湖北省恩施州巴东县2018-2019学年九年级(下)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年九年级（下）期中数学试卷

一．选择题（共12小题）

1．tan45°的值等于（）

A．B．C．1 D．

2．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝18 D．（x﹣3）2＝18 3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+2的顶点坐标为（）

A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）

4．一张矩形纸片在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（）A．正方形B．平行四边形C．矩形D．等边三角形

5．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）

A．B．C．D．

6．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的周长比为：1，则△DEF与△ABC的面积比为（）A．1：2 B．2：1 C．：1 D．1：

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．75°

8．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A．2 B．1 C．D．

9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2，且x1x2＞0，那么y1与y2的大小关系是（）

A．y1＞y2 B．y2＞y1 C．y1＜y2 D．y2＜y1

10．如图，在边长为1的正方形网格中，B、C、F为格点，则sin C的值为（）

A．B．C．1 D．

11．CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为点P．若CD＝4，OP＝1，AB的值为（）

A．3 B．5 C．D．2

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：

①＞0：②ac＝b﹣1；③4a+c＞0；④b≠2．

其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

二．填空题（共4小题）

13．点O为正方形ABCD对角线的交点，若正方形以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则正方形ABCD旋转的最小角度是．

14．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为．

15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动，其速度均为2cm/s，s后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半．

三．解答题（共8小题）

17．（1）计算：﹣（﹣sin30°）﹣1﹣|1﹣4tan60°|

（2）先化简，后求值：﹣1﹣a．其中，a＝3﹣2cos60°．

18．（1）如图1，矩形ABCD是由两个边长为1的正方形构成．请你剪两刀后拼成一个与矩形ABCD面积相等的正方形．

（2）如图2，矩形EFGH的长FG为6，宽EF为4，用剪刀剪两次，然后将其拼接成一个与矩形EFGH面积相等的正方形，画出裁剪线及拼接后的图形，简要说明裁剪线是如何确定的．如果你没有想到好方法，不用急，请沉着应对．细读下列数学事实或许对你解决有帮助．

（3）如图3，在⊙O中，MN为直径，PQ⊥MN，垂足为点Q，交⊙O于点P，连结PM、PN．易证明PQ2＝MQ?NQ．此结论可直接运用．

19．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”

的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．

20．如图，直线y＝ax﹣a与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，与x轴交于点D，与y 轴交于点E，AC⊥y轴，垂足为点C．已知S△ACD＝2，B（﹣1，m）

（1）直接写出a与k的值．

（2）求△ABC的面积．

21．如图，两座建筑物的水平距离CD＝60m，从点B测得点A的俯角∠MBA为30°，测得点C的俯角∠MBC为38°．求这两座建筑物的高度．参考数据：sin38°＝0.62，cos38°≈0.79，tan38°＝0.78，≈1.73，≈1.41．

22．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积．

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．

（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

23．如图，AC为⊙O的直径，MN为⊙O的切线，点D为切点，连结AD．直线MN 与直线AC交于点B，过点A作AE⊥MN，垂足为E．

（1）求证：AD平分∠EAB．

（2）求证：AD2＝AG?AB．

（3）若AE＝6，BE＝8，求BC的长．

24．如图1，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，4），在x轴上有一动点D（m，0）（0＜m＜4），过点D作x轴的垂线交直线AB于点C，交抛物线于点E，

（1）直接写出抛物线和直线AB的函数表达式．

（2）当点C是DE的中点时，求出m的值，并判定四边形ODEB的形状（不要求证明）．（3）在（2）的条件下，将线段OD绕点O逆时针旋转得到OD′，旋转角为α（0°＜a

＜90°），连接D′A、D′B，求D′A+D′B的最小值．

参考答案与试题解析

一．选择题（共12小题）

1．tan45°的值等于（）

A．B．C．1 D．

【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．

【解答】解：tan45°＝1．

故选：C．

2．用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣9＝0，下列变形正确的是（）A．（x+3）2＝0 B．（x﹣3）2＝0 C．（x+3）2＝18 D．（x﹣3）2＝18 【分析】把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数1的一半的平方．【解答】解：x2﹣6x﹣9＝0，

