第二章 基本初等函数复习学案

第二章 基本初等函数复习学案

§2.1 一次、二次、反比例函数

【知识梳理】

一、掌握一次、二次、反比例函数的图象，并能理解图象、方程、不等式三者的关系.

【典例分析】

例1：（1）函数()lg[(1)2]f x a x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （2）函数2

()f x x ax =-在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是

（3）在右侧坐标系中画出函数3()1

x

f x x -=-的图象； 例2. 已知函数2

()(2)f x a x a =-+在区间[0,1]上恒为正值，则a 的取值范围是 ．

例3.（1）二次函数2

()f x ax bx =+满足条件(1)(3)f f -=,且函数存在最大值,则不等

式2

0ax bx +>的解集是

（2）已知二次函数2

()2 5 (1)f x x ax a =-+>，若函数的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值.

例4．分析函数()1

ax

f x x =-的单调性．

§２.2 指数与指数函数

【知识梳理】

一．根式与分数指数幂

1. 若n x a =，则x 叫做a 的n

次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根

（*1,n n N >∈且

）有如下恒等式：n a =

,||,a n a n ?=??为奇数

为偶数；

2.

规定正数的分数指数幂：m n

a =（0,,,1a m n N n *>∈>且）

3

。负分数指数幂：1m

n

m n

a

a

-=

=

（0,,,1a m n N n *>∈>且）

二、指数幂的运算律

m n a a = ()m n

a = m m

a b =

三、指数函数的性质

(1)x y a a => (01)x y a a =<<

图 像

定义域 值域 性 质

定点

单调性

值分布

典例分析】

例1 化简：（1）2115113366

22(2)(6)(3)a b a b a b -÷-= （2）24

3

819?= 例2 (1)函数()x b

f x a -=的图象如图，其中a 、b 为常数，则下列结论正确的是（ ）. A ．1,0a b >< B 1,0a b >>C ．01,0a b <<> D ．01,0a b <<< （2）在同一坐标系下，函数,,,x

x

x

x

y a y b y c y d ====的图象则

,,,,1a b c d 之间从小到大的顺序是__________．

例3. 比较下列各题中两个值的大小（用“<”或“>”填空）： (1) 2.51.7 31.7； (2) 0.10.8- 0.20.8-； (3)0.31.7 3.10.9

例4. 求下列函数的值域

（1）1

()()42x f x -=-

(2) 1

93 5 [1,2]x x y x +=++∈

（3）2221()2x x y --= (4)解不等式： 111

3042

x x -+->

§2.3 对数与对数函数

【知识梳理】

一．对数的概念与运算律

1. 定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数记作 log a x N =

2. 我们通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把常用对数10log N 简记为lg N

以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N （e=2.71828……）

3.对数与指数间的互化关系：当0,1a a >≠时，log b a N b a N =?=.

4. 负数与零没有对数；log 10a =， log 1a a =

5.对数的运算法则：

log () a M N =，log a

M

N =

，log n a M =， 6. 对数的换底公式log log log b a b N

N a =. 如果令N=b ，则得到了对数的倒数公式

log a b =

log log m n a a n N N m

=

二、对数函数

1.定义：一般地，当a ＞0且a ≠1时，函数a y=log x 叫做对数函数。

2.例1求下列各式的值：(1)91

log 52

9

-= (2) 21log 32.51

log 6.25lg

2100

+++= (3)3

3

(lg 2)(lg5)3lg 2lg5++= (4)已知log 2,log 3,a a m n ==则2m n

a +=

例2．（1）已知0x y z ≠，346x y z

==，求证

111

z

（2）已知18log 9,185b

a ==，用,a

b 表示36log 5例3．如右图是对数函数①log a y x =，②log b y =③log

c y x =，④log

d y x =的图象，则,,,a b c d 的大小关系是 例4．比较大小

（1）2log 3.4 2log 8.5（2）0.3log 1.8 0.3log 2.7 （3）6log 7 7log 6

（4）3log 2 2log 0.9（5）lg 0.1 ln 0.1 （6）30.4

0.4log 3 0.4 3

例5．求下列函数的值域:（1）2

lg(22)y x x =++；（2）()()1122

log 1log 3y x x =-++

（3）()22log log 2884

x x

y x =≤≤

例6．（1） 函数2

2log (2)y x x =++的单调增区间为 ，减区间为

（2） 函数2

lg(235)y x x =--的单调增区间为 ，减区间为

（3） 函数212

log (23)y x x =-++的单调增区间为 ，减区间为 （4）已知函数()2log 3y ax =-在[]0,2x ∈上是减函数，则实数a 的取值范围为 §2.4 幂函数

【知识梳理】

一． 幂函数的定义

1. 幂函数的基本形式是y x α=，其中x 是自变量，α是常数. 要求掌握y x =，2y x =，

3

y x =，1

2

y x =，1y x -=这五个常用幂函数的图象. 二、幂函数的图象和性质

（1）当0α>时，图象过定点(0,0),(1,1)；在(0,)+∞上是增函数. （2）当0α<时，图象过定点(1,1)；在(0,)+∞上是减函数；

在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.

