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2019年高中数学极坐标方程知识点总结题型汇总

极坐标方程

创作时间： 2019.1

【学习目标】

1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置．

2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程．【要点梳理】

要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义

（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴．要点诠释：

①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可.

轴旋 2. 点的极坐标在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的

极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值．要点诠释：

（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．

（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）

（其中n 为整数）．

一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．

如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标

（1）同一个点：如极坐标系中点4,

6π?

? ??

?，4,26π

π??+ ???，4,46ππ??+ ???，4,66ππ??+ ???，4,26ππ??

- ???

，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4,

26k π

π?

+ ??

（k ∈Z ）都表示点4,

6π?

．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）

（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

（2）位于同一个圆上的点：如极坐标分别为（4，0）、4,

6π?

、4,

3π??

、4,

2π??

，但它们的极角不相等，也不再是终边相同的角，所有这些点在以极点为圆心，以4为半径的圆上，因而（ρ，θ）{这里ρ为定值，[0,2)θπ∈}点的轨迹就是以极点为

圆心，以ρ为半径的圆．

（3）对称点：（ρ，θ）关于极轴的对称点为（ρ，2πθ-）

，关于极点的对称点为（ρ，πθ+），关于过极点且垂直于极轴的直线的对称点为（ρ，π

θ-）

．（4）共线的点：如果极坐标为（ρ，θ），其中θ为常数，ρ＞0，则表示与极轴成θ角的射线． 4．极坐标系内两点间的距离公式

设极坐标系内两点111(,)P ρθ，222(,)P ρθ，则12||PP =

特例：当1

2θθ=，1212||||P P ρρ-=-．

要点二、极坐标与直角坐标的互化

1、平面内一点的极坐标与直角坐标互化的条件 ①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合； ②极坐标系中的极轴与直角坐标系中的x 轴正半轴重合； ③两种坐标系中长度单位相同

2、互化公式

如图，符合上述三条件的点P 的极坐标为(,)ρθ，直角坐标为(,)x y ，

这就是在两个坐标系下，同一个点的两种坐标间的互化关系. 要点诠释：由2

22x y ρ

=+求ρ时，ρ不取负值；由tan (0)y

x x

θ=

≠确定θ时，根据点（x ，y ）所在的象限取正角．当x ≠0时，θ角才能由tan y

θ=

按上述方法确定．当x=0时，tan θ没有意义，这时又分三种情况：（1）当x=0，y=0时，θ可取任何值；（2）当

x=0，y ＞0时，可取2

；（3）当x=0，y ＜0时，可取32

θ=

．

要点三、曲线的极坐标方程 1．曲线的极坐标方程的概念

（1）一般地，在极坐标系中，如果平面曲线C 上任意一点的

极坐标中至少有一个满足方程(,)0f ρθ=，并且坐标适合方程(,)0f ρθ=的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f ρθ=称为曲线

C 的极坐标方程．

在直角坐标系中，曲线可以用含有变量x 、y 的方程表示；同样地，在极坐标系中，曲线可以用含有ρ、θ这两个变量的方程

(,)0f ρθ=来表示，这种方程即为曲线的极坐标方程．

要点诠释：在直角坐标系内，曲线上每一点的坐标一定适合它的方程，可是在极坐标系内，曲线上一点的所有坐标不一定都适合方程．例如给定曲线ρ

=，设点P 的一极坐标为,44ππ??

???

，那么点P 适合方程ρθ=，从而是曲线上的一个点，但点P 的另一

个极坐标9,44ππ??

???

就不适合方程ρθ=了．所以在极坐标系内，确定某一个点P 是否在某一曲线C 上，只需判断点P 的极坐标中是

否有一对坐标适合曲线C 的方程即可．

2. 求曲线极坐标方程的步骤．

①建立适当的极坐标系，设(,)P ρθ是曲线上任意一点．

②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式． ③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，证明可以省略．

要点诠释：

（1）求平面曲线的极坐标方程，就是要找极径ρ和极角θ之间的关系，常用解三角形（正弦定理、余弦定理）的知识，利用三角形的面积相等来建立ρ、θ之间的关系．（2）今后我们遇到的极坐标方程多是()ρ

