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高等数学下复旦大学出版习题九

194

习题九

1. 求函数u =xy 2+z 3-xyz 在点（1，1,2）处沿方向角为πππ

,,343

αβγ===的方向导数。解：

(1,1,2)(1,1,2)

(1,1,2)cos cos cos u u u u

y l x z αβγ????=++????

22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)πππ

cos

cos cos 5.(2)()(3)343

xy xz y yz z xy =++=--- 2. 求函数u =xyz 在点（5,1,2）处沿从点A （5,1,2）到B （9，4，14）的方向导数。

解：{4,3,12},13.AB AB ==

的方向余弦为

4312cos ,cos ,cos 131313

αβγ=

== (5,1,2)

(5,1,2)

(5,1,2)(5,1,2)

2105

u yz x u xz y u xy

?==??==??==? 故

4312982105.13131313

u l ?=?+?+?=? 3. 求函数222

21x y z a b ??

=-+ ???

在点处沿曲线22221x y a b +=在这点的内法线方向的方向导数。

解：设x 轴正向到椭圆内法线方向l 的转角为φ，它是第三象限的角，因为

2222220,x y b x y y a b a y

''+==-

所以在点处切线斜率为

2.b y a a '

==-

195

法线斜率为cos a b

?=.

于是tan sin ??== ∵

2222,,z z x y x a y b

??=-=-??

∴

2222z l

a b ??=-

?? 4.研究下列函数的极值： (1)z =x 3+y 3－3(x 2+y 2); (2)z =e 2x (x +y 2+2y ); (3)z =(6x －x 2)(4y －y 2); (4)z =(x 2+y 2)2

2()

e x

y -+;

(5)z =xy (a －x －y ),a ≠0.

解：（1）解方程组2

360

x y z x x z y y ?=-=??=-=?? 得驻点为（0,0）,(0,2),(2,0),(2,2).

z xx =6x －6, z xy =0, z yy =6y －6

在点（0，0）处，A =－6，B =0，C =-6，B 2－AC =－36<0，且A <0,所以函数有极大值z (0,0)=0. 在点（0，2）处，A =－6，B =0，C =6，B 2－AC =36>0，所以(0,2)点不是极值点. 在点（2，0）处，A =6，B =0，C =－6，B 2－AC =36>0，所以(2,0)点不是极值点.

在点（2，2）处，A =6，B =0，C =6，B 2－AC =－36<0，且A >0,所以函数有极小值z (2,2)=-8.

(2)解方程组22

2e (2241)0

2e (1)0x x x

z x y y z y ?=+++=??=+=?? 得驻点为1,12??- ???

22224e (21)4e (1)2e x xx x xy x

yy z x y y z y z =+++=+=

在点1

,12??- ???

处,A =2e,B =0,C =2e,B 2-AC =-4e 2<0,又A >0,所以函数有极小值e 1,122z ??

=--

???

(3) 解方程组2

(62)(4)0

(6)(42)0x y

z x y y z x x y ?=--=??=--=?? 得驻点为（3,2）,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).

Z xx =－2(4y -y 2),

Z xy =4(3－x )(2－y )

196

Z yy =－2(6x －x 2)

在点（3，2）处，A =－8，B =0，C =－18，B 2－AC =－8×18<0,且A <0，所以函数有极大值z (3,2)=36.

在点（0，0）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,0)点不是极值点. 在点（0，4）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(0,4)不是极值点. 在点（6，0）处，A =0，B =-24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,0)不是极值点. 在点（6，4）处，A =0，B =24，C =0，B 2－AC >0，所以(6,4)不是极值点.

(4)解方程组2

22()22()22

(1)02e

(1)0x y x y x x y y x y -+-+?--=??--=??

得驻点P 0(0,0),及P (x 0,y 0),其中x 02+y 02=1，

在点P 0处有z =0，而当（x ,y ）≠(0,0)时，恒有z >0，故函数z 在点P 0处取得极小值z =0.

