专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固(知识讲解)八年级数学下册基础知识专项讲练(苏科版)

专题11.7 《反比例函数》全章复习与巩固（知识讲解）

【学习目标】

1．使学生理解并掌握反比例函数的概念，能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式()0k

y k x

=

≠，能判断一个给定函数是否为反比例函数； 2．能描点画出反比例函数的图象，会用待定系数法求反比例函数的解析式； 3．能根据图象数形结合地分析并掌握反比例函数()0k

y k x

=≠的性质，能利用这些性质分析和解决一些简单的实际问题. 【要点梳理】

要点一、反比例函数的概念

一般地，形如k

y x

=

(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.

特别说明：在k

y x

=

中，自变量x 的取值范围是，k y x

=

()可以写成

(

)的形式，也可以写成

的形式.

要点二、反比例函数解析式的确定

反比例函数解析式的确定方法是待定系数法.由于反比例函数k

y x

=

中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.

要点三、反比例函数的图象和性质 1.反比例函数的图象

反比例函数()0k

y k x

=

≠的图象是双曲线，

它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限．它们关于原点对称，反比例函数的图象与x 轴、y 轴都没有交点，

即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交． 特别说明：

观察反比例函数

的图象可得：x 和y 的值都不能为0，并且图象既是轴

对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，对称中心是坐标原点．

①)0(≠=k x

k

y 的图象是轴对称图形，对称轴为x y x y -==和两条直线； ②)0(≠=k x

k

y 的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）

； ③x

k

y x k y -==

和(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x 轴对称，也关于y 轴对称.

注：正比例函数x k y 1=与反比例函数x

k y 2

=

， 当021?k k 时，两图象必有两个交点，且这两

个交点关于原点成中心对称.

2.反比例函数的性质

（1）图象位置与反比例函数性质

当0k >时，x y 、同号，图象在第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小；当0k <时，x y 、异号，图象在第二、四象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而增大.

（2）若点(a b ，)在反比例函数k

y x

=的图象上，则点（a b --，）也在此图象上，故反比例函数的图象关于原点对称.

（3）正比例函数与反比例函数的性质比较

（4）反比例函数y＝中k的意义

①过双曲线

x

k

y=(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为k.

②过双曲线

x

k

y=(k≠0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的

面积为

2

k

.

要点四、应用反比例函数解决实际问题须注意以下几点

1．反比例函数在现实世界中普遍存在，在应用反比例函数知识解决实际问题时，要注意将实际问题转化为数学问题.

2．列出函数关系式后，要注意自变量的取值范围.

【典型例题】

类型一、确定反比例函数的解析式

1、（2020·广西梧州市·）已知反比例函数y＝

k

x

（k≠0）的图象经过点（﹣2，8）．求这个反比例函数的解析式．

【答案】y＝

16

x

-

【分析】

把点（﹣2，8）代入解析式根据待定系数法即可得解． 解：∵反比例函数y ＝

k

x

（k ≠0）的图象经过点（﹣2，8）． ∵8＝

2

k

-， ∵k ＝﹣16，

∵反比例函数的解析式为y ＝16x

-

． 【点拨】本题主要考查求解反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求解函数解析式是解题的关键． 举一反三：

【变式】（2020·临武县南强乡中学九年级月考）反比例函数k

y x

=的图象经过点A （2，-8）．

（1）求这个函数的表达式；

（2）请判断点B （-4，4）是否在这个反比例函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）16

y x

=-（2）在这个反比例函数的图象上，理由见解析 【分析】

（1）把点A 的坐标代入函数解析式来求k 的值； （2）把点B 的坐标代入函数解析式进行验证． 解：（1）∵反比例函数k

y x

=

的图象经过点A （2，-8）， ∵82

k -=

， 解得 k ＝?16．

则该函数解析式为：16y x

=-

； （2）点B （-4，4）在这个反比例函数的图象上，理由如下：

由（1）知，函数解析式为：16y x

=-． ∵当x ＝?4时，16

4

y =-

-＝4， ∵点B （-4，4）在这个反比例函数的图象上．

【点拨】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征．经过函数的某点一定在函数的图象上．

类型二、反比例函数的图象及性质

2、（2021·山东淄博市·九年级期末）已知反比例函数2

y x

=-，则该反比例函数的图象经过哪几个象限( ) A ．一、二象限 B ．一、三象限

C ．二、三象限

D ．二、四象限

【答案】D

【分析】根据反比例函数的图象和性质，即可得到答案． 解：

反比例函数2

y x

=-

中20k =-<， ∴图象位于二、四象限，

故选：D ．

【点拨】本题考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是了解比例系数的符号与图形位置的关系，难度不大． 举一反三：

【变式】 （2021·山东潍坊市·九年级期末）已知正比例函数1y k x =和反比例函数2

k y x

=，在同一直角坐标系下的图象如图所示，其中满足120k k ?>且10k <的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【分析】根据120k k ?>可知1k 和2k 同号，再由10k <得到20k <即可求解． 解：由题意可知120k k ?>，故1k 和2k 同号，又10k <得到20k <， 此时正比例函数1y k x =经过第二、四象限，反比例函数2

k y x

=在 第二、四象限，故选项D 正确； 故选：D ．

【点拨】本题考查了正比例函数与反比例函数的图像及性质，属于基础题，熟练掌握图像性

质是解决本题的关键．

3、（2021·湖南怀化市·九年级期末）若()()()1233,,2,,1,A y B y C y --三点都在函数

1

y x

=-的图象上，则123y y y ，，的大小关系是（ ）

A ．123

y y y << B ．123y y y >>

C ．132 y y y <<

D ．无法确定

【答案】A

【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值，比较后即可得出结论．

解：∵点A （3，y 1），B （-2，y 2），C （-1，y 3）在反比例函数1

y x

=-

的图象上， ∵y 1=13

-，y 2=1

2，y 3=1， 又∵13-＜1

2

＜1，

∵y 1＜y 2＜y 3．

故选择：A ．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y 1、y 2、y 3的值是解题的关键． 举一反三：

【变式1】 （2021·福建省福州杨桥中学九年级月考）已知点()()1122,,,x y x y 是反比例函数

5

y x

=

图象上的两点，且120x x <<，则1y 、2y 的大小关系是（ ） A ．120y y << B ．210y y <<

C ．120y y <<

D ．210y y <<

【答案】B

【分析】根据反比例函数系数的正负判断它的增减性． 解：∵反比例函数5

y x

=

的系数大于0， ∵在第一象限内，y 随着x 的增大而减小， ∵120x x <<， ∵120y y >>． 故选：B ．

【点拨】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是掌握反比例函数的增减性． 【变式2】已知＞b a ,且,0,0,0≠+≠≠b a b a 则函数b ax y +=与x

b

a y +=

在同一坐标系中的图象不可能是( ) .

