当前位置：文档库 › 2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计

2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)教学设计

第二章二次函数

《二次函数的图象与性质（第3课时）》

教学设计说明

深圳市翠园中学初中部黄缨梁成

一、学生知识状况分析

学生的知识技能基础

学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质.

学生活动经验基础

在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质.

二、教学任务分析

根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下：知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响.

过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手

作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.

情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质.

教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响.

三、教学过程分析

学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性.

第一环节: 提出问题,引入新课

1、回忆一下：

二次函数22x y =的开口方向，对称轴，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向，对称轴，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向平移个单位得到.

2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与

c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道

c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2

ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．

设计意图：

复习前两节课内容，唤醒学生的记忆，并提出问题，为下面的教学作准备. 第二环节: 合作探究,发现和验证

探究一：2)(h x a y -=的图象和性质

学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.

1、完成下表：

观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？

2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象.

同伴交流：你是怎样作的?

3、结合图象，议一议

交流：二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？

4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象之间的关系呢?

5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！

讨论交流后得出结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同.将22x y =的图象向右平移一个单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向左平移一个单位,就得到2)1(2+=x y 的图象.

设计意图：

通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、

探索、发现规律，揭示结论.

先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.

注意事项：

小组合作探究，让学生先独立完成图象，再交流探讨作法和探讨性质，教师注意学生画二次函数图象的规范性.

同伴交流时,教师注意让学生多角度地观察图象特点,同时注意小组内辅导有困难的学生.

要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系.

探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质

1、小组活动：

（1）合情推理：由二次函数22x y =的图象，你能得到2

122-

=x y ，2)3(2+=x y ，21)3(22-+=x y 的图象吗？你是怎么样得到的？（2）画图验证后寻找规律，说一说图象的变化将引起表达式如何变化，以及表达式的变化将引起图象如何变化.

（3）议一议：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与2ax y =有什么关系？

2、总结规律,填写表格:

k h x a y +-=2)(

(1)a 的符号决定抛物线的开口方向

(2)对称轴是直线x=h

(3)顶点坐标是(h,k)

设计意图:

经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以

培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.

注意事项:

在学生自觅知识、自悟性质的过程中，教师要关注学生是否能建立二次函数图象与表达式之间的联系，是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化.

第三环节: 启发引导,形成结论

总结:目前为止，二次函数图象我们共研究了哪些类型？从解析式来看，它们之间的关系是什么？从图象来看，它们有什么关系？

学生交流后得出结论:

当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度第四环节: 巩固提高,拓展延伸

随堂练习：

1、指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时画草图进行验证：

⑴5)3(22--=x y ⑵2)1(5.0+-=x y

⑶14

32--=x y ⑷5)2(22+-=x y

2、对于二次函数2)21(3--=x y ，它的图象与二次函数23x y -=的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？

3、怎样由22x y =的图象得到函数3)1(22+-=x y 的图象？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？

拓展提高：

1)若抛物线y=-x 2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________ 2)如何将抛物线y=2(x-1)2 +3经过平移得到抛物线y=2x 2？

3) 将抛物线y=2(x -1) 2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2) 2-1？

4)若抛物线y=2(x-1) 2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),平移后的抛物线的解析式是______ _.

设计意图: 练习基础题，及时对全班同学进行巩固，帮助学生对所学的知识进行理解. 由于学生层次不一，练习的设计充分考虑到学生的个体差异，满足不同层次学生的学习需求，

第五环节: 当堂检测

就本节课的学习内容对学生进行八分钟的当堂测试.

设计意图: 进一步巩固学生所学内容，根据学生的检测情况调整下一步的教学.

四、教学反思分析

三维目标分析

本课是《二次函数的图象与性质》的第三课时，学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生要在这节课中，在二次函数2ax y =和c ax y +=2的图象的基础上，进一步研究2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，并探索它们之间的关系和各自的性质．这是对前面所学知识的应用和提高，又是高中进一步学习函数的基础.同时, 二次函数解析式中的系数由常数转变为参数，使学生对二次函数的图像由感性认识上升到理性认识，能培养学生利用数形结合思想解决问题的能力.由此, 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，特制定以下三维目标：第一个层面是基础知识与能力目标：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响；第二个层面是过程和方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力；第三个层面是情感、态度和价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

学法分析

要想根据图象对二次函数的性质进行分析,积累研究函数性质的经验,必须有动手做的过程.这个做的过程，不仅是一个实践的过程，更是尝试、想象、推理、验证、思考的过程，只有在这样的过程中，学生才能把握二次函数图象和性质的本质，建立函数观念.虽然本课内容多，学生要列表、画图，归纳性质，但一定要让学生充分地活动，一定要在学生经历画图、观察、概括的基础上，让学生自觅知识、自悟性质.另外,为使学生能够从多个角度看问题,进而比较准确地理解二次函数的性质,要尽可能多地运用小组活动的形式,因此,这节课采用的学法是小组合作学习,让学生画图、图象观察、列表对比、自己发现结论的学习方法，使学生通过本节课的学习，进一步理解数形结合,从特殊到一般的思想方法.

教法分析

学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；

②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性.由此，本节课采用教师引导，学生自主探索和小组合作相结合的教学方式.本课时还课堂于学生，在开放的前提下，让学生经历动手画图、合作交流的过程，给学生一个充分发表见解的舞台，激发学生的创新精神，提高学生的自信力，打造高效课堂！

课堂教学中的几个注意

学生在猜一猜的环节中,可能猜想的结果或许很多，老师不要急于表态，而是要引导学生画图验证，从而使学生经历猜想、验证等数学活动，形成自己对本节课重点内容的理解和有效的学习策略，有利于培养学生的数学直觉和感悟能力，加深对数学学习的体验，进一步突破重难点.

