持 * DVD-ROM 驱动器 * 多媒体功能需要 QuickTime 7.6.2 软件 * 在线服务需要宽带 Internet 连接

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学奥林匹克竞赛教程

初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。 含字母系数的一元一次不等式的解法，一元一次不等式的解法。 含绝对值的一元一次不等式。

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ps教程视频全集免费网盘下载 学ui设计如何快速入门？2017年ui设计被炒得十分火热，ui设计也以其功能位居榜首,很多同学对这门表示有着强烈的兴趣。零基础学PS，ui设计算是一个不错的选择。因为相较于其他的技术，ui设计的就业面更广，所以成为当下一大热门。大家快来领取ps教程视频全集免费网盘下载： UI知识点录制终极稿：https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html,/s/1sl5AB85； 千锋ui设计课程：ai软件实战讲解：https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html,/s/1i5HzSax； 千锋UI视频教程：PS基础教程精讲：https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html,/s/1i5HzSax； 千锋零基础入门UI设计教程icon篇： https://https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html,/s/1bKkqcQ。 现在市面上有很多ui培训机构为了节约成本，相继开始了视频授课，而千

锋教育一开始就坚持线下100%面授，坚持“用良心做教育”。 在千锋学ui设计，大家不用坐在教室看1个讲师全国视频同步授课，或在教室看在线直播授课，更甚者仅提供录播视频，没有学习氛围，没有同学间交流，更欠缺后期项目辅导，完全看自觉性和自学能力强弱。 千锋请的名师虽贵，但绝不省人工，面授虽然繁杂但必不减少品质。试问有多少机构能够做到100%全程面授的？恐怕寥寥无几吧？大多数机构都是统一安排学员在教室里观看提前录制好的视频，全程无交流、无沟通，这样的教育方式能够帮助您获得高薪职位？ 千锋的每一位老师都用自己的实际行动履行着“敬业分享真诚关爱”的奉献精神，这也是千锋企业精神的源泉所在。在校教师始终恪守着“用良心做教育”的誓言，用千锋人的经验和实力铸就学员人生的华彩和事业的巅峰！ 千锋UI设计培训企业级项目实战训练，从千锋科技及合作企业项目中研发出几十个企业级教学项目，让学员参与真实的企业级项目研发，很后让学员能够独立设计开发自己的上线项目。 以及严格、科学、负责的教学就业管理制度，项目经理、职业规划师全程跟班，把握每位学员的学习状态，并有专业的职业素养课和就业指导课，保证教学及就业质量。Ui设计培训就到千锋！

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大家网 https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html, Photoshop CS4学习教程完整版 本教程按照初学者接受知识的难易程度，由浅入深布局内容、不仅能帮助初学者快速掌握Photoshop CS4的基本操作，而且能教会初学者使用Photoshop CS4进行图形图像处理及创作的技能，指引入门捷径，直通高手殿堂…… 教程截图： 下载地址： Photoshop CS4学习教程完整版 强烈推荐： Photoshop学习教程汇总！（2010最新更新） 实力派设计作品汇总!（欣赏学习） 设计画笔/插件/字体等素材下载汇总！

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Adobe Photoshop CS6 自学完全版教程

Adobe Photoshop CS6 基本知识 第一讲基础知识 一、Photosop是ADOBE公司推出的图形图像处理软件，功能强大，广泛应用于印刷、广告设计、封面制作、网页图像制作、照片编辑等领域。利用Photosop 可以对图像进行各种平面处理。绘制简单的几何图形、给黑白图像上色、进行图像格式和颜色模式的转换。 二、Photosop7.0的启动与退出 1、启动Photoshop的方法： 单击开始/程序/Photoshop7.0即可启动.或者打开一个Photoshop文件也能够启动Photoshop. 2、退出Photoshop的方法： 单击关闭按钮或按下CTRL+Q组合键或ALT+F4组合键，都可以退出Photoshop。 三、Photoshop的窗口组成（标题栏、菜单栏、工具栏、工具箱、图像图口、控制面板、状态栏、Photoshop桌面） 1、标题栏：位于窗口最顶端。 2、菜单栏：其中包括9个菜单。位于标题栏下方。 3、工具栏：位于菜单栏下方。可以随着工具的改变而改变。 4、工具箱：位于工具栏的左下方。 5、图像窗口：位于工具栏的正下方。用来显示图像的区域，用于编辑和修改图像。 6、控制面版：窗口右侧的小窗口称为控制面版。用于改变图象的属性。 7、状态栏：位于窗口底部，提供一些当前操作的帮助信息。