【答案】B ；

提示：因为从B 的图像上分析，对于直线来说是<0,0a b <，则0a b +<，对于反比例函数来说，0a b +>，所以相互之间是矛盾的，不可能存在这样的图形.

4、 （2021·安徽合肥市·九年级期末）如图，反比例函数k

y x

=

的图象经过矩形ABCD 的顶点D 和BC 边上中点E ，若△CDE 面积为2，则k 的值为_______

【答案】8

【分析】设E 的坐标是（m ，n ），k ＝mn ，则C 的坐标是（m ，2n ），求得D 的坐标，然后根据三角形的面积公式求得mn 的值，即k 的值．

解：设E 的坐标是（m ，n ），则k ＝mn ，点C 的坐标是（m ，2n ），

在y ＝

mn

x

中，令y ＝2n ， 解得：x ＝

2

m ， ∵S ∵CDE ＝2， ∵

12|n|?|m?2m |＝2，即1

2n×2

m ＝2， ∵mn ＝8． ∵k ＝8． 故答案是：8．

【点拨】本题考查了反比例函数与矩形的综合，设E 的坐标是（m ，n ），利用m ，n 表示出三角形的面积是关键． 举一反三：

【变式】 （2020·成都市锦江区四川师大附属第一实验中学九年级月考）在平面直角坐标系中，正方形ABCD 如图摆放，点A 的坐标为(1,0)-，点B 坐标为(0,2)，点D 在反比例函

数 (0)k

y k x

=

<图象上，将正方形沿x 轴正方向平移m 个单位长度后，点C 恰好落在该函数图象上，则m 的值是_______．

【答案】1

【分析】作DE∵x 轴于E ，CF∵y 轴于F ，如图，先证明∵ADE∵∵BAO 得到DE=OA=1，AE=OB=2，则D （-3，1），用同样方法可得C （-1，3），再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=-3，再计算出函数值为3所对应的自变量的值，然后确定平移的距离． 解：作DE x ⊥轴于,

E C

F y ⊥轴于F ，如图，

∵四边形ABCD 为正方形，

,90AD AB DAB ?∴=∠=，

90EAD BAO ?∴∠+∠=，

而90EAD ADE ?∠+∠=， BAO ADE

∴∠=∠，

在ADE 和BAO 中

AED AOB ADE BAO AD BA ∠=∠??

∠=∠??=?

， ADE BAO ∴≌，

1,2DE OA AE OB ∴====，

(3,1)D ∴-，

同理可得CBF BAO ≌，

1,2BF OA CF OB ∴====， (2,3)C ∴-，

∵点D 在反比例函数(0)k

y k x

=

<图象上， 313k ∴=-?=-，

C 点的纵坐标为3，

而3y =时，则3

3x

=-

，解得1x =-， ∵点C 平移到点(1,3)-时恰好落在该函数图象上， 即点C 向右平移1个单位，

1m ∴=．

【点拨】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=

k

x

（k 为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．也考查了平移变换．

类型三、反比例函数与一次函数综合

5、（2020·西安市第二十三中学九年级月考）如图，一次函数y kx b =+的图象与反比例函数a

y x

=

的图象交于()()422,A B c -，

,两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）求AOB 的面积；

（3）根据图象回答：当x 取何值时，反比例函数的值大于一次函数的值．

【答案】（1）8

,2y y x x

=-=--；（2）6；（3）4-＜x ＜0或x ＞2. 【分析】 （1）由a

y x

=

过()42A -，，利用待定系数法求解反比例函数解析式，再求B 的坐标，再利

用,A B 的坐标，利用待定系数法求解一次函数的解析式即可得到答案； （2）连接,OA OB ， 利用一次函数的解析式求解C 的坐标，再利用AOB

AOC

BOC

S S

S

=+，

即可得到答案；

（3）由反比例函数的值大于一次函数的值，则反比例函数图像在x 的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方，结合图像可得答案． 解：（1）

a

y x

=

过()42A -，

， 2,4

a ∴=

- 8,a ∴=-

∴ 反比例函数为：8,y x

=-

把()2,B c 代入8,y x

=-

8

4,2

c ∴=-=-

()24B ∴-，，

把()()4224A B --，

，，代入y kx b =+得： 42

24k b k b -+=??

+=-?

12k b =-?∴?=-?

所以一次函数为：2y x =--．

（2）如图，连接,,OA OB 记AB 与x 轴交于C ，

令0,y = 则20,x --=

2,x ∴=-

()20C ∴-，

11

222,22

AOC

A S

OC y ∴==??= 11

244,22

BOC

B S O

C y ==??= =2+4=6.AOB

S

∴

（3）由反比例函数值大于一次函数值可得，

反比例函数图像在x 的相同的取值范围内，其图像在一次函数的图像上方， 所以此时：4-＜x ＜0或x ＞2.

