解析几何中斜率之积为定值的问题探究

微专题：解析几何中斜率之积为定值（2

2

21a b k k -=?）的问题探究

【教学重点】掌握椭圆中2

2

21a

b k k -=?的形成的路径探寻及成果运用理性判断

【教学难点】运算的设计和化简

活动一：2

2

21a

b k k -=?形成的路径探寻

1. 若AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB

的斜率都存在，求PO AB

K K ?．

【解析】 ：设点()0

,y x P

，()1

1

,y x A ，()2

2

,y x B ，

则有；；)2(1)1(122

222

222

122

1=+=+b

y

a x

b y a x （代点作差）

将①式减②式得，

，

，

所以所以，

即2

2

a

b K K PO

AB

-=?．

【结论1】 若AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且

直线OP,AB 的斜率都存在，则1222

-=-=?e a

b K K PO

AB ．

2.已知AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，

若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为

2

1

k

k，．求

2

1

k

k?的值。

【解法1】：设()0

,y

x

P，()1

1

,y

x

A又因为A,B是关于原点对称，

所以点B的坐标为()1

1

-,

-y

x

B，所以

2

1

2

2

1

2

1

1

1

1

2

1x

x

y

y

x

x

y

y

x

x

y

y

k

k

-

-

=

+

+

?

-

-

=

?．

又因为点()0

,y

x

P，()1

1

,y

x

A在椭圆上，所以有；

；)2(1

)1(1

2

2

1

2

2

1

2

2

2

2

0=

+

=

+

b

y

a

x

b

y

a

x

两式相减得，

2

2

2

1

2

2

1

2

0-

a

b

x

x

y

y

=

-

-

，所以

2

2

2

1a

b

k

k-

=

?．

【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。

------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。

过圆2

2

2r

y

x=

+上异于直径两端点的任意一点与一条直

径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值

1-

=

?

PB

PA

K

K

类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化

令

'

;'y

b

y

x

a

x

=

=

则有

()1

'

)'(

)0

(12

2

2

2

2

2

=

+

?

>

>

=

+y

x

b

a

b

y

a

x

()?

?

?

?

?

?

b

y

a

x

P

y

x

P0

,

'

,；点P,A,B为椭圆上点

()?

?

?

?

?

?

b

y

a

x

A

y

x

A1

1

1

1

,

'

,点p’,A’,B’为新圆上点

()?

?

?

?

?

-

-

?

-

-

b

y

a

x

B

y

x

B1

1

1

1

,

'

,由圆上的1-

'

'

'

'

=

?

B

P

A

P

k

k的关系过渡到PA,PB上

22

2

12021

202121202120'

''')()()()(1)()a ()()b (

a b x x y y k k a x x b y y k k B P A P -=--=??-=--=?

【方法小结】解法2运用类比联想的方法；由圆的结论过渡到椭圆，学生易于理解，但通过

伸缩变换将椭圆圆化的过程对于学生的能力具有一定的要求。这也正是我们要加强训练的地方。

【结论形成总结】

【 结论2】 已知AB 是椭圆)0(122

22>>=+b a b

y a x 的中心弦，点P 是椭圆上任意一点，

若直线PA,PB 的斜率都存在，则1222

-=-=?e a

b K K PB

PA ．

活动二：2

2

21a

b k k -=?结论的应用

【例1】

（1）已知椭圆C ：1362

2=+y x ，

直线m 与椭圆C 相交于A,B 两点，

且AB 的中点为P(1,1) 则直线m 的方程为

【解析】本题具有弦中点的特征所以应用结论121

-22=-=?a b K K PO

AB

因为P(1,1)易求1=PO K 的，所以21

-

=AB K

所以直线m 的方程为：x+2y-3=0

（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆1b

422

2=+y x 的左、右焦点，B ，

C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为. 若2

1cos 21=

∠BF F ，则直线的斜率为 . 【解析】观察图形易发现BC 具有中心弦的特征选用结论2

因为2

1cos 21=

∠BF F 所以02160=∠BF F 所以0230=∠OBF ;在2BOF Rt ?中易知22=BF

b OB ==3

260=∠O BF

所以直线BD 的倾斜角为0

120所以直线BD 的斜率为3-K BD =;

由结论可知43-22=-=?a b K K CD

BD

所以4

3=CD K

【方法小结】通过两道小题强化结论的应用；并让学生能够通过图形自主发现中点弦，中

心弦的特征，从而合理巧妙的应用结论。

【例2】如图，椭圆13

42

2=+y x 中，A,B 分别为椭圆的左右顶点，2l 是椭圆的右准线， P 是椭圆上的动点，直线AP,BP 分别交2l 于M,N ，求线段MN 的最小值。

【解析】【设K 法】

设直线AP 的斜率为K （k>0），则直线AP 的方程为：y=k(x+2); 又MN 的方程为x=4.易求M(4,6K);