【典例分析】

例1已知幂函数()y f x =的图象过点(27,3)，试讨论其单调性.

例2已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与、y 轴都没有公共点，且

2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．

第三章基本初等函数(1)导学案(人教B版)

3．1．1实数指数幂及其运算 【学习要点】1根式、分数指数幂的概念. 2分数指数的运算性质． 【学习要求】1理解根式和分数指数幂的概念及它们的运算性质．了解实数指数幂的意义。 2 会进行简单的运算。 【复习引入】 1 、相同因数相乘 个 n a aaa ???记作n a ，读作 ，a 叫做幂的 ， n 叫做幂的 。其中n 是正整数。 2、 正整数指数幂的性质：（1） （2） （3） （3） 【概念探究】阅读教材85页到88页例1，完成下列各题。 1、 指数概念的扩充：n a 中的n 可以扩展为整数。整数指数幂的性质为：（1） （2） （3） 。 2 、0a = ，n a -= 3、零指数幂和负整数指数幂都要求 。 4、 如果存在实数x ，使得(,1,)n x a a R n n N +=∈>∈，则x 叫作 。求a 的n 次方根，叫作把a 开n 次方，称作 。 5、规定正分数指数幂的定义是：（1） （2） 。 规定负分数指数幂的定义是： 。 规定0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂和0次幂 。规定了分数指数幂以后，指数的概念也就从整数指数扩展到了 指数。 6 、有理指数幂的运算性质有：（1） （2） （3） 。 完成教材89页1题 【例题解析】 例题1计算下列各式，并把结果化为只含正整数指数的形式（式子中的,0a b ≠） （1） 3221 2 3 (3) 9a b a b a b ------= （2）343 20 ()()[ ]()() a b a b a b a b --+--+(0,0)a b a b +≠-≠ 例题2化简下列各式 （1 2（2 3）102 0.5 2 3 1(2)2 (2 ) (0.01) 5 4 - -+?- 小结：化简，注意体会指数的运算性质。 例3： 化简：3 3 2 b a a b b a 练习：（1 【补充练习】 1、 化简，注意体会指数的运算性质： （1）2 2 2 5 2 4 3 2 ()()()a b a b a b --÷ （2）34 0.1 0.01 -- 3、 求值，注意体会分数指数幂与根式的转换： （1） 2 1.53(0.027)-； （2 ； （3 完成教材89页2题

(整理)基本初等函数教案.

第二章 基本初等函数指数和指数函数 考点回顾： 1．幂的有关概念 (1)正整数指数幂 )(*∈????=N n a a a a a n n 个 (2)零指数幂 )0(10 ≠=a a (3)负整数指数幂 ()10,n n a a n N a -* = ≠∈ (4) 正分数指数幂 ) 0,,,1m n a a m n N n *=>∈>； (5) 负分数指数幂 ) 10,,,1m n m n a a m n N n a -* = = >∈> (6)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质 ()() 10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()() 20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()() 30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3．根式的内容 （1）根式的定义:一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中() *∈>N n n ,1，n a 叫做根式， n 叫做根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，则a a n n =；当n 是偶数，则 ???<-≥==00a a a a a a n n ②负数没有偶次方根， ③零的任何次方根都是零 课堂练习: 1．下列四类函数中，具有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的是( ) A ．幂函数 B ．对数函数

C ．指数函数 D ．余弦函数 2． (2010·山东理，4)设f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝( ) A ．3 B ．1 C ．－1 D ．－3 3． (2010·重庆南开中学)已知f (x )＝a x ，g (x )＝b x ，当f (x 1)＝g (x 2)＝3时，x 1>x 2，则a 与b 的大小关系不可能成立．．．．． 的是( ) A ．b >a >1 B ．a >1>b >0 C ．01>a >0 4． (2010·辽宁，10)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) B ．10 C ．20 D ．100 5．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N * )都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( ) A ．a 3＋a 7>2a 5 B ．a 3＋a 7<2a 5 C ．a 3＋a 7＝2a 5 D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 6． (2010·青岛市质检)过原点的直线与函数y ＝2x 的图象交于A ，B 两点，过B 作y 轴的垂线交函数y ＝4x 的图象于点C ，若直线AC 平行于y 轴，则点A 的坐标是( ) A ．(1,2) B ．(2,4) C ．(1 2，2) D ．(0,1) 7. (2010·北京东城区)定义在 R 上的函数f (x )满足f (x )＝ ????? 21－x x ≤0 f x －1－f x －2 x >0 ，则f (－1)＝______，f (33)＝________. 8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1. (1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数． 9．已知关于x 的方程9x －2×3x ＋(3k －1)＝0有两个实数根，求实数k 的取值范围．

