论极限理论的微分之谜
第１５卷第４期２０１２年７月高等数学研究
ＳＴＵＤＩＥＳ ＩＮ ＣＯＬＬＥＧＥ ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＶｏｌ．１５，Ｎｏ．４
Ｊｕｌ．，２０１２
交流与探讨
论极限理论的微分之谜
师教民１，
２
（１．石家庄广播电视大学科学技术部，河北石家庄０５００８１；２．石家庄经济学院信息工程学院，河北石家庄０５００３１
）收稿日期：２０１２－０４－０７；修改日期：２０１２－０７－
２８作者简介：师教民（１９４５－）
，男，河北晋州人，教授，从事数学、物理、电工、电子的教学与研究．Ｅｍａｉｌ：ｓｈｉｊ
ｍ６１８＠１２６．ｃｏｍ摘
要 第一代微积分存在第二次数学危机（微分之谜），第二代微积分没有解决第二次数学危机．
关键词 第一代微积分；第二次数学危机（微分之谜）；第二代微积分中图分类号 Ｏ１７２
文献标识码 Ａ
文章编号 １００８－１３９９（２０１２）０４－００４４－
０３极限理论（标准分析法或第二代微积分）存在三大错误：①没有揭开微积分之谜，②形成严重的逻辑困难，③与物理实践不相符合．本文用在极限理论求导公式中加入公式的方法，证明上述三大错误的①．
牛顿、莱布尼茨创立的微积分理论—
——无穷小量分析法（第一代微积分）定义并求函数ｙ＝ｘ２
的导数的过程为［
１－６］：令函数ｙ＝ｘ２
的自变量ｘ变化无穷小量ｄｘ≠０，则ｙ随之变化增量ｄｙ，
所以ｄｙ＝（ｘ＋ｄｘ）２－ｘ２
＝ｘ２＋２ｘｄｘ＋（ｄｘ）２－ｘ２＝
２ｘｄｘ＋（ｄｘ）２
，ｄｙｄｘ＝２ｘｄｘ＋（ｄｘ）２
ｄｘ
＝２ｘ＋ｄｘ．把函数Ｆ（ｄｘ）＝２
ｘ＋ｄｘ在ｄｘ＝０时的函数值定义为函数ｙ＝ｘ２
的导数，记做ｙ′或ＤｙＤｘ
，
于是有ｙ′＝Ｄ
ｙＤｘ
＝Ｆ（ｄｘ）｜ｄｘ＝０＝
（２ｘ＋ｄｘ）｜ｄｘ＝０＝２
ｘ＋０＝２ｘ．（１
）从上述式（１）的推导知，第一代微积分在推导出函数Ｆ（ｄｘ）＝２
ｘ＋ｄｘ时，无穷小量或微分ｄｘ≠０，然而在定义并求函数ｙ＝ｘ２
的导数时，又改成无穷小
量或微分ｄｘ＝０．因此，第一代微积分说不清楚到底是ｄｘ≠０还是ｄｘ＝０，即产生了ｄｘ≠０和ｄｘ＝０的矛盾．这个矛盾由于ｄｘ叫做微分而叫做微分之谜，由于微分之迷是微积分理论中的内容，所以这个谜也叫做微积分之谜；因为这个谜主要是英国哲学家贝克莱指出的，
所以这个谜又叫做贝克莱悖论；因为这个谜很难揭开，所以这个谜还叫做第二次数学危机．贝克莱悖论和第二次数学危机把这个微分之
谜推上了世界数学大难题的宝座，使它著名于天下．
柯西等人创立的微积分理论—
——标准分析法（极限理论或第二代微积分）定义并求函数ｙ＝ｘ２
的导数的过程为［１－２，４－８］：令函数ｙ＝ｘ２
的自变量ｘ
变化任意增量Δｘ≠０，则ｙ随之变化增量Δｙ，
所以Δｙ＝（
ｘ＋Δｘ）２－ｘ２＝ｘ２＋２ｘΔｘ＋（Δｘ）２－ｘ２＝２ｘΔｘ＋（Δｘ）２
，ΔｙΔｘ＝２ｘΔｘ＋（Δｘ）２
Δ
ｘ＝２ｘ＋Δｘ．把函数Ｇ（Δｘ）＝ΔｙΔｘ＝２ｘ＋Δ
ｘ在Δｘ→０时的极限值定义为函数ｙ＝ｘ２
的导数，记做ｙ′或ｄｙｄｘ
，
于是有ｙ
′＝ｄｙｄｘ＝ｌｉｍΔｘ→［０ΔｙΔｘ
（Δｘ≠０］
）＝ｌｉｍΔ
ｘ→０［（２ｘ＋Δｘ）（Δ
ｘ≠０）］＝ｌｉｍΔ
ｘ→０［（２ｘ＋Δｘ）（Δ
ｘ可等于０）］＝（２ｘ＋Δｘ）｜Δ
ｘ＝０＝２ｘ＋０＝２ｘ．（２）文［２］１７０说：“最后我们来看看自变量ｘ的本身：它的增量Δｘ，
就叫做它的微分，即规定ｄｘ＝Δｘ，…”．
所以第二代微积分的上述式（２）中的Δｘ可换成ｄｘ，于是式（２
）就变为ｙ
′＝ｄｙｄｘ＝ｌｉｍｄｘ→［０Δｙｄｘ
（ｄｘ≠０］
）＝ｌｉｍｄｘ→０
［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ≠０
）］＝ｌｉｍｄｘ→０
