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高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ）

一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。

第一节二重积分

教学目的：

1、熟悉二重积分的概念；

2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理；

3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法；

4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序教学重点：

1、二重积分的性质和几何意义；

2、二重积分在直角坐标系下的计算教学难点：

1、二重积分的计算；

2、二重积分计算中的定限问题教学内容：

一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积

设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.

首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η

i ),

以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为

f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ).

这个平顶柱体体积之和

i i i n

i f V σηξ?≈=∑),(1

可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即

i i i n

i f V σηξλ?==→∑),(lim 1

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

2. 平面薄片的质量.

设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D , 它在点(x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 这里ρ(x , y )>0且在D 上连续. 现在要计算该薄片的质量M .

用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量:

ρ(ξ i , η i )?σ i . 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值:

i i i n

i M σηξρ?≈=∑),(1

将分割加细, 取极限, 得到平面薄片的质量

i i i n

i M σηξρλ?==→∑),(lim 1

其中λ是个小区域的直径中的最大值.

定义设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小闭区域

?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .

其中?σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个?σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和

i i i n

i f σηξ?=∑),(1

如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作

σd y x f D

??),(, 即

i i i n

i D

f d y x f σηξσλ?==→∑??),(lim ),(1

0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素:

如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?σi 的边长为?x i 和?y i , 则?σi =?x i ?y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作

dxdy y x f D

??),(

其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.

二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.

二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.

二、二重积分的性质

性质1

σσd y x f k d y x kf D

????=),(),(.

性质2 设c 1、c 2为常数, 则

σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c D

??????+=+),(),()],(),([2121.

性质3 如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则

σσσd y x f d y x f d y x f D D D

??????+=2

),(),(),(.

性质4

σσσ==?????D

d d 1(σ为D 的面积).

性质5 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式

σσd y x g d y x f D

????≤),(),(.

性质6 σσd y x f d y x f D

????≤|),(||),(|

性质7(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得

σηξσ),(),(f d y x f D

=??.

三、二重积分的计算法

X --型区域: D : ?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域: D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d . 混合型区域:

设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b }. 此时二重积分

σd y x f D

??),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的曲顶柱体的体积.

对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[?1(x 0), ?2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为

()

(000201),()(x x dy y x f x A ??.

根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为

?=b

dx x A V )(dx dy y x f b a x x ??

=]),([)

()

(21??.

即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D

=]),([),()

()

(21??σ.

可记为

x x D

dy y x f dx d y x f )

()

(21),(),(??σ.

类似地, 如果区域D 为Y --型区域:

D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d ,

则有

????=d

c y y D

dx y x f dy d y x f )

()

(21

),(),(ψψσ.

例1：计算σd xy D

??, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域.

解：画出区域D .

方法一可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是

????=2

11][x

dx xydy d xy σ??-=?=2132

112)(21]2[dx x x dx y x x 89]24[212124=-=x x .

注: 积分还可以写成??????==21

x D

ydy xdx xydy dx d xy σ.

方法二也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是

????=2

][y D

dy xydx d xy σ??-=?=2132

122)22(]2[dy y y dy x y y 89]8[2142

=-=y y . 例2：计算

σd y x y

??-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区域.

解：画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是

????-+=-+-1

2211

2211x

dy y x y dx d y x y σ

??----=-+-=11

311123

22)1|(|31])1[(31dx x dx y x x

1)1(32103=--

=?dx x .

也可D 看成是Y --型区域：-1≤y ≤1, -1≤x

????---+=-+1

222

211y

dx y x ydy d y x y σ.

例3：计算

σd xy D

, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2

=x 所围成的闭区域. 解：积分区域可以表示为D =D 1+D 2, 其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是

??--+=41

x x

xydy dx xydy dx d xy σ.

积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是

????-+=2

y y

xydx dy d xy σ?-+=2

22]2[dy y x y y ?--+=21

52])2([21dy y y y 8

55]62344[21216234=-++=-y y y y .

讨论积分次序的选择.

例4：求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积.

解：设这两个圆柱面的方程分别为x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了.

第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -, 0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是

σd x R V D

-=2

--=R x R dy x R dx 0

222

28?--=R

x R

dx y x R 0

0222

][8

223

16)(8

R dx x R R

=-=?.

四、二重积分的换元法 1.利用极坐标计算二重积分

有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、

θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分

σd y x f D

??),(. 按二重积分的定义

i n

i i i D

f d y x f σηξσλ?=∑??=→1

),(lim ),(. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式.

以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为:

i i i i i i θρθρρσ???-???+=?2221)(21i i i i θρρρ????+=)2(2

1 i i i i i θρρρρ?????++=

)

(i i i θρρ??=,

其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值.

在?σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ), 则有 i i i θρξcos =, i i i θρηsin =.

于是 i i n

i i i i i i i n i i i f f θρρθρθρσηξλλ??=?∑∑=→=→1

)sin ,cos (lim ),(lim , 即

θρρθρθ

ρσd d f d y x f D

)s i n ,c o s (),(????=. 若积分区域D 可表示为 ? 1(θ)≤ρ≤? 2(θ), α≤θ≤β, 则

ρρθρθρθθρρθρθρθ?θ?β

d f d d d f D

???=)

()

(21)sin ,cos ()sin ,cos (.

讨论:如何确定积分限?

ρρθρθρθθρρθρθρθ?βαd f d d d f D

???=)

)sin ,cos ()sin ,cos (.