ρθ=的形式，即ρ是θ的一个函数．

（3）由极坐标系中点的对称性可得到极坐标方程()ρρθ=的图形的对称性：若()()ρθρθ=-，则相应图形关于极轴对称；

若()()ρθρπθ=

-，则图形关于射线2

θ=

所在的直线对称；若()()ρθρπθ=+，则图形关于极点O 对称．

3．圆的极坐标方程

（1）圆心在极轴上且过极点的圆

圆心在极轴上的点（a ，0）处，且圆过极点O （如图所示）．P 为圆与极轴的另一交点，(,)M ρθ为圆

上的动点，连接OM 和MP ，由平面几何知识知OM ⊥MP ．在直角三角形OMP 中，由三角知识可得

2cos a ρθ=．

坐标(,)ρθ满足此方程的点也在该圆上．因此，得该圆的方程为2cos a ρθ=．

也可以先写出该圆的直角坐标方程，再化为极坐标方程．

如图所示，建立直角坐标系，在直角坐标系中，该圆的圆心为（a ，0），半径为a ，故圆的直角坐标方程为 (x －a)2

+y 2

=a 2

，

即 x 2

+y 2

=2ax ．由坐标变换公式得 2

2cos a ρρθ=，

即 2cos a ρ

θ=．

这样就得到前面推导出的极坐标方程．所以，方程

2cos a ρθ=就是圆上任意一点极坐标(,)ρθ所满足的条件，另一方面，我们也可以验证，坐标适合方程

2cos a ρθ=的点都在这个圆上．

（2）圆心在极点的圆

如果已知⊙O 的半径为r ，我们可以以圆心为极点，以从圆心O 发出的一条射线为极轴建立极坐标系，那么圆上各点的特征是它们的极径都等于圆的半径r ，这时圆的极坐标方程为r ρ=（ρ∈R ）

．

4．直线的极坐标方程

（1）过极点的直线的极坐标方程．

如图所示，直线AA ＇过极点且与极轴成的角为α，即直线AA ＇的极坐标方程为 θ

α=（ρ≥0）和θπα=+（ρ≥0）

．特别地，我们规定ρ为全体实数，那么该直线的极坐标方程就为θ

α=（ρ∈R ）

，或θαπ=+（ρ∈R ）．（2）过点A （a ，0）（a ＞0）且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程．

如图所示，设(,)M ρθ为直线l 上的除A 外的任意一点．连接OM ，则有△AOM 为直角三角形并且∠AOM=θ，|OA|=a ，|OM|=ρ，所以有||cos ||OM

OA θ=．

即cos a ρθ

=，化为直角坐标方程为x=a ．

（3）过点,

2A a π?

且平行于极轴所在直线的直线极坐标方程．如图所示，设M 为直线上任意一点，其极坐标为(,)M ρθ，连接OM ，则有|OA|=a ，|OM|=ρ，2

AOM π

θ∠=

-，在直角三角

形AOM 中，我们有||cos ||2OM

OA πθ??

?-= ???

．

∴cos 2a πρθ??

-= ???

，即sin a ρθ=，化为直角坐标方程为y=a ．

【典型例题】

类型一、极坐标系中的点的表示

例1．写出右图中各点的极坐标（ρ＞0，0≤θ＜2π）．

【思路点拨】根据极坐标定义：若M 是平面上任一点，ρ表示OM 的长度，θ表示以射线Ox 为始边，射线OM 为终边所成的角．【解析】由图可知： A （5，0），2,

6B π?

，4,

2C π??

，35,

4D π?? ??

?，E （2，π），45,3F π??

???

，

53.5,3G π?

? ??

?．

【总结升华】本题考查了极坐标的定义，已知点在极坐标系中的位置，要准确写出它的极坐标，对应的极角可以限定一个范围，如[0，2π）．当ρ＞0时，每一点都对应唯一确定的一个极坐标．举一反三：

【变式1】下列各点中与2,

6π?

不表示极坐标中同一个点的是（）

． A ．112,6π??-

? B ．132,6π?? ??? C ．112,6π?? ??? D ．232,6π?

?- ??

【答案】C 。由点的极坐标定义可得。

【变式2】设点2,

3A π??

，直线l 为过极点且垂直于极轴的直线，分别求点A 关于极轴、直线l 、极点的对称点的极坐标（限定0ρ

>，πθπ-<≤）

．【答案】如图所示．关于极轴的对称点为2,3B π??

．关于直线z 的对称点为22,

3C π?? ???．关于极点D 的对称点为22,3D π?

?- ??

?．【变式3】．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2

π (ρ∈R) 对称

D ．重合

【答案】A 与点M(ρ,θ)关于极轴对称的点有(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)，关于θ=2

所在直线对称的点有(-ρ,-θ)或(ρ,π-θ)，

关于极点对称的点有(-ρ,θ)或(ρ,π+θ)。

类型二、极坐标与直角坐标互化

例2．（1）将下列点的极坐标化成直角坐标：(2,)3

；(4,)π--。

（2）将下列各点的直角坐标化为极径为正，极角在[0,2)π

之间的极坐标：

；(2,--。

【思路点拨】依据直角坐标与极坐标的互化公式运算。【解析】

（1）12cos()2132x

π=?-=?=

，2sin()3

y π

=-=

所以极坐标系中点(2,)3

的直角坐标为(1,。

4cos()4(1)4x π=-?-=-?-=，2sin()200y π=?-=?=，

所以极坐标系中点(4,)π--的直角坐标为(4,0)。

（2

）ρ==

tan 3

y x θ=

又点在第一象限，所以6

θ=

，

所以直角坐标系中点

的极坐标为)6

。

4ρ==

，tan 2

y x θ-=

==-

又点(2,--在第三象限，所以43

πθ=

。

所以直角坐标系中点(2,--的极坐标为4(4,

π。【总结升华】把点M 的极坐标(,)ρθ化成直角坐标(,)x y 时，关键是依据关系式2

22cos ,sin ,x y x y ρθρθρ===+，把

极坐标方程中的,ρθ用,x y 表示。

把点M 的直角坐标(,)x y 化成极坐标(,)ρθ时，

关键是依据关系式tan ,0

y x x ρθ?=?