D

CD

()01216164313

4)2(22222

2=-+++??????=++=k x k x k y x x k y 又A(-2,0);设()00,y x P 22022043864312162-k k x k k x +-=?+-=）（2

04312k

k y +=易得)4312,4386(222k k k k P ++-∴

又点B （2,0）；所以k K PB

43-

=；所以直线PB 的方程为：)2(43

y --

=x k

；令x=4得 )23,4(k N -

；所以时等号成立）当且仅当21

(6236=≥+=k k k MN

解法二：【利用中心弦结论4

3

-22=-=?a b K K PB

PA 】

设直线AP 的方程为：y=k(x+2);因为k

K a b K K PB PB

PA 43

-43-22=?=-=?

所以直线PB 的方程为：)2(43y --

=x k ；易得M(4,6K)；)23

,4(k

N - 所以时等号成立）当且仅当21(6236=≥+

=k k k MN

解法三：【设点法】

设M(4,m)(m>0);N(4,n)(n<0);A(-2,),B(2,0)26n

K m K PB PA

==

；

9)(43

-1222=-?=-==?∴n m a b mn K K PB

PA

时等号成立）当且仅当3)((6)(2)(=-==-≥-+=n m n m n m MN 【点评】三种方法两个角度：显然从设点和设K 的角度处理问题结合中心弦的结论能够快

速计算找到解题的突破口。

【拓展延伸】

在平面直角坐标系xOy 中，设A,B 为椭圆12

22

=+y x 上异于顶点的两点。

（1）若OA,OB 的斜率之积为2

1-

，求证：2

2OB OA +为定值； （2）若OA,OB 的斜率之积为2

1

-

，求证：线段AB 的中点C 在某个定椭圆上。

【解析】第一小问设),();,(2211y x B y x A ；;2

1

2121-==

?x x y y K K OB

OA 2

22

12

22

1212142x x y y x x y y =?-=∴；又因为点A,B 在椭圆上 2

22

22

12

12-22-2y x y x ==∴；代入上式得：

12-22-242

22

12

22

12

22

12

22

1=+??==y y y y x x y y ）（）（

3

)(42-22-22

22

12

22

22

12

12

22

22

12

122=+-=+++=+++=+∴y y y y y y y x y x OB OA ）（）（（2）设),(00y x C ;因为C 为AB 中点

???++=++=????+=+=)2(24)1(24222

221212022212120210210y y y y y x x x x x y y y x x x 平方因为;21

2121-==?x x y y K K OB OA 0240221212121=+?=+∴x x y y x x y y ；所以（1）+（2）×2可得

1

211

12422842

0202

02

02

22

22

12

12

02

0=+?=+?=+++=+y

x y x y x y x y x

【探究形成结论】

在平面直角坐标系xOy 中，设A,B 为椭圆)0122

22>>=+b a b

y a x （

上异于顶点的两点。

（1）若OA,OB 的斜率之积为;22

a

b K K OB

OA -=?2222b a OB OA +=+则；

【解析】设),();,(2211y x B y x A ；;222121a

b x x y y K K OB

OA -==? 2

22

142

22

14212212a x x b y y a x x b y y =?-=∴；又因为点A,B 在椭圆上 222

222

22222

122

12a b a b b a y x b a y x =+=+∴；移项得：

）（）；（2-b a -1-b -a 2

22

222

22222

122

12b a x y b a x y ==∴由（1）?（2）得： 22

22

12

22

1422

222

14

2

22

14--a a x x x x b a x a x b y y =+?=?=）（）（

由（1）+（2）得：22

221222222212

222

1

2

a b 2a -b -a b y y b x x y y =+?-=+=+∴）（）（ 222

22

22

12

122a b y x y x OB OA +=+++=+∴

(2)若OA,OB 的斜率之积为22

a

-b ，求证：线段AB 的中点C 在某个定椭圆上。

设),(00y x C ;因为C 为AB 中点

???++=++=????+=+=)2(24)1(24222

2212120

222121202102

10y y y y y x x x x x y y y x x x 平方

因为;a

222121b x x y y K K OB

OA -==? 0a 212212=+∴x x b y y ；所以

22)2(b 1a ?+?）（可得 2

2202202222

21221220222221221220224b 4)