ρρθρθρθθρρθρθρθ?πd f d d d f D

???=)

)sin ,cos ()sin ,cos (.

例5：计算

??--D

y x

dxdy e 2

, 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的闭区域.

解：在极坐标系中, 闭区域D 可表示为0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是

????---=D

y x d d e

dxdy e

θρρρ2

2θθρρπ

ρπρd e d d e

020

1[ ][2

???---==

)1()1(2

a a e d e ---=-=?πθπ

注: 此处积分

??--D

y x

dxdy e 2

也常写成

??≤+--2

222

a y x y x

dxdy e .

利用

)1(2

222

a a y x y x

e dxdy e -≤+---=??π计算广义积分dx e x 2

-+∞

设 D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0}, D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0}, S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }. 显然D 1?S ?D 2. 由于02

>--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式

??????------<<2

D y x

y x

D y x

dxdy e dxdy e dxdy e .

因为

)(2

?????-----=?=R

x R

y R

x S

y x

dx e dy e dx e dxdy e ,

又应用上面已得的结果有

)1(4

R D y x

e dxdy e ----=??π,

)1(4

2R D y x

e dxdy e ----=??π,

于是上面的不等式可写成

)1(4

)()1(4

222220

R R x R e dx e e ----<<-?

ππ.

令R →+∞, 上式两端趋于同一极限

π, 从而220 π=-∞+?dx e x .

例6：求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积. 解：由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍.

??--=D

dxdy y x a V 22244,

其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为 0≤ρ≤2a cos θ , 2

0πθ≤≤.

于是 ?

-=-=20cos 20

222

24444

θρρρθθρρρa D

d a d d d a V

22(332)sin 1(33222032-=-=?πθθπ

a d a .

小结：

1、二重积分的定义、几何意义；

2、二重积分的计算（直角坐标，极坐标）

3、二重积分的转化

作业：习题10-1

2 (1) (3)、 6 (1)(5)、 8 (1) (4)、9(1)、 10(2)、 11(1)(3)

第三节三重积分

教学目的：

1、熟悉三重积分的概念；

2、了解三重积分的性质；

3、掌握三重积分在直角坐标系下的计算方法；

4、掌握三重积分在柱面坐标系、球面坐标系下的计算方法教学重点：

1、三重积分的概念和计算；

2、三重积分在柱面坐标系下的计算教学难点：

1、三重积分的计算；

2、三重积分在球面坐标系下的计算教学内容：

一、三重积分的概念

定义设f (x , y , z )是空间有界闭区域Ω上的有界函数. 将Ω任意分成n 个小闭区域

?v 1, ?v 2, ? ? ? , ?v n

其中?v i 表示第i 个小闭区域, 也表示它的体积. 在每个?v i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积f (ξ i , η i , ζ i )?v i (i =1, 2, ? ? ?, n )并作和i i i i n

i v f ?=∑),,(1ζηξ. 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在,

则称此极限为函数f (x , y , z )在闭区域Ω上的三重积分, 记作

dv z y x f ???Ω

),,(. 即

i i i i n

i v f dv z y x f ?==→Ω

∑???),,(lim ),,(1

0ζηξλ. 三重积分中的有关术语:

???Ω

——积分号, f (x , y , z )——被积函数, f (x , y , z )dv ——被积表达式, dv

体积元素, x , y , z ——积分变量, Ω——积分区域.

在直角坐标系中, 如果用平行于坐标面的平面来划分Ω, 则?v i =?x i ?y i ?z i , 因此也把体积元素记为dv =dxdydz , 三重积分记作

??????ΩΩ

=dxdydz z y x f dv z y x f ),,(),,(.

当函数f (x , y , z )在闭区域Ω上连续时, 极限i i i i n

i v f ?=→∑),,(lim 1

0ζηξλ是存在的, 因此f (x , y , z )在Ω上的三重

积分是存在的, 以后也总假定f (x , y , z )在闭区域Ω上是连续的.

三重积分的性质: 与二重积分类似.

比如

dv z y x g c dv z y x f c dv z y x g c z y x f c ?????????Ω

±=±),,(),,()],,(),,([2121;

dv z y x f dv z y x f dv z y x f ?????????ΩΩΩ+Ω+=2

1),,(),,(),,(;

V dv =???Ω

, 其中V 为区域Ω的体积.

二、三重积分的计算

1. 利用直角坐标计算三重积分

三重积分的计算: 三重积分也可化为三次积分来计算. 设空间闭区域Ω可表为

z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b ,

则

σd dz z y x f dv z y x f D

y x z y x z ???

???

=Ω

]),,([),,()

,()

,(21

???

a x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx

)

()

,()

,(2121]),,([ ???=b

a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx )

,()

,()()(21

),,(,

即

???

=Ω

y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f )

,()

()

(2121),,(),,(.

其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 提示:

设空间闭区域Ω可表为

z 1(x , y )≤z ≤z 2(x , y ), y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b ,

计算???Ω

dv z y x f ),,(.

基本思想:

对于平面区域D : y 1(x )≤y ≤y 2(x ), a ≤x ≤b 内任意一点(x , y ), 将f (x , y , z )只看作z 的函数, 在区间[z 1(x , y ), z 2(x , y )]上对z 积分, 得到一个二元函数F (x , y ),

,()

,(21),,(),(y x z y x z dz z y x f y x F ,

然后计算F (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 这就完成了f (x , y , z )在空间闭区域Ω上的三重积分.