?=≠??

，且注意由tan y x θ=求θ时，还须结合点(,)x y 所在的象限来确定θ的值，一般取02θπ≤<。

举一反三：

【变式1】点M

的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（）

A ．(2,

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3k k Z π

π+∈

【答案】C 2(2,2),()3

k k Z π

π+∈都是极坐标

【变式2】将点M 的极坐标4(2,

化为直角坐标。

【答案】41

2cos

2()132

x π==?-=-，42sin 2(32y π==?-=

∴点4(2,

的直角坐标为(1,- 【变式3】（1）把点M 的极坐标28,

3π??

化成直角坐标；（2）把点M 的直角坐标（1，－1）化成极坐标．

【答案】（1）28cos

43x

π==-，28sin 3

y π

∴点M 的直角坐标是(4,-．

（2）应用极坐标与直角坐标的互化关系可得：

===

tan 11

y x θ-=

==-． ∴74

π=（点M 在第四象限）．

∴点M 的极坐标为74π???．

【变式4】在极坐标系中，已知三点(2,)3M π

-，(2,0)N ，)6

P π

，

（1）将,

,M N P 三点的极坐标化为直角坐标；

（2）判断,,M N P 三点是否在同一直线上.

【答案】（1）(1,M ，N(2,0)，(3P

（2）MN

NP k k ==所以三点共线.

类型三、圆的极坐标方程例3. 求圆心在32,

2A π?

处并且过极点的圆的极坐标方程．

【思路点拨】如图所示，设(,)M ρθ为圆上除O 、B 外的任意一点，连接OM 、MB ，则在Rt △BOM 中，由|OM|=|OB|·cos ∠MOB ，即可得ρ、θ的关系．本题亦可以先求直角坐标系中的方程，再化为极坐标方程．

【解析】如图所示，设(,)M ρθ为圆上除O 、B 外的任意一点，连OM 、MB ，则有OB=4，OM=ρ，32MOB θπ∠=-．2

BMO π

∠=

，

从而△BOM 为直角三角形，所以有|OM|=|OB|cos ∠MOB ，

即34cos 4sin 2ρ

θπθ?

?=-=- ??

?．

【总结升华】与求圆的直角坐标方程相比，求它的极坐标方程比球直角坐标更加简便，因为在极坐标系中圆上的点的坐标ρ、θ所满足的条件更加容易表示，代数变换也更加直接，有时为了求极坐标方程，也可以先求出相应的直角坐标方程，再利用cos x ρθ=

，

sin y ρθ=代换，也较为方便．

举一反三：

【变式1】在极坐标系中，圆心在(),2π且过极点的圆的方程为（） (A) θρcos 22= (B)θρ

cos 22-=

(C)θρ

sin 22= (D)θρsin 22-=

【答案】B

【变式2】在平面直角坐标系中，以点(1,1)为半径的圆在以直角坐标系的原点为极点，

以Ox 轴为极轴的极坐标系中对应的极坐标方程为（）

A ．)4πρθ=-

B ．)4π

ρθ=-

C ．1)ρ

θ=- D ．1)ρθ=-

【答案】B

圆的直角坐标方程为2

2(1)(1)2x y -+-=，

化为极坐标方程为22(cos 1)(sin 1)2ρθρθ-+-=，[)]04

ρρθ--=，

∵曲线)04

ρθ--=也过极点，

∴[)]04πρρ

θ--=与)04

ρθ--=等价，

∴对应的极坐标方程为)4

θ=-.

【变式3】在极坐标系中，半径为1的圆C 的圆心坐标为(3,

C π

，求圆C 的极坐标方程；

【答案】法一：（1）设(,)P ρθ在圆上，则||1PC =，||OP ρ=，||3OC =，||6

POC π

θ∠=-

，

由余弦定理得21923cos ||6

ρρθ=+-??-

即2

6cos()806

ρθ--+=，为圆的极坐标方程。

法二：（1）圆心(3,

C π

的直角坐标为3

，

则符合条件的圆方程为223

(()12x y -

+-=，

∴圆的极坐标方程：223

(cos (sin )122

ρθ

ρθ-

+-=

整理得2

cos 3sin )80ρθρθ-++=，

即2

6cos()806

ρθ--+=.

