第11章反常积分答案

数学三考察范围

数学三考察范围 考研数学三大纲考试科目微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构考试形式和试卷结构 1、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 2、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 3、试卷内容结构 微积分56％ 线性代数22% 概率论与数理统计22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题8小题，每题4分，共32分 填空题6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题）9小题，共94分考试内容之微积分一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法 函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 复合函数、反函数、分段函数和隐函数 基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系 无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算 极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则 两个重要极限： 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法．

7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质． 二、一元函数微分学 考试内容 导数和微分的概念 导数的几何意义和经济意义 函数的可导性与连续性之间的关系 平面曲线的切线与法线 导数和微分的四则运算 基本初等函数的导数 复合函数、反函数和隐函数的微分法 高阶导数 一阶微分形式的不变性 微分中值定理 洛必达（L'Hospital）法则 函数单调性的判别 函数的极值 函数图形的凹凸性、拐点及渐近线 函数图形的描绘 函数的最大值与最小值 考试要求 1．理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程． 2．掌握基本初等函数的导数公式．导数的四则运算法则及复合函数的求导法则，会求分段函数的导数会求反函数与隐函数的导数． 3．了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数． 4．了解微分的概念，导数与微分之间的关系以及一阶微分形式的不变性，会求函数的微分． 5．理解罗尔（Rolle）定理．拉格朗日( Lagrange)中值定理．了解泰勒定理．柯西（Cauchy)中值定理，掌握这四个定理的简单应用． 6．会用洛必达法则求极限． 7．掌握函数单调性的判别方法，了解函数极值的概念，掌握函数极值、最大值和最小值的求法及其应用． 8．会用导数判断函数图形的凹凸性（注：在区间内，设函数具有二阶导数．当时，的图形是凹的；当时，的图形是凸的），会求函数图形的拐点和渐近线．9．会描述简单函数的图形． 三、一元函数积分学 考试内容 原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式

《数学分析》第十一章反常积分复习自测题[1]

《数学分析》第十一章 反常积分复习自测题 [1] -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d p a x x +∞?（0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01 d p x x +∞?（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1）1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11 d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）1 1 d (ln ) p x x x +∞? 。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 2 1d 1x x +∞+? ；（2）2 1 d 1x x +∞-∞+?；（3）10x ?；（4）11 x -? 。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d () a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积 分()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且

习题反常积分的收敛判别法

习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有

反常二重积分

反常二重积分 一、无界区域上的二重积分 与一元函数在无限区间上的反常积分类似，对无界区域上的反常二重积分作如下定义． 定义1 设是平面上一无界区域，函数在上有定义，用任意光滑或分段光滑曲线在中划出有界区域， 如图1所示．若二重积分存在， 且当曲线连续变动，使区域以任意过程 无限扩展而趋于区域时，极限 图1 都存在且取相同的值，则称反常二重积分 收敛于，即 = = 否则，称发散． 对于一些特殊的无界区域，其上的二重积分如果存在，则它们有特殊的计算途径和表示方式． 1． == 或 = = 2． D ),(y x f D C D C D ??σ C D d y x f ),(C C D D ??σ →C C D D D d y x f ),(lim I ??σ D d y x f ),(I ??σ D d y x f ),(??σ →C C D D D d y x f ),(lim I ??σ D d y x f ),(D },|),{(+∞<≤≤≤=y c b x a y x D ?? D dxdy y x f ),(dy y x f dx M c b a M ),(lim ?? +∞ →dy y x f dx c b a ),(? ?+∞?? D dxdy y x f ),(dx y x f dy b a M c M ),(lim ?? +∞ →dx y x f dy b a c ),(??+∞},|),{(+∞<≤+∞≤≤=y c x a y x D