???

??=D

y x z y x z D

d dz z y x f d y x F σσ]),,([),()

,()

,(21??

x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx )

()

,()

,(2121]),,([,

则

σd dz z y x f dv z y x f D

y x z y x z ??????=Ω

]),,([),,()

,()

,(21

???=b

a x y x y y x z y x z dy dz z y x f dx

)

()()

,()

,(21

]),,([

?=b

a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx )

,()

()

(2121

),,(.

即

??????=Ω

a y x z y x z x y x y dz z y x f dy dx dv z y x f )

,()

,()()(21

),,(),,(.

其中D : y 1(x )≤ y ≤ y 2(x ), a ≤x ≤b . 它是闭区域Ω在xOy 面上的投影区域. 例1：计算三重积分

dxdydz x ???Ω

, 其中Ω为三个坐标面及平面x +2y +z =1所围成的闭区域.

解：作图, 区域Ω可表示为: 0≤z ≤1-x -2y , )1(2

10x y -≤≤, 0≤x ≤1. 于是

???---Ω

0210210

x y x xdz dy dx dxdydz x ??

---=1

210

)21(x

dy y x xdx ?=+-=

103248

1)2(41dx x x x . 讨论: 其它类型区域呢?

有时, 我们计算一个三重积分也可以化为先计算一个二重积分、再计算一个定积分. 设空间闭区域Ω={(x , y , z )|(x , y )∈D z , c 1≤ z ≤c 2}, 其中D z 是竖坐标为z 的平面截空间闭区域Ω所得到的一个平面闭区域, 则有

??????

=Ω

D c c dxdy z y x f dz dv z y x f ),,(),,(2

例2：计算三重积分dxdydz z ???Ω

, 其中Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所围成的空间闭区域.

解：空间区域Ω可表为:

222221c z b y a x -≤+, -c ≤ z ≤c .

于是 ???

???-Ω

=c c D z

dxdy dz z dxdydz z 22 322215

4)1(abc dz z c z ab c c

ππ=-=?-. 练习：

1. 将三重积分dxdydz z y x f I ???Ω

),,(化为三次积分, 其中

(1)Ω是由曲面z =1-x 2-y 2, z =0所围成的闭区域.

(2)Ω是双曲抛物面xy =z 及平面x +y -1=0, z =0所围成的闭区域. (3)其中Ω是由曲面z =x 2+2y 2及z =2-x 2所围成的闭区域. 2. 将三重积分dxdydz z y x f I ???

),,(化为先进行二重积分再进行定积分的形式, 其中Ω由曲面z =1-x 2-y 2,

z =0所围成的闭区域.

三、三重积分的换元法 1. 柱面坐标变换

设M (x , y , z )为空间内一点, 并设点M 在xOy 面上的投影P 的极坐标为P (ρ, θ ), 则这样的三个数ρ、θ 、z 就叫做点M 的柱面坐标, 这里规定ρ、θ 、z 的变化范围为: 0≤ρ<+∞, 0≤θ ≤2π , -∞

x =ρcos θ, y =ρsin θ, z =z . ???

??===z

z y x θρθ

ρsin cos

柱面坐标系中的体积元素: dv =ρd ρd θdz . 简单来说, dxdy =ρd ρd θ , dxdydz =dxdy ?dz =ρd ρd θ dz . 柱面坐标系中的三重积分:

??????Ω

=dz d d z f dxdydz z y x f θρρθρθρ),sin ,cos (),,(.

例3：利用柱面坐标计算三重积分

???Ω

zdxdydz , 其中Ω是由曲面z =x 2

+y 2

与平面z =4所围成的闭区域.

解：闭区域Ω可表示为: ρ2≤z ≤4, 0≤ρ≤2, 0≤θ≤2π. 于是

??????Ω

=dz d d z zdxdydz θρρ

???=

πρρρθ202

2zdz d d ??-=π

ρρρθ202

04)16(21d d

πρρπ3

64]618[2212062=-?=.

2. 球面坐标变换

设M (x , y , z )为空间内一点, 则点M 也可用这样三个有次序的数r 、?、θ 来确定, 其中

r 为原点O 与点M 间的距离, ?为→

OM 与z 轴正向所夹的角, θ为从正z 轴来看自x 轴按逆时针方向转到有向线段→

OP 的角, 这里P 为点M 在xOy 面上的投影, 这样的三个数r 、? 、θ 叫做点M 的球面坐标, 这里r 、?、θ 的变化范围为

0≤r <+∞, 0≤?<π, 0≤θ ≤2π.

点M 的直角坐标与球面坐标的关系:

x =r sin ?cos θ, y =r sin ?sin θ, z =r cos ? . ???

??===?

θ?θ

?cos sin sin cos sin r z r y r x

球面坐标系中的体积元素: dv =r 2sin ?drd ?d θ . 球面坐标系中的三重积分:

θ???θ?θ?d d r d

r r r r f dv z y x f sin )cos ,sin sin ,cos sin (),,(2??????Ω

=. 例4：求半径为a 的球面与半顶角α为的内接锥面所围成的立体的体积. 解：该立体所占区域Ω可表示为: 0≤r ≤2a cos ?, 0≤?≤α, 0≤θ≤2π. 于是所求立体的体积为 ??????Ω

θ??d drd r

dxdydz V sin 2

???

=πα?