2(24)1(2b 4b a y a x y a y y a y a y a x b x x b x b x =+????++=++=

1

22a 22

220=+∴b y x AB 的中点轨迹方程为：

【小结】伴生结论：22

2212222

1y b y a x x =+=+；

【巩固练习】

1.（2011江苏卷18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，M 、N 分别是椭圆12

42

2=+y x 的顶

点，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意k>0，证明：PB PA ⊥

法一：运用点差法求解；主要应用上述结论推导过程中设点作差的思想方法。 由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则，

Q A 、C 、B 三点共线，0101

10010

,2y y y y x x x x x +∴

==-+又因为点P 、B 在椭圆上，

222200111,14242x y x y ∴+=+=，两式相减得：01012()PB x x k y y +=-+

00110010011001()()

[]12()()()

PA PB y x x y y x x k k x y y x x y y +++∴=

-=-=-+++PA PB ∴⊥

法二：注意有中心弦的特征所以尝试运用结论1的方法 由题意设0000110(,),(,),(,),(,0)P x y A x y B x y C x --则，0

x y K PA

=

； PA AC

AB K x y K K 2

1

200===;由结论1：2122-=-=?a b K K PB AB ;用AB PA K K 代换21

则12

1

21-=??-=?=

?PB PA PB PA PB AB

K K K K K K PA PB ∴⊥

法三：因为AB 不是中心弦，通过构造弦AB 中点尝试运用结论2的方法 设112200111(,),(,),A,B N(x ,y ),P(-,),C(-,0)A x y B x y x y x -中点则

,

Q A 、C 、B 三点共线，221121211

,2AB y y y y

k x x x x x -∴

===+-又因为点A 、B 在椭圆上,

222222111,14242x y x y ∴+=+=,两式相减得：0012AB y x k =-,

01011

212ON PA AB AB

y y k k k x x k ∴=

=-?=-,PB PA PB ON ⊥∴,//Θ 【点评】通过一道例题将上述结论的探究方法（设点法，点差法等）以及两个结论都的到了运用。起到了典例示范的作用，并通过三种方法的对比训练学生发现中心弦特征；挖掘弦中点的方法技巧；真正起到学以致用的作用。

2. 如图，已知椭圆1E :)0(122

22>>=+b a b y a x 椭圆2E ：

)0(1442

2

22>>=+b a b y a x ， 椭圆1E 的离心率为

2

2

，P 在椭圆2E 上，过点P 的直线L 交椭圆1E 于A,B 两点，且 λ=,若直线OP,OA 的斜率之积为2

1

-

，求实数λ的值。

【解析】方法一： 由题意得222222222

00112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，

01011

2

y y x x ?=-，即010120x x y y +=， AP AB λ=u u u r u u u r ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得01201

2(1)(1)x x x y y y λλλλ+-?

=???+-?=??

所以22201

01

(1)(1)(

)2(

)2x x y y b λλλ

λ

+-+-+=

则22222222

001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-= 222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=

所以22222

8(1)22b b b λλ+-?=，即22

4(1)λλ+-=，所以52

λ=

方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)OP y kx k =>，

代入椭圆222

2:28E x y b +=，解得0

x =

0y =

，

直线,OP OA 的斜率之积为1

2

-

，则直线1:2OA y x k =-，

代入椭圆222

1:22E x y b +=，解得1x =1y =

AP AB λ=u u u r u u u r ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-?=???+-?=??

，

所以22201

01

(1)(1)(

)2(

)2x x y y b λλλ

λ

+-+-+=

则22222222

001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y

y y y b λλ

λλλ+-+-

++-+

-= 222

2222000

10111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=

所以

2222282(((1)22b b b λλλ+-++-?=， 即2

2

2

22

8(1)22b b b λλ+-?=，即22

4(1)λλ+-=，所以5

2λ=

【课时小结】通过本节课学习掌握以下四个方面

1. 解析几何中设点法，点差法，对称点，点在曲线上等对点的问题处理技巧。

2. 中心弦的特征：1222

-=-=?e a b K K PB

PA ；

3. 中点弦的特征：1222

-=-=?e a b K K PO AB ；

4.半弦的性质特征：

若OA,OB 的斜率之积为;

22a b K K OB

OA -=?