再讨论函数z =u e -u

由

d e (1)d u z u u -=-，令d 0d z u

=得u =1, 当u >1时，d 0d z u <；当u <1时，d 0d z u

>, 由此可知，在满足x 02+y 02=1的点（x 0,y 0）的邻域内，不论是x 2+y 2>1或x 2+y 2<1,均有

22()1()e e x y z x y -+-=+≤.

故函数z 在点（x 0,y 0）取得极大值z =e -

(5)解方程组(2)0

(2)0x y

z y a x y z x a y x =--=??=--=??

得驻点为 12(0,0),,33a a P P ??

???

z xx =-2y , z xy =a -2x -2y , z yy =-2x .

故z 的黑塞矩阵为 222222y a x y H a x y x ---?

?---?? 于是 122033(),().023

a a H P H P a a

a ??--

????

==????????--???? 易知H （P 1）不定，故P 1不是z 的极值点，

H （P 2）当a <0时正定，故此时P 2是z 的极小值点，且3,2733a a a z ??= ???,

H （P 2）当a >0时负定，故此时P 2是z 的极大值点，且3,27

33a a a z ??= ???.

197

5. 设2x 2+2y 2+z 2+8xz -z +8=0，确定函数z =z (x ,y )，研究其极值。解：由已知方程分别对x ,y 求导，解得

484,281

281

z x z z y

x z x y z x ?--?-==

?+-?+- 令

0,0,z z

x y

??==??解得0,2x y z ==-,

将它们代入原方程，解得16

2,7

x x =-=. 从而得驻点16(2,0),,07??-

???

222222

(281)(48)4828(281)428,(281)4(281)8

(281)z z z x x z z x x x z x z y z x x y z x z z x z

y y z x ??????+-++--+ ? ????????=?+-???+ ?????=??++?-+--??=?+-

在点（-2，0）处，44

1,,0,,1515

Z A B C ==

==B 2-AC <0，因此函数有极小值z =1. 在点16,07??

处，82828,,0,,7105105Z A B C =-=-==-B 2-AC <0，函数有极大值87z =-.

6. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0,y =0及x +2y -16=0三直线距离的平方之和为最小。

解：设所求点为P (x ,y )，P 点到x =0的距离为|x |,到y =0的距离为|y |，到直线x +2y -16=0的距离为

距离的平方和为

2221

(216)5

z x y x y =+++-

由22(216)0542(216)0

5z x x y x z y x y y

??=++-=??????=++-=???

得唯一驻点816,

55?? ???,因实际问题存在最小值，故点816,55?? ???

即为所求。

198

7. 求旋转抛物面z =x 2+y 2与平面x +y -z =1之间的最短距离。

解：设P （x ,y ,z ）为抛物面上任一点.则点P 到平面的距离的平方为2

(1)3x y z d +--=,即

求其在条件z = x 2

+y 2

下的最值。设F （x ,y ,z ）=

22(1)()3

x y z z x y λ+--+-- 解方程组22

2(1)203

2(1)

03x

z x y z F x x y z F y x y z F z x y λλλ+--?=-=??

+--?=-=???-+--=

+=??

?=+?

得1

x y z ===

== 8. 抛物面z =x 2+y 2被平面x +y +z =1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离。

解：设椭圆上的点为P （x ,y ,z ），则

|OP |2=x 2+y 2+z 2.

因P 点在抛物面及平面上，所以约束条件为

z =x 2+y 2， x +y +z =1

设F （x ,y ,z ）= x 2+y 2+z 2+λ1(z -x 2-y 2)+λ2(x +y +z -1)

解方程组12121222220220

201

x y

z F x x F y y F z z x y x y z λλλλλλ=-+=??=-+=??

=++=??=+??++=?

