高中数学解三角形和平面向量试题
一、选择题:
1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0
30A = , 则B 等于( B )
A .60o
B .60o
或 120o
C .30o
D .30o
或150o
2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o
,则a 等于( D )
A .6
B .2
C .3
D .2
3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A )
A .
1
2
B .22
C .
3
2
D .1
4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5
,22
a b A B ==,则cos B =( B ) A .
53 B .54 C .55 D .5
6
5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0
90 B .0
60
C .0
120
D .0
150
6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D )
A.
6
π B. 3π C.6π或56
π
D.
3π或23
π
7. 在△ABC 中,
b
a
B A =--cos 1cos 1,则△AB
C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1,
ABC S b ?=则,3等于( C )
A.
2 B.
3 C.
2
3
D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B )
A 、75°
B 、60°
C 、45°
D 、30°
10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A.
3
400
米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米
11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0
120ABC ∠=,则A,C 两地
的距离为( D )。
A. 10km
B. 103km
C. 105km
D. 107km
12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A .
21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1
2
-(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4
14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C )
A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C )
A 、17
B 、18
C 、19
D 、20
16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r
若向量若则的值为 ( B )
A .31-或 B.13-或 C .3
D . -1
17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B )
(A )
6π (B )4π (C )3π
(D )π12
5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2
3
,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、
29 C 、2 D 、2
1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r
,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C )
(A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
二、填空题:
20. ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,,若26120c b B ===o ,,,则a 等于2
21.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2
2
2
120°。 22.在ABC △中,12AB BC ==,,AC =3,则角B= 60o .
23. 在ABC ?中,AC=2,BC=1,sinC=
5
3
,则AB 的长为_5205553或___。 24.ABC ?中,120,7,5B AC AB =?==,则ABC ?的面积为___4
3
15______. 25. 在ABC ?中,角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,,若B b A a cos cos =,则ABC ?的形状是 等腰三角形或直角三角形 。
26. 已知向量a r =(3,1) ,b r =(1,3),c r =(k ,7),若(a r - c r )b r
27.已知向量2411()(),,,a =b =.
若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 3-
.
28.已知10a =r 、12b =r
,若a r 与b r 的夹角为120°,则⑴a b ?r r =_-60_____; ⑵(32)(4)b a a b -?+r r r r
=__-968_________.
29.若两个向量a r 与b r 的夹角为θ,则称向量“a b ?r r ”为“向量积”,其长度||a b ?=r r ||||sin a b θr r
,若已知||1,||5,4a b a b ==?=-r r r r ,则||____a b ?=r r
3。
三、解答题:
30、已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos 2sin 1B C A ++=且
()sin cos ;A A I 求和 ()∏若ABC ?的面积为4,且2c = ,求a
解: ()()cos 2sin 12sin 1cos B C A A A I ++=-=由已知得
两边平方并整理得2
5sin 4sin 0A A -=
4
sin 0,sin 5
3cos 2sin 15
A A A A ≠∴=
=-=
Q
()1
sin 4,22 5
S bc A c b ∏===∴=Q 根据余弦定理得222cos 17a b c bc A =+-= 31. 在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,,3
a b c B π
=
,4
cos ,35
A b =
=。 (I )求sin C 的值; (Ⅱ)求ABC ?的面积。 解:(Ⅰ)∵A 、B 、C 为△ABC 的内角,且4,cos 3
5B A π
=
=
,∴23
,sin 35
C A A π=-=, ∴231343sin sin cos sin 32210C A A A π+??
=-=+=
???
. (Ⅱ)由(Ⅰ)知3343sin ,sin 510
A C +=
=, 又∵,33
B b π
=
=,
∴在△ABC 中,由正弦定理,得 ∴sin 6
sin 5
b A a B =
=. ∴△ABC 的面积1163433693sin 32251050
S ab C ++=
=???=. 32.在⊿ABC 中,BC=5,AC=3,sinC=2sinA (Ⅰ) 求AB 的值; (Ⅱ) 求sin 24A π?
?
- ??
?