22

22

122

22

1y 1b y a x x =+=+；）（ 22222b a OB OA +=+）（；

1

22a 322

022

0=+b y x AB 的中点轨迹方程为：）（

2020年二轮微专题椭圆中两直线斜率之积为定值的问题

微专题34 椭圆中两直线斜率之积为定值的问题 定点定值问题是圆锥曲线中十分重要的研究课题，蕴含着动、静依存的辩证关系，深刻体现了数学的魅力，在高考中常常涉及此类问题且位于中档题的位置．本专题以椭圆中两直线斜率之积为条件，从具体问题入手，通过对解决方法进行总结辨析，使学生能够根据问题的条件寻找与设计更合理、更简捷的运算途径，并引导学生发现这类问题所具有的更一般性规律. 过椭圆C ：x 24＋y 2 ＝1的上顶点A 作互相垂直的直线分别交椭 圆于M ，N 两点．求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标． 本题考查的是定点问题，由题意可知，题中的两已知直线 存在斜率，且斜率之积为－1，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形，导出动直线可化为点斜式方程，其中所过的点是一个定点，从而证明动直线过定点. 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 2 3＝1的左顶点为A ， P ，Q 是椭圆C 上的两个动点．

(1)如图34-1，当P ，O ，Q 三点共线时，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：AM →·AN → 为定值； (2)设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1·k 2＝－1时，求证：直线PQ 经过定点R . 图34-1 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆T 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1. 设A ，B ，M 是椭圆T 上的三点(异于椭圆顶点)，且存在锐角θ，使OM → ＝cos θOA →＋sin θOB →. (1)求证：直线OA 与OB 的斜率之积为定值； (2)求OA 2＋OB 2的值． (江苏卷)如图34-2，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2 9＋ y 2 5＝1的左、右顶点为A ，B ，设过点T (9，m )的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中m ＞0，y 1＞0，y 2＜0.

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题温县第一高级中学数学组任利民 问题1：平面上一动点 (,) P x y 与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 3 4 - ，求 点P的轨迹方程 22 1(2) 43 x y x +=≠± . 问题2：椭圆 22 1 43 x y += 上任一点P与两点 (2,0),(2,0) A B - 的连线的斜率之积是 123 4 k k=- . 探究：（1）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点 (,0),(,0) A a B a - ,椭圆上任意异于A、B的点P 与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . （2）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两点(0,),(0,) A b B b -,椭圆上任意异于A、B的点P与A、 B连线的斜率之积是 2 2 b a - . （3）已知椭圆 22 22 1 x y a b += 上两定点0000 (,),(,) A x y B x y -- ，椭圆上任意异于A、B 的点P与A、B连线的斜率之积是 2 2 b a - . 结论1.设 A、B是椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>> 上关于原点对称的两点，点P是该椭圆 上不同于A，B的任一点，直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =- ． 探究：（3）设 A、B是双曲线 22 22 1(0) x y a b a b -=>> 上关于原点对称的两点，点P是该 双曲线上不同于A，B的任一点，直线PA,PB的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值？并给予证明．

第6章 斜率之积为定值一 wps

第6章 斜率之积为 22b a - 2222222222b b b b b a a a a a ?????-?? ? ????-? ?? ????-?-?? ????-??? 中点弦椭圆中斜率之积斜率之积双曲线中斜率之积轨迹问题（一）斜率之积轨迹问题（二） 斜率之积得应用与有关的定值问题（一） 与有关的定值问题（二） 本章主要探究圆锥曲线中两条相交直线的斜串之积为2 2b a -的等价条件,以及 充分或必要条件。6.1节聚焦于中点弦问题；6.2节阐述圆锥曲线斜率之积为2 2 b a -这一问题；6.3节探索满足这一条件的点的轨迹方程。读完本章，你会意识到其中的结论是多么方便实用，但我们却不希望这些结论仅仅只起到“结论”的作用，我们更希望引导你形成自主探索式的学习思维! 6.1中点弦 直线与圆锥曲线相交时，若出现了直线的斜率与线段的中点等字眼，则这样的题型往往可以避免使用韦达定理来计算。对于这个类型的题，首先设出弦的两端点然后代入圆锥曲线并将两式相减，这样就直接联系了中点与直线的斜率的关系，我们把这个方法叫做点差法。 【例6.1】 (2017全国1文 20改编)设A,B 为曲线2:4C x y =上两点,点A 与点B 的横坐标之和为4,则直线AB 的斜率为____ 【分析】由于点A 与点B 的横坐标之和为4,故求解直线AB 的斜率，只需代入点作差。