得

2x y z ==

= 由题意知，距离|OP |有最大值和最小值，且

(

22222

292x y z OP =++=+=

. 9. 在第I 卦限内作椭球面

199

222

1x y z a b c ++= 的切平面,使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标。

解：令222

222(,,)1x y z F x y z a b c

=++-

∵222

222,,,x y z x y z

F F F a b c =

== ∴椭球面上任一点0000(,,)P x y z 的切平面方程为

000

000222

222()()()0.x y z x x y y z z a b c -+-+-= 即 000222 1.x x y y z z

a b c

++=

切平面在三个坐标轴上的截距分别为222

000

,,a b c x y z ，因此切平面与三个坐标面所围的四面体

的体积为

222222

000000

166a b c a b c V x y z x y z =???=

即求222

6a b c V xyz

=在约束条件2222221x y z a b c ++=下的最小值，也即求xyz 的最大值问题。

设 2222

22(,,)1x y z x y z xyz a b c λ??

Φ=+++- ???, 解方程组2

2222

22220,20,20,

y z x yz a x xz b x xy c x y z a

b c λλλ?

Φ=+=??

?Φ=+=???Φ=+=???++=?

得x y z =

故切点为，此时最小体积为

200

222.26a b c V a b c ==

10. 设空间有n 个点，坐标为(,,)(1,2,,)i i i x y z i n = ,试在xOy 面上找一点，使此点与这n

个点的距离的平方和最小。解：设所求点为P （x ,y ,0），则此点与n 个点的距离的平方和为

222222*********

1212222222222121212()()()()()()2()2()

()()()

n n n n n n n n S x x y y z x x y y z x x y y z nx x x x x ny y y y y x x x y y y z z z =-+-++-+-+++-+-+=-++++-+++++++++++++++

解方程组121222()022()0x n y

n S nx x x x S ny y y y =-+++=??=-+++=??

得驻点1212

n n x x x x n

y y y y n +++?=???+++?=??

又在点1111,n

n i i i i x y n n ==?? ???

∑∑处

S xx =2n =A , S xy =0=B , S yy =2n =C B 2-AC =-4n 2<0, 且A >0取得最小值.

故在点1111,n

n i i i i x y n n ==?? ???∑∑处，S 取得最小值.

即所求点为1111,,0n n i i i i x y n n ==??

???

∑∑.

11. 已知平面上分别带有质量m 1,m 2,m 3的三个质点111222333(,),(,),(,)p x y p x y p x y ，问点

(,)p x y 的位置如何才能使该质点系对于p 点的转动惯量为最小。

解：该质点系对于p 点的转动惯量为

()()()()222222123223311()()I m m m x x y y x x y y x x y y ????=++??-+-+-+---??????

1231122331231122332()2220

2()2220x y

I m m m x m x m x m x I m m m y m y m y m y =++---=??

=++---=?? 解上式得驻点

201

112233112233123123,m x m x m x m y m y m y p m m m m m m ++++??

?++++??

因驻点唯一，故转动惯量在112233112233123123,m x m x m x m y m y m y p m m m m m m ++++??

?++++??

点处取得最小值. *

解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设f (x )=ax +b ，求[]

()i

i u y ax b ==

-+∑的最小值，即求解方程组

666

111

1,6.i i i i i i i i i i i a x b x y x a x b y ===

==?+=????+=??∑∑∑∑∑ 把(x i ,y i )代入方程组，得

2983440224003

4026320

a b a b +=??

+=? 解得 a =0.884, b =-5.894 即 y =0.884x -5.894,

当x =120时，y =100.186(千元).

13. 求下曲线在给定点的切线和法平面方程： (1)x =a sin 2t ,y =b sin t cos t ,z =c cos 2t ,点π4

t =; (2)x 2+y 2+z 2=6,x +y +z =0,点M 0(1,-2,1); (3)y 2=2mx ,z 2=m -x ,点M 0(x 0,y 0,z 0).

解：2sin cos ,cos 2,2cos sin x a t t y b t z c t t '''===-

202

曲线在点π

t =

的切向量为 {}πππ,,,0,444T x y z a c ????????'''==-?? ? ? ?????????

当π4

t =

时， ,,222a b c x y z ===

切线方程为

2220a b c x y z a c

--==-. 法平面方程为

0()0.222a b c a c x y z ??????++-=--- ? ? ???????

即 22

022

a c ax cz --

+=. （2）联立方程组

2226

0x y z x y z ?++=?