= = 或 = = 3． = = 或 = = 也可在极坐标系下计算 = = 定理一 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,在D 上的可积函数的充分必要条件是()|,|y x f 在D 上的可积. 定理 2 (比较判别法) 设D 是平面R 2中无界区域，()y x f ,, ()y x g ,是D 上的函数, 在D 的任何有界可求面积的子区域上可积,并且 ()),(,0y x g y x f ≤≤.那么 (1)当??D dxdy y x g ),(收敛时, ??D dxdy y x f ),(收敛; (2)当??D dxdy y x f ),(发散时, ??D dxdy y x g ),(发散. 推论 设D 是平面R 2中无界区域， ()y x f ,是D 上的函数, 并且在D 的任意有界可求面积的子集上可积, 那么 (1) 当22y x +足够大时, α ) (),(22 y x c y x f +≤ (c 是常数),如果 α>2, ?? D dxdy y x f ),(dy y x f dx N c M a M N ),(lim ??+∞ →+∞→dy y x f dx c a ),(? ?+∞+∞?? D dxdy y x f ),(dx y x f dy M a N c N M ),(lim ??+∞ →+∞ →dx y x f dy a c ),(? ?+∞+∞},|),{(+∞<≤-∞+∞≤≤-∞=y x y x D ?? D dxdy y x f ),(dy y x f dx M M N N N M ),(lim ? ? --+∞ →+∞ →dy y x f dx ),(? ?+∞∞ -+∞ ∞ -?? D dxdy y x f ),(dx y x f dy N N M M M N ),(lim ? ? --+∞ →+∞ →dx y x f dy ),(? ?+∞∞ -+∞ ∞ -??D dxdy y x f ),(rdr r r f d R R )sin ,cos (lim 020 θθθ?? π+∞ →rdr r r f d )sin ,cos (0 20 θθθ? ?+∞π

二重积分的反常积分

目 录 1引言 .................................................................................................................... 1 2无界区域上的二重积分 ............................................................................. 1 2.1定义 .................................................... 1 2.2(,)D f x y d σ ?? 收敛的判定 (2) 2.3B 函数与Γ函数的联系 ...................................... 4 3无界函数的二重积分 .................................................................................. 9 3.1定义 ..................................................... 9 3.2判定定理................................................ 9 3.3无界函数计算 ............................................ 10 参考文献 ........................................................................................................... 11 致谢 .. (12)

含参量积分汇总

第十九章含参量积分 一.填空题 1.若在矩形区域上_________,则 2.含参量反常积分 在____________上一致收敛. 3.设在上连续,若含参量反常积分 在上___________,则在上连续. 4. 5.在中如令, 则 6. 对于任何正实数函数与B函数之间的关系为 7. 在上不一致收敛是指______________. 8. 9. 设, 则 10. 利用函数定义, 二.证明题 1. 证明在上一致收敛. 2. 证明在上一致收敛. 3.证明若函数在连续, 则, 有

4.证明在上非一致收敛. 5.证明 6.证明在上一致收敛. 7. 证明在上不一致收敛. 8. 证明 9. 证明 10. 证明在R上连续. 计算题1. 求 2. 求 3.设. 求 4. 求 5.用函数与B函数求积分 6.用函数与B函数求积分 7.求积分 8.从等式出发, 计算积分 9.设. 求

10.求 填空题答案 1. 连续. 2. R 3. 一致收敛. 4. 5.. 6. . 7. , 有 8. 1 9. . 10. . 证明题答案: 1. 证明: , 有 , 而收敛, 则 在上一致收敛. 2. 证: , 有, 而, 则 在上一致收敛. 3证: 已知在连续, 使. 设, 有 于是,

4.证: , 有 . 即在上非一致收敛. 5.证: 设有 . 6.证: 由于反常积分收敛,函数对每个单调, 且对任何, 都有. 故由阿贝耳判别法可知 在上一致收敛. 7. 证: 因在处不连续, 而在 内连续, 由连续性定理知, 在上不一致收敛. 8. 证: 令, 则. 9. 证: 令则, . 10. 证：

§_5_定积分习题与答案

第五章 定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所 围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

含参量反常积分的一致收敛发判别法及推广汇总

含参量反常积分的一致收敛判别法及推广 作者：蒋碧希 指导老师：张海 摘要 本文主要介绍了含参量反常积分（含参量无穷限反常积分、含参量瑕积分）的基本概念、性 质.然后参照无穷限反常积分的方法建立了相应的含参量瑕积分的一致收敛性.最后结合例题说明其在解题中的应用. 关键词 含参量无穷限反常积分 含参量瑕积分 一致收敛 1 引言 对于含参量无穷限反常积分的基本概念、性质、一致收敛性判别法大部分教材都有详细论述.而忽视了含参量瑕积分的一致收敛性的判定,其实两者之间是同中有异的.本文主要参照无穷限反常积分的方法建立相应的含参量瑕积分的一致收敛判别法，并探究其在解题中的应用. 2 含参量无穷限反常积分的一致收敛判别法 2.1 含参量无穷限反常积分的定义 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y a x b c y =≤≤≤≤+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? (1) 都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当这个函数为()I x 时，则有 ()(,),[,],c I x f x y dy x a b +∞ =∈? (2) 称(1)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分. 2.2 含参量反常积分的一致收敛概念 若含参量反常积分(1)与()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切[,]x a b ∈，都有 (,)()M c f x y dy I x ε-

