第二章 导数与微分答案

(完整版)第二章.导数和微分答案解析

第二章 导数与微分 一 导数 （一） 导数的概念（见§2.1） Ⅰ 内容要求 （ⅰ）理解导数的概念及其几何意义，了解函数的可导性与连续性之间的关系。 （ⅱ）了解导数作为函数变化率的实际意义，会用导数表达科学技术中一些量的变化率。 Ⅱ 基本题型 （ⅰ）用导数定义推证简单初等函数的导数公式 1． 用导数定义求证下列导数公式，并记忆下列公式（每题4分） （1）0)(='C （2）21 )1(x x - =' （3）x x 21)(=' （4）x x sin )(cos -=' （5）a a a x x ln )(=' （6）1 )(-='μμμx x （ⅱ）确定简单基本初等函数在某点处的切线方程和法线方程 2．（6分）求x y ln =在)0,1(点处的切线方程及法线方程。 解：x y 1' = ，1)1(' ==k y ，所以 切线方程为1-=x y 法线方程为1+-=x y 3．（6分）求x x y = 在)1,1(点处的切线方程。 解：4 3 x y =，41 ' 43-=x y ，4 3)1(' ==k y 切线方程为1)1(43+-= x y ，即4 143+=x y （ⅲ）科技中一些量变化率的导数表示 4．填空题（每题4分） （1）若物体的温度T 与时间t 的函数关系为)(t T T =，则该物体的温度随时间的变化 速度为 )(' t T （2）若某地区t 时刻的人口数为)(t N ，则该地区人口变化速度为 )(' t N Ⅲ 疑难题型 （ⅰ）分段函数在分段点处的导数计算 5. 讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性 （1）（7分）|sin |x y =

2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分答案 第一节 导数概念 1．填空题. （1） ()'f 0= 0； （2） (2, 4) （3） 1 . （4） =a 2 ，=b -1 . 2．选择题. （1）B ； （2）B ； （3） C ； （4）D ； （5） B ； （6）B 3．解 令)(t v 表示在t 时刻的瞬时速度，由速度与位移的关系知 ()().5)21(lim 2 ) 22(lim 22lim )2()2(22222' =++=-+-+=--==→→→t t t t t s t s s v t t t 4．设()? x 在x a =处连续，()()()f x x a x =-?， 求()'f a ；若)(||)(x a x x g ?-=，()x g 在x a =处可导吗？ 解（1）因为()? x 在x a =处连续， 故)()(lim a x a x ??=→，所以 ()()()).()(lim 0 )(lim lim )('a x a x x a x a x a f x f a f a x a x a x ???==---=--=→→→ （2）类似于上面推导知 ()()()),(0 )(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??=---=--=++ →→+ ()()()).(0)(lim lim )(' a a x x a x a x a g x g a g a x a x ??-=----=--=--→→- 可见当()0=a ?时，()0)(' ==a a g ?；当()0≠a ?时，())(' ' a g a g -+≠， 故这时()x g 在x a =处不可导。 5．求曲线y x =-43在点()12,-处的切线方程和法线方程. 解 根据导数的几何意义知道，所求切线的斜率为 ,4|4|131'1=====x x x y k 从而所求切线方程为 ),1(4)2(-=--x y 即 64-=x y .

导数与微分练习题答案

高等数学练习题 第二章 导数与微分 第一节 导数概念 一．填空题 1.若)(0x f '存在，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 = )(0x f '- 2. 若)(0x f '存在，h h x f h x f h ) ()(lim 000 --+→= )(20x f ' . 000 (3)() lim x f x x f x x ?→+?-?=03()f x '. 3.设20-=')(x f , 则=--→)()2(lim )000 x f x x f x x 4 1 4.已知物体的运动规律为2 t t s +=(米)，则物体在2=t 秒时的瞬时速度为5（米/秒） 5.曲线x y cos =上点（ 3π，2 1 ）处的切线方程为03 123=- -+π y x ，法线方程为 03 22332=-+ -π y x 6.用箭头?或?表示在一点处函数极限存在、连续、可导、可微之间的关系， 可微 ? 可导 <≠ ? | 连续 <≠ ? 极限存在。 二、选择题 1．设0)0(=f ,且)0(f '存在，则x x f x ) (lim 0→= [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )0(f ' (C) )0(f (D) 2 1 )0(f 2. 设)(x f 在x 处可导，a ,b 为常数，则x x b x f x a x f x ??--?+→?) ()(lim 0 = [ B ] （A ）)(x f ' ( B) )()(x f b a '+ (C) )()(x f b a '- (D) 2 b a +)(x f ' 3. 函数在点0x 处连续是在该点0x 处可导的条件 [ B ] （A ）充分但不是必要 （B ）必要但不是充分 （C ）充分必要 （D ）即非充分也非必要 4．设曲线22 -+=x x y 在点M 处的切线斜率为3，则点M 的坐标为 [ B ] （A ）(0,1) ( B) (1, 0) (C) ( 0,0) (D) (1,1)

(完整版)第二章导数与微分(答案)

x 第二章导数与微分 (一) f X 0 X f X 0 I x 0 X 3 .函数f x 在点x 0连续，是f x 在点x 0可导的（A ） 5. 若函数f x 在点a 连续，则f x 在点a （ D ） C . a 6. f x x 2 在点X 2处的导数是（D ） A . 1 B . 0 C . -1 D .不存在 7.曲线y 2x 3 5x 2 4x 5在点2, 1处切线斜率等于（A ） A . 8 B . 12 C . -6 D . 6 8.设y e f x 且fx 二阶可导，则y （ D ） A . e f x B f X r e f f X ￡ ￡ f X 丄 2 x C . e f x f x D . e f x 9.若 f x ax e , x 0 在x 0处可导，则a ， b 的值应为 b sin2x, (A ) A .左导数存在； B .右导数存在； C .左右导数都存在 1 .设函数y f x ，当自变量x 由x 0改变到 X o x 时，相应函数的改变量 f x 0 x B . f x 0 x C . f x 0 X f X 0 f X 。 x 2 .设f x 在x o 处可，则lim f X 0 B . X o C . f X 0 D . 2 f X 0 A .必要不充分条件 B . 充分不必要条件 C .充分必要条件 既不充分也不必要条件 4.设函数y f u 是可导的，且u x 2 ，则 d y ( C ) x 2 B . xf x 2 C . 2 2 2xf x D . x f x D .有定义

10?若函数f x 在点X o 处有导数，而函数 g x 在点X o 处没有导数，则 F x f x g x , G x f x g x 在 x 0 处（A ） A ?一定都没有导数 B ?—定都有导数 C .恰有一个有导数 D ?至少一个有导数 11.函数fx 与g x 在x 0处都没有导数，则Fx g x 在 x o 处(D ) 13 . y arctg 1 ，贝U y x A .一定都没有导数 B . 一定都有导数 C .至少一个有导数 D .至多一个有导数 12.已知F x f g x ，在 X X 。处可导，则（A ） g x 都必须可导 B . f x 必须可导 C . g x 必须可导 D . x 都不一定可导

第二章导数与微分 高等数学同济大学第六版

第二章 导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节 导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 本节主要内容 1 引例变速直线运动的瞬时速度和平面曲线的切线 2 导数的定义 3 左右导数 4 用导数计算导数 5 导数的几何意义 6 函数的可导与连续的关系 讲解提纲： 一、 引例： 引例1：变速直线运动的瞬时速度0 00 ()()lim t t f t f t v t t →-=-；

导数与微分导数概念

第二章 导数与微分 第一节 导数概念 1.x x x y = ，求y ' 2．求函数y =2tan x +sec x -1的导数y ' 3. x x y 1010 +=，求y ' 4. 求曲线y =cos x 上点)2 1 ,3(π处的切线方程和法线方程式. 5.3ln ln +=x e y ，求y ' 6.已知? ??<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？ 7.设????? =≠=0 ,00 ,1sin )(x x x x x f ，用定义证明)(x f 在点0=x 处连续，但不可导。

8. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 . 9.讨论函数y =|sin x |在x =0处的连续性与可导性: 10.设函数? ??>+≤=1 1 )(2x b ax x x x f ，为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？ 第二节 函数的求导法则 1.设()22arcsin x y =，求y ' 2．求函数y =sin x ?cos x 的导数y ' 3．求函数y =x 2ln x 的导数y '

4．求函数x x y ln =的导数y ' 5．求函数3ln 2+=x e y x 的导数y ' 6. )(cos )(sin 2 2x f x f y +=，求y ' 7. n b ax f y )]([+=，求y ' 8. ) ()(x f x e e f y =，求y ' 9. x x x y arcsin 12 +-=，求y ' 10．求函数y =x 2ln x cos x 的导数y ' 第三节 高阶导数 1. x x x y ln 1 arctan +=，求y ''

第二章导数与微分试题及答案

第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 2002 00(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim(1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方 上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)223y x π- =-- 2(1)03 y +-+=

法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠ '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==;

第二章导数与微分教学文案

第二章导数与微分 数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学. 微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”. 微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生. 本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念 从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代. 而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展. 生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展. 在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1) 求变速运动的瞬时速度； (2) 求曲线上一点处的切线； (3) 求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题. 牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度

★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★例7 ★左右导数★例8 ★例9 ★导数的几何意义★例10 ★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12 ★例13 ★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题 2 - 1 ★返回 内容要点： 一、引例：引例1: 变速直线运动的瞬时速度；引例2: 平面曲线的切线 二、导数的定义： 注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质: 函数增量与自变量增量的比值是函数在以和为端点的区间上的平均变化率，而导数则是函数在点处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量： 2．求两增量的比值： ; 3．求极限 三、左右导数 定理1函数在点处可导的充要条件是：函数在点处的左、右导数均存在且相等. 四、用定义计算导数 五、导数的几何意义 六、函数的可导性与连续性的关系 定理2如果函数在点处可导，则它在处连续. 注：上述两个例子说明，函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件. 由定理2还知道，若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 在微积分理论尚不完善的时候，人们普遍认为连续函数除个别点外都是可导的. 1872年得多数学家魏尔斯特拉构造出一个处处连续但处处不

第二章 导数与微分部分考研真题及解答

第二章 导数与微分 2.1导数的概念 01.1)设f (0)=0，则f (x )在点x =0可导的充要条件为 （ B ） （A ）01lim (1cosh)h f h →-存在 （B ）01 lim (1)h h f e h →-存在 （C ）01lim (sinh)h f h h →-存在 （D ）01 lim [(2)()]h f h f h h →-存在 03.3) 设f (x )为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g ) ()(= (A) 在x =0处左极限不存在. (B) 有跳跃间断点x =0. (C) 在x =0处右极限不存在. (D) 有可去间断点x =0. [ D ] 03.4) 设函数)(1)(3 x x x f ?-=，其中)(x ?在x =1处连续，则0)1(=?是f (x )在x =1处可 导的 [ A ] (A) 充分必要条件. （B ）必要但非充分条件. (C) 充分但非必要条件 . (D) 既非充分也非必要条件. 05.12)设函数n n n x x f 31lim )(+=∞ →，则f (x )在),(+∞-∞内 [ C ] (A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点. (C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. 05.34) 以下四个命题中，正确的是 [ C ] (A ) 若)(x f '在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (B) 若)(x f 在（0，1）内连续，则f (x )在（0，1）内有界. (C) 若)(x f '在（0，1）内有界，则f (x )在（0，1）内有界. (D) 若)(x f 在（0，1）内有界，则)(x f '在（0，1）内有界. (取f (x )= x 1 ，x x f =)(反例排除) 06.34) 设函数()f x 在x =0处连续,且()22 lim 1n f h h →=,则 （ C ） (A )()()' 000f f -=且存在(B)()()'010f f -=且存在 (C)()()' 000f f +=且存在 (D)()()' 010f f +=且存在 07.1234) 设函数f (x )在x =0处连续，下列命题错误的是： （ D ）（反例：()f x x =） (A ) 若0()lim x f x x →存在，则f (0)=0. (B) 若0()() lim x f x f x x →+-存在，则f (0)=0. (C) 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在. (D) 若0()() lim x f x f x x →--存在，则(0)f '存在

第二章导数与微分总结

第二章 导数与微分总结 一、导数与微分概念 1．导数的定义 设函数()x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ?，相应地函数增量()()00x f x x f y -?+=?。如果极限 ()()x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?0000lim lim 存在，则称此极限值为函数()x f 在0x 处的导数（也称微商），记作()0x f '，或0 x x y =' ， 0x x dx dy =，()0 x x dx x df =等，并称函数()x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在， 则称函数()x f y =在点0x 处不可导。 导数定义的另一等价形式，令x x x ?+=0，0x x x -=?，则 ()()() 000 lim x x x f x f x f x x --='→ 我们也引进单侧导数概念。 右导数：()()()()() x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='++ →?→+000000lim lim 0 左导数：()()()()()x x f x x f x x x f x f x f x x x ?-?+=--='-- →?→-000000lim lim 0 则有 ()x f 在点0x 处可导()x f ?在点0x 处左、右导数皆存在且相等。 2．导数的几何意义与物理意义 如果函数()x f y =在点0x 处导数()0x f '存在，则在几何上()0x f '表示曲线 ()x f y =在点()()00,x f x 处的切线的斜率。 切线方程：()()()000x x x f x f y -'=- 法线方程：()() ()()()01 0000≠'-'- =-x f x x x f x f y

微积分第二章 导数与微分

第二章导数与微分 微分学是高等数学的重要组成部分，作为研究分析函数的工具和方法，其主要包含两个重要的基本概念导数与微分，其中导数反映了函数相对于自变量的变化的快慢程度，即变化率问题，而微分刻画了当自变量有微小变化时，函数变化的近似值。 一、教学目标与基本要求 （一）知识 1．记住导数和微分的各种术语和记号； 2．知道导函数与函数在一点的导数的区别和联系； 3．知道导数的几何意义，知道平面曲线的切线和法线的定义； 4．记住常数及基本初等函数的导数公式； 5．知道双曲函数与反双曲函数的导数公式； 6．知道高阶导数的定义； 7．知道隐函数的定义； 8．记住反函数的求导法则； 9．记住参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式； 10．知道对数求导法及其适用范围； 11．知道相关变化率的定义及其简单应用； 12．记住基本初等函数的微分公式； 13．知道微分在近似计算及误差估计中的应用； 14．记住两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式。 （二）领会 1．领会函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义； 2．领会函数在某点的导数与曲线在对应点处的切线的斜率之间的关系； 3．领会导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 4．领会微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系； 5．领会微分的运算法则及这些运算法则与相应的求导法则之间的联系； 6．领会微分形式的不变性； 7．领会函数在一点处可导、可微和连续之间的关系； 8．领会导数存在的充分必要条件是左、右导数存在且相等。 （三）运用 1．会用导数描述一些物理含义，如速度、加速度等； 2．会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在； 3．会用导数的几何意义求曲线在某点的切线方程和法线方程； 4．会用导数的定义或导数存在的充要条件讨论分段函数在分段点处的导数是否存在； 5．会用导数的四则运算法则及基本初等函数的求导公式求导数； 6．会求反函数的导数； 7．会求复合函数的导数； 8．会求隐函数的一阶、二阶导数； 9．会求参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数； 10．会求函数的高阶导数； 11．会用莱布尼兹公式求函数乘积的高阶导数； 12．会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 13．会用微分定义和微分法则求微分； 14．会用一阶微分形式不变性求复合函数的微分和导数； 15．会用微分求函数的近似值。 （四）分析综合 1．综合运用基本初等函数的导数公式及各种导法则求初等函数的导数； 2．综合运用函数导数的定义，左、右导数与导数之间的关系以及可导与连续的关系等讨论函数的可导性；

第二章导数与微分教案

第二章-导数与微分教案《数学基础》教案

第二章-导数与微分教案 教学内容(教学时数：) 一、导数概念的引例 在实际问题中，经常需要讨论自变量X的增量x与相应的函数y f(x)的增量 y之间的关系，例如，它们的比y以及x °时y的极限.下面讨论曲线的 X X 切线问题?这个问题在历史上都与导数概念的形成有密切的关系. 曲线的切线的斜率 首先介绍曲线y f(x)在一点M(x°,y°)处的切线，如图2-1所示在曲线上取与M (x°,y°) 邻近的一点N(x°x,y°y),作割线MN，当N沿着曲线逐渐向点M接近时，割线MN将绕 着点M转动，当点N沿着曲线无限接近M时, 割线MN的极限位置MT就叫做曲线y f(x)在点M处的切线 下面求曲线y f (x)在点M处切线的斜率，设割线MN的倾斜角为，则割 线MN的斜率为tan y f (x°x) f (x°) x x 又设切线MN的倾斜角为，那么当x °时，割线MN的斜率的极限就 是切线的斜 率， 即 k tan lim tan lim y X °x lim f(x°x) f (x°)( 2) lim x ° ( x 、导数的定义 定义1 设函数y f(x)在点x°的某个邻域内有定义，当自变量x在x°处 取得增量x (点x。x 仍在该邻域内)时，相应函数 f (x)取得增量 备注:

第二章-导数与微分教案 y f (x o x) f (x o )；如果当 X o 时y 与x 之比的极限存在，则称 函数y f (x)在点x o 处可导，并称这个极限为函数 y f (x)在点x o 处的导数, 记为f (X o ) ，即 f (X o ) lim y x o x lim f(x ° x) f(xo) x o x 也可记作 y x x o ， dy x “ 或 d r x xo ? 如果y f (x)在区间(a,b )中的每一个确定的值 x ，对应着一个确定的导数 值f (x)，这样就确定了一个新的函数，此函数成为函数 y f (x)的导函数。即 f(x)= lim 心x)心)，也可记作y ， x o 淆的情况下，导函数也简称导数 三、求导数 (1) (2) 求函数的增量： 求比值： y = x (3) 求极限： f (x) 例1求函数 f(x) 解：f (x) lim - x o 由导数的定义，可以求得函数 y (x lim x o lim x o =nx n 1 即 (x ) d y 吋辿.在不致发生混 或 dx dx y f (x)的导数的一般步骤: f(x x) f(x) f(x x) f(x) x x n (n 为正整数)在的导数? f(x x) f(x) x)n (x)n n 1 nx lim C1xn 1 x 淤 x o 2 x 2 Cn

2第二章 导数与微分答案

第二章 导数与微分 重点：导数与微分的概念、关系、导数的几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、基本初等函数的导数公式。 难点：隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数、对数求导法、一阶微分形式的不变性。 第一节 导数概念 1．填空题. （1） 已知()f x x x x x =≥-???21 1 ,, 在1=x 处可导，则 =a 2 ， =b -1 . 2．选择题. （1）设y f x =()在a x =处可导，则 ()()=--+→x x a f x a f x 0 lim （ B ） A. )(' a f ； B. )(2' a f ； C. 0 ； D. )2(' a f . （2）设 ()f x 为可导函数，且满足条件()() lim x f f x x →--=-0 1121，则曲线()y f x =在 ()(,)11 f 处的切线斜率为（ B ） A. 2; B. -2; C. 1; D. -1. （3） 若)(x f 在点x x =0处可导，则()f x 在点x x =0处（ C ） A. 可导; B. 不可导; C. 连续未必可导; D. 不连续. （4）设n x x f =)(，n x 是过点（1，1）的曲线n x y =（n 是正整数）的切线在x 轴上的截距，则=∞ →)(lim n n x f （ D ） A. 1； B. 0 ； C. e ； D. 1 -e . （5）设)(x f 在点a x =处可导，则 ()f x 在点a x =处不可导的充分条件是（ B ）

最新高等数学(同济第五版)第二章导数与微分-练习题册

第二章 导 数 与 微 分 第 一 节 作 业 一、填空题： 1. 假定:,)('0按照导数定义存在x f . ) ()(lim )2(. ) ()(lim )1(000000=--+= ?-?-→→?h h x f h x f x x f x x f h x 2. 设=?= ',5 32 2y x x x y 则 . 3. 曲线y=e x 在点（0，1）处的切线方程为 . 4. 已知物体的运动规律为 s=t 3（米），则这物体在t=2（秒）时的速度为 . 二、选择题（单选）： 1. 设f(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)(x+4)…(x+100)，则f’(1)的值等于： （A ）101！； （B ）100!101- ； （C ）-100； （D ）.99 ! 100 答：（ ） . 1)(; 1)(;2 1 ) (; 0)(: )0(',0,00 ,1)(.22 -?????=≠-=-D C B A f x x x e x f x 为则设 答：（ ） 三、试解下列各题： 1. 讨论函数.00, 00 ,1sin 处的连续性与可导性在=????? =≠=x x x x x y

2. 已知).(',0, ,sin )(x f x x x x x f 求???≥<= 3. 设?,,1)(,1 ,1 ,)(2应取什么值处可导在为了使b a x x f x b ax x x x f =???>+≤= 四、试证明下列各题： 1. 证明：双曲线xy=a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积等于2a 2. 2. 如果f(x)为偶函数，且f’(0)存在，证明f’(0)=0.

导数与微分试题及答案

1 / 12 第二章 导数与微分 1. ()().1,102-'=f x x f 试按定义求设 200200(1)(1)10(1)10 '(1)lim lim 1020lim lim (1020)20x x x x f x f x f x x x x x x ?→?→?→?→-+?--?---==???-?==?-=-? 2. 下列各题中均假定()0x f '存在，按导数定义观察下列极限，指出此极限表示什么, 并将答案填在括号内。 ⑴ ()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim （0'()f x -）； ⑵ ()=→?x x f x 0lim （'(0)f ）， 其中()()存在；且0,00f f '= ⑶ ()() =--+→h h x f h x f h 000lim （02'()f x ）. 3. 求下列函数的导数： ⑴ ='=y x y ,4 则3 4x ⑵ ='=y x y ,32则132 3 x - ⑶ ='=y x y ,1 则32 12x -- ⑷ = '=y x x y ,53则115165x 4． 求曲线. 21,3 cos 程处的切线方程和法线方上点?? ? ??=πx y 'sin ,'()3y x y π=-= 所以切线方程为1)23y x π- =- 2(1)0y +-=

法线方程为1)23y x π- =- 化简得3)0x π+-= 5. 讨论函数?????=≠=0 00 1sin 2 x x x x y 在0=x 处的连续性和可导性. 20(0)0 1 lim sin 0(0)()x f x f x →===因为有界量乘以无穷小 所以函数在0x =处连续 因为 20001 sin (0)(0) 1lim lim lim sin 0x x x x f x f x x x x x ?→?→?→?+?-==?=??? 所以函数在0x =处可导. 6. 已知()()()()是否存在？ 又及求 0 ,0 0 , 0 2f f f x x x x x f '''???<-≥=-+ 2 ' 00(0)(0)(0)lim lim 0h h f h f h f h h + →+→++-=== '0 0(0)(0)(0)lim lim 1h h f h f h f h h -→-→++--===- ''(0)(0)f f +-≠Q '(0)f ∴不存在 7. ()(). , 0 sin x f x x x x x f '?? ?≥<=求已知 当0x <时, '()(sin )'cos f x x x ==; 当0x >时, '()()'1f x x ==; 当0x =时

最新高等数学第二章导数与微分综合测试卷

第二章 综合测试题A 卷 一、填空题（每小题4分,共20分） 1、设函数()f x x x =, 则(0)f '= . 2、设函数()x f x xe =, 则(0)f ''= . 3、设函数()f x 在0x 处可导,且0()f x =0,0()f x '=1, 则01lim ()n nf x n →∞ += . 4、曲线2 28y x x =-+上点 处的切线平行于x 轴,点 处的切线与x 轴正向的交角为 4 π. 5、d = x e dx - 二、选择题（每小题4分,共20分） 1、 设函数10 ()10 2 x x f x x ≠?=??=?? 在0x =处 [ ] （A ） 不连续 （B ） 连续但不可导 （C ） 二阶可导 （D ） 仅一阶可导 2、若抛物线2 y ax =与曲线ln y x =相切, 则a 等于 [ ] （A ） 1 （B ） 12 （C ） 1 2e （D ） 2e 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导, 且0()2f x '=, 则0()f x 等于 [ ] （A ） 1 （B ） 2e （C ） 2 e （D ） e 4、设函数()f x 在点x a =处可导, 则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于 [ ] （A ） 0 （B ） ()f a ' （C ） 2()f a ' （D ） (2)f a ' 5、设函数()f x 可微, 则当0x ?→时, y dy ?-与x ?相比是 [ ] （A ）等价无穷小 （B ）同阶非等价无穷小 （C ）低阶无穷小 （D ）高阶无穷小 三、解答题

(完整版)导数与微分习题及答案

第二章 导数与微分 (A) 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量 =?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()() =?-?-→?x x f x x f x 000 lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则 =dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ． ()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0,2sin 0 ,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

第二章导数与微分

第二章导数与微分 一、教学目标与基本要求 1.理解函数在一点的导数的三种等价定义和左、右导数的定义；了解导函数与函数在一点的导数的区别和联系；会用导数的定义求一些极限，证明一些有关导数的命题，验证导数是否存在；了解导数的几何意义及平面曲线的切线和法线的求法。 2.掌握常数、基本初等函数及双曲函数与反双曲函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则。 3.理解高阶导数定义；掌握两函数乘积高阶导数的莱布尼兹公式；综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数高阶导数。 4.理解隐函数定义并会求隐函数的一阶、二阶导数；掌握反函数的求导法则。 5.掌握参数方程所确定的函数的一、二阶导数的求导公式；会用对数求导法求幂指函数和具有复杂乘、除、乘方、开方运算的函数的导数。 6.理解微分的定义以及导数与微分之间的区别和联系；掌握基本初等函数的微分公式；理解微分形式的不变性；了解微分在近似计算及误差估计中的应用。 7.理解函数在一点处可导、可微和连续之间的关系。 二、教学内容与学时分配 第一节导数的概念，计划3.5学时；第二节函数的和、差、积、商的求导法则，计划1.5学时；第三节反函数的导数、复合函数的求导法则，计划3.5学时；第四节初等函数的导数问题，计划1学时；第五节高阶导数，计划2.5学时；第六节隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数，计划3.5学时；第七节函数的微分，计划2.5学时；第八节微分在近似计算中的应用，计划1.5学时；共计20学时。 三、重点与难点 1.导数的概念与几何意义及物理意义； 2.可导与连续的关系； 3.导数的运算法则与基本求导公式； 4.微分的概念与微分的运算法则； 5.可微与可导的关系。 四、内容的深化与拓宽 1.导数概念的深刻背景 2.复合函数的求导法则的应用 3.综合运用基本初等函数的高阶导数公式，两函数和、差、积的高阶导数公式及莱布尼兹公式等，求函数的高阶导数。