高一数学第二章基本初等函数知识点整理

必修1第二章基本初等函数(Ⅰ)知识点整理 〖2.1〗指数函数 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n n 次方根用符号0的n 次方根是0；负数 a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：n a =；当n a =；当n 为偶数时， (0) || (0) a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．②正数的负分数 指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底 数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r a b a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 （4）指数函数

〖2.2〗对数函数 【2.2.1】对数与对数运算 （1）对数的定义 ①若(0,1)x a N a a =>≠且，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，其中a 叫做底数，N 叫做真数． ②负数和零没有对数．③对数式与指数式的互化：log (0,1,0)x a x N a N a a N =?=>≠>． （2）几个重要的对数恒等式: log 10a =，log 1a a =，log b a a b =． （3）常用对数与自然对数：常用对数：lg N ，即10log N ；自然对数：ln N ，即log e N （其中 2.71828e =…） ． （4）对数的运算性质 如果0,1,0,0a a M N >≠>>，那么 ①加法：log log log ()a a a M N MN += ②减法：log log log a a a M M N N -= ③数乘： log log ()n a a n M M n R =∈ ④log a N a N = ⑤log log (0,)b n a a n M M b n R b =≠∈ ⑥换底公式：log log (0,1)log b a b N N b b a = >≠且 【2.2.2】对数函数及其性质 （5）对数函数

高中数学第二章基本初等函数Ⅰ疑难规律方法学案苏教版必修

第二章基本初等函数（Ⅰ） 1“函数”概念辨析 一、表达式相同的两个函数是不是同一函数？ 答很多同学容易把具有相同表达式的两个函数看作是同一个函数．其实，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题．例如，f(x)＝3x＋1(x∈R)与g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数． 二、定义域和值域分别相同的两个函数是否相等？ 答有些同学认为，两个函数的定义域和值域分别相同，那么这两个函数必相等．其实不然，例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0)，f(1)≠g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0)，故f(x)≠g(x)． 事实上，两个函数相等的意义也可叙述为：如果两个函数f(x)和g(x)的定义域为D，且对于任意x0∈D，都有f(x0)＝g(x0)，那么f(x)＝g(x)． 三、函数的定义域可以是空集吗？ 答教材中指出：“设A，B是非空的数集，……”．由此，不存在定义域为空集的函数．当函数存在(给定)时，则其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在． 四、y＝0是函数式吗？ 答很多同学都认为y＝0不是函数式，其理由是：函数定义中有两个变量x和y，而在y＝0中只有一个变量y. 从形式上来看，y＝0中只出现了一个变量y，但我们知道，0与任何实数的乘积仍为0，因此，变量y＝0就是y＝0·x，另一个变量x不是出现了吗？根据函数的定义，集合A＝{x|x∈R}显然满足函数的定义，即不论x取何值，y都有唯一确定的值0与之对应，因此，按函数的定义，y＝0是函数式．同理，对任意实数m，y＝m也是函数式，只要把它写成y＝m＋0·x就清楚了． 五、用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式吗？如果有，各解析式对自变量有何限制？函数定义域如何得到？ 答可以有两个或两个以上的解析式，这样的函数称为分段函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范围所确定的集合的并集． 六、为什么说函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相应就被确定了？

2011—2012学年数学人教A版必修1同步教学案：1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法

第一章 集合与函数概念 1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法 课时目标 1.掌握函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法.2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当方法表示函数． 函数的三种表示法 (1)解析法——用____________表示两个变量之间的对应关系； (2)图象法——用______表示两个变量之间的对应关系； (3)列表法——列出______来表示两个变量之间的对应关系． 一、选择题 1．一个面积为100 cm 2的等腰梯形，上底长为x cm ，下底长为上底长的3倍，则把它的高y 表示成x 的函数为( ) A ．y ＝50x (x >0) B ．y ＝100x (x >0) C ．y ＝50x (x >0) D ．y ＝100x (x >0) 2．一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．(至少打开一个水口) 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点 到6点不进水不出水．则正确论断的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．如果f (1x )＝x 1－x ，则当x ≠0时，f (x )等于( ) A.1x B.1x －1 C.11－x D.1x －1 4．已知f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )等于( ) A ．2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3 D ．2x ＋7 5．若g (x )＝1－2x ，f [g (x )]＝1－x 2x 2，则f (12 )的值为( )