++=?

它确定了函数y =y (x ),z =z (x )，方程组两边对x 求导，得

d d 2220d d d d 10d d y z x y z x x

y z x x

?+?+?=???

?++=?? 解得

d d ,,d d y z x z x y

x y z x y z

--==-- 在点M 0（1，-2，1）处，00

d d 0,1d d M M y z

x x ==- 所以切向量为{1，0，-1}.

故切线方程为

121

101

x y z -+-==- 法平面方程为

1(x -1)+0(y +2)-1(z -1)=0

即x -z =0.

(3)将方程y 2=2mx ,z 2=m -x 两边分别对x 求导，得

d d 22,21d d y z y

m z x x

==-

203

于是

d d 1,d d 2y m z x y x z

==- 曲线在点（x 0,y 0,z 0）处的切向量为0

011,

,2m

y z ??-????,故切线方程为 00000

,112x x y y z z m y z ---==-

法平面方程为

00000

1()()()02m x x y y z z y z -+

---=. 14. t (0

在相应点的切线垂直于平面0x y +=，并求相应的切线和法平面方程。

解：1cos ,sin ,2cos

t x t y t z '''=-==, 在t 处切向量为{}

1cos ,sin ,2cos 2

T t t =- ,

已知平面的法向量为{n =

且T ∥n ,

故

2cos 1cos sin 11

t t

-==解得π2t =

，相应点的坐标为π2?- ?.

且{T =

故切线方程为

1211x y -

+-==

法平面方程为

1102

x y z -

++-+-= 即

π042x y ??

++-=+ ??

. 15. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：

204

(1)z =x 2+y 2,点M 0(1,2,5); (2)z =arctan

y x

,点M 0(1,1,π4);

解：（1）00

2, 4.22y

m m m m z z y x ====

故曲面在点M 0(1,2,5)的切平面方程为

z -5=2(x -1)+4(y -2).

即 2x +4y -z =5. 法线方程为

125

241

x y z ---==- （2）0

1,.2

m m m m y

x z z x y x y -

==-=

=++ 故曲面在点M 0(1,1,

)的切平面方程为 z -π4=-12 (x -1)+1

(y -1). 法线方程为

π11411122

z x y -

--==--. 16.指出曲面z =xy 上何处的法线垂直于平面x -2y +z =6,并求出该点的法线方程与切平面方程。

解：z x =y ,z y =x .

曲面法向量为{}1,,1n y x =-

已知平面法向量为{}21,2,1n =-

. 且1n ∥2n ，故有112

y x

=-- 解得x =2,y =-1,此时，z =-2.

即（2,-1,-2）处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为

212

121

x y z -++==--. 切平面方程为

-1(x -2)+2(y +1)-(z +2)=0

即 x -2y +z -2=0.

17. 证明：螺旋线x=acost,y=asint,z=bt 的切线与z 轴形成定角。证明：sin ,cos ,.x a t y a t z b '''=-== 螺旋线的切向量为

{sin ,cos ,}T a t a t b =-

与z轴同向的单位向量为

{0,0,1}

两向量的夹角余弦为

cosθ==

为一定值。

故螺旋线的切线与z轴形成定角。

18. 证明：曲面xyz=a3上任一点的切平面与坐标面围成的四面体体积一定。

证明：设F(x,y,z)=xyz-a3.

因为F x=yz,F y=xz,F z=xy,

所以曲面在任一点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为

y0z0(x-x0)+x0z0(y-y0)+x0y0(z-z0)=0.

切平面在x轴，y轴，z轴上的截距分别为3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与坐标面围成的四面体的体积为

0000

1119

32727.

3662

V z x y z a a

x y

=?==?=

它为一定值。

205

高等数学复旦大学出版社课后习题答案

1. 解: (1)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ; x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等. (2)相等. 因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等. (3)不相等. 因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 解: (1)要使函数有意义,必须 400x x -≥?? ≠? 即 40x x ≤?? ≠? 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞U . (2)要使函数有意义,必须 30lg(1)010x x x +≥?? -≠??->? 即 301x x x ≥-?? ≠??

