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(完整版)导数与微分习题及答案

第二章导数与微分

(A)

1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量

=?y ( )

A ．()x x f ?+0

B ．()x x f ?+0

C ．()()00x f x x f -?+

D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()

=?-?-→?x

x f x x f x 000

lim

( )

A ．()0x f '-

B ．()0x f -'

C ．()0x f '

D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则

=dx

( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( )

A ．左导数存在；

B ．右导数存在；

C ．左右导数都存在

D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在

7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6

8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( )

A ．

()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}

x f x f e x f ''+'2

9．若()???≥+<=0,2sin 0

,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( )

A ．2=a ，1=b

B ． 1=a ，2=b

C ．2-=a ，1=b

D ．2=a ，1-=b

10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则

()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．恰有一个有导数

D ．至少一个有导数

11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，

()()()x g x f x G -=在0x 处( )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．至少一个有导数

D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导

C ．()x g 必须可导

D ．()x f 和()x g 都不一定可导

13．x

arctg y 1

=，则='y ( )

A ．211x +-

B ．2

x + C ．221x x +- D ． 221x x +

14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→h

h a f h a f h 0lim ( )

A ．()2

a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()

b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( )

A ．()x f 的极限存在，且可导

B ．()x f 的极限存在，但不一定可导

C ．()x f 的极限不存在

D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→h

h a f a f n 0

lim

。

17．函数1+=x y 导数不存在的点。

18．设函数()??? ??+=22sin πx x f ，则=??

??'4πf 。

19．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()=0'y 。

20．曲线x y ln =在点()1,e P 处的切线方程。

21．若()()???+=+==t y t t x x f 1ln 22，则

==0

t dx dy

。 22．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy 。 23．若()x f 可导，()[]{}x f f f y =，则='y 。

24．曲线()()5

31225+=+x y 在点??? ?

?-51,0处的切线方程是。

25．讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性：

(1)x y sin =；(2) ???

=≠=0,

00,1sin x x x

x y 26．已知()???≥<=0,0

,sin x x x x x f ，求()x f '。

27．设1ln 44+=x x

e e y ，求y '及0='x y 。

28．设()()x f x e e f y =且()x f '存在，求dx

dy 。 29．已知1

111ln

3++-+=x x y ，求y '。

30．已知x x x y +=，求y '。 31．设7777++=x x y ，求2=x dy 。 32．设()

()

132x x x y +-+=

，求y '。

33．设()2

x f y =若()x f '存在，求22dx

d 。

(B)

1．设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→x

x f x 0

lim

( ) A ．()x f ' B ．()0f ' C ．不存在 D ．∞ 2．若()30-='x f ，则()()

=??+-?+→?x

x x f x x f x 3lim

000

( )

A ．-3

B ．6

C ．-9

D ．-12

3．若函数()x f 在点a 可导，则()()=+-→h

h a f a f h 32lim

0( ) A ．()a f '-32 B ．()a f '-23 C ．()a f '32 D ．()a f '2

4．设()???≤>+-=1,11

,222x x x x x f 则()x f 在1=x 处( )

A ．不连续

B ．连续，但不可导

C ．连续，且有一阶导数

D ．有任意阶导数

5．函数()???????=≠-+=0,210,1

1x x x x x f 在0=x 处( ) A ．不连续 B ．连续不可导 C ．连续且仅有一阶导数 D ．连续且有二阶导数

6．要使函数()???

??≠==0,00,1sin x x x

x x f n 在0=x 处的导函数连续，则n 应取何值？ ( )

A ．0=n

B ．1=n

C ．2=n

D ．3≥n

7．设函数()x f 有连续的二阶导数，且()00=f ，()10='f ，()20-=''f ，则极限()2

lim

x f x -→等于( ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．-1

8．设()x f 在0=x 的某领域内有定义，()00=f ，且当0→x 时，()x f 与x 为等价无穷小量，则( )

A ．()00='f

B ．()10='f

C ．()0f '不存在

D ．不能断定()0f '的存在性 9．设()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f ( ) A ．-2 B ．

21 C ．2 D ．2

1- 10．设函数()()()()()4321----=x x x x x x f ，则()='0f ( ) A ．0 B ．24 C ．36 D ．48

11．已知0→x 时，()()0f x f -是x 的等价无穷小量，则()()=--→h

h f f h 200lim 0

( )

A ．-2

B ．-1

C ．2

D ．不存在 12．若()x f 在0x 可导，则()x f 在0x 处( ) A ．必可导 B ．连续但不一定可导 C ．一定不可导 D ．不连续

13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy 。

14．设()x y 是由方程x y y =-sin ε(10<<ε，ε常数)所定义的函数，则

=''y 。

15．若()x f 在a x =处可导，则()()=--+→h

mh a f nh a f h 0

lim

。

16．若?为二阶可微函数，则()[]

2ln x y ?=的()=''x y 。 17．已知()?????=≠=0,00,sin 12

x x x x x f 则()='0f ，=???

??'2πf 。

18．已知()()

???+=-=t t t a y t t t a x sin cos cos sin ，则==π4

3t dy dx

。==π4

2t dy x d 。 19．若1

x y ，则()=5y 。 20．若()??

??=≠=0,00,12

x x x

arctg x x f ，则()='0f ，()='x f ，

()=+

→x

x f x 0

lim 。 21．已知()??

???=≠-=0,10

,122

x x x e x f x ，求()x f '。

22．设()()()x g a x x f 22-=，其中()x g 在a x =处连续，求()a f '。 23．如果()x f 为偶函数，且()0f '存在，证明()00='f 。

24．设()x f 对任意的实数1x 、2x 有()()()2121x f x f x x f =+，且()10='f ，试证()()x f x f ='。

25．已知21ln x xarctgx y +-=，求y '。 26．已知x x y sin 21sin 2arcsin

++=??? ?