类型四、直线的极坐标方程

例4. （海淀区校级模拟）在极坐标系中，直线l 的方程为sin

ρθ（），则点A （2，

）

到直线l 的距离是（）

A ．

【答案】B

【解析】直线方程为sin

ρθ（）sin +cos ρθρθ）可得直角坐标方程为：x+y=1，

则点A （2，-

）化为A （2cos （-

），2sin （-

）），即A ，，

所以点A 到这条直线的距离2

，故选B 。

举一反三：

【变式1】求适合下列条件的直线的极坐标方程：（1）过极点，倾斜角是3

π；

（2）过点(5,)4

P π

，并且和极轴垂直。

【答案】

（1）由图知，所求的极坐标方程为()3

R π

ρ=

∈；

（2）法一：由图知，所求直线的方程为cos 5cos

ρθ

=，即cos 2

ρθ=

法二：由图知，所求直线的方程为2x =

，即cos 2

ρθ=. 【变式2】求（1）过点)4

,2(π

A 平行于极轴的直线。

（2）过点

,3(πA 且和极轴成

43π

角的直线。

【答案】（1）在直线l 上任取一点),(θρM ，因为)4,2(πA ，所以|MH|=224

sin =?π

在直角三角形MOH 中|MH|=|OM|sin θ即2sin =θρ，所以过点)4

,2(π

A 平行于极轴的直线为2sin =θρ。

（2）设M ),(θρ为直线l 上一点。

3(π

A ， OA =3，3

∠AOB

由已知4

3π=∠MBx ，所以125343π

ππ=-=∠OAB ，所以127125πππ=

-=∠OAM 又θπ

θ-=-∠=∠4

3MBx OMA 在?MOA 中，根据正弦定理得

7sin

)43sin(3πρθπ=- 又426)34sin(127sin

+=+=πππ 将)4

3sin(θπ

-展开化简可得23233)cos (sin +=

+θθρ 所以过)3

3(π

A 且和极轴成

3π

角的直线为：23233)cos (sin +=+θθρ

类型五、极坐标方程与直线坐标方程互化

例5. 将下列各题进行直角坐标方程与极坐标方程的互化。（1）

x y 42= （2）3

θ=

（3）12

cos

=θ

ρ （4）42cos 2=θρ

【解析】（1）将θρθρsin ,cos ==y x

代入x y 42=得θ

ρθρcos 4)sin (2=化简得

θρsin 4sin 2=

（2）∵x y =

tan ∴ 33tan ==x

π 化简得：)0(3≥=x x y （3）∵12cos 2=θρ ∴ 12

cos 1=+θρ。即2cos =+θρρ 所以 222=++x y x 。

化简得

)1(42--=x y 。

（4）由42cos 2

=θρ 即4)sin (cos 222=-θθρ 所以 422=-y x

【总结升华】

（1）互化公式是有三个前提条件的，即极点与直角坐标系的原点重合、极轴与直角坐标系的横轴的正半轴重合，两种坐标系的

长度单位相同．

（2）由直角坐标求极坐标时，理论上不是唯一的，但这里约定只在0≤θ＜2π范围内求值．（3）将直角坐标方程化为极坐标方程最后要注意化简．

（4）将极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性，通常总要用ρ去乘方程的两端，应该检查极点是否在曲线上，若

在，是等价变形，否则，不是等价变形．

举一反三：

【变式1】极坐标方程cos 2sin 2ρθ

=表示的曲线为（）

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆【答案】C

2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即则,2

k π

θπ=+

或224x y y +=

【变式2】如图，极坐标方程ρ=asin θ(a>0)所表示的曲线的图形是( )

【答案】C

如果没有记住它的图形，不妨化其为直角坐标方程:ρ=asin θ，ρ2

=ρasin θ

,x 2

+y 2

=ay,x 2

+(y-2

a )2

a ,图形显然是以(0,

)为圆心，

为半径的圆.选C. 【高清课堂：极坐标方程406449例题3】

【变式3】（1）把下列极坐标方程化为直角坐标方程，并判断图形的形状． ①2cos (0)a a ρ

θ=>； ②9(sin cos )ρθθ=+； ③4ρ=；④2cos 3sin 5ρθρθ-=．

【答案】 ①2cos a ρ

θ=两边同时乘ρ得22cos a ρρθ=，

即 x 2

+y 2

=2ax ．

整理得 x 2

+y 2

－2ax=0，即 (x －a)2

+y 2

=a 2

．它是以（a ，0）为圆心，以a 为半径的圆．

②两边同时乘ρ得2

9(sin cos )ρ

ρθθ=+，即x 2

+y 2

=9x+9y ，又可化为

9981222x y ?

???-+-= ? ??

???，它是以99,22?? ???为圆心，以2为半径的圆． ③将ρ=4两边平方得ρ2

=16，即x 2

+y 2

=16．

它是以原点为圆心，以4为半径的圆． ④2cos 3sin 5ρθ

ρθ-=，即2x －3y=5，是一条直线．

【高清课堂：极坐标方程406449例题2】【变式4】将下列直角坐标方程化为极坐标方程．

① x 2+(y －2)2=4； ②x 2+y 2=4x ； ③x+y=2； ④x=2．

【答案】①x 2+(y －2)2=4可化为x 2+y 2=4y ．代入cos x ρθ=，sin y ρθ=得24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=．

②代入

sin y ρθ=，cos x ρθ=得2

4cos ρ

ρθ=，即4cos ρθ=．

③cos sin 2ρθ

ρθ+=．

④cos 2ρθ

=．

【变式5】已知圆的极坐标方程是05)sin 3(cos 22

=-++θθρρ，求直线0=θ被圆截得的弦长.