【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，坐标系内图形的面积的计算，利用函数图像解不等式，掌握以上知识是解题的关键． 举一反三：

【变式】（2021·山东临沂市·九年级期末）如图，一次函数y ax b =+与反比例函数

(0)k

y k x

=≠的图象交于(2,3),(,1)A B m -两点．

（1）试求m 的值和一次函数的解析式； （2）根据图象直接写出

k

ax b x

>+的x 的取值范围；

（3）求AOB ?的面积．

【答案】（1）6m =-，一次函数的解析式为：1

42

y x =+；（2）20x -<<或6x <-；（3）8． 【分析】

（1）将(2,3)A -代入反比例函数k

y x

=

，解得k 的值，即可知反比例函数的解析式，再将点(,1)B m 代入反比例函数中，解得B 的坐标，最后利用待定系数法解得直线AB 的解析式，据此解题； （2）结合图形信息，欲求

k

ax b x

>+中x 的取值范围，即反比例图象位于一次函数图象的上方，即图象在点B 的左侧或图象在点A 的右侧，据此解题； （3）先解得一次函数1

42

y x =

+与x 轴、y 轴的交点C D 、的坐标，再结合AOB COD BOC AOD S S S S ????=--解题即可．

【详解】

解：（1）根据题意，把(2,3)A -代入反比例函数k

y x

=得：6k =-， 则反比例函数解析式为6

y x

=-

，将(,1)B m 代入上式得6m =-，即(6,1)B -， 再将(2,3)A -、(6,1)B -分别代入y ax b =+，

得23

61a b a b -+=??

-+=?

，

解得124

a b ?=???=?

∵一次函数的解析式为1

42

y x =

+，6m =-； （2）因为一次函数与反比例函数的交点为(2,3)A -、(6,1)B -，根据图象得：

k

ax b x

>+的取值范围为：20x -<<或6x <-； （3）令一次函数1

42

y x =+与x 轴、y 轴的交点分别为C D 、，则(8,0)C -、(0,4)D

∵AOB COD BOC AOD S S S S ????=--

111

848124222

=??-??-?? 1644=--

8=

答：AOB ?的面积为8．

【点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 类型四、反比例函数应用

6、 （2020·山东东营市·八年级期末）某校举行田径运动会，学校准备了某种气球，这些气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压()a P K 是气体体积

3()V m 的反比例函数，其图象如图所示．

(1)求这一函数的解析式．

(2)当气体的体积为3l m 时，气压是多少?

(3)当气球内的气压大于150a Kp 时，气球会将爆炸，为了安全起见，气体的体积应不小于多少?

【答案】（1）60

P V

= ；（2）60KPa ；（3）30.4m 【分析】 （1）设k P V =

，A （0.5,120）在反比例函数k

P V

=上，即可求得反比例函数解析式；

（2）把V=1代入（1）中的函数关系式求P 即可； （3）依题意P≤150，即

60

150V

≤，解不等式即可． 【详解】 （1）设k P V

=

， ∵A （0.5,120）在反比例函数k P V

=上 ∵ 1200.5

k = ∵ k ＝60 ∵ 60P V

=

； 故答案为：60P V

=

（2）当V ＝1m3时，60

1

P ==60（KPa ）； 故答案为：60KPa

（3）当P ＞150KPa 时，气球将爆炸， ∵P≤150，

∵

60

150V

≤， 解得V 60

150

≥=0.4（m3）． 故答案为：为了安全起见，气体的体积应不小于0.4（m3）．

【点拨】本题考查了反比例函数的应用，将实际的问题转化为数学问题，建立反比例函数的数学模型．要熟练掌握物理或化学学科中的一些具有反比例函数关系的公式．同时体会数学中的转化思想． 举一反三：

【变式】（2020·湖南株洲市·九年级期中）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶

里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且全程速度不超过120千米/小时．

（1）求v 关于t 的函数表达式，并写出t 的取值范围； （2）方方上午8点驾驶小汽车从A 出发．

∵方方需要当天12点48分至14点之间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围． ∵方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由． 【答案】（1）480

(4)v t t

=≥；（2）∵80100v ≤≤；∵方方不能在11点30分前到达B 地. 【分析】

(1)由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； (2)∵8点至12点48分时间长为

24

5

小时，8点至14点时间长为6小时，将它们分别代入v 关于t 的函数表达式，即可得小汽车行驶的速度范围；

∵8点至11点30分时间长为3.5小时，将其代入v 关于t 的函数表达式，可得速度大于120千米/时，从而得答案．

解：(1)根据题意，得480vt =，

∵480

v t

=

， ∵4800>，

∵当120v ≤时，4t ≥，

∵480

(4)v t t

=

≥， 故答案为480

(4)v t t

=≥． ∵根据题意，得4.86t ≤≤， ∵4800>， ∵

480480

6 4.8

v ≤≤， ∵80100v ≤≤，

故答案为：80100v ≤≤．

∵方方不能在11点30分前到达B 地．理由如下： 若方方要在11点30分前到达B 地，则 3.5t <，

∵

480

120

3.5

v>>，所以方方不能在11点30分前到达B地．

故答案为：不能．

【点拨】本题是反比例函数在行程问题中的应用，根据时间速度和路程的关系可以求解，本题属于中档题．

人教版八年级数学上册-专题练习：因式分解

专题练习：因式分解 学好数学的秘密 1、学完多思考 2、多做练习题 3、善于总结规律 学好数学的秘密 1、学完多思考 要想学好数学一定要多思考。主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。独立思考是学习数学必须具备的能力。同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。 2、多做练习题 要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。 3、善于总结规律 我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。 一、选择题(每小题6分，共30分) 1．(衡阳中考)下列因式分解中正确的个数为( C) ①x3＋2xy＋x＝x(x2＋2y)； ②x2＋4x＋4＝(x＋2)2； ③－x2＋y2＝(x＋y)(x－y)． A．3个B．2个C．1个D．0个 2．(广东中考)把x3－9x分解因式，结果正确的是( D) A．x(x2－9) B．x(x－3)2 C．x(x＋3)2D．x(x＋3)(x－3) 3．(台湾中考)下列四个选项中，哪一个为多项式8x2－10x＋2的因式( A) A．2x－2 B．2x＋2 C．4x＋1 D．4x＋2 解析：8x2－10x＋2＝2(4x2－5x＋1)＝2(x－1)(4x－1)，有因式2(x－1)，即2x－2 4．若实数x，y，z满足(x－z)2－4(x－y)(y－z)＝0，则下列式子一定成立的是( D) A．x＋y＋z＝0 B．x＋y－2z＝0 C．y＋z－2x＝0 D．z＋x－2y＝0 解析：左边＝[(x－y)＋(y－z)]2－4(x－y)(y－z)＝(x－y)2－2(x－y)(y－z)＋(y－z)2＝[(x－y)－(y－z)]2，故(x－y)－(y－z)＝0，x－2y＋z＝0 5．(宜宾中考)将代数式x2＋6x＋2化成(x＋p)2＋q的形式为( B) A．(x－3)2＋11 B．(x＋3)2－7 C．(x＋3)2－11 D．(x＋2)2＋4 二、填空题(每小题6分，共24分) 6．(泸州中考)分解因式：3a2＋6a＋3＝__3(a＋1)2__． 7．(潍坊中考)分解因式：2x(x－3)－8＝__2(x－4)(x＋1)__． 8．(呼和浩特中考)把多项式6xy2－9x2y－y3因式分解，最后结果为__－y(3x－y)2__．