A ．1 B ．15 C ．4 D ．30 6．在函数y ＝|x |(x ∈[－1,1])的图象上有一点P (t ，|t |)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形(如图阴影部分)的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为( ) 题 号 1 2 3 4 5 6 答 案 二、填空题 7．一个弹簧不挂物体时长12 cm ，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例．如果挂上3 kg 物体后弹簧总长是13.5 cm ，则弹簧总长y (cm)与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式为_________________________________________________________ _______________． 8．已知函数y ＝f (x )满足f (x )＝2f (1x )＋x ，则f (x )的解析式为____________． 9．已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为__________________． 三、解答题 10．已知二次函数f (x )满足f (0)＝f (4)，且f (x )＝0的两根平方和为10，图象过(0,3)点，求f (x )的解析式． 11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题： (1)比较f (0)、f (1)、f (3)的大小； (2)若x 1

必修一(第二章基本初等函数)导学案

2.1.1 指数与指数幂的运算（1） 学习目标 1．能说出n 次方根以及根式的定义； 能记住n 次方根的性质和表示方法； 2．记住根式有意义的条件并能用其求根式中字母的取值范围； 3．会运用两个常用等式进行根式的化简和求值。 （预习教材P 48～P 50，找出疑惑之处） 1. 概念 （1）n 次方根— 。 （2）根式— 。 2. n 次方根的表示： 3. 根式的性质 （1）=n n a )( （n ∈N ＊,n ＞1） (2) =n n a . 课中学习 探究新知（一） ① 如果 ，那么 就是4的________________； 如果 ，那么3就是27的_____________________； ② 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 如果 ，那么x 叫做a 的______________________； 422 =±）（） （2±27 33=a =2 x a x =3 a x =4

总结： 类比以上结论，一般地，如果 ，那么x 叫做a 的______________。 探究新知（二） 计算：① 64的3次方根；-32的5次方根。 ② 4的2次方根；16的4次方根；-81的4次方根。 ③ 0的n 次方根。 总结：n 次方根的性质和表示： 根式的定义： 理解新知： 根式 成立的条件是什么 探究新知（三） ① 根式 表示什么含义 ② 等式a a n n =是否成立试举例说明。 总结：常用等式 ① ② ※ 典型例题： 例1：求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 反思： ①若将例1（4）中的条件 改为 ，结果是__________； ②若将例1（4）中的条件 去掉，结果是_________________。 试试：若a ≥1,化简( ) ()()33 22 111a a a -+-+ -. ※ 学习小结 ①n 次方根的概念和表示；②n 次方根的性质；③运用两个常用等式进行根式的化简和求值。 a x n =() ? =n n a n a ()3 3 27-() 2 20-()4 4 4-π()2 b a -()a b >()a b >()a b ≤()a b >n a

基本初等函数 示范教案

第二章 基本初等函数（Ⅰ） 本章教材分析 教材把指数函数、对数函数、幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,从而让学生体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体的函数模型解决一些实际问题. 本章总的教学目标是:了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算;理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=a x 的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）,通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用;通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=log a x 的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）;知道指数函数y=a x 与对数函数y=log a x 互为反函数（a ＞0,a≠1）,初步了解反函数的概念和f -1(x)的意义;通过实例了解幂函数的概念,结合五种具体函数y=x,y=x 2,y=x 3,y=x -1,y=x 2 1的图象,了解它们的变化情况. 本章的重点是三种初等函数的概念、图象及性质,要在理解定义的基础上,通过几个特殊函数图象的观察,归纳得出一般图象及性质,这种由特殊到一般的研究问题的方法是数学的基本方法.把这三种函数的图象及性质之间的内在联系及本质区别搞清楚是本章的难点. 教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念,所举例子比较全面,有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用,并尽可能联系一些熟悉的事例,以丰富教学的情境创设.在学习对数函数的图象和性质时,教材将它与指数函数的有关内容作了比较,让学生体会两种函数模型的增长区别与关联,渗透了类比思想.建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.教材对反函数的学习要求仅限于初步的知道概念,目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习,教学中不宜对其定义做更多的拓展.教材对幂函数的内容做了削减,仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数,并且安排的顺序向后调整,教学中应防止增加这部分内容,以免增加学生的学习负担.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能.教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读. 本章教学时间约需14课时,具体分配如下（仅供参考） 2.1.1 指数与指数幂的运算 整体设计 教学分析 我们在初中的学习过程中,已了解了整数指数幂的概念和运算性质.从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上,类比出正数的n 次方根的定义,从而把指数推广到分数指数.进而推广到有理数指数,再推广到实数指数,并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂.