【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 因为A,B 是椭圆上两点，所以代入得 22 21121212 22 44()4x y x x y y x y ?=?-=-?=? 整理可得212121()()4y y x x x x -+=-，由题意212121()41() y y x x x x -+=?=-，可得直线AB 的斜率为1.故填1. 【例 6.2】 (2018 全国Ⅲ 文理 20)已知斜率为k 的直线l 与椭圆 22:143x y C +=交于A,B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m >。证明：1 2 k <- 【解析】设()()1122,,?,A x y B x y , 由题意知12122,2x x y y m +=+=，因为A,B 是椭圆上两点，所以代入双曲线得 21122122 1122212222 222211()133343 4441 4 3()()()x y y y y y y y x x x x km x x x y ?+=?-??=-?-?=-?-?+=??-+=-+ 则34m k =- 即3(1,)4M k 。因为点M 在椭圆内，所以2131,416k +<解得1 2 k <-。 在例6.1与例6.2中都是直线与圆锥曲线相交,且都利用点差法解决问题的 情形，那么是否可以认为直线与圆锥曲线相交都可以用点差法呢?这显然不是那么准确。为什幺呢?是因为利用点差法需要知道出段的中点与线段的斜率.如若不具备这两个条件条件,利用点差法往往以失败告终。 既然点差法依赖于线段的中点,那么我们需要总结一下有哪些条件可以翻译出中点的信息。对称就是其中最为重要的一类条件。 【例6.3】 (2018 河南一模文15)已知双曲銭2 2 13 y x -=上存在两点M,N 关于直线:l y x m =+对称,且MN 的中点在抛物銭218y x =上,则实数m 的值为____ 【解析】设()()1122,,?,M x y N x y , MN 的中点坐标为00(,)E x y ,

解析几何中斜率之积为定值的问题探究

微专题：解析几何中斜率之积为定值（2 2 21a b k k -=?）的问题探究 【教学重点】掌握椭圆中2 2 21a b k k -=?的形成的路径探寻及成果运用理性判断 【教学难点】运算的设计和化简 活动一：2 2 21a b k k -=?形成的路径探寻 1. 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的不过原点的弦，点P 是弦AB 的中点，且直线OP,AB 的斜率都存在，求PO AB K K ?． 【解析】 ：设点()0 ,y x P ，()1 1 ,y x A ，()2 2 ,y x B ， 则有；；)2(1)1(122 222 222 122 1=+=+b y a x b y a x （代点作差） 将①式减②式得， ， ， 所以所以， 即2 2 a b K K PO AB -=?． 【结论1】 若AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上的非直径的弦，点P 是弦AB 的中点，且 直线OP,AB 的斜率都存在，则1222 -=-=?e a b K K PO AB ． 2.已知AB 是椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 上过原点的弦，点P 是椭圆异于A,B 的任意一点，

若直线PA,PB的斜率都存在，记直线PA,PB的斜率分别为 2 1 k k，．求 2 1 k k?的值。 【解法1】：设()0 ,y x P，()1 1 ,y x A又因为A,B是关于原点对称， 所以点B的坐标为()1 1 -, -y x B，所以 2 1 2 2 1 2 1 1 1 1 2 1x x y y x x y y x x y y k k - - = + + ? - - = ?． 又因为点()0 ,y x P，()1 1 ,y x A在椭圆上，所以有； ；)2(1 )1(1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 0= + = + b y a x b y a x 两式相减得， 2 2 2 1 2 2 1 2 0- a b x x y y = - - ，所以 2 2 2 1a b k k- = ?． 【方法小结】本解法从设点入手，利用“点在曲线上”代点作差使用“点差法”。 ------------------------------------------------------------------------------- 【解法2】椭圆圆化；由圆的结论类比到椭圆中。 过圆2 2 2r y x= +上异于直径两端点的任意一点与一条直 径的两个端点连线,则两条连线的斜率之积为定值 1- = ? PB PA K K 类比上述圆的结论通过伸缩变换椭圆圆化 令 ' ;'y b y x a x = = 则有 ()1 ' )'( )0 (12 2 2 2 2 2 = + ? > > = +y x b a b y a x ()? ? ? ? ? ? b y a x P y x P0 , ' ,；点P,A,B为椭圆上点 ()? ? ? ? ? ? b y a x A y x A1 1 1 1 , ' ,点p’,A’,B’为新圆上点 ()? ? ? ? ? - - ? - - b y a x B y x B1 1 1 1 , ' ,由圆上的1- ' ' ' ' = ? B P A P k k的关系过渡到PA,PB上

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问题 为定值的问题 Prepared on 24 November 2020

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题 温县第一高级中学数学组 任利民 问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2：椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 1234k k =- . 探究：（1）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （2）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的 点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （3）已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异 于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是 该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =-．

探究：（3）设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点， 点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值并给予证明． 结论2.设 A 、B 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2， 则 2 122 b k k a =． 应用拓展： 1.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> ,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与斜率之积为12 -，则椭圆的离心率为 . 解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====. 2.椭圆C:22 143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜 率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3 [,1]4 解析：因为122 2 34 PA PA b k k a ?=- =-，所以123 4PA PA k k - = ,∵2 [2,1]PA k ∈-- ∴133 [,]84 PA k ∈,故选B.

圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题探究

斜率乘积为定值的问题探究 【教学目标】 会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中 的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用. 【教学难、重点】解题思路的优化. 【教学过程】 【温故习新】 2 2 1. （2012天津理19改编）设椭圆 笃?爲= l （a b - 0）的左、右顶点分别为 A, B ，点P 在 a b 2 2 2.如图2,在平面直角坐标系 xOy 中，F 1;F 2分别为椭圆 笃-当=1（a b 0）的左、右焦 a b 点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线 BF 2与椭圆的另一交点为 D.若cos / F 1BF 2 =云, 则直线CD 的斜率为 _______________ . X 2 2 3. （2016如东月考）已知椭圆C: 2 y =1，点M 1N2, ll|M 5为其长轴AB 的6等分点， 分别过这五点作斜率为 k （k 式0）的一组平行线，交椭圆 C 于点PhPjH’P o ,则这10条直线 AR, AP 2,|",AR 0的斜率的乘积为 ____________ iy 椭圆上且异于 A, B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为

2 2 4. (2011江苏18改编)如图3，已知椭圆方程为—-L =1，过坐标原点的直线交椭圆 4 2 于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接AC，并延长交椭圆 于点B,设直线PA的斜率为k，对任意k 0 , 求证：PAI PB. 二.释疑拓展 2 2 例1.(南京市、盐城市2017 一模改编)已知椭圆C的方程——1,直线I : y = kx亠m , 4 2 (m =0 )交椭圆C于P,Q两点，T为弦PQ的中点，M(-1,0),N(1,0)，记直线TM ,TN的斜率分别为k1,k2，当2m2 -2k2=1时，求k1 k2的值.

小专题椭圆----斜率之积是定值

O x y P A B 椭圆一个性质的应用 性质 如图1，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线 PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ?为定值2 2b a -． 证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --． 所以122 22=+b y a x ① 12 2 1 22 1=+b y a x ② 由①－②得2 2 1 222 12b y y a x x --=-， 所以22 2 1 22 12a b x x y y -=--， 所以222 111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质 属性，因而能简洁解决问题，下举例说明． 一、证明直线垂直 例1 如图2，已知椭圆22 142 x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭 圆于点P ．求证：MO PB ⊥． 证明 设(2,)M y ，由性质知1 2 PA PB k k ?=-，即 1 2 MA PB k k ?=- ③ 图1 图2

直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2 MO y y k a ==， 所以1 2 MA MO k k = ④ 将④代入③得1MO PB k k ?=-， 所以MO PB ⊥． 例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2． 证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由性质知12 22PA PA b k k a ?=-，即1222MA NA b k k a ?=-，所以222211a b a x y a x y -=-?+ ⑤ 1222QA QA b k k a ?=， 即2122MA NA b k k a ?=-，所以221122a b a x y a x y -=-?+ ⑥ 比较⑤与⑥得 1221()()()()x a x a x a x a +-=+-， 所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =． 所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2． 二、证明直线定向 例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 2 3＝1 上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在． 求证：直线MN 的斜率为定值． 证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ?=- ，即1 2MA NB k k ?=-， 12DA DB k k ?=-，即1 2 NA MB k k ?=-． 所以 111222N M M N y y x x +-?=--+，1 1(224)2 M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦ x y A O B C D M N 图4 图3

圆锥曲线斜率乘积为定值

斜率乘积为定值的问题探究 知识梳理 结论1：设A 、B 是椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 关于原点对称的两点，点P 是该椭圆上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22 21a b k k -=?。 结论2：设A 、B 是双曲线122 22=-b y a x )0,0(>>b a 上关于原点对称的两点，点P 是该双曲线上不同于A 、B 的任一点，直线PA 、PB 的斜率分别为21,k k ，则22 21a b k k =?。 基础训练 1、设椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右顶点分别为A 、B ，点P 在椭圆上且异于A 、B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为2 1-，则椭圆的离心率为 。 2、在平面直角坐标系中，21,F F 分别为椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 的左右焦点，B 、C 分别为椭圆的上下顶点，直线2BF 与椭圆的另一交点为D ，若21cos BF F ∠25 7= ，则直线CD 的斜率为 。 3、已知椭圆C ：12 22 =+y x ，点54321,,,,M M M M M 为其长轴AB 的六等分点，分别过这五点作斜率为)0(≠k k 的一组平行线，交椭圆C 于1021,,,P P P ，则这10条直线1011,,AP AP AP 的斜率的乘积为 。