【答案】圆的普通方程是：2

2(1)

(9x y +++=，与直线0y =

的交点为1,0)

，(1,0)

，所以弦长为.

【变式6

】已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ

?+= ??

?，求点A （2，

）到这条直线的距离．

【答案】sin()42πρθ

可化为(sin cos cos sin )442

ππρθθ+=，

即

sin cos 1ρθρθ+=，利用极坐标与直角坐标的互化公式222cos sin x x x y ρθ

ρθ

ρ?=?

=??+=?

得直线的直角坐标方程为

1x y +=，即

10x y +-=。

点A （2，74π）化为直角坐标

为72cos 4

72sin 4

x x ππ?

==????==??，点A 的直角坐标

为

)，利用点00(,)P x y 到直线

0Ax By C ++=的距离公式

d =

，得点A （2，

）到这条直线的距离为d =

。

类型六、极坐标方程的综合应用

例6（兰州模拟）在极坐标系中，已知圆C 的圆心C （，

），半径r=

．

（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，

），直线l 的参数方程为

（t 为参数），直线l 交圆C 于A 、B 两点，求弦长|AB|的取值范围．【思路点拨】（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即得圆C 的极坐标方程.

（Ⅱ）设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则|AB|=|t 1﹣t 2|，化为关于α的三角函数求解．【解析】（Ⅰ）∵C

（

，

）的直角坐标为（1，1），

∴圆C 的直角坐标方程为（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 （Ⅱ）将

代入圆C 的直角坐标方程（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=3，

得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t 2+2t （cosα+sinα）﹣1=0． ∴t 1+t 2=﹣2（cosα+sinα），t 1?t 2=﹣1． ∴|AB|=|t 1﹣t 2

．

∵α∈[0，），∴2α∈[0，

），

∴2

≤|AB|＜2

．

即弦长|AB|的取值范围是[2

，2

）【总结升华】极坐标问题利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x ，ρsinθ=y ，ρ2=x 2+y 2，进行代换即可．

举一反三：

【变式1】在极坐标系中，(4,)

A π

，5(1,

)18

B π

，则△AOB 的面积是________。【答案】51896

AOB πππ∠=

-=，

∴11||||sin 41sin 1226

AOB

S AO BO AOB π

?=???∠=???=。【变式2】极坐标方程分别是cos ρ

θ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是（）

A ．2

C ．1

D ．

【答案】D

法一:在极坐标系中，两圆的圆心坐标分别为1(

,0)2与1(,)22

,由此求得圆心距为22. 法二:将极坐标方程化成直角坐标方程x 2

+y 2

=x 和x 2

+y 2

=y ，它们的圆心分别是1(,0)2，1

(0,)2

，

由此求得圆心距为

【变式3】（湖南二模）极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，已知曲线C 1的极坐

标方程为ρ=4cosθ，曲线C 2的参数方程为（t 为参数，0≤α＜π），射线θ=φ，θ=φ+

，θ=φ﹣

与曲线C 1交于（不

包括极点O ）三点A 、B 、C ．

（I ）求证：|OB|+|OC|=|OA|；

（Ⅱ）当φ=

时，B ，C 两点在曲线C 2上，求m 与α的值．

【解析】（Ⅰ）依题意，|OA|=4cosφ，|OB|=4cos （φ+），|OC|=4cos （φ﹣

），

则|OB|+|OC|=4cos （φ+）+4cos （φ﹣

）=2

（cosφ﹣sinφ）+2（cosφ+sinφ）=4

cosφ，

|OA|．

（Ⅱ）当φ=时，B ，C 两点的极坐标分别为（2，

），（2，﹣）．

化为直角坐标为B （1，

），C （3，﹣

）．

C 2是经过点（m ，0），倾斜角为α的直线，又经过点B ，C 的直线方程为y=﹣（x ﹣2），故直线的斜率为﹣

，

所以m=2，α=

．

【变式4】已知定角(0)2

AOB π

αα∠=<<

，点P 在OA 上，点Q 在OB 上，且△POQ

的面积为8，

设PQ 中点为M ，求|OM|的最小值。

【答案】以O 为极点，OB 为极轴建立极坐标系。

设1(,)P ρα，2(,0)Q ρ，(,)M ρθ，

由题意得121sin 82ρρα=，即1216

sin ρρα=

。又11sin()42POM S ρραθ?=-=，21

sin 42

QOM S ρρθ?==。

两式相乘得2

12sin sin()64ρ

ρρθαθ-=，

所以2

4sin 8sin sin sin()cos(2)cos αα

θαθθαα

---。

所以当cos(2)1θα-=时，2ρ有最小值

8sin 1cos αα

-。

所以|OM|的最小值为。

极坐标高考题的几种常见题型[1]

高考链接极坐标高考题的几种常见题型和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3 个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题. 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ?? ???≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+．即0422=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程．同理0422=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由???=++=-+0 4042222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==2222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．解法二: 由? ??=++=-+04042222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θ θρ2cos sin 8=的准线方程是 (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ θρ2cos sin 8=去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2=8y ,其

极坐标与参数方程题型三：最值问题

极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；（2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．

16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=，以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；（1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．