(,)M f x y dy ε+∞ ，使得当M A A >21,时，对一切],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε?ε,0>?M ,M A A >?21,时，使得],[b a x ∈?时，有 1 (,)2A f x y dy ε+∞ ?>?M ε，当M A A >21,时， 有 2 1 (,)A A f x y dy ε，总存在某一实数c M >，使得M A A >21,时，对一切 ],[b a x ∈，都有 2 1 (,)A A f x y dy ε

第十一章 反常积分

第十一章反常积分 教学要点 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学时数 8学时 教学内容 §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法 与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 考核要求 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛 和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别 法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 §1 反常积分概念 一问题的提出

例1（第二宇宙速度问题）在地球表面初值发射火箭，要是火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解设地球半径为，火箭质量为 地面重力加速度为，有万有引力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？

解由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为时，水从小孔里流出的速度为 设在很短一段时间内，桶里水面降低的高度为，则有下面关系： 由此得 所以流完一桶水所需的时间应为 但是，被积函数在上是无界函数，，所一我们取 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分。 二反常积分的定义 1无穷限反常积分的定义， .

含参变量反常积分的几种计算方法

含参变量反常积分的几种计算方法 摘 要：含参变量反常积分是一类比较特殊的积分，由于它是函数又是以积分形式给出，所以它在积分计算中起着桥梁作用，并且计算难度较大，本文主要总结含参变量反常积分的几种方法，利用这几种方法，可以进行一系列的积分运算，这样可使含参变量反常积分运算更易理解和掌握。 关键词：含参变量反常积分 积分号下积分法 积分号下微分法 收敛因子 留数定理 在进行含参变量反常积分的运算时，首先要验证条件（包括确定含参变量及其变化范围，把问题归结为能利用含参变量反常积分运算性质的某一种，还要验证所用性质应满足的条件）,在验证条件时,判别一致收敛至关重要,判别法通常采用魏尔斯特拉斯判别法、狄利克雷判别法、阿贝尔判别法、柯西判别准则或用定义判别，然而在验证一致收敛时并不简单，这使得含参变量反常积分的计算有一定的难度，经过验证后，就可以利用含参变量反常积分的性质具体进行运算。本人在学习过程中，通过大量的、不断的练习，进行探索和归纳，总结出几种含参变量反常积分的计算方法，这几种方法运算技巧强，便于理解和掌握，下面分述于后。 一 积分号下积分法 要对含参变量反常积分()(),y a g f x y dx +∞=? 实现积分号下求积分，须验证以下条件： (1) (),f x y 在,x a y c ≥≥上连续； (2) (),a f x y dx +∞? 在[),y c ∈+∞上内闭一致收敛，(),c f x y dx +∞ ? 在[),x a ∈+∞上内闭一致收敛； (3) (,)c a dy f x y dx +∞ +∞?? 及(),a c dx f x y dy +∞+∞ ?? 至少有一个收敛， 则 ()(),,a c c a dx f x y dy dy f x y dx +∞+∞ +∞ +∞ =?? ?? 例1 利用2 u e du +∞ -?u=x α令2 ()0 (0)x e dx ααα+∞ -?>?，求2 e d αα+∞ -?的值。 分析：2 x e dx +∞ -?这个积分在概率论中非常有用，它的值可以用多种方法求出，但在这里利用积 分号下积分法求解，是很值得借鉴的，而且须验证的条件又显然成立。 解：由已知，得()g α=2 ()0 x e dx αα+∞ -?是取常值的函数，记I=2 e d αα+∞ -?, 则 I 2=I 2 e d αα+∞ -?=2 Ie d αα+∞ -? =22 ()0 ()x e dx e d αααα+∞+∞ --??=2 2(1) x d e dx α αα+∞+∞ -+?? =2 2(1) x dx e d α αα+∞+∞ -+??= 201121dx x +∞+?=4π 故 二 积分号下微分法