人教版八年级数学上册 全册全套试卷专题练习(word版

人教版八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．有公共顶点A，B的正五边形和正六边形按如图所示位置摆放，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为（） A．144°B．84°C．74°D．54° 【答案】B 【解析】 正五边形的内角是∠ABC=() 52180 5 -? =108°，∵AB=BC，∴∠CAB=36°，正六边形的内角 是∠ABE=∠E=() 62180 6 -? =120°，∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB=360°，∴∠ADE=360°– 120°–120°–36°=84°，故选B． 2．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____． 【答案】92°． 【解析】 【分析】 由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数． 【详解】 由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°， 根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'， 则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°， 则∠1﹣∠2=92°． 故答案为：92°．

【点睛】 考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键. 3．如图，AD是△ABC的中线，CE是△ACD的中线，S△ACE=3cm2，则S△ABC=_____cm2． 【答案】12cm2． 【解析】 【分析】 根据三角形的面积公式，得△ACE的面积是△ACD的面积的一半，△ACD的面积是△ABC 的面积的一半． 【详解】 解：∵CE是△ACD的中线， ∴S△ACD=2S△ACE=6cm2． ∵AD是△ABC的中线， ∴S△ABC=2S△ACD=12cm2． 故答案为12cm2． 【点睛】 此题主要是根据三角形的面积公式，得三角形的中线把三角形的面积分成了相等的两部分． 4．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______． 【答案】22 【解析】 【分析】 先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可． 【详解】 解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，

八年级上数学期末专题复习

轴对称 14、加油站A和商店B在马路MN的同一侧（如图），A到MN的距离大于B到MN的距离，AB=7米，一个行人P在 马路MN上行走，问：当P到A的距离与P到B 的距离之差最大时，这个差等于______米． 15 、如图，△ ABC的边AB、AC的垂直平分线相交于点P．连接PB、PC，若∠A=70°，则∠PBC的度数是______ 16、等腰三角形的周长为30cm，一边长是12cm，则另两边的长分别是______ 17、如图，AA′、BB′分别是∠EAB、∠DBC的平分线，若AA′=BB′=AB，则∠BAC的度数为 18、如图，△ABC是等边三角形，分别延长CA，AB，BC到A′，B′，C′，使AA′=BB′=CC′=AC，若△ABC的面积为1，则△A′B′C′的面积是______ (第十四题) (第十五题) (第十七题) (第十八题) 5、等边△ABC是边长为1，BD=CD，∠BDC=120°，E、F分别在AB、AC上，且∠EDF=60°，求△AEF的周长。 16、如图，△ABC是等边三角形，延长BC至E，延长BA至F，使AF=BE，连结CF、EF，过点F作直线FD⊥CE于D，试发现∠FCE与∠FEC的数量关系，并说明理由． 17、已知：如图，△ABC中，∠C=90°，CM⊥AB于M，AT平分∠BAC交CM于D，交BC于T，过D作DE∥AB交BC 于E，求证CT=BE。 B A C D E F A C T E B M D

18、如图，已知△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，∠C=35°，且AB+BD=DC ，求∠B 度数。 19、已知△ABC 中，∠A=90°，∠B=67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来。只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数） 20、如图1，已知△ABC 中，AB=BC ，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转。 （1）在图1中，DE 交AB 于M ，DF 交BC 于N 。①证明DM=DN ； ②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与△ABC 的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积； （2）旋转至如图2的位置，延长AB 交DE 于M ，延长BC 交DF 于N ，DM=DN 是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）旋转至如图3的位置，延长FD 交BC 于N ，延长ED 交AB 于M ，DM=DN 是否仍然成立？请写出结论，不用证明。 21、如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为CD 的中点，连接AE 、BE ，BE ⊥AE ，延长AE 交BC 的延长线于点F ． 求证：（1）FC=AD ；（2）AB=BC+AD ． A B C 备用图① A B C 备用图② A B C 备用图③ C A B D A D C N F E B M 图2 A D C F E B M 图3 A D C N F E B M 图1

八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版

八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，动点P 从A 点出发，先以每秒2cm 的速度沿A →C 运动，然后以1cm /s 的速度沿C →B 运动．若设点P 运动的时间是t 秒，那么当t =___________________，△APE 的面积等于6． 【答案】1.5或5或9 【解析】 【分析】 分为两种情况讨论：当点P 在AC 上时：当点P 在BC 上时，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可． 【详解】 如图1，当点P 在AC 上．∵△ABC 中，∠C =90°，BC =8cm ，AC =6cm ，点E 是BC 的中点，∴CE =4，AP =2t ． ∵△APE 的面积等于6，∴S △APE = 12AP ?CE =1 2 AP ×4=6．∵AP =3，∴t =1.5． 如图2，当点P 在BC 上．则t ＞3∵E 是DC 的中点，∴BE =CE =4． ∵PE ()43=7-PE t t =-- ，∴S = 12EP ?AC =1 2 ?EP ×6=6，∴EP =2，∴t =5或t =9． 总上所述，当t =1.5或5或9时，△APE 的面积会等于6．故答案为1.5或5或9． 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键． 2．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ?=，则AB 的长度为_______．

八年级数学上册全册全套试卷专题练习(解析版)

八年级数学上册全册全套试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB=____． 【答案】105°． 【解析】 【分析】 先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． 【详解】 如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°， ∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°． 故答案为：105°． 【点睛】 此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键． 2．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度． 【答案】360 ° 【解析】 如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.

