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2013年高考模拟数学试题五

2013年高考模拟数学试题（五）

（考试时间：120分钟满分：150分命题人：田老师）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．（1）已知集合}1,1{-=M ，},422

{1Z ∈<<=+x x N x ，则=N M （）（A ）}1,1{- （B ）}1{- （C ）}1{ （D ）?

（2）已知sin()sin 0,3

2π

ααα+

+=-<<则2cos()3πα+等于（）（A ）4

（B ）3

（C ）

（D ）

（3）设,,a b c 是空间三条直线，,αβ是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不正确的是

（）

（A ）当c α⊥时，若c β⊥，则//αβ （B ）当b α?时，若b β⊥，则αβ⊥

（C ）当,b a αα??且c 是a 在α内的射影时，若b c ⊥，则a b ⊥ （D ）当b α?且c α?时，若//c α，则//b c

（4）设双曲线)0,0(12222>>=-b a b

x a y 的渐近线与抛物线12

+=x y 相切，则该双曲线

的离心率等于（）

（A ）

5 （B ）5 （C ）6

（D ）

6 （5）已知()f x 是定义在R 上的函数，对任意x R ∈都有(4)()2(2)f x f x f +=+，若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，且(1)2f =，则(2011)f 等于（）

（A ）2

（B ）3

（C ）-2

（D ）-3

（6）已知ABC ?平面内一点P 满足0PA PB PC ++= ，若实数λ满足：AB AC AP λ+=

，

则λ的值为（）

（A ）6 （B ）3 （C ）2 （D ）

（7）定义在R 上的函数)(x f y =满足55()()22f x f x +=-，5()()02

x f x '->，任意的

21x x <，都有)()(21x f x f >是521<+x x 的（）

（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件

（D ）既不充分也不必要条件

（8）一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m ），则该棱锥的全面积是（单位：m 2

）．（）

正视图侧视图俯视图

（A ）624+ （B ）64+

（C ）224+ （D ）24+

（9）已知ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且1t a n 2

B B

C B A =?= ，

则tan B 等于（）

（A （B 1

（C ）2

（D ）2（10）关于x 的不等式22(1)x ax ->有且只有三个整数解，则实数a 的取值范围是（）

（A ）43

(,)32

（B ）2(,3)3

（C ）85(,)92

（D ）169(

,)94

（11）从点P 出发的三条射线,,PA PB PC 两两成60?角，且分别与球O 相切于,,A B C 三点，若球的体积为

，则OP 两点之间的距离为（）

（A （B （C ）

（D ）2

（12）已知集合{}

10,A x x =-≤≤集合{}

210,02,13x

B x ax b a b =+?-<≤≤≤≤，则

A B φ?≠的概率为( )

（A ）1

（B ）

（C ）

116

（D ）

1516

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（24）题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在答题卡相应的位置．（13）函数()sin cos ()f x x x x R =+∈的图象按向量(,0)m 平移后，得到函数()y f x '=的图象，则m 的值是_______；（14）给出下列四个命题：

①,x x R e ex ?∈≥；

②0(1,2)x ?∈，使得02

000(32)340x x x e x -++-=成立；

③在ABC ?中，若tan tan tan 0A B C ++>,则ABC ?是锐角三角形. ④已知长方体的长、宽、高分别为,,,a b c 对角线长为l ，则3333l a b c >++；其中正确命题的序号是_______；

（15）已知双曲线122

22=-b

y a x 左、右焦点分别为21F F 、，过点2F 作与x 轴垂直的直线与双

曲线一个交点为P ，且6

21π

∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为_______；

（16）函数|1|,1()1()1,12x a x f x x -=??

=?+≠??若关于x 的方程22()(23)()30f x a f x a -++=有五个不同的

实数解，则a 的取值范围是_______．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说

明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）

在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ， q=（a 2，1），p=（c b -2， C cos ）且q p //．求：

（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-C

的取值范围．

已知在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是边长为4的正方形，△PAD 是正三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 、F 、G 分别是PA 、PB 、BC 的中点．

（I ）求证：EF ⊥平面PAD ；

（II ）求平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的大小；（III ）若M 为线段AB 上靠近A 的一个动点，问当AM 长度等于多少时，直线MF 与平面EFG 所成角的正弦值等于

？

（19）（本小题满分12分）

已知各项都是正数的等比数列{}n x ，满足12*

12().n n n a a a n n n x x x n N ++++==∈

（I ）证明数列1

{

a 是等差数列；（II ）若

18111,15a a ==，当1m >时，不等式122(1)12

(log log 1)35

n n n m m a a a x x ++++++>-+ 对 2n ≥的正整数恒成立，求x 的取值范围.