的值 (Ⅰ)解:在△ABC 中,根据正弦定理,
sin sin AB BC
C A
= 于是sin 225sin C
AB BC BC A
=
==
(Ⅱ)解:在△ABC 中,根据余弦定理,得22225
cos 2AB AC BD A AB AC +-==?
于是2
5
sin 1cos 5
A A =-=
从而2243sin 22sin cos ,cos 2cos sin 55
A A A A A A ==
=-= 所以2
sin(2)sin 2cos
cos 2sin
4
4
4
10
A A A π
π
π
-
=-=
33. 在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且A c a sin 23=。
(1)求角A 的大小;(2)若7=c ,且ABC ?的面积为2
3
3,求a+b 的值。
34.设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2sin a b A =. (1)求B 的大小; (2)若ABC ?3C=2,求a 和b 的值。
解:(1)B R b A R a sin 2,sin 2==Θ且2sin a b A =
0030,90021
sin sin sin 22sin 2=∴<<=??=∴B B B A B R A R Θ即
(2)32
1
22130sin 210=??==
?a ac S ABC Θ, 32=a 2,42
3
2322412cos 22
2
2
=∴=?
??-+=-+=∴b B ac c a b 35.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且(2)cos cos 0a c B b C ++= (Ⅰ)求角B 的值; (Ⅱ)若a+c=4,求△ABC 面积S 的最大值 解 :(Ⅰ)由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos 0A C B B C ++=,
即2sin cos sin cos cos sin 0A B C B C B ++= 得2sin cos sin()0A B B C ++=,因为A B C π++=,
所以sin()sin B C A +=,得2sin cos sin 0A B A +=,因为sin 0A ≠,
32,21cos π
=
-=B B B 为三角形的内角,所以又所以 (Ⅱ)]
)2(4[4
3)4(4332sin )4(2143
2,sin 2122--=-=-==+==
a a a a a S c a B B ac S ππ得及由
又04a <<,所以当2a =时,S 336. 已知函数()=sin(+),(>0,0<<)f x x ω?ω?π的一系列对应值如下表:
x
12
π-
6
π 1512
π 23
π 1112
π y
1
-1
(Ⅰ)求()f x 的解析式;
(Ⅱ)在△ABC 中,a b c 、、分别是△ABC 的对边,若1()==2=32
f A c a b ,,
,求△ABC 的面积.
37.海面上相距10海里的A 、B 两船,B 船在A 船的北偏东45°方向上,两船同时接到指令同时驶向C 岛,C 岛在B 船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C 岛,经测算,A 船行驶
了7B 船的速度。
解:设B 船的速度为x 海里/小时,依题意得
在ABC ?中,ABC ∠= 0
120,AB=10,AC= 7
由余弦定理得 2
2
2
2AC AB BC AB BC COS ABC =+-??∠
即2028080
100+()210cos120(107)6060
x x -???=, 解得 x=15 答:B 船的速度为15海里/小时。
38.一缉私艇发现在方位角45°方向,距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜,若缉私艇的速度为14海里/小时,缉私艇沿方位角45°+α的方向追去,若要在最短的时间内追上该走私船,求追及所需时间和α角的正弦.(注:方位角是指正北方向按顺
时针方向旋转形成的角).
解:设缉私艇与走私船原来的位置分别为A 、B ,在C 处两船相遇,由条件知∠ABC=120°,AB=12(海里), 设t 小时后追及,t AC t BC 14,10==∴,由正弦定理得
由正弦定理得
14
11
cos ,1435sin 120sin 14sin 10==??=αααt t ; 再由余弦定理得αcos 1412214419610022t t t ??-+=
,4
3
2,01833122=
=∴=+-?t t t t 或 但当AB AC t =<==
122
2143时,不合, 14
3
5sin ),(2=
=∴α小时t . 答:缉私艇的追及所需时间为253
。
39.已知向量m =(sin A ,cos A ),n =(3,1)-,m ·n =1,且A 为锐角.
(Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域.