第二章 基本初等函数知识点

第二章 基本初等函数知识点 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N * ． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。 当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，???<≥-==) 0() 0(||a a a a a a n n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： ) 1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ， )1,,,0(1 1*>∈>= = -n N n m a a a a n m n m n m ◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += （2）rs s r a a =)( （3）s r r a a ab =)( （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．

注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上， )1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○ 2 x N N a a x =?=log ； ○ 3 注意对数的书写格式． 两个重要对数： ○ 1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○ 2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化 幂值 真数 （二）对数的运算性质 如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么： ○1 M a (log ·=)N M a log ＋N a log ； ○ 2 =N M a log M a log －N a log ；

苏教版版高考数学一轮复习第二章函数指数与指数函数教学案

１．根式 （１）n次方根的概念 １若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞１且n∈N*.式子错误!叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ２a的n次方根的表示 x n＝a? （２）根式的性质 １（错误!）n＝a（n∈N*，n＞１）． ２错误!＝错误! ２．有理数指数幂 （１）幂的有关概念 ３0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义． （２）有理数指数幂的运算性质 １a r a s＝a r＋s（a＞0，r，s∈Q）； ２（a r）s＝a rs（a＞0，r，s∈Q）； ３（ab）r＝a r b r（a＞0，b＞0，r∈Q）． ３．指数函数的图象与性质 y＝a x a＞１0＜a＜１

图象 定义域R 值域（0，＋∞） 性质 过定点（0,１） 当x＞0时，y＞１； 当x＜0时，0＜y＜１ 当x＞0时，0＜y＜１； 当x＜0时，y＞１在R上是增函数在R上是减函数 错误! １．指数函数图象的画法 画指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）的图象，应抓住三个关键点：（１，a），（0,１），错误!. ２．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数（１）y＝a x，（２）y＝b x，（３）y＝c x，（４）y＝d x的图象，底数a，b，c，d与１之间的大小关系为c＞d＞１＞a＞b＞0．由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝a x（a ＞0，a≠１）的图象越高，底数越大． ３．指数函数y＝a x（a＞0，a≠１）的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞１与0＜a ＜１来研究． [答案]（１）×（２）×（３）×（４）×

二、教材改编 １．函数f（x）＝２１—x的大致图象为（） A B C D A[f（x）＝２１—x＝错误!错误!，又f（0）＝２，f（１）＝１，故排除B，C，D，故选Ａ．]２．若函数f（x）＝a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点P错误!，则f（—１）＝________. 错误![由题意知错误!＝a２，所以a＝错误!， 所以f（x）＝错误!错误!，所以f（—１）＝错误!错误!＝错误!.] ３．化简错误!（x＜0，y＜0）＝________. [答案] —２x２y ４．已知a＝错误!错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，则a，b，c的大小关系是________．c＜b＜a[∵y＝错误!错误!是减函数， ∴错误!错误!＞错误!错误!＞错误!错误!， 则a＞b＞１， 又c＝错误!错误!＜错误!错误!＝１， ∴c＜b＜a.] 考点１指数幂的运算 指数幂运算的一般原则 （１）有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算． （２）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． （３）底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．（４）若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答．

山西省高中数学人教版必修1教学案：1.2函数的表示法

函数的表示法 【教学目标】 掌握函数的三种表示方法,通过函数的各种表示及其相互转化来加强对函数概念的理解. 【重点难点】 重点：函数的三种表示方法． 难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 【教学过程】 一、情景设置 我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，两个函数是否相同的判定方法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？ 、、。 二、探索研究 1．结合1.2.1的三个实例，讨论三种表示方法的定义: 解析法: 图像法： 列表法： 2．某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x). 思考：比较三种表示法，它们各自的特点是什么? 解析法的特点: 图像法的特点： 列表法的特点：

三、教学精讲 三种表示法应该注意什么？ ①函数图象既可以连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等； ②解析法：必须注明函数的定义域，否则使函数解析式有意义的自变量的取值范围是函数的定义域；不是所有的函数都能用解析法表示。 ③图像法：根据实际情景来决定是否连线； ④列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征。 例1．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级及班级平均分表： 请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析． 注意：本例为了研究学生的学习情况，将离散的点用虚线连接，这样更便于研究成绩的变化特点。 例2.已知f(x)为二次函数,且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x,求f(x)的解析式 答案:① f(x)=x2-2x-1