点睛：本题考查的知识点： （1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°． 3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是 __________ ． 【答案】γ=2α+β． 【解析】 【分析】 根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】 由折叠得：∠A=∠A'， ∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'， ∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ， ∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，

八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版

八年级数学上册全册全套试卷专题练习（ word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．△ABC 的两边长为4和3，则第三边上的中线长m 的取值范围是_______． 【答案】 1722 m << 【解析】 【分析】 作出草图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE 的取值范围，便不难得出m 的取值范围． 【详解】 解：如图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ， ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD ， 在△ABD 和△ECD 中， AD DE ADB EDC BD CD =?? ∠=∠??=? , ∴△ABD ≌△ECD （SAS ）， ∴CE=AB ， ∵AB=3，AC=4， ∴4-3＜AE ＜4+3， 即1＜AE ＜7， ∴ 1722 m <<． 故答案为：17 22 m <<． 【点睛】 本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.

2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____． 【答案】115°． 【解析】 【分析】 根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出 ∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数． 【详解】 解；∵∠A＝50°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°， ∵∠B和∠C的平分线交于点O， ∴∠OBC＝1 2 ∠ABC，∠OCB＝ 1 2 ∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB＝1 2 ×（∠ABC+∠ACB）＝ 1 2 ×130°＝65°， ∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°， 故答案为：115°． 【点睛】 本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数． 3．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度． 【答案】360 ° 【解析】 如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.

八年级上册数学 全册全套试卷专题练习(word版

八年级上册数学全册全套试卷专题练习（word版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______． 【答案】3a b c -- 【解析】 【分析】 根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可． 【详解】 解：∵a、b、c为△ABC的三边， ∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b， ∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0， ∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c| =(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c) =a+b-c+a-b- c+a-b+c =3a-b-c． 故答案为：3a-b-c． 【点睛】 本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键． 2．如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC、△ADF、△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF=_________． 【答案】2 【解析】 由D是AC的中点且S△ABC=12，可得 11 126 22 ABD ABC S S ?? ==?=；同理EC=2BE即 EC=1 3 BC，可得 1 124 3 ABE S ? =?=，又, ABE ABF BEF ABD ABF ADF S S S S S S ?????? -=-=等量 代换可知S△ADF－S△BEF=2 3．∠A=65o，∠B=75o，将纸片一角折叠，使点C?落在△ABC外，若∠2=20o，则∠1的度数为 _______.

数学人教版八年级上册八上专题一

A E F C D O A P C B E F 八年级上学期几何专题复习 （一） 专题一: 基础知识 一、精心选一选 1、下列说法正确的个数为 （ ） （1）用一张像底片冲出来的10张一寸照片是全等图形 （2）所有的三角形都是全等图形 （3）面积相等的两个图形是全等图形 （4）面积相等的两个正方形是全等图形 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，△ABC≌△BAD，A 和B 、C 和D 分别是对应顶点，如果AB=6cm ，BD=7cm ，AD=4cm ，那么BC 的长为 A ．6cm B ．5cm C ．4cm D ．不能确定 3.如图,AD ∥BC,AD=BC,AC 与BD 交于点O,EF 过点O 并分别交AD 、BC 于E 、F, 则图中的全等三角形共有 A.1对 B.2对 C.3对 D.4对 4. 在下列两个三角形中对应相等各条件中，不能判定两个三角形全等的是 （ ） A 、两边及其夹角 B 、两角和一边 C 、三边 D 、两边和其中一边的对角 5.如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD ⊥AC 垂足为D ，∠A=40°，∠DBC= （ ） A 、40° B 、 30° C 、20°D 、50° 6.如图，P 是∠BAC 的平分线AD 上一点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，下列结论中不正确的是 （ ） A ．PE PF = B ．AE AF = C ．△APE ≌△APF D ．AP PE PF =+ 7.如图所示，已知AB=AD ，CB=CD ，则在以下各结论中，正确的结论为①∠B=∠D ；②∠A=∠ C ；③AC 垂直平分B D ；④BD 垂直平分AC. （ ） A ①② B.①③ C.③④ D.②④ 第2题图 第3题图 第7题图 第6题图 第5题图

人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳合集

人教版八年级上册数学解题技巧专题归纳合集 目录 1、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算 2、类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型 3、解题技巧专题：利用全等解决问题的模型与技巧 4、难点探究专题：动态变化中的三角形全等 5、易错易混专题：等腰三角形中易漏解或多解的问题 6、解题技巧专题：等腰三角形中辅助线的作法 7、模型构建专题：共顶点的等腰三角形 8、类比归纳专题：证明线段相等的基本思路 9、解题技巧专题：乘法公式的灵活运用 10、解题技巧专题：选择合适的方法因式分解 11、易错专题：分式中常见的陷阱 12、解题技巧专题：分式运算中的技巧 1、类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算 ——全方位求角度 ◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想 1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C＝55°，则∠B等于( ) A．50° B．55° C．45° D．40° 2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．形状无法确定 3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．

4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD 于F，求∠DEF的度数． ◆类型二综合内外角的性质 5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是( ) A．20° B．30° C．40° D．60° 第5题图第6题图 6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________． 7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证：∠EAC＝∠B； (2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数． ◆类型三在三角板或直尺中求角度 8．将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是( ) A．120° B．105° C．90° D．75°