<2πx ，求y '。

27．设()

x x x a a a y arccos 12-+=，求dy 。 28．设x e x x y -=1sin ，求y '。

29．设???-==t t t y t x cos sin cos ln ，求dx dy

，3

2π

t dx y d 。

30．函数()x y y =由方程22ln y x x y arctg

+=确定，求dx dy

。 (C)

1．可微的周期函数其导数( ) A ．一定仍是周期函数，且周期相同 B ．一定仍是周期函数，但周期不一定相同 C ．一定不是周期函数 D ．不一定是周期函数 2．若()x f 为()l l ,-内的可导奇函数，则()x f '( )

A ．必有()l l ,-内的奇函数

B ．必为()l l ,-内的偶函数

C ．必为()l l ,-内的非奇非偶函数

D ．可能为奇函数，也可能为偶函数

3．设()x

x x f n 1

sin =(0≠x )且()00=f ，则()x f 在0=x 处 ( )

A ．令当()()001

sin

lim lim 0

===→→f x

x x f n x x 时才可微 B ．在任何条件下都可微 C ．当且仅当2>n 时才可微 D ．因为x

sin

在0=x 处无定义，所以不可微 4．设()()()x a x x f ?-=，而()x ?在a x =处连续但不可导，则()x f 在a x =处 ( )

A ．连续但不可导

B ．可能可导，也可能不可导

C ．仅有一阶导数

D ．可能有二阶导数

5．若()x f 为可微分函数，当0→?x 时，则在点x 处的dy y -?是关于x ?的( )

A ．高阶无穷小

B ．等价无穷小

C ．低价无穷小

D ．不可比较 6．函数()x f y =在某点处有增量2.0=?x ，对应的函数增量的主部等于0.8，则()='x f ( )

A ．4

B ．0.16

C ．4

D ．1.6 7．()()()

2121ln cos 1lim

=-+--+-→x

x e d x c x b atgx ，其中022≠+c a ，则必有( )

A ．d b 4=

B ．d b 4-=

C ．c a 4=

D ．c a 4-=

8．设()()

21ln lim

0=+-+→x bx ax x x ，则( ) A ．1=a ，25

-=b B ．0=a ，2-=b

C ．0=a ，2

-=b D ．1=a ，2=b

9．设()??

???>≤=1,1

,3223

x x x x x f 则()x f 在点1=x 处的( )

A ．左、右导数都存在

B ．左导数存在，但右导数不存在

C ．左导数不存在，但右导数存在

D ．左、右导数都不存在 10．设()x f 在()+∞∞-,内可导，且对任意1x ，2x ，当21x x >时，都有

()()21x f x f >，则( )

A ．对任意x ，()0>'x f

B ．对任意x ，()0≤-'x f

C ．函数()x f -单调增加

D ．函数()x f --单调增加

11．设()x f 可导，()()()x x f x F sin 1+=，若使()x F 在0=x 处可导，则必有( )

A ．()00=f

B ．()00='f

C ．()()000='+f f

D ．()()000='-f f 12．设当0→x 时，()12++-bx ax e x 是比2x 高阶的无穷小，则( )

A ．21

a ，1=

b B ．1=a ，1=b C ．21

=a ，1=b D ．1-=a ，1=b

13．设函数()x f 在区间()δδ,-内有定义，若当()δδ,-∈x 时，恒有()2x x f ≤，则0=x 是()x f 的( )

A ．间断点

B ．连续而不可导点

C ．可导的点，且()00='f

D ．可导的点，且()00≠'f 14．设0→x 时，x tgx e e -与n x 是同阶无穷小，则n 为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

15．函数()()

x x x x x f ---=322不可导点的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 16．已知函数()x y y =在任意点x 处的增量α++?=?2

y y 且当0→?x 时，α是x ?的高阶无穷小，()π=0y ，则()=1y ( )

A ．π2

B ．π

C ．4

e D ．4

ππe

17．设()()???

??≤>-=0,0,cos

12x x g x x x x f 其中()x g 是有界函数，则()x f 在0=x 处( )

A ．极限不存在

B ．极限存在，但不连续

C ．连续，但不可导

D ．可导

18．在区间()+∞∞-,内，方程0cos 2

141=-+x x x ( ) A ．无实根 B ．有且仅有一个实根 C ．有且仅有两个实根 D ．有无穷多个实根

19．???==m

y t x ln ，则==1

t n

n dx y d 。

20．若()x f 是可导函数，且()()[]1sin sin 2+='x x f ，()40=f ，则()x f 的反函数()y x ?=为自变量取4时的导数值为。

21．若()x f 在e x =点处且有连续的一阶导数，且()12--='e e f ，则

(

)='

+→x

x e f dx

cos 0lim 。

22．设()()()x g x x f 1331-=，其中()x g 在点1=x 处连续，且()61=g ，则

()='1f 。

23．设()()???

??=≠--=1,01,1

1cos 1x x x x x f a

则当a 的值为时，()x f 在1=x 处连续，当a 的值为时，()x f 在1=x 可导。

24．已知2

2x e x y =则()()=04y ，()()=05y 。

25．若()x x x f 2cos 2=，则()()=010f 。

26．()???

??=≠+=0,0,2sin 2x a x x

e x x

f ax

，在()+∞∞-,上连续，则=a 。 27．()

=+→x

x x sin 2

31lim 。

28．设()

x y 1

sin cos 2

2=，则='y 。 29．曲线?????=+=3

y t

x 在2=t 处的切线方程为。

30．设82lim =???

??-+∞→x

x a x a x ，则=????????? ?

?-+='

02x a x a x 。 31．设3

???

??+=-x e

x y ，则='=0x y 。 32．设2

11ln

y +-=，则=''=0x y 。 33．=--++→2

11lim

x x x x 。

34．=???

??-→xtgx x x 11lim 20 。 35．曲线?????==t

e y t

e x t

cos 2sin 在点(0,1)处的法线方程为。 36．设函数()x y y =由方程()x y x y x sin ln 32+=+确定，则

==0

x dx

。

37．=???

???? ??+-??? ??+∞

→x x x x 11ln sin 31ln sin lim 。

38．设()[]x f y ln =且()x f ''存在，求22dx

d 。

39．()x y y =是由方程组?????=+-++=0

1sin 3

232

y t e t t x y 所确定的隐函数，求022=τdx y d 。

40．设()()()

???-'='=t f t f t y t f x ，其中()t f 具有二阶导数，且()0≠''t f ，求22dx y

d 。

41．设()y x f y +=，其中f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于1，求22dx

d 。

42．设()x

x f 111+=

，且()()

x f x g 111+

，计算()x f '和()x g '。

43．设()()[]

()

x f x f x g =，求()x g '。

44．若22

=-y x y ，求22dx

d 。

45．验证函数x x

e e

y -+=满足关系式04

21=-'+

''y y y x 。 46．设曲线C 的参数方程是()

?????+=-=--2

t t t

t e e y e

e x ，求曲线C 上对应于2ln =t 的点

的切线方程。

47．设()??

?>+≤=0

02,

x x b ax x x x x f 若若，为了使函数()x f 于点0x x =处连续而且可

微，应当如何选取系数a 和b ？

48．设()()??

?>+≤=0

x x b ax x x x f x F 若若，其中函数()x f 在0x x =为左方可微分的，

应当如何选取系数a 和b ，使函数()x F 在点0x 处连续且可微分。

49．设??

??++=

42ln 21cos 2sin 2

πx tg x x y ，求dy 。 50．设()()

???