例3.①已知f(x+1)=x+2 x,求f(x)的解析式. ②已知f(x+1x )=x 2+1x 2+1 x ,求f(x)的解析 式 答案:①f(x)=x 2-1(x ≥1) ②f(x)=x 2-x+1(x ≠1) 四、课堂练习 1.已知f(x)是一次函数,且ff(x)]=4x-1,求f(x) 答案:f(x)=x-1 3 或f(x)=-2x+1 2.周长为l,的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆的框架（如 图），若矩形底边长为2x ，求此框架围城图形的面积y 关于的函数表达式，并写出它的定义域. 五、本节小结 函数的三种表示方法． 【教学后记】

第二章 基本初等函数复习学案

第二章 基本初等函数复习学案 §2.1 一次、二次、反比例函数 【知识梳理】 一、掌握一次、二次、反比例函数的图象，并能理解图象、方程、不等式三者的关系. 【典例分析】 例1：（1）函数()lg[(1)2]f x a x =-+在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （2）函数2 ()f x x ax =-在[1,)-+∞上是增函数，则a 的取值范围是 （3）在右侧坐标系中画出函数3()1 x f x x -=-的图象； 例2. 已知函数2 ()(2)f x a x a =-+在区间[0,1]上恒为正值，则a 的取值范围是 ． 例3.（1）二次函数2 ()f x ax bx =+满足条件(1)(3)f f -=,且函数存在最大值,则不等 式2 0ax bx +>的解集是 （2）已知二次函数2 ()2 5 (1)f x x ax a =-+>，若函数的定义域和值域都是[1,]a ，求实数a 的值. 例4．分析函数()1 ax f x x =-的单调性． §２.2 指数与指数函数 【知识梳理】 一．根式与分数指数幂 1. 若n x a =，则x 叫做a 的n 次方根，记为n >1，且n N *∈. n 次方根 （*1,n n N >∈且 ）有如下恒等式：n a = ,||,a n a n ?=??为奇数 为偶数； 2. 规定正数的分数指数幂：m n a =（0,,,1a m n N n *>∈>且） 3 。负分数指数幂：1m n m n a a -= = （0,,,1a m n N n *>∈>且） 二、指数幂的运算律 m n a a = ()m n a = m m a b = 三、指数函数的性质

数学1(必修)第二章：基本初等函数训练题A卷

数学1（必修）第二章 基本初等函数训练题A [基础训练A 组] 一、选择题 1．下列函数与x y =有相同图象的一个函数是（ ） A ．2 x y = B ．x x y 2 = C ．)10(log ≠>=a a a y x a 且 D ．x a a y log = 2．下列函数中是奇函数的有几个（ ） ①11x x a y a +=- ②2l g (1)33 x y x -=+- ③x y x = ④1l o g 1a x y x +=- A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．函数y x =3与y x =--3的图象关于下列那种图形对称( ) A ．x 轴 B ．y 轴 C ．直线y x = D ．原点中心对称 4．已知13x x -+=，则3 322x x - +值为（ ） A . B . C . D . - 5．函数y =的定义域是（ ） A ．[1,)+∞ B ．2(,)3+∞ C ．2[,1]3 D ．2 (,1]3 6．三个数60.70.70.76log 6，，的大小关系为（ ） A . 60.70.70.7log 66<< B . 60.70.70.76log 6<< C ．0.760.7log 660.7<< D . 60.70.7log 60.76<< 7．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3x e D ．34x e + 二、填空题 1．985316,8,4,2,2从小到大的排列顺序是 。 2．化简11410 104 848++的值等于__________。 3．计算：(log )log log 2222545415 -++= 。

基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案导学案有答案

§3.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课前预习学案 一．预习目标 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．预习内容 1．基本初等函数的导数公式表 2. （2 （常数与函数的积的导数，等于：） 三．提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

课内探究学案 一．学习目标 1．熟练掌握基本初等函数的导数公式； 2．掌握导数的四则运算法则； 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数二．学习过程 （一）。【复习回顾】 复习五种常见函数、、、、的导数公式填写下表 （二）。【提出问题，展示目标】 （ 2）根据 基本初 等函数的公式，求函数的 （1）与 （2）与