参数方程和极坐标方程知识点归纳

专题九：坐标系与参数方程 1、平面直角坐标系中的伸缩变换设点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?? ?>?='>?='). 0(,y y 0), (x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。 2、极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离||OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的xOM ∠叫做点M 的极角，记为θ。有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为),(θρM . 注：极坐标),(θρ与)Z )(2,(∈+k k πθρ表示同一个点。极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ. 若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与 ),(θπρ+表示同一点。如果规定0,02ρθπ>≤<，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示（即一一对应的关系）；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面上一个点，在极坐标系下，一对有序实数ρ、θ对应惟一点P (ρ，θ)，但平面内任一个点P 的极坐标不惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律可循的，P (ρ，θ)（极点除外）的全部坐标为(ρ,θ＋πk 2)或（ρ-，θ＋π)12(+k ），(∈k Z )．极点的极径为0，而极角任意取．若对ρ、θ的取值范围加以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了，如限定ρ>0，0≤θ＜π2或ρ<0，π-＜θ≤π等．极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 3、极坐标与直角坐标的互化设是平面内任意一点，它的直角坐标是(,)x y ，极坐标是(,)ρθ，从图中可以得出： ) 0(ta ≠= x x y θ? ?? 图1

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为（） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．题型二极坐标方程的应用由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ，，的距离为则取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为：，曲线C的参数方程为：（α为参数）．（I）写出直线l的直角坐标方程；（Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值．：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．的极坐标方程为，把，利用三角形的面积计算公式即可得出．的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为；（t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数）（或 θ θsin cos a y b x ==）中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

极坐标高考题的几种常见题型

极坐标高考题的几种常见题型班级：姓名：和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题. 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ??? ??≠=+=) 0(tan 2 22x x y y x θρθ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+．即0422=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程．同理0422=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由???=++=-+0 4042 222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．解法二: 由???=++=-+040 42 222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θθ ρ2 cos sin 8=的准线方程是（） (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ θ ρ2 cos sin 8= 去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2=8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C. 例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,2 π ),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3,

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用（1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：

cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数（2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数（3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；

极坐标和参数方程知识点总结大全

极坐标与参数方程一、参数方程 1.参数方程的概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ?? ?==) () (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上（即曲线上的点在方程上，方程的解都在曲线上），那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2.参数方程和普通方程的互化曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程. 练习 1．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（） A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ θθθ =?? =+?为参数上的点是（） A ．1(,2 B ．31(,)42 - C ． D ． 3．将参数方程2 2 2sin ()sin x y θ θθ ?=+??=??为参数化为普通方程为（） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一（由上面练习（1、3可知））。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。

3．圆的参数方程如图所示，设圆的半径为，点从初始位置出发，按逆时针方向在圆上作匀速圆周运动，设，则。这就是圆心在原点，半径为的圆的参数方程，其中的几何意义是转过的角度（称为旋转角）。圆心为，半径为的圆的普通方程是，它的参数方程为：。 4．椭圆的参数方程以坐标原点为中心，焦点在轴上的椭圆的标准方程为其参数方程为，其中参数称为离心角；焦点在轴上的椭圆的标准方程是其参数方程为其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为∈[0，2）。注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在到的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当时，相应地也有，在其他象限内类似。 5．双曲线的参数方程

题型极坐标高考题的几种常见

极坐标高考题的几种常见题型贵州省册亨民族中学(552200) 韦万祥和直角坐标系一样,极坐标系是常用的一种坐标系,极坐标是历年理工类高考必考的内容,随着新课程改革的深入,在2007年4个省市新课标高考试题中有3 个省市考查了极坐标.涉及较多的是极坐标与直角坐标的互化及简单应用.多以选择题、填空题形式出现,以考查基本概念,基本知识,基本运算为主,一般属于容易题. 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ?? ???≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+．即0422=-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程．同理0422=++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由???=++=-+0 4042222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==2222y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．解法二: 由???=++=-+0 4042222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θ θρ2cos sin 8=的准线方程是 (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ θρ2cos sin 8=去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2=8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C.

高中数学全参数方程知识点大全-全参数方程高中

高考复习之参数方程一、考纲要求 1.理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何意义或物理意义，掌握参数方程与普通方程的互化方法.会根据所给出的参数，依据条件建立参数方程. 2.理解极坐标的概念.会正确进行点的极坐标与直角坐标的互化.会正确将极坐标方程化为直角坐标方程，会根据所给条件建立直线、圆锥曲线的极坐标方程.不要求利用曲线的参数方程或极坐标方程求两条曲线的交点. 二、知识结构 1.直线的参数方程 (1)标准式过点Po(x 0,y 0)，倾斜角为α的直线l(如图)的参数方程是 ? ? ?+=+=a t y y a t x x sin cos 00 (t 为参数) (2)一般式过定点P 0(x 0,y 0)斜率k=tg α= a b 的直线的参数方程是 ?? ?+=+=bt y y at x x 00(t 不参数) ② 在一般式②中，参数t 不具备标准式中t 的几何意义，若a 2 +b 2 =1,②即为标准式，此时，｜ t ｜表示直线上动点P 到定点P 0的距离；若a 2+b 2 ≠1，则动点P 到定点P 0的距离是 22b a +｜t ｜. 直线参数方程的应用设过点P 0(x 0,y 0),倾斜角为α的直线l 的参数方程是 ? ??+=+=a t y y a t x x sin cos 00 （t 为参数）若P 1、P 2是l 上的两点，它们所对应的参数分别为t 1,t 2，则 (1)P 1、P 2两点的坐标分别是 (x 0+t 1cos α,y 0+t 1sin α) (x 0+t 2cos α,y 0+t 2sin α)； (2)｜P 1P 2｜=｜t 1-t 2｜; (3)线段P 1P 2的中点P 所对应的参数为t ，则 t= 2 2 1t t + 中点P 到定点P 0的距离｜PP 0｜=｜t ｜=｜2 2 1t t +｜ (4)若P 0为线段P 1P 2的中点，则 t 1+t 2=0.