??-==?2122

cos 21cos cos t udu u t t y t x ，求dx dy ，2

t dx y d 。

51．求极限x

x x x x x sin 1

14lim

2+++-+-∞

→。

52．设()x f 满足()x

x bf x af =??? ??+1，其中a 、b 、c 都是常数，且b a ≠

(1) 证明()()x f x f --= (2) 求()x f '，()x f ''

53．设函数()?????>-≤<--<-=2 ,161221

, 1,213

2x x x x x x x f ， (1) 写出()x f 的反函数()x g 的表达式；

(2) ()x g 是否有间点、不可导点，若有指出这些点。

第二章导数与微分

(A)

1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量

=?y ( C )

A ．()x x f ?+0

B ．()x x f ?+0

C ．()()00x f x x f -?+

D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可，则()()

=?-?-→?x

x f x x f x 000

lim

( A )

A ．()0x f '-

B ．()0x f -'

C ．()0x f '

D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( A ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则

=dx

( C ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( D )

A ．左导数存在；

B ．右导数存在；

C ．左右导数都存在

D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( D ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在

7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( A ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6

8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( D )

A ．()x f e

B ．

()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){}

x f x f e x f ''+'2

9．若()???≥+<=0,2sin 0

,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( A )

A ．2=a ，1=b

B ． 1=a ，2=b

C ．2-=a ，1=b

D ．2=a ，1-=b

10．若函数()x f 在点0x 处有导数，而函数()x g 在点0x 处没有导数，则

()()()x g x f x F +=，()()()x g x f x G -=在0x 处( A )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．恰有一个有导数

D ．至少一个有导数

11．函数()x f 与()x g 在0x 处都没有导数，则()()()x g x f x F +=，

()()()x g x f x G -=在0x 处( D )

A ．一定都没有导数

B ．一定都有导数

C ．至少一个有导数

D ．至多一个有导数 12．已知()()[]x g f x F =，在0x x =处可导，则( A ) A ．()x f ，()x g 都必须可导 B ．()x f 必须可导

C ．()x g 必须可导

D ．()x f 和()x g 都不一定可导

13．x

arctg y 1

=，则='y ( A )

A ．211x +-

B ．2

+ C ．221x x +- D ． 221x x + 14．设()x f 在点a x =处为二阶可导，则()()=-+→h

h a f h a f h 0lim ( A )

A ．()2

a f '' B ．()a f '' C ．()a f ''2 D ．()a f ''- 15．设()x f 在()

b a ,内连续，且()b a x ,0∈，则在点0x 处( B )

A ．()x f 的极限存在，且可导

B ．()x f 的极限存在，但不一定可导

C ．()x f 的极限不存在

D ．()x f 的极限不一定存在 16．设()x f 在点a x =处可导，则()()=--→h

h a f a f n 0

lim

()a f '。

17．函数1+=x y 导数不存在的点1-=x 。

18．设函数()??? ??+=22sin πx x f ，则=??

??'4πf 2 。

19．设函数()x y y =由方程0=+-y x e e xy 所确定，则()=0'y 1 。 20．曲线x y ln =在点()1,e P 处的切线方程()11

-x e

e y 。

21．若()()???+=+==t y t t x x f 1ln 22，则

==0

t dx dy

2 。 22．若函数()x x e y x sin cos +=，则=dy x e x cos 2。

23．若()x f 可导，()[]{}x f f f y =，则='y ()[]{}()[]()x f x f f x f f f ''+'。

24．曲线()()5

31225+=+x y 在点??? ?

?-51,0处的切线方程是()03231-=+x y 。

25．讨论下列函数在0=x 处的连续性与可导性： (1)x y sin =

解：∵0sin 0sin lim 0

==→x x

∴x y sin =在0=x 处连续又()()()1sin lim sin lim 00lim 0000

-=-===--'---

→→→-x

x x x f x f f x x x ()()()1sin lim sin lim 00lim 0000

====--'+++

→→→+x

x x x x f x f f x x x ()()00+-'≠'f f ，故x y sin =在0=x 处不可导。

(2) ?????

=≠=0,

,1sin x x x

x y 解：∵()001

sin

lim 0f x

x x ==→，∴函数在0=x 处连续

又()()x x x x x x f x f x x x 1sin lim 0

1sin lim 00lim 000→→→=-=--不存在。故()x f 在0=x 处不可导。

26．已知()???≥<=0

,sin x x x x x f ，求()x f '。

解：0=x 时，()???><='1

,10,cos x x x x f 可以求得()10='f

∴()???≥<='0,10

,cos x x x x f 。

27．设1ln 44+=x x

e e y ，求y '及0='x y 。

解：()[]()[]

'+-='+-=

'???1ln 42

11ln ln 21

x x x e x e e y 12

1421+=???? ??+?-=???x x x e e e 28．设()()x f x e e f y =且()x f '存在，求

。解：()[]()()()[]()()()

()()x f e e f e e e f e e f e e f y x f x x f x x x f x x f x '++'='

+'='

()()()()[]x f e f e e f e x

f '++'=

29．已知1

111ln

3++-+=x x y ，求y '。

解：(

)

(

)[]

'--+='?

?????

-+='||ln 311ln 211ln

x x x x y ()x

x x x x x x 31133123111

333

3-+-+=-

-+= 30．已知x x x y +=，求y '。解：(

)()()1ln 1ln 1ln ln ++='+='+='x x x x e e x y x

x x

31．设7777++=x x y ，求2=x dy 。

解：7ln 17717721

767171x x x y x x ?-='???? ??++='- 32．设()

()

132x x x y +-+=

，求y '。

解：两边取自然对数可得：

()()x x x x

y +--++=

1ln 53ln 4|2|ln 1

ln 两边对x 求导得：

()1

153142211+---++='x x x y y ∴()()()??

???+--+++-+=

'153********

x x x x x x y 33．设()2

x f y =若()x f '存在，求22dx

d 。

解：()

x x f dx

dy 22

?'=，()()2222224x f x x f dx y d '+''=。

(B)

1．设函数()x f 在点0可导，且()00=f ，则()=→x

x f x 0

lim

( B )

A ．()x f '

B ．()0f '

C ．不存在

D ．∞ 2．若()30-='x f ，则()()

=??+-?+→?x

x x f x x f x 3lim

000

( B )

A ．-3

B ．6

C ．-9

D ．-12

3．若函数()x f 在点a 可导，则()()=+-→h

h a f a f h 32lim

0( A ) A ．()a f '-32 B ．()a f '-23 C ．()a f '32 D ．()a f '2

4．设()???≤>+-=1,11

,222x x x x x f 则()x f 在1=x 处( A )

A ．不连续

B ．连续，但不可导

C ．连续，且有一阶导数

D ．有任意阶导数

5．函数()???????=≠-+=0,210,1

1x x x x x f 在0=x 处( B ) A ．不连续 B ．连续不可导 C ．连续且仅有一阶导数 D ．连续且有二阶导数

6．要使函数()???