8、Photoshop桌面：Photoshop窗口的灰色区域为桌面。其中包括显示工具箱、控制面板和图像窗口。 四、图像窗口：图像窗口由（标题栏、图像显示区、控制窗口图标） 1、标题栏：显示图像文件名、文件格式、显示比例大小、层名称以及颜色模式。 2、图像显示区：用于编辑图像和显示图像。 3、控制窗口图标：双击此图标可以关闭图像窗口。单击此图标，可以打开一个菜单，选择其中的命令即可。 五、工具箱和工具栏 Photosop工具包含了40余种工具，单击图标即可选择工具或者按下工具的组合键。工具箱中并没有显示出全部的工具，只要细心观察，会发现有些工具图标中有一个小三角的符号，这就表示在该工具中还有与之相关的工具。打开这些工具的方法有两种： 1、把鼠标指针移到含有三角的工具上，右击即可打开隐藏的工具或者按鼠标左键不放在工具上开隐藏稍等片刻也可打工具。然后选择工具即可。 2、可以按下ALT键不放，再单击工具图标，多次单击可以在多个工具之间切换。 六、控制面板 控制面板可以完成各种图像处理操作和工具参数设置，Photosop7.0中共提供了14个控制面板。其中包括：导般器、信息、颜色、色板、图层、通道、路径、历史记录、动作、工具预设、样式、字符、段落控制面板和状态栏。 1、导般器（Nanigator）：用来显示图像上的缩略图，可用缩放显示比例，

初中数学校本教材完整版)

初中数学校本教材 ————《生活与数学》序言一、把握数学的生活性——“使教学有生活味” 《数学课程标准》中指出：“数学可以帮助人们更好地探求客观世界的规律，并对现代社会中大量纷繁复杂的信息做出恰当的选择和判断，进而解决问题，直接为社会创造价值”。这说明数学来源于社会，同时也反作用于社会，社会生活与数学关系密切，它已经渗透到生活的每个方面，我们的衣食住行都离不开它。现代数学论认为：数学源于生活，又运用于生活，生活中充满数学，数学教育寓于生活实际。有意识地引导学生沟通生活中的具体问题与有关数学问题的联系，借助学生熟悉的生活实际中的具体事例，激发学生学习数学的求知欲，帮助学生更好的理解和掌握数学基础知识，并运用学到的数学知识去解决实际生活中的数学问题。 二、把握数学的美育性——“使教学有韵味” 数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。” 美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的特点。 简练、精确是数学的美。数学的基本定理说法简约，却又涵盖真理，让人阅读简便却又印象深刻。数学语言是如此慎重的、有意的而且经常是精心设计的，凭借数学语言的严密性和简洁性，我们就可以表达和研究数学思想，这种简洁性有助于思维的效率。 数学很讲究它的逻辑美。数学的应用是被人们广泛认同的，可学习数学还能训练人的逻辑思维能力。尤其是几何的证明讲究前因后果，每一步都要前后呼应，抽象的数学也显示它模糊的美。抽象给我们想象的余地，让我们思维海阔天空，给学生留有了思索和创新的空间。抽象的数学不正展示它的魅力吗？ 数学上有很多知识是和对称有关的。对称给人协调，平稳的感觉，像圆，正方体等，它们的形式是如此的匀称优美。正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才构成了美丽的图案，精美的建筑，巧夺天工的生活世界，也才给我们带来丰富的自然美，多彩的生活美。 中学数学的美育性，除了上述一些方面，还有其它美妙的地方，只要我们用心挖掘和捕捉，就会发现数学蕴涵着如此丰富的美的因素，教师要

PS教程：Photoshop自学完整版(全面详解)