极坐标的几种常见题型

极坐标的几种常见题型一、极坐标方程与直角坐标方程的互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ? ? ? ??≠=+=)0(tan 2 22x x y y x θρ θ的象限由点(x,y)所在的象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点的直线的直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 42 2=+．即042 2 =-+x y x 为⊙O 1的直角坐标方程．同理042 2 =++y y x 为⊙O 2的直角坐标方程． (II)解法一:由? ??=++=-+04042 222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．解法二: 由???=++=-+0 40 42 222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点的直线的直角坐标方程为y=－x ．评述:本题主要考查曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法及两圆公共弦所在直线方程的求法. 例2(2003全国)圆锥曲线θ θ ρ2cos sin 8= 的准线方程是 (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ 解: 由θ θρ2 cos sin 8= 去分母后两边同时乘以ρ得:θρθρsin 8cos 22=,所以x 2 =8y ,其准线方程为y=2-,在极坐标系中方程为2sin -=θρ,故选C. 例3(1998年上海)以直角坐标系的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1, 2 π),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________. 解：由已知条件知椭圆两焦点的直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3, 故所求椭圆的直角坐标方程为4 32 2y x +=1 类题:1(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是1 cos 4122 -= θρ,则它的直角坐标方程是___________. (答案:3x 2-y 2=1) 2(1998年全国)曲线的极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 (A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4

2019年高中数学极坐标方程知识点总结题型汇总

极坐标方程创作时间： 2019.1 【学习目标】 1．能在极坐标系中用极坐标表示点的位置． 2．理解在极坐标系中和直角坐标系中表示点的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化． 3．能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程．【要点梳理】要点一、极坐标系和点的极坐标 1. 极坐标系定义（1）在平面内取一定点O ，由点O 引出一条射线Ox ，并确定一个长度单位和度量角度的正方向（通常取逆时针方向），这就构成一个极坐标系，定点O 叫做极点，射线Ox 叫做极轴．要点诠释： ①极点；②极轴；③长度单位；④角度单位和它的正方向，构成了极坐标系的四要素，缺一不可. 轴旋 2. 点的极坐标在极坐标系中，平面上任意一点P 的位置可以由OP 的长度ρ和从Ox 转到OP 的角度θ来确定，（ρ，θ）叫做点P 的极坐标，ρ叫做点P 的极径，θ叫做点P 的极角．极点的极坐标为（0，θ），其中θ可以取任何值．要点诠释：（1）极轴是以极点为端点的一条射线，它与极轴所在的直线是有区别的；极角θ的始边是极轴，它的终边随着θ的大小和正负而取得各个位置；θ的正方向通常取逆时针方向，θ的值一般是以弧度为单位的数量；点M 的极径ρ表示点M 与极点O 的距离|OM|，因此ρ≥0；但必要时，允许ρ＜0．（2）在极坐标系中，与给定的极坐标（ρ，θ）相对应的点的位置是唯一确定的；反过来，同一个点的极坐标却可以有无穷多个．如一点的极坐标是（ρ，θ）（ρ≠0），那么这一点也可以表示为（ρ，2n θπ+）或（ρ-，(21)n θπ++）（其中n 为整数）．一般情况下，我们取极径ρ≥0，极角θ为0≤θ＜2π（或－π＜0≤π）．如果我们规定ρ＞0，0≤θ＜2π，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标（ρ，θ）来表示，这时，极坐标与平面内的点之间就是一一对应的关系． 3．相关点的极坐标（1）同一个点：如极坐标系中点4, 6π? ? ?? ?，4,26π π??+ ???，4,46ππ??+ ???，4,66ππ??+ ???，4,26ππ?? - ??? ，由终边相同的角的定义可知上述点的终边相同，并且与极点的距离相等，这样，它们就表示平面上的同一个点，实际上，4, 26k π π? ? + ?? ? （k ∈Z ）都表示点4, 6π? ? ?? ? ．于是我们有，一般地，极坐标（ρ，θ）与（ρ，2k θπ+）（k ∈Z ）表示平面内的同一个点．特别地，极点O 的坐标为（0，θ）（θ∈R ），也是平面内的同一个点，这样，我们就知道平面内的一个点的极坐标有无数多种表示．这就是说：平面上的点与这一点的极坐标不是一一对应的．