高等数学下试题及参考答案

高等数学下试题及参考答案内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）

华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2016~2017学年第2 学期考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试考试时间： 120 分钟学号姓名年级专业一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足条件时级数条件收敛。二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是（） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy =

2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是（） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是（） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。

高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解

206 习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ +?? 与 2 [ln()]d D x y σ +?? 的大小，其中：（1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形；（2）D 表示矩形区域{(, )|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有图10-1 12x y ≤+≤ 从而 0l n ()1 x y ≤+< 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +≥+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+≥ +?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥ . 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 l n ()[l n ()] x y x y +<+ 所以 2 l n ()d [l n ()]d D D x y x y σσ+< +?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值：（1 ）,{(,)|02,02}D I D x y x y σ==≤≤≤≤??; （2）2 2 sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ==≤≤≤≤??; （3）2 2 2 2 (49)d ,{(,)|4}D I x y D x y x y σ= ++=+≤?? . 解：（1）因为当(, )x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤

207 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤故 2d d d D D σσσ≤ ≤ ?? ?? ?? 即 2d d D D D σσσ ≤ ≤???? 而 d D σσ =?? （σ为区域D 的面积），由σ=4 得 8D σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 2 2 0sin sin 1x y ≤≤ 故 22 0d sin sin d 1d D D D x y σσσ ≤ ≤ ?? ?? ?? 即2 2 sin sin d d D D x y σσσ ≤ ≤ =?? ?? 而2 π σ= 所以222 0sin sin d π D x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 2 2 2 2 9494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 22 9d (49)d 25d D D D x y σσσ ≤ ++≤ ?? ?? ?? 即 2 2 9(49)d 25D x y σσσ ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 22 36π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：（1 ） 222 (, {(,)|};D a D x y x y a σ- =+≤?? （2 ） 2 2 2 , {(,)|}.D D x y x y a σ=+≤?? 解：（1 ） (, D a σ-?? 在几何上表示以D 为底，以z 轴为轴，以（0，0，a ）为顶点的圆锥的体积，所以

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高等数学[下册]期末考试试题和答案解析

高等数学A(下册)期末考试试题一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?= ．

2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=?? ． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=? ． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级．二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 3、判定级数 1 1 (1)ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2, z z x x y ?????． 5、计算曲面积分 ,dS z ∑ ??其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．三、（本题满分9分）抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．（本题满分10分）计算曲线积分 (sin )(cos )x x L e y m dx e y mx dy -+-? ，其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2 2 (0)x y ax a +=>．四、（本题满分10分）求幂级数1 3n n n x n ∞ =?∑的收敛域及和函数．

高等数学习题11答案(复旦大学出版社)

261 习题十一 3．计算下列对坐标的曲线积分： (1)() 22d -?L x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧； (2)d L xy x ? 其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)； (6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2， ()()2 22224 35001156 d d 3515 L x y x x x x x x ??-=-=-=-?????? (2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为图11-1 cos 0πsin x a a t t y a t =+?≤≤?=? L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故 ()()()()() 12 π 200π32 0π π322003 d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π 2L L L a xy x xy x xy x a a t a a t t x a t t t a t t t t a =+'=?++=-+=-+=-???????? (6)直线Γ的参数方程是32=??=??=?x t y t z t t 从1→0．

262 故()()3220322103 10 4 1 d 3d d 27334292d 87d 187487 4x x zy y x y z t t t t t t t t t Γ++-??=?+??+-???==?=-??? 7．应用格林公式计算下列积分： (1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ ，其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，3Q x ?=?，1P y ?=-?，由格林公式得 ()()d d 24356d d 4d d 4d d 14322 12 L D D D x y x y x y Q P x y x y x y x y +-++-????-= ????? ===???=??????? 8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ；解：(1) ()()()()()2π 3202π2π242222002π20 2π202π202d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4 3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416 312π+d cos 2cos61623π8L A y x a t a t t t a t t t a t t t a t t t a t t t t t a t t t a =-=-?-==?= --=--+??=+????=??????? 9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (2)()()()()3,423221,2d d 663x y xy y x y xy +--? ； (3)()() 1,22 1,1d d x y x x y -?沿在右半平面的路径；

高等数学(复旦大学版)第十章_多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ）一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。第一节二重积分教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题教学容：一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值.