2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点 推论： （常数与函数的积的导数，等于：） 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号. （2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1） （2）； （3）； （4）； 【点评】 ①求导数是在定义域内实行的． ②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心． （四）．典例精讲 例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为，物价（单位：元）与时间（单位：年）有如下函数关系，其中为时的物价．假定某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到） 分析：商品的价格上涨的速度就是： 解： 变式训练1：如果上式中某种商品的，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到） 例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为时所需费用（单位：元）为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）（2） 分析：净化费用的瞬时变化率就是： 解： 比较上述运算结果，你有什么发现 三．反思总结： （1）分四组写出基本初等函数的导数公式表： （2）导数的运算法则： 四．当堂检测

最新职业技校文化课数学教案：基本初等函数数学

文化课数学教案：基本初等函数 一.教学目标 1.知识与技能 （1）理解指数与对数,指数函数与对数函数的联系. （2）能更加熟练地解决与指数函数,对数函数有关的问题. 2.过程与方法 通过提问,分析点评,让学生更能熟悉指数函数,对数函数的性质. 3.情感、态度、价值观 （1）提高学生的认知水平，为学生塑造良好的数学认识结构. （2）培养学生数形结合的思想观念及抽象思维能力. 二.重点、难点 重点：指数函数与对数函数的性质。 难点：灵活运用函数性质解决有关问题。 三、学法与教具 1、学法：讲授法、讨论法。 2、教具：投影仪。 四、教学设想 1、回顾本章的知识结构

2、指数与对数 指数式与对数式的互化 幂值 真数 b a ＝ N log a N ＝ b

底数 指数←→对数值 提问：在对数式中，a ，N ，b 的取值范围是什么？ 例1：已知54log 27＝a ，54b ＝3，用108,log 81a b 表示的值 解法1：由54b ＝3得54log 3＝b ∴108log 81＝5454log 81log 108＝54545454log 27log 3log 212log 272a b a b a +++==+-- 解法2：由54log 275427a ==得 设108log 81,10881x x ==则 所以21(5427)327x -?=? 即：2(5454)5454a x b a -?=? 所以25454,2x ax a b x ax a b -+=-=+即 因此得：2a b x a +=- （1）法1是通过指数化成对数，再由对数的运算性质和换底公式计算结果. 法2是通过对数化成指数，再由指数的运算性质计算出结果，但法2运算的技巧性较大。 2．指数函数与对数函数 问题1：函数log x x a y a y ==与中,a与x 分别必须满足什么条件.

人教版高中数学必修一-第二章-基本初等函数知识点总结

人教版高中数学必修一第二章基本初等函 数知识点总结 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念: 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,=0。 注意:(１)n a = (２)当 a = ，当 n 是偶数时,0 ||,0 a a a a a ≥?==?-∈>且 正数的正分数指数幂的意义：_1(0,,,1)m n m n a a m n N n a *= >∈>且 0的正分数指数幂等于０,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 (1)(0,,)r s r s a a a a r s R +=>∈ （2）()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ (3）(b)(0,0,)r r r a a b a b r R =>>∈ 注意：在化简过程中，偶数不能轻易约分;如122 [(1]11-≠ (二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数x y a = 叫做指数函数,其中x 是自变量，函数的定义域为Ｒ. 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1.即 a>0且a ≠１ 2a>1

注意： 指数增长模型：ｙ=N(1+p ）指数型函数： y=k ａ３ 考点：(１)ａb ＝N, 当ｂ>0时，a,N 在1的同侧；当b<0时，ａ，N 在1的 异侧。 （2)指数函数的单调性由底数决定的,底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较 幂的大小，同底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1（=a 0)进行传递或者利用（１）的知识。 （3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 (4)分辨不同底的指数函数图象利用a 1=ａ，用ｘ=1去截图象得到对应的底数。 (5)指数型函数:ｙ=Ｎ(１＋p)x 简写：y=ka x 二、对数函数 (一)对数 1.对数的概念:一般地，如果x a N = ,那么数ｘ 叫做以ａ 为底N 的对数，记作：log a x N = （ ａ— 底数， N — 真数，log a N — 对数式） 说明：1. 注意底数的限制,a>0且ａ≠1;2. 真数N>０ 3． 注意对数的书写格式. 2、两个重要对数： （1）常用对数：以1０为底的对数， 10log lg N N 记为 ; (2)自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 , log ln e N N 记为． 3、对数式与指数式的互化 log x a x N a N =?= 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:（1)负数和零没有对数