解:(Ⅰ)由题意得3cos 1,m n A A =
-=g 1
2sin()1,sin().662
A A ππ-=-=
由A 为锐角得,.663A A πππ-==
(Ⅱ)由(Ⅰ)知1
cos ,2
A =
所以2213()cos 22sin 12sin 2sin 2(sin ).22
f x x x x x x =+=-+=--+ 因为x ∈R ,所以[]sin 1,1x ∈-,因此,当1sin 2x =
时,f (x )有最大值32
. 当sin x = -1时,f (x )有最小值-3,所以所求函数f (x )的值域是33,2??-???
?
.
40.已知:3,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==r r ,122)(-+?=m b a x f ρ
ρ(R m x ∈,).
(Ⅰ) 求()f x 关于x 的表达式,并求()f x 的最小正周期;
(Ⅱ) 若]2
,0[π∈x 时,()f x 的最小值为5,求m 的值.
解:(Ⅰ
) 2
()cos 2cos 21f x x x x m =++-
2cos 22x x m =++2sin(2)26
x m π
=+
+. ()f x ∴的最小正周期是π.
(Ⅱ) ∵]2,
0[π
∈x , ∴]6
7,6[62πππ
∈+
x .
∴当6
76
2ππ=+x 即2
π=x 时,函数()f x 取得最小值是12-m .
∵512=-m , ∴3=m .
41.已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直,其中(0,)2
πθ∈.
(1)求sin cos θθ和的值; (2
)若sin()102
π
θ??-=
<<,求cos ?的值. 解:(1)∵a 与b 互相垂直,则0cos 2sin =-=?θθb a ,即θθcos 2sin =,
代入1cos sin 2
2=+θθ得5
5cos ,552sin ±=±=θθ
又∵(0,)2
π
θ∈,∴55
cos ,552sin =
=θθ. (2)∵2
0π
?<
<,2
0π
θ<
<,∴2
2
π
?θπ
<
-<-
则10
10
3)(sin 1)cos(2=
--=-?θ?θ, ∴cos ?2
2)sin(sin )cos(cos )](cos[=-+-=--=?θθ?θθ?θθ.
42. 已知函数)2sin 3,sin 2(),1,(sin ,1)(m x x x x f +==-?=其中 (1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间; (2)当恒成立时,不等式5)(2]2
,
0[<<-∈x f x π
,求实数m 的取值范围。
解:m x x b a x f ++=-?=2sin 3sin 21)(2
-1
=m x m x x +-=+-)6
2sin(22cos 2sin 3π
(1)函数)(x f 的最小正周期为T=ππ
=2
2 由
Z k x k Z k k x k ∈≤≤+∈+≤
-
≤+,3
53,2236222ππππππ
ππ得
∴函数)(x f 的单调递减区间为)(],6
5,3[Z k k k ∈++ππ
ππ
(2)∵]2,0[π∈x ∴]6
5,6[62π
ππ-∈-x
∴2)6
2sin(21+≤+-
≤-m m x m π
∵不等式5)(2<<-x f 恒成立 ∴???<+->-5
22
1m m 即 -1 ∴实数m 的取值范围为(-1,3) 高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( ) A .1 2 B .22 C .3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B = =,则cos B =( ) A .53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( ) A .090 B .060 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为( ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地的距离为( )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150° 二、填空题: 20.ABC △的内角A B C ,,的对边分别为a b c ,,, 若120c b B = ==o ,则a 等于___ 21.在△ABC 中,若=++=A c bc b a 则,2 2 2 ____________。 22.在ABC △中,12AB BC ==,,AC = B= ______ . 23. 在ABC ?中,AC=2,BC=1,sinC=5 3 ,则AB 的长为__________。 24.ABC ?中,120,7,5B AC AB =?==,则ABC ?的面积为____________. 25. 在ABC ?中,角A,B,C 所对的边分别为c b a ,,,若B b A a cos cos =,则ABC ?的形状是 __ 。 26. 已知向量a r =(3,1) ,b r =(1,3),c r =(k ,7),若(a r - c r )b r 27.已知向量2411()(),,,a =b =. 若向量()λ⊥b a +b ,则实数λ的值是 ____ . 28.已知10a =r 、12b =r ,若a r 与b r 的夹角为120°,则⑴a b ?r r =____;⑵(32)(4)b a a b -?+r r r r =___. 29.若两个向量a r 与b r 的夹角为θ,则称向量“a b ?r r ”为“向量积”,其长度||a b ?=r r ||||sin a b θr r ,若已知||1,||5,4a b a b ==?=-r r r r ,则||____a b ?