x2﹣6x+9＝18，

（x﹣3）2＝18．

故选：D．

3．抛物线y＝﹣（x﹣2）2+2的顶点坐标为（）

A．（﹣2，2）B．（2，﹣2）C．（﹣2，﹣2）D．（2，2）

【分析】根据抛物线y＝﹣（x﹣2）2+2，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．

【解答】解：∵抛物线y＝﹣（x﹣2）2+2，

∴该抛物线的顶点坐标为（2，2），

故选：D．

4．一张矩形纸片在太阳光的照射下，在地面上的投影不可能是（）A．正方形B．平行四边形C．矩形D．等边三角形【分析】根据平行投影的性质求解可得．

【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是等边三角形，故选：D．

5．将一根圆柱形的空心钢管任意放置，它的主视图不可能是（）

A．B．C．D．

【分析】根据三视图的确定方法，判断出钢管无论如何放置，三视图始终是下图中的其中一个，即可．

【解答】解：∵一根圆柱形的空心钢管任意放置，

∴不管钢管怎么放置，它的三视图始终是，，，主视图是它们中一个，

∴主视图不可能是．

故选：A．

6．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的周长比为：1，则△DEF与△ABC的面积比为（）A．1：2 B．2：1 C．：1 D．1：

【分析】根据相似三角形的周长的比等于相似比求出相似比，再根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方列式计算即可得解．

【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且△ABC与△DEF的周长比为：1，

∴△ABC与△DEF的相似比为：1，

∴△DEF与△ABC的周长比为1：，

∴△DEF与△ABC的面积比1：2．

故选：A．

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝，AC＝，则∠B的度数为（）A．30°B．60°C．45°D．75°

【分析】求出∠B的正切值，根据特殊锐角的三角函数值，即可得到∠B的度数．

【解答】解：∵tan B＝＝＝，

∴∠B＝60°，

故选：B．

8．已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）

A．2 B．1 C．D．【分析】根据题意可以求得半径，进而解答即可．

【解答】解：如图（1），

O为△ABC的中心，

AD为△ABC的边BC上的高，

则OD为边心距，

∴∠BAD＝30°，

又∵AO＝BO，

∴∠ABO＝∠BAD＝30°，

∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，

在Rt△OBD中，

BO＝2DO，

即AO＝2DO，

∴OD：OA：AD＝1：2：3．

在正△ABC中，AD是高，设BD＝x，则AD＝BD?tan60°＝BD＝x．∵正三角形ABC面积为cm2，

∴BC?AD＝，

∴×2x?x＝，

∴x＝1．

即BD＝1，则AD＝，

∵OD：OA：AD＝1：2：3，

∴AO＝cm．

即这个圆的半径为cm．

所以该圆的内接正六边形的边心距×sin60°＝，故选：B．

9．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y＝的图象上，若x1＜x2，且x1x2＞0，那么y1与y2的大小关系是（）

A．y1＞y2 B．y2＞y1 C．y1＜y2 D．y2＜y1

【分析】根据k的值判断此函数图象所在的象限，根据此函数的增减性即可解答．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在一，三象限，在每一象限内y随x的增大而减小，

∵x1x2＞0，

∴点A（x1，y1），B（x2，y2）两点位于同一象限，

∵x1＜x2，

∴y1＞y2．

故选：A．

10．如图，在边长为1的正方形网格中，B、C、F为格点，则sin C的值为（）

A．B．C．1 D．

【分析】利用网格得出∠C是特殊的锐角，即∠C＝45°，进而可求出其正弦值．

【解答】解：根据网格的性质，可得∠C＝45°，

∴sin C＝sin45°＝，

故选：A．

11．CD是⊙O的弦，AB是直径，且CD⊥AB，垂足为点P．若CD＝4，OP＝1，AB的值为（）

A．3 B．5 C．D．2

【分析】根据垂径定理和勾股定理即可得到结论．

【解答】解：∵CD⊥AB，CD＝4，

∴CP＝2，

连接OC，

∵OP＝1，

∴OC＝＝＝，

∴AB＝2OC＝2，

故选：D．

12．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB＝OC．下列结论：

①＞0：②ac＝b﹣1；③4a+c＞0；④b≠2．

其中正确的个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．

【解答】解：抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴左侧，a、b同号，因此b＞0，与y

轴交点在负半轴，因此c＜0，因此＜0，故①不正确；

抛物线y＝ax2+bx+c的图象与y轴交点C的坐标为（0，c），又OB＝OC，因此点B（﹣c，0），代入y＝ax2+bx+c得，ac2﹣bc+c＝0，即，ac＝b﹣1，因此②正确；

把A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c得，4a﹣2b+c＝0，即4a+c＝2b，又b＞0，因此4a+c ＞0，故③正确；