Photoshop基础知识学习 一、Photosop是ADOBE公司推出的图形图像处理软件，功能强大，广泛应用于印刷、广告设计、封面制作、网页图像制作、照片编辑等领域。利用Photosop可以对图像进行各种平面处理。绘制简单的几何图形、给黑白图像上色、进行图像格式和颜色模式的转换。 二、Photosop7.0的启动与退出 1、启动Photoshop的方法： 单击开始/程序/Photoshop7.0即可启动.或者打开一个Photoshop文件也能够启动Photoshop. 2、退出Photoshop的方法： 单击关闭按钮或按下CTRL+Q组合键或ALT+F4组合键，都可以退出Photoshop。 三、Photoshop的窗口组成（标题栏、菜单栏、工具栏、工具箱、图像图口、控制面板、状态栏、Photoshop桌面） 1、标题栏：位于窗口最顶端。 2、菜单栏：其中包括9个菜单。位于标题栏下方。 3、工具栏：位于菜单栏下方。可以随着工具的改变而改变。 4、工具箱：位于工具栏的左下方。 5、图像窗口：位于工具栏的正下方。用来显示图像的区域，用于编辑和修改图像。 6、控制面版：窗口右侧的小窗口称为控制面版。用于改变图象的属性。 7、状态栏：位于窗口底部，提供一些当前操作的帮助信息。 8、Photoshop桌面：Photoshop窗口的灰色区域为桌面。其中包括显示工具箱、控制面板和图像窗口。 四、图像窗口：图像窗口由（标题栏、图像显示区、控制窗口图标） 1、标题栏：显示图像文件名、文件格式、显示比例大小、层名称以及颜色模式。 2、图像显示区：用于编辑图像和显示图像。 3、控制窗口图标：双击此图标可以关闭图像窗口。单击此图标，可以打开一个菜单，选择其中的命令即可。 五、工具箱和工具栏 Photosop工具包含了40余种工具，单击图标即可选择工具或者按下工具的组合键。工具箱中并没有显示出全部的工具，只要细心观察，会发现有些工具图标中有一个小三角的符号，这就表示在该工具中还有与之相关的工具。打开这些工具的方法有两种： 1、把鼠标指针移到含有三角的工具上，右击即可打开隐藏的工具或者按鼠标左键不放在工具上开隐藏稍等片刻也可打工具。然后选择工具即可。 2、可以按下ALT键不放，再单击工具图标，多次单击可以在多个工具之间切换。 六、控制面板 控制面板可以完成各种图像处理操作和工具参数设置，Photosop7.0中共提供了14个控制面板。其中包括：导般器、信息、颜色、色板、图层、通道、路径、历史记录、动作、工具预设、样式、字符、段落控制面板和状态栏。 1、导般器（Nanigator）：用来显示图像上的缩略图，可用缩放显示比例，迅速移动图像的显

七年级数学奥林匹克竞赛题(一)解析

初中一年级奥赛训练题(一)及解析 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( C) A．a，b都是0 B．a，b之一是0 C．a，b互为相反数D．a，b互为倒数 2．下面的说法中正确的是( D) A．单项式与单项式的和是单项式B．单项式与单项式的和是多项式C．多项式与多项式的和是多项式D．整式与整式的和是整式 3．下面说法中不正确的是( C) A. 有最小的自然数B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数D．没有最大的非负数 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( D) A．a，b同号B．a，b异号C．a＞0 D．b＞0 5．大于－π并且不是自然数的整数有( B) A．2个B．3个C．4个D．无数个 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身。 这四种说法中，不正确的说法的个数是( B) A．0个B．1个C．2个D．3个 解析：负数的平方是正数，所以一定大于它本身，故丙错误。 7．a代表有理数，那么a和－a的大小关系是( D) A．a大于－a B．a小于－a C．a大于－a或a小于－a D．a不一定大于－a 解析：令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D。 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( D) A．乘以同一个数B．乘以同一个整式 C．加上同一个代数式D．都加上1 解析：对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数，所以排除A。我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x －2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B。同理应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，D所加常数为1，因此选D．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( C) A．一样多B．多了C．少了D．多少都可能 解析：设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为(1－10%)a=0.9a；第三天杯中水量为0.9a(1+10%)=0.9×1.1a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为0.99∶1， 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C。

ps入门教程零基础视频网盘下载,真正学好ps

ps入门教程零基础视频网盘下载，真正学好ps Photoshop是专业设计师修炼之路的必备工具，但是面对这个从87年开始进化的庞然大物，若没有前辈指导，战胜它可着实不易。今天分享一篇好文，讲讲在摄影领域，你该怎样做才能学好Photoshop。 《超赞！设计师完全自学指南》https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html,/s/1mhO5K9q 《从菜鸟到高手！PHOTOSHOP知识点》https://www.wendangku.net/doc/1612120122.html,/s/1sl5AB85 1 学好PS，并非一朝一夕 兴趣—是迈向PS高手之路的一个好的开端：如果你本身对PS并不感兴趣，只是因为工作需要而刻意去学，那么你无论拜读哪位大师的教程，或是投奔哪位PS高手的门下，你也只能学会一点皮毛而已。 2审美基础，这个相当重要