八年级数学上册压轴题专题练习

1、已知点O 为等边ABC ?内一点，0 110=∠AOB ，α=∠BOC ，以OC 为一边作等边 OCD ?，连接AD 。 （1）当0 150=α时，试判断AOD ?的形状，并说明理由。 （2）探究：当α为多少度时，AOD ?为等腰三角形。 2、（1）如图1：点E 在正方形ABCD 的边上，B F ⊥AE 于点F,DG ⊥AE 于点G ，求证：△ ADG ≌△BAF （2）如图2：已知AB=AC ，∠1=∠2=∠BAC, 求证：△ABE ≌△CAF （3）如图3：在等腰三角形ABC 中，AB=AC,AB>BC ，点D 在边BC 上，CD=2BD ，点E 、F 在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC,若△ABC 的面积为9，则△ABE 与△CDF 的面积的和是多少。 图1 图2 图3 3、.问题背景，请你证明以上三个命题； ① 如图1,在正三角形ABC 中,N 为BC 边上任一点,CM 为正三角形外角∠ACK 的平分线,若∠ANM=60°,则AN=NM ② 如图2,在正方形ABCD 中,N 为BC 边上任一点，CM 为正方形外角∠DCK 的平分线，若∠ANM=90°，则AN=NM ③ 如图3,在正五边形ABCDE 中,N 为BC 边上任一点,CM 为正五边形外角∠DCK 的平分线,若∠ANM=108°,则AN=NM O A B C D

4、已知点C 为线段AB 上一点，分别以AC 、BC 为边在线段AB 同侧作△ACD 和△BCE ，且CA=CD ，CB=CE ，∠ACD=∠BCE ，直线AE 与BD 交于点F ， （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB= ；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB= ；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB= ； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB= （用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD 绕点C 顺时针旋转任意角度（交点F 至少在BD 、AE 中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB 与α的有何数量关系？并给予证明． 提示：始终证明DCB ACE ???

八年级上册数学 全册全套试卷专题练习(word版

八年级上册数学 全册全套试卷专题练习（word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____． 【答案】720°． 【解析】 【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可． 【详解】这个正多边形的边数为 36060? ? =6， 所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°， 故答案为720°． 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n ﹣2）?180 （n≥3）且n 为整数）；多边形的外角和等于360度． 2．已知ABC 中，90A ∠=，角平分线BE 、CF 交于点O ，则BOC ∠= ______ ． 【答案】135 【解析】 解：∵∠A =90°，∴∠ABC +∠ACB =90°，∵角平分线BE 、CF 交于点O ，∴∠OBC +∠OCB =45°，∴∠BOC =180°﹣45°=135°．故答案为：135°． 点睛：本题考查了角平分线的定义、三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°． 3．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD ＝__________. 【答案】119° 【解析】 【分析】 连接BD ，构△BCD 根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD 的度数. 【详解】 如图所示，连接BD ，

∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°， ∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°. 故答案为：119°. 【点睛】 本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键. 4．如图，△ABC中，∠BAC＝70°，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O，则∠BOC＝_____度． 【答案】35 【解析】 【分析】 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BAC+∠ABC＝∠ACE， ∠BOC+∠OBC＝∠OCE，再根据角平分线的定义可得∠OBC＝1 2 ∠ABC，∠OCE＝ 1 2∠ACE，然后整理可得∠BOC＝ 1 2 ∠BAC． 【详解】 解：由三角形的外角性质，∠BAC+∠ABC＝∠ACE，∠BOC+∠OBC＝∠OCE，∵∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点O， ∴∠OBC＝1 2 ∠ABC，∠OCE＝ 1 2 ∠ACE， ∴1 2 （∠BAC+∠ABC）＝∠BOC+ 1 2 ∠ABC， ∴∠BOC＝1 2 ∠BAC， ∵∠BAC＝70°，∴∠BOC＝35°，故答案为：35°．

数学八年级上册 全册全套试卷专题练习(解析版)

数学八年级上册 全册全套试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难） 1．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝42, ∠ACB=45?，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45?，连结BE. (1) 求证：△ACD≌△BCE； (2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长. (3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422 - 【解析】 试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE ≌； ()2首先过点C作CH BQ ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45 DAC ∠=?，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长． ()3OE BQ ⊥时，OE取得最小值. 试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形， ∴AC=BC,DC=EC,45 ACB DCE ∠=∠=， 45 ACD DCB ECB DCB ∴∠+∠=∠+∠=， ∴∠ACD=∠BCE； 在△ACD和△BCE中， , AC BC ACD BCE DC EC = ? ? ∠=∠ ? ?= ? (SAS) ACD BCE ∴≌； ()2首先过点C作CH BQ ⊥于H，

(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ， ∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45?，AO 是BC 边上的高， 45DAC ∴∠=， ACD BCE ≌， 45PBC DAC ∴∠=∠=， ∴在Rt BHC 中,22 42422 CH BC =? =?=， 54PC CQ CH ===，， 3PH QH ∴==， 6.PQ ∴= ()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值. 最小值为：42 2.OE =- 2．（1）如图1，在Rt △ABC 中，AB AC =，D 、E 是斜边BC 上两动点，且∠DAE=45°，将△ABE 绕点A 逆时针旋转90后，得到△AFC ，连接DF . （1）试说明：△AED ≌△AFD ； （2）当BE=3,CE=9时，求∠BCF 的度数和DE 的长； （3）如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，D 是斜边BC 所在直线上一点，BD=3，BC=8，求DE 2的长. 【答案】（1）略（2）∠BCF=90° DE=5 （3）34或130 【解析】 试题分析：()1由ABE AFC ≌， 得到AE AF =，BAE CAF ∠=∠，

初中八年级数学上册专题及期末复习(附答案解析)

小专题(一) 构造全等三角形的方法技巧 类型1 连结线段构造全等三角形 【例1】 如图，已知AB ＝AD ，BC ＝CD ，求证：∠B ＝∠D. 证明：连结AC ， 在△ABC 和△ADC 中， ???AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ， ∴△ABC ≌△ADC(SSS )． ∴∠B ＝∠D. 【方法归纳】 通过连结两点，构造出三角形，再证明两个三角形全等，然后利用全等三角形的性质说明角相等或边相等． 1．如图，已知AB ∥CD ，AD ∥BC ，求证：∠A ＝∠C. 证明：连结BD ， ∵AB ∥CD ， ∴∠ABD ＝∠CDB. ∵AD ∥BC ， ∴∠ADB ＝∠CBD. 又∵BD ＝DB ， ∴△ABD ≌△CDB(ASA )．∴∠A ＝∠C. 2．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点M 为BC 中点，MD ⊥AB 于点D ，ME ⊥AC 于点E.求证：MD ＝ME. 证明：连结AM. 在△ABM 和△ACM 中， ???AB ＝AC ，AM ＝AM ，BM ＝CM ， ∴△ABM ≌△ACM(SSS )． ∴∠BAM ＝∠CAM.