??θ20

cos 20

2sin a dr r d d

=α

??π0

cos 20

2sin 2a dr r d

α???π033s i n c o s 316d a )c o s 1(3

443

a a -=π. 提示: 球面的方程为x 2+y 2+(z -a )2=a 2, 即x 2+y 2+z 2=2az . 在球面坐标下此球面的方程为r 2=2ar cos ?, 即r =2a cos ?. 小结：

1、三重积分的定义；

2、三重积分的计算（化三重积分为三次积分）；

3、三重积分换元法（柱面坐标，球面坐标）

作业：习题10-3

2 (1)(3)(5)、 4(1)(2)、5(1)(2)、 6(2)(4)

第四节重积分的应用

教学目的：

1、理解空间曲面的面积；

2、掌握空间曲面面积的计算教学重点：空间曲面面积的计算教学难点：空间曲面面积的计算教学内容：

有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理. 这种元素法也可推广到二重积分的应用中. 如果所要计算的某个量U 对于闭区域D 具有可加性(就是说, 当闭区域D 分成许多小闭区域时, 所求量U 相应地分成许多部分量, 且U 等于部分量之和), 并且在闭区域D 内任取一个直径很小的闭区域d σ时, 相应的部分量可近似地表示为f (x , y )d σ 的形式, 其中(x , y )在d σ内, 则称f (x , y )d σ 为所求量U 的元素, 记为dU , 以它为被积表达式, 在闭区域D 上积分: ??=

d y x f U σ),(,

这就是所求量的积分表达式. 一、空间曲面的面积

设曲面S 由方程 z =f (x , y )给出, D 为曲面S 在xOy 面上的投影区域, 函数f (x , y )在D 上具有连续偏导数f x (x , y )和f y (x , y ). 现求曲面的面积A .

在区域D 内任取一点P (x , y ), 并在区域D 内取一包含点P (x , y )的小闭区域d σ, 其面积也记为d σ. 在曲面S 上点M (x , y , f (x , y ))处做曲面S 的切平面T , 再做以小区域d σ的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面. 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为dA . 又设切平面T 的法向量与z 轴所成的角为γ , 则

σγ

σd y x f y x f d dA y x ),(),(1cos 22++==,

这就是曲面S 的面积元素. 于是曲面S 的面积为

σd y x f y x f A y x D

),(),(122++=??,

或 d x d y

z x z A D

22)()(1??+??+=

?. 讨论: 若曲面方程为x =g (y , z )或y =h (z , x ), 则曲面的面积如何求？

dydz z

x y x A yz

D ????+??+=22)()(1,

或 dzdx x

y z y A zx

D ??

??+??+=

2)()(

1. 其中D yz 是曲面在yOz 面上的投影区域，D zx 是曲面在zOx 面上的投影区域. 例1 求半径为a 的球的表面积.

解：取上半球面方程为222z x y a =

+?，由

?=?

y ?=? 所以

24x y a x y a a A a d a p

p +?+?====蝌蝌

蝌

二、平面薄片的重心

设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 假定μ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片的质心坐标.

在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为

dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.

平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为

??=D

x d y x y M σμ),(, ??=D

y d y x x M σμ),(.

设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有

y M M x =?, x M M y =?.

于是

????==D

y d y x d y x x M M x σμσμ),(),(, ??

??==D

D x d y x d y x y M M

y σμσμ),(),(. 在闭区域D 上任取包含点P (x , y )小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩元素分别为

dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ.

平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为

??=D

x d y x y M σμ),(, ??=D

y d y x x M σμ),(.

设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有

y M M x =?, x M M y =?.

于是

????==

d y x d y x x M

M x σ

μσ

μ),(),(, ????==

d y x d y x y M

M y σ

μσ

μ),(),(.

讨论: 如果平面薄片是均匀的, 即面密度是常数, 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？求平面图形的形心公式为

????=

d xd x σ

, ????=

d yd y σ

例2 求位于两圆ρ=2sin θ 和ρ=4sin θ 之间的均匀薄片的质心.

解因为闭区域D 对称于y 轴, 所以质心) ,(y x C 必位于y 轴上, 于是0=x . 因为

????=D

d d yd θρθρ

σsin 2

πρρθθθ

π7sin sin 4sin 220

==?

?d d ,

πππσ31222=?-?=??d D

所以3

737===

????ππσσ

D d yd y . 所求形心是)3

7 ,0(C .

三、转动惯量

设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为μ(x , y ), 假定ρ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量.

在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量的元素分别为

dI x =y 2μ(x , y )d σ , dI y =x 2μ(x , y )d σ .

整片平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量分别为

σμd y x y I D

x ),(2??=, σμd y x x I D

y ),(2??=.

例3 求半径为a 的均匀半圆薄片(面密度为常量μ)对于其直径边的转动惯量. 解取坐标系如图, 则薄片所占闭区域D 可表示为

D ={(x , y )| x 2+y 2≤a 2, y ≥0}

而所求转动惯量即半圆薄片对于x 轴的转动惯量I x ,

?????==

x d d d y I θρρθρμσμ222sin

????==ππ

θθμρρθθμ024003

s i n 4 s i n d a d d a

244

1241Ma a =?=πμ, 其中μπ22

1a M =为半圆薄片的质量. 类似地, 占有空间有界闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )的物体对于x 、y 、z 轴的转动惯量为

???Ω

+=dv z y x z y I x ),,()(22ρ,

???Ω

+=dv z y x x z I y ),,()(22ρ,

???Ω

+=dv z y x y x I z ),,()(22ρ.