4、如图所示，已知椭圆方程为12 42 2=+y x ，过坐标原点的直线交椭圆于P 、A 两点，其中点P 在第一象限，过P 作x 轴的垂线，垂足为C ，连接AC ，并延长交椭圆于点B ，设直线PA 的斜率为k ，对任意0>k 。求证：PB PA ⊥。 方法梳理： 一、解决直线和圆锥曲线问题的一般方法： Step1 设（点的坐标、直线方程、曲线方程） Step2 代（点的坐标带入方程，方程联立方程组带入消元） Step3 化（化简方程，解方程） 二、常用的化简策略 “设而不求”，整体代换

小专题---解析中的斜率之积为定值

椭圆中的一类问题 （1）平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 34-，求点P 的轨迹方程．221(2)43 x y x +=≠± （2）椭圆22 143 x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 123 4 k k =- 你发现了什么？ 222 122221x y b k k a b a +=?=- 大胆猜想、类比圆与双曲线 探究：（1）椭圆22 221x y a b +=上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜 率之积是 2 2b a - （2）椭圆22 221x y a b +=上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的 连线的斜率之积是 2 2b a - （3）P 是椭圆22 221x y a b +=上一点，直线2y x =与椭圆相交于两点,A B , 则直线,PA PB 的连线的斜率之积是 2 2b a - （4）椭圆22 2210)x y a b a b +=>>（ 上任一点P 与两点(,0),(,0)A a B a -的连线的斜率之积是34 -，则椭圆的离心率 （5）一椭圆上任一点P 与椭圆上两定点0000(,),(,)A x y B x y --的连线的斜率之积是43 -，则椭圆的离心率

展示1： 已知直线y ＝12x 与椭圆C ：22 182x y +=交于D ，E 两点，过D 点作斜 率为k 的直线l 1．直线l 1与椭圆C 的另一个交点为P ，与直线x ＝4的交点为Q ，过Q 点作直线EP 的垂线l 2．求证：直线l 2恒过一定点． 展示2：已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1上一点P (1，3 2)，过点P 的直线12,l l 与 椭圆C 分别交于点A ，B （不同于P ）， 且它们的斜率k 1，k 2，满足k 1k 2＝－3 4． （1）求证：直线AB 过定点； （2）求△PAB 面积的最大值．

椭圆斜率之积是定值专题

椭圆斜率之积为定值专题 性质 如图1，椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线 PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积PA PB k k ?为定值2 2b a -． 证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --． 所以122 22=+b y a x ① 12 2 1 22 1=+b y a x ② 由①－②得2 2 1 222 12b y y a x x --=-， 所以22 2 1 22 12a b x x y y -=--， 所以222 111222111PA PB y y y y y y b k k x x x x x x a -+-?=?==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质 属性，因而能简洁解决问题，下举例说明． 一、证明直线垂直 例1 如图2，已知椭圆22 142 x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭 圆于点P ．求证：MO PB ⊥． 证明 设(2,)M y ，由性质知1 2 PA PB k k ?=-，即 12 M A P B k k ?=- ③

直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2 MO y y k a ==， 所以1 2 MA MO k k = ④ 将④代入③得1MO PB k k ?=-， 所以MO PB ⊥． 例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2． 证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由性质知12 22PA PA b k k a ?=-，即1222MA NA b k k a ?=-，所以222211a b a x y a x y -=-?+ ⑤ 1222QA QA b k k a ?=， 即2122MA NA b k k a ?=-，所以221122a b a x y a x y -=-?+ ⑥ 比较⑤与⑥得 1221()()()()x a x a x a x a +-=+-， 所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =． 所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2． 二、证明直线定向 例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 2 3＝1 上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在． 求证：直线MN 的斜率为定值． 证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ?=- ，即1 2MA NB k k ?=-， 12DA DB k k ?=-，即1 2 NA MB k k ?=-． 所以 111222N M M N y y x x +-?=--+，1 1(224)2 M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦ 图4

_斜率乘积为定值的问题探究(苏州

斜率乘积为定值的问题探究 苏州工业园区第二中学 【教学目标】 会合理选择参数（坐标、斜率等）表示动态几何对象和几何量，探究、证明动态图形中的不变性质，体会“设而不求”、“整体代换”在简化运算中作用． 【教学难、重点】解题思路的优化． 【教学过程】 一．基础知识、基本方法梳理 问题1．已知AB 是圆O 的直径，点P 是圆O 上异于A ，B 的两点，直线PA ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1.k 2=__________． 问题2．（类比迁移1）点P 是椭圆上22 143 x y +=上异于长轴端点以外的任一点，A 、B 是该椭 圆长轴的两个端点，直线P A ,PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2=__________． 问题3.（引申拓展1）求证：椭圆 )0(122 22>>=+b a b y a x 长轴的两个端点与椭圆上除这两个顶点外的任一点连 线斜率之积为2 2b a -． 问题4.（引申拓展2）设A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是该 椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1k 2是否为定值？并给予证明． 问题5.（类比迁移2）设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点P 是 该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线P A ,PB 的斜率是k 1,k 2，猜想k 1k 2是否为定值？并给予证明． 二．基础训练 1.（2012天津理19改编）设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与BP 的斜率之积为12 -，则椭圆的离心率为______．