大学高等数学下考试题库(及答案)

一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+p D.1≥p 8.幂级数∑∞ =1 n n n x 的收敛域为（）. A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1- 9.幂级数n n x ∑∞ =?? ? ??02在收敛域内的和函数是（）. A. x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21

10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2）

高数下试题及答案

第二学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是（）（A ）通过y 轴（B ）通过x 轴（C ）垂直于y 轴（D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的（）（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件（C ）必要但非充分条件（D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（）（A ）e （B ）()e dx dy +

（C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（）（A ）敛散性不确定（B ）发散（C ）条件收敛（D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（）（A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==，求该平面方程．四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数，试求z x ??和2z x y ???．五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???，其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤．六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?，

高等数学复旦大学出版社习题答案七

习题七 1. 在空间直角坐标系中，定出下列各点的位置： A(1,2,3); B(-2,3,4); C(2,-3,-4); D(3,4,0); E(0,4,3); F(3,0,0). 解：点A在第Ⅰ卦限；点B在第Ⅱ卦限；点C在第Ⅷ卦限；点D在xOy面上；点E在yOz面上；点F在x轴上. 2. xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？yOz面上的呢？zOx面上的呢？答: 在xOy面上的点，z=0; 在yOz面上的点，x=0; 在zOx面上的点，y=0. 3. x轴上的点的坐标有什么特点？y轴上的点呢？z轴上的点呢？答：x轴上的点，y=z=0; y轴上的点，x=z=0; z轴上的点，x=y=0. 4. 求下列各对点之间的距离：（1）（0，0，0），（2，3，4）；（2）（0，0，0），（2，-3，-4）；（3）（-2，3，-4），（1，0，3）；（4）（4，-2，3），（-2，1，3）. 解：（1）s= (2) s== (3) s== (4) s== 5. 求点（4，-3，5）到坐标原点和各坐标轴间的距离. 解：点(4，-3，5)到x轴，y轴，z轴的垂足分别为（4，0，0），（0，-3，0），（0，0，5）. 故 02 s= x s== y s== 5 z s==. 6. 在z轴上，求与两点A（-4，1，7）和B（3，5，-2）等距离的点. 解：设此点为M（0，0，z），则 222222 (4)1(7)35(2) z z -++-=++-- 解得 14 9 z=

即所求点为M （0，0， 149 ）. 7. 试证：以三点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3）为顶点的三角形是等腰直角三角形. 证明：因为|AB |=|AC |=7.且有 |AC |2+|AB |2=49+49=98=|BC |2. 故△ABC 为等腰直角三角形. 8. 验证：()()++=++a b c a b c . 证明：利用三角形法则得证.见图 7-1 图7-1 9. 设2, 3.=-+=-+-u a b c v a b c 试用a , b , c 表示23.-u v 解： 232(2)3(3) 2243935117-=-+--+-=-++-+=-+u v a b c a b c a b c a b c a b c 10. 把△ABC 的BC 边分成五等份，设分点依次为D 1，D 2，D 3，D 4，再把各分点与A 连接，试以AB =c ，BC =a 表示向量1D A ,2D A ,3D A 和4D A . 解：1115D A BA BD =-=-- c a 222 5D A BA BD =-=--c a 333 5D A BA BD =-=--c a 444 .5 D A BA BD =-=--c a 11. 设向量OM 的模是4，它与投影轴的夹角是60°，求这向量在该轴上的投影. 解：设M 的投影为M '，则 1 Pr j cos604 2.2 u OM OM =?=?= 12. 一向量的终点为点B （2，-1，7），它在三坐标轴上的投影依次是4，-4和7，求这向量的起点A 的坐标. 解：设此向量的起点A 的坐标A (x , y , z )，则 {4,4,7}{2,1,7}AB x y z =-=----

大学高等数学上考试题库及答案

《高数》试卷1（上）一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点（B ）拐点（C ）驻点且是拐点（D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线（B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线（D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）.