第十一章反常积分习题课教学总结

第十一章 反常积分习题课 一 概念叙述 1．叙述()dx x f a ? +∞ 收敛的定义． 答： ()dx x f a ? +∞ 收敛? ()()lim +∞ →+∞=? ? u a a u f x dx f x dx 存在． ?()lim 0+∞ →+∞=?u u f x dx ． ?()()0,0,,εε+∞ ?>?>?>-?>?>?>当δ<<+a u a ， 有()()ε-，存在0M >，只要12,u u M >， 便有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ，存在0δ>，只 要()12,,u u a a ∈+δ，总有 ()()()2 1 2 1 b b u u u u f x dx f x dx f x dx -=<ε??? ． 二 疑难问题 1．试问 ? +∞ a dx x f )(收敛与0)(lim =+∞ →x f x 有无联系？ 答：首先，0)(lim =+∞ →x f x 肯定不是 ? +∞ a dx x f )(收敛的充分条件，例如01 lim =+∞→x x ，但 ? +∞ 11 dx x 发散．那么0)(lim =+∞→x f x 是否是?+∞a dx x f )(收敛的必要条件呢？也不是！例如 ? +∞ 1 2 sin dx x ，?+∞ 1 2 cos dx x ，? +∞ 1 4sin dx x x 都收敛，因为前两个无穷积分经换元2t x =得

含参量反常积分一致收敛的判别法

题目含参量反常积分一致收敛的判别法学生姓名 学号 系别数学系 年级2010级 专业数学与应用数学 指导教师 职称 完成日期

摘要 含参变量的反常积分是研究和表达函数的的有力工具。要更好的研究含参量反常积分所表达的函数，关键问题在于判断他的一致收敛性。本文通过研究判断含参量反常积分一致收敛的判别法,以帮助研究含参量反常积分所表达的函数。关键词：含参量反常积分;一致收敛;判别法

Abstract Improper integral with variable is the study and expression tool function. To better function of parameter improper integral expression of the key problem lies in the judgment, the uniform convergence of his. Through the study of judging function discriminant method of parameter improper integral converges uniformly to help the study of parameter improper integral expression. Key words: Improper integral with variable;uniform convergence; discriminant analysis

目录 1引言 (1) 2基本概念 (1) 2.1含参量反常积分 (1) 2.2含参量反常积分一致收敛 (2) 3含参量反常积分一致收敛的判别方法 (2) 3.1定义法 (2) 3.2柯西准则法 (3) 3.3变上限积分的有界性法 (3) 3.4确界法 (4) 3.5微分法 (5) 3.6级数判别法 (6) 3.7维尔斯特拉斯判别法（简称M判别法） (6) 3.8狄里克莱判别法 (8) 3.9阿贝尔判别法 (8) 4结束语 (1) 参考文献 (10) 致谢 (11)

华中师范数学分析第十一章反常积分复习自测题2

第十一章 反常积分复习自测题 一、体会各类反常积分（无穷积分、瑕积分和混合反常积分）的特点，能准确地判定所给反常积分的类型；熟习并熟练掌握各类反常积分收敛和发散的含义，并用各类反常积分收敛和发散的含义解决下面的问题： 1、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1 d p a x x +∞? （0a >）；（2）01d a p x x ?（0a >）；（3）01d p x x +∞?（0a >）。 2、正确地判断下列反常积分的敛散性： （1） 1d (ln )p a x x x +∞? （1a >）；（2）11d (ln )a p x x x ?（1a >）；（3）11 d (ln )p x x x +∞?。 3、探索下列反常积分的敛散性，若收敛，并求其值： （1） 2 1d 1x x +∞+? ；（2）21d 1x x +∞-∞+?；（3）10 x ?； （4）11 x -?。 4、用定义据理说明下面的关系：（反常积分的牛顿—莱布尼茨公式、分部积分法、换元法、奇偶 函数的积分特征） （1）若函数()f x 在[,)a +∞上连续，()F x 为()f x 在[,)a +∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=， 则无穷积分 ()d a f x x +∞? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=存在，且 ∞ +∞-+∞ ∞ -=? )()(x F dx x f 。 （2）若函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，()F x 为()f x 在(,)-∞+∞上的原函数，记 ()lim ()x F f x →+∞ +∞=，()lim ()x F f x →-∞ -∞=， 则无穷积分 ()d f x x +∞-∞ ? 收敛?()lim ()x F f x →+∞ +∞=和()lim ()x F f x →-∞ -∞=都存在，且 ()d ()a f x x F x a +∞+∞=? 。 （3）若函数()f x 和()g x 都在[,)a +∞上连续可微，且lim ()()x f x g x →+∞ 存在，则无穷积分 ()()d a f x g x x +∞'? 收敛?()()d a f x g x x +∞'? 收敛，且 () ()()d ()()()()d a a f x g x x f x g x f x g x x a +∞+∞+∞ ''=-? ?， 其中()()lim ()()x f g f x g x →+∞ +∞+∞=。