［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０
）］＝（２ｘ＋ｄｘ）｜ｄｘ＝０＝２
ｘ＋０＝２ｘ．（２ａ）从上述式（２ａ）的推导知，第二代微积分在推导出函数Ｇ（ｄｘ）＝Δｙｄｘ
＝２ｘ＋ｄ
ｘ并定义函数ｙ＝ｘ２
的导数时，任意增量或微分ｄｘ≠０，
然而在求出函数ｙ＝ｘ２
的导数时，
又改成任意增量或微分ｄｘ＝０．
因此，第二代微积分说不清楚到底是ｄｘ≠０还是ｄｘ＝０，即产生了ｄｘ≠０和ｄｘ＝０的矛盾．
比较对式（１）和式（２ａ）的分析知，第二代微积分和第一代微积分一样存在ｄｘ≠０和ｄｘ＝０的矛盾，即第二代微积分没有解决微分之谜或微积分之谜或贝克莱悖论或第二次数学危机这个著名于天下的世界数学大难题．
但是，第二代微积分和第一代微积分也略有不同：第一代微积分是直接把函数Ｆ（ｄｘ）＝２ｘ＋ｄｘ
在其自变量ｄｘ＝０时的函数值定义为函数ｙ＝ｘ
２的导数的，而第二代微积分则是通过极限拐了一个弯儿后，才把函数Ｆ（ｄｘ）＝２ｘ＋ｄｘ在其自变量
ｄｘ＝０时的函数值定义为函数ｙ＝ｘ
２
的导数的．拐的这个弯儿就是：先把函数ｙ＝ｘ２
的导数定义为极
限ｌｉｍｄｘ→０
［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ≠０
）］，而又把这个极限定义为函数［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ≠０）］在它的自变量ｄｘ无限
趋向于０时无限趋近的目标，该目标也是函数［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０）］在其自变量ｄｘ无限趋向于０时无限趋近的目标，因而又是函数［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０）］在其自变量ｄｘ无限趋
向于０时的极限，根据连续的充要条件（该条件简述为
［８］１３８
：极限值等于函数值）知，该极限还是函数
［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０）］在其自变量ｄｘ等于０时
的函数值（注意：这句话说明了式（２ａ）各步都成立的理由）．
所以把函数ｙ＝ｘ２
的导数定义为极限ｌｉｍｄｘ→
０
［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ≠０
）］，就是定义为函数［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０）］在其自变量ｄｘ等于０时的函数值．这样，第二代微积分通过极限拐了一个弯儿后，
还是与第一代微积分定义的导数完全相同了．然而，就是第二代微积分通过极限拐的这个弯儿，把不少人拐迷糊了．
换句话说，从第二代微积分的式（２ａ）的推导知：ｌｉｍｄｘ→０
［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ≠０）］＝（２ｘ＋ｄｘ）｜ｄｘ＝０．
上式左边是第二代微积分把导数定义成的极限值，右边是第一代微积分把导数定义成的函数值．这个等式说明第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数本质相同，只不过是它们使用的名称不同而已．第一代微积分使用的名称是函数值，第二代微积分使用的名称是极限值．如果我把它叫做猪狗值，也是未尝不可的．第二代微积分不就是把表示分得微小的微分概念叫做可以是任意大、充分大、足够大的增量（即ｄｘ＝Δｘ）吗？所以，把它叫做函数值也好，极限值也好，猪狗值也好，只是名称的不同，而本质上都是函数［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０
）］在其自变量ｄｘ＝０时的函数值．