高等数学下册试题及参考答案

高等数学下册试题一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α，因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ．解由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。

复旦高等数学B期终试卷Word版

复旦大学数学科学学院 2008～2009学年第二学期期末考试试卷 A 卷 B 卷课程名称：__高等数学B _________ 课程代码： MATH120004.02.03__ 开课院系：__数学科学学院 _____________ 考试形式：闭卷姓名：学号：专业：题号一二三四五六七八总分得分 (以下为试卷正文) （装订线内不要答题）

注意：答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。一、简单计算（每题4分，共40分） 1. 写出函数y x x u +=arccos 的定义域。 2. 求( )2 20 1ln lim y x e x y y x ++→→。 3. 设f 是一个三元可微函数，() xy y x y x f u 2,,2 222-+=，求 y u ??。 4. 设()y x z z ,=是由方程()0,,=+xz z y xy F 所确定的隐函数，且F 具有连续的一阶偏导数，求 x z ??。 5. 交换二次积分 ()? ? 20 32 ,y y dx y x f dy 的积分顺序。

6. 求级数()() ∑ ∞ =+-113231 k k k 的和。 7. 判别级数∑∞ =1 3sin 2n n n π 的收敛性。 8. 求幂级数() ∑∞ =--1 1 21n n n n n x 的收敛域。 9. 求方程() 042 =-+dy x x dx y 的通解。 10. 求方程023=+'-''y y y 的通解。（装订线内不要答题）

二、设 ()333,y x y x f +=，判断()y x f ,在()0,0处是否可微，为什么？（6分）三、计算二重积分( )dxdy xe y I D y ??+=2 ，其中D 是由1=y ，2 x y =及0=x 所围成的有界闭区域。（6分）

高等数学(下册)期末复习试题及答案演示教学

高等数学(下册)期末复习试题及答案

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线? ??=+-+=-+-020 32z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{ }3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??--=-202 20)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ．解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求 y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分)

高等数学(复旦大学版)第十章-多元函数积分学(一)

第十章多元函数积分学（Ⅰ） f x在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数() 了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。第一节二重积分教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题教学内容：一、二重积分的概念 1曲顶柱体的体积设有一立体它的底是xOy面上的闭区域D它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面它的顶是曲面z f(x y)这里f(x y)0且在D上连续这种立体叫做曲顶柱体现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积首先用一组曲线网把D分成n个小区域 1 2n分别以这些小闭区域的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面这些柱面把原来的曲顶柱体分为n个细曲顶柱体在每个i中任取一点(i i)以f (i i)为高而底为i的平顶柱体的体积为

f ( i i ) i (i 1 2 n ) 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值为求得曲顶柱体体积的精确值将分割加密只需取极限即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值 2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xOy 面上的闭区域D 它在点(x y )处的面密度为(x y ) 这里 (x y )0且在D 上连续现在要计算该薄片的质量M 用一组曲线网把D 分成n 个小区域 1 2 n 把各小块的质量近似地看作均匀薄片的质量 ( i i ) i 各小块质量的和作为平面薄片的质量的近似值 i i i n i M σηξρ?≈=∑),(1 将分割加细取极限得到平面薄片的质量 i i i n i M σηξρλ?==→∑),(lim 1 其中是个小区域的直径中的最大值定义设f (x y )是有界闭区域D 上的有界函数将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 2 n 其中 i 表示第i 个小区域也表示它的面积在每个 i 上任取一点( i i ) 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 如果当各小闭区域的直径中的最大值趋于零时这和的极限总存在则称此极限为函数f (x y )在闭区域D 上的二重积分记作 σ d y x f D ??),( 即

高等数学上复旦第三版课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社）习题六无穷数级答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ；解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ；解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

高等数学下 复旦大学出版 习题九

高等数学 复旦大学出版社 课后习题答案