很多学生过来学习时，其中有些学生已经做PS很多年了，为什么一直就没有进步？有的人就开始埋怨自己笨，或者埋怨自己没有好的老师带他进步？大多数人吐槽的话题就是影楼机械性的工作，让自己过于麻木。其实归根结底，是审美基础薄弱！ 那么怎样提高自己的审美？或者说有没有老师专门教你审美的课程？ 其实每个人的审美虽千差万别，但万变不离其宗。而美术，就是教你怎么去审美的。适当补习一些美术基础，对你的PS是相当重要。 3 调色难学么？

这是很多学生经常问的一句话：就好像有人问你，啤酒好喝么？冰激凌好吃么？某某电影好看不？不同的人，会得出不同的答案：调色难学与否，最重要的还是看自己对色彩的把握程度和接受能力等：因为调色牵扯到光影，色彩，美学等，它不单单是耍弄几个工具那么简单而已。很多学生对PS工具的熟练程度，远远超出了我的速度，甚至闭上眼睛都可以快速调出相应的工具来：但这并不说明你的调色技术就非常厉害。色彩是一门庞大的学问，岂止是PS那几个工具和通道就能诠释的？ 4 没有美术基础可以学PS么？

人教版初中数学教材的使用体会

人教版初中数学教材的使用体会 淄博市周村区实验学校王书荣 我只是一名工作四年的普通青年教师，新的教材需要我要有新的教育思想、新的教育理念、跟时代合拍的新的教案方法，下面与各位同行，就人教版的初中数学新教材的体系结构谈一些个人的看法、想法。 一、归纳，成为数学教案的主线势在必行 学生基础知识与基本技能很好，演绎推理能力较强，但归纳能力薄弱。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。而归纳能力主要是根据情况预测结果的能力，根据结果探究成因的能力。归纳是创新的能力，没有演绎，就没有知识体系；没有归纳，就没有创新的源泉。归纳，成为是数学教案的主线势在必行！ 教材几乎每一节都有“思考”“探究”“归纳”等栏目，栏目中以问题、留白、或填空等形式为学生提供思维发展、合作交流的空间。让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。 例：在人教版八年级上册《整式的乘除与因式分解》一章中，归纳思想贯穿全章，整章的归纳思想表现得淋漓尽致！对于此章节中的整式的乘法中的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方中一开始给出探究内容，通过探究，归纳出各种乘法公式。 二、中小学教材衔接更加紧凑 教材对小学和初中的要求很多的不同，而这种不同怎样处理，怎样衔接，应是一门很好的艺术。 小学阶段：学生“被老师逼着学习”，而初中阶段主要是学生“自学、思考、归纳”等。由于初中阶段存在“升学”压力，教师在教案中注重落实，而兴趣不足，尤其学生在兴趣的持久方面，表现太不尽如人意。小学以语言激励、表扬为住，而初中主要依靠中考的评价，往往对学生的过程评价不够。初中阶段的学习内容偏多，而中考的内容从课本考到课外，人为的将学校学科内容加大、加难，这些都导致了学生的厌学。尤其逻辑推理知识的学习等，都是部分学生难以度过的难点。 在人教版新教材中的设计中，更加重视了这些不同，更加巧妙地处理了这些不同。放低起点、循序渐进，例如几何教案对于推理论证的训练逐章提出不同的要求；注意明确学习目标、学习要求，提出并解决学习中应注意的问题；注意展开“过程”，包括概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程；注意适当重复、循环或前后呼应，例如重复小学学过的某些知识，努力把数、式、函数的知识