由ac＝b﹣1，4a+c＝2b，若b＝2，则ac＝1，4a+c＝4，解得c＝2＞0，与题意不符，因此b≠2，故④正确；

因此正确的有②③④，

故选：C．

二．填空题（共4小题）

13．点O为正方形ABCD对角线的交点，若正方形以点O为旋转中心旋转后能与原来的图形重合，则正方形ABCD旋转的最小角度是90°．

【分析】求出正方形的旋转角的度数，再根据旋转对称图形的性质解答．

【解答】解：∵正方形ABCD的旋转角＝360°÷4＝90°，

∴至少旋转90度才能与原图形重合．

故答案为：90°．

14．如图，已知点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则的值为 2 ．

【分析】作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，利用反比例函数图象上点的坐标特征和三角形面积公式得到S△OAC＝，S△OBD＝2，再证明Rt△AOC∽Rt△OBD，然后利用相似三角形的性质得到的值．

【解答】解：作AC⊥y轴于C，BD⊥y轴于D，如图，

∵点A、B分别在反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象上，

∴S△OAC＝×1＝，S△OBD＝×|﹣4|＝2，

∵OA⊥OB，

∴∠AOB＝90°

∴∠AOC+∠BOD＝90°，

∴∠AOC＝∠DBO，

∴Rt△AOC∽Rt△OBD，

∴＝（）2＝，

∴＝．

∴＝2．

故答案为2．

15．如图，在边长为1的正方形网格中，点A、B、C、D、E均为格点，则∠ADB+∠AEB＝45°．

【分析】根据勾股定理得到AC＝＝，求得＝，根据相似三角形的性质得到∠ADB＝∠CAE，根据三角形外角的性质即可得到结论．

【解答】解：∵AC＝＝，CD＝1，CE＝2，

∴＝，＝＝，

∴＝，

∵∠ACD＝∠ECA，

∴△ACD∽△ECA，

∴∠ADB＝∠CAE，

∴∠ADB+∠AEB＝∠AEB+∠CAE＝∠ACB＝45°，

故答案为：45°．

16．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6cm，AC＝8cm，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC、BC方向向点C匀速运动，其速度均为2cm/s， 1 s后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半．

【分析】设xs后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半，根据三角形的面积公式结合△PCQ 的面积是△ABC面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．

【解答】解：设xs后，△PCQ的面积是△ABC面积的一半．

依题意，得：（6﹣2x）（8﹣2x）＝××6×8，

整理，得：x2﹣7x+6＝0，

解得：x1＝1，x2＝6（不合题意，舍去）．

故答案为：1．

三．解答题（共8小题）

17．（1）计算：﹣（﹣sin30°）﹣1﹣|1﹣4tan60°|

（2）先化简，后求值：﹣1﹣a．其中，a＝3﹣2cos60°．

【分析】（1）先利用特殊角的三角函数值得到原式＝2﹣（﹣）﹣1﹣|1﹣4|，然后根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算；

（2）先通分得到原式＝，再根据特殊角的三角函数值计算出a的值，然后把a的值代入计算即可．

【解答】解：（1）原式＝2﹣（﹣）﹣1﹣|1﹣4|

＝2﹣（﹣2）+1﹣4

＝2+2+1﹣4

＝3﹣2；

（2）原式＝

＝，

当a＝3﹣2×＝3﹣时，原式＝＝2+．

18．（1）如图1，矩形ABCD是由两个边长为1的正方形构成．请你剪两刀后拼成一个与矩

形ABCD面积相等的正方形．

（2）如图2，矩形EFGH的长FG为6，宽EF为4，用剪刀剪两次，然后将其拼接成一个与矩形EFGH面积相等的正方形，画出裁剪线及拼接后的图形，简要说明裁剪线是如何确定的．如果你没有想到好方法，不用急，请沉着应对．细读下列数学事实或许对你解决有帮助．

（3）如图3，在⊙O中，MN为直径，PQ⊥MN，垂足为点Q，交⊙O于点P，连结PM、PN．易证明PQ2＝MQ?NQ．此结论可直接运用．

【分析】（1）如图1所示，分别沿AE，DE各剪一刀，即可拼成与原矩形面积相等的正方形AEDF；

（2）如图2﹣1，延长GF至M，使MF＝EF＝4，作以MG为直径的圆，延长FE交圆于点N，由射影定理可知NF2＝MF?GF＝EF?GF＝24，如图2﹣2，以F为圆心，FN为半径作圆，交矩形EH边于点Q，过G作GK⊥FQ于点K，沿FQ，GK剪开后可拼成正方形KGPO，且S正