??≠==0,00,1sin x x x

x x f n

在0=x 处的导函数连续，则n 应取何值？ ( D )

A ．0=n

B ．1=n

C ．2=n

D ．3≥n

7．设函数()x f 有连续的二阶导数，且()00=f ，()10='f ，()20-=''f ，则极限()2

lim

x f x -→等于( D ) A ．1 B ．0 C ．2 D ．-1

8．设()x f 在0=x 的某领域内有定义，()00=f ，且当0→x 时，()x f 与x 为等价无穷小量，则( B )

A ．()00='f

B ．()10='f

C ．()0f '不存在

D ．不能断定()0f '的存在性 9．设()x f 为奇函数，且()20='x f ，则()=-'0x f ( C ) A ．-2 B ．

21 C ．2 D ．2

- 10．设函数()()()()()4321----=x x x x x x f ，则()='0f ( B ) A ．0 B ．24 C ．36 D ．48

11．已知0→x 时，()()0f x f -是x 的等价无穷小量，则()()=--→h

h f f h 200lim 0

( A )

A ．-2

B ．-1

C ．2

D ．不存在 12．若()x f 在0x 可导，则()x f 在0x 处( B ) A ．必可导 B ．连续但不一定可导 C ．一定不可导 D ．不连续

13．若()u f 可导，且()x e f y -=sin ，则=dy ()()dx e f e f e x x x ---'-cos 。 14．设()x y 是由方程x y y =-sin ε(10<<ε，ε常数)所定义的函数，则

''y ()

cos 1sin y y

εε--。

15．若()x f 在a x =处可导，则()()=--+→h

mh a f nh a f h 0

lim

()()a f n m '+。

16．若?为二阶可微函数，则()[]

2ln x y ?=的()=

''x y ()

()

222

241x x x

??' ()()()()]

22222244x x x x x ???'+''-。

17．已知()?????=≠=0,00,sin 12

x x x x x f 则()='0f 1 ，=???

??'2πf 24π-。

18．已知()()???+=-=t t t a y t t t a x sin cos cos sin ，则==π4

3t dy dx

-1 。==π

2t dy x d πa 328。 19．若1

2-=x y ，则()=5y ()

5111121??????+--x x ()()()()??

????+---?-=

65`1!5111!5121x x 。 20．若()???

??=≠=0,00,12

x x x

arctg x x f ，则()='0f -1 ， ()?????=-≠+-='0,10,1122

x x x

x x xarctg x f ，()=+→x x f x 0lim 0 。 21．已知()?????=≠-=0,10

x x x e x f x ，求()x f '。

解：0≠x 时，()(

)

()

2432

12121

x x e x e e x x e

x f x x x x +-=

-='

' ()()()3202001lim 11lim 00lim 022

x x e x x e x f x f f x x x x x --=--=--='→→→

e x e x x xe t t t

x x x x x 1

lim 232

2lim 322lim 02

02022

--=-=→=→→ 21

lim 20==→t

t e

∴()()

???=≠+-=0,20

,2123

x x x x e x f x 22．设()()()x g a x x f 22-=，其中()x g 在a x =处连续，求()a f '。

解：()()()()()

()a ag a

x x g a x a x a f x f a f a x a x 2lim lim 22=--=--='→→。 23．如果()x f 为偶函数，且()0f '存在，证明()00='f 。证：∵()0f '存在，∴()()()000-+'='='f f f ，而

()()()()()()()()00lim 0lim 00lim 00

+→→-=→-'-=--=-----='--

f t f t f t f t f x f x f f t t t

x x

∴()()00f f '-='，∴()00='f 。

24．设()x f 对任意的实数1x 、2x 有()()()2121x f x f x x f =+，且()10='f ，试证()()x f x f ='。

证：x ?，()()()00f x f x f =+，可得()10=f 。从而

()()()()()()()()x

x f x f x x f x f x f x x f x x f x f x x x ?-?=?-?=?-?+=

='→?→?→?1

lim

lim lim 000 ()()()()()()x f f x f x

f x f x f x ='=?-?=→?00lim 0。 25．已知21ln x xarctgx y +-=，求y '。

解：()

arctgx x x x x arctgx x x xarctgx y =+-++='

???+-='2

22122111ln 1 26．已知x x y sin 21sin 2arcsin

++=??? ?

<2πx ，求y '。

解：'

???

?++?

? ??++-='x x x x y sin 21sin 2sin 21sin 211

2 ()()()22

sin 21sin 2cos sin 2cos 2cos 2sin 2x x x x x

++-+?

()

x sin 23

sin 2233+=

27．设()

x x x a a a y arccos 12-+=，求dy 。解：[

]dx a

a dy x

x '

-+=arccos 12

dx a a a a a a a a x x x

x x ???

????---+--+

=222211arccos 12ln 2ln dx a a a a x x

x arccos 1ln 22--

28．设x e x x y -=1sin ，求y '。解：??

?-++=

|1|ln 1|sin |ln ||ln 1ln x

e x x x x y ∴()??

????--+='x x e e x x x y y 12sin cos 1211 ∴()??

????--+?-='x x x

e e ctgx x x e xsomx y 12111 29．设?

??-==t t t y t x cos sin cos ln ，求dx dy ，3

2π

t dx y d 。

解：

t t t

t t

t t t x y dx dy t t cos cos sin sin cos cos -=-+-='

'= ()()t t t t t t

t t t t x t t dx

y d t t

sin cos sin cos cos sin sin cos 1cos 2

2-=-+-=''-=

()

3612

21233213

22-=???? ??-==πππt dx y d 。 30．函数()x y y =由方程22ln y x x y arctg +=确定，求dx

。

解；两边对x 求导得：

关于导数的29个典型习题

关于导数的29个典型习题习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。解由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。证求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴

导数与微分测试题及答案(一)