这个等式也说明第二代微积分定义的导数与第一代微积分定义的导数是一回事，只不过是它们使用的语言不同而已．第一代微积分使用了朴实的直言快语（函数值）、而第二代微积分则改成了婉转的花言巧语（极限值）．然而，就是第二代微积分改成的花言巧语把不少人说晕糊了．
为了更加容易地理解上述内容，第二代微积分拐的那个弯儿可用下述语言描述．
第二代微积分把函数ｙ＝ｘ２
的导数先定义为
函数Ｇ（ｄｘ）＝Δｙｄｘ
＝２ｘ＋ｄ
ｘ（ｄｘ≠０）在ｄｘ→０时的极限值，再替换成函数Ｆ（ｄｘ）＝２ｘ＋ｄｘ（ｄｘ可等于０）在ｄｘ→０时的极限值，又替换成函数
Ｆ（ｄｘ）＝２ｘ＋ｄｘ（ｄｘ可等于０）在ｄｘ＝０时的函
数值；第一代微积分则是把函数ｙ＝ｘ２
的导数直接
定义为函数Ｆ（ｄｘ）＝２ｘ＋ｄｘ（ｄｘ可等于０）在ｄｘ＝０时的函数值．
所以，第二代微积分和第一代微积分分别定义的ｙ＝ｘ２
的导数，因为都是函数Ｆ（ｄｘ）＝２ｘ＋ｄｘ（ｄｘ可等于０）在ｄｘ＝０时的函数值而本质相同，只不过是第一代微积分是直接确认、第二代微积分是用极限符号倒换了两次以后才确认而已．所以，如果把导数２ｘ比做白骨精，那么第一代微积分是直接把导数２ｘ说成是真实面目的白骨精的，而第二代微积分则是迂回进行的，即把导数２ｘ先说成是肉眼看来的美丽村姑，就是
ｌｉｍｄｘ→０Δｙｄｘ＝ｌｉ
ｍｄ
ｘ→０［（２ｘ＋ｄｘ）（必须有ｄｘ≠０）］；再说成是披上美丽村姑画皮的白骨精，就是
ｌｉｍｄｘ→０
［（２ｘ＋ｄｘ）（可以有ｄｘ＝０
）］；又说成是脱下美丽村姑画皮的、露出真实面目的白骨精，就是
（２ｘ＋ｄｘ）｜ｄｘ＝０＝２
ｘ＋０＝２ｘ（必须有ｄｘ＝０）．
以上各式中的极限符号ｌｉｍｄｘ→０
就是那张美丽村姑的画
皮！在这张画皮的掩盖下，第二代微积分把“必须有ｄｘ≠０”经过“可以有ｄｘ＝０
”换成了“必须有ｄｘ＝０”，因此循序渐进地产生出ｄｘ≠０和ｄｘ＝０的矛盾，从而便与第一代微积分本质相同了（因为ｄｘ≠０和ｄｘ＝０的矛盾也在第一代微积分中产生，
只不过是直接了当地产生而已）．正是第二代微积分为了掩盖ｄｘ≠０和ｄｘ＝０的矛盾以及它与第一代微积分的本质相同，所以它才去涂抹那张美丽村姑的画皮（即加上极限符号），这就造成了第二代微积分的繁琐迂回．
５
４第１５卷第４期师教民：论极限理论的微分之谜
然而，猪八戒只顾欣赏村姑的美丽，沙和尚只顾感激客人的热情，唐玄奘只顾体味人民的善良，竟然都忘记了审视和洞察美丽村姑的本质（白骨精），从而被白骨精所蒙蔽．一些人也像唐僧师徒们一样，只顾赞美极限的玄妙而忘记了考察极限的本质（本例是函数［（２ｘ＋ｄｘ）（ｄｘ可等于０
）］在它的自变量ｄｘ＝０时的函数值２ｘ），因而也被第二代微积分所蒙蔽．
但是，我们为什么就不能像孙悟空那样打开火眼金睛，去看清第二代微积分的导数到底是不是白骨精呢？
其实做到这一点并不难．因为第二代微积分上述的拐弯儿术并不复杂．它就像一个到西餐馆吃西餐的人，尽管他想吃奶酪，但却故意拐个弯儿说要面包．服务员拿来面包后，他又要求换成奶酪．服务员换回奶酪后，他吃完就走．服务员让他交奶酪钱，他说，奶酪是用面包换来的，为何要交奶酪钱？服务员说，那么你就交面包钱．他说，我已退回面包，为何要交面包钱？服务员无言以对，眼巴巴地看着他走了．
大家想一想：西餐是否就是导数，面包是否就是ｄｘ→０时的极限值，奶酪是否就是ｄｘ＝０时的函数
值，服务员是否就是被蒙的学习者！
参考文献
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北京：中国科学院数学研究所，１９７６：３２１；３３２；３３７；３３９．［２］菲赫金哥尔茨．数学分析原理：第１卷第１分册［Ｍ］．
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叶彦谦，译．北京：高等教育出版社，１９５９：１３８．