四、引力

我们讨论空间一物体对于物体外一点P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力问题.

设物体占有空间有界闭区域Ω, 它在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z ), 并假定ρ(x , y , z )在Ω上连续. 在物体内任取一点(x , y , z )及包含该点的一直径很小的闭区域dv (其体积也记为dv ). 把这一小块物体的质量ρdv 近似地看作集中在点(x , y , z )处. 这一小块物体对位于P 0(x 0, y 0, z 0)处的单位质量的质点的引力近似地为

),,(z y x dF dF dF d =F ))

)(,,(,)

)(,,((3

0dv r z z z y x G

dv r y y z y x G

dv r x x z y x G

---=ρρρ,

其中dF x 、dF y 、dF z 为引力元素d F 在三个坐标轴上的分量, 202020)()()(z z y y x x r -+-+-=, G 为引力常数. 将dF x 、dF y 、dF z 在Ω上分别积分, 即可得F x 、F y 、F z , 从而得F =(F x 、F y 、F z ). 小结：

1、曲面面积；

2、平面薄片重心、转动惯量、引力

作业：习题10-4 2、3、4

第五节对弧长的曲线积分

教学目的：

1、掌握对弧长的曲线积分的概念及性质；

2、掌握对弧长的曲线积分的计算方法；

3、会求曲线积分所对应的弧长教学重点：概念和计算方法教学难点：曲线积分弧长的计算教学内容：

一、对弧长的曲线积分的概念曲线形构件的质量:

设一曲线形构件所占的位置在xOy 面内的一段曲线弧L 上, 已知曲线形构件在点(x , y )处的线密度为

μ(x , y ). 求曲线形构件的质量. 把曲线分成n 小段, ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n (?s i 也表示弧长);任取(ξi , ηi )∈?s i , 得第i

小段质量的近似值μ(ξi , ηi )?s i ;整个物质曲线的质量近似为i i i n

i s M ?≈=∑),(1ηξμ; 令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?,

?s n }→0, 则整个物质曲线的质量为

i i i n

i s M ?==→∑),(lim 1

0ηξμλ.

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

定义设L 为xOy 面内的一条光滑曲线弧, 函数f (x , y )在L 上有界. 在L 上任意插入一点列M 1, M 2, ? ? ?, M n -1把L 分在n 个小段. 设第i 个小段的长度为?s i , 又(ξi , ηi )为第i 个小段上任意取定的一点, 作乘积f (ξi ,

ηi )?s i , (i =1, 2,? ? ?, n ), 并作和i i i n

i s f ?=∑),(1

ηξ, 如果当各小弧段的长度的最大值λ→0, 这和的极限总存在,

则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作

ds y x f L ),(?, 即

i i i n

i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(1

0ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.

设函数f (x , y )定义在可求长度的曲线L 上, 并且有界. 将L 任意分成n 个弧段: ?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n , 并用?s i 表示第i 段的弧长; 在每一弧段?s i 上任取一点(ξi , ηi ), 作和i i i n

i s f ?=∑),(1ηξ；令λ=max{?s 1, ?s 2, ? ? ?, ?s n },

如果当λ→0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在曲线弧L 上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作

ds y x f L ),(?, 即

i i i n

i L s f ds y x f ?==→∑?),(lim ),(1

0ηξλ. 其中f (x , y )叫做被积函数, L 叫做积分弧段.

定义设函数f (x,y )在分段光滑曲线L 上有定义，A ，B 是的端点，依次用分点A=M 0，M 1，....，M n-1，M n =B 把L 分成n 个小弧段

01121,,,n n M M M M M M -

每小段的弧长记为，在上任取一点，若时，和式的极限存在，则称函数在曲线L 上积分，且称该极限值为函数沿曲线L 对弧长的曲线积分，记作

(,)L

f x y ds ò

，即

(,)lim (,).n

i i i L

i f x y ds f s l x h ?==

D ?ò

由定义可知，曲线弧的质量M 等于线密度(,)x y r 沿曲线L 对弧长的曲线积分，即

(,).L

M x y ds r =

特别地，当(,)1x y r o时，.L

M ds s ==

二、对弧长的曲线积分的性质

设(,)f x y ，(,)g x y 在L 上可积，则有以下性质：（1）(,)(,);L

kf x y ds k

f x y ds =蝌

（2）

[(,)(,)](,)(,);L

f x y

g x y ds

f x y ds

g x y ds ??

蝌

（3）如果曲线L 由12,,,n L L L L 几部分组成，则在弧L 上的积分等于在各部分上积分之和，即

(,)(,)(,)(,).n

L L L f x y ds f x y ds f x y ds f x y ds =+

蝌

蝌L

三、对弧长的曲线积分的计算法

定理设曲线L 由参数方程(),()()x x t y y t t

a b ==＃表示，(),()x t y t 在[,]a b 上有一阶连续

导数，且22'()'()0x t y t +?（即曲线L 是光滑的简单曲线），函数(,)f x y 在曲线上连续，则

(,)((),(.L

f x y ds f x t y t b a

蝌

若曲线L 由方程()()y y x a x b =＃给出，()y x 在[,]a b 上有一阶连续导数，且(,)f x y 在曲线L

上连续，则

(,)(,(.b L

f x y ds f x y x =

蝌

类似的，若曲线L 由方程()()x x y c y d =＃给出，()x y 在[,]c d 上有一阶连续导数，且(,)f x y 在

曲线L 上连续，则

(,)((),.d L

f x y ds f x y y =

蝌

例1、计算曲线积分L I xyds =?，L 是圆()222

0x y a a +=>在第一象限中的部分.