导数与微分测试题（一）一、选择题（每小题4分，共20分） 1、设函数10 ()10 2 x x f x x ?≠??=??=?? 在0x =处（） A 、不连续； B 、连续但不可导； C 、二阶可导； D 、仅一阶可导； 2、若抛物线2y ax =与曲线ln y x =相切，则a 等于（） A 、1； B 、 12 ； C 、 12e ； D 、2e ； 3、设函数()ln 2f x x x =在0x 处可导，且0()2f x '=，则0()f x 等于（） A 、1； B 、 2 e ； C 、 2e ； D 、e ； 4、设函数()f x 在点x a =处可导，则0 ()() lim x f a x f a x x →+--等于（） A 、0； B 、()f a '； C 、2()f a '； D 、(2)f a '； 5、设函数()f x 可微，则当0x ?→时，y dy ?-与x ?相比是（） A 、等价无穷小； B 、同阶非等价无穷小； C 、低阶无穷小； D 、高阶无穷小；二、填空题（每小题4分，共20分） 1、设函数()f x x x =，则(0)f '=______； 2、设函数()x f x xe =，则(0)f ''=______； 3、设函数()f x 在0x 处可导，且0()f x =0，0()f x '=1，则 01lim ()n nf x n →∞ + =______； 4、曲线2 28y x x =-+上点______处的切线平行于x 轴，点______处的切线与x 轴正向的交角为 4 π 。

5、 d ______ = x e dx - 三、解答题 1、（7分）设函数()()() , ()f x x a x x ??=-在x a =处连续，求()f a '； 2、（7分）设函数()a a x a x a f x x a a =++，求()f x '； 3、（8分）求曲线 sin cos 2x t y t =?? =? 在 6 t π = 处的切线方程和法线方程； 4、（7分）求由方程 1sin 02 x y y -+=所确定的隐函数y 的二阶导数 2 2 d y dx 5、（7分）设函数1212()()()n a a a n y x a x a x a =--- ，求 y ' 6、（10分）设函数2 12()12 x x f x ax b x ?≤?? =? ?+> ?? ，适当选择,a b 的值，使得()f x 在12 x = 处可导 7（7分）若2 2 ()()y f x xf y x +=，其中 ()f x 为可微函数，求dy 8、（7分）设函数()f x 在[,]a b 上连续，且满足 ()()0,()()0f a f b f a f b +-''==?>，证明：()f x 在(,)a b 内至少存在一点c ，使得 ()0f c = 导数与微分测试题及答案（一）一、1－5 CCBCD 二、1. 0； 2. 2； 3. 1； 4.（1，7）、329(, )24 ； 5. x e --；三、1. 解：()() ()() ()lim lim ()x a x a f x f a x a x f a a x a x a ??→→--'===--；

第五章微分方程

第五章微分方程第一节微分方程的基本概念一、基本概念微分方程的定义： ①凡是含有未知函数的导数（或微分）的方程，称为微分方程. ②未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程，简称微分方程. 微分方程的阶、解与通解：微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数，称为微分方程的阶.如果把函数 )(x f y =代入微分方程后，能使方程成为恒等式,则称该函数为该微分方程的解.若微分方程的解中含有任意常数，且独立的任意常数的个数与方程的阶数相同，则称这样的解为微分方程的通解. 初始条件与特解：用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值作为确定通解中任意常数的条件，称为初始条件.满足初始条件的微分方程的解称为该微分方程的特解。例1 课本294页例1 二、独立的任意常数线性相关与线性无关：设)(),(21x y x y 是定义在区间),(b a 内的函数，若存在两个不全为零的数21,k k ，使得对于区间),(b a 内的任一x ，恒有 0)()(2211=+x y k x y k 成立，则称函数)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性相关，否则称为线性无关. 显然，函数)(),(21x y x y 线性相关的充分必要条件是 ) () (21x y x y 在区间),(b a 内恒为常数. 如果 ) () (21x y x y 不恒为常数，则)(),(21x y x y 在区间),(b a 内线性无关.

独立的任意常数：在表达式)()(2211x y C x y C y += (1C ,2C 为任意常数) 中, 1C ,2C 为独立的任意常数的充分必要条件为)(1x y ,)(2x y 线性无关. 例2 课本297页例4 第二节可分离变量的微分方程一、定义形如 )()(d d y g x f x y = 的微分方程，称为可分离变量的方程.该微分方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即)(),(y g x f 分别是变量y x ,的已知连续函数. 二、求解方法可分离变量的微分方程 )()(d d y g x f x y =的求解方法,一般有如下两步: 第一步:分离变量 x x f y y g d )(d )(=，第二步:两边积分 ??= x x f y y g d )(d )(. 【例1】求微分方程ydy dx y xydy dx +=+2 的通解. 解先合并dx 及dy 的各项,得dx y dy x y )1()1(2-=- 设,01,012≠-≠-x y 分离变量得 dx x dy y y 1 1 12 -=- 两端积分 ? ? -=-dx x dy y y 111 2得 ||ln |1|ln |1|ln 2 1 12C x y +-=- 于是 2212)1(1-±=-x C y 记,21C C ±=则得到题设方程的通解 .)1(122-=-x C y 注：在用分离变量法解可分离变量的微分方程的过程中, 我们在假定0)(≠y g 的前提下, 用它除方程两边, 这样得到的通解, 不包含使0)(=y g 的特解. 但是, 有时如果我们扩大任意常数C 的取值范围, 则其失去的解仍包含在通解中. 如在例2中，我们得到的通解中应该0≠C ，但这样方程就失去特解1±=y ，而如果允许0=C ，则1±=y 仍包含在通解

导数与微分习题(基础题)

导数与微分习题（基础题） 1．设函数()x f y =，当自变量x 由0x 改变到x x ?+0时，相应函数的改变量=?y ( ) A ．()x x f ?+0 B ．()x x f ?+0 C ．()()00x f x x f -?+ D ．()x x f ?0 2．设()x f 在0x 处可导，则()()=?-?-→?x x f x x f x 000lim ( ) A ．()0x f '- B ．()0x f -' C ．()0x f ' D ．()02x f ' 3．函数()x f 在点0x 连续，是()x f 在点0x 可导的 ( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．设函数()u f y =是可导的，且2x u =，则=dx dy ( ) A ．()2x f ' B ．()2x f x ' C ．()22x f x ' D ．()22x f x 5．若函数()x f 在点a 连续，则()x f 在点a ( ) A ．左导数存在； B ．右导数存在； C ．左右导数都存在 D ．有定义 6．()2-=x x f 在点2=x 处的导数是( ) A ．1 B ．0 C ．-1 D ．不存在 7．曲线545223-+-=x x x y 在点()1,2-处切线斜率等于( ) A ．8 B ．12 C ．-6 D ．6 8．设()x f e y =且()x f 二阶可导，则=''y ( ) A ．()x f e B ．()()x f e x f '' C ．()()()[]x f x f e x f ''' D ．()()[](){} x f x f e x f ''+'2 9．若()???≥+<=0 ,2sin 0,x x b x e x f ax 在0=x 处可导，则a ，b 的值应为( ) A ．2=a ，1=b B ． 1=a ，2=b C ．2-=a ，1=b D ．2=a ，1-=b