＝24．

方形KGPO

【解答】解：（1）如图1所示，分别沿AE，DE各剪一刀，即可拼成与原矩形面积相等的正方形AEDF；

（2）如图2﹣1，延长GF至M，使MF＝EF＝4，

作以MG为直径的圆，延长FE交圆于点N，

由射影定理可知NF2＝MF?GF＝EF?GF＝24，

∴S正方形＝S矩形＝24，

如图2﹣2，以F为圆心，FN为半径作圆，交矩形EH边于点Q，过G作GK⊥FQ于点K，沿FQ，GK剪开后可拼成正方形KGPO，且S正方形KGPO＝24．

19．学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”

的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行了调查，并将调查结果分为了三类：A：好，B：中，C：差．

请根据图中信息，解答下列问题：

（1）求全班学生总人数；

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整；

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率．

【分析】（1）由A类人数及其所占百分比可得总人数；

（2）总人数减去A、B的人数求得C类人数，再分别用B、C的人数除以总人数可得对应百分比，据此即可补全图形；

（3）列表得出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．

【解答】解：（1）全班学生总人数为10÷25%＝40（人）；

（2）∵C类人数为40﹣（10+24）＝6，

∴C类所占百分比为×100%＝15%，B类百分比为×100%＝60%，

补全图形如下：

（3）列表如下：

A B B C

A BA BA CA

B AB BB CB

B AB BB CB

C AC BC BC

由表可知，共有12种等可能结果，其中全是B类的有2种情况，

所以全是B类学生的概率为＝．

20．如图，直线y＝ax﹣a与双曲线y＝（k＞0）交于A、B两点，与x轴交于点D，与y 轴交于点E，AC⊥y轴，垂足为点C．已知S△ACD＝2，B（﹣1，m）

（1）直接写出a与k的值．

（2）求△ABC的面积．

【分析】（1）由知S△ACD＝2，可得矩形OMAC的面积为4，进而确定k的值，从而确定反比例函数的关系式，把点B坐标代入可求出m的值，确定点B的坐标，代入一次函数的关系式确定a的值；

（2）一次函数、反比例函数的关系式联立方程组求出解即可确定点A的坐标，根据三角形的面积公式进行计算即可．

【解答】解：（1）过点A作AM⊥x轴，垂足为M，

则S矩形OMAC＝2S△ACD＝4＝k，

∴反比例函数的关系式为y＝，

把x＝﹣1代入得y＝﹣4，因此点B（﹣1，﹣4），代入y＝ax﹣a得，﹣4＝﹣a﹣a，解得，a＝2，

答：a＝2，k＝4；

（2）由题意得，

，解得，，，

∴A（2，2），

∴S△ABC＝×2×（2+4）＝6．

21．如图，两座建筑物的水平距离CD＝60m，从点B测得点A的俯角∠MBA为30°，测得点C的俯角∠MBC为38°．求这两座建筑物的高度．参考数据：sin38°＝0.62，cos38°≈0.79，tan38°＝0.78，≈1.73，≈1.41．

【分析】构造直角三角形，利用锐角三角函数，求出BD，BN即可．

【解答】解：过点A作AN⊥BD，垂足为N，

∵∠MBA＝30°，∠MBC＝38°，

∴∠BAN＝30°，∠BCD＝38°，

在Rt△BDC中，BD＝tan38°×CD≈0.78×60＝46.8m，

在Rt△BAN中，BN＝tan30°×CD≈×60＝34.6m，

∴AC＝ND＝BD﹣BN＝46.8﹣34.6＝12.2m，

答：这两座建筑物的高度分别为AC＝12.2m，BD＝46.8m．

22．如图1，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米．（1）用含a的式子表示花圃的面积．

（2）如果通道所占面积是整个长方形空地面积的，求出此时通道的宽．

（3）已知某园林公司修建通道、花圃的造价y1（元）、y2（元）与修建面积x（m2）之间的函数关系如图2所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过10米，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为多少元？

【分析】（1）用含a的式子先表示出花圃的长和宽后利用其矩形面积公式列出式子即可；

（2）根据通道所占面积是整个长方形空地面积的，列出方程进行计算即可；

（3）根据图象2，设出通道和花圃的解析式，用待定系数法求解y与x的函数关系式，再建立x与a的函数关系，进而得出y与a的函数关系式，再根据实际问题写出自变量的取值范围即可．

【解答】解：（1）由图可知，花圃的面积为（40﹣2a）（60﹣2a）；

（2）由已知可列式：60×40﹣（40﹣2a）（60﹣2a）＝×60×40，

解以上式子可得：a1＝5，a2＝45（舍去），

答：所以通道的宽为5米；

（3）设修建的道路和花圃的总造价为y，通道宽为a；