在学生的探究过程中,教师要注意引导学生进行图象和图象之间的比较、表达式和表达式之间的比较，建立图象和表达式之间的联系, 是否理解表达式的变化将引起图象的何种变化，或者图象的变化将要引起表达式的何种变化. 要引导学生从感性认识上升到理性认识.

二次函数的图像和性质(第三课时)

第六章实数 6.1平方根第1课时算术平方根【知识与技能】 1.了解算术平方根的概念,会用根号表示正数的算术平方根,并了解算术平方根的非负性. 2.了解开方与乘方互为逆运算,会用平方运算或计算器求某些非负数的算术平方根. 【过程与方法】通过学习算术平方根,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维. 【情感态度】通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和学习兴趣. 【教学重点】理解算术平方根的概念. 【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根. 一、情境导入，初步认识教师出示下列问题1,并引导学生分析.问题1由学生直接给出结果.

问题1 求出下列各数的平方. 1,0,(-1),-1/3，3，1/2. 问题2下列各数分别是某实数的平方,请求出某实数. 25,0,4,4/25,1/144,-1/4,1.69. 对学生进行提问,针对学生可能会得出的一个值,由学生互相交流指正,再由教师指明正确的考虑方式. 由于52=25,(-5)2=25，故平方为25的数为5或-5.02=0,故平方为0的数为0. 22=4,(-2)=4，故平方为4的数为2或-2. 问题3 学校要举行美术比赛,小壮想裁一块面积为25dm2的正方形画布画一幅画,这块画布的边长应取多少? 分析：本题实质是要求一个平方后得25的数,由上面的讨论可知这个数为±5,但考虑正方形的边长不能为负数,所以正方形边长应取5dm. 二、思考探究，获取新知教师归纳出新定义: 一般地,如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术

数学：26.1二次函数(第5课时)教案(人教新课标九年级下)

26.1 二次函数（5）教学目标： 1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。 2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。重点难点：重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x －h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。教学过程：一、提出问题 1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系? (函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的) 2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系? (函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3) 3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 二、试一试系吗? 问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质? 对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。三、做一做问题4：在图26．2．3中，你能再画出函数y=2(x－1)2－2的图象，并将它与函数y=2(x－1)2的图象作比较吗? 教学要点 1．在学生画函数图象时，教师巡视指导； 2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。问题5：你能说出函数y=－1 3(x－1)2＋2的图象与函数y=－ 1 3x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

二次函数的图像及其三种表达式

二次函数的图像及其三种表达式学生：时间：学习目标 1、熟悉常见的二次函数的图像； 2、理解二次函数的三种表达式知识点分析 1、.二次函数的三种表达式一般式：y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P （h ，k ）] 交点式：y=a(x-x1)(x-x2) [仅限于与x 轴有交点A （x1，0）和 B （x2，0）的抛物线] 2、一般地，自变量x 和因变量y 之间存在如下关系： y=ax^2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0，且a 决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI 还可以决定开口大小,IaI 越大开口就越小,IaI 越小开口就越大.）则称y 为x 的二次函数。二次函数表达式的右边通常为二次三项式。例题精讲例题1已知函数y=x 2 ＋bx ＋1的图象经过点（3，2）．（1）求这个函数的表达式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x ＞0时，求使y ≥2的x 的取值范围．例题2、一次函数y=2x ＋3，与二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且当x=3时，抛物线取得最值为9．（1）求二次函数的表达式；（2）在同一坐标系中画出两个函数的图象；（3）从图象上观察，x 为何值时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大．（4）当x 为何值时，一次函数值大于二次函数值？随堂练习 1．已知函数y=ax 2 ＋bx ＋c （a ≠0）的图象，如图①所示，则下列关系式中成立的是（） A ．0＜－ a b 2＜1 B ．0＜－a b 2＜2 C ．1＜－a b 2＜2 D ．－a b 2=1 图① 图② 2.函数y = 21x 2 +2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是 A.y =21(x －1)2+2 B.y =21(x －1)2+2 1

函数-第3讲：二次函数图像、性质与解析式

一．二次函数的概念（一）二次函数的定义 1、一般地，形如c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的函数称为x 的二次函数，其中 x 为自变量，y 为因变量，c b a ,,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数. 【注意】抛物线的另一定义：在平面内，到一个定点F 和一条定直线l 距离相等的点的集合成为抛物线，F 称为抛物线的焦点。l 称为抛物线的准线。 2、任何二次函数都可以整理成c bx ax y ++=2（c b a ,,为常数，0≠a ）的形式． 3、判断函数是否为二次函数的方法：（1）含有一个变量，且自变量的最高次数为2；（2）二次项系数不等于0；【方法技巧】第三节二次函数的图象、性质与解析【知识梳理】

（3）等式两边都是整式． 4、二次函数自变量x 的取值范围是全体实数．（二）二次函数图象的画法：五点绘图法 1、利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+ 2、确定其开口方向、对称轴及顶点坐标 3、在对称轴两侧，左右对称地描点画图．一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）．二．二次函数的图象性质（一）二次函数2y ax =0a ≠（）的性质 1、抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点（0，0），对称轴是0=x （y 轴）. 2、函数2ax y =的图象与a 的符号关系. （1）当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；（2）当0a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点；（2）当0 a 时有最小值 a b a c 442 -