导数与微分练习题

题型 1.由已知导数，求切线的方程 2.对简单的、常见函数进行求导 3.对复合函数、隐函数、对数求导法进行求导 4.参数方程与一些个别函数的应用 5.常见的高阶导数及其求导内容一．导数的概念 1.导数的定义 2.导数的几何意义 3.导数的物理意义 4.可导与连续之间的关系二．导数的计算 1.导数的基本公式 2.导数的四则运算法则 3.反函数的求导法则 4.复函数的求导法则 5.隐函数的求导 6.参数方程所确定的函数的导数 7. 对数求导法 8.高阶导数

三．微分 1.微分的定义 2.可导与可微的关系 3.复合函数的微分法则 4.微分在近似计算中的应用典型例题题型I 利用导数定义解题题型II 导数在几何上的应用题型III 利用导数公式及其求导法则求导题型IV 求高阶导数题型V 可导、连续与极限存在的关系自测题二一．填空题二．选择题三．解答题 4月9日微分练习题基础题：（一）选择题 1.若 ? ??≥+<+=1,1,3)(2x b ax x x x f 在1=x 处可导，则（） A. 2,2==b a B. 2,2=-=b a C. 2,2-==b a D. 2 ,2-=-=b a

2. 设 0'()2f x =，则000 ()() lim x f x h f x h h ?→+--＝( ). A 、不存在 B 、 2 C 、 0 D 、 4 3. 设 )0()(32>=x x x f , 则(_))4(='f A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知函数)(x f 具有任意阶导数，且2)]([)(x f x f ='，则当n 为大于 2的正整数时， )(x f 的n 阶导数 )()(x f n 是（）。 A 、1)]([+n x f n B 、1)]([!+n x f n C 、n x f 2)]([ D 、n x f n 2)]([! （二）填空题 5. 设 2 sin x e y = ，则=dy _____. 6.已知 x y 2sin =，则) (n y = . 7.设函数 ()y y x =由参数方程(),()x x y y θθ==确定，()x θ与()y θ均可导，且00()x x θ=， '0()2x θ=， 2x x dy dx ==，则'0()y θ= . 8.设 0,sin )(>=a x x f ，则=--→h a f h a f h 2) ()(lim ； 9. 已知设 cos2x y e = ，则=dy ____ _. 10. sin x y x = ，则2 x dy π==_____________ 11. 已知函数()x f x xe =,则(100)()f x = . 12. 设 )]([22x f x f y +=, 其中)(u f 为可导函数, 则 =dx dy 13．2 x x y =,则 dx dy .=______ 14. 已知函数)100()2)(1()(---=x x x x x f ,则)0('f = 15. 设函数,22x x y -+=求.) (n y . 综合题：（三）解答题 16. 求与抛物线2 25y x x =-+上连接两点(1,4)P 与(3,8)Q 的弦平行，且与抛物线相切的

导数及其应用典型例题

第一章导数及其应用 1.1 变化率与导数【知识点归纳】 1.平均变化率： 2.瞬时速度： 3.导数及导函数的概念： 4.导数的几何意义：拓展知识： 5.平均变化率的几何意义： 6.导数与切线的关系：【典型例题】题型一求平均变化率：例 1.已知函数2 ()21y f x x ==-的图像上一点（1,1）及其邻近一点(1,1)x y +?+?，则y x ??=_______. 变式训练： 1.以00(0)v v >速度竖直向上抛出一物体，t 秒时的高度为201()2 s t v t gt =-，求物体在0t 到0t t +?这段时间的平均速度v . 2.求正弦函数sin y x =在0x =和2x π= 附近的平均变化率，并比较他们的大小.

题型二实际问题中的瞬时速度例 2 已知质点M 按规律223s t =+做直线运动（位移单位：cm ，时间单位：s ）（1）当2,0.01t t =?=时，求s t ??；（2）当2,0.001t t =?=时，求s t ??；（3）求质点M 在t=2时的瞬时速度. 题型三求函数的导数及导函数的值例 3求函数1y x x =-在1x =处的导数. 题型四曲线的切线问题例 4 （1）已知曲线22y x =上一点A （1，2），求点A 处的切线方程. （2）求过点（-1，-2）且与曲线32y x x =-想切的直线方程. （3）求曲线321()53f x x x = -+在x=1处的切线的倾斜角. （4）曲线3y x =在点P 处的切线斜率为3，求点P 的坐标.

《数学分析》第五章导数与微分

第五章导数与微分 (计划课时:1 2时) §1 导数的概念 ( 2 时) 一．导数的背景与定义： 1．背景：曲线的切线、直线运动的瞬时速度. 2. 导数的定义: )(0x f '定义的各种形式. )0(f '的定义. 导数的记法. 有限增量公式: .0 ),( )(0→? ?+?'=?x x x x f y 例1 ,)(2 x x f = 求). 1 (f ' 例2 设函数)(x f 在点0x 可导, 求极限 .) 3()(lim 000 h h x f x f h --→ 3. 单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 例3 . )(x x f = 考查)(x f 在点0=x 的可导情况. 例4 设?? ?<≥-=. 0, ,0, cos 1)(x x x x x f 讨论)(x f 在点0=x 处的左、右导数与导数. 二. 导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例5 求曲线2 )(x x f y ==在点) 1 , 1 (处的切线与法线方程. 三. 可导与连续的关系: Th1 若函数f 在点0x （左、右）可导，则f 在点0x （左、右）连续. 例6 证明函数)()(2 x D x x f =仅在点00=x 处可导,其中)(x D 为Dirichlet 函数. 四导函数: 函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. .) ()(lim )(0x x f x x f x f x ?-?+='→? (注意:x sin 等具体函数的导函数不能记为,n si x ' 应记为.)(sin 'x ) 例7 求下列函数的导数：⑴ ,)(n x x f = ⑵x x f sin )(=， ⑶x x f a log )(=. 五导函数的介值性:

微积分典型例题和重点知识点

微积分典型例题和重点知识点 1. 重点掌握定义域-习题1-2中的2,4(17页) 2. 习题1-3中的1-2-3-6-8(23页) 3. 左右极限法-例6,课后习题1. 4.6 4. 无穷小与无穷大---定义1/定理3习题4 5. 极限运算法则--定理1,例5/习题中1的2-5-610-14-15/2 的3/3 6. 单调有界准则中的准则2/两个重要极限/习题1的3,4/2的4,7/4 7. 无穷小的比较---习题1/2/3/5的2-3-5 8. 函数的连续与间断---定义1/定义2/习题2 的2/4的3/6 9. 连续函数的运算与性质-习题1/2/4/6 10. 总习题1的1-8-26-29-33-34-35 11. 导数的概念-例2/例3 12. 函数的求导法则-定理1/复合函数的求导法则/例9-注意化简/例10/基本求导公式/习题1的2-4-5-9-10/2 的1/4 的3-5-6-8/5的1-2-5-8/6的2 13. 高阶导数==与隐函数求导结合出题---习题1的4-5/4/6的3 14. 隐函数的求导数---例2/例3/习题中1 的2-5,2的2-3,3的3 15. 函数的微分-例3 /例4 16. 总复习题1-2-10-13-14-21-23-25 17. 中值定理---习题1-3-5(重点证明题)-10的1-11========[证明一个中值的等式或根的存在,多用罗尔定理,可用原函数找辅助函函数]=========[注意洛必达法则失败的情况]==习题1 的3-5-6-910-11-12-14-17 18. 函数凹凸性:定理2/例6/例8/习题4 的2-3,6的2 19. 习题3-5中的8 20. 导数在经济学中的应用---例3(应用题)/例4/例5 /例6/习题的5-9-10 21. 总复习题1 的2/13 的1-5/24的1 22. 不定积分----例4(可能与不定积分结合)/性质1性质2(可能出选择题)/基本积分表/例8/例9/习题1 的7-10-12/3/4====有一个会有第一类间断点的函数都没有原函数 23. 换元积分法---例2 /例3/例6/常用凑微分公式/习题2 的7-8-10-11-12/3的1/4 24. 分部积分法----按”反-对-幂-三-指”的顺序,在前的设为U,在后的设为V/例3/例4/例10/习题1的2-5-14/3 25. 注意---------------------微积分重点小节是:1.7-----1.8----2.2-----2.4-----3.2-----3.7------4.2------4.3----- 计算题4题分别是分步积分凑积分法极限隐函数的求导应用题的是弹性函数和利用函数求最值以上是其他老师划的一些重点知识和例题,习题,请各位同学根据老师讲的内容并结合自身复习情况,做适当的调整

数学分析 §5.1导数的概念

第五章导数与微分 §1 导数的概念【教学目的】深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用问题；会求曲线上一点处的切线方程；清楚函数极值的概念，并会判断简单函数的极值。【教学重点】导数的概念，几何意义及可导与连续的关系。【教学难点】导数的概念。一、导数的定义 1．引入（背景）导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，后来英国数学家牛顿（Newton ）在研究物理问题变速运动物体的瞬时速度，德国数学家莱布尼兹（Leibuiz ）在研究几何问题曲线切线的斜率问题中，都采用了相同的研究思想。这个思想归结到数学上来，就是我们将要学习的导数。在引入导数的定义前，先看两个与导数概念有关的实际问题。问题1直线运动质点的瞬时速度：设一质点作直线变速运动，其运动规律为)(t s s =，若0t 为某一确定时刻，求质点在此时刻时的瞬时速度。取临近于0t 时刻的某一时刻t ，则质点在[]t t ,0或[]0,t t 时间段的平均速度为：00) ()(t t t s t s v --= ，当t 越接近于0t ，平均速度就越接近于0t 时刻的瞬时速度，于是瞬时速度：0 0) ()(lim t t t s t s v t t --=→。问题2 曲线上一点处切线的斜率：已知曲线方程为)(x f y =，求此曲线在点),(00y x P 处的切线。在曲线上取临近于P 点的某点),(y x Q ，则割线PQ 的斜率为：0 0) ()(tan x x x f x f k --= =α，当Q 越接近于P ，割线PQ 斜率就越接近于曲线在点P 处的斜率，于是曲线在点P 处的斜率： 0 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→. 2．导数的定义以上两个问题的实际意义虽然不同，但从数学角度来看，都是特殊形式的函数的极限。定义1 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限0 0()(lim x x x f x f x x --→）存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 或 .0 x x dx dy =

高考数学导数及其应用的典型例题

第二部分导数、微分及其导数的应用知识汇总一、求导数方法 1.利用定义求导数 2.导数的四则运算法则 3.复合函数的求导法则若)(u f y =与)(x u φ=均可导，则[])(x f y φ=也可导，且dx du du dy dx dy ?= 即 [])()(x x f y φφ'?'=' 4.反函数的求导法则若)(x f y =与)(y x φ=互为反函数，且)(y φ单调、可导，则 ) (1 )(y x f φ'= '，即dy dx dx dy 1= 5.隐函数求导法求由方程0),(=y x F 确定的隐函数 )(x f y =的导数dx dy 。只需将方程0),(=y x F 两边同时对x 求导（注意其中变量y 是x 的函数），然后解出 dx dy 即可。 6.对数求导法对数求导法是先取对数，然后按隐函数求导数的方法来求导数。对数求导法主要解决两类函数的求导数问题： (1)幂指数函数y=)()(x v x u ；(2)由若干个因子的乘积或商的显函数，如 y= 34 )3(52)2)(1(---++x x x x x ,3 ) 2)(53() 32)(1(--+-=x x x x y ,5 5 2 2 5 +-=x x y 等等。 7.由参数方程所确定函数的求导法则设由参数方程 ? ? ?==)() (t y t x ?φ ),(βα∈t 确定的函数为y=f(x)，其中)(),(t t ?φ

可导，且)(t φ'≠0，则y=f(x)可导，且 dt dx dt dy t t dx dy =''=)()(φ? 8.求高阶导数的方法二、求导数公式 1.基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 2.常见函数的高阶导数 (1) n n x n x -+-?-?-?=αααααα)1()2()1()()( (2) x n x e e =)()( (3) ()()ln x n x n a a a = (4) () (sin ) sin 2n x x n π? ?=+? ??? (5) ??? ? ??+=2cos )(cos )(πn x x n (6) () 1 (1)!ln() (1) ()n n n n a x a x --+=-+ (7) 1 )() (!)1()1(++-=+n n n n b ax a n b ax

第二章导数与微分

第二章导数与微分数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学.微分学与积分学统称为微积分学. 微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一. 恩格斯（1820-1895）曾指出：“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看作人类精神的最高胜利了”.微积分的发展历史曲折跌宕，撼人心灵，是培养人们正确世界观、科学方法论和对人们进行文化熏陶的极好素材（本部分内容详见光盘）. 积分的雏形可追溯到古希腊和我国魏晋时期，但微分概念直至16世纪才应运萌生.本章及下一章将介绍一元函数微分学及其应用的内容. 第一节导数概念从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代.而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展.生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展.在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生： (1)求变速运动的瞬时速度； (2)求曲线上一点处的切线； (3)求最大值和最小值. 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题.牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念. 内容分布图示 ★引言★变速直线运动的瞬时速度 ★平面曲线的切线★导数的定义★几点说明 ★利用定义求导数与求极限（例1、例2）★例3 ★例4★例5★例6★例7 ★左右导数★例8★例9 ★导数的几何意义★例10★例11 ★导数的物理意义★可导与连续的关系 ★例12★例13★例14★例15 ★内容小结★课堂练习 ★习题2-1★返回内容要点：一、引例：引例1:变速直线运动的瞬时速度；引例2:平面曲线的切线二、导数的定义： x x f x x f x y x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000注：导数概念是函数变化率这一概念的精确描述，它撇开了自变量和因变量所代表的几何或物理等方面的特殊意义，纯粹从数量方面来刻画函数变化率的本质:函数增量与自变量增量的比值x y ??是函数y 在以0x 和x x ?+0为端点的区间上的平均变化率，而导数0|x x y ='则是函数y 在点0x 处的变化率，它反映了函数随自变量变化而变化的快慢程度. 根据导数的定义求导，一般包含以下三个步骤： 1．求函数的增量：); ()(x f x x f y -?+=?