（20）（本小题满分12分）

已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>

，以原点为圆心，椭圆的短半轴

长为半径的圆与直线0x y -=相切．

（I ）求椭圆C 的方程；

（II ）若过点M (2，0)的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OP t OB OA =+（O 为坐标原点）

时，求实数t 取值范围．

已知函数2

1()ln (0)2

f x x ax bx a =-

-≠. （I ）若2b =，且()y f x =存在单调递减区间，求a 的取值范围；

（II ）若函数()y f x =的图像与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：0'()0f x <．

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多答，则按做的第一题记分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右侧的方框涂黑．

(22) （本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲

如图ABC ?内接于圆O ，AB AC =，直线MN 切圆O 于点C ，BD ∥,MN AC BD 与相交于点E ．

(1)求证：AD AE =;

(2)若6,4,AB BC AE ==求．

（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程

已知直线C 1：?

x ＝1＋t cos α，

y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：?

x ＝cos θ

y ＝sin θ，(θ为参数)．

（I ）当α＝π

时，求C 1与C 2的交点坐标；

（II ）过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

(24) (本小题满分10分）选修4-5:不等式选讲设

(I )求不等式的解集S :

(II )若关于X 不等式有解，求参数t 的取值范围.

C D

M N

2013年高考模拟数学试题（五）参考答案

一．选择题:

（1）B （2）C （3）B （4）A （5）A （6）B （7）C （8）A （9）D （10）D （11）B （12）D 二．填空题:

(13) -

2π (14) ①②③④

(15)y = (16) 33

(1)(2)22

?，，

三、解答题：本大题共6小题，共70分．（17）（本小题满分12分）

解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， …………（2分）根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=，

又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+， …………（4分）

1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，2

cos =∴A ，又0A π<< 3

∴A ；sin A =

…………（6分）（II ）原式C C C C

C C C C C cos sin 2cos 21cos sin 1)

sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+

--=++-=

， …………（8分）

2sin(22cos 2sin π

=-=C C C ， …………（10分）

∵π3

20<

∴2)4

2sin(21≤-

<-π

C ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． …………（12分）

（18）（本小题满分12分）

方法1：（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，

∴⊥AB 平面PAD ， …………（2分） ∵E 、F 为PA 、PB 的中点，

∴EF //AB ，∴EF ⊥平面PAD ； …………（4分）（II ）解：过P 作AD 的垂线，垂足为O ，

∵ABCD PAD 平面平面⊥，则PO ⊥平面ABCD ．

连OG ，以OG ，OD ，OP 为x 、y 、z 轴建立空间坐标系， …………（6分） ∵PA =PD 4==AD ，∴2,32===OA OD OP ，得)32,0,0(),0,2,0(),0,2,4(),0,2,4(),0,2,0(P D C B A --，

)0,0,4(),3,1,2(),3,1,0(G F E --，故)3,1,4(),0,0,2(-==，设平面EFG 的一个法向量为),,,(z y x =n 则?????=-+=?????=?=?0340

00z y x x EG EF ，即n n ，

)1,3,0(,1==n 得取z ， …………（7分）

平面ABCD 的一个法向量为),1,0,0(1=n

平面EFG 与平面ABCD 所成锐二面角的余弦值是：

||||,cos |111=?>=

（II ）解：)3,1,4(),0,0,2(-==EG EF ，

设平面EFG 的一个法向量为),,,(z y x =n

则????

?=-+=?????=?=?0340

00z y x x ，即n n ， )1,3,0(,1==n 得取z ，…………（7分）平面ABCD 的一个法向量为),1,0,0(1=n ……【以下同方法1】方法3：（I ）证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，

∴⊥AB 平面PAD ， …………（2分） ∵E 、F 为PA 、PB 的中点，

∴EF //AB ，∴EF ⊥平面PAD ； …………（4分）（II ）解：∵ EF //HG ，AB //HG ，∴HG 是所二面角的棱， …………（6分） ∵HG // EF ，∴⊥HG 平面PAD ， ∴DH ⊥HG ，EH ⊥HG ，

∴∠EHA 是锐二面角的平面角，等于 60； ………（8分）（III ）解：过M 作MK ⊥平面EFG 于K ，连结KF ，

则∠KFM 即为MF 与平面EFG 所成角， ………（10分）因为AB //EF ，故AB /平面EFG ，故AB /的点M 到平面EFG 的距离等于A 到平面EFG 的距离，∵⊥HG 平面PAD ，∴平面EFGH ⊥平面PBD 于EH ， ∴A 到平面EFG 的距离即三角形EHA 的高,等于3，即MK 3=， ∴

3515=，5=FM ，在直角梯形EFM A 中，2==EF AE ， ∴1=AM 或3=AM ∵M 靠近A ，∴1=AM …………（11分） ∴当1=AM 时， MF 与平面EFG 所成角正弦值等于

．…………（12分）

（II ）由（Ⅰ）设1n a ???

???

的公差为d ，知8111

(81)d a a =+-，2d =，121n a n =

-，令

122()n n n f n a a a ++=+++ ，则2322122(1)n n n n n f n a a a a a +++++=+++++ ，

1111

(1)()0414321(41)(43)(21)

f n f n n n n n n n +-=

+-=>++++++． …………（8分）