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分极坐标系与参数方程一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式题型一极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为（） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

极坐标知识点

1．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则????? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，????? ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 2．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2 ＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ； (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ? ????a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 3．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0； (2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M ? ????b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是? ???? x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．

当圆心在(0,0)时，方程为????? x ＝r cos α，y ＝r sin α，其中α是参数． (2)椭圆椭圆x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的参数方程是????? x ＝a cos φ， y ＝b sin φ，其中φ是参数．椭圆x 2b 2＋y 2 a 2＝1(a > b >0)的参数方程是????? x ＝b cos φ， y ＝a sin φ，其中φ是参数． (3)直线经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是????? x ＝x 0＋t cos α， y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数．

高中数学讲义-极坐标与参数方程

极坐标与参数方程一、教学目标本次课是一堂新课，通过本次课的学习，让学生理解极坐标和参数方程的概念等基础知识，掌握极坐标与直角坐标的相互转化，掌握一般常见曲线和直线的极坐标方程和参数方程。深刻理解参数方程所代表的数学思想——换元思想。二、考纲解读极坐标和参数方程是新课标考纲里的选考内容之一，只有理科生选学。在每年的高考试卷中，极坐标和参数方程都是放在一道填空题中，与平面几何作为二选一的考题出现的。由于极坐标是新添的内容，考纲要求比较简单，所以在考试中一般以基础题出现，不会有很难的题目。三、知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ? ? ?==)() (t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数．（二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： α αsin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数）其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离．根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆：

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、如何把极坐标系转化为直角坐标系？答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、极坐标系的定义是什么？答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化（2） { 参数方程与普通方程互化参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤（1）、参数方程与普通方程的互化化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-，即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结知识点精讲一、极坐标系在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为

极坐标的几种常见题型有答案

极坐标の几种常见题型一、极坐标方程与直角坐标方程の互化互化条件：极点与原点重合，极轴与x 轴正半轴重合，长度单位相同. 互化公式：???==θρθρsin cos y x 或 ?? ? ??≠=+=) 0(tan 2 22x x y y x θρ θの象限由点(x,y)所在の象限确定. 例1(2007海南宁夏)⊙O 1和⊙O 2の极坐标方程分别为θρcos 4=，θρsin 4-=． (I)把⊙O 1和⊙O 2の极坐标方程化为直角坐标方程； (II)求经过⊙O 1，⊙O 2交点の直线の直角坐标方程．解：以极点为原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同の长度单位． (I)θρcos =x ，θρsin =y ，由θρcos 4=得θρρcos 42=．所以x y x 422=+．即0422=-+x y x 为⊙O 1の直角坐标方程．同理0422=++y y x 为⊙O 2の直角坐标方程． (II)解法一:由???=++=-+0 4042 222y y x x y x 解得???==0011y x ，???-==22 22y x 即⊙O 1，⊙O 2交于点(0,0)和(2,－2)．过交点の直线の直角坐标方程为y=－x ．解法二: 由? ??=++=-+040 42 222y y x x y x ,两式相减得－4x-4y=0,即过交点の直线の直角坐标方程为y=－x ．评述:本题主要考查曲线の极坐标方程化为直角坐标方程の方法及两圆公共弦所在直线方程の求法. 例3(1998年上海)以直角坐标系の原点O 为极点,x 轴の正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点の极坐标分别是(1, 2 π),(1,23π),长轴长是4,则此椭圆の直角坐标方程是_______________. 解：由已知条件知椭圆两焦点の直角坐标为(0,1),(0,-1).c=1,a=2,b 2=a 2-c 2=3, 故所求椭圆の直角坐标方程为4 32 2y x +=1 类题:1(1995年上海)把直角坐标系の原点作为极点,x 轴の正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同の长度单位.若曲线の极坐标方程是1 cos 4122 -= θρ,则它の直角坐标方程是___________. (答案:3x 2-y 2=1) 2(1998年全国)曲线の极坐标方程ρ=4sin θ化成直角坐标方程为 (A) x 2+(y+2)2=4 (B) x 2+(y-2)2=4 (C) (x-2)2+y 2=4 (D) (x+2)2+y 2=4 (答案:B) 3(2002北京)已知某曲线の参数方程是?? ?==? ? tan sec y x (?为参数)若以原点为极点,x 轴の正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线の极坐标方程是 (A)1=ρ (B)12cos =θρ (C)12sin 2=θρ (D) 12cos 2=θρ (答案:D) 二、已知曲线の极坐标方程,判断曲线类型常见の直线和圆の极坐标方程及极坐标系中の旋转不变性: 1、直线の极坐标方程(a>0) (1)过极点,并且与极轴成α角の直线の极坐标方程:θ=α; (2)垂直于极轴和极点间の距离为a の直线の极坐标方程:ρcos θ=a; (3)平行于极轴和极轴间の距离为a の直线の极坐标方程:ρsin θ=a; (4)不过极点,和极轴成α角,到极点距离为a の直线の极坐标方程: ρsin(α-θ)=a.

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