解：由圆的参数方程cos ,sin ,02

x a t y a t t π==≤≤

可得 'sin 'cos t t x a t y a t ==-，

ds adt ===

按公式，得

cos sin L

I xyds a t a t adt π

==????

sin 22

a tdt π

a =

例2

、计算曲线积分

曲线L 是抛物线2

y x =

自点(0,0)到点(2,1)的一段弧.

解：因为ds ==而x 的变化区间是[0,2],由公式得

22200

122(1)|1).2343

x =

=+=- 例3、求L

I yds =

其中L:y 2=4x 从(1,2)到(1,-2)一段。

解：2

:(),224

y L x y y ?==-≤≤，则

2220.

I yds --=

===蝌

空间曲线Γ由参数方程(),(),()()x x t y y t z z t t a b ===＃表示，则

(,,)((),(),(.f x y z ds f x t y t z t b a

=蝌

例4、计算2221

ds x y z Γ++?，其中Γ为曲线cos ,sin ,t t t x e t y e t z e ===上相应于t 从0变到2的

这段弧. 解：

=t ds dt

22202

2200

1[](1)222

t t ds dt

x y z e dt e Γ---=++==-=-???

例5、计算曲线积分ds z y x )(222++?Γ, 其中Γ为螺旋线x =a cos t 、y =a sin t 、z =kt 上相应于t 从0到达2π的

一段弧.

解：在曲线Γ上有x 2+y 2+z 2=(a cos t )2+(a sin t )2+(k t )2=a 2+k 2t 2, 并且

dt k a dt k t a t a ds 22222)cos ()sin (+=++-=,

于是

ds z y x

)(2

++?Γ?++=π

22222)(dt k a t k a

)43(3

222222k a k a ππ++=.

小结：

1、对弧长曲线积分的概念；

2、对弧长曲线积分的计算

L ：(),()()x x t y y t t

a b ==＃

(,)((),(.L

f x y ds f x t y t b a

蝌

作业：习题10-5

(1) (2) (3)

高等数学复旦大学出版社课后习题答案

1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

206 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1 ）,{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; （2）2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; （3）2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解：（1）因为当(, )x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤

207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1 ） 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? （2 ） 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解：（1 ） (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以

高等数学习题11答案(复旦大学出版社)

261 习题十一 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)() 22d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0．

262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ ，其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x ?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；解：(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ； (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径；

高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ）一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。第一节二重积分教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题教学容：一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

高等数学微积分复习题

第五章一元函数积分学 1．基本要求（1）理解原函数与不定积分的概念，熟记基本积分公式，掌握不定积分的基本性质。（2）掌握两种积分换元法，特别是第一类换元积分法（凑微分法）。（3）掌握分部积分法，理解常微分方程的概念，会解可分离变量的微分方程，牢记非齐次线性微分方程的通解公式。（4）理解定积分的概念和几何意义，掌握定积分的基本性质。（5）会用微积分基本公式求解定积分。（6）掌握定积分的凑微分法和分部积分法。（7）知道广义积分的概念，并会求简单的广义积分。（8）掌握定积分在几何及物理上的应用。特别是几何应用。 2．本章重点难点分析（1）本章重点：不定积分和定积分的概念及其计算；变上限积分求导公式和牛顿—莱布尼茨公式；定积分的应用。（2）本章难点：求不定积分，定积分的应用。重点难点分析：一元函数积分学是微积分学的一个重要组成部分，不定积分可看成是微分运算的逆运算，熟记基本积分公式，和不定积分的性质是求不定积分的关键，而定积分则源于曲边图形的面积计算等实际问题，理解定积分的概念并了解其几何意义是应用定积分的基础。 3．本章典型例题分析例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写