人教B版数学高一版必修一本章整合学案第二章函数

本章整合 知识网络 专题探究 专题一 函数的定义域、值域问题 1．确定函数定义域的主要依据 (1)当f (x )是整式时，定义域为R ； (2)当f (x )是分式时，定义域是使分母不等于0的x 的取值集合； (3)当f (x )是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负值的x 的取值集合； (4)当f (x )是零指数幂时，定义域是使幂的底数非零的x 的取值集合； (5)当f (x )表示实际问题中的函数关系时还应考虑在此实际问题中x 取值的实际意义． 2．函数的值域由函数的对应法则及定义域确定，求函数值域常用的方法 (1)配方法；(2)分离常数法；(3)图象法；(4)换元法；(5)单调性法；(6)判别式法等． 【应用1】 求下列函数的定义域： (1)函数y 0的定义域为__________； (2)若函数f (x ＋1)的定义域为[－2,3]，则函数y ＝f (2x －1)的定义域为__________． 解析：(1)∵由100x x x ≠???>??＋， －， 得x ＜0，且x ≠－1， ∴函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1,0)． (2)∵f (x ＋1)的定义域是[－2,3]， ∴－2≤x ≤3，∴－1≤x ＋1≤4，

即f(x)的定义域是[－1,4]． 又∵－1≤2x－1≤4，∴0≤x≤5 2 . ∴y＝f(2x－1)的定义域为 5 0, 2?????? . 答案：(1)(－∞，－1)∪(－1,0)(2) 5 0, 2?????? 【应用2】(1)函数y＝31 21 x x - + 的值域为__________； (2)函数y＝2x－1 __________． 解析：(1)∵y＝31 21 x x - + ＝ 35 (21) 22 21 x x +- + ＝ 3 2 － 5 2 21 x+ ， 又∵2x＋1≠0，∴ 5 2 21 x+ ≠0.∴y≠ 3 2 . ∴函数的值域为 3 2 y y ?? ≠ ???? . (2)由题意得函数的定义域为 13 , 4 ?? -∞ ??? . ∵y＝2x－1在 13 , 4 ?? -∞ ? ?? 在 13 , 4 ?? -∞ ? ?? 上是减函数，∴y＝2x－1 在 13 , 4 ?? -∞ ? ?? 上为增函数， ∴当x＝13 4 时，y有最大值 11 2 . ∴该函数的值域为 11 , 2 ?? -∞ ??? . 答案：(1) 3 2 y y ?? ≠ ?? ?? (2) 11 , 2 ?? -∞ ? ?? 专题二函数图象的应用 函数的图象是变量间的直观反映，能较形象地分析出变量间的变化趋势，更是研究函数性质(最值、单调性)的有力工具，并且函数图象的应用正是体现了数形结合的重要思想，如果能够将抽象的数学语言与直观的几何图形有机结合起来，就能促使抽象思维和形象思维的和谐统一，通过对规范图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使

人教版 高中数学 选修2-2 1.2.1基本初等函数的导数公式学案

人教版高中数学精品资料 1．2 导数的计算 1．2.1 基本初等函数的导数公式 1．掌握各基本初等函数的求导公式． 2．能根据导数定义，求几个常用函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2 ，y ＝1x 的导数． 3．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 基础梳理 1．几个常用函数的导数. 解析：几何意义：表示在函数y ＝x 的图象上每一点处的切线的斜率都为1； 物理意义：若y ＝x 表示路程关于时间的函数，则f ′(x )＝1表示物体的瞬时速度始终为1，即物体做匀速直线运动． 2．基本初等函数的导数公式.

想一想：(1)计算过程：? ????cos 6′＝－sin 6＝－2，正确吗？ (2)已知f (x )＝x 2 ，则f ′(3)＝________． (1) 解析：不正确，因为cos π6＝3 2 ，为常数，而常数的导数为0. (2) 解析：因为f ′(x )＝2x ，所以f ′(3)＝2×3＝6. 自测自评 1．下列各式正确的是(D ) A ．(log a x )′＝1x B ．(log a x )′＝ln 10 x C ．(3x )′＝3x D ．(3x )′＝3x ln 3 2．已知函数f (x )＝? ?? ??12x ，则函数图象在x ＝0处的切线方程为(B ) A ．x ln 2－y －1＝0 B ．x ln 2＋y －1＝0 C ．x ＋y ln 2－1＝0 D ．x －y ln 2－1＝0 解析：f ′(x )＝??????? ????12x ′＝? ????12x ln 12＝－? ????12x ln 2；所以切线的斜率为k ＝f ′(0)＝－ ln 2，又切点坐标为(0，1)，则切线方程为y －1＝－x ln 2，即x ln 2＋y －1＝0.故选B. 3．下列结论中正确的个数为(D ) ①y ＝ln 2，则y ′＝12；②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－2 27； ③y ＝2x ，则y ′＝2x ln 2；④y ＝log 2x ，则y ′＝ 1 x ln 2 .