∵MD ⊥AB ，ME ⊥AC ， ∴MD ＝ME. 类型2 利用“截长补短”构造全等三角形 【例2】 如图，AD ∥BC ，点E 在线段AB 上，∠ADE ＝∠CDE ，∠DCE ＝∠ECB.求证：CD ＝AD ＋BC. 证明：在CD 上截取DF ＝DA ，连结FE. 在△ADE 和△FDE 中， ???AD ＝FD ， ∠ADE ＝∠FDE ，DE ＝DE ， ∴△ADE ≌△FDE. ∴∠A ＝∠DFE. 又∵AD ∥BC ，∴∠A ＋∠B ＝180°. ∵∠DFE ＋∠EFC ＝180°. ∴∠B ＝∠EFC. 在△EFC 和△EBC 中， ???∠EFC ＝∠B ，∠ECF ＝∠ECB ，EC ＝EC ， ∴△EFC ≌△EBC. ∴FC ＝BC. ∴CD ＝DF ＋FC ＝AD ＋BC. 【方法归纳】 遇到证明线段的和差倍分问题时，通常利用截长法或补短法，具体的作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或者延长某条线段，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质解决． 3．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，BD ，CE 交于点O ，试判断BE ，CD ，BC 的数量关系，并加以证明． 解：BC ＝BE ＋CD. 证明：在BC 上截取BF ＝BE ，连结OF. ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠EBO ＝∠FBO. 又∵BO ＝BO ， ∴△EBO ≌△FBO.

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学好数学的秘密 1、学完多思考 要想学好数学一定要多思考。主要是指养成思考的习惯，学会思考的方法。独立思考是学习数学必须具备的能力。同学们在学习时，要边听课边想，边看书边想，边做题边想，通过自己积极思考，深刻理解数学知识，归纳总结数学规律，灵活解决数学问题，这样才能把老师讲的、课本上写的变成自己的知识。 2、多做练习题 要想学好初中数学，必须多做练习，我们所说的“多做练习”，不是搞“题海战术”。只做不思，不能起到巩固概念，拓宽思路的作用，而且有“副作用”：把已学过的知识搅得一塌糊涂，理不出头绪，浪费时间又收获不大，我们所说的“多做练习”，是要大家在做了一道新颖的题目之后，多想一想：它究竟用到了哪些知识，是否可以多解，其结论是否还可以加强、推广等等。 3、善于总结规律

我们会发现在日常的数学学习中，很多同学是不是同一种类型的题目总是反复错，经常错?这种问题的出现，就是学生缺乏总结规律的习惯，一种类型的题目反复错，经常错，说明你还没有掌握做这种题目的规律，你不仅要做错题笔记，而且还需要将你错的这种类型的题目都拿出来总结归纳，要善于总结规律，将同种类型的题目多比对，多总结，总结出一种属于自己的解题思路和方法，然后再遇到这类问题时利用总结的规律和方法去解决。 类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型 模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数 1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线． (1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE的度数； (2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．

模型2：求两内角平分线的夹角的度数 2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A＝_____. 3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点． (1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数． (2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋ 1 2∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由． 模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数 4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1. (1)求证：∠A1＝ 1 2∠A； (2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD 的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________.

数学八年级上册 全册全套试卷专题练习(word版

数学八年级上册 全册全套试卷专题练习（word 版 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，ABC 中，点D 在AC 的延长线上，E 、F 分别在边AC 和AB 上，BFE ∠与BCD ∠的平分线相交于点P ，若ABC ∠=70°FEC ∠=80°，则P ∠=______． 【答案】85° 【解析】 【分析】 根据四边形内角和等于360°，在四边形FECB 中∠B +∠BFE +∠FEC +∠BCE =360°，结合角平分线的定义计算即可得∠1-∠2=15°；再在四边形EFPC 中求出∠1-∠2+∠P =110°即可解答． 【详解】 解： ∵∠BFE =2∠1，∠BCD =2∠2， 又∵∠BFE +∠ABC +∠FEC +∠BCE =360°，ABC ∠=70°，FEC ∠=80°， ∴2∠1+（180°-2∠2）+70°+80°=360°， ∴∠1-∠2=15°； ∵在四边形EFPC 中，∠PFE +∠FEC +∠P +∠PCE =360°， ∴∠1+80°+（180°-∠2）+∠P =360°， ∴∠1-∠2+∠P =100°， ∴∠P =85°， 故答案为：85°． 【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理和四边形内角和定理的应用，掌握三角形内角和等于180°和四边形内角和等于360°是解题的关键． 2．如图，已知四边形ABCD 中，对角线BD 平分∠ABC ，∠BAC=64°，∠BCD+∠DCA=180°，那么∠BDC 为_________度.