高数2016寒假训练试卷一(一元函数微积分学与微分方程)答案

淮安现代教育2016年“专转本”高等数学寒假训练试卷一参考答案(一元函数微积分学与微分方程) 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 1、（ B ） 2、（ B ） 3、（ C ） 4、（ A ） 5、（ C ） 6、（ D ）二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 7、2ln 2 8、-2 9、-2 10、2 2sin x x dx - 11、1266 (cos sin )22 x y e C x C x =+ 12、 2π （注：原题须修改为 ( ) 2 2 201322arctan 4-+-? dx x x x ）三、解答题（本大题共8小题，每小题8分，满分64分） 13、求极限：2 03 arcsin lim ln(1)tan(121) x x tdt x x →---? 解：原式2 03arcsin lim 41()(2) 2 x x tdt x x →'=-?-? 223300arcsin 211lim lim 8422x x x x x x x x →→??'=== 14、设函数)(x y y =由参数方程2 arctan ln(1) x t y t =??=+?确定，求2 2,dx y d dx dy 解：22 211124t dy dt t dx dt t dy t dx ++' == = 2 22 21 122(1)8t d y t dx +'==+ 15、求曲线1y y xe -=在点()0,1处的切线方程解：方程两边对x 求导得: 0, 51y y y y e y e xe y y xe ''''--?==- 切线斜率01 x y k y e ==' == ，则切线方程为:1y e x -=?，即:108ex y '-+= 16、设x y x =，求dy dx 解： ln 2x x x y x e '== ，()ln 1ln ln 18x x x dy e x x x x dx x ??'=+?=+ ?? ? 17、求微分方程()2 2210x dy xy x dx +-+=的通解解：原方程可化为：2221 2x y y x x -'+ = ，所以通解22 2 216dx dx x x x y e e dx C x -??-??'=+ ???? ()222118-'=-+=-+ C x x x C x x 18、计算不定积分2 cos x xdx ? 解：2cos x xdx ?2222 (sin )sin sin ()sin 2sin 4x d x x x xd x x x x xdx '==-=-??? 22 sin 2(cos )sin 2(cos cos )x x xd x x x x x xdx =+=+-?? 2 sin 2cos 2sin 8x x x x x C '=+-+ 19、计算定积分 52 31 dx x +-? 解：令1x t -= ，则2 1,22x t dx tdt '=+= 5 222 121123 5 52(1)2[3l n (3)] 26l n 8 334 31''==-=-+=-+++-??? dx tdt dt t t t t x 20、利用函数的单调性证明不等式: 当0x >时，(1)ln(1)arctan x x x ++> 证明：令()(1)ln(1)arctan 2f x x x x '=++- ，()2 22 11ln(1)ln(1)4111x x f x x x x x x +''=++-=+++++ 当0>x 时，()0f x '>，于是()f x 在()0,+∞内单调递增，且()f x ∞在[0,+)内连续，所以()()00>=f x f ，因而有(1)(1)arctan 8x ln x x '++> 四、证明题（本大题共2小题，每小题9分，满分18分） 21、证明：方程4 410x x -+=有且仅有一个小于1的正实根证明：(1)存在性：令4 ()41f x x x =-+，则()f x 在[0，1]上连续2' ()()010,120f f =>=-<，由零点定理知，()()0,10f ?∈=ξξ使即方程4 410x x -+=有小于1的正实根5ξ' (2)唯一性：4 ()41f x x x =-+ ，()33 0,1()44=410x f x x x '∈=--当时，()<7' ()f x ∴在[0，1]上单调减少,故()0f x =在[0，1]上最多有一个实根

《高等数学》(上)一元函数微分学复习题

《高等数学》（上）“一元函数微分学”复习题 1.设x x f +=1)(ln ，求)(x f '. 2.设函数)(x f 二阶可导，且0)0(=f ，1)0(='f ，2)0(=''f ，求20)(lim x x x f x -→. 3.设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim 2=-→x x f x ，求)2(f '. 4.若)(sin x f y =，求dy . 5.若函数)(x f 可导，)(sin 2x f y =则 dx dy 为多少？ 6.设函数)1ln()(2x x f -=，求)(x f ''. 7.求等边曲线x y 1=在点2) ,2 1(的切线方程. 8.设函数???≥+<=0 ),1ln(0,sin )(x x x x x f ，求)0(-'f 、)0(+'f ，并判断)0(f '是否存在. 9.确定常数a ，b 使函数? ??>-≤+=0,0,13sin )(x b ae x x x f x 在0=x 处可导. 10.求曲线???==t y t x sin 2cos 在3π=t 处的切线方程和法线方程. 11.求由方程0=-+e xy e y 所确定的隐函数的微分dy . 12.设函数x x x y ?? ? ??+=1，求其导数y '. 13.设曲线的参数方程为?????==-t t e y e x 23，求22dx y d . 14.求由方程12 2=-y x 所确立的隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d . 15.设函数)(x f y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求() 1,1dx dy . 16.求椭圆442 2=+y x 在点()2,0处的二阶导数22dx y d . 17.设()3,1是曲线2 3bx ax y +=的拐点，求b a ,.

高等数学复旦大学出版社习题答案七

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z=

即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.

复旦高等数学B期终试卷Word版

复旦大学数学科学学院 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷课程名称：__高等数学B _________ 课程代码： MATH120004.02.03__ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷姓名：学号：专业：题号一二三四五六七八总分得分 (以下为试卷正文) （装订线内不要答题）

注意：答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一、简单计算（每题4分，共40分） 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数，() xy y x y x f u 2,,2 222-+=，求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数，且F 具有连续的一阶偏导数，求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。

6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。（装订线内不要答题）

二、设 ()333,y x y x f +=，判断()y x f ,在()0,0处是否可微，为什么？（6分）三、计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ，其中D 是由1=y ，2 x y =及0=x 所围成的有界闭区域。（6分）

高数一元函数积分学习题及答案

第四章不定积分一、是非题：１．已知()211 arcsin x x -='π+，则?π+=-x dx x arcsin 112．错 2. 连续函数的原函数一定存在．对 3. ()()?? =dx x f d dx x f dx d ．错 4. ax y ln =和x y ln =是同一函数的原函数．对 ()2x x e e y -+=和()2x x e e y --=是同一函数的原函数．对 5. ()()??=dx x f k dx x kf （k 是常数）错二、填空题：１．()()? ='dx x f x f （C x f +)(ln ）．２．()?=''dx x f x （()C x f x f x x f xd +-'='? )()( ）．３．知()()?+=C x F dx x f ，则()?=+dx b ax f （C b ax F a ++)(1），b a ,为常数．４．已知 ()?+=C e dx x f x ，则()=??dx x x f sin cos （ C e x +-cos ）．５．已知()[]x dx x f sin ='?，则()=x f （x sin ）． 6. 设()x f 、()x f '连续，则() ()[]=+'?dx x f x f 21（[]C x f +)(arctan ）． 7. 设()x f 的一个原函数为x e -，则()ln f x dx x =?（ 1C x + ）． 8. 函数（21ln(1)2x C ++）是2 1x x +的原函数． 9. 设()x f x e =，则()ln f x dx x '=?（x C +）．三、选择填空： 1．已知()x F 是()x f 的一个原函数，C 为任意常数，下列等式能成立的是（ a ） a ．()()?+=C x F x dF b ．()()? ='x F dx x F