=r r 。 三、解答题: 30、已知ABC ?的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,()cos 2sin 1B C A ++=且 ()sin cos ;A A I 求和 ()∏若ABC ?的面积为4,且2c = ,求a 31. 在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别为,,,3 a b c B π = ,4 cos ,5 A b = =。 (I )求sin C 的值; (Ⅱ)求ABC ?的面积。 32.在⊿ABC 中, AC=3,sinC=2sinA (Ⅰ) 求AB 的值; (Ⅱ) 求sin 24A π? ? - ?? ? 的值 33. 在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且A c a sin 23=。 (1)求角A 的大小;(2)若7=c ,且ABC ?的面积为2 3 3,求a+b 的值。 34.设锐角三角形ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2sin a b A =. (1)求B 的大小; (2)若ABC ?3C=2,求a 和b 的值。 35.在△ABC 中,a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边,且(2)cos cos 0a c B b C ++= (Ⅰ)求角B 的值; (Ⅱ)若a+c=4,求△ABC 面积S 的最大值 36. 已知函数()=sin(+),(>0,0<<)f x x ω?ω?π的一系列对应值如下表: x 12 π- 6 π 1512 π 23 π 1112 π y 1 -1 (Ⅰ)求()f x 的解析式; (Ⅱ)在△ABC 中,a b c 、、分别是△ABC 的对边,若1()==2=32 f A c a b ,, ,求△ABC 的面积. 37.海面上相距10海里的A 、B 两船,B 船在A 船的北偏东45°方向上,两船同时接到指令同时驶向C 岛,C 岛在B 船的南偏东75°方向上,行驶了80分钟后两船同时到达C 岛,经测算,A 船行驶了107B 船的速度。 38.一缉私艇发现在方位角45°方向,距离12海里的海面上有一走私船正以10海里/小时的速度沿方位角为105°方向逃窜,若缉私艇的速度为14海里/小时,缉私艇沿方位角45°+α的方向追去,若要在最短的时间内追上该走私船,求追及所需时间和α角的正弦.(注:方位角是指正北方向按顺 时针方向旋转形成的角). 39.已知向量m =(sin A ,cos A ),n =1)-,m ·n =1,且A 为锐角. (Ⅰ)求角A 的大小; (Ⅱ)求函数()cos 24cos sin ()f x x A x x R =+∈的值域. 40 .已知:,cos ),(cos ,cos )a x x b x x ==r r ,122)(-+?=m b a x f ρ ρ(R m x ∈,). (Ⅰ) 求()f x 关于x 的表达式,并求()f x 的最小正周期; (Ⅱ) 若 ] 2, 0[π∈x 时,()f x 的最小值为5,求m 的值. 41.已知向量(sin ,2)(1,cos )a b θθ=-=与互相垂直,其中(0,)2πθ∈. (1)求sin cos θθ和的值; (2 )若sin()2 π θ??-=<<,求cos ?的值. 42. 已知函数)2sin 3,sin 2(),1,(sin ,1)(m x x x x f +==-?=其中 (1)求函数)(x f 的最小正周期和单调递减区间; (2)当恒成立时,不等式5)(2]2 ,0[<<-∈x f x π ,求实数m 的取值范围。 第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线 段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值. 高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法 解三角形题型总结 题型一:正选定理的应用 1. ABC ?的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、,若,2a A B ==, 则cos _____B = B. C. D. 2. 如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 3. 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若 ( ) C a A c b cos cos 3=-,则 =A cos _________________。 4.△ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,a sin A sin B +b cos 2A =a 2,则=a b A . B . C D 5.ABC ?中,3 π = A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) A . 33sin 34+??? ? ?+πB B . 36sin 34+??? ??+πB C .33sin 6+??? ??+πB D .36sin 6+??? ? ? +πB 6. 在ABC ?中,已知3,1,60===?ABC S b A o ,则=++++C B A c b a sin sin sin 7.设ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35 cos ,cos ,3,513 A B b = ==则c =______2021年高中数学-平面向量专题
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