试讨论下列无界区域上二重积分收敛性

1. 试讨论下列无界区域上二重积分的收敛性： （1） ??≥++1 2222)(y x m y x d σ；（2）??++D q p y x d )1)(1(σ ，D 为全平面； （3） ?? ≤≤++1 02 2 ) 1() ,(y p dxdy y x y x ?（M y x m ≤≤<),(0?）. 解: (1) 显然m y x y x f ) (1),(22+= 在}1),{(2 2≥+=y x y x D 的任何有限闭子区域D '上的二重积分存在,而 m m y x y x 22222) (1 )(1+=+, 故当22>m ,即1>m 时,反常二重积分 σd y x f D ??),(收敛(由柯西判别法). (2)由于被积函数是正的,并且关于Ox 轴和Oy 轴都对称, 故 ??++D q p y x dxdy ) 1)(1(? ? +∞ +∞ ++=0 ) 1)(1(4q p y x dxdy )1)(1(40 0? ?+∞ +∞++=q p y dy x dx . 由于111 lim =+? ∞ →p p x x x , 故当1>p 时,发散; 当1=p 时,显然也发散 ( +∞=+? +∞ 1x dx ). 因此 ?? ?≤∞+>=+? ∞ +时 当时当，有理数1,110 p p x dx p 同理有 ???≤∞+>=+? ∞ +时 当时当，有理数1,110 q q y dy q 由此知： ??++D q p y x dxdy ) 1)(1(仅当1>p 且1>q 时收敛，其它情形均发散. (3)由于 p p p y x M y x y x y x m ) 1()1(),()1(222222++≤++≤++?, 而广义重积分收敛必绝对收敛,即知积分 ?? ≤≤++1 02 2 ) 1() ,(y p dxdy y x y x ?与积分 ??≤≤++1 022)1(1 y p dxdy y x 同时收敛同时发散.

含参量反常积分一致收敛性的判别法资料

含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε-

含参量反常积分答案

§2 含参量反常积分 一 一致收敛性及其判别法 设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,)|,}R x y x I c y =∈≤<+∞上，其中I 为一区间，若对固定的x I ∈，反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? （1） 都收敛，则它的值是x 在I 上取值的函数，当记这个函数为()x φ时，则有 ()(,),c x f x y dy x I φ+∞ =∈? ， （2） 称（1）式为定义在I 上的含参量x 的无穷限反常积分，或简称含参量反常积分。 如同反常积分与数项级数的关系那样，含参量反常积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似。 首先引入含参量反常积分的一致收敛概念及柯西准则。 定义1 若含参量反常积分（1）与函数()x φ对任何的正数ε。总存在某一实数N c >，使得当M N >时，对一切x I ∈。都有 (,)()c f x y dy x φε+∞ -，使得当1 2 ,M A A >时，对一切x I ∈， 都有 1 2 (,)A f x y dy A ε），但在()0,+∞内不一致收敛。

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

数学分析(华东师大)第十一章反常积分

r mg R ∫ ∫ 第 十 一 章 反 常 积 分 §1 反常积分概念 一 问题提出 在讨论定积分时有两个最基本的限 制 : 积分 区间 的有穷 性和 被积函 数的 有 界性 .但 在 很多实 际 问题中往 往 需 要突 破这 些限制 , 例 1 ( 第二宇宙速度问题 ) 在地球表面垂直发射火箭 ( 图 11 - 1 ) , 要使火 箭克服地球引力无限远离地球 , 试问初速度 v 0 至少要多大 ? 设地球半径为 R, 火箭质量为 m, 地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律 , 在距地心 x( ≥ R ) 处火箭所受的引力为 mg R 2 F = . x 2 于是火箭从地面上升到距离地心为 r ( > R) 处需作的功为 2 ∫ d x = mg R 2 1 - 1 . R x 2 R r 当 r → + ∞ 时 , 其 极限 mg R 就是 火箭 无限 远 离地 球 需作 的 功 .我们很自然地会把这极限写作上限为 + ∞的“ 积分”: 图 11 - 1 + ∞ mg R 2 d x = lim r mgR 2 R x 2 r → + ∞ R d x = mg R . x 2 最后 , 由机械能守恒定律可求得初速度 v 0 至少应使 1 2 2 mv 0 = m g R . 用 g = 9 .81 ( m 6s /2 ) , R = 6 .371× 106 ( m ) 代入 , 便得 v 0 = 2 g R ≈ 11 .2( k m 6s /) . 例 2 圆 柱形桶 的内壁高 为 h , 内半 径为 R , 桶底有 一半径为 r 的小孔 ( 图 11 - 2) .试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水 , 共需多少时间 ?