高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ） f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。第一节二重积分教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题教学内容：一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为

f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值定义设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f (x y )在闭区域D 上的二重积分记作 σ d y x f D ??),( 即

高等数学上复旦第三版课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ；解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ；解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

高等数学复旦大学出版社习题答案十三

习题十三 1. 求下列函数在所示点的导数： (1)()sin cos t f t t ??= ???，在点π4t =；解：( )π4f ?? ?'= - ? (2)()22,x y g x y x y +??= ? ?+?? ，在点()(),1,2x y =；解：()111,224g ??= ??? (3)sin cos u v u T u v v v ???? ?= ? ??? ??? ，在点π1u v ????= ? ?????；解：1010101T -???? ?'=- ? ?π?? ??? (4)2222232u x y v x x y w x y y ?=-?=-??=-? 在点()3,2-. 解：6 26 6362-?? ?- ? ?--?? 2. 设()()(),,,,,,w f x y z u g x z v h x y ===，求,,w w w x y z ??????. 解：,w w w v w w u w v w w u x x v x y u y v x z u z ????????????=+=+=????????????， 3. 若r =()()21,,,,3n r r f r r n r ?????≥. 解： ()()()()()()()2231111,,,2,,,,,,,,,,,n n r x y z r x y z x y z f r f r x y z r nr x y z r r r r -'?=?=?=?=?=

4. 求22224428u x y z x y x y z =+++-+-在点，，，1，1，1，1，1，1(000)()()O A B ---的梯度，并求梯度为零的点. 解：()()()() 54,2,8,2,10,6,10,6,10,3,,42------- 5. 证明本章关于梯度的基本性质(1)~(5). 证明：略 6. 计算下列向量场A 的散度与旋度： (1)()222222,,y z z x x y =+++A ；解：()0,2,,y z z x x y --- (2)()222,,x y z x y z x y z =A ；解：()()()()2222226,,,xy x z y y x z z y x --- (3),,y x z y z z x x y ?? = ???A . 解：111yz zx xy ++，2222221,,y y z z x x xyz z y x z y x ??--- ??? 7. 证明: 本章关于散度的基本性质(1)~(3). 解：略。 8. 证明: 本章关于旋度的基本性质(1)~(3)（可应用算符?推导）解：略。 9. 证明：场()()()()2,2,2y z x y z x z x y z x y x y z =++++++A 是有势场，并求其势函数. 解：略。 10. 若流体流速()222,,x y z =A ，求单位时间内穿过18球面，22210,0,0x y z x y z ++=>>>的流量. 解：38 π 11. 设流速(),,y x c =-A (c 为常数)，求环流量： (1)沿圆周221,0x y z +==；解：2π (2)沿圆周()2251,0x y z -+==. 解：2π

高等数学讲义-- 一元函数微分学

24 第二章一元函数微分学 §2.1 导数与微分（甲）内容要点一、导数与微分概念 1、导数的定义设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量)()(00x f x x f y -?+=?。如果极限 x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000 存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0 x x y =' ， x x dx dy =， )(x x dx x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则称函数)(x f y =在点0x 处不可导。导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 0000 ()() ()l i m x x f x f x f x x x →-'= - 我们也引进单侧导数概念。右导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x + + +→?→-+?-'==-? 左导数：0 000000()()()() ()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x - - -→?→-+?-'==-? 则有 )(x f 在点0x 处可导)(x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-

高等数学下复旦大学出版习题九

194 习题九 1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ ,,343 αβγ===的方向导数。解： (1,1,2)(1,1,2) (1,1,2)cos cos cos u u u u y l x z αβγ????=++???? 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ cos cos cos 5.(2)()(3)343 xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。解：{4,3,12},13.AB AB == AB 的方向余弦为 4312cos ,cos ,cos 131313 αβγ= == (5,1,2) (5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) (5,1,2)(5,1,2) 2105 u yz x u xz y u xy z ?==??==??==? 故 4312982105.13131313 u l ?=?+?+?=? 3. 求函数222 21x y z a b ?? =-+ ??? 在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为 2222220,x y b x y y a b a y ''+==- 所以在点处切线斜率为 2.b y a a ' ==-

195 法线斜率为cos a b ?=. 于是tan sin ??== ∵ 2222,,z z x y x a y b ??=-=-?? ∴ 2222z l a b ??=- -= ?? 4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)2 2() e x y -+; (5)z =xy (a －x －y ),a ≠0. 解：（1）解方程组2 2 360 360 x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2). z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6 在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点. 在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8. (2)解方程组22 2e (2241)0 2e (1)0x x x y z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ??? . 22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x yy z x y y z y z =+++=+= 在点1 ,12??- ??? 处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ?? =-- ??? . (3) 解方程组2 2 (62)(4)0 (6)(42)0x y z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4). Z xx =－2(4y -y 2), Z xy =4(3－x )(2－y )

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