椭圆中两直线斜率之和为定值的问题-江苏省洪泽区高三数学二轮复习学案（无答案）

第5课时 椭圆中两直线斜率之和为定值的问题 教学目标 1. 利用两斜率和为定值的两直线，利用此结论，结合韦达定理及代数恒等变形解决问题.[来源:Z&xx&https://www.wendangku.net/doc/267828131.html,] 典型例题 例1 如图所示，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1()a >b >0过点A ()0，1，且离心率为32 . (1) 求椭圆C 的方程； (2) 过A 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线，分别交椭圆于点M ，N ，且k 1＋k 2＝2，证明：直线MN 过定点． 例2 (本小题满分14分)(新课标Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，四点P 1(1,1)，P 2(0,1)，P 3(－1， 32)，P 4(1，32)中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程； (2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点． 答题模板 第一步：根据a >b >0判断点P 1不在椭圆上； 第二步：将另外三点代入椭圆方程求出a ，b ； 第三步：考察l ⊥x 轴时，不合题； 第四步：当l 与x 轴不垂直，设出直线方程与椭圆方程联立并消元得x 的一元二次方程．并 写出韦达定理； 第五步：将斜率公式代入k 1＋k 2并用x 1＋x 2，x 1x 2表示k 1＋k 2； 第六步：将韦达定理代入，并整理得k ＝－m ＋12 ； 第七步：将k ＝－m ＋12 代入直线方程并化为点斜式，从而得出结论. 作业评价 1. 已知椭圆x 236＋y 2 4 ＝1上一点M (32，2)，过点M 作两直线与椭圆C 分别交于相异两点A ，B ，∠AMB 的平分线与y 轴平行，则直线AB 的斜率为定值________． 2. 已知椭圆C ：2 212 x y +=，设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆于A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，则直线AB 恒过定点坐

圆锥曲线中斜率乘积问题为定值的问题

圆锥曲线中斜率乘积问 题为定值的问题 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

经典题突破方法---圆锥曲线中斜率乘积为定值的问题 温县第一高级中学数学组 任利民 问题1：平面上一动点(,)P x y 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之积是 3 4- ，求点P 的轨迹方程221(2)43x y x +=≠± . 问题2：椭圆22 143x y +=上任一点P 与两点(2,0),(2,0)A B -的连线的斜率之 积是 1234k k =- . 探究：（1）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(,0),(,0)A a B a -,椭圆上任意异于 A 、 B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （2）已知椭圆22 221x y a b +=上两点(0,),(0,)A b B b -,椭圆上任意异于A 、B 的 点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. （3）已知椭圆22 221x y a b +=上两定点0000(,),(,)A x y B x y --，椭圆上任意异 于A 、B 的点P 与A 、B 连线的斜率之积是 2 2 b a -. 结论1.设 A 、B 是椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>上关于原点对称的两点，点P 是 该椭圆上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2，则 2 122 b k k a =-．

探究：（3）设 A 、B 是双曲线22 221(0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点， 点P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA,PB 的斜率是k1,k2，猜想k1k2是否为定值并给予证明． 结论2.设 A 、B 是双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>上关于原点对称的两点，点 P 是该双曲线上不同于A ，B 的任一点，直线PA ，PB 的斜率分别为k1，k2， 则 2 122 b k k a =． 应用拓展： 1.设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>> ,A B ，点P 在椭圆上且异于,A B 两点，若直线AP 与斜率之积为12 -，则椭圆的离心率为 . 解析：利用k AP ·k BP ＝22b a -，可以得到2c e a ====. 2.椭圆C:22 143x y +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜 率的取值范围是[2,1]-- ，那么直线1PA 斜率的取值范围是 A. 13[,]24 B. 33[,]84 C. 1[,1]2 D. 3 [,1]4 解析：因为122 2 34 PA PA b k k a ?=- =-，所以123 4PA PA k k - = ,∵2 [2,1]PA k ∈-- ∴133 [,]84 PA k ∈,故选B.