【答案】32 【解析】 【分析】 过C点作∠ACE=∠CBD，根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠ECD=∠BDC，根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再根据三角形内角和为180°，以及等量关系可得∠BDC的度数． 【详解】 过C点作∠ACE=∠CBD， ∵∠BCD+∠DCA=180°，∠BCD+∠CBD+∠BDC=180°， ∴∠ECD=∠BDC， ∵对角线BD平分∠ABC， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ACE， ∴∠BAC=∠CEB=64°， ∴∠BDC=1 2 ∠CEB=32°． 故答案为：32． 【点睛】 此题考查了三角形内角与外角，三角形内角和为180°，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个外角的和． 3．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是 __________ ．

八年级数学上册全册全套试卷专题练习(word版

八年级数学上册全册全套试卷专题练习（word版 一、八年级数学三角形填空题（难） ∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα ∠的度数为______.(用含α的代数式表示) 交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE 【答案】2α﹣180°或180°﹣2α 【解析】 分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可． 解：有两种情况： ①如图所示,当∠BAC?90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAC?(∠BAD+∠CAE)=α?(180°?α)=2α?180°； ②如图所示,当∠BAC<90°时， ∵DM垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠B=∠BAD， 同理可得，∠C=∠CAE， ∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°?α， ∴∠DAE=∠BAD+∠CAE?∠BAC=180°?α?α=180°?2α. 故答案为2α?180°或180°?2α. 点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键. 2．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度． 【答案】45

【解析】 【分析】 根据题意画出符合条件的图形，然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可. 【详解】 如图所示 △ACB为Rt△，AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线，AD，BE相交于一点F． ∵∠ACB=90°， ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵AD，BE，分别是∠CAB和∠ABC的角平分线， ∴∠FAB+∠FBA=1 2∠CAB+1 2 ∠ABC=45°． 故答案为45. 【点睛】 此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质，关键是根据题意画出相应的图形，利用三角形的相关性质求解. 3．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______． 【答案】30° 【解析】 【分析】 设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可. 【详解】 设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x， 由题意得，x＋2x＝90°， 解得x＝30°， 即此三角形中最小的角是30°. 故答案为：30°. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 4．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．

最新人教版八年级数学上册期末专题复习试题及答案全套

最新人教版八年级数学上册期末专题复习试题及答案全套 一.类比归纳专题：三角形中内、外角的有关计算 ——全方位求角度 ◆类型一已知角的关系，直接利用内角和或结合方程思想 1．在△ABC中，∠A－∠B＝35°，∠C ＝55°，则∠B等于() A．50°B．55°C．45°D．40° 2．在△ABC中，已知∠A＝2∠B＝3∠C，则△ABC是() A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．形状无法确定 3．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC ＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数． 4．如图，△ABC中，∠B＝26°，∠C ＝70°，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，EF⊥AD于F，求∠DEF的度数． ◆类型二综合内外角的性质 5．如图，BD、CD分别平分∠ABC和∠ACE，∠A＝60°，则∠D的度数是() A．20°B．30°C．40°D．60° 第5题图第6题图 6．如图，∠B＝20°，∠A＝∠C＝40°，则∠CDE的度数为________． 7．如图，AD平分∠BAC，∠EAD＝∠EDA. (1)求证：∠EAC＝∠B； (2)若∠B＝50°，∠CAD∶∠E＝1∶3，求∠E的度数． ◆类型三在三角板或直尺中求角度 8．(2015－2016·瑶海区期末)将一副三角板按如图所示摆放，图中∠α的度数是() A．120°B．105°C．90°D．75° 9．将两个含30°和45°的直角三角板如

图放置，则∠α的度数是() A．10°B．15°C．20°D．25° 10．一副三角板如图所示叠放在一起，则图中∠α的度数是________． 11．如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝55°，则∠2的度数为________． ◆类型四与平行线结合 12．(2015·南充中考)如图，已知B、C、E在同一直线上，且CD∥AB，若∠A＝75°，∠B＝40°，则∠ACE的度数为() A．35°B．40°C．115°D．145° 13．如图，AB∥CD，直线PQ分别交AB、CD于点F、E，EG是∠DEF的平分线，交AB于点G.若∠PF A＝40°，那么∠EGB 等于() A．80°B．100°C．110°D．120° 14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E，∠A＝45°，∠BDC ＝60°，则∠BDE＝________． 15．如图，在△ABC中，点D在BC上，点E在AC上，AD交BE于F.已知EG∥AD 交BC于G，EH⊥BE交BC于H，∠HEG ＝55°. (1)求∠BFD的度数； (2)若∠BAD＝∠EBC，∠C＝44°，求∠BAC的度数． ◆类型五与截取或折叠相关 16．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的外部时，则∠A 与∠1和∠2之间有一种数量关系始终保持

八年级上册数学 全册全套试卷专题练习(解析版)

八年级上册数学 全册全套试卷专题练习（解析版） 一、八年级数学三角形填空题（难） 1．如图，在ABC ?中，A α∠=．ABC ∠与ACD ∠的平分线交于点1A ，得1A ∠： 1A BC ∠与1A CD ∠的平分线相交于点2A ，得2A ∠；；2019A BC ∠与2019A CD ∠的平分线相交于点2020A ，得2020A ∠，则2020A ∠=________________． 【答案】 20202α 【解析】 【分析】 根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知 21211112222 a A A A A a ∠=∠=∠=∠=，，…，依此类推可知2020A ∠的度数． 【详解】 解：∵∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1， ∴11118022 A ACD AC B AB C ∠=?-∠-∠-∠ 1118018022 ABC A A ABC ABC =?-∠+∠-?-∠-∠-∠（）（） 1122 a A =∠=， 同理可得221122a A A ∠= ∠=， … ∴2020A ∠= 20202α． 故答案为： 2020 2α. 【点睛】 本题是找规律的题目，主要考查三角形的外角性质及三角形的内角和定理，同时也考查了角平分线的定义． 2．如图，AB ∥CD ，点P 为CD 上一点，∠EBA 、∠EPC 的角平分线于点F ，已知∠F ＝40°，则∠E ＝_____度．

【答案】80【解析】【详解】 如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=1 2 ∠CPE=∠F+∠1， ∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°. 故答案为80. 3．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______． 【答案】30° 【解析】 【分析】 设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可. 【详解】 设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x， 由题意得，x＋2x＝90°， 解得x＝30°， 即此三角形中最小的角是30°. 故答案为：30°. 【点睛】 本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键. 4．已知a，b，c是△ABC的三边长，a，b满足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c为奇数，则 c=_____． 【答案】7 【解析】 【分析】 根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是奇数求出c的值．