第11章反常积分答案

第十一章 反常积分 一、单选题（每题2分） 1、广义积分 dx x x ? ∞ +-1 2 1 1=（ ） A 、0 B 、2π C 、4π D 、发散 2、广义积分 dx x x ? ∞+-+2 2 21 =（ ） A 、4ln B 、0 C 、4ln 31 D 、发散 3、广义积分?+-2 02 34x x dx =（ ） A 、3ln 1- B 、32ln 21 C 、3ln D 、发散 4、下列广义积分收敛的是（ ） A 、 ? ∞ +e dx x x ln B 、?∞+e x x dx ln C 、 ?∞ +e x x dx 2 )(ln D 、?∞+e x x dx 21)(ln 5、下列广义积分发散的是（ ） A 、 ?∞ -0 dx e x B 、 ? π 2cos x dx C 、?-20 2x dx D 、?∞+-0dx e x 6、下列积分中（ ）是收敛的 A 、?∞ +∞-xdx sin B 、?-2 22sin π πx dx C 、?∞+0dx e x D 、 ?-101x dx 7、下列广义积分发散的是（ ） A 、?-1 1sin x dx B 、?--1121x dx C 、?∞+-02 dx xe x D 、?∞+22)(ln x x dx 8、?=-1 01 2 1dx e x x （ ） A 、e 1 B 、11-e C 、e 1 - D 、∞

9、已知 2sin 0 π =? ∞ +dx x x ，则=?∞+dx x x x 0cos sin （ ） A 、0 B 、4π C 、 2π D 、π 10、广义积分=+?∞ +∞-dx x 2 11 （ ） A 、0 B 、2π C 、2π - D 、π 11、下列积分中绝对收敛的是（ ） A 、 dx x x ? ∞ +1 2sin B 、dx x x ?∞+1sin C 、dx x ?∞+12sin D 、dx x x ?∞+14sin 12、已知广义积分 dx x ?∞+∞ -sin ，则下列答案中正确的是（ ） A 、因为()x f 在()+∞∞-,上是奇函数，所以0sin =?∞ +∞-dx x B 、 dx x ? ∞+∞-sin = () ()()[]0 cos cos cos =∞--∞+-=∞ -∞+-x C 、dx x ?∞+∞-sin =()0 cos cos lim sin lim =+-=? -+∞ →+∞ →b b xdx b b b b D 、 dx x ?∞+∞ -sin 发散 13、设广义积分 dx e kb ?∞ +-0 收敛，则k （ ） A 、0≥ B 、0> C 、0< D 、0= 答案：BCDCB DAABD ADB 二、判断题（每题2分） 1、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 cos λ条件收敛； （ ） 2、当10<<λ时，无穷积分 dx x x ? ∞ +1 sin λ绝对收敛； （ ）

最新考研数学三考试大纲 (2)

2011考研数学三考试 大纲(2)

2011考研数学 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲--数学三 考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计 考试形式和试卷结构 一、试卷满分及考试时间 试卷满分为150分，考试时间为180分钟． 二、答题方式 答题方式为闭卷、笔试． 三、试卷内容结构 微积分 56％ 线性代数 22% 概率论与数理统计 22％ 四、试卷题型结构 试卷题型结构为： 单项选择题选题 8小题，每题4分，共32分 填空题 6小题，每题4分，共24分 解答题（包括证明题） 9小题，共94分 微积分 一、函数、极限、连续 考试内容 函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性

复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形 初等函数 函数关系的建立 数列极限与函数极限的定义及其性质 函数的左极限和右极限 无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较 极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限：0 sin lim1 x x x → = 1 lim1 x x e x →∞ ?? += ? ?? 函数连续的概念 函数间断点的类型 初等函数的连续性 闭区间上连续函数的性质 考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系． 2．了解函数的有界性．单调性．周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念． 4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念． 5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小的概念和基本性质．掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型． 9．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理．介值定理)，并会应用这些性质．