Photoshop cs6视频教程全集

Photoshop cs6视频教程全集 Photoshop cs6视频教程全集 AdobePhotoshop是目前最流行的平面设计软件之一。可以说，只要你接触平面设计，那么无论早晚，你都要和它打交道。关于Photoshop，要说的实在太多太多，但不论你想让它成为你的左膀右臂，或者仅仅是用它来做一些最基础的图像处理工作，那么下面的10件事都是你一定要知道的，无论你是个初学者或是已经对它有了一定的了解。 1.快捷键的使用:这是Photoshop基础中的基础，却也是提高工作效率的最佳方法。快捷键的使用，使你可以将精力更好的集中在你的作品而不是工具面板上。一旦你能够熟练的使用快捷键，你就可以使用全屏的工作方式，省却了不必要的面板位置，使视野更开阔，最大限度的利用屏幕空间;一些简单的命令可以用键盘来完成，不必分心在工具的选择上，哪怕它只占用了极少的时间，但我们更希望在工作时不被打断。 注意:你应该尽量多使用快捷键，下面的这些快捷键是提高效率的好帮手，但不知为什么很多书中都一带而过，甚至没有提及，请一定要牢牢记住。 Ctrl+J:复制当前图层到一个新层; J:切换到喷枪工具; M:切换到选框工具; ,,:在当前工具为画笔模式时(包括喷枪、画笔、铅笔、仿制图章历史画笔、橡皮及模糊和加深等工具)，依次增减笔头大小; Shift+BackSpace:调出填充对话框。 一开始，你可能无法记住所有的快捷键，可以使用Photoshop的工具提示来帮助你。方法是打开编辑>预置>常规，选择“显示工具提示”。这样，当你把鼠标移动到工具面板上时，工具名称和其快捷键就会出现，直到你移走鼠标才会消失。

人教版初中数学教材的使用体会

人教版初中数学教材的使用体会 谈谈对你所教的教材的看法。可以谈教材的优点或问题，也可以举实例说说你是怎样创造性使用教材的（小少于400字 新的教材需要我要有新的教育思想、新的教育理念、跟时代合拍的新的教学方法，下面是对人教版的初中数学新教材的体系结构谈一些个人的看法、想法。 一、归纳，成为数学教学的主线势在必行学生基础知识与基本技能很好，演绎推理能力较强，但归纳能力薄弱。演绎推理的主要功能在于验证结论，而不在于发现结论。而归纳能力主要是根据情况预测结果的能力，根据结果探究成因的能力。归纳是创新的能力，没有演绎，就没有知识体系；没有归纳，就没有创新的源泉。归纳，成为是数学教学的主线势在必行！ 教材几乎每一节都有“思考”“探究”“归纳”等栏目，栏目中以问题、留白、或填空等形式为学生提供思维发展、合作交流的空间。让学生通过探索活动来发现结论，经历知识的“再发现”过程，在探究活动的过程中发展创新思维能力，改变学生的学习方式。 二、中小学教材衔接更加紧凑 教材对小学和初中的要求很多的不同，而这种不同怎样处理，怎样衔接，应是一门很好的艺术。 小学阶段：学生“被老师逼着学习”，而初中阶段主要是学生“自学、思考、归纳”等。由于初中阶段存在“升学”压力，教师在教学中注重落实，而兴趣不足，尤其学生在兴趣的持久方面，表现太不尽如人意。小学以语言激励、表扬为住，而初中主要依靠中考的评价，往往对学生的过程评价不够。初中阶段的学习内容偏多，而中考的内容从课本考到课外，人为的将学校学科内容加大、加难，这些都导致了学生的厌学。尤其逻辑推理知识的学习等，都是部分学生难以度过的难点。 在人教版新教材中的设计中，更加重视了这些不同，更加巧妙地处理了这些不同。放低起点、循序渐进，例如几何教学对于推理论证的训练逐章提出不同的要求；注意明确学习目标、学习要求，提出并解决学习中应注意的问题；注意展开“过程”，包括概念、公式、定理、法则的提出过程，知识的形成、发展过程，解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程；注意适当重复、循环或前后呼应，例如重复小学学过的某些知识，努力把数、式、函数的知识紧密联系起来并使其前后呼应等；注意每章都让学生进行小结、复习和自测，以巩固并初步评估自己的学习效果；注意习题的层面、程度、类型和便于使用，还要求学生自己经过调查编制习题等。 三、证明一、证明二、证明三联系更加紧凑，密切