Ｏｎ ｔｈｅ Ｒｉｄｄｌｅ ｏｆ ｔｈｅ Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ ｉｎ ｔｈｅ Ｌｉｍｉｔ Ｔｈｅｏｒｙ
ＳＨＩ
Ｊｉａｏｍｉｎ１，
２
（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅ ａｎｄ Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｒａｄｉｏ ａｎｄ Ｔｅｌｅｖｉｓｉｏｎ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ
０５００８１，ＰＲＣ；２．Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ Ｅｃｏｎｏｍｉｃ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ，Ｓｈｉｊｉａｚｈｕａｎｇ ０５００３１，ＰＲＣ）Ａｂｓｔｒａｃｔ： Ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｒｉｓｉｓ（ｔｈｅ ｒｉｄｄｌｅ ｏｆ ｔｈｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ）ｅｘｉｓｔｓ ｉｎ ｔｈｅ
ｆｉｒｓｔｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌｕｓ，ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｇｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌｕｓ ｄｏｅｓ ｎｏｔ ｏｖｅｒｃｏｍｅ ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｃｒｉｓｉｓ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ： ｔｈｅ ｆｉｒｓｔ ｇ
ｅｎｅｒａｔｉｏｎ ｃａｌｃｕｌｕｓ，ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ ｃｒｉｓｉｓ（ｔｈｅ ｒｉｄｄｌｅ ｏｆ ｔｈｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ），ｔｈｅ ｓｅｃｏｎｄ ｇ
欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍
ｅｎｅｒａｔｉｏｎｃａｌｃｕｌｕｓ简讯
中法学者追忆数学天才伽罗瓦
（据《中国科学报》记者报道）“伽罗瓦虽然英年早逝，但却照亮了数学界一个不为人知的隐秘天地．”近日，在中科院武汉物理与数学研究所举办的中法交流学术沙龙上，来自法国图卢兹大学数学学院的让－皮埃尔·米斯教授在介绍法国天才数学家埃瓦里斯特·伽罗瓦时表示．
１８１１年，伽罗瓦出生在法国巴黎附近的拉赖因堡．１８３２年，这位未满２１岁的数学家与世长辞．伽罗瓦最主要的成就是提出了“群”的概念．为了纪念他，人们把用“群论”的方法研究代数方程根式解的理论称为伽罗瓦理论．
在让－皮埃尔·米斯看来，作为法国数学界的瑰宝，伽罗瓦敢于以崭新的方式去思考，其创立的“群论”成为古典数学与现代抽象数学的分水岭，彻底解决了方程的根式可解问题．该成果对近代数学的各个方向，甚至物理学、化学的许多分支都产生了重大的影响，伽罗瓦也由此成为数学史上公认的两个最具浪漫主义色彩的人物之一．
此次活动由法国驻武汉总领事馆和中科院武汉教育基地共同主办．在伽罗瓦诞辰２００周年之际，主办方希望通过此次活动来纪念这位富有传奇色彩的数学天才．
６
４高等数学研究２０１２年７月