第五章.导数

第五章导数与微分 §1导数概念内容： 1 导数的概念 2 导数的定义 3 单侧导数 4 用定义计算简单函数的导数 5 导数的几何意义重点：导数的定义和建立导数的变量数学思想。在第一章我们研究了函数，，函数的概念刻画了因变量随自变量变化的依赖关系，但是，对研究运动过程来说，仅知道变量之间的依赖关系是不够的，还需要进一步知道因变量随自变量变化的快慢程度，比如我国的卫星发射技术已进入世界先进行列，并且即将发射载人宇宙飞船，火箭升空过程中飞行速度的变化非常快，我们对它每时每刻的飞行速度都必须准确的把握，才能确保火箭准时进入预定的轨道，可见研究物体每时每刻的速度是很重要的，掌握速度变化规律是科学技术中的一个重要课题。变速运动物体的速度问题在中学里我们学过平均速度，平均速度只能使我们对物体在一段时间内的运动大致情况有个了解，这不但对于火箭发射控制够，就是对于比火箭速度慢的多的火车、汽车运行情况也是不够的，火车上坡、下坡、转弯、穿隧道时速度都有一定的要求，至于火箭升空那就不仅要掌握火箭的度，而且要掌握火箭飞行速度的变化规律。不过瞬时速度的概念并不神秘，它可以通过平均速度的概念来把握。根据牛顿第一运动定理，物体运动具有惯性，不管它的速度变化多么快，在一段充分短的时间内，它的速度变化总是不大的，可以近似看成匀速运动。通常把这种近似代替称为“以匀代不匀”。设物体运动的路程是时间的函数，则在到这段时间内的平均速度为

可以看出与越接近，平均速度与时刻的瞬时速度越接近，当无限接近时，平均速度就发生了一个质的飞跃，平均速度转化为物体在时刻的瞬时速度，即物体在时刻的瞬时速度为（1）照这种思想和方法计算自由落体的瞬时度如下：因为自由落体运动的运动方程为按照上面的公式这正是我们高中物理上自由落体运动的速度公式。切线问题

数学分析教案 (华东师大版)第五章导数和微分

一、问题提出：导数的背景. 背景：曲线的切线；运动的瞬时速度. 二、讲授新课： 1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式: 例1 求例2 设函数在点可导, 求极限 2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点. 考查在点的可导情况. 例3 3.导数的几何意义: 可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义. 例4求曲线在点处的切线与法线方程. 4.可导与连续的关系: 5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法. 注意: 等具体函数的导函数不能记为应记为 6.费马定理及达布定理

高等数学导数与微分练习题

作业习题 1、求下列函数的导数。（1）223)1(-=x x y ；（2）x x y sin =；（3）bx e y ax sin =；（4）)ln(2 2a x x y ++ =；（5）1 1arctan -+=x x y ；（6）x x x y ) 1( +=。 2、求下列隐函数的导数。（1）0)cos(sin =+-y x x y ；（2）已知,e xy e y =+求)0(y ''。 3、求参数方程?? ?-=-=) c os 1()sin (t a y t t a x )0(>a 所确定函数的一阶导数 dx dy 与二阶导数 22 dx y d 。 4、求下列函数的高阶导数。（1）,αx y =求)(n y ；（2）,2sin 2x x y =求)50(y 。 5、求下列函数的微分。（1）)0(,>=x x y x ；（2）2 1arcsin x x y -= 。 6、求双曲线 12 22 2=- b y a x ，在点)3,2(b a 处的切线方程与法线方程。 7、用定义求)0(f '，其中?? ???=,0,1sin )(2 x x x f .0, 0=≠x x 并讨论导函数的连续性。作业习题参考答案： 1、（1）解：])1[()1()(])1([23223223'-+-'='-='x x x x x x y ]))(1(2[)1(3223222'-+-=x x x x x x x x x x 2)1(2)1(323222?-+-= )37)(1(222--=x x x 。（2）解：2 sin cos )sin ( x x x x x x y -= '='。（3）解：bx be bx ae bx e y ax ax ax cos sin )sin (+='=' )c o s s i n (bx b bx a e ax +=。

(完整版)导数与微分23(计算题及答案)

高等数学三、计算题（共 200 小题，） 1、设x e x f 3)(=，试直接利用导数定义求)(x f '。 2、设x x x f 2)(3 +=，试用导数定义求)(x f '。 3、设x x f 1 )(= 　，试用导数定义求).1(f '。 4、设x x f 2)(=，试直接利用导数定义求)(x f '。 5、设2 )(x e x f =，试利用导数定义求)(x f '。 6、设x x f 51ln )(+=，试利用导数定义求)(x f '。 7、设)(x f 在1=x 处可导且2)1(='f ，求极限x x f x f x ) 1()1(lim 0+--→。 8、设)(x f 在a x =处可导且b a f =')(，求极限h hx a f h a f x ) 2()(lim 0+--→。 9、设)(x f 在1=x 处可导，且2)1(='f ，求极限t f t f x 3sin ) 1()21(lim 0-+→。 10、 x e x x f f f x x f x x 220sin ) tan (lim 3)1(0)1(1)(+='==→，试求，可导，且在已知　 11、 f x x f x a n f x n f x n ()()lim ()()在处可导，且，求极限．000012'=+-???? ? ?→∞ 12、．处可导，求极限在设　0 000) ()(lim )(0 x x x f x x xf x x x f x x --=→ 13、已知　，求．'=----→f x x f x x f x x x ()lim ()() 00 0052 14、设　，其中在处可导，且求．f x x x e x x x f x x x ()()sin ()()(),lim ()= -==→???100020

(完整版)导数与微分习题及答案

关于导数的29个典型习题

导数与微分测试题及答案(一)

第五章微分方程

导数与微分习题(基础题)

导数与微分练